DEVOIR MAISON N 1 - Freepgoutet.free.fr/ptsi/documents/devoirs_ptsi_2015-2016.pdf · DEVOIR MAISON N o 1 A vertissement . La présentation, la lisibilité, l'orthographe, la qualité

PTSI de Nevers (2015-2016) Pour mercredi 09/09/2015

DEVOIR MAISON No 1

Avertissement. — La présentation, la lisibilité, l’orthographe, la qualité de la rédaction, laclarté et la précision des raisonnements entreront pour une part importante dans l’appréciationdes copies. En particulier, les résultats non encadrés et non justifiés ne seront pas pris en compte.

Le sujet se compose d’un unique exercice.

Exercice I

Soit f0 la fonction définie sur l’intervalle R par f0(x) = e−3x . Pour tout entier n ≥ 1, on définit lafonction fn sur R par fn(x) = (1 − x)ne−3x . On note Cn sa courbe représentative. On pose, pour tout n de N,

un =

∫ 1

0fn(x) dx.

1. Étude pour n = 2.

a. Déterminer les limites en −∞ et en +∞ de f2. Que peut-on en déduire pour f2 ?

b. Dresser le tableau de variations de f2.

c. Donner l’équation de la tangente en 0 à la courbe C2.

d. Tracer soigneusement, sur papier millimétré, C2 sur [0 ; 5]. On fera le tracé avec une échelle de2 cm sur l’axe des abscisses et 10 cm sur l’axe des ordonnées.

2. Propriétés de base de (un)n∈N.

a. Si n ∈ N, justifier l’existence de un.

b. Calculer u0.

3. Limite de (un)n∈N.

a. Montrer que, pour tout x de [0 ; 1], 0 ≤ fn(x) ≤ (1 − x)n.

b. Montrer que, pour tout n de N, on a 0 ≤ un ≤ 1n+1 .

c. Déterminer la limite de la suite (un)n∈N.

4. Limite de (nun)n∈N.

a. À l’aide d’une intégration par parties, établir pour tout n de N la relation suivante : un+1 =13 − 1

3 (n + 1)un.

b. Montrer que, pour tout n de N, un+1 ≤ un.

c. En déduire que, pour tout n de N, on a un ≥ 1n+4 .

d. Que vaut limn→+∞ nun ?

5. Expression de (un)n∈N en terme de somme. — On pose pour tout n de N :

vn =

n∑

k=0

(−1)k3k

k!− e−3.

En utilisant un raisonnement par récurrence, montrer que pour tout n de N, on a : un =(−1)nn!

3n+1 vn.

PTSI de Nevers (2015-2016) Mercredi 2 septembre

INSTRUCTIONS POUR LES DEVOIRS DE MATHS

1. Encadrer tous les résultats demandés. Il vaut mieux le faire au fur et à mesure de la rédaction (et nonpas après que tout soit recopié au propre) pour ne rien oublier.

2. Mettre les numéros complets de questions : il ne faut pas écrire « a. » mais « I.1.a. ».

3. Décaler les numéros dans la marge et les souligner.

4. Numéroter les pages.

5. Écrire dans une encre bleue ou noire bien lisible. Les encres délavées sont à proscrire.

6. Commencer les DM dès le mercredi soir et en faire un peu chaque soir ; en cas de blocage, ne pashésiter à demander en classe ou par mail.

7. Bien lire le sujet en entier avant de commencer pour repérer les questions faciles ou les questions decours ainsi que les enchaînement des questions.

8. Pour les tracés de fonctions, ce qui est important est l’allure de la courbe. Prendre peu de points, maisbien mettre la pente de la tangente. Faire un tracé qui ne tremble pas. Ne pas utiliser la calculatricepour le faire tracé, mais faire le tracer, le vérifier à la calculatrice puis le recopier au propre.

PTSI de Nevers (2015-2016) Samedi 12/09/2015

DEVOIR SURVEILLÉ No 1

Durée : 4 heures


Calculatrices et documents interditsSeuls les stylos et feuilles sont autorisés sur les tables.

Les téléphones portables doivent être éteints et rangés dans les sacs.Les trousses doivent être rangées dans les sacs et les sacs déposés dans un coin de la salle.

Le sujet se compose de plusieurs exercices, tous indépendants entre eux.

Questions de cours

1. Donner les formules concernantn∑

k=0

qk et∫

xα dx.

2. Énoncer le théorème d’intégration par parties.3. Donner la formule concernant sin p − sin q. La démontrer à partir des formules d’addition.

4. Donner∫ √

7x + 4 dx et∫

sin(7x + 4) dx en précisant soigneusement les intervalles de validité.

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Résoudre l’équation sin(4x) = sin(2x).2. Si x ∈ R, linéariser cos3 x (on pourra utiliser ∀(a,b) ∈ R2, (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3). En

déduire la valeur de∫ π/2

0cos3 x dx.

3. On définit la suite (un)n∈N par u0 = 5 et ∀n ∈ N, un+1 =14un − 1. Montrer que ∀n ∈ N, un ≥ −4

3 .

4. Si n ∈ N∗, calculern∑

k=1

(nk + 2k ).

5. Donner la négation de « ∀A ∈ R, ∃B ∈ R, ∀x ∈ R, x ≥ B =⇒ f (x) ≤ A ».

Exercice II

1. Soit f la fonction définie pour x < −1,0,1 par f (x) =1

x(x2 − 1).

a. Déterminer a, b, c réels tels que l’on ait ∀x < −1,0,1, f (x) =ax+

bx − 1

+c

x + 1.

b. Calculer∫ 4

2f (x) dx.

2. a. Justifier que∫

x(x2 − 1)2 dx = − 1

21

x2 − 1+ C où C ∈ R en précisant le domaine de validité.

b. Calculer à l’aide d’une intégration par parties :∫ 4

2

x ln x(x2 − 1)2 dx.

Exercice III

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (In)n∈N définie par ∀n ∈ N, In =

∫ e

1x lnn x dx. Si n ∈ N et

x > 0, on pose fn(x) = x lnn x.

1. a. Si n ∈ N, justifier l’existence de In.

b. Calculer I0 et I1.

2. Étude de la fonction f2.

a. Dresser le tableau de variations de f2 sur R∗+. On complètera les limites avec les valeurs trouvéesdans les questions suivantes.

b. Calculer limx→+∞ f2(x) puis lim

x→+∞f2(x)

x . Que peut-on en déduire concernant la courbe représentativede f2 ?

c. Soit x ∈ R∗+. Justifier que si u =√

x, on peut écrire x ln2 x = 4(u ln u)2. En déduire la limite def2 en 0.

d. Montrer que f ′2(x) −→x→0+∞. Que peut-on en déduire concernant la tangente de la courbe

représentative de f2 en 0 ?

e. Tracer l’allure de la courbe représentative de f2 sur papier millimétré. On prendra pour échelle10 cm sur l’axe des abscisses et des ordonnées et on se restreindra à 0 ≤ x ≤ 2 et 0 ≤ y ≤ 1. Ondonne e−2 ' 0,1353

3. a. Si n ∈ N, rappeler la formule pour∫

u′(x)un(x) dx. Calculer∫ e

1

lnn xx

dx.

b. En remarquant que x =x2

xsi x , 0, montrer que si n ∈ N, ∀x ∈ [1 ; e], x lnn x ≤ e2 lnn x

x.

c. En déduire que ∀n ∈ N, 0 ≤ In ≤ e2

n + 1.

d. Énoncer le théorème des gendarmes. Quelle est la limite de (In)n∈N ?

4. a. En procédant par intégration par parties, montrer que ∀n ∈ N, In+1 =e2

2− n + 1

2In.

b. En déduire la valeur de I2.

5. a. Comparer lnn x et lnn+1 x lorsque n ∈ N et 1 ≤ x ≤ e. En déduire que la suite (In)n∈N estdécroissante.

b. En utilisant la question 4.a, en déduire que ∀n ∈ N, In ≥ e2

n+3 .

c. Quelle est la limite de (nIn)n∈N ?

6. a. Montrer que

∀n ∈ N, In =(−1)nn! e2

2n+1

( n∑

k=0

(−2)k

k!− e−2

)

b. Si n ≥ 3, montrer quen!2n ≥

n4

. Que peut-on en déduire sur limn→+∞

n!2n ?

c. Que vaut limn→+∞

n∑

k=0

(−2)k

k!?


MINI-DEVOIR MAISON No 1


Le sujet se compose de trois exercices courts.

Exercice I

1. Trouver trois réels a, b et c tels que ∀t ∈ R∗, 1t(1 + t2)

=at

+bt + c1 + t2 .

2. En effectuant une intégration par parties, en déduire la valeur de∫ e

1

2t ln t(1 + t2)2 dt.

Exercice II

Résoudre l’équation sin(x + y) = sin x + sin y.

Exercice III

Étudier puis tracer la courbe représentative de x 7−→ sin3 x cos x.


DEVOIR MAISON No 2


Le sujet se compose de plusieurs exercices indépendants entre eux. Les courbes seront tracées avec soinsur papier millimétré.

Exercice I

Les questions sont indépendantes.

1. Résoudre sur R l’inéquation 1 ≤ tan2 x ≤ 3.

2. Dérivabilité et dérivée de x 7−→ (ln x)x .

3. Soit x ∈ [ π4 ; π3 ]. À l’aide de l’inégalité triangulaire, donner un encadrement non trivial de |tan x + 3|et de |5 − tan x|. En déduire un encadrement non trivial de

∣∣∣∣tan x + 35 − tan x

∣∣∣∣.

4. Mettre sous forme phase-amplitude x 7−→ sin x − √3 cos x.

5. Expliquer comment tracer la courbe représentative de x 7−→ tan x − x sur ] π2 ; 3π2 [ à partir de celle sur

]− π2 ; π2 [.

Exercice II

On considère les fonctions f et g définies, pour tout réel x, par :

f (x) = ex2 − x2 − 1 et g(x) = e−x2+ x2 − 1.

1. Étudier la parité de f et g. En déduire un domaine d’étude de ces fonctions.

2. Déterminer la limite de f et g en +∞. Quelle est la nature des branches infinies des courbesreprésentatives de ces deux fonctions en +∞ ?

3. On souhaite ici tracer les courbes représentatives des fonctions f et g sur un même graphe.

a. Pour x ∈ R, exprimer f (x) − g(x) à l’aide de la fonction sinus hyperbolique.

b. Montrer que pour tout réel t ≥ 0,

sh t ≥ t.

En déduire que f (x) ≥ g(x) pour tout x ≥ 0.

c. À l’aide de ces éléments, représenter sur un même graphe les courbes représentatives respectivesdes fonctions f et g sur [0 ; 1] dans un repère orthonormé direct. On prendra comme unité 10 cm.

Exercice III

Étude et tracé de x 7−→ ln(x−13 + x) sur R∗+.

Exercice IV

On considère la suite (In)n∈N définie par :

∀n ∈ N, In =

∫ α

0(sh t)n dt,

où α est un nombre réel strictement positif qui sera précisé ultérieurement.

1. a. Montrer que l’équation sh t = 1 admet une unique solution α dont on exprimera la valeur à l’aided’un logarithme.

b. Montrer que ch(α) =√

2.



3. a. Soit n ∈ N. Montrer que ∀t ∈ R+, 0 ≤ shn t ≤ ch t shn t.

b. En déduire que ∀n ∈ N, 0 ≤ In ≤ 1n+1 .

c. Quelle est la limite de la suite (In)n∈N ?

4. a. Rappeler la relation reliant ch2 et sh2.

b. Soit n ≥ 2. Montrer, à l’aide d’une intégration par parties, que nIn + (n − 1)In−2 =√

2.

c. Justifier que la suite (In)n∈N est décroissante.

d. Déduire des deux questions précédentes la double inégalité√

22n+3 ≤ In ≤

√2

2n−1 lorsque n ≥ 2.

e. Quelle est la limite de (nIn)n∈N ?



