HER GENÇ MATEMATİK ÖĞRENEBİLİR

www.muratguner.net

MURAT GÜNERASIM ÜLKER LİSESİ - 2004

a2 = b2 + c2Pisagor Bağıntısı

hh2 2 = p . k

cc2 2 = p . a

bb2 2 = k . a

222 c

1

b

1

h

1

Öklid Bağıntısı

p

k

c

b

2

2

B H Cpp kk

A

hhbbcc

aa

1.1. Pisagor ve öklid bağıntıları

www.muratguner.net

2.2. Kenar uzunlukları aşağıdaki gibi olan üçgenler dik üçgendir.

3k

4k

5k

5k

12k

13k

8k

15k

17k

7k

24k

25k

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

9

12

x = ?5

12

y = ?16

30

z = ?

3.3

4.3

x = 5.3 = 15 5

12

y = 138.2

15.2

z = 17.2 = 34

ÇÖZÜM

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

A

B C

x

3x – 3

13 x = ?

( 3x – 3 )( 3x – 3 )22 + x + x2 2 = = 131322

9x2 – 18x + 9 + x2 = 169

10x2 – 18x + 9 = 169

10x2 – 18x – 160 = 0

xx = 5 = 5

5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu

yapma!

www.muratguner.net

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÖRNEK ÖRNEK Şekilde ABC dik üçgeninde

ha + hb + hc = ?

B H C

86

A

l BC l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni)

A ( ABC ) = = 24 2

8 . 6

A ( ABC ) = = 24 2

.10h a ha . 10 = 48 ha = 4,8

hhbb = 6 = 6hhc c = 8= 8

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgenindea2 + b2 + c2 = 128 ise

a kaç birimdir ?

B C

bc

A

a

a2 = b2 + c2 a2 + b2 + c2 = 128

a2 + a2 = 128

2 a2 = 128

a2 = 64 a = 8

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

.

x

11

20

x = ?

A B C

D

13

yy

l AB l = yy olsun.

132 = x2 + y2

202 = x2 + ( y +11 )2

400 = x2 + y2 + 22y +121

400 = 169 + 22y +121

400 – 290 = 22y

110 = 22y 5 = y

x = 12x = 12 ( 5 -12 -13 )( 5 -12 -13 )

www.muratguner.net

5-12-13 mü diye sorgulamadan bunu

yapma!

-

ÇÖZÜM

yy = 9 ( 3k – 4k – 5k )( 3k – 4k – 5k )

l AC l2 = 122 + 162

ÖRNEK

l AC l = ?7

12B C

A

15

E

yy

l AC l2 = 144 + 256 l AC l2 = 400 l AC l = 20l AC l = 20

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

.

A

CB

K3

5

x

34

Şekilde ABC üçgeninde x = ?

l BK l = 4l BK l = 4 x2 = 42 + ( 4 )2

xx22 = 16 +

x2 = 64 xx = 8

( 3 – 4 – 5 üçgeni ) ( 3 – 4 – 5 üçgeni )

Birinci üçgende

İkinci üçgende

3

48

4

www.muratguner.net

ÇÖZÜMÇÖZÜM

ÖRNEK ÖRNEK

Şekilde ABC dik üçgeninde l AH l = ?l AH l = ?

B H C3 6

A

l AH l = hl AH l = h olsun

hh

hh2 2 = l BH l . l HC l

hh2 2 = 3. 6

hh2 2 = 18 hh = 23

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B H C

Şekilde ABC dik üçgeninde l AB l = ?

4 9

x

A

xx2 2 = l BH l . l BC l

xx2 2 = 4. 13

xx2 2 = 52

(Öklid Bağıntısı )(Öklid Bağıntısı )

132xx =

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şekilde verilenlere göre

B H Cx 4x

c

A

?x

c

cc2 2 = l BH l . l BC l

cc2 2 = x. 5x.

cc2 2 = 5x2

cc =

x c

5. x

5x

(Öklid Bağıntısı )(Öklid Bağıntısı )

5 x

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

42 = y . ( 6 + y )

l AD l = l AD l = yy olsun

.

.

4x

6

x = ?

A

B C

Dyy

16 = 6y + y2

0 = y2 + 6y – 16 y = 2

x2 = y . 6

x2 = 2 . 6

x2 = 12

xx = 32

( Öklid )

( Öklid )

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B H C

4

x

41

Al AK l = 4 . l BK l ise x = ?

