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Sistemi di Produzione II La meccanica dei materiali

© 2006 Politecnico di Torino 1

I materiali

2

I materiali

Introduzione al corso

Tecnologia di produzione

I materiali

La misura della durezza

Le prove meccaniche distruttive

Prove non distruttive

La meccanica dei materiali



3

Obiettivi della lezione

Spiegare il concetto di stato tensionale e stato di deformazione

Descrivere le proprietà dei principali stati di tensione

Illustrare le condizioni che portano il materiale a deformarsi plasticamente

Illustrare le relazioni tra tensioni e deformazioni in campo elastico e in campo plastico

4

Bibliografia per la lezione

“Sistemi di Produzione”A. Villa, G. Murari, D. AntonelliC.L.U.T. Editrice, 2004

capitolo 2

“Manufacturing processes for engineering materials”S. KalpakjianAddison-Wesley Publishing Company, 1991

capitolo 2




6


Il comportamento elastico

Il comportamento plastico

Il criterio di snervamento

Studio delle tensioni

Lavoro di deformazione plastica



7

Cos’è la meccanica dei materiali

Studio delle leggi costitutive dei materiali

Relazioni tensioni – deformazioni

8

La deformazione totale

pleltot εεε +=



9

pleltot εεε +=


Deformazionein campo elastico

10

pleltot εεε +=


Deformazionein campo plastico



11

Comportamento Elastico Lineare

Deformazione reversibile del materiale

Proporzione costante tra tensione e deformazione

Legge di Hooke

12

Comportamento Elastico Lineare

Deformazione reversibile del materiale

Proporzione costante tra tensione e deformazione

Legge di Hooke

Eσ

ε =

Modulo di elasticità

(di Young)



13

Andamento della legge di Hooke

E

eel

Modello idealedella

caratteristica di un materiale

nella zona elastica

σ

14

Analisi triassiale delle tensioni

σ2

σ1

σ3



15

Analisi delle tensioni

Tensioni principali triassiali

Tensione media

321 σσσ >>

3321

mσσσ

σ++

=

16

Prova di trazione uniassiale

Tensioni principali

0321 ==⇒= σσσσ



17


Tensioni principali

FsF

0321 ==⇒= σσσσ

18


Tensioni principali

F

s 2 = 0

s 3 = 0

F

0321 ==⇒= σσσσ

s 1



19

Legge di Hooke per tensioni triassiali

[ ]

[ ]

[ ]

+−=

+−=

+−=

)(1

)(1

)(1

2133

1322

3211

σσνσε

σσνσε

σσνσε

E

E

E




21







22

Zona di comportamento plastico

ε

σ

Comportamento plastico

Re

Rm



23

Comportamento rigido plastico

Il volume di materiale è costante e indipendente dalla pressione di sollecitazione

24



Le deformazioni sono permanenti



25



Le deformazioni sono permanenti

La tensione è costante, la deformazione totale si distribuisce sulle tre direzioni principali

26


σ

Y

εpl



27

La velocità di deformazione plastica

dtε

εd

=&L

LLL 1

dtd

dt1d

⋅=⋅=ε&

Llunghezzadel pezzo

28


dtε

εd

=&L

LLL 1

dtd

dt1d

⋅=⋅=ε&

velocità di allungamento

del pezzov



29


Lv

=ε&

dtε

εd

=&L

LLL 1

dtd

dt1d

⋅=⋅=ε&

30

Le tensioni deviatoriche

Sottraendo la tensione media alle tensioni principali si ottengono le tensioni deviatoriche

σ−σ=

σ−σ=

σ−σ=

m3

m2

m1

s

s

s

3

2

1

3321

mσσσ

σ++

=



31

Lo Scorrimento Plastico

Esiste una proporzionalità tra le tensioni deviatoriche e le velocità di deformazione

( )

( )

( )

σ−σ∝ε

σ−σ∝ε

σ−σ∝ε

m

m

m

33

22

11

&

&

&

32


( )

( )

( )

+−∝

+−∝

+−∝

2133

3122

321

31

32

31

32

31

32

σσσε

σσσε

σσσε

&

&

& 1( )

( )

( )

σ−σ∝ε

σ−σ∝ε

σ−σ∝ε

m

m

33

22

m11

&

&

&



33


( )

( )

( )

σ+σ−σ∝ε

σ+σ−σ∝ε

σ+σ−σ∝ε

2133

3122

3211

21

21

21

&

&

&

34

+−=

+−=

+−=

)(21

)(21

)(21

2133

1322

3211

σσσλε

σσσλε

σσσλε

&&

&&

&&

Legge di Prandtl e Reuss

Introducendo ilcoefficiente di proporzionalità

λ&



35

+−=

+−=

+−=

)(21

)(21

)(21

2133

1322

3211

σσσλε

σσσλε

σσσλε

&&

&&

&&

Legge di Prandtl e Reuss




37







38

Limite di snervamento

È il limite oltre il quale il materiale inizia a deformarsi plasticamente



39



In generale si può assumere che tale limite dipenda solo dalle tensioni applicate al corpo

