Dispense di elettrotecnica

8/19/2019 Dispense di elettrotecnica

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E = 1

4πε0

q

r2r̂, (2.1)

ϕ = 1

4πε0

q

r. (2.2)

Un campo ed un potenziale siff atto prende il nome di campo e di potenziale coulom-biano. Nel precedente Cap.1 abbiamo applicato i principali operatori diff erenzialialla funzione 1/r. Da essa, con banali modifiche possiamo ricavare il potenziale cou-lombiano definito in eqn. 2.2. Da quanto discusso nel precedente capitolo, possiamo

facilmente desumere che:

∇ϕ = q

4πε0

r̂

r2 = −E, (2.3)

∇2ϕ ≡ ∇ ·∇ϕ = −∇ · E = −

q

ε0δ (r) (2.4)

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26 Capitolo 2. Elettrostatica

Dove, δ (r) come è noto, è la delta di Dirac centrata nell’origine. L’espressione q δ (r)denota una carica puntiforme q centrata nell’origine. Pertanto, la precedente equa-zione (2.4) denota il legame tra una carica sorgente puntiforme e il campo risultantee rappresenta una delle equazioni dell’elettrostatica. In particolare possiamo con-cludere che, per una carica puntiforme, le equazioni che determinano le propriet àdel campo risultano:

E = −∇ϕ, (2.5)

∇ · E = q

ε0δ (r) (2.6)

La prima equazione, come noto, equivale a

∇×E = 0. (2.7)

Tale equazione, assieme alla (2.6), definisce le proprietà del campo di una cari-ca puntiforme. In modo analogo e sfruttando ancora gli strumenti sviluppati nelprecedente capitolo, possiamo riscrivere le suddette equazioni mediante relazioniintegrali. In particolare, l’integrazione su una superficie S arbitraria della (2.7),conduce, attraverso il teorema di Stokes alla seguente equazione:

∂ S

E · t̂ ds = 0, (2.8)

mentre, l’integrazione della (2.6) in un volume Ω arbitrario e l’impiego del Teoremadi Gauss, fornisce l’equazione:

⊂⊃

∂ Ω

E · n̂ dS =

0 se q non è contenuta in Ω,qε0

se q è contenuta in Ω. (2.9)

Prima di proseguire oltre, tuttavia, bisogna spendere qualche parola riepilogando ladefinizione di distribuzione continua di carica ed introducendo le principali distribu-zioni singolari, indispensabili nella determinazione di alcuni notevoli configurazionidi campo elettrostatico.

2.2 Le sorgenti del campo elettrostaticoDistribuzione puntuale di carica

Discutiamo preliminarmente come descrivere una carica distribuita con continuità inun volume. A tale scopo si consideri un volume Ω entro cui è distribuita una carica.


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2.2. Le sorgenti del campo elettrostatico 27

Assumiamo che la carica contenuta in una porzione elementare ∆Ω sia almeno dellostesso ordine del volume elementare. Ciò garantisce che se adesso consideriamo illimite

lim∆Ω→0

∆Q

∆Ω.

esso ha senso e converge sicuramente verso un limite finito o nullo.6 L’operazionedi limite suddetta definisce una funzione regolare ρ(r) del punto in cui degenera ilvolume∆Ω. Tale funzione regolare prende il nome di densità volumetrica e permettedi determinare la carica contenuta in un volume qualunque.

La funzione densità definita precedentemente permette di descrivere distribuzioni

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stessa è collocata (r = 0). Consideriamo allora una carica unitaria Q = 1 distribuitauniformemente in un volume sferico ∆Ω di raggio ∆r. La densit̀a di carica risultaρ(r) = ∆Q/∆Ω. La carica totale nel volume è, per definizione,

Q =

∆Ω

ρ(r)dΩ

Se adesso costruiamo una successione di volumi ∆Ωn = ∆Ω

n lasciando la carica Q

invariata nel nuovo volume, otterremo la successione

ρn(r) = nρ(r).

rappresentata in Fig. 2.1. È evidente che che al crescere di n la successione non converge . Al contrario il suo integrale nel volume ∆Ωn è uguale alla carica contenutanel volume e pari a 1:

∆Ωn

ρn(r)dΩ = 1, se 0 ∈ ∆Ωn.

La successione ρn(r) “converge”7 definendo una particolare “funzione”8 identica-

mente nulla eccetto nel punto r = 0, mentre il suo integrale su qualunque volume

che contenga tale punto è diverso da zero e pari alla carica contenuta nel volume.Tale particolare “funzione”, che abbiamo già discusso nel capitolo precedente, è notacome distribuzione di Dirac e si indica con δ (r). Tra le proprietà della distribuzionedi Dirac, è utile ricordare la seguente, nota come proprietà di campionamento:

Ω

F (r)δ (r− r0)dΩ = F (r0), se r0 ∈ Ω.