K

l AK l = 4 . l BK l ise l BK l = a , l AK l = 4a

a

4a

4422 = l BK l . l KA l

1616 = a.( 4a )

aa22 = 4

aa = 2

l AH ll AH l22 = 82 + 42l BK l = a , l AK l = 4a

l AH ll AH l22 = 64 + 16

l AH ll AH l22 = 80

xx22 = lAHl2 + lHCl2

xx22 = 80 +

xx22 = 121

2) 41 (

xx22 = 80 + 41

xx = 11

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B C

bc

A

H

?c

b ise

2

1

HC

BH

l BH l

l HC l

c

b

l

2 2

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B C

bc

A

H

? AH

ise

0 2 BC ve 3

4

c

b

3

4

c

b

3k

4k

c

b

5k BC ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

5k BC = 20 k = 4

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

1999199919991999

B Hx

A

K20

16

Şekilde verilenlere göre l BH l = x = ?

l KH l = h = 12 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

12122 2 = l BK l . 16

l BK l = 9

( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

l BH l = x = 15 B Hx

A

K20

16

99 1212

( Öklid Bağıntısı )

www.muratguner.net

A

B H C

l AH l = l BH l = l HC iseise

3.3. MUHTEŞEM ÜÇLÜ

l AH l = l BH l = l HC ll AH l = l BH l = l HC l

A

B H C

m ( A ) = 90m ( A ) = 90°°

m ( A ) = 90° ve l AH l kenarortay ise

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜMB H C

Şekilde ABC dik üçgeninde l BH l = l HC l ise

l AC l = ?10

A

13

1313 1313

10

B H C

A

13l AC l = 24

( 5k–12k–13k Üçgeni ( 5k–12k–13k Üçgeni ))

l BH l = l HC l ise muhteşem üçlümuhteşem üçlü gereği

l BH l = l HC l = l AH l = 13

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B H C

Şekilde ABC dik üçgeninde lABl = ?

7

A

10

7

7

!?!? l AB l2 + 102 = 142

l AB l2 + 100 = 196

l AB l2 = 196 – 100

l AB l2 = 96

l AB l = 4 6B H C7

A

10

7

7

Muhteşem üçlüüçlügereği 90gereği 90°° olmalı olmalı

www.muratguner.net

ÖRNEK

6

8x

A

B H D C

l BD l = l DC l ise x = ?

ÇÖZÜM

6

8x

A

B H D C

l BD l = l DC l ise [ AD ] kenarortaydır[ AD ] kenarortaydır..

l AD l = 10 ( 3k – 4k – 5k Üçgeni )

1010 l BD l = l DC l = l AD l ( Muhteşem … )

44 1010

l BH l = 10 – 6 = 4

5 4x2 = 82 + 42

x2 = 80

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

B H C

A

5 12

ABC üçgeninin çevresi kaç birimdir?

l BF l = l FA l = l FH l = 5 ; ; muhteşem… muhteşem…

l AK l = l KC l = l KH l = 12 ; ; muhteşem… muhteşem…

l BC l = 26 ; 5k – 12k – 13k Üçgeni; 5k – 12k – 13k Üçgeni

B

A

H C

5 12

FK

5

512

12

Ç (ABC ) = 10 + 24 +26

= 60

www.muratguner.net

Dik üçgende 30° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısına eşittir.

60°

30°

60° nin karşısındaki kenar hipotenüsün yarısının katına eşittir.

3

2a2aaa

60°

30°

2a

3a

4. 4. ÖZEL DİK ÜÇGENLER

www.muratguner.net

İkizkenar dik üçgende hipotenüs dik kenarlardan birinin katına eşittir. 2

45°

45°

a

a

2a

www.muratguner.net

l BC l = 2 h l BC l = 2 h dır. 2

A

67,5° 22,5°

B C

h

H

l BC l = 4h l BC l = 4h dır.

A

75° 15°

B C

h

H

m ( B ) = 75m ( B ) = 75°°

m ( B ) = 67,5m ( B ) = 67,5°°

67,5° – 22 ,5 – 90° ve 75° – 15° – 90° üçgenleri

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?

B C20

x

A

60°

3.2

20x 310

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?

.

4

x

30°

2

x4 x = 8

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?

.

3

x

45°

x =

.

3

45°

4545°°

3

2 3

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜMA B

H

C

5

13

12

x

x = ?

l HB l = l HB l = 12 ( 5 – 12 – 13 Üçgeni )

l AB l = x = 12 l AB l = x = 12 2 ( 45° – 45° - 90° üçgeni )

1212

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜMC

A

67,5°

B

22,5°

l AB l = 2 cm ise A( ABC ) = ?

C

A

67,5°

B

22,5°22,5°45°

45°2D

2

22 22

2

2 . ) 2 2 2 ( ) ABCA(

2 2 2 ) ABCA(

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

y

l AB l = yy olsun.

52 = x2 + y2

x x.

B D C

Al BD l = l DC l , l AD l = 5 cm

132l ACl

İse l AB l kaç cm’ dir?

