Embed Size (px)
Citation preview
DISKRETNA MATEMATIKA- PREDAVANJE -
Jovanka Pantovic
March 3, 2020 1 / 27
Klasicni kombinatorni objekti
1 varijacije sa ponavljanjem2 varijacije bez ponavljanja3 permutacije bez ponavljanja4 permutacije sa ponavljanjem5 kombinacije bez ponavljanja6 kombinacije sa ponavljanjem
March 3, 2020 2 / 27
Uredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
TeoremaNeka su A i B skupovi sa osobinom |A| = m ≥ 1 i |B| = n ≥ 1. Brojsvih preslikavanja f : A→ B jednak je nm.
|B × . . .×B| = |B| · . . . · |B| = nm
Broj varijacija klase m (m-permutacija) sa ponavljanjem skupa od nelemenata:
V (n,m) = nm.
broj reci dužine m nad azbukom od n slovabroj varijacija sa ponavljanjem reda m skupa od n elemenata
March 3, 2020 3 / 27
ZadatakAko je A = {a1, . . . , an}, n ≥ 2, onda je |P (A)| = 2n.
Rešenje: Posmatracemo preslikavanje
ϕ : P(A)→ {f : A→ {0, 1}} : X 7→ fX ,
gde je fX karakteristicna funkcija skupa X definisana na sledeci nacin:
fX(x) =
{1 , x ∈ X0 , x 6∈ X
.
ϕ je bijektivno preslikavanje ⇒ |P (A)| = 2n.
March 3, 2020 4 / 27
Uredeni izbori elemenata skupa bez ponavljanja
TeoremaNeka su A i B skupovi sa osobinom |A| = m, |B| = n i n ≥ m ≥ 1. Broj1− 1 preslikavanja f : A→ B jednak je
n(n− 1) . . . (n−m+ 1).
Broj varijacija klase m (m-permutacija) od n elemenata:
V (n,m) = n(n− 1) . . . (n−m+ 1) =n!
(n−m)!.
broj reci dužine m, bez ponavljanja slova, nad azbukom od n slovabroj varijacija bez ponavljanja reda m skupa od n elemenata
March 3, 2020 5 / 27
ZadatakKoliko ima petocifrenih brojeva
(i) cije su sve cifre razlicite?(ii) cije su svake dve susedne cifre razlicite?
(i) 9 · 9 · 8 · 7 · 6 = 27216
(ii) 9 · 9 · 9 · 9 · 9 = 59049.
March 3, 2020 6 / 27
Broj permutacija skupa
Definicija
Bijektivno preslikavanje konacnog skupa A u samog sebe jepermutacija skupa A.
Broj permutacija skupa A jednak je
P (n) = n(n− 1) · . . . · 2 · 1 = n!
March 3, 2020 7 / 27
Broj permutacija multiskupa ("sa ponavljanjem")
M = {{a1, . . . , a1︸ ︷︷ ︸m1
, . . . , al, . . . , al︸ ︷︷ ︸ml
}}
TeoremaBroj permutacija multiskupa M jednak je
P (m1,m2, . . . ,mn) =(m1 + . . .+ml)!
m1! · . . . ·ml!
March 3, 2020 8 / 27
ZadatakKoliko razlicitih reci dužine 15 se može napisati od slova reci
A N A V O L I M I L O V A N A?
15!
4!2!2!2!2!2!
March 3, 2020 9 / 27
Neuredeni izbori elemenata bez ponavljanja
|A| = n ≥ 0(Am
)- skup svih podskupova skupa A koji imaju m ≥ 0 elemenata
TeoremaBroj m-kombinacija bez ponavljanja na skupu A jednak je
C(n,m) =
(|A|m
).
Za 0 < m ≤ n :
m! ·∣∣∣∣(Am
)∣∣∣∣ = n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1)
∣∣∣∣(Am)∣∣∣∣ = n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1)
m!=
(n
m
).