Distribuzione superficiale di carica

Anzitutto limitiamoci a descrivere una carica distribuita con densità ρ in uno stratopiano come rappresentato nella Fig. 2.2. Adesso selezioniamo una porzione di talestrato di volume dΩ = dxdydz. Gli spigoli del parallelepipedo hanno coordinate

7Si osservi che non converge la successione ρn(r) ma i suoi integrali. Tale convergenza è unaconvergenza meno “stringente” della classica convergenza puntuale e permette di costruire funzioni,altrimenti non definibili, come nel caso della successione in esame.

8In realtà è improprio parlare di funzione, ma di distribuzione .


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2.2. Le sorgenti del campo elettrostatico 29

Figura 2.2. Distribuzione continua di cariche in uno strato piano. La densità diventa singolare quando lo spessore viene ridotto a zero mantenendo la carica nel volume invariata.

x = ±a/2, y = ±b/2 e z = ±c/2. La carica totale contenuta nel volume risultaessere:

q =

Ω

ρdΩ =

a/2 −a/2

dx

b/2 −b/2

dy

c/2 −c/2

ρ(x,y,z)dz. (2.10)

Se adesso assumiamo ρ(x,y,z) = σ(x, y) p(z) e ricordiamo che lo strato vieneschiacciato in maniera continua nella direzione z , l’integrale diventa:

q = limc→0

a/2 −a/2

dx

b/2 −b/2

dy

c/2 −c/2

ρ(x,y,z)dz (2.11)

=

a/2 −a/2

dx

b/2 −b/2

σ(x, y)dy

lim

c→0

c/2 −c/2

p(z)dz

. (2.12)

Dovendo l’ultimo integrale rimanere finito e non nullo per c → 0, allora la funzionedefinisce una delta di Dirac, cioé p(z) = δ (z). Il processo di contrazione trasformacos̀ı lo strato piano in un ‘foglio’ piano di dimensioni ab. La distribuzione dellacarica sul foglio è descritta dalla funzione regolare σ. La distribuzione volumetrica,

al contrario è singolare ed assume la forma seguente:

ρ(x,y,z) = σ(x, y)δ (z). (2.13)

È abbastanza naturale estendere tali risultato ad una superficie regolare qualunqueutilizzando una adeguato sistema di coordinate curvilinee. La distribuzione volu-


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Figura 2.3. Lo strato piano dopo la contrazione della dimensione z dege-nera in una porzione di piano (foglio) di dimensioni ab. Su tale foglio ritroviamo

distribuita la carica con densità σ.

metrica fuori dal piano è evidentemente uguale a zero, non esistendo carica al difuori del piano. Non appena attraversiamo il piano rileveremo una carica finita∆q = σ∆x∆y concentrata in un volume nullo. Tale circostanza come sappiamoviene descritta formalmente con la funzione δ .

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Figura 2.4. Distribuzione continua in un parallelepipedo ‘lungo’ che viene fatto contrarre lungo le direzioni x e y lasciando la carica costante.

Distribuzione lineare di carica

Una distribuzione altrettanto interessante è quella che descriveremo nel seguito.Si consideri a tal proposito una carica distribuita nel parallelepipedo di volumeΩ = abc, come descritto in Fig. 2.4. I questo caso assumiamo che la funzione


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2.3. Le equazioni fondamentali dell’elettrostatica 31

densità sia ρ(x,y,z) = f (x)g(y)λ(z). In maniera analoga, la carica totale contenutanel volume risulta:

q =

lim

a→0

a/2 −a/2

f (x)dx

lim

b→0

b/2 −b/2

g(x)dy

c/2 −c/2

λ(z)dz. (2.14)

Con considerazioni analoghe concludiamo che le funzioni f e g definiscono unafunzione di Dirac e pertanto:

ρ(x,y,z) = λ(z)δ (x)δ (y). (2.15)

Anche in questo caso bisogna evidenziare che la discussione può essere generalizzataad una distribuzione lineare qualunque.

