Dipartimento di Meccanica Attività svolta al Politecnico di Torino - periodo 2008/09 Luca Goglio Dipartimento di Meccanica Politecnico di Torino Progressi

Dipartimento di Meccanica

Attività svolta al Politecnico di Torino - periodo 2008/09

Luca Goglio

Dipartimento di MeccanicaPolitecnico di Torino

Progressi della Ricerca Italiana sui Sistemi di Giunzione

Reggio Emilia, 16-17/4/2009

2L. Goglio Attività al Politecnico di Torino - periodo 2008/09

Pro

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– R

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Attività recenti – periodo 2008/09

ARGOMENTI

Valutazione del campo di tensione singolare all’apice dell’interfaccia incollata

Collasso statico e a impatto di un nodo strutturale incollato

Adesivo

Aderendo


Pro

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Singolarità: considerazioni

Conseguenze concettuali e pratiche della singolarità del campo di tensione elastica negli incollaggi

• risultati FE dipendenti dalla mesh, non convergenti

• senso dell’ottimizzazione per la riduzione delle tensioni?

• il cedimento dell’adesivo di solito parte dal vertice, anche, se in pratica, la plasticità auto-limita le tensioni;

• situazione più complessa rispetto alla meccanica della frattura lineare elastica

• senso e utilità dei risultati forniti dalle teorie classiche monodimensionali (es. Goland-Reissner)?


Pro

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Singolarità: obiettivi del lavoro svolto

Riconsiderare lo studio del campo singolare, mirando a:•valutare gli effetti dei parametri geometrici del giunto

•determinare lo “Stress Intensity Factor” (SIF) senza ricorrere alla modellazione FE

•discutere la definizione del SIF rispetto alla tensione considerata come nominale

•legare il campo di tensione singolare a quella strutturale (cioè data dalle teorie monodimensionali)


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Singolarità: proprietà

•l’ordine della singolarità dipende solo dalle costanti elastiche dei due materiali (G, ) e dagli angoli (1,2)

•l’intensità del campo dipende anche dalle caratteristiche macroscopiche del giunto e dal carico

•la determinazione del SIF K non è immediata, di solito richiede modelli FE

Capisaldi teorici•Geometria (vertice) Williams. J Appl Mech, 1952

•Materiali (aderendo/adesivo) Bogy. J of Appl Mech, 1971

...)( ijij f

r

K

r

Adesivo (2)

rr

r

Aderendo (1)


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Singolarità: effetto dei materiali

1221

1221

11

11

GG

GG 1221

1221

11

2121

2

1

GG

GG

-0.5

-0.4

-0.3

-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

-1 -0.8 -0.6 -0.4 -0.2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1

Epoxy (Hysol9466) - AlEpoxy (Hysol9466) - FeAcrylic (Loctite330) - AlAcrylic (Loctite330) - Fe

G 1=G 2

in caso di aderendo metallico, Gaderendo>> Gadesivo: punti alle estremità del diagramma (≈ 1), inoltre ≈ adesivo

Proprietà dei materiali riassunte dalle costanti di Dundurs


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Singolarità: impostazione analitica

Equazioni del problema Bogy. J of Appl Mech, 1971

Lazzarin, Quaresimin and Ferro. J Strain Analysis, 2002

021

;01

rrrrrrrrrrrrr

r

u

r

uu

r

u

rr

u

r

u rr

rrrr

1

2

1;

1;

2,1

2,12,12

2,1

2,1

2,12,12

2,1

11

11

E

E

rr

rrrr

equilibrio

compatibilità

elasticità(def. piana)

Determinante di Bogy 0222;,,, 22

21 fedcbapD

2,1

2,1 )1(

Er

r

Le radici p del determinante stabiliscono se la soluzione è singolare


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Singolarità: effetto dell’angolo

Fissati i materiali, l’ordine della singolarità è fortemente influenzata dall’inclinazione del bordo libero dell’adesivoEsempio: 1=180°, valori di 2=90°, 75°, 60°, 45°: radice → 1

Al diminuire dell’angolo del raccordo la singolarità tende a svanire

-1.0

-0.5

0.0

0.5

1.0

1.5

2.0

2.5

3.0

3.5

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0

p

D(p

)

90 deg75 deg60 deg45 deg

Adesivo

Aderendo


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Singolarità: definizione del SIF

Possibili definizioni dello “Stress Intensity Factor” (SIF)

• Assunzione più comune: K = tf(,)Van Tooren, Gleich, Beukers. J Adh Sci Tech, 2004; Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002

tensione nominale nell’aderendo (in pratica tensione di trazione) t spessore dell’adesivo

• Altra definizione: K = [* A() + * B()] t

Wang, Rose. Int J Adh Adh, 2000

*, * tensioni nell’adesivo fornite da una teoria monodimensionale (tensioni strutturali)