March 3, 2020 10 / 27
Neuredeni izbori elemenata bez ponavljanja
|A| = n ≥ 0# razlicitih izbora od m elemenata iz skupa od n elemenata# m-toclanih podskupova skupa od n elemenata
TeoremaBroj m-kombinacija bez ponavljanja na skupu A jednak je
C(n,m) =
(|A|m
).
Za 0 < m ≤ n :
m! ·∣∣∣∣(Am
)∣∣∣∣ = n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1)
∣∣∣∣(Am)∣∣∣∣ = n · (n− 1) · . . . · (n−m+ 1)
m!=
(n
m
).
March 3, 2020 11 / 27
TeoremaNeka je n = m1 + . . .+ml. Tada je
P (m1, . . . ,ml) = C(n,m1) · C(n−m1,m2) · . . . · C(ml,ml).
March 3, 2020 12 / 27
Neuredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
Neka jeA = {a1, . . . , an}
# razlicitih izbora od m elemenata iz A, sa ponavljanjem# m-toclanih podskupova multiskupa M = [a1, . . . , an]∞,...,∞
{{a1, a2, a2, a2, . . . , an, an}}︸ ︷︷ ︸m elemenata
7→ •︸︷︷︸a1
| • • •︸︷︷︸a2
| . . . | ••︸︷︷︸an
TeoremaBroj m-kombinacija sa ponavljanjem skupa od n elemenata jednak je
C(n,m) = C(m+ (n− 1), n− 1)
C(n,m) = C(m+ (n− 1),m)
C(n,m) = P (n− 1,m).
March 3, 2020 13 / 27
Neuredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
Neka jeA = {a1, . . . , an}
# razlicitih izbora od m elemenata iz A, sa ponavljanjem# m-toclanih podskupova multiskupa M = [a1, . . . , an]∞,...,∞
{{a1, a2, a2, a2, . . . , an, an}}︸ ︷︷ ︸m elemenata
7→ •︸︷︷︸a1
| • • •︸︷︷︸a2
| . . . | ••︸︷︷︸an
TeoremaBroj m-kombinacija sa ponavljanjem skupa od n elemenata jednak je
C(n,m) = C(m+ (n− 1), n− 1)
C(n,m) = C(m+ (n− 1),m)
C(n,m) = P (n− 1,m).
March 3, 2020 13 / 27
Neuredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
Neka jeA = {a1, . . . , an}
# razlicitih izbora od m elemenata iz A, sa ponavljanjem# m-toclanih podskupova multiskupa M = [a1, . . . , an]∞,...,∞
{{a1, a2, a2, a2, . . . , an, an}}︸ ︷︷ ︸m elemenata
7→ •︸︷︷︸a1
| • • •︸︷︷︸a2
| . . . | ••︸︷︷︸an
TeoremaBroj m-kombinacija sa ponavljanjem skupa od n elemenata jednak je
C(n,m) = C(m+ (n− 1), n− 1)
C(n,m) = C(m+ (n− 1),m)
C(n,m) = P (n− 1,m).
March 3, 2020 13 / 27
Neuredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
Neka jeA = {a1, . . . , an}
# razlicitih izbora od m elemenata iz A, sa ponavljanjem# m-toclanih podskupova multiskupa M = [a1, . . . , an]∞,...,∞
{{a1, a2, a2, a2, . . . , an, an}}︸ ︷︷ ︸m elemenata
7→ •︸︷︷︸a1
| • • •︸︷︷︸a2
| . . . | ••︸︷︷︸an
TeoremaBroj m-kombinacija sa ponavljanjem skupa od n elemenata jednak je
C(n,m) = C(m+ (n− 1), n− 1)
C(n,m) = C(m+ (n− 1),m)
C(n,m) = P (n− 1,m).
