Nama: Wanda Hesti KurniaNIM: 4201412104Fisika Zat Padat Rombel 3

1

Dinamika Kekisi

Gelombang ElastikMateri struktur kristal pada tiga bab terdahulu menganggap bahwa atom-atom yang menduduki titik kekisi dalam keadaan diam. Akan tetapi pada suhu di atas 0oK atom-atom tersebut berosilasi di sepanjang kedudukan setimbangnya. Vibrasi kekisi dari zat padat yang mempunyai susunan atom-atom secara diskrit dengan jumlah sangat besar bahkan dapat dikatakan tak terbatas jangkauannya, dapat diperhitungkan dengan asumsi bahwa zat padat merupakan medium kontinu. Dengan demikian vibrasinya akan berupa gelombang elastik dengan panjang gelombang sangat besar.Solusi yang tepat untuk penjalaran gelombang di atas adalah:

(1)

dengan , adalah frekuensi gelombang dan A adalah amplitude gelombang. Hubungan antara frekuensi dan bilangan gelombang dapat dirunut dari fase gelombang persamaan (1) menghasilkan

(2)

dapat juga dijadikan dalam bentuk seperti definisi yang sering digunakan dalam teori gelombang dengan vs adalah kecepatan.Kuantisasi energi gelombang elastik dari vibrasi kekisi ternyata merupakan energi elastik dari gelombang bunyi. Ini merupakan analogi foton sebagai kuantum energi dari gelombang elektromagetik. Kuantum energi di dalam vibrasi kekisi disebut sebagai fonon. Sehingga dapat dikatakan pula bahwa gelombang bunyi dalam kristal adalah tersusun dari fonon-fonon. Energi fonon besarnya:

(3)

Di dalam kristal atom-atom tersusun sedemikian teraturnya dalam arah 3 dimensi, sehingga gerakan atom pada kedudukan setimbangnya tidak sukar untuk disebut sebagai vibrasi kekisi yang sangat berperan dalam pembentukan energi pada kristal. Ragam (modus) getarannya akan sangat menentukan sifat termal zat padat.

Modus Getaran Kekisi Konsep fonon sebagai gelombang vibrasi kekisi merupakan getaran kolektif dalam suatu bahan. Gejala tersebut dapat digambarkan secara sederhana dalam kristal satu dimensi dengan syarat batas pada gambar 1.

us-1us us+1

aGambar 1Kristal 1-D dengan syarat batas biasa

Kristal dengan atom identik sebanyak N+1 buah membentuk rantai lurus dimana kedua ujungnya tetap. Panjang rantai dapat pula digantikan dengan , dengan a adalah jarak dua atom atau disebut vektor translasi. Agar didapatkan penyelesaian yang eksak, maka digunakan pula pendekatan harmonik dalam merumuskan persamaan-persamaan geraknya. Dalam pendekatan harmonik didefinisikan sebagai konstanta kakas antar atom dan us sebagai notasi pergeseran dari atom ke-s, sehingga kakas total pada atom ke-s berasal dari atom s+1 adalah

(4)Persamaan gerak dari atom s menurut hukum Newton:

(5)dengan m adalah massa atom. Persamaan (5) merupakan bentuk persamaan gerak untuk semua atom. Untuk mencari penyelesaian us, kita ambil bentuk umum gelombang dengan frekuensi dan vektor gelombang k = 2/ yang berjalan pada arah-x dengan syarat batas kedua ujung tetap uo = 0 dan uN = 0 adalah sebagai:

(6)

Sehingga pergeseran , , dan . Setelah disulihkan ke persamaan (5) didapatkan

(7)Dengan identitas 2cos ka = eika + e-ika, maka didapatkan hubungan dispersi k) dari

atau

(8)

k)

k -/a /a Gambar 2Relasi dispersi vibrasi kekisi 1-DIni menunjukkan bahwa setiap k memberikan harga tertentu. Dapat pula dilukiskan dalam bentuk grafik seperti yang ditunjukkan oleh gambar 2.Dengan adanya syarat batas uo = 0 dan uN = 0, maka harga k yang diperkenankan berubah secara diskrit. Nilai-nilai k yang memenuhi (ragam getaran vibrasi kekisi) disebut nilai eigen kn, sedangkan frekuensi yang diperbolehkan disebut frekuensi eigen. Kemungkinan nilai eigen dan panjang gelombangnya ditentukan berdasarkan:Syarat batas: uo = 0 dan uN = 0, sehingga untuk s = N