A, B coefficienti di combinazione (ricavati da modelli FEM)Criterio di cedimento basato sul SIF• Assunzione: cedimento quando il SIF supera un valore critico• Condizioni di applicabilità Akisanya, Meng. J Mech Phys Sol, 2003

zona plastica “piccola” circondata dalla zona elastica spessore dell’adesivo t maggiore di una soglia minima


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Singolarità: determinazione del campo di tensione

Procedura numerica per ottenere il SIF Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Str An, 2002

UrruUrru rr

11 ,;,

rrrrrr FrrFrrFrr ,;,;,

• Separazione delle variabili r,

• Set di equazioni nelle funzioni incognite U, Frr, F, Fr (Ur eliminata)

• Condizioni al contorno:bordi a tensione nullacontinuità all’interfacciaspostamenti al bordo ottenuti da

soluzione FEM

Adesivo

Aderendo

Tentativo di eliminare questa necessità


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Singolarità: uso di soluzioni strutturali

Studio del giunto basato su modello a piastre• Variazione della tensione nello spessore trascurata

)sin()sinh()cos()sinh()sin()cosh(

)cos()cosh()sinh()cosh(

216215214

2131211

xnxnAxnxnAxnxnA

xnxnAxmAxmAy

7216215214

2131211

)sin()sinh()cos()sinh()sin()cosh(

)cos()cosh()sinh()cosh(

BxnxnBxnxnBxnxnB

xnxnBxmBxmBxy

Spostamento al bordo dell’adesivo senza FE (caso 2=/2)

1) valore approssimato dalla tensione di taglioa

xyLU G

tuu

2) estrapolazione della formula del campo singolare

axxy Gt

Uttu

/

2/,

0

2/1

Bigwood, Crocombe. Int J Adh Adh, 1989

Lower adherend

Upper adherend

Adhesive

uU-uL h

t

h

L x


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Singolarità: procedura numerica modificata

Problema a valori al contorno risolto come due problemi a valori iniziali in cascata, verificando al bordo finale la condizione di tensione nulla

Adattamento da Lazzarin, Quaresimin, Ferro. J Strain An, 2002

1. valori di tentativo per la tensione radiale al bordo libero Frr(/2) (singolarità dal determinante di Bogy);

2. input dello spostamento del bordo libero di adesivo U(/2) a partire dalla soluzione strutturale;

3. soluzione numerica del sistema differenziale per l’adesivo→ U(0), Frr(0), F(0), Fr(0) (interfaccia);

4. soluzione numerica del sistema differenziale per l’aderendo → U(-), Frr(-), F(-), Fr(-) (bordo libero aderendo);

5. al bordo libero dell’aderendo deve verificarsi = r = 0 (in pratica <tolleranza); altrimenti si re-itera da 1.

Adesivo

Aderendo -

bordi scarichi


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Singolarità: esempio applicativo

Lap joint in trazionetensione nominale = 25 MPa

Parametri geometrici L = 8, 12, 20 mm t = 0.25, 0.5, 0.75, 1 mm h = 1, 2 mm

Materiali acciaio (E=2.06·105 MPa, =0.3) epoxy Hysol9466 (E=1.96·103

MPa, =0.42)

L'

t F

L L'

h h

Modellazione FE preliminare 3000 elementi 8 nodi plane

strain dimensione minima 5.5·105 mm

→ Risultati di riferimento

Parametri di singolarità = 0.9792 = 0.1335 = 0.3646 (dal det. di Bogy)


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Singolarità: risultati FE di riferimento

Regressione delle tensioni di interfaccia (=0) per valutare la singolarità

Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.25 mm

= 3.9549 r -0.3643

= 3.5235 r -0.3648

= 3.0801 r -0.3646

10

100

1000

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

Distance from corner (mm)P

eel s

tres

s (M

Pa)

L=8 mm

L=12 mm

L=20 mm

Stress along the interface / adherend 1 mm / adhesive 0.75 mm

= 5.0821 r -0.3646

= 4.3426 r -0.3643

= 3.7023 r -0.3644

10

100

1000

1E-05 1E-04 1E-03 1E-02 1E-01

Distance from corner (mm)

Pee

l str

ess

(MP

a)

L=8 mm

L=12 mm

L=20 mm

esempi

rK

rFr 00,


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Singolarità: confronto procedura approssimata / FE

Approssimazione:• migliore per ades. sottile• peggiore per ades. spesso

e L /h basso (casi 13-16)

Il SIF (K):• cresce all’aumentare

dello spessore ader. h;tens. nominale costante, aumenta il carico

• cresce all’aumentare dello spessore ades. t;gradiente nello spessore

• decresce all’aumentare della sovrapposizione Lriduzione generale delle tensioni


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Singolarità: definizione alternativa SIF (I)

La definizione del SIF più usata K = t f(,)

dipende dai parametri del giunto (h, L)

valori relativi a giunti differenti non confrontabiliAdherend thickness h = 1 mm

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

8 12 20

Overlap lenght L (mm)

K /

(C x

y +

C

y)

t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm

Adherend thickness h = 2 mm

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

8 12 20


K /

(C x

y +

C

y)

t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm

Rapporto

K / ( Cxy + Cy) = t

C, C coefficienti di combin.