March 3, 2020 13 / 27
Neuredeni izbori elemenata sa ponavljanjem
Neka jeA = {a1, . . . , an}
# razlicitih izbora od m elemenata iz A, sa ponavljanjem# m-toclanih podskupova multiskupa M = [a1, . . . , an]∞,...,∞
{{a1, a2, a2, a2, . . . , an, an}}︸ ︷︷ ︸m elemenata
7→ •︸︷︷︸a1
| • • •︸︷︷︸a2
| . . . | ••︸︷︷︸an
TeoremaBroj m-kombinacija sa ponavljanjem skupa od n elemenata jednak je
C(n,m) = C(m+ (n− 1), n− 1)
C(n,m) = C(m+ (n− 1),m)
C(n,m) = P (n− 1,m).
March 3, 2020 13 / 27
ZadatakKoliko se izbora od 8 elemenata može napisati od slova azbukeA = {a, b, c, d, e}, ako se elementi mogu ponavljati?
{{a, a, a, b, b, c, d, e}}︸ ︷︷ ︸8 elemenata
7→ 000︸︷︷︸a
1 00︸︷︷︸b
1 0︸︷︷︸c
1 0︸︷︷︸d
1 0︸︷︷︸e
.
(8 + 5− 1
8
)=
(8 + 5− 1
5− 1
)=
(12
4
)= 495.
March 3, 2020 14 / 27
ZadatakKoliko se izbora od 8 elemenata može napisati od slova azbukeA = {a, b, c, d, e}, ako se elementi mogu ponavljati?
{{a, a, a, b, b, c, d, e}}︸ ︷︷ ︸8 elemenata
7→ 000︸︷︷︸a
1 00︸︷︷︸b
1 0︸︷︷︸c
1 0︸︷︷︸d
1 0︸︷︷︸e
.
(8 + 5− 1
8
)=
(8 + 5− 1
5− 1
)=
(12
4
)= 495.
March 3, 2020 14 / 27
Celobrojna rešenja linearne jednacine
ZadatakNeka su n i m prirodni brojevi. Koliko rešenja ima jednacina
x1 + x2 + . . .+ xn = m
nad skupom nenegativnih celih brojeva?
11 . . . 1︸ ︷︷ ︸x1
0 . . . 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸xn
{(x1, . . . , xn) ∈ Nn0 : x1 + . . .+ xn = m}↓
{(a1, . . . , am+n−1) ∈ {0, 1}m+n−1 : a1 + . . .+ am+n−1 = m}
March 3, 2020 15 / 27
Celobrojna rešenja linearne jednacine
ZadatakNeka su n i m prirodni brojevi. Koliko rešenja ima jednacina
x1 + x2 + . . .+ xn = m
nad skupom nenegativnih celih brojeva?
11 . . . 1︸ ︷︷ ︸x1
0 . . . 0 11 . . . 1︸ ︷︷ ︸xn
{(x1, . . . , xn) ∈ Nn0 : x1 + . . .+ xn = m}↓
{(a1, . . . , am+n−1) ∈ {0, 1}m+n−1 : a1 + . . .+ am+n−1 = m}
March 3, 2020 15 / 27
Celobrojna rešenja linearne jednacine
ZadatakNeka su n i m prirodni brojevi. Koliko rešenja ima jednacina
x1 + x2 + . . .+ xn = m
nad skupom nenegativnih celih brojeva?
(n+m− 1
n− 1
)=
(n+m− 1
m
)
March 3, 2020 16 / 27
Celobrojna rešenja linearne jednacine
ZadatakNeka su n i m prirodni brojevi. Koliko rešenja ima jednacina
x1 + x2 + . . .+ xn = m
nad skupom nenegativnih celih brojeva?
(n+m− 1
n− 1
)=
(n+m− 1
m
)
March 3, 2020 16 / 27
ZadatakRešiti jednacinu
x1 + x2 + x3 = 8
nad skupom nenegativnih celih brojeva.