Durée : 4 heures





Questions de cours

1. Énoncer et démontrer l’inégalité triangulaire pour les nombres complexes. On énoncera, mais on nedémontrera pas, le cas d’égalité. Énoncer également l’inégalité triangulaire inverse.

2. Donner la formule concernant cos p − cos q. La démontrer à partir des formules d’addition.3. Donner la liste des branches infinies vues en cours pour une courbe y = f (x).

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Domaine de définition, de dérivabilité et dérivée de x 7−→ (−1 − x)x .2. Résoudre z2 = −3 + 4i.3. Résoudre (1 + i)z2 + (2 + i)z + i = 0.

4. Soit z ∈ C vérifiant 2 ≤ |z| ≤ 3. Donner un encadrement (non trivial) de∣∣∣∣9z − iiz − 9

∣∣∣∣.

5. Nature de la branche infinie en +∞ de f : x 7−→ x2 + x ln x3x + 1

.

6. Donner, en justifiant, limx→0x,0

sin xx

. En déduire la valeur de limx→0x>0

sin xx2 .

Exercice II

On pose, lorsque cela a un sens, f (x) =√

1 − tan2 x.1. a. Résoudre l’inéquation tan2 x ≤ 1. En déduire le domaine de définition D de f .

b. Donner le domaine de dérivabilité D′ de f et montrer que f ′(x) = − tan x (1 + tan2 x)√1 − tan2 x

si x ∈ D′.

2. a. Quelle est la parité de f sur [− π4 ; π4 ] ? En déduire un domaine d’étude.b. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; π4 ].c. Calculer la limite de f ′ en π

4 . Que peut-on en déduire concernant la courbe représentative de f ?

d. Montrer que f ( π6 ) =√

63 et f ′( π6 ) = −2

√2

3 .

e. À l’aide de ces éléments, représenter, sur papier millimétré, la courbe représentative de la fonctionf sur [− π4 ; π4 ] dans un repère orthonormé direct. On prendra comme unité 5 cm. On donne lesvaleurs approchées

√6 ' 2,45 et

√2 ' 1,41.

Exercice III

1. a. Soit t ∈ R. Exprimer 1 − eit en fonction de ei t2 et sin( t2 ).

b. Rappeler la formule pourn∑

k=0

qk . En déduire quen∑

k=1

qk = q1 − qn

1 − qsi q , 1.

c. Montrer que44∑

k=1

ei kπ180 = ei π8

sin( 44π360 )

sin( π360 )

. On ne cherchera pas à calculer sin( 44π360 ) et sin( π

360 ).

d. En déduire que

∑44k=1 cos( kπ

180 )∑44

k=1 sin( kπ180 )

=1

tan π8

.

2. a. Rappeler la formule pour tan(a + b). On spécifiera soigneusement le domaine de validité. Ladémontrer à partir des formules d’addition pour cos et sin.

b. Peut-on appliquer la formule précédente lorsque a = b = π8 ? On pose X = tan π

8 . Montrer queX2 + 2X − 1 = 0. En déduire la valeur de tan π

8 .

c. Trouver deux entiers a et b tels que

∑44k=1 cos( kπ

180 )∑44

k=1 sin( kπ180 )

= a + b√

2.

Exercice IV

L’objet de cet exercice est d’étudier la suite (In)n∈N définie par ∀n ∈ N, In =

∫ α

0chn x dx où α > 0 est

un nombre que l’on précisera ultérieurement. Si n ∈ N et x ∈ R, on pose fn(x) = chn x.

1. a. Résoudre l’équation ch x = 54 . On note α l’unique solution strictement positive.

b. Montrer que sh α = 34 .



3. a. Si n ≥ 1, calculer∫ α

0sh x chn−1 x dx.

b. Montrer que ∀x ∈ R, sh x ≤ ch x.

c. En déduire que In ≥∫ α

0sh x chn−1 x dx.

d. Quelle est la limite de nIn ?

4. a. Rappeler la formule reliant ch2 et sh2.

b. Soit n ∈ N. En procédant par intégration par parties en dérivant chn+1, montrer que

In+2 =34

(54

)n+1

− (n + 1)In+2 + (n + 1)In.

c. Si n ∈ N, donner l’expression de In+2 en fonction de In. En déduire la valeur de I2 et de I3.

d. Montrer que

∀n ∈ N∗, I2n+1 =34

(54

)2n 12n + 1

+34

n−1∑

k=0

12k + 1

(54

)2k n∏

l=k+1

2l2l + 1

e. Montrer que si n ≥ 1 et 0 ≤ k ≤ n − 1, on an∏

l=k+1

2l2l + 1

= 22n−2k n!2 (2k + 1)!(2n + 1)! k!2 .





Exercice I

Les questions sont indépendantes entre elles.

1. Résoudre dans C l’équation z2 = 2 + i.

2. Résoudre dans C l’équation iz2 + z − i = 0.

3. Résoudre dans C l’équation z5 = 1024i. Représenter graphiquement les solutions. Que constate-t-on ?

4. Résoudre dans C l’équation ez =√

3 + i.

Exercice II

Les questions sont indépendantes entre elles. On veillera à justifier très soigneusement les réponses.

1. Calculer limx→0x,0

tan xln(1 + x)

.

2. Calculer limx→+∞

e√

x

x5 .

3. Calculer limx→+∞

ln(x + 1)ln(x + e−x)

.

Exercice III

1. Rappeler la formule permettant d’exprimer cos2 a en fonction de cos(2a).

2. On fixe x ∈ R. Si n ∈ N, calculer Sn =

n∑

k=0

cos2(k x).

3. La suite (|Sn|)n∈N est-elle majorée ? On justifiera soigneusement le résultat.

PTSI de Nevers (2015-2016) Pour lundi 02/11/2015




Exercice I

Étude et tracé de x 7−→ arctan(sin x). On fera un tracé soigné sur papier millimétré en choisissant unintervalle de tracé pertinent.

Exercice II

Dérivabilité et dérivée de x 7−→ (tan x)x sur ]0 ; π2 [.

Exercice III

Les questions sont indépendantes entre elles.

1. Résoudre z2 − (4 + 2i)z + 3 + 4i = 0

2. Résoudre 4 tan2 x < 1.

3. Calculer limx→0+

√arcsin x

x

PTSI de Nevers (2015-2016) Pour jeudi 12/11/2015

DEVOIR MAISON No 3


Le sujet se compose de plusieurs exercices indépendants entre eux.

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Étudier la bijectivité de f :R2 −→ R2, (x, y) 7−→ (x + y, xy2).2. Résoudre z3 + (i − 1)z2 + z + i − 1 = 0.3. Résoudre ez = −5 − 7i.4. Mettre sous forme phase-amplitude x 7−→ 6 cos x − sin x.

Exercice IILes questions sont indépendantes.1. Résoudre l’inéquation tan4 x ≥ 49.

2. Si x ∈ ]−1 ; 1[, on pose f (x) = arctan(√

1 − x1 + x

). Montrer que f est dérivable sur ]−1 ; 1[, calculer

f ′(x) et en déduire une expression plus simple de f (x).

3. Calculer∫ 1

2 ln 3

0e2x arctan(ex) dx.

Exercice III1. On considère f :R −→ R, x 7−→ 2 cos x − cos(2x).

a. Étudier la périodicité puis la parité de f . En déduire un domaine d’étude de cette fonction.b. Dresser le tableau de variations de f .c. Résoudre 1 + 2X − 2X2 = 0. Rappeler la formule reliant cos(2a) et cos2 a. En déduire que f

s’annule une unique fois sur [0 ; π] en α = arccos( 1−√32 ).

d. Justifier que si x ∈ R, f ′(x) = 2 sin x (2 cos x − 1). Montrer que ∀t ∈ [−1 ; 1], sin(arccos t) =√1 − t2. En déduire que f ′(α) = −√2 · 4√27.

e. À l’aide de ces éléments, tracer sur papier millimétré la courbe représentative de la fonctionsf sur [−π ; π] dans un repère orthonormé direct. On prendra comme unité 2 cm. On donnearccos( 1−√3

2 ) ' 1,95, 4√27 ' 2,28 et√

2 ' 1,41.2. Soit F la fonction définie par ∀x ∈ [ π3 ; π], F(x) = 2 cos x − cos(2x).

a. Démontrer que F admet une fonction réciproque, G, dont on précisera le domaine de définition J.Est-elle continue sur J ?

b. Montrer que G est dérivable sur un certain intervalle J′ inclus dans J que l’on précisera.c. La fonction G est-elle C∞ sur J′ ?d. Tracer la représentation graphique de G sur la figure de la question 1.e.

3. Soit y ∈ J.a. Résoudre l’équation 1 + 2X − 2X2 = y. Quelle solution appartient à [−1 ; 1

2 ] ?b. En déduire une expression explicite de G(y) en fonction de y à l’aide d’un arccosinus.

Exercice IV

Si z ∈ C, on pose, lorsque cela a un sens, f (z) =z − 1z + 3i

.

1. Le but de cette partie est d’étudier quelques propriétés de l’application f .

a. Déterminer l’ensemble de définition D de f .

b. Résoudre les équations f (z) = 1 puis f (z) = w où w ∈ C \ 1.c. Montrer que f établit une bijection de D sur D′ = C \ 1. Expliciter la bijection réciproque

g : D′ −→ D, w 7−→ z ainsi définie.

2. Soit A le point d’affixe −3i, B le point d’affixe 1 et C′ le point d’affixe −2i. On note F l’applicationdu plan complexe dans lui-même dont l’écriture complexe est f .

a. Faire une figure et la compléter au fur et à mesure de cette question 2. On prendra 1 unité pour2 cm.

b. Déterminer l’affixe du point C image de C′ par F. Quelle est la nature du triangle ABC ?

c. Rappeler l’interprétation géométrique du module et d’un argument dez − 1z + 3i

.

d. Déterminer l’ensemble Γ1 des points M d’affixe z tels que | f (z)| = 1.

e. Déterminer l’ensemble Γ2 des points M d’affixe z tels que f (z) ∈ R∗+.

f. Déterminer l’ensemble Γ3 des points M d’affixe z tels que f (z) ∈ iR∗−.

3. On reprend les notations de la partie précédente concernant F.

a. Si t ∈ R, calculer f (t) sous forme algébrique. On pose f (t) = X + iY avec X et Y réels. Sous deshypothèses convenables, exprimer t comme un quotient faisant intervenir X et Y puis en déduireque 3(X2 + Y2) = 3X + Y. En déduire que l’image de l’axe réel par F est contenu dans un cercledont on donnera les éléments caractéristiques.

b. Montrer que l’image par F du cercle de centre O et de rayon 3 est contenue dans une droite donton précisera les éléments caractéristiques.



Durée : 4 heures





Questions de cours

1. Donner la formule concernant tan(a − b). La démontrer à partir des formules d’addition.

2. Calculer, lorsque cela a un sens, arccos x + arcsin x.

3. Donner la définition d’une rotation.

Exercice I

Les trois questions sont indépendantes.

1. Résoudre 49 tan2 x ≥ 1.

2. Résoudre sin x = 13 .

3. On pose, lorsque cela a un sens, f (x) = arctan( 1+x1−x ).

a. Déterminer le domaine de définition D f de f .

b. Montrer que f est dérivable sur D f et calculer f ′(x).

c. En déduire une expression plus simple de f (x).

Exercice II

Les trois questions sont indépendantes.

1. Citer le théorème de changement de variable. Calculer∫ 16

9

dx√x3 + 3

√x2 + 2

√x

.