2.3 Le equazioni fondamentali dell’elettrostatica

Le equazioni (2.8) e (2.9) definiscono le proprietà del campo elettrostatico in formaintegrale. Le equazioni appena trovate rappresentano in forma diversa la definizionedella proprietà del campo coulombiano e, a rigori, non quelle del campo generatoda una qualunque distribuzione di cariche. Sebbene sia possibile, con l’ausilio dellasovrapposizione degli eff etti, estendere le equazioni appena trovate al caso genera-

le, preferiamo eff ettuare un ‘salto’ dal punto di vista logico, definendo assiomati-camente le leggi generali del campo elettrostatico. Tale approccio è ragionevole,avendo come obiettivo quello di fornire adeguati strumenti operativi per l’analisidelle configurazioni elettromagnetiche stazionarie e quasi-stazionarie, e permetteràdi focalizzare la nostra attenzione sulle leggi generali e sugli strumenti di analisiconnessi, ricavando molti dei risultati elementari già noti come casi particolari.

Conservatività del campo elettrostatico: Assegnata una linea chiusaarbitraria γ la circuitazione del campo elettrico E è sempre nulla:

γ

E · t̂ ds = 0, (2.16)

Come abbiamo avuto modo di vedere nel capitolo 1 tale vincolo sul campo imponeche esso discenda da un potenziale scalare. La seguente legge consente di ‘connet-tere’ il campo alle sorgenti, nel modo seguente.


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Legge di Gauss Assegnata una distribuzione continua di cariche ρ(Q),Q ∈ Ω e Ω il volume in cui la carica è contenuta, il flusso del campoelettrostatico E attraverso la sua frontiera ∂ Ω è uguale alla carica contenuta

nel volume Ω: ⊂⊃

∂ Ω

E · n̂ dS = 1

ε0

Ω

ρ dΩ. (2.17)

Tali leggi permettono di definire una coppia di equazioni integrali la cui soluzio-ne permette la determinazione del campo stesso. Come vedremo, la manipolazio-ne di tali equazioni è immediata solo quando le configurazioni delle sorgenti sonoaltamente simmetriche, ovvero quando il campo dipende da una sola variabile9

Come noto ε0 = 8.86× 10−12 [F/m] è la costante dielettrica nel vuoto. L’in-

tegrale al secondo membro dell’eq. (2.17) rappresenta la carica totale contenuta nel volume Ω. Scopo dell’elettrostatica è quello di determinare il campo elettricoE a partire dalla conoscenza delle sue sorgenti. Analogamente a quanto fatto inprecedenza, è facile riscrivere le equazioni (2.16),(2.17) in forma locale sfruttando iteoremi di Stokes e Gauss, rispettivamente.10

∇×E = 0; (2.18)

∇ · E = − ρ

ε0. (2.19)

Tali equazioni permetteranno, come vedremo, dopo una semplice manipolazione didefinire l’equazione fondamentale dell’elettrostatica. Essa, coinvolgendo il potenzia-le del campo, garantisce in maniera naturale maggiore semplicità computazionale.

2.3.1 Alcuni esempi notevoli

Vale la pena riepilogare le procedure generali che ci consentono di determinare ilcampo elettrostatico di distribuzioni notevoli di carica.

9Tale configurazione si indica comunemente come configurazione mono-dimensionale o 1-D.10Ciò, ovviamente, nella ipotesi in cui il campo elettrostatico sia sufficientemente regolare.


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2.4. Formulazione Generale dell’Elettrostatica e Teorema di Unicit̀a 33

Campo di una carica puntiforme e di una sfera

Campo di uno strato piano

Campo di un filo rettilineo di carica e di un cilindro

2.4 Formulazione Generale dell’Elettrostatica eTeorema di Unicità

Le equazioni dell’elettrostatica, nella forma sia integrale che locale, coinvolgono

naturalmente il campo elettrico. Esso, dal punto di vista formale, rappresenta unafunzione vettoriale che associa ad ogni punto dello spazio un vettore.11 Ciò rende ingenerale più complessa la risoluzione delle equazioni di campo. Abbiamo visto infattiche solo in condizioni estremamente semplificate (problemi mono-dimensionali) èpossibile risalire facilmente alla soluzione. Quando i problemi si complicano, cioéquando la configurazione elettrostatica non presenta simmetrie , la formulazione intermini di campo presenta in generale maggiori difficoltà. Per questa ragione sipreferisce trasformare le equazioni con l’aiuto del potenziale elettrostatico da cuideriva, come è noto, il campo stesso.In particolare, l’eq. (2.18) implica E = −∇ϕ. Essa, sostituita nella (2.19) conducea

∇ · E ≡ ∇ · (−∇ϕ) = ρ

ε0; (2.20)

∇2ϕ = −

ρ

ε0. (2.21)