5

132

222 ) 132 ()2x (y

y2 + 4x2 = 52

x = 3

y = 4y = 4

y2 + x2 + 3x2 = 52

25 + 3x2 = 52

3x2 = 52 – 25

3x2 = 27

x2 = 9 ; 3 – 4 – 5 üçgeni; 3 – 4 – 5 üçgeni

33

www.muratguner.net

ÖRNEK ÖRNEK

ÇÖZÜMÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?

B H C6

x

A

60°

3030°°6060°°

B H C6

x

A

60°3030°°

2

x

2 2

x 6

x

2

x62x 6

2

x2x

62

3x 123x

4x

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜMA BD

C

45°30°

? DC

CA

A BD

C

45°30°aa

aa aa 22

2a2a

DC

CA 2a

2

22

2

2

2

2a

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

30°

A

B C

x

45°

60°45°

H

6

l AH l = 3 ; 30° nin karşısındaki...

33l BH l = 3 ; İkizkenar dik

üçgen

1996-ll1996-ll1996-ll1996-ll

30°

A

B C

x

l AB l = ?

45°

6

33

; İkizkenar dik üçgen

x =

www.muratguner.net

www.muratguner.net

1. İkizkenar üçgende [ BC ] tabanına ait yükseklik ,açıortay ve kenarortay aynı doğru parçasıdır.

l AH l = Vl AH l = Vaa = n = naa =h =haa

2. İkizkenarlara ait yükseklikler birbirine ,açıortaylar birbirine ve kenarortaylar birbirine eşittir.

hb hc

A

B C

A

B C

nb nc

A

B C

Vb Vc

hhbb = h = hcc nnbb = n = ncc VVbb = V = Vcc

B

A

CH

www.muratguner.net

3.3. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen yüksekliklerin toplamı ikizkenarlardan birine ait olan yüksekliğe eşittir.

D [ BC ] , l AB l = l AC l ise

l DE l + l DF l = hb = hc

F

E

B C

A

D

Yani ;Yani ;

www.muratguner.net

4.4. İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara çizilen paralel doğru parçalarının uzunlukları toplamı ikizkenarlardan birinin uzunluğuna eşittir.

D [ BC ] , l AB l = l AC l , DF // AC , DE // AB ise

l DE l + l DF l = l AB l = l AC l = b

Yani ;Yani ;

B

FE

A

D C

www.muratguner.net

55 İkizkenar üçgende taban üzerindeki herhangi bir noktadan ikizkenarlara indirilen dikmelerin uzunlukları farkı ikizkenarlardan birine ait yüksekliğe eşittir.

D BC – [ BC ] , l AB l = l AC l , DE AC , DF AB

isel l DF l – l DE l l = hb = hc

Yani ;Yani ;

A

B C D

F

E

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

15 15

144

x

x = ?

15 15

144

x

A B

C l AD l = l DB l ; ; İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır.

M

l MD l = 9 – 4 = 5

x = 13x = 13 ; 5 – 12 – 13 üçgeni

144D

9955

12 l CD l = 12l CD l = 12 ; 5 – 12 – 13 üçgeni

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

FE

BC

A

D

Şekilde verilenlere göre l AB l = l AC l ise l AB l = ?

53

30°

FE

BC

A

D

53

30°

hc= 8

hc =

l AB l = l AC l = 16

3 + 5 = 8

İkizkenarlara çıkılan İkizkenarlara çıkılan dikmelerin toplamı dikmelerin toplamı ikizkenarlardan birinin ikizkenarlardan birinin yüksekliğine eşittir.yüksekliğine eşittir.

;;

3030°° nin karşısındaki kenar… nin karşısındaki kenar…;;

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

120°

30°

A

B C

4

l BC l = ?

120°

30°

A

B C

4

30°

60°60°

H

44

l AH l = 2 ; 30° nin karşısındaki …..

22l HC l = ; 60° nin

karşısındaki …

l BC l =

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

l AB l = 2 ise l BC l = ? 105°

60°

A

B C

60° 30°

15°

15°

105°

2

44

22 33

22 33

A

B D C

2l BD l2 l BD l = 4

32 24

l AD l = 3 =

l BC l = 34 + 2

www.muratguner.net

1999199919991999ÖRNEK

ÇÖZÜM

30°

30°

x

M

L

6

2

B

D

A

AL // MB , l AD l = 6 cm l BD l = 2 olduğuna göre l ML l = x kaç cm dir?

30°

30°

x

M

L

6

2

B

D

A

22

30°

K

; ( İçters açı ); ( İçters açı )M( AKB ) = 30°

xx2

8x x = 4

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

x

x + 7

7

A

DB C

E 24

l DC l = 7br , l AD l = 24br , l AE l = l EB l ise l BD l =?