2. Résoudre x2y′−y = x2−x+1 sur R∗+. On cherchera une solution évidente sous la forme x 7−→ αx+ β.

3. Résoudre 9y′′ − 12y′ + 4y = sin x.

Exercice III1. Rappeler la définition d’une fonction bijective. Donner la négation de cette définition.2. Étudier la bijectivité de f :R2 −→ R2, (x, y) 7−→ (cos x, xey).3. Étudier la bijectivité de g :R2 −→ R2, (x, y) 7−→ (x, y3).4. Étudier la bijectivité de h :R2 −→ R2, (x, y) 7−→ (x2y, x).5. Une bijection entre intervalles de R est-elle nécessairement strictement monotone ? Si oui, le démon-

trer, sinon, donner un contre-exemple simple (ou pourra se contenter de faire un dessin).

Exercice IVOn pose, lorsque x ∈ R, f (x) = e−x (cos x − sin x).1. Rappeler la définition d’une fonction R −→ R qui est 2π-périodique. Donner la négation de cette

définition. La fonction f est-elle 2π-périodique sur R ?2. a. Dresser le tableau de variations de f sur [− π2 ; π2 ]. Préciser la valeur de f ′(0).

b. Mettre cos x − sin x sous la forme A cos(x − ϕ).c. En déduire les solutions de l’équation f (x) = 0 sur [− π2 ; π2 ]. Calculer la valeur de la dérivée en

ces points.d. À l’aide de ces éléments, tracer sur papier millimétré la courbe représentative de la fonctions

f sur [− π2 ; π2 ] dans un repère orthonormé direct. On prendra comme unité 2 cm. On donne lesvaleurs approchées suivantes : eπ/2 ' 4,81, eπ/4 ' 2,19, e−π/4 ' 0,45, e−π/2 ' 0,21 et

√2 ' 1,41.

3. a. Montrer que f établit une bijection de I = [− π2 ; π2 ] sur un intervalle J à préciser. On note g labijection réciproque. Est-elle continue sur J ?

b. Sur quel domaine g est-elle dérivable ?c. Sur quel domaine peut-on affirmer que g est C∞ ?d. Tracer g sur la même figure que f .

4. À l’aide du résultat de la question 2.b, déterminer une primitive F de f . On prendra soin de simplifierle résultat au maximum.

Exercice V

Si z ∈ C, on pose, lorsque cela a un sens, f (z) = z−1z+1 .

1. a. Déterminer l’ensemble de définition D de f .b. Si w ∈ C, résoudre l’équation f (z) = w.c. En déduire un ensemble D′ tel que f établisse une bijection de D sur D′. Préciser g = f −1.

2. Rappeler les inégalités triangulaires directe et inverse. Si 13 ≤ |z| ≤ 1

2 , en déduire un encadrement nontrivial de | f (z)|.

3. a. Rappeler, sous des hypothèses convenables, l’interprétation géométrique du module et desarguments de f (z).

b. Déterminer l’ensemble Γ1 des z ∈ D tels que f (z) ∈ R∗+.c. Déterminer l’ensemble Γ2 des z ∈ D tels que f (z) ∈ iR∗.d. Tracer Γ1 et Γ2 sur une même figure avec pour échelle 2 cm sur l’axe des abscisses et des

ordonnées.4. a. Résoudre f (z) = iz.

b. Déterminer toutes les solutions de l’équation ( f (z))4 = 1. Montrer que les solutions sont toutesimaginaire pures.

5. a. Si t ∈ R \ −1, mettre f (t) sous forme algébrique. Quelle est l’image de R \ −1 par f ?b. Si a ∈ R, exprimer eia − 1 et eia + 1 en fonction de cos a

2 , sin a2 et ei a2 . Si θ ∈ ]−π ; π[, en déduire

f (eiθ ) sous forme algébrique. Quelle est l’image de U \ −1 par f ?


DEVOIR MAISON No 4



Exercice I

Les questions sont indépendantes. Étudier la bijectivité des applications suivantes. Le cas échéant,préciser la bijection réciproque.

1. f :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (eun )n∈N.2. g :RN −→ R, (un)n∈N 7−→ u7.3. h :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (u5

n)n∈N.

Exercice IILes questions sont indépendantes.

1. Calculer∫ π/3

π/4

tan x1 + sin2 x

dx en faisant le changement de variable t = tan x.

2. Résoudre (x2 + x)y′ + xy = 1 sur R∗+.3. Donner les solutions définies sur R et à valeurs réelles de y′′ − 4y′ + 6y = cos(

√2 x).

Exercice III

Si n ∈ N, on pose Fn =

∫ ln 2

0

dxchn x

. On se propose de démontrer que Fn −→n→+∞ 0. Soit ε > 0 tel que

ε < ln 2. On pose a = ε2 et b = ln 2.

1. Justifier que∫ a

0

dxchn x

≤ a.

2. Justifier que∫ b

a

dxchn x

≤ bchn a

.

3. En déduire l’existence d’un rang n0 ∈ N tel que∫ b

a

dxchn x

≤ a si n ≥ n0.

4. Conclure que Fn −→n→+∞ 0. On expliquera notamment pourquoi l’hypothèse ε < ln 2 n’est pas gênante.

Exercice IVLes questions sont indépendantes. Convergence des suites de termes généraux suivant.

1. un =

2n∑

k=n+1

1√n + k

.

2. vn =

2n∑

k=n+1

1√n2 + k

.

3. wn =

2n∑

k=n+1

1√n3 + k

.

Exercice V

Soit (un)n∈N la suite définie par u0 ∈ R et ∀n ∈ N, un+1 = f (un) où f :R∗+ −→ R, x 7−→ x ln x.

1. a. Dresser le tableau de variations de f .

b. Résoudre l’équation f (x) = x puis les inéquations f (x) ≥ x et f (x) ≤ x.

c. Préciser la valeur de f ′ en 1 ainsi qu’en tout point fixe de f . Donner la limite de f ′ en 0 ; quellesconclusions graphiques peut-on en tirer ?

d. À l’aide de ces éléments, tracer sur papier millimétré la courbe représentative de la fonction fsur ]0 ; 5] dans un repère orthonormé direct. On prendra comme unité 2 cm.

2. a. Faire l’étude graphique du comportement de (un)n∈N lorsque u0 = 3 puis lorsque u0 =12 .

b. Que dire de la suite lorsque u0 = e ? lorsque u0 =12 ?

c. Lorsque u0 > e, étudier la limite de (un)n∈N.

Exercice VI

Si n ≥ 1, on pose un =∑n

k=11

k·k! et vn = un +1

n2·n! .

1. Montrer que les suites (un)n∈N et (vn)n∈N sont adjacentes. Que peut-on en déduire ?

2. À l’aide d’un court programme Python que l’on fera figurer sur la copie, donner une valeur approchéede la limite commune des deux suites à 10−9 près.

Exercice VII


1. Montrer que si x ∈ R+ et n ∈ N, on a (1 + x)n ≥ 1 + nx + n(n−1)2 x2 +

n(n−1)(n−2)6 x3.

2. Si n ∈ N∗ et x ∈ R, calculer∑n

k=1(n

k

)k cos(k x).

3. Si n ≥ 2, calculer∑

1≤i< j≤n (i + j).



Durée : 4 heures





Questions de cours1. Donner la définition de un −→n→+∞ +∞.2. Donner la définition de un ∼n→+∞ vn.3. Donner un exemple de suite qui tend vers +∞ mais qui n’est croissante à partir d’aucun rang.4. Donner et démontrer le théorème de la limite monotone dans le cas croissant majoré.

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Rappeler la définition d’une bijection. L’application f :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (u2n)n∈N est-elle

bijective ?2. Rappeler la définition de la partie entière d’un réel t. Si x ∈ R, montrer qu’il existe un unique entier

n ∈ Z tel que (7n − 1)√

27 ≤ x < (7n + 6)

√2

7 .

3. Rappeler la formule du binôme. Si n ∈ N et x ∈ R, calculern∑

k=0

(nk

)(−1)n−k e−ik x .

4. Soit (zn)n∈N la suite définie par z0 = 0 et ∀n ∈ N, zn+1 = (1 − i)zn + i. Calculer zn en fonction de n.Rappeler les inégalités triangulaires directe et inverse. La suite (zn)n∈N est-elle bornée ? convergente ?

5. Trouver un équivalent de n37/18−ln1/18 n et de ln(2n−n). En déduire un équivalent den37/18 − ln1/18 n

ln(2n − n).

6. Si n ∈ N∗, calculer∑

1≤i≤ j≤n

( j − i). On rappelle que∑n

k=1 k2 =(2n+1)n(n+1)

6 .

Exercice II

Si n ∈ N∗, on pose un =

n∑

k=1

1k2 et vn = un +

1n

.

1. Donner la définition de deux suites adjacentes puis énoncer le théorème de convergence des suitesadjacentes en précisant l’encadrement de la limite.

2. Montrer que (un)n≥1 et (vn)n≥1 sont adjacentes.3. Rappeler la définition d’une valeur approchée par défaut à ε près d’un réel. Déterminer une valeur

approchée par défaut à 0,2 près de la limite de (un)n≥1.

Exercice IIIOn considère la suite définie par u0 ∈ R+ et ∀n ∈ N, un+1 = f (un) où f (x) = arctan(x + 1) pour x ∈ R.1. Dresser le tableau de variations de f .2. En étudiant la fonction g : x 7−→ f (x) − x, montrer que l’équation f (x) = x admet une unique

solution α ∈ R+. Résoudre les inéquations f (x) ≤ x et f (x) ≥ x.3. Tracer soigneusement la courbe y = f (x) en plaçant les tangentes en 0 et en α. On prendra pour

échelle 2 cm sur les deux axes avec 0 ≤ x ≤ 5 et 0 ≤ y ≤ 2 ; pour effectuer le tracé, on donneα ' 1,13.

4. Étudier graphiquement le comportement de la suite lorsque u0 = 0 puis lorsque u0 = 3.5. On suppose dorénavant que u0 = 0.

a. Montrer que ∀n ∈ N, 0 ≤ un ≤ un+1 ≤ α.b. En déduire que (un)n∈N converge vers une limite que l’on déterminera.

Exercice IVSi n est un entier ≥ 3, on pose fn(x) = xn − x2 − 1 lorsque x ≥ 1.1. a. Dresser le tableau de variations de fn. Montrer que fn établit une bijection de [1 ;+∞[ sur un

intervalle J que l’on précisera. La bijection réciproque gn est-elle continue sur J ?b. Étudier la dérivabilité de gn sur J. Est-elle C∞ sur J ?

2. Montrer qu’il existe un unique réel an ∈ [1 ;+∞[ tel que fn(an) = 0. Résoudre les inéquationsfn(x) ≥ 0 et fn(x) ≤ 0 pour x ≥ 1.

3. Si x ≥ 1, montrer que fn+1(x) − fn(x) = xn(x − 1). En déduire que fn+1(an) ≥ 0. Quel est le sensde variation de (an)n∈N ?

4. a. Rappeler la valeur de limx→0+

ln(1 + x)x

. En déduire limn→+∞ n ln(1 + 1

n ) puis limn→+∞ fn(1 + 1

n ).

b. Que dire d’une suite de limite strictement positive ? En déduire qu’il existe n0 ∈ N tel que∀n ≥ n0, fn(1 + 1

n ) ≥ 0.

c. Conclure que ∀n ≥ n0, 1 ≤ an ≤ 1 + 1n . Quelle est la limite de (an)n∈N ?

Exercice V

Soit (uk )k≥1 une suite réelle. On pose, si n ≥ 1, vn =1n2

n∑

k=1

kuk .

1. Soit n ∈ N∗. Déterminer vn lorsque (uk )k≥1 est la suite constante égale à 1.2. Rappeler la définition d’une suite bornée. Si (uk )k≥1 est bornée, que dire de (vn)n≥1 ?3. Soit n ∈ N∗. Déterminer vn lorsque ∀k ∈ N∗, uk =

1k . Quelle est la limite de (vn)n≥1 ?