L’equazione 2.21 rappresenta una fondamentale equazione della fisica-matematica,nota come equazione di Poisson . Essa è una equazione alle derivate parziali , inten-dendo con ciò una equazione in cui l’incognita si trova sotto il segno di derivataparziale. Esistono diverse tecniche per la sua soluzione sia numeriche che analiti-che di cui ci occuperemo più avanti. Va aggiunto che quando il secondo membro ènullo12 l’equazione si semplifica in:

∇2ϕ = 0, (2.22)

nota come equazione di Laplace . Tali equazioni coinvolgono prodotti dell’operatore‘nabla’ che definisce un nuovo operatore chiamato laplaciano. In coordinate carte-siane, l’operatore si ottiene da una moltiplicazione scalare dell’operatore gradiente

11Formalmente: E : R3 → R3.12In elettrostatica ciò corrisponde all’assenza di cariche nel punto considerato, i.e. ρ = 0.


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(eq.1.19) per se stesso:

∇ ·∇ =

∂

∂ x x̂ +

∂

∂ y ŷ +

∂

∂ z ẑ

·

∂

∂ x x̂ +

∂

∂ y ŷ +

∂

∂ z ẑ

(2.23)

∇2 =

∂ 2

∂ x2 +

∂ 2

∂ y2 +

∂ 2

∂ z2. (2.24)

Vale la pena provare ad illustrare la procedura corretta per ricavare il laplacianoin coordinate cilindriche. Ricordiamo a tal proposito che nei sistemi di coordinate

curvilinee non possiamo eff ettuare formalmente l’operazione di prodotto scalaresui vettori simbolici, cos̀ı come accade in coordinate cartesiane. Si ricordi perciòl’espressione di operatore divergenza in coordinate cilindriche in 1.50, che riportiamoper comodità:

(∇·) F = 1

r

∂

∂ rrF r +

1

r

∂ F ϕ∂ϕ

+ ∂ F z∂ z

. (2.25)

che opera sulle diverse componenti dell’operando ‘nabla’ mostrato in (1.25):

∇(r, θ, z) = ∂

∂ rr̂ +

1

r

∂

∂θθ̂ +

∂

∂ zẑ. (2.26)

È evidente che il ruolo delle componenti del vettore operando F è assunto dallecomponenti del vettore simbolico ∇ e, pertanto:

∇2≡ (∇·)∇ =

1

r

∂

∂ rr

∂

∂ r

+

1

r

∂

∂ϕ

1

r

∂

∂ϕ

+ ∂

∂ z

∂

∂ z, (2.27)

= 1

r

∂

∂ r

r ∂

∂ r

+

1

r2∂ 2

∂ϕ2 +

∂ 2

∂ z2. (2.28)

2.4.1 Soluzione dell’equazione di Poisson nello spazio libero

A questo punto ci stiamo chiedendo come trovare la soluzione dell’equazione diPoisson, ma, in realtà ne conosciamo già una soluzione in condizioni abbastanzagenerali. A tal fine si consideri una distribuzione di carica in un volume Ω finito,

come rappresentato in Fig. 2.5. Si consideri nel volume una porzione elementare dicarica dq = ρ(Q)dΩ nel punto Q del volume dΩ. Tale porzione elementare di caricaè in realtà una carica puntiforme e il suo potenziale nel punto P é coulombiano:

dϕ(P ) = 1

4πε0

dq (Q)

r , (2.29)


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Figura 2.5. Distribuzione continua di cariche al finito

essendo r la distanza tra P e Q. Il potenziale della distribuzione si determina sem-plicemente per sovrapposizione degli eff etti e conduce, come è noto, all’equazione:

ϕ(P ) = 1

4πε0

Ω

ρ(Q)

r dΩ. (2.30)

Si osservi che il punto Q individua la carica all’interno della distribuzione e pertantoè sempre contenuto nel volume Ω.Se adesso sostituiamo l’eq. (2.30) nell’eq. di Poisson in (2.21) otteniamo:

∇2ϕ(P ) =

1

4πε0

Ω

ρ(Q)∇21

rdΩ = (2.31)

= 1

4πε0

Ω

ρ(Q) [−4πδ (P −Q)] dΩ = (2.32)

= −ρ(P )

ε0. (2.33)

Si osservi che nella derivazione della (2.33)è stata sfruttata la proprietà del lapla-ciano di 1/r. Infine va anche notato che ∇2 opera solo su 1/r che dipende dallavariabile P mentre ρ dipende solo dalla variabile Q. Si riconosce subito che il po-tenziale (2.30) è la soluzione dell’equazione di Poisson riferita ad una qualunquedistribuzione di carica estesa ad una regione finita dello spazio. Infine, vale la penaosservare che il potenziale suddetto soddisfa anche alla condizione di regolarit à al-


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l’infinito, cioè tende a zero all’infinito.