Solusinya menjadi: Ini akan dipenuhi jika kNa = n, dengan n = 0, 1, 2.. bilangan kuantum.Sehingga

dengan L = NaSedangkan panjang gelombang ditentukan dari hubungan:

(9)untuk n = 0,maka ko = 0dan o = tak terdefinisi

n = 1,maka dan o = 2L

n = 2,maka dan o = L 2aL

n = N,maka dan N=2aJadi untuk sejumlah N+1 atom ada N-1 ragam vibrasi kekisi yang mungkin terjadi. Pada n=0 jelas tak terdefinisi panjang gelombangnya, sedangkan pada n=N panjang gelombang N = 2a merupakan panjang gelombang terpendek yang dapat terjadi namun pada ragam ini semua atom berada pada keadaan diam hingga tak dapat disebut terjadi gelombang.

Spektrum vibrasi Kristal Monoatom 1-D dengan Syarat Batas PeriodikSusunan kristal yang teratur dengan periodik, sebagai dasar untuk menggunakan syarat batas periodik dalam pendekatan perhitungan agihan frekuensi vibrasi kekisi. Gambaran kristal idealnya dapat dilihat pada gambar 3. Kristal sejarak L disambungkan hingga tersusun tak terhingga.

L=NaL=Na

Gambar 3Syarat batas periodikTernyata solusi agihan frekueni relasi dispersinya sama dengan persamaan (8). Buktikan! Bedanya hanya pada pemakaian syarat batas saja, yaitu:

(10)Sehingga nilai eigen k ditentukan dari hubungan:

atau (11)

dengan n=0, 1, 2, 3 Disini n dengan tanda (-) disertakan dengan makna fisis bahwa gelombang dapat berjalan dalam arah yang berlawanan. Ini yang membedakan dari syarat batas biasa. Jadi:

(12)Nilai eigen kn yang mungkin atau ragam getaran yang diperbolehkan ditentukan oleh n dengan tidak melupakan batas daerah Brillouin:

(13)

karena L=Na, maka didapat: . Sehingga nila n dapat ditentukan sebagai berikut:

adaada

Gambar 4Ragam vibrasi yang diperkenankan

Dari gambar 4. pada keadaan dan akan memberikan panjang gelombang yang menggambarkan gelombang stasioner, sedangkan pada keadaan memberikan yang berarti tidak ada getaran.

Jadi jumlah nilai eigen kn yang menggambarkan adanya ragam getaran gelombang stasioner menjadi: macam, yaitu . Dan fonon yang dinyatakan sebagai gelombang kekisi mempunyai ragam getaran sesuai dengan kn yang merupakan gelombang kekisi terkuantisasi.vibrasi Kristal Dwiatom 1-D

us-1 a us vs us+1vs+1 vs-1

aGambar 5 Rantai kristal dwiatomPersamaan gerak kristal 1-D dari berbagai macam partikel diformulasikan dengan membentuk suatu kelompok yang berisi p buah atom. Kristal dengan N kelompok memiliki Np jumlah atom. Akan ada sejumlah p persamaan gerak untuk mencari solusi relasi dispersinya.Persamaan-persamaan gerak suatu kelompok yang terdiri dari 2 jenis atom dengan massa berbeda ( m1 dan m2) dengan m1>m2 dapat dinyatakan sebagai:m1 (d2 us /dt2 ) = (vs + v s-1 - 2 us) dan(14)m2 (d2 vs /dt2 ) = (us+1 + us - 2 vs) dengan us, vs, masing-masing merupakan simpangan zarah bermassa m1 dan m2. Dan dengan mengambil penyelesaian umum gelombang yang berbentuk:u(x) = A ei(tkx),dan (15)v(x) = B ei(tkx) maka didapatkan harga-harga us1 dan vs1 setelah disulihkan ke persamaan (14) dalam persamaan-persamaan berikut:2m1u = - v[1 + e-ika + 2u],dan(16)2m2v = - u[1 + e-ika + 2v]. Kemudian persamaan (16) dapat disederhanakan menjadi[2m1 - 2] u + [1 + e-ika] v= 0,dan(17) [1 + e-ika] u + [2m2 - 2] v= 0yang merupakan dua persamaan serbasama dengan dua peubah dan akan mempunyai penyelesaian non trivial apabila:

= 0(18)Sehingga melalui ekspansi sederhana diperoleh m1m24 -2 (m1 + m2)2 + 22(1-cos ka) = 0. (19)Untuk mendapatkan hasil yang eksak, diambil harga-harga istimewa dari ka dalam syarat batas periodik. Pada ka yang relatif kecil berlaku cos ka 1- k2a2/2 + ...... , sehingga kedua akarnya berharga2 2 [1/m1 + 1/m2] (cabang optik) (20) 2 / [2 (m1 + m2)] k2 a2 (cabang akustik) (21)sedangkan untuk ka = kedua akarnya berharga2 = 2/m1;2 = 2/m2 (22)Bentuk grafik relasinya diperlihatkan pada gambar 6:

Terlihat adaya dua lengkungan dispersi atau adanya dua cabang yaitu cabang optik dan cabang akustik. Daerah frekuensi pada antara dan disebut gap atau daerah larangan yang artinya dalam keadaan demikian kekisi tidak dapat meneruskan gelombang (gelombang terpadamkan). Perbedaan cabang optik dan cabang akustik dapat dijelaskan pada daerak k0 atau >>.

(k)

optik

frekuensi terlarang

akustik

k

Gambar 6 Grafik Relasi Dispersi Kekisi Dwiatom

Generalisasi untuk Kristal 3-DPerluasan persamaan gerak untuk koordinat umum 3-D menjadi lebih kompleks. Kita bahas detailnya secara kualitatif dengan mengabaikan penyelesaian secara matematis. Logikanya kita kembangkan dari solusi dalam kasus 1 dimensi.Persamaan gerak kekisi bravais monoatomik yang setiap sel satuannya hanya terdiri dari satu atom dapat dirumuskan seperti halnya pada persamaan (5). Dengan bentuk penyelesaian umum persamaan gelombang 3-D untuk gelombang datar:

(23)dengan k merupakan arah penjalaran gelombang dan rs adalah posisi vektor atom ke-s.Vektor A merupakan amplitudo yang mempunyai arah sama dengan arah vibrasi atom. Sehingga vektor ini bila dipolarisasikan akan menjadi gelombang longitudinal untuk A sejajar dengan k, atau gelombang transversal untuk A tegak lurus k. Jadi akan ada 1 gelombang longitudinal dan 2 gelombang transversal dalam vibrasi kekisi 3-D.Bila mensubstitusikan persamaan 23 dalam persamaan geraknya, maka akan didapatkan 3 persamaan simultan yang melibatkan Ax, Ay dan Az sebagai komponen A. Persamaan-persamaan tersebut dapat ditulikan dalam persamaan sekuler dalam bentuk matriks yang analog seperti persamaan (18) dengan matriks 3x3. Akar-akar persamaan ini menghasilkan tiga relasi dispersi yang berbeda seperti gambar 7. Ketiga cabang dimulai dari titik asal nol, yang mengindikasikan bahwa semuanya merupakan cabang akustik. Sehingga dalam vibrasi kekisi monoatom 3-D akan ada 1 cabang longitudinal akustik (LA) dan 2 cabang transversal akustik (TA) relasi dispersi.

(k)

LATA

TA

kGambar 7Cabang relasi dispersi kristal monoatom 3-D

Kapasitas TermalAtom-atom pada bahan zat padat tidaklah diam akan tetapi bergetar pada kedudukan setimbangnya. Energi yang ditimbulkan akibat getaran tersebut sangat berperan dalam menentukan sifat termal zat padat khususnya untuk bahan yang bersifat isolator non magnetik. Sedangkan kontribusi lainnya berupa konduksi elektron terjadi pada bahan logam, dan keberaturan magnetik terjadi pada bahan magnet.Dalam perumusannya energi dalam U zat padat merupakan fungsi temperatur T, sedangkan kapasitas termal pada volume tetap didefinisikan sebagai:

(24)

Menurut hasil eksperimen Dulong-Petit Cv tidak tetap terhadap perubahan temperatur. Cv untuk kebanyakan zat padat pada suhu tinggi (suhu kamar dan diatasnya) mendekati .