4. On suppose que uk −→k→+∞ 0. Soit ε > 0. Justifier l’existence de n0 ≥ 2 tel que ∀k ≥ n0, |uk | ≤ ε2 .

a. (i) Rappeler la formule pour une somme d’une suite arithmétique. Montrer que |∑nk=n0

kuk | ≤(n+n0)(n+1−n0)

4 ε si n ≥ n0.

(ii) Quelle est la limite de (n+n0)(n+1−n0)n2 ? En déduire qu’il existe n1 ≥ 1 tel que ∀n ≥ n1,

(n+n0)(n+1−n0)n2 ≤ 2.

(iii) Conclure qu’il existe n2 ≥ 1 tel que ∀n ≥ n2, |∑nk=n0

kuk | ≤ ε2 .

b. On pose M = max1≤k≤n0 |uk |.(i) Montrer que |∑n0−1

k=1 kuk | ≤ n0(n0−1)2 M.

(ii) Quelle est la limite de n0(n0−1)2n2 M ?

(iii) En déduire l’existence de n3 ≥ 1 tel que n0(n0−1)2n2 M ≤ ε

2 .c. Conclure qu’il existe n4 ≥ 1 tel que ∀n ≥ 1, |vn| ≤ ε. Que vient-on de démontrer ?





Exercice ISoit (un)n∈N la suite définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f (un) où f : ]1

2 ;+∞[ −→ R, x 7−→ 2x2x−1 .

1. a. Dresser le tableau de variations de f .b. Résoudre l’équation f (x) = x puis les inéquations f (x) ≥ x et f (x) ≤ x.c. Montrer que, pour tout x > 1

2 , f (x) ≥ 1.d. En déduire que la suite (un)n∈N est bien définie et que ∀n ∈ N, un >

12 .

e. Tracer la fonction f puis faire l’étude graphique du comportement de la suite (un)n∈N. Unité :2 cm.

2. On pose g = f f .a. Calculer g(x). Dresser le tableau de variations de g.b. Résoudre l’équation g(x) = x puis les inéquations g(x) ≥ x et g(x) ≤ x.c. On pose xn = u2n et yn = u2n+1. Montrer que xn+1 = g(xn) et yn+1 = g(yn).d. Tracer g puis faire l’étude graphique des suites (xn) et (yn). Unité : 2 cm.e. Montrer que (xn) est croissante majorée. Quelle est sa limite?f. Montrer de même que (yn) converge. On se contentera d’indiquer comment adapter le raisonne-

ment de la question précédente.3. La suite (un) converge-t-elle ?

Exercice II1. Trouver les solutions à valeurs réelles de y′′ − 2y′ + 2y = cos2 x.

2. Résoudre le système

x + 2y + 3z = 1−x + 4y + z = 22x − 5y + 6z = −1

.

3. Soit E l’ensemble des fonctions C∞ sur R. étudier la bijectivité des applications suivantes. Préciser lecas échéant leur réciproque.a. f : E −→ E, ϕ 7−→ ϕ′ − ϕ.b. g : E −→ E, ϕ 7−→ arctan ϕ.c. h : E −→ E, ϕ 7−→ (x 7−→ ϕ(−x)).

Exercice III

On pose, si n ∈ N, Sn =

n∑

k=0

(−1)k

2k + 1.

1. Montrer que les suites (S2n) et (S2n+1) sont adjacentes.2. À l’aide d’un court programme Python que l’on fera figurer sur la copie, déterminer une valeur

approchée par défaut à 10−5 près de leur limite commune `. Que semble valoir 4` ?


DEVOIR MAISON No 5



Exercice I

Les questions sont indépendantes. Étudier l’injectivité, la surjectivité et bijectivité des applicationssuivantes. Le cas échéant, préciser la bijection réciproque.

1. f :N −→ N, n 7−→ bn/3c.2. g :N2 −→ N, (n,m) 7−→ 2n3m.

3. h :N −→ N, n 7−→

2k + 1 s’il existe k ∈ N tel que n = 2k,2k s’il existe k ∈ N tel que n = 2k + 1.

Exercice II1. Quel est le nombre de mots (ayant un sens ou non) que l’on peut former avec les lettres du mot

SCROGNEUGNEU.2. Donner le nombre de plaques d’immatriculation suivant l’ancienne numérotation. Pour simplifier, on

supposera que le numéro est toujours de la forme suivante : trois ou quatre chiffres suivis de deux outrois lettres suivi du code de département, sachant que le nombre total de caractères doit être égal à 8et que le double S n’est pas possible pour le groupe de deux lettres. On rappelle que les codes dedépartement sont les nombres de 01 à 19, 2A et 2B pour la Corse, puis les nombres de 21 à 95 (on neprendra pas en compte les DOM-TOM).

3. À une conférence, il y a 100 invités pouvant venir des 197 pays actuellement reconnus par l’ONU.Combien y a-t-il de possibilités où les 100 invités viennent tous de pays différents ?

4. Dans un jeu de 54 cartes, on tire simultanément trois cartes. Combien y a-t-il de tirages où il y a unroi et une reine de la même couleur ?

Exercice III

On définit sur R une relation R par ∀(x, y) ∈ R2, x R y ⇐⇒ x(1 + y2) = y(1 + x2).1. Trouver une fonction f telle que x R y ⇐⇒ f (x) = f (y).2. Montrer que R est une relation d’équivalence.3. Étudier et tracer la fonction f . Si y ∈ R, combien l’équation y = f (x) possède-t-elle de solutions ?4. Si a ∈ R, déterminer le nombre d’éléments de la classe d’équivalence de a.

Exercice IVSoit n un entier ≥ 1. Si x ∈ R, on note M(x) une matrice du tpe (mi,j (x))1≤i,j≤n. On dit que M(x) tend

vers M ∈ Mn(R) lorsque x −→ x0 (où x0 ∈ R) si tous les coefficients de M(x) tendent vers ceux de M. Onnote alors M(x) −→x→x0

M.Démontrer que si P ∈ GLn(R) et M(x) −→x→x0

M alors M(x)P−1 −→x→x0MP−1.

Exercice V

1. Si t ∈ R, résoudre le système

(t2 − 1)x + (t2 − 4)y = 3

(t3 − 1)x + (t3 − 8)y = 1

2. Si m ∈ R, résoudre

(m − 1)x + (m − 1)y − mz = 1

(2m − 1)x + (m − 1)y + (1 − 2m)z = m

x + (1 − m)y − 2z = m2

3. Inversibilité et inverse éventuel de

3 −5 −4−1 5 23 4 1

Exercice VI

On considère les trois suites réelles définies par u0 ∈ R, v0 ∈ R et w0 ∈ R et vérifiant la relation

∀n ∈ N,

un+1 = un − 5vn + 4wn

vn+1 = −3un − vn + 4wn

wn+1 = −2un − 6vn + 8wn

1. On note Xn le vecteur colonne dont les coordonnées sont un, vn et wn. Montrer que Xn+1 = MXnpour une certaine matrice M que l’on spécifiera. En déduire Xn en fonction de M et X0.

2. On pose B =

0 −4 4−4 0 4−4 −4 8

. Calculer Bk pour tout k ∈ N.

3. On pose A = M − B. Calculer Ak pour tout k ∈ N.

4. Rappeler la formule du binôme pour les matrices. En déduire Mn pour tout n ∈ N.

5. Si n ∈ N, en déduire un, vn et wn en fonction de n, u0, v0 et w0.

6. La matrice M est-elle inversible ? Si tel est le cas, calculer M−1.



Durée : 4 heures





Questions de cours1. Donner la définition de f (x) −→x→−∞ +∞.2. Rappeler la définition de F (X,Y) et P (X). Donner leur cardinal sous des hypothèses convenables.3. Donner et démontrer le théorème de la limite monotone dans le cas croissant majoré pour des

fonctions.4. Donner la démonstration combinatoire de la formule de Pascal

(nk

)+( n

k+1

)=(n+1

k+1

).

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Rappeler la définition d’une injection et d’une surjection en précisant les négations. L’application

f :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (u2n)n∈N est-elle injective ? surjective ? bijective ?2. Existence et calcul éventuel des limites suivantes.

limx→+∞ (1 + 1√

x)x lim

x→+∞ (3x2 − 2x sin x) limx→0+

1x sin( 1√

x)

3. Dire si les matrices suivantes sont inversibles ; le cas échéant, calculer leur inverse.

A =

( −2 1 2−2 1 22 1 1

)B =

( −2 −2 1−2 −2 −12 2 −2

)C =

(2 2 1−3 −3 2−3 −1 −2

)

4. Calculer le PGCD de 78 et 42 par deux méthodes différentes. En déduire leur PPCM.

5. Rappeler, en la démontrant, la formule pour(

a bc d

)−1. Si t est un paramètre réel, résoudre le système :

(S) :

(t − 3)x + (t + 2)y = 5

(t3 − 27)x + (t3 + 8)y = 5

Exercice IIOn considère la relation d’équivalence R sur R+ définie par

∀(x, y) ∈ R2+, x R y ⇐⇒ x − y = 2(

√x − √y).

1. Trouver une fonction f telle que ∀(x, y) ∈ R2+, x R y ⇐⇒ f (x) = f (y).

2. Rappeler la définition d’une relation d’équivalence. Montrer que R en est une.

3. Étudier la fonction f en précisant la nature de ses branches infinies. Calculer f (4) et f ′(4) ainsique la limite de f ′ en 0. Avec ces éléments, tracer la courbe représentative de f dans un repèreorthonormé (unité : 2 cm).

4. Si y ∈ R, combien l’équation y = f (x) possède-t-elle de solutions sur R+ ?

5. Si a ∈ R+, rappeler la définition de la classe d’équivalence de a et déterminer combien elle possèded’éléments.

Exercice IIILes questions sont indépendantes.

1. Pour un voyage scolaire, l’organisateur doit répartir les 72 élèves dans trois bus de 24 places. Combieny a-t-il de façons de faire ?

2. Dans une classe de 25 élèves, combien y a-t-il de possibilités pour les mois de naissance des élèves ?Combien y a-t-il de possibilités où au moins deux élèves ont même mois de naissance ?

3. Les plaques d’immatriculation espagnoles de la période 1971-2000 ont le format suivant : unidentifiant de la province (61 codes en tout), quatre chiffres de 0000 à 9999 puis un deuxième grouped’une ou deux lettres (de A à ZZ) avec les exceptions suivantes : pas de voyelles en deuxièmeposition sauf pour le U, et les lettres unique R et Q ne sont pas utilisées. Combien y a-t-il de plaquespossibles ? Calculer explicitement le résultat.

Exercice IV1. Soient f et g deux fonctions X −→ X telles que f g = IdX.

a. Montrer que f est surjective.

b. Montrer que g est injective.2. On considère ϕ :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (0,u0,u1,u2, . . . ) et ψ :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→

(u1,u2,u3, . . . ).a. L’application ϕ est-elle surjective ?

b. L’application ψ est-elle injective ?

c. Peut-on avoir ϕ ψ = IdRN ?

d. Montrer que ψ ϕ = IdRN . Que peut-on en déduire pour ϕ et ψ ?

Exercice V

On pose A =

(1 0 01 0 10 1 0

).

1. Première méthode pour calculer les puissances de A.a. Calculer B = A2.

b. Rappeler la formule du binôme. En déduire Bn pour tout n ∈ N.

c. En déduire A2n+1 pour tout n ∈ N.2. Deuxième méthode pour calculer les puissances de A.

a. On pose P =

(1 −2 20 1 11 0 0

). Montrer que P est inversible et calculer P−1.

b. On pose T = PAP−1. Donner l’expression de T.

c. Calculer T2, T3, T4. En déduire Tn pour tout n ∈ N.

d. En déduire An pour tout n ∈ N.3. Calcul de l’inverse de A. — Déterminer trois réels a, b et c tels que A3 − aA2 − bA − cI3 = 0. En

déduire que A est inversible et préciser A−1.