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Figura 2.6. Dominio in cui l’equazione di Laplace-Poisson è definita

2.4.2 Soluzione dell’equazione di Poisson in un dominio finito

Come trattare il problema fondamentale dell’elettrostatica se il dominio in cui de-terminare il campo non è l’intero spazio ma un suo sottoinsieme finito? Tale condi-zione è molto più realistica dal momento che la conoscenza delle sorgenti è semprelimitata ad una regione finita e non a tutto lo spazio. Tale limitazione apre unafondamentale domanda:

Quali sono le condizioni che ci permettono di determinare il campo in una

regione finita Ω conoscendo ivi le sorgenti?

Una risposta soddisfacente a tale questione viene off erta dalla formulazione delseguente problema, noto come problema di valori al contorno per l’equazione di Laplace/Poisson .Si consideri a tal proposito una regione finita Ω al cui interno è assegnata una caricacon densità ρ, qualsiasi, come illustrato in Fig. 2.7. Vedremo tra poco che lo ‘sforzo’richiesto consiste nello specificare il valore del potenziale incognito sulla frontierache in qualche modo ‘tiene in conto’ gli eff etti della carica esterna al volume. Inparticolare, mostreremo che la determinazione univoca di un campo elettrostatico


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in un volume Ω richiede la soluzione del seguente problema:

∇2ϕ = −

ρ

ε0, P ∈ Ω, (2.34)

[ϕ]Q∈∂ Ω1 = f (Q), (2.35)∂ϕ

∂ n

Q∈∂ Ω2

= g(Q), (2.36)

ϕ ∈ C 0(Ω̄), (2.37)

∂ Ω1 ∪ ∂ Ω2 = ∂ Ω. (2.38)

In altri termini che la funzione incognita ϕ soddisfi simultaneamente l’equazionedi Laplace/Poisson e la condizione sulla frontiera del dominio. La condizione sullafunzione potenziale sulla frontiera è nota come condizione di Dirichelet , mentrequella sulla derivata normale di ϕ come condizione di Neumann . Il problema inesame, imponendole tutte e due su parti diverse della frontiera definisce un problemadi tipo misto. La derivazione del Teorema di Unicità per il problema suddettorichiede in via preliminare la discussione di alcuni fondamentali strumenti di analisi,noti come Identità di Green .

Prima identità di Green

Per illustrare il teorema di Green conviene considerare il teorema di Gaussper un campo vettoriale assegnato, F nel dominio13(6.7):

Ω

∇ · FdΩ =

⊂⊃

∂ Ω

F · n̂ (2.39)

Assumendo F = φ∇ψ, riscriviamo l’operatore divergenza come segue:

∇ · (φ∇ψ) = φ∇2ψ + ∇φ · ∇ψ, (2.40)

sostituendo adesso nell’equazione (2.39) si ricava l’equazione:

Ω

φ∇

2ψ + ∇φ · ∇ψ

dΩ =

⊂⊃

∂ Ω

φ∂ψ

∂ n

dS, (2.41)

nota come prima identit̀a di Green . Essa verrà sfruttata nel seguito per

mostrare l’unicità del problema rappresentato dalle equazioni (2.34)-(2.35).

13Si osservi che il teorema derivato nel capitolo precedente può facilmente generalizzarsi adun dominio Ω ⊂ Rn, la cui frontiera è un dominio chiuso di dimensione n − 1, cioé in simboli∂ Ω ⊂ Rn−1, con n ≥ 2.


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Seconda identità di Green

Se adesso scambiamo il ruolo delle funzioni φ e ψ, si ottiene l’identità nellaforma seguente:

Ω

ψ∇

2φ + ∇ψ · ∇φ

dΩ =

⊂⊃

∂ Ω

ψ∂φ

∂ n

dS. (2.42)

Sottraendo membro a membro le equazioni (2.41) e (2.42) otteniamo la se-guente seconda identità di Green , nota anche come Teorema di Green :

Ω

φ∇

2ψ − ψ∇

2φdΩ =

⊂⊃

∂ Ω

φ∂ψ∂ n − ψ∂φ

∂ n

dS. (2.43)

Adesso proviamo a dimostrare l’aff ermazione fatta all’inizio del paragrafo con unminimo di formalismo. Per comodità riscriveremo le equazioni che definiscono ilproblema aggiungendo anche le ipotesi di regolarità della funzione incognita. Infi-ne considereremo uno specifico problema in cui su parte della frontiera si assumeuna condizione di Dirichelet e sulla rimanente una condizione di Neumann. Taleproblema per l’equazione di Laplace-Poisson si dice misto.