Secara fisika klasik vibrasi ini dapat dipahami dengan memperhitungkan tiga derajat kebebasan terhadap sumbu-sumbu koordinat x, y, dan z. Energi tiap derajat kebebasan adalah kT yang merupakan total energi potensial dan energi kinetis . Sedangkan total energi dalam untuk 1 mol zat padat pada suhu T yang mengandung NA atom adalah:

(25)

Sehingga . Teori klasik ini mempunyai kelemahan yaitu beberapa zat padat ringan ternyata , seperti: Boron (), Berelium () dan karbon ().

Hukum Dulong-Petit pada Perhitungan Rata-rata Energi

Menurut hukum Dulong-Petit (1920), panas spesifik padatan unsur adalah hampir sama untuk semua unsur, yaitu sekitar 6 cal/mole oK. Boltzmann, setengah abad kemudian, menunjukkan bahwa angka yang dihasilkan oleh Dulong-Petit dapat ditelusuri melalui pandangan bahwa energi dalam padatan tersimpan dalam atom-atomnya yang bervibrasi. Energi atom-atom ini diturunkan dari teori kinetik gas. Molekul gas ideal memiliki tiga derajat kebebasan dengan energi kinetik rata-rata per derajat kebebasan adalah sehingga energi kinetik rata-rata dalam tiga dimensi adalah . Energi per mole adalah (N bilangan Avogadro)yang merupakan energi internal gas ideal.Dalam padatan, atom-atom saling terikat sehingga selain energi kinetik terdapat pula energi potensial sehingga energi rata-rata per derajat kebebasan bukan melainkan . Energi per mole padatan menjadi cal/molePanas spesifik pada volume konstan cal/mole oKAngka inilah yang diperoleh oleh Dulong-Petit. Pada umumnya hukum Dulong-Petit cukup teliti untuk temperatur di atas temperatur kamar. Namun beberapa unsur memiliki panas spesifik pada temperatur kamar yang lebih rendah dari angka Dulong-Petit, misalnya B, Be, C, Si. Pada temperatur yang sangat rendah panas spesifik semua unsur menuju nol.

Model Einstein tentang CV Zat Padat Einstein merumuskan Cv secara kuantum dengan asumsi bahwa atom-atom kristal sebagai vibrator yang bergetar bebas satu sama lain di sekitar kedudukan setimbangnya. Seakan-akan di dalam 1 mol terdapat NA buah atau yang bebas dan hanya terikat pada titik setimbang tersebut.Energi rata-rata tiap vibrator adalah:

(26)Sehingga total energi dalam untuk 1mol zat padat adalah:

sedangkan besarnya kapasitas termal atau kalor jenis:

(27)

Pada suhu tinggi :

(karena ).

Dan bila disubstitusikan ke persamaan (26) akan menghasilkan . Untuk pendekatan ini kita akan mendapatkan sebagaimana yang dihasilkan oleh Dulong-Petit.

Pada suhu rendah :

Sehingga

dan

sehingga

.

Oleh karena itu Cv akan mendekati nol pada suhu-suhu rendah. Dan apabila maka Cv mendekati nol secara eksponensial.Teori Einstein diuji secara eksperimen oleh Nernst. Dalam eksperimen pada suhu-suhu rendah, Nernst mendapatkan Cv tidak mendekati nol secara eksponensial melainkan sebanding dengan pangkat tiga suhu mutlaknya (Cv ~ T3). Disinilah letak kelemahan teori Einstein. Cv

3R

Eksp

EinsteinTGambar 4.8Grafik Cv terhadap perubahan temperatur model Einstein dan eksperimen

Kesimpulan yang dapat ditarik dari model Einstein adalah sebagai berikut. a. Pada suhu tinggi, osilator tereksitasi sempurna, yang memerlukan energi rata- rata sebesar koT, sehingga CV 3 R.b. Pada suhu rendah, osilator membeku (tidak berosilasi) dalam tingkat energi dasar sehingga CV=0.