Exercice I

Si x ∈ [1 ; 2], on pose f (x) = 2− 12 ln x. On considère la suite définie par u0 = 1 et ∀n ∈ N, un+1 = f (un).

1. Dresser le tableau de variations de f puis tracer f (échelle : 5 cm). Faire l’étude graphique ducomportement de la suite.

2. a. Montrer que l’équation f (x) = x admet une unique solution ` sur [1 ; 2].

b. Montrer que f ([1 ; 2]) ⊂ [1 ; 2]. Que peut-on en déduire sur la suite (un)n∈N ?

c. Montrer que f est lipschitzienne de rapport 12 sur [1 ; 2].

d. En déduire que, pour tout entier n ∈ N, |un+1 − `| ≤ 12 |un − `|.

e. Quelle est la limite de (un)n∈N ?

f. À l’aide d’un petit programme python que l’on fera figurer sur la copie, déduire de ce qui précèdeune valeur approchée de ` à 10−9 près.

Exercice II

1. Soit f :R −→ R vérifiant ∀(x, y) ∈ R2, | f (x) − f (y)| ≥ |x − y|. Montrer que f est injective. Donnerun exemple d’une telle fonction f .

2. La fonction g :C2 −→ C, (z,w) 7−→ z4 + w4 est-elle injective ? surjective ? bijective ? Si tel est lecas, donner la fonction réciproque.

3. La fonction h :R3 −→ R3, (x, y, z) 7−→ (−2y − 2z,−x − y,2x + y − z) est-elle injective ? surjective ?bijective ? Si tel est le cas, donner la fonction réciproque.

Exercice III

1. Soient f et g deux fonctions R −→ R telles que f soit bornée et g continue. Montrer que g f etf g sont bornées.

2. Soit f : [0 ; π2 ] −→ [0 ; 1] continue. Montrer qu’il existe c ∈ [0 ; π2 ] tel que f (c) = cos c. Ce résultatresterait-il vrai en remplaçant l’intervalle de départ [0 ; π2 ] par [0 ; 1] ?


DEVOIR MAISON No 6



Exercice ILes questions sont indépendantes.

1. L’application f :C2 −→ C2, (z,w) 7−→ ez − ew est-elle injective ? surjective ? bijective ? Le caséchéant, préciser sa réciproque. Indication : pour la surjectivité, on pourra s’intéresser aux équationsf (z,0) = a et f (z,1) = a pour a ∈ C.

2. Existence et calcul éventuel des limites suivantes.

a. limx→+∞ (2x cos x − x) b. lim

x→0(1 + 2x)6/x

Exercice IILes questions sont indépendantes.

1. a. Montrer que ∀u ≥ 0, sh u ≥ u.b. Si f : [0 ; 1] −→ [0 ; 1] est continue, montrer qu’il existe c ∈ [0 ; 1] tel que f (c) = sh c.

2. Soit f : [0 ; π] −→ R continue. Montrer qu’il existe c ∈ [0 ; π] tel que f (c) = 4π2

∫ π0 t f (t) sin2 t dt.

Exercice IIILes questions sont indépendantes.

1. Soit f une fonction C1 sur R nulle en dehors de ]−1 ; 1[. Montrer que f ′ s’annule au moins trois foissur [−1 ; 1].

2. La fonction x 7−→ ch(√

x) est-elle C1 sur R+ ? Qu’est-ce que cet exemple illustre ?3. Montrer que si 0 < x < y, alors x ≤ y−x

ln y−ln x ≤ y.

4. Dérivée 1000-ième de x 7−→ x2 sin x sur R.

Exercice IVLes questions sont indépendantes.

1. Limite de∫ 2x

x ch(t2) dt lorsque x −→ 0+ puis lorsque x −→ +∞.2. Montrer que si f est une fonction C3 sur un intervalle non trivial I contenant x et a, alors f (x) =

f (a)+ f ′(a)(x− a)+ 12 f ′′(a)(x− a)2+R2 où R2 s’exprime en terme d’une intégrale qu’on précisera.

En déduire un majorant de |√1,1 − 1,04875|.3. Donner la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction de classe C3 sur R. En déduire que

∀x ∈ R+, 1 + 13 x − 1

9 x2 ≤ 3√1 + x ≤ 1 + 13 x − 1

9 x2 + 581 x3.

Illustrer graphiquement cette inégalité sur [0 ; 3] (échelle : 2 cm).

Exercice V

1. Calculer∫

dxx2 + 3x + 2

. En déduire limn→+∞

n∑

k=0

nk2 + 3nk + 2n2 .

2. Calculer limn→+∞

n∑

k=0

n + 1k2 + 3nk + 2n2 .

3. Déterminer un équivalent den∑

k=0

√n

k2 + 3nk + 2n2 .

Exercice VIOn considère f : [0 ; 1] −→ R, x 7−→ e−x

x+2 .1. a. Dresser le tableau de variations de f sur [0 ; 1]. Justifier que f ([0 ; 1]) ⊂ [0 ; 1].

b. Trouver M ∈ [0 ; 1[ telle que f soit M-lipschitzienne sur [0 ; 1]. En déduire que f admet au plusun point fixe.

c. En appliquant le théorème des valeurs intermédiaires à x 7−→ f (x) − x, montrer que f admet aumoins un point fixe α.

2. Soit (un)n∈N la suite définie par u0 = 1 et un+1 = f (un).a. Justifier que la suite (un)n∈N est bien définie et à valeurs dans [0 ; 1].b. Montrer que ∀n ∈ N, |un − α| ≤ Mn|u0 − α|. Quelle est la limite de (un)n∈N ?c. Calculer une valeur approchée de α à 10−15 près à l’aide d’un programme Python que l’on fera

figurer sur la copie.

Exercice VII

On considère la fonction g définie sur R+ par g(0) = ln 2 et g(x) =∫ 2x

x

e−t

tdt si x > 0.

1. a. Montrer que si x > 0 et x ≤ t ≤ 2x, e−2x ≤ e−t ≤ e−x .b. En déduire que si x > 0, e−2x ln 2 ≤ g(x) ≤ e−x ln 2.c. En déduire que g est continue sur R+.

2. a. Montrer que la fonction g est dérivable sur R∗+ et calculer g′(x) pour x > 0.

b. Calculer, en reconnaissant un taux d’accroissement, limx→0+

e−x − 1x

. En déduire la limite de g′(x)

lorsque x −→ 0+.c. La fonction g est-elle dérivable en 0 ? Le cas échéant, calculer g′(0) et préciser si g est C1 sur

R+.3. Rappeler le développement limité à l’ordre deux de exp en 0. En déduire deux réels a et b tels que

g′(x) =x→0

a + bx + o(x). Que peut-on en déduire pour g ?

Exercice VIIISoit f :R −→ R de classe C∞ telle qu’il existe M ∈ R tel que ∀x ∈ R, ∀k ∈ N, | f (k) (x)| ≤ M.1. Donner des exemples variés de telles fonctions.2. En utilisant la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction de classe Cn+1, montrer que

∀x ∈ R,∣∣∣∣∣ f (x) −

n∑

k=0

f (k) (0)k!

xk

∣∣∣∣∣ ≤ M|x|n+1

(n + 1)!. (on distinguera les cas x ≥ 0 et x ≤ 0)

3. Que peut-on en déduire lorsque n −→ +∞ ? Écrire explicitement le résultat obtenu pour les fonctionsde la question 1.



Durée : 4 heures





Questions de cours

1. Énoncer le théorème de la limite de la dérivée.2. Démontrer qu’une fonction continue positive d’intégrale nulle est identiquement nulle.3. Démontrer le théorème des accroissements finis à partir du théorème de Rolle.

Exercice ILes questions sont indépendantes.1. Développement limité en 0 des quantités suivantes à l’ordre indiqué.

a. f (x) = ch x − cos x (ordre 7).b. g(x) = (

√1 + x − ex)10 (ordre 11).

c. h(x) =√

(x + 1)(x + 4) (ordre 2).d. ϕ(x) = arctan(x − 1) (ordre 3).

2. Rappeler le théorème de convergence des sommes de Riemann. Calculer limn→+∞

n∑

k=0

nk2 − 2nk + 2n2

3. Existence et calcul éventuel de limx→0

(cos 1x − sin 1

x ).

4. Limites en +∞ et en 0 de x 7−→∫ 2x

x

et√

t.

Exercice II

Si x ∈ R, on pose f (x) = x3 + x − 1 et g(x) =2x3 + 13x2 + 1

.

1. a. Montrer que ∀x ∈ R, g′(x) =6x f (x)

(3x2 + 1)2 .

b. Dresser le tableau de variations de f . Montrer que f s’annule une unique fois sur R en α et queα ∈ [0 ; 1].

c. Calculer x − f (x)f ′(x) . En déduire que g(α) = α. Dresser le tableau de variations de g.

d. Tracer la courbe représentative de g sur [0 ; 1] sur du papier millimétré, en prenant pour unité 10cm sur l’axe des abscisses comme sur l’axe des ordonnées. On pourra utiliser, pour ce dessinuniquement, α ' 0,68.

1

2. a. Que vaut g′(α) ? En déduire l’existence de δ > 0 tel que ∀x ∈ ]α − δ ; α + δ[, |g′(x)| ≤ 12 .

b. Citer l’inégalité des accroissements finis. Montrer que g est lipschitzienne de rapport 12 sur

l’intervalle ]α − δ ; α + δ[. En déduire que g(]α − δ ; α + δ[) ⊂ ]α − δ ; α + δ[.c. On prend u0 ∈ ]α − δ ; α + δ[ et, si n ∈ N, on pose un+1 = g(un). Faire l’étude graphique de la

suite (un)n∈N. On prendra, mais uniquement pour ce graphique, u0 = 25 .

d. Justifier que la suite (un)n∈N est bien définie. Quelle est sa limite ?3. a. On admet que 1,70 ≤ g′′(α) ≤ 1,71. Justifier qu’il existe η > 0 tel que ∀x ∈ ]α − η ; α + η[,

|g′′(x)| ≤ 2. Pourquoi peut-on supposer que η < 1 ?b. Rappeler le théorème de Taylor avec reste intégral pour une fonction de classe C2. En déduire que

∀x ∈ ]α − η ; α + η[, |g(x) − α| ≤ |x − α|2.En déduire que g(]α − η ; α + η[) ⊂ ]α − η ; α + η[.

c. On prend u0 ∈ ]α − η ; α + η[ et, si n ∈ N, on pose un+1 = g(un). Montrer que ∀n ∈ N,|un − α| ≤ |u0 − α|2

n

.

Exercice IIISi x ∈ R, on pose f (x) = arctan x.1. Première méthode de calcul des dérivées successives de l’arctangente en 0.

a. Calculer f ′(x) et f ′′(x).b. Rappeler l’énoncé de la formule de Leibniz. Justifier l’identité ∀x ∈ R, (1 + x2) f ′(x) = 1 et en

dérivant le produit du membre de gauche, en déduire que

∀n ≥ 2, ∀x ∈ R, (1 + x2) f (n+1) (x) + 2nx f (n) (x) + n(n − 1) f (n−1) (x) = 0

c. Quelle est la parité de f ? En déduire la valeur de f (2k) (0) pour tout k ∈ N.d. Si k ∈ N, on pose uk = f (2k+1) (0). Calculer u0 et donner une relation de récurrence reliant uk+1

et uk . En déduire que uk = (−1)k (2k)! pour tout k ∈ N.2. Deuxième méthode de calcul des dérivées successives de l’arctangente en 0.

a. Soit n ∈ N. Donner le développement limité de x 7−→ 11+x2 en 0 à l’ordre 2n. En déduire celui de

arctan à l’ordre 2n + 1 en 0.b. Rappeler la formule de Taylor-Young pour les fonctions de classe C2n+1. En déduire la valeur de

f (k) (0) pour tout k.3. Première méthode de calcul des dérivées successives de l’arctangente en un point quelconque.

a. Si x ∈ R∗, calculer arctan x + arctan 1x . En déduire cos(arctan( 1

x )) et sin(arctan( 1x )) en fonction

de cos(arctan x) et sin(arctan x) lorsque x > 0.b. Rappeler la formule reliant cos2 et tan2. En déduire que cos(arctan x) = 1√

1+x2si x ∈ R.

c. En procédant par récurrence, montrer que

∀n ∈ N∗, ∀x ∈ R∗+, f (n) (x) = (−1)n−1(n − 1)! cosn(arctan x) sin(n arctan( 1x ))

d. En déduire que ∀x ∈ R, | f (n) (x)| ≤ (n − 1)! pour tout n ∈ N∗.e. Rappeler la formule de Taylor avec reste intégral pour une fonction de classe C2n+2. En déduire

que∣∣∣∣arctan x −

n∑

k=0

(−1)k

(2k + 1)!x2k+1

∣∣∣∣ ≤|x|2n+2

2n + 2

f. Lorsque x ∈ [−1 ; 1], que peut-on en conclure ?