İkizkenar üçgende yükseklik İkizkenar üçgende yükseklik tabanı iki eşit parçaya ayırır.tabanı iki eşit parçaya ayırır.l AC l = l BC l

7

A

DB C

E24

;

x + 7 = 25 7 – 24 – 25 Üçgeni7 – 24 – 25 Üçgeni;

x = 18

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şekilde ABC dik üçgeninde x = ?

10

10

B

A C

D

12

x

12

10

10

B

A C

D

x

66

66E

102 = 6.( 12 + x )

100 = 72 + 6x

100 – 72 = 6x

28 = 6x

14 / 3 = x 14 / 3 = x

www.muratguner.net

www.muratguner.net

VVaa = n = naa =h =ha a = = xxVVbb = n = nbb =h =hb b = = xxVVcc= n= ncc =h =hc c = = xx

23a

x

A

B C

60° 60°

60°

aa aa

aa

ha

na

Va

H

2.2. Bütün yükseklik , açıortay ve kenarortay eşittir.

1.1. İkizkenar üçgenin bütün özelliklerini sağlar.

www.muratguner.net

3. 3. Eşkenar üçgende üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen dikmelerin uzunlukları toplamı , bir yüksekliğe eşittir.

[ MD ] [ AB ] , [ DK ] [ AC ] , [DN ] [ BC ] ise

l DK l + l DM l + l DN l = h =

Yani ;Yani ;

D

A

B C

K

N

Mh

www.muratguner.net

4. 4. Eşkenar üçgende , üçgen içinde alınan herhangi bir noktadan kenarlara çizilen paralellerin uzunluklar toplamı, üçgenin bir kenar uzunluğuna eşittir.

[ MD ] // [ AC ] , [ DK ] // [ BC ] , [DN ] // [ AB ] ise

l DK l + l MD l + l DN l = a a

D

A

B C

K

N

M

a

Yani ;Yani ;

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM l BC l = 2.l CD l = 2 l CD l = 1 , l BC l = 2

ABC eşkenar üçgen ,

l BC l = 2.l CD l = 2 cm ise x = ?

B C D

A

xx

B C D

A

60° 60°

60°

11

22

1111 H

223

222 ) 3 (2x

34x2 7x

l BH l = l HC l = 1 ; ; Eşkenar üçgende yükseklik tabanı iki eş parçaya ayırır.

l AH l = 3 ; 60; 60°° nin nin karşısındaki….karşısındaki….

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

ABC dik üçgen , BEF eşkenar üçgen

l AE l = 2.l EF l ve l FC l = 10 ise

A

B C

E

F

l BF l = ?l BF l = ?

l AE l = 2.l EF lA

B C

E

F60° 60°

60°

10

l EF l = l EF l = x x , l AE l = , l AE l = 2x2x

x

x

x

2x

6x = x + 10

30°

2x + 10

3x

5x = 10

x = 2

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

6060°°6060°°

A

D C

B

l AD l = 7 cm , l BC l = 5 cm

m( ADC ) = m ( BCD ) = 60°

ise l DC l = x kaç cm ’ dir?

A

B

CD

6060°°6060°°

5

7

E 6060°° 3030°°

6060°°

6060°°5

4

5

5

2

4

l DC l = x = 4 + 5 = 9

www.muratguner.net

ÖRNEK 1997-l1997-l1997-l1997-l

ÇÖZÜMA

D

B CE

3

2

lDA l

l DC l l DC l = 2k ,l DA l = 3k

k

4k

l EC l

l EB l 4

l EC l

l EB l

A

D

B C

Yandaki şekilde ABC eşkenar üçgenler ,

E

?l EC l

l EB l ise

3

2

lDA l

l DC l

2k

3k

6060°°

3030°°

k4k

www.muratguner.net

ÖRNEK 1996-l1996-l1996-l1996-lC

D

OA B

EL

xx

Yandaki şekilde ABC ve DOC eşkenar üçgenler , l CL l = l LB l l AO l = l OB l , [ DE ] // [ AB ] ve l DE l = 8 cm olduğuna göre l OL l = x kaç cm dir?

ÇÖZÜM

3.2

h8 3.3

16h

2

3)2x (3.

3

16

3

16x

D

OA B

C

EL88

6060°°6060°°

3030°°

3030°° xxxx

xx

l OC l = h olsun

Eşkenar Eşkenar üçgende üçgende yükseklik yükseklik tanımıtanımı

;

www.muratguner.net

ÖRNEK

ÇÖZÜM

Şekilde ABC üçgeni eşkenar üçgendir.[ DE ] // [ BC ] [ GD] // [ AC ][DF ] // [ AB ] ve l ABl = 6 br ise l DF l + l GD l + l DE l = ?

D

A

B C

E

F

G

l DF l + l GD l + l DE l = l AB l = 6

www.muratguner.net