Model Debye tentang CV Zat PadatUntuk menerangkan kebergantungan CV terhadap T, Debye memodelkan getaran kisi dengan mengambil anggapan sebagai berikut.a. Atom kristal merupakan osilator yang berkait erat satu sama lain, dengan daerah frekuensi =0 sampai suatu frekuensi maksimum D yang ditentukan oleh jumlah moda getar yang diperkenankan. Dengan demikian pada Kristal terjadi gerakan kisi secara keseluruhan sehingga terdapat moda kisi bersama. Kristal merupakan medium elastik kontinu.b. Gelombang suara dalam padatan merupakan contoh moda bersama. Oleh karena itu moda kisi mempunyai hubungan dispersi linier kontinu dan rapat keadaan yang sama dengan bahasan gelombang elastik yang lalu.Terhadap kelemahan teori Einstein, Debye berusaha memperbaiki dengan asumsi bahwa antara titik-titik kesetimbangan atom kristal seolah-olah dihubungkan oleh pegas, sehingga getarannya terikat oleh pegas sebagaimana yang telah dibahas dalam vibrasi kekisi. Jadi suatu gangguan dalam arah A akan menyebabkan keseluruhan sistem bola atom bergetar, aspek inilah yang terlewatkan perhatiannya oleh Einstein. Disini Debye merumuskan panas jenis dengan memandang vibrator benar-benar bergetar di dalam suatu rangkaian.Rangkaian tersebut dapat bergetar secara transversal maupun secara longitudinal. Dan dengan menganggap zat padat sebagai benda elastik kontinu, maka energinya dapat dipandang berada di dalam gelombang elastik homogen, analog dengan gelombang elektromagnetik dalam kotak yang mempunyai energi kuantum. Kuantum energi vibrasi dalam zat padat ini disebut fonon dan bergerak dengan kecepatan suara.Bila kristal mengandung sejumlah N atom, dalam koordinat 3-D maka sistem tersebut mempunyai 3N derajat kebebasan. Osilasinya akan mempunyai 3N ragam vibrasi yang masing-masing vibrator mempunyai frekuensi tertentu. Sehingga energi totalnya sistem tersebut:

(28)Bentuk tersebut oleh Debye disederhanakan dengan pendekatan dari bentuk diskrit ke dalam bentuk kontinu pada tahun 1912 sehingga menjadi bentuk integral:

(29)

dengan g(f) adalah rapat keadaan. Pemikiran ini didasarkan atas kenyataan bahwa ragam frekuensi di dalam kristal sesuai dengan rambatan gelombang bunyi yang merupakan gelombang elastik berfrekuensi rendah. Dalam hal ini panjang gelombang bunyi sangat besar dibandingkan dengan jarak atom . Sehingga kediskritan susunan atom dalam kristal dapat diabaikan dan menggantikannya menjadi medium elastik yang homogen. Untuk volume V:

(30)

ditentuan oleh Debye bahwa: , dengan fD adalah frekuensi Debye. Sehingga diperoleh:

(31)Bila persamaan (30) dan (31) disubstitusikan ke persamaan (29), maka energi totalnya menjadi:

(32)

dengan dan . disini juga bermakna sebagai temperatur Debye.Rumusan kalor jenis Debye diturunkan dari persamaan (32) terhadap fungsi temperatur pada volume konstan. Besarnya:

(33)

Pada T tinggi maka sangat kecil dan karena maka x juga kecil, sehingga:

dan

didapatkan yang berharga sama dengan hasil perhitungan Dulong-Petit.

Pada suhu rendah , sehingga dapat ditiadakan dan

diperoleh Dengan demikian teori Debye dapat membuktikan bahwa Cv sebanding dengan T 3 pada suhu rendah. Hasil ini sesuai dengan hasil eksperimen.

Cv

3R

DebyeEinstein

T

Gambar 9Perbandingan model Einstein dan Debye