(0, 0, 8) 7→ 0011111111 (0, 8, 0) 7→ 0111111110(8, 0, 0) 7→ 1111111100 (0, 1, 7) 7→ 0101111111
. . . . . . . . . . . .
Broj permutacija multiskupa {{0, 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1}} jednak je:(8 + 3− 1
3− 1
)=
(10
2
)= 45.
March 3, 2020 17 / 27
1 Na koliko se nacina može ubaciti 16 kuglica u 4 kutije koje suoznacene brojevima 1,2,3,4 tako da
1.1. u svakoj kutiji bude bar po jedna kuglica
2.2. ne budu sve kuglice ubacene u jednu kutiju2 Odrediti broj celobrojnih rešenja jednacine
x1 + x2 + x3 + x4 = 11
ako je x1 ≥ 3 i x2 ≥ 4.
March 3, 2020 18 / 27
1 Na koliko se nacina može ubaciti 16 kuglica u 4 kutije koje suoznacene brojevima 1,2,3,4 tako da
1.1. u svakoj kutiji bude bar po jedna kuglica2.2. ne budu sve kuglice ubacene u jednu kutiju
2 Odrediti broj celobrojnih rešenja jednacine
x1 + x2 + x3 + x4 = 11
ako je x1 ≥ 3 i x2 ≥ 4.
March 3, 2020 18 / 27
1 Na koliko se nacina može ubaciti 16 kuglica u 4 kutije koje suoznacene brojevima 1,2,3,4 tako da
1.1. u svakoj kutiji bude bar po jedna kuglica2.2. ne budu sve kuglice ubacene u jednu kutiju
2 Odrediti broj celobrojnih rešenja jednacine
x1 + x2 + x3 + x4 = 11
ako je x1 ≥ 3 i x2 ≥ 4.
March 3, 2020 18 / 27
Binomni koeficijenti i binomna formula
Neka je 0 ≤ m ≤ n.Binomni koeficijent:(
n
0
)= 1
(n
m
)=
n(n− 1) . . . (n−m+ 1)
m(m− 1) . . . 2 · 1,m > 0
Osobine:(nm
)= n!
m!(n−m)!(nm
)=(
nn−m
)
March 3, 2020 19 / 27
Paskalov trougao:(nn
)=(n0
)= 1(
nm
)=(n−1m
)+(n−1m−1
), 0 < m < n
(00
)(10
) (11
)(20
) (21
)+(22
)(30
) (31
) (32
) (33
). . .
n = 0
n = 1
n = 2
n = 3
March 3, 2020 20 / 27
Teorema (Binomna formula)Neka su x i y promenljive i n ≥ 0. Tada je
(x+ y)n =
(n
0
)xny0 +
(n
1
)xn−1y + . . .+
(n
k
)xn−kyk + . . .+
(n
n
)x0yn
Dokaz:
kombinatorno: (x+ y)n = (x+ y) . . . (x+ y)
algebarski: indukcijom po n
March 3, 2020 21 / 27
1
n∑k=0
(n
k
)=
2
n∑k=0
(−1)k(n
k
)=
3
n∑k=0
2k(n
k
)=
March 3, 2020 22 / 27
Polinomni koeficijenti i polinomna formula
Neka je l ≥ 1, m1, . . . ,ml ≥ 0 i n = m1 + . . .+ml
Polinomni koeficijent:(n
m1,m2, . . . ,ml
)=
n!
m1! · . . . ·ml!