40




Le tensioni applicate variano con le sollecitazioni



41




Le tensioni applicate variano con le sollecitazioni

Occorre trovare una relazione univoca tra lo stato tensionale e il limite di snervamento

Tale relazione si chiama criterio di snervamento

42

Criteri di Tresca e Von Mises

Criterio di Tresca (tensione tangenziale max)

Criterio di Von Mises (energia di distorsione)

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

Y=− 31 σσ



43

Tensione e deformazione equivalente

Tensione equivalente: il suo valore deve coincidere con il limite di snervamento

( ) ( ) ( )213

232

221eq

2

1 σσσσσσσ −+−+−=

44

Tensione e deformazione equivalente

Tensione equivalente: il suo valore deve coincidere con il limite di snervamento

Deformazione equivalente: moltiplicata per la tensione equivalente dà il lavoro di deformazione

( ) ( ) ( )213

232

221eq

2

1 σσσσσσσ −+−+−=

( ) ( ) ( )213

232

221eq 3

2εεεεεεε −+−+−=




46









47

Casi da esaminare

Tensione piana

σ1 σ3

σ3

σ2 = 0

48

Tensione piana

Secondo il criterio di Tresca (Es: σ2 = 0 )

Secondo il criterio di Von Mises

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

Y=− 31 σσσ1 σ3

σ3



49

Tensione piana – Von Mises

22331

21 2222 Y=+− σσσσ

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

50

22331

21 2222 Y=+− σσσσ

Tensione piana – Von Mises

3123

21

2 σσσσ ++=Y

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ



51

Casi da esaminare

Tensione assialsimmetrica

σr= σc

σc

σr

σz

52

Tensione Assialsimmetrica

Il criterio di Tresca (Es: σ1 = σr = σc, σ3 = σz )

Secondo il criterio di Von Mises

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

Y=− 31 σσ

σr

σcσz



53

Tensione Assialsimmetrica – Von Mises

22331

21 2242 Y=+− σσσσ

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

54


( ) 2231 Y=− σσ

22331

21 2242 Y=+− σσσσ

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ



55


Limite di snervamento secondo il criterio di VonMises, coincide con Tresca:

Y=− 31 σσ

56

Casi da esaminare

Deformazione piana

σ3

σ3

σ1

σ2σ2



57

Deformazione piana

Secondo il criterio di Tresca (ε2 = 0)

Secondo il criterio di Von Mises (ε2 = 0)

( ) 021

3122 =+−∝ σσσε

Y=− 31 σσσ3

σ3

σ1

σ2σ2

58

Deformazione piana

Secondo il criterio di Tresca (ε2 = 0)

Secondo il criterio di Von Mises (ε2 = 0)

( ) m312 21

σσσσ =+=

Y=− 31 σσσ3

σ3

σ1

σ2σ2



59

Deformazione piana – Von Mises

Si sostituisce nell’espressione del criterio di VonMises la relazione:

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

( ) m312 21

σσσσ =+=

60


( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

( ) ( ) ( ) 2231

2

31

2

31 221

21

Y=−+

−+

− σσσσσσ



61


( ) ( ) ( ) 2231

2

31

2

31 221

21

Y=−+

−+

− σσσσσσ

( ) 2231 21

41

41

Y=−⋅

++ σσ

( ) ( ) ( ) 2213

232

221 2Y=−+−+− σσσσσσ

62


( ) 2231 2

23

Y=−⋅ σσ



63


Y,Y ⋅≈=− 15132

31 σσ

( ) 2231 2

23

Y=−⋅ σσ




65







66

Equazione dei Lavori Virtuali

L

Lavoro dideformazione

plastica



67


L uFrr

⋅

Lavoro delleforze esterne


plastica

68


L ∫∫ ⋅⋅ε

εσ,V

ijij dVd

Lavoro delleforze esterne


interno


plastica

uFrr

⋅



69

Il lavoro di deformazione plastica

Lavoro volumico con stato tensionale uniforme:

∫ ⋅=fin

0 eqeq dε

εσVL

70

Il lavoro di deformazione plastica

Lavoro di deformazione uniforme (legge costitutiva esponenziale):

1nCdC

1n

0

n finfin

+⋅⋅=⋅⋅=

+

∫ε

εεε

VVL



71

Tensione media

Nel caso di legge esponenziale:

1nCY

nfin

+ε

⋅=

∫ε

ε⋅σε

=fin

0 eqeqfin

d1

Y

72

Lavoro plastico a tensione media

Formula del lavoro a tensione media di deformazione:

ε⋅⋅= YVL



73

Sommario della lezione






Domande di riepilogo

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