2

4. Deuxième méthode de calcul des dérivées successives de l’arctangente en un point quelconque.

a. Justifier que ∀x ∈ R, Im( 1x−i ) = 1

1+x2 .

b. Rappeler la formule pour la dérivée n-ième de x 7−→ 1ax+b lorsque a et b sont deux complexes

avec a , 0. En déduire la dérivée n-ième de x 7−→ 1x−i .

c. Énoncer la formule du binôme. En remarquant que 1(x−i)n =

(x+i)n

(x2+1)n , en déduire que f (2n+1) (x) =(2n)!

(x2+1)2n+1 Pn(x) où Pn est un polynôme n’ayant que des termes de degrés pairs et dont on préciserales coefficients. Calculer de même f (2n) (x) pour n ≥ 1.

3


DEVOIR MAISON No 7



Exercice I


1. Développement limité en 0 de x 7−→ 5√1 − x6 à l’ordre 14.

2. Développement limité en 0 de (ln(1 + x2) − sin(x2))3 à l’ordre 15.

3. Allure locale en 0 de x 7−→ sin x + arctan xex + cos x

.

4. Développement limité en 0 de x 7−→ arcsin(x + 1√2) à l’ordre 4.

5. Nature et position relative de la branche infinie en +∞ de x 7−→√

x2 + x3 tan( 1x ).

Exercice II

Dans R2, on considère la courbe P d’équation y =√

x. Si t ∈ R+, on pose f (t) =√

t.

1. Soit t ∈ R+. Donner l’équation de la tangente (Tt ) au point (t,√

t) de P sous la forme ax + by+ c = 0.En déduire un vecteur normal ~nt à cette droite.

2. Si A(a,b) est un point du plan, on note Ht le projeté orthogonal de A sur (Tt ). Montrer que lescoordonnées de Ht sont ( (4a−1)t+2b

√t

1+4t , b+2a√

t+2t3/2

1+4t ).

3. Lorsque A( 14 ,0), simplifier les coordonnées de Ht . Montrer que, lorsque t varie dans R+, Ht appartient

à un ensemble simple dont on déterminera les éléments caractéristiques. Faire un dessin.

Exercice III

Dans le plan euclidien, rapporté au repère orthonormé direct (O ;~i,~j), on considère la courbe C d’équationx2 + y2 − 4x − 2y = 0.

1. Déterminer le centre Ω et le rayon R du cercle C.

2. Former une équation de la tangente au cercle C au point O.

3. On considère le point A de coordonnées (3,−2). Démontrer que la droite dm du plan de coefficientdirecteur m ∈ R, passant par A a pour équation y = mx − 3m − 2.

4. Exprimer, en fonction du réel m, la distance δm du point Ω à la droite dm.

5. En déduire qu’il existe deux valeurs de m pour lesquelles dm est tangente au cercle C. Donner leséquations de ces deux droites et déterminer les coordonnées des points de contact de ces droites avecle cercle C.

Exercice IV

On munit l’espace R3 de son repère orthonormé direct canonique noté (O ;~i,~j,~k). Soient (D1) la droite(AB) où A(1,0,2) et B(1,−1,1) et (D2) la droite d’équations x − y + 2 = x + y − 3 = 0.

1. Déterminer une équation paramétrique de (D1) puis de (D2).

2. Quel angle font les droites (D1) et (D2) entre-elles ?

3. Les droites (D1) et (D2) sont-elles coplanaires ?

4. Déterminer une droite ∆ coupant perpendiculairement D1 et D2. On donnera un système d’équationscartésiennes ainsi qu’un point et un vecteur directeur.

Exercice V

Dans l’espace euclidien muni d’un repère orthonormé direct, on considère les ensembles S : x2 + y2 +

z2 + x − 2y + z + 1 = 0 et S′ : x2 + y2 + z2 − x + 2y + z − 3 = 0.

1. Déterminer la nature géométrique et les éléments caractéristiques de S et S′. Donner l’aire et levolume de S et S′.

2. Trouver un plan (P) tel que S ∩ S′ = S ∩ (P). En déduire S ∩ (P) en précisant ses élémentscaractéristiques.

3. On note H le projeté orthogonal du centre Ω de S sur (P). Le symétrique orthogonal de Ω par rapportà (P) est l’unique point Ω1 de l’espace défini par

−−→ΩH =

−−−→HΩ1. Déterminer les coordonnées de Ω1.



Durée : 4 heures





Questions de cours1. Donner la définition géométrique du produit vectoriel dans l’espace orienté.

2. Rappeler puis démontrer la formule pour l’aire d’un parallélogramme dans le plan.

3. Rappeler la formule pour la distance d’un point à une droite dans l’espace. Démontrer cette formule(on admettra la formule pour la distance faisant intervenir le projeté orthogonal).

4. Donner et démontrer l’inégalité de Cauchy-Schwarz avec son cas d’égalité.

Exercice I

On se place dans E = RR.

1. Rappeler la définition des opérations qui font de E un espace vectoriel.

2. Montrer que F = f :R −→ R | ∀x ∈ R, f (0) = 0 est un sous-espace vectoriel de E.

3. Montrer que G = x 7−→ ax + b | (a,b) ∈ R2 est un sous-espace vectoriel de E.

4. Les espaces F et G sont-ils supplémentaires ?

Exercice II

On munit R2 de sont repère orthonormé direct canonique. Soit P la courbe d’équation y = 12 x2.

1. Si t ∈ R, on note Pt le point (t, t2) de P . Déterminer l’équation de la tangente (Tt ) en Pt à P . Donnerun vecteur normal ~nt et un vecteur directeur ~ut de (Tt ).

2. Si t ∈ R et λ ∈ R, montrer que les tangentes (Tt ) et (Tλ ) sont perpendiculaires si et seulement siλt = −1.

3. Lorsque λt = −1, déterminer, en fonction de t seulement, les coordonnées du point Mt d’intersectionde (Tt ) et (Tλ ).

4. Montrer que la fonction t 7−→ t − 1t établit une bijection de R∗+ sur un ensemble que l’on précisera.

5. Que est le lieu des points intersection de deux droites tangentes à P et perpendiculaires entre elles ?Faire un dessin.

Exercice III

Dans le plan orienté rapporté au repère orthonormé direct (O ;~i,~j), on considère les points A(−2,0),B(2,0) et C(0,2

√3).

1. a. Montrer que le triangle ABC est équilatéral. Quelle est son aire ?

b. Déterminer une équation cartésienne des droites (AB), (BC) et (CA).

c. Soit M(x, y) un point du plan. Donner l’expression de la distance d(M ; (AB)) du point M à ladroite (AB), puis de la distance d(M ; (BC)) du point M à la droite (BC), et, enfin, de la distanced(M ; (CA)) du point M à la droite (CA).

2. On désigne par C l’ensemble des points M(x, y) du plan tels que la somme des carrés des distancesdu point M aux trois côtés du triangle ABC soit égale à 6.

a. Déterminer une équation cartésienne de C. Montrer que C est un cercle et préciser son centre Ω etson rayon.

b. Déterminer la distance de Ω aux trois droites (AB), (BC) et (CA). Quelle conséquence géomé-trique peut-on en tirer ?

c. Faire une figure illustrant les résultats précédents.

Exercice IV

On se place dans l’espace orienté rapporté au repère orthonormé direct (O ;~i,~j,~k) et on considère un réela. On note D1 la droite d’équations 2x − y + 1 = 2x − z + a = 0 et D2 la droite (A2B2) où A2(1,0,a) etB2(2,1,a).

1. Déterminer un système d’équations cartésiennes de D2. Les droites D1 et D2 sont-elles concourantes ?

2. Donner une équation paramétrique de D1.

3. Montrer qu’il existe une unique droite ∆ qui coupe D1 et D2 et qui leur est perpendiculaire. Ondonnera un système d’équations cartésiennes de ∆ et on caractérisera géométriquement cette droiteen donnant un point dont la dernière coordonnée est a.

4. Lorsque a varie dans R, quel est le lieu des points appartenant aux droites ∆ correspondantes ? Endonner une équation cartésienne.

Exercice V

L’espace orienté est rapporté à un repère orthonormé direct (O ;~i,~j,~k). Soit P l’ensemble d’équationparamétrique x = α + β, y = α + 2β et z = α − β où (α, β) ∈ R2.

1. Reconnaître géométriquement P et en déterminer une équation cartésienne.

2. Soit C le cercle tracé sur P de centre O et de rayon R = 1. Trouver une sphère S telle que C = S ∩ P.

3. Soit S une sphère. On note x2 + y2 + z2 + ax + by + cz + d = 0 son équation où (a,b,c,d) ∈ R4.Montrer que S ∩ S = S ∩ P′ = S ∩ P′ où P′ est un plan dont on précisera l’équation. Montrer queP = P′ si et seulement s’il existe t ∈ R tel que a = −3t, b = 2t, c = t et d = −1. On supposedorénavant cette condition vérifiée. Que dire de S et C ?

4. Exprimer, en fonction de t, le centre Ωt de S et son rayon Rt .

5. Soit D la droite d’équations x = z + 4 et y = 2z + 3. Calculer la distance de Ωt à D. Montrer que D etS sont tangentes si et seulement si t2 + 56t − 44 = 0.

6. En déduire les sphères contenant C et tangentes à D.

PTSI de Nevers (2015-2016) Mardi 26/04/2016

CONCOURS BLANC

Durée : 4 heures




Le sujet se compose de deux problèmes indépendants.

Premier problèmeDans tout le problème, f désigne l’application de R∗+ vers R telle que

∀t > 0, f (t) =1

t + 1 − e−t .

Pour tout réel x > 0, on pose F(x) =

∫ 2x

xf (t) dt. On ne cherchera pas à calculer F(x). La première partie

est consacrée à l’étude de f , la deuxième à l’étude de la solution de l’équation f (x) = 1, la troisième àl’étude de la fonction F.

Partie I

1. Étudier f : sens de variation, limites en 0 et en +∞.

2. Représenter graphiquement f . Échelle : 2 cm.

3. Montrer que f induit une bijection de R∗+ sur lui-même. On désigne par f −1 l’application réciproque.Préciser le sens de variation et les limites de f −1.

4. Pour tout entier naturel non nul n, on désigne par xn la solution de l’équation f (x) = n.

a. Quel est le sens de variation de la suite (xn)n≥1 ? Est-elle convergente ? Si oui, quelle est salimite ?

b. Déterminer le nombre réel a tel que f (t) ∼ at

lorsque t −→ 0.

c. En déduire un équivalent simple de xn lorsque n −→ +∞.

Partie II

Cette partie est consacrée à la recherche d’une valeur approchée par la méthode du point fixe du nombreréel x1 défini en question I.4. On note β = x1.

