Distribución de ProbabilidadDistribución de Probabilidad Conjuntaj

Jhon J. Padilla A., PhD.Jhon J. Padilla A., PhD.

IntroducciónIntroducción

L l d d i d d• Los resultados de un experimento pueden ser causa de múltiples variables.E t it i i d t f d• En estas situaciones se requiere de tener una f.d.p que describa la variación de la probabilidad de ocurrencia con respecto a la variación de estas variablescon respecto a la variación de estas variables.

• Esta f.d.p que tiene en cuenta el efecto de múltiples variables aleatorias se denomina distribución devariables aleatorias se denomina distribución de probabilidad conjunta.

• Una distribución de probabilidad conjunta puede ser p j pdiscreta o continua dependiendo del tipo de v.a.’s que describe.

DefiniciónDefinición

f ió d d b bilid d j• La función de masa de probabilidad conjunta de dos variables aleatorias contínuas X y Y se denota como fXY(x,y), y satisface las siguientes propiedades

• 1)                  para toda x,y• 2)

( , ) 0XYf x y ≥∞ ∞2)

( , ) 1XYf x y dxdy∞ ∞

−∞ −∞

=∫ ∫• 3) Para cualquier región R del espacio bidimensional: ([ , ]) ( , )XYP X Y R f x y dxdy∈ = ∫ ∫([ , ]) ( , )XY

R

P X Y R f x y dxdy∈ ∫ ∫

Distribución de probabilidad bidimensional

Variables aleatorias MúltiplesVariables aleatorias Múltiples

• La función de distribución de probabilidad conjunta para las variables X1, X2,…,Xp, se j p 1 2denota como:

( )f1 2 ... 1 2( , ,... )

pX X X pf x x x

DefiniciónDefinición

U f ió d di t ib ió d b bilid d• Una función de distribución de probabilidad conjunta para las variables aleatorias continuas X X Xp denotada como 1 2( , ,... )X X X pf x x xX1, X2,…,Xp, denotada como                                  , satisface las siguientes propiedades

• 1)

1 2 ... 1 2( , , )pX X X pf

( ) 0f x x x ≥1)

• 2)

1 2 ... 1 2( , ,... ) 0pX X X pf x x x ≥

( ) 1f d d d∞ ∞ ∞

∫ ∫ ∫• 2)

• 3) Para cualquier región B del espacio de p

1 2 ... 1 2 1 2.... ( , ,... ) ... 1pX X X p pf x x x dx dx dx

−∞ −∞ −∞

=∫ ∫ ∫• 3) Para cualquier región B del espacio de p dimensiones,

∫ ∫ ∫ 1 21 2 ... 1 2 1 2([ , ,..., ] ) .... ( , ,... ) ...pp X X X p p

B

P X X X B f x x x dx dx dx∈ = ∫ ∫ ∫

IndependenciaIndependencia

• Las variables aleatorias contínuas X1, X2,…,Xp, son independientes si y sólo sip y

1 2 1 2... 1 2 1 2( , ,... ) ( ) ( ).... ( )p pX X X p X X X pf x x x f x f x f x=

• Para toda x1, x2,…,xp1, 2, , p

COVARIANZACOVARIANZA

d l b bilid d d d d á d• Cuando la probabilidad depende de más de una variable aleatoria, resulta conveniente describir la relación entre las variables.

• La covarianza es una medida común de la relación entre dos variables aleatorias

• La covarianza es una medida de asociaciónLa covarianza es una medida de asociación lineal entre las v.a’s.Si l l ió t l ’ li l l• Si la relación entre las v.a’s no es lineal, la covarianza podría no ser sensible a la relación.

DefiniciónDefinición

• La covarianza entre dos v.a. X y Y, denotada como cov(X,Y) ó σxy, es( , ) ,

[( )( )] ( )( ) ( , )XY X Y x Y XYE X Y x y f x y dxdyσ µ µ µ µ∞ ∞

= − − = − −∫ ∫

• Y se puede demostrar que también

[( )( )] ( )( ) ( , )XY X Y x Y XYy f y yµ µ µ µ−∞ −∞∫ ∫

p q

[( )( )] ( , )XY X Y XY X YE X Y xyf x y dxdyσ µ µ µ µ∞ ∞

= − − = −∫ ∫[( )( )] ( )

XY X Y XY X Y

XY X Y X YE X Y E XYσ µ µ µ µ−∞ −∞

= − − = −

∫ ∫

Distribuciones de probabilidad conjuntas y el signo de la covarianzaconjuntas y el signo de la covarianza 

entre X y Yy

CORRELACIONCORRELACION

• La correlación mide el grado de relación lineal entre dos variables.

• La correlación escala la covarianza por la desviación estándar de cada variabledesviación estándar de cada variable.

• Es una cantidad adimensional

DefiniciónDefinición

• La correlación entre las variables aleatorias X y Y, denotada como ρxy, es, ρ ,

cov( , )( ) ( )

XYXY

X YV X V Y

σρσ σ

= =

• Además, 

( ) ( ) X YV X V Y σ σ

,

1 1XYρ− ≤ ≤ +

Interpretación de la correlaciónInterpretación de la correlación

Si l t d l di t ib ió d b bilid d• Si los puntos de la distribución de probabilidad conjunta de X y Y tienden a caer en una recta con pendiente positiva (negativa) entonces lapendiente positiva (negativa), entonces la correlación estará cerca de +1 (o de ‐1).

• Si la correlación da +1 ó ‐1 entonces los puntosSi la correlación da +1 ó  1, entonces los puntos de la distribución de probabilidad conjunta caen exactamente en una línea recta.

• Se dice que dos v.a con correlación diferente de cero están correlacionadas.

• Finalmente, si X y Y son v.a’s independientes, entonces

0σ ρ 0XY XYσ ρ= =