Caso di valori di K ottenuti a partire da risultati FE:

• buona approssimazione dei valori esatti (0.603, 0.777, 0.900, 1)

• indipendenza da h, L


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Singolarità: definizione alternativa SIF (II)

• risultati peggiori nei casi (precedentemente notati) di peggiore approssimazione di K

• comunque accettabili, anche considerando la semplicità d’uso

Valori di K dalla procedura approssimata:• minore precisione (errore max 26%, caso N°16)• dipendenza dalla lunghezza di sovrapposizioneAdherend thickness h = 1 mm

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

8 12 20


K /

(C x

y +

C

y)

t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm

Adherend thickness h = 2 mm

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

1.2

1.4

8 12 20


K /

(C x

y +

C

y)

t = 0.25 mm t = 0.5 mm t = 0.75 mm t = 1 mm

Osservazione:• i risultati sarebbero perfetti se

C=0 e C fosse ottenuto dalla condizione di eguaglianza a t

• la ragione è che la procedura approssimata considera solo l’effetto di


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Singolarità: considerazioni finali

• Importanza della definizione del SIF la definizione dovrebbe tener conto delle caratteristiche del

giunto, senza introdurre dipendenze non necessarie (es. lunghezza di sovrapposizione)

riferimento alla sola tensione nominale non soddisfacente

• Procedura in due stadi senza uso del FEM: una soluzione strutturale fornisce gli spostamenti

approssimati … … usati come input dalla soluz. numerica per ottenere il SIF

• Riconsiderazione delle soluzioni classiche rappresentative dello stato di tensione sul piano medio … ….non dove di solito inizia il cedimento ma il SIF è comunque proporzionale a esse


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Collasso statico/impatto nodo strutturale incollato

Osservazione di partenza

• la maggior parte dei risultati pubblicati riguarda provini;

• lavori su componenti relativamente rari.

Scopi del lavoro• ottenere sperimentalmente il collasso di una giunzione, in

condizioni statiche e di impatto;• valutare la possibilità di riprodurre il fenomeno con simulazione

FEM, mediante un codice general purpose.

Impostazione• giunto dimensionato per

ottenere il collasso nell’adesivo;• criterio di cedimento, valori

limite.


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Collasso nodo incollato: caratteristiche

Travi

• Sezione quadrata cava, lato 50 mm, spess. 2 mm;

• acciaio strutturale e lega di Al 6060.

Giunti

• coprigiunti largh. 40 mm, spess. 3 mm, lungh. incollata 25 mm;

• adesivo epossidico (Hysol3425), spess. strato 0.5 mm.

Due repliche di ogni caso


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Collasso nodo incollato: condizioni di prova

Configurazione

• flessione su tre punti (nodo non in mezzeria);

• punzone raccordato per evitare collasso al contatto.

P

c=300

M1/2=Pc/4 M1/3=Pc/6

c/3=100

Velocità di caricamento

• statica (0.0001 mm/s) → macchina elettroidraulica;

• impatto (0.1, 1, 10 m/s) → dispositivo pneumatico.


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Collasso nodo incollato: risultati sperimentali

Esempio di rottura sotto impatto• acciaio, 1 m/s

Curve forza-freccia• registrazione da cella di carico e misura ottica

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deflection (mm)

Fo

rce

(kN

)

Steel 1Steel 2Aluminium 1Aluminium 2

1 m

/s

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deflection (mm)F

orc

e (k

N)


10

m/s

-5

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Deflection (mm)

Fo

rce

(kN

)


Sta

tic

a

stato finale

tempo


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Collasso nodo incollato: simulazione

Modellazione FEM (LS-DYNA)• Risposta meccanica dei materiali

criterio rottura max (=0.075)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

200

400

600

800

1000

1200

1400

Fo

rce

(kN

)

Stroke (mm)

plr

rplr

rC

eQC

eQ 22

110 11

Adesivo sperimentazione in bulk (Uni. GE) modello esponenziale

• Modalità di collasso progressivo riprodotta correttamente


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0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

corsa (mm)

forz

a (k

N)

alluminio

acciaio

Collasso nodo incollato: risultati simulazione

Primi risultati• caso statico;

• caso 0.1 m/s;

simulazione sper. acciaio sper. alluminio

• collezione casi in corso di completamento;

• modello Cowper-Symonds per effetto strain-rate ades.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4 4.5 50

5

10

15

20

25

30

Fo

rza

(kN

)

Corsa (mm)

cerniera plastica

simulazione sper. acciaio sper. alluminio

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