Unicità per l’equazione di Laplace Poisson

Dato il problema:

∇2φ =

ρ

ε0, inΩ, (2.44)

[φ(P )]P ∈∂ Ω1

= F (x, y), (2.45)∂φ(P )

∂ n

P ∈∂ Ω2

= G(x, y), (2.46)

dove ∂ Ω = ∂ Ω1 ∪ ∂ Ω2. Esiste una ed una sola funzione φ, definita in un

dominio dello spazio Ω e continua fin sulla frontiera , cioé φ ∈ C 0 Ω̄

, dove

Ω̄ = Ω ∪ ∂ Ω, che è soluzione del problema (2.44) -(2.46).

Dimostriamo il teorema ipotizzando per assurdo che esistano due soluzioni distinte,definite nel dominio Ω, che indichiamo come φ1(x, y) e φ2(x, y). Allora la funzioneu = φ1 − φ2 soddisfa al seguente problema omogeneo:

∇2 u = 0, inΩ, (2.47)

[u(P )]P ∈∂ Ω1 = 0, (2.48)∂ u(P )

∂ n

P ∈∂ Ω2

= 0, (2.49)


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Sfruttando adesso la prima identità di Green (2.41), per la funzione w = u∇u,risulta:

Ω

u∇2u + |∇u|2

dΩ =

⊂⊃

∂ Ω

u∂ u

∂ n

dS. (2.50)

Adesso, il primo addendo nell’integrale al primo membro si annulla, in virt ùdella (2.47), mentre il secondo membro dell’equazione è identicamente nullo dalmomento che in qualunque parte della frontiera ∂ Ω si annulla u oppure ∂ u/∂ n,come imposto dalle equazioni (2.48)- (2.49). Pertanto risulta:

Ω

|∇u|2dΩ = 0, (2.51)

che impone al potenziale u di essere identicamente nullo nella dominio chiuso Ω̄.Ciò, pertanto implica che φ1 = φ2, contro l’ipotesi. Questo dimostra l’unicità dellasoluzione di un problema di Laplace-Poisson, con condizioni al contorno di miste 14.Vale la pena sottolineare che alla luce della dimostrazione fatta anche il potenziale(2.30) è l’unico potenziale elettrostatico di una distribuzione di cariche che è regolareall’infinito.

A conclusione di questo paragrafo, vale la pena di sottolineare che l’unicit àdel problema di condizioni al contorno per l’equazione di Laplace-Poisson non èverificato quando si assumono condizioni di Neumann su tutta la frontiera. Infatti,

formulando nelle stesse condizioni precedentemente definite il seguente problema:

∇2 φ =

ρ

ε0, inΩ, (2.52)

∂φ(P )

∂ n

P ∈∂ Ω

= G(x, y), (2.53)

con un identico procedimento per assurdo ricaviamo che ∇u = ∇ (φ1 − φ2) = 0 ilche non implica, a diff erenza del caso precedente in cui si imponeva u = 0 su tutta oparte della frontiera, che u si annulli all’interno del dominio. Possiamo solo conclu-dere che u = φ1−φ2 = K , con K costante arbitraria. Questo ci porta a concludereche il problema posto ammette soluzioni che diff eriscono per una costante. Tut-tavia, dal momento che il nostro interesse è rivolto alla determinazione del campo

elettrostatico, unica grandezza misurabile , tale conclusione non ha alcuna influenzafisicamente rilevante. Cos̀ı diremo che in qualunque condizione che il problema divalori al contorno per l’equazione di Laplace-Poisson ammette soluzione unica 15

14Cióe di Dirichelet su una parte della frontiera e di Neumann sulla parte rimanente.15O, equivalentemente, che il modello dell’elettrostatica è ben posto.