1. Montrer que β est l’unique solution sur R de l’équation e−x = x, et justifier que1e≤ β ≤ 1.

2. Soient g l’application de R vers R telle que g(x) = e−x , et I l’intervalle [1e ; 1]. Montrer que g(I) ⊂ I,

et déterminer un réel k ∈ ]0 ; 1[ tel que ∀x ∈ I, |g′(x)| ≤ k.

1

3. On considère la suite (yn)n≥0 de nombres réelles telle que y0 = 1 et ∀n ∈ N, yn+1 = e−yn .a. Vérifier que ∀n ∈ N, yn ∈ I.b. Démontrer que ∀n ∈ N, |yn − β| ≤ kn|1 − β|.c. La suite (yn) est-elle convergente ? Si oui, quelle est sa limite ?d. Déterminer un entier n0 tel que ∀n ≥ n0, |yn − β| ≤ 10−6.e. Écrire un court code Python calculant yn0 .f. Conclure.

Partie III

Cette partie, indépendante de la partie II, est consacrée à l’étude de l’application F de R∗+ vers R telle

que F(x) =

∫ 2x

xf (t) dt.

1. Étude en +∞.

a. Montrer que ∀t ∈ R∗+,1

t + 1≤ f (t) ≤ 1

t.

b. En déduire la limite L de F en +∞.2. Sens de variation.

a. En utilisant une primitive ϕ de f sur R∗+, montrer que F est dérivable sur R∗+ et que ∀x > 0,F′(x) = 2 f (2x) − f (x).

b. Étudier le sens de variation de F sur R∗+.3. Étude au voisinage de 0.

a. Rappeler le développement limité de l’exponentielle en 0 à l’ordre 3. Montrer qu’il existe troisréels a, b, c que l’on déterminera tels que

f (t) =t→0

at

+ b + ct + o(t)

b. On pose u(t) = f (t)− at si t > 0 et u(0) = b. Vérifier que u est continue. Donner un développement

limité d’une primitive v de u en fonction de v(0). En déduire que le développement limité en 0+

à l’ordre 2 de U : x 7−→∫ 2x

xu(t) dt est donné par U(x) = 1

8 x − 164 x2 + o(x2).

c. Écrire le développement limité d’ordre 2 de F en 0+, sous forme F(x) = a1 + b1x + c1x2 + o(x2).d. On prolonge F par continuité en 0 en posant F(0) = a1. F est-elle dérivable en 0 ? Quelles

conclusions graphiques peut-on alors tirer du développement limité de la question précédente ?4. Tracé. — Donner une allure de la représentation graphique de F, en faisant apparaître sur le dessin

les conclusions obtenues dans les questions précédentes. Échelle : 2 cm.

Second problèmeSoit f la fonction définie sur R+ par

f (x) =

x ln xx + 1

si x > 0,

0 si x = 0.

Partie A : étude d’une fonction

1. Montrer que l’équation x + 1 + ln x = 0 admet sur R∗+ une solution unique α, comprise 0 et 1.2. a. La fonction f est-elle continue en 0 ? Est-elle dérivable en ce point ?

b. Étudier les variations de f , et préciser sa limite en +∞.

2

L’objet de la suite du problème est le calcul de l’intégrale I =

∫ 1

0f (x) dx, qu’on pourra noter

∫ 1

0

x ln xx + 1

dx.

Partie B : limite d’une suite auxiliaire

On considère la suite (Sn) définie sur N∗ par : ∀n ∈ N∗, Sn =

n∑

k=1

(−1)k−1

k2 .

1. Déterminer un réel a tel que ∀n ∈ N∗,∫ π

0at2 cos nt dt =

(−1)n−1

n2 .

2. Exprimer la somme Sn à l’aide d’une intégrale.

3. Vérifier que, pour tout t différent de 2pπ (p ∈ Z),n∑

k=1

cos kt =sin (n + 1

2 )t

2 sin t2− 1

2.

4. On considère la fonction g définie par

g(t) =

t2

sin t2

si t ∈ ]0 ; 2π[,

0 si t = 0.

Montrer que g est de classe C1 sur [0 ; 2π[.

5. a. Vérifier alors que Sn =π2

12− 1

4π

∫ π

0g(t) sin (n + 1

2 )t dt

b. À l’aide d’une intégration par parties, montrer que, si h est une fonction de classe C1 sur [0 ; π],on a :

∀n ∈ N∗,∣∣∣∣∫ π

0h(t) sin (n + 1

2 )t dt∣∣∣∣ ≤|h(0)|n + 1

2

+π

n + 12

× maxt∈[0;π]

|h′(t)|.

c. En déduire la limite de la suite (Sn).

Partie C : application au calcul de l’intégrale I

Pour tout entier k ≥ 1, on considère les fonctions f k définie sur R+ par :

f k (x) =

xk ln x si x > 0,0 si x = 0.

1. a. Étudier la continuité de f1 sur [0 ; 1].

b. Pour k ≥ 2, montrer que f k est dérivable sur [0 ; 1] et exprimer sa dérivée à l’aide de f k−1.

2. Pour tout entier k ≥ 1, en déduire la valeur de Ik =

∫ 1

0f k (x) dx.

3. Montrer que∣∣∣∣I −

n∑

k=1

(−1)k−1Ik

∣∣∣∣ ≤(

maxt∈[0;1]

| f (t)|)×∫ 1

0xn dx.

4. En déduire la valeur de I.

3


DEVOIR MAISON No 8



Exercice I

Soient E = R3, F = (x, y, z) ∈ R3 | x + y + z = x − y + z = 0 et G = (a + 2b,a − b,b) | (a,b) ∈ R2.1. Pour quelles opérations E est-il un espace vectoriel ?

2. Montrer que F et G sont des sous-espaces vectoriels de E.

3. Trouver une base (e1,e2,e3) de E telle qu’il existe k tel que (e1, . . . ,ek ) est une base de F et(ek+1, . . . ,e3) une base de G. Que peut-on en déduire pour F et G ?

4. Justifier l’existence de u ∈ L(E) telle que ∀ f ∈ F, u( f ) = f et ∀g ∈ G, u(g) = 2g.

5. Donner la matrice de u dans la base e = (e1,e2,e3).

6. Donner la matrice de passage P de la base canonique ε = (ε1, ε2, ε3) vers e. Calculer P−1.

7. En déduire la matrice de u dans la base canonique.

Exercice II


1. Les familles suivantes de R4 sont-elles génératrices ? libres ? Le cas échéant, la compléter en unebase ou en extraire une base.

a. v1 = (1,1,1,1), v2 = (1,2,1,2), v3 = (2,1,2,1), v4 = (0,0,1,1) et v5 = (1,1,1,0)

b. v1 = (1,1,−1,−1), v2 = (1,1,1,0), v3 = (1,0,1,1) et v4 = (2,−1,0,0)

2. Déterminer un supplémentaire de F = Vect((1,2,3,4), (1,0,1,0)) dans R4. On pourra compléter lafamille en une base de R4.

3. La famille formée de x 7−→ tan(sin x), x 7−→ sh(sin x) et x 7−→ ln(1 + ex) est-elle libre ? Onprécisera l’espace ambiant.

4. Montrer que, pour tout N ∈ N, la famille ((1)n∈N, (n)n∈N, (n2)n∈N, . . . , (nN)n∈N) est libre. Que peut-onen déduire concernant RN ?

Exercice III

1. L’application f :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (u0,u1 − u0,u2 − u1, . . . ) est-elle linéaire ?

2. L’application g :RN −→ RN, (un)n∈N 7−→ (∑n

k=0 uk )n∈N est-elle linéaire ?

3. Que dire de g f ? de f g ? Que peut-on conclure ?

4. Déterminer le noyau et l’image de f et g.

Exercice IV

On pose E = f ∈ C∞(R,R) | f ′′′ = f , F = f ∈ C∞(R,R) | f ′′ + f ′ + f = 0 et G = f ∈ C∞(R,R) |f ′ = f .

1. Pour quelles opérations RR est-il un espace vectoriel ? Montrer que E, F et G sont des sous-espacesvectoriels de RR.

2. Vérifier que F ⊂ E et G ⊂ E.

3. Montrer que F ∩ G = 0.4. Les espaces F et G sont-ils de dimension finie ? Dans ce cas, quelle est leur dimension ?

5. On admet le théorème de Cauchy-Lipschitz suivant : « Si t0 ∈ R et si (y0, y′0, y′′0 ) ∈ R3, il existe une

unique fonction f ∈ E telle que f (t0) = y0, f ′(t0) = y′0 et f ′′(t0) = y′′0 . » Montrer que l’applicationϕ : E −→ R3, f 7−→ ( f (0), f ′(0), f ′′(0)) est un isomorphisme. L’espace E est-il de dimension finie ?Si oui, quelle est sa dimension ?

6. Déduire de ce qui précède que E = F ⊕ G. En déduire une base de E.

Exercice V (facultatif)

Soit f ∈ L(E) où E est un espace vectoriel de dimension finie.

1. Comparer rg( f 2) et rg( f ).

2. On pose g : Im f −→ E, y 7−→ f (y).

a. Montrer que Im g = Im f 2.

b. Montrer que Ker g = Im f ∩ Ker f .

c. Énoncer le théorème du rang pour une application linéaire et l’appliquer à f , f 2 et g.

d. En déduire que dim Ker f 2 = dim Ker f + dim(Im f ∩ Ker f ).

e. En déduire que dim Ker f 2 ≤ 2 dim Ker f .

f. En déduire une inégalité entre rg f 2 et rg f .

3. On pose M =

11

10 1

00

. Déterminer Ker M, Im M, Ker M2 et Im M2 et préciser leurs dimensions.

4. Décrire l’ensemble rg f | f ∈ L(R6) et rg f 2 = 3.

Exercice VI (facultatif)

Soit f ∈ L(R2) telle que f 2 + f + Id = 0.

1. Calculer f 3.

2. On pose R =(

cos θ − sin θsin θ cos θ

). Trouver θ tel que R2 + R + I2 = 0.

3. Soit x , 0. On veut montrer que la famille (x, f (x)) est libre. Pour cela, on raisonne par l’absurde ensupposant qu’elle est liée. Justifier l’existence de λ ∈ R tel que f (x) = λx. Montrer que λ2+λ+1 = 0.Conclure.

4. Justifier que (x, f (x)) est une base de R2. Quelle est la matrice de f dans cette base ?





Exercice IUn professeur fait une interrogation portant sur 33 théorèmes, 14 définitions et 8 formules. L’interrogation

comporte 8 des énoncés, chacun notés sur 2,5 points (aucun point n’est attribué si l’énoncé n’est pasparfaitement su).

1. Mézigue, un élève peu sérieux, décide d’aller au cinéma la veille de l’interrogation au lieu de réviser.Le jour de l’interrogation, il ne sait donc que 5 énoncés en tout. Quelle note peut-il espérer avoir ?

2. Doris, une élève sérieuse, a au contraire travaillé et connait 40 des énoncés. Quelle note peut-elleespérer avoir ?

Exercice II

Soit A =

1 0 01 2 01 2 3

.

1. Donner l’application linéaire f : E −→ F canoniquement associée à A en précisant E et F.2. Trouver une base de E1 = v ∈ E | f (v) = v, de E2 = v ∈ E | f (v) = 2v et de E3 = v ∈ E | f (v) =

3v.3. On regroupe ces bases en une famille e. Montrer que e est une base de E.4. Donner la matrice A′ de f dans la base e.5. Donner la matrice de passage P de la base canonique ε à e et déterminer P−1.6. Donner B′ telle que B′2 = A′. À l’aide de la formule de changement de base, en déduire B telle que

B2 = A.

Exercice IIISoit E = R3 et f ∈ L(E) telle que f 3 = − f et f , 0.1. Soit x ∈ E. Montrer que si x = y + z avec y ∈ Ker f et z ∈ Ker( f 2 + Id), alors z = − f 2(x) et

y = x + f 2(x) et.2. Montrer que E = Ker f ⊕ Ker( f 2 + Id).3. Monter que ( f 2+Id) f = 0 ; en déduire que f 2+Id n’est pas inversible.Montrer que si x ∈ Ker( f 2+Id)

est non nul, alors (x, f (x)) est une famille libre de Ker( f 2 + Id).4. On admet que f n’est pas inversible. En déduire dim Ker f et dim Ker( f 2 + Id).