March 3, 2020 23 / 27
1(
nm1,m2,...,ml
)=(
nm1
)(n−m1
m2
)(n−(m1+m2)
m3
). . .(n−(m1+...+ml−1)
ml
)
2(
nm1,m2,...,ml
)=(
nk1,k2,...,kl
), {{m1, . . . ,ml}} = {{k1, . . . , kl}}
3(
nm1,m2,...,ml
)=(
n−1m1−1,m2,...,ml
)+(
n−1m1,m2−1,...,ml
)+(
n−1m1,m2,...,ml−1
),
0 < m1, . . . ,ml < n
4(
nm1,m2,...,ml−1,0
)=(
nm1,m2,...,ml−1
)
March 3, 2020 24 / 27
1(
nm1,m2,...,ml
)=(
nm1
)(n−m1
m2
)(n−(m1+m2)
m3
). . .(n−(m1+...+ml−1)
ml
)2(
nm1,m2,...,ml
)=(
nk1,k2,...,kl
), {{m1, . . . ,ml}} = {{k1, . . . , kl}}
3(
nm1,m2,...,ml
)=(
n−1m1−1,m2,...,ml
)+(
n−1m1,m2−1,...,ml
)+(
n−1m1,m2,...,ml−1
),
0 < m1, . . . ,ml < n
4(
nm1,m2,...,ml−1,0
)=(
nm1,m2,...,ml−1
)
March 3, 2020 24 / 27
1(
nm1,m2,...,ml
)=(
nm1
)(n−m1
m2
)(n−(m1+m2)
m3
). . .(n−(m1+...+ml−1)
ml
)2(
nm1,m2,...,ml
)=(
nk1,k2,...,kl
), {{m1, . . . ,ml}} = {{k1, . . . , kl}}
3(
nm1,m2,...,ml
)=(
n−1m1−1,m2,...,ml
)+(
n−1m1,m2−1,...,ml
)+(
n−1m1,m2,...,ml−1
),
0 < m1, . . . ,ml < n
4(
nm1,m2,...,ml−1,0
)=(
nm1,m2,...,ml−1
)
March 3, 2020 24 / 27
Teorema (Polinomna formula)Neka je l ≥ 2, neka su x1, . . . , xl promenljive i n ≥ 0.
(x1 + . . .+ xl)n =
∑m1 + . . .+ml = nm1 ≥ 0 . . .ml ≥ 0
(n
m1, . . . ,ml
)xm11 xm2
2 . . . xmll
March 3, 2020 25 / 27
1 Koliko sabiraka ima u razvijenom obliku (x1 + . . .+ xl)n?
(n+ l − 1
l − 1
)
2∑
m1 + . . .+ml = nm1 ≥ 0 . . .ml ≥ 0
(n
m1, . . . ,ml
)= (1 + . . .+ 1)n = ln
March 3, 2020 26 / 27
1 Koliko sabiraka ima u razvijenom obliku (x1 + . . .+ xl)n?(
n+ l − 1
l − 1
)
2∑
m1 + . . .+ml = nm1 ≥ 0 . . .ml ≥ 0
(n
m1, . . . ,ml
)= (1 + . . .+ 1)n = ln
March 3, 2020 26 / 27
1 Koliko sabiraka ima u razvijenom obliku (x1 + . . .+ xl)n?(
n+ l − 1
l − 1
)
2∑
m1 + . . .+ml = nm1 ≥ 0 . . .ml ≥ 0
(n
m1, . . . ,ml
)=
(1 + . . .+ 1)n = ln
March 3, 2020 26 / 27
1 Koliko sabiraka ima u razvijenom obliku (x1 + . . .+ xl)n?(
n+ l − 1
l − 1
)
2∑
m1 + . . .+ml = nm1 ≥ 0 . . .ml ≥ 0
(n
m1, . . . ,ml
)= (1 + . . .+ 1)n = ln
March 3, 2020 26 / 27
1 Napisati u razvijenom obliku (x+ y + z)3
2 Odrediti koeficijent uz x2y3z5 u razvoju trinoma (x+ 2y − z)10
3 Odrediti slobodan clan u razvoju (1 + x− x2)1749
4 Odrediti koeficijent uz x u razvoju (2x3 − x+ 1)4.
5 Odrediti koeficijent uz p2q2r3s4 u razvoju (2p− 3q + 2r − s)12
March 3, 2020 27 / 27