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2.5 Funzione di Green

Prima di introdurre la funzione di Green conviene fare riferimento all’equazione(2.43) assumendo

ψ = 1

4πε0

1

r, (2.54)

con r = |r−

r

′

| che, come è noto, è il potenziale coulombiano osservato nel puntor di una carica unitaria centrata nel punto r′. Sfruttando la proprietà espressa nelCap. 1, è facile manipolare l’equazione (2.43) come segue:

Ω

φ(r′)(−

1

ε0δ (r− r′)) −

1

4πε0

1

r∇

2φ

dΩ′ =

⊂⊃

∂ Ω

φ ∂ψ

∂ n′ − ψ

∂φ

∂ n′

dS ′(2.55)

− 1

ε0φ(r) −

Ω

1

4πε0

1

r

−ρ(r′)

ε0

dΩ′ =

⊂⊃

∂ Ω

φ ∂ψ

∂ n′ − ψ

∂φ

∂ n′

dS ′(2.56)

φ(r) − 1

4πε0

Ω

ρ(r′)

r dΩ′ =

⊂⊃

∂ Ω

φ ∂ψ

∂ n′ − ψ

∂φ

∂ n′

dS ′(2.57)

φ(r) = 1

4πε0

Ω

ρ(r′)

r dΩ′ +

1

4πε0

⊂⊃

∂ Ω

φ ∂

∂ n′1

r −

1

r

∂φ

∂ n′

dS ′.(2.58)

Si ricordi che n′ è la normale alla superficie di integrazione dS ′, mentre Ω′ individuail dominio in cui è localizzata la carica. Tale equazione rappresenta una generaliz-zazione del potenziale di una distribuzione arbitraria di cariche in un volume finito.Infine al secondo membro il potenziale sulla frontiera e la sua derivata normale nonsono indipendenti, alla luce del teorema di unicità che abbiamo dimostrato pre-cedentemente16. Finora il potenziale di una carica puntiforme è stato assunto inspazio libero. È interessante perciò chiedersi quale sia la forma del potenziale diuna carica puntiforme unitaria in presenza di condizioni al contorno assunte sullafrontiera di un volume finito.

16Essa in realtà rappresenta una equazione integrale. Cfr. J.D. Jackson, ElettrodinamicaClassica, p. 38 cit.


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2.5. Funzione di Green 41

Funzione di Green

Definiamo come funzione di Green , il potenziale soluzione del seguente pro-blema17:

∇2GD(r, r

′) = −δ (r− r′)

0(2.59)

GD(r ∈ ∂ Ω, r′) = 0. (2.60)

Se adesso utilizziamo la seconda identità di Green, (2.43), scegliendo le fun-

zioni GD e il potenziale elettrostatico soluzione del problema:

∇2ϕ(r, r′) = −

ρ(r′)

0(2.61)

ϕ(r ∈ ∂ Ω, r′) = f (r′), (2.62)

possiamo scrivere:

Ω

ϕ(r′)∇2GD −GD(r, r

′)∇2ϕdΩ

′ =

⊂⊃

∂ Ω

ϕ∂ GD

∂ n′−GD

∂ϕ

∂ n′

dS ′.

(2.63)Sfruttando adesso le equazioni (2.59)-(2.62), la (2.63) diventa:

φ(r

) = Ω

ρ(r′

)GD

(r

,r′

)dΩ′

− ε0 ⊂⊃

∂ Ω

f (r′

)

∂

∂ n′GD

(r

,r′

)dS

′

. (2.64)

Vale la pena osservare che la conoscenza della funzione di Green permette dideterminare il potenziale di qualunque distribuzione che soddisfa al problema(2.61)-(2.62). Proviamo adesso a comprendere quale sia la forma della funzionedi Green a partire dal potenziale coulombiano. Come abbiamo già verificato,il potenziale coulombiano è la soluzione del seguente problema:

∇2

1

4πε0

1

r

=

1

ε0δ (r− r′) (2.65)

limr→∞

1

4πε0

1

r = 0. (2.66)

Sottraendo membro a membro le equazioni (2.59) e (2.65) si ottiene che lafunzione diff erenza

Φ(r, r′) = GD(r, r′) −

1

4πε0

1

r (2.67)

17Abbiamo assunto in questo caso una condizione al contorno di tipo Dirichelet . Successivamentediscuteremo il caso di condizioni di Neumann sulla frontiera.


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soddisfa all’equazione di Laplace ed alla condizione al contorno:

Φ(r ∈ ∂ Ω, r′) = − 1

4πε0

1

r

r∈∂ Ω

. (2.68)

La funzione Φ in (2.67) è una funzione armonica che verifica la condizione(2.68) ed è in realtà il potenziale nella regione Ω prodotta da un insieme dicariche poste fuori dal dominio Ω che garantiscono il soddisfacimento dellacondizione al contorno (2.60). La forma più generale che assume la funzionedi Green con condizioni di Dirichelet risulta preciò data da:

GD(r, r′) = Φ(r, r′) +

1

4πε0

1

r. (2.69)