5. Déterminer une base de E dans laquelle la matrice de f est

0 0 00 0 −10 1 0

.



Durée : 4 heures





Exercice ILes questions sont indépendantes

1. Donner, en justifiant, un exemple d’application linéaire u :R2 −→ R2 telle que Ker u = Im u.Reprendre la question pour R4 −→ R4.

2. Donner, en justifiant, un exemple d’application linéaire f :R2 −→ R2 qui n’est pas un projecteurmais vérifie Ker f ⊕ Im f = R2 avec Ker f et Im f non triviaux.

3. Donner, en justifiant, un exemple d’applications linéaires distinctes f ,g :R2 −→ R2 telles queKer f = Ker g et Im f = Im g avec Ker f et Im f non triviaux.

Exercice II

Soient a , 1 et b deux réels. On cherche l’ensemble S des (un)n∈N ∈ RN vérifiant ∀n ∈ N, un+1 = aun + b.

1. Récrire l’équation vérifiée par les éléments de S sous forme ϕ(u) = b où u est une suite réelle etϕ ∈ RN −→ RN une application dont on montrera la linéarité.

2. Déterminer une suite constante appartenant à S.

3. Résoudre l’équation ϕ(u) = 0.

4. Citer le théorème de structure de l’ensemble des solutions d’une équation linéaire. Conclure.

Exercice III

Soit M =

(43 −2

323 −1

3

).

1. Donner l’expression u(x, y) de l’endomorphisme u canoniquement associé à M.

2. Donner la nature géométrique de u (projecteur ou symétrie) et en préciser les éléments caractéristiques.Illustrer géométriquement. Quelle est l’image de u ? Son rang ?

3. Si s est la symétrie par rapport à F parallèlement à G et p le projecteur correspondant, donner etdémontrer la formule reliant s, p et Id. En déduire l’expression de la symétrie ou du projecteur associéà u.

Exercice IV

On se place dans E = R4 et on considère les sous-ensembles de E donnés par F = (x, y, z, t) ∈ R4 |x + 2y + z = y − 2z + t = 0 et G = (a,a + b,a + 2b,a + 2b) | (a,b) ∈ R2.

1. Quelles opérations font de E un espace vectoriel ?

2. Montrer que F et G sont des sous-espaces de E. Préciser leur nature géométrique.

3. Montrer que F et G sont supplémentaires et si v ∈ E, décomposer v sous la forme v = vF + vG oùvF ∈ F et vG ∈ G.

4. En déduire l’expression de p(x, y, z) où p est le projecteur sur F parallèlement à G.

Exercice V

Soit E un espace de dimension 3. On considère la base B = (e1,e2,e3) de E. On désigne par D la droitevectorielle engendrée par le vecteur ε1 = e1 + 3e2 − e3 et par P le plan engendré par les vecteurs ε2 = e1 − e3et ε3 = 2e1 − e2. On note p le projecteur sur P parallèlement à D.

1. Déterminer la matrice M′ de p dans la base B′ = (ε1, ε2, ε3).

2. Déterminer la matrice de passage Q de B à B′ ainsi que son inverse.

3. Rappeler la formule de changement de base reliant M, M′, Q et Q−1. En déduire la matrice M de pdans la base B.

Exercice VI

On note F l’espace vectoriel des fonctions de classe C∞ sur R à valeurs dans R.

1. Soit d l’application F −→ F, f 7−→ f ′. Montrer que d est un endomorphisme. Est-elle surjective ?Est-ce un automorphisme ?

2. On considère le sous-ensemble E de F des fonctions de la forme x 7−→ (a + bx) sin x + (c + dx) cos xoù a, b, c et d sont quatre réels.

a. Montrer que E est un sous-espace vectoriel de F. Montrer qu’il est de dimension finie, en donnerune base B = ( f1, . . . , fn) en précisant sa dimension n.

b. Montrer que d(E) ⊂ E. On note δ : E −→ E, f 7−→ d( f ). En déduire que δ est un endomorphismede E.

c. Donner la matrice M de δ dans la base B.

d. Déterminer Ker M. En déduire que δ est un automorphisme de E.

3. a. Soit λ ∈ R. Déterminer, selon les valeurs de λ, le rang de M2 − λIn.

b. Déterminer une base et la dimension du noyau et de l’image de M2 + In.

c. Calculer (M2 + In)2. En déduire que M4 + 2M2 + In = 0.

d. Retrouver alors que δ est un automorphisme et calculer δ−1 en fonction de δ.

e. On pose A = M2 de sorte que A2 = −2A − I4. Montrer que, pour tout k ∈ N, il existe deux réelsak et bk tels que Ak = akA + bkIn. Montrer que (ak )k∈N vérifie la relation de récurrence ∀k ∈ N,ak+2 + 2ak+1 + ak = 0 et en déduire ak et bk pour tout k ainsi que l’expression de Ak .

4. a. Résoudre dans R l’équation différentielle y′′ + y = 0.

b. Déterminer le noyau de d2 + IdF.

c. Montrer que le noyau de (d2 + IdF)2 est E. En déduire que E est exactement l’ensemble dessolutions de l’équation différentielle y′′′′ + 2y′′ + y = 0.

Exercice VII

Soient E, F et G trois espaces vectoriels de dimension finie, u ∈ L(E,F) et v ∈ L(E,G). Le but de cetexercice est d’étudier l’équation w u = v où w est l’inconnue. En particulier, on va montrer que

Ker u ⊂ Ker v ⇐⇒ ∃w ∈ L(F,G), v = w u

1. On suppose qu’il existe w ∈ L(F,G) telle que v = w u. Montrer que Ker u ⊂ Ker v.

2. On suppose que dim E = n, dim Ker u = n − p et dim F = r .

a. Citer le théorème de la base incomplète.

b. Justifier pourquoi on peut choisir (e1, . . . ,en) base de E de sorte que (ep+1, . . . ,en) soit une basede Ker u. Quelle est alors la dimension de Im u ?

c. Pour tout 1 ≤ i ≤ p, on pose fi = u(ei). Montrer que la famille ( fi)1≤i≤p est une base de Im u.

d. Justifier qu’on peut compléter la famille précédente de sorte que ( fi)1≤i≤r soit une base de F.

e. Justifier qu’il existe une unique w ∈ L(F,G) définie par

w( fi) =

v(ei) si 1 ≤ i ≤ p,0 sinon.

Montrer que, si Ker u ⊂ Ker v, alors v = w u.

3. Résolution de l’équation.

a. Montrer que l’application ϕ : L(F,G) −→ L(E,G), w 7−→ w u est linéaire.

b. Citer le théorème de structure d’une équation linéaire ϕ(w) = v.

c. Pourquoi l’équation homogène ϕ(w) = 0 admet-elle toujours une solution ?

d. Soit w ∈ L(F,G). Montrer que ϕ(w) = 0 ⇐⇒ Im u ⊂ Kerw.

e. On reprend les notations des questions 2.b et 2.d. Montrer que, pour tout gp+1, . . ., gr dans G,l’unique application w ∈ L(F,G) définie par

w( fi) =

0 si 1 ≤ i ≤ p,gi sinon.

est solution de ϕ(w) = 0.

f. Quelle est la dimension de Ker ϕ ?


DEVOIR MAISON No 9



Exercice IOn considère l’application ϕ définie sur R[X] par ∀P ∈ R[X], ϕ(P) = P′′ − 2XP′.

1. Montrer que ϕ est un endomorphisme de R[X].2. Si P est de degré n ≥ 1, quel est le degré de ϕ(P) ? En déduire que ϕ(Rn[X]) ⊂ Rn[X]. On note ϕn

l’endomorphisme de Rn[X] induit.3. Dans cette question uniquement, on suppose que n = 3.

a. Calculer ϕ3(Xk ) lorsque 0 ≤ k ≤ 3. En déduire la matrice M3 de ϕ3 dans la base canonique deR3[X].

b. Préciser l’image et le noyau de M3. En déduire l’image et le noyau de ϕ3.c. Si p ∈ 0,1,2,3, résoudre l’équation M3Y = −2pY où Y ∈ R4. En déduire un polynôme unitaire

Hp tel que ϕ3(Hp) = −2pHp.d. Montrer que (H0,H1,H2,H3) est une base de R3[X].e. Donner la matrice M′3 de ϕ3 dans cette base.

4. On revient au cas général où n n’est pas forcément égal à 3.a. Donner la matrice Mn de ϕn dans la base canonique Bc = (1,X, . . . ,Xn) de Rn[X].b. À quelle condition une matrice triangulaire supérieure est-elle inversible ? Montrer que si λ ∈ R,

la matrice Mn − λIn+1 est non inversible si et seulement si λ ∈ 0,−2, . . . ,−2n.c. En déduire que si p ∈ 0, . . . ,n, il existe un polynôme unitaire Hp tel que ϕ(Hp) = −2pHp.

d. Soit p ∈ 0, . . . ,n. Posons d = deg(Hp). En écrivant Hp = Xd +∑d−1

k=0 akXk et en utilisant laquestion précédente, montrer que deg(Hp) = p, ap−1 = 0 et ap−2 = − p(p−1)

4 .

Exercice IIEntre 2008 et 2010, Paul le poulpe est arrivé à deviner correctement le résultats de 12 des 14 matchs de

foot internationaux.1. Si on suppose que Paul le poulpe a une probabilité de 50 % de se tromper à chaque prédiction et

que ses prédictions sont indépendantes, donner la probabilité que Paul le poulpe trouve la séquenceexacte qu’il a prédit.

2. Si on suppose que Paul le poulpe a une probabilité de 50 % de se tromper à chaque prédiction et queses prédictions sont indépendantes, donner la probabilité que Paul le poulpe se trompe au plus deuxfois sur 14 prédictions.

3. Combien faut-il d’animaux tentant de prévoir les résultats des 14 matchs en question pour être sûr à99 % que l’un d’entre eux prédira correctement au moins 12 matchs sur 14 ? On pourra utiliser unpetit programme Python que l’on fera figurer sur la copie ; au besoin, ce programme pourra utiliserscipy.misc.comb.

Exercice IIILe loto consiste en un tirage sans remise de 5 boules distinctes numérotées de 1 à 49 (plus un numéro

chance, qui ne sera pas pris en compte ici).

1. Soit X la variable aléatoire « nombre de multiples de 5 dans un tirage du loto ». Donner la loi de X.Calculer son espérance m et sa variance σ2.

2. On effectue n tirages successifs du loto. On note Xi le nombre de multiples de 5 dans le i-ième tirage.

a. Rappeler la loi faible des grands nombres. En déduire une estimation de la probabilité queP( X1+···+Xn

n ≤ µ) où µ < m.

b. Le nombre d’apparition d’un multiple de 5 lors des 1197 tirages ayant eu lieu entre le 06/10/2008et le 28/05/2016 est donné par le tableau suivant

nombre de multiples de 5 0 1 2 3 4 5

nombre de tirages 420 526 208 41 2 0

Calculer la moyenne µ est données observées.

c. Au vu du nombre de multiples de 5 et uniquement à l’aide de la loi faible des grands nombres,peut-on conclure que les tirages au loto sont biaisés ?

Exercice IV

Corentin est un étudiant en classe préparatoire. Chaque matin, il se lève en retard avec la probabilité 13 .

Lorsqu’il se lève en retard, il est obligée de prendre le bus pour se rendre au lycée. Par contre, lorsqu’il est àl’heure, il choisit avec deux chances sur cinq d’aller à pied et avec trois chances sur cinq de prendre le bus.

1. On considère un matin donné et on définit les événements R : « Corentin se lève en