In alcuni casi particolari basta una sola carica per soddisfare alla condizioneal contorno. A tale carica si dà il nome di carica immagine . Alcuni esempi liesamineremo nel seguito.Consideriamo adesso un problema con condizioni al contorno di tipo Neu-mann, come descritto nel seguito:

∇2ϕ(r, r′) = −

ρ(r′)

0(2.70)

∂ϕ

∂ n(r ∈ ∂ Ω, r′) = g(r′), (2.71)

La scelta di una funzione di Green GN con condizioni di Neumann nulle (i.e.omogenee ) sulla frontiera, sembrerebbe la scelta naturale. Tuttavia, ad unapiù attenta analisi, risulta evidente che tale condizione risulta incompatibile con la legge di Gauss . Infatti risulta

−

⊂⊃

∂ Ω

∇GN (r, r′) · n′dS ′ =

1

ε0(2.72)

−

⊂⊃

∂ Ω

∂ GN

∂ n′(r, r′)dS ′ =

1

ε0, (2.73)

dal momento che la frontiera contiene la carica unitaria. Ciò impone che∂ GN

∂ n ̸ = 0 e perciò assumiamo ∂ GN

∂ n = 1

ε0 A, dove A è l’area della superficie

chiusa ∂ Ω. L’equazione (2.63) si riscrive pertanto come:

Ω

ϕ(r′)∇2GN −GN (r, r

′)∇2ϕdΩ

′ =

⊂⊃

∂ Ω

ϕ∂ GN

∂ n′ −GN

∂ϕ

∂ n′

dS ′,

(2.74)


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2.5. Funzione di Green 43

Imponendo il vincolo sulla derivata normale di GN otteniamo:

ϕ(r) =

Ω

ρ(r′)GN (r, r′)dΩ′ +

1

A

⊂⊃

∂ Ω

ϕ(r′)dS ′ − ε0

⊂⊃

∂ Ω

g(r′)GN (r, r′)dS ′.

(2.75)

Si osservi che nell’equazione precedente il potenziale incognito non si può

esprimere come funzione esplicita di tutti gli altri dati del problema, dal mo-

mento che ϕ compare nel secondo membro dell’equazione. Fortunatamente,

tale termine (il valor medio di ϕ sulla superficie ∂ Ω) è una costante non nota a priori . Se ricordiamo che il nostro interesse è orientato al calcolo del camp o

elettrostatico, tale costante è del tutto ininfluente 18.

! # $

%&'&

( )'(

*

!

!++ !+

Figura 2.7. Piano indefinito a potenziale nullo in presenta di una carica puntiforme +q . La carica posta simmetricamente al piano è la carica immagine.

18Si potrebbe erroneamente pensare che essendo tale costante del tutto ininfluente ai fini del

calcolo del campo, si sarebbe potuto assumere ∂ GN ∂ n

= 0, eliminando cos̀ı a priori il valor mediodi ϕ. Scegliere in questo modo la condizione al contorno su GN modifica tuttavia la funzione GN e conduce ad un campo elettrico che non soddisfa alla legge di Gauss!


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2.5.1 Problemi di valori al contorno mono-dimensionali

Funzione di Green per il piano

Proviamo adesso, come esempio, a determinare la funzione di Green per un piano.Ciò equivale a trovare il potenziale di una carica puntiforme unitaria in prossimià diun piano a potenziale nullo (GD = 0 sul piano). Come abbiamo visto, la funzionedi Green assume la seguente forma:

GD(r, r′) = Φ(r, r′) +

1

4πε0

1

r,

ove Φ(r, r′) è un potenziale armonico nella regione in cui è presente la carica pun-tiforme unitaria. Ciò comporta che esso può intendersi come il potenziale generatoda una distribuzione di cariche poste al di fuori della regione di interesse Ω in cuila carica puntiforme q è collocata, come rappresentato nella Fig.2.5.

Con riferimento al sistema di coordinate illustrato in figura, è semplice valutareil potenziale delle due cariche. In particolare:

ϕ′(r) = 1

4πε0

q

|r− r′| =

1

4πε0

q (x −D)2 + (y − a)2 + z2

, (2.76)

ϕ′′(r) = 1

4πε0

−q

|r− r′′| =

1

4πε0

−q (x + D)2 + (y − a)2 + z2

. (2.77)

La somma delle due funzioni ϕ′(r) + ϕ′′(r) è identicamente nulla se x = 0, epertanto rappresenta la funzione di Green per il piano, una volta assunto q = 1.

• potenziale esterno ad una sfera di carica σ ;

• potenziale tra due strati piani di carica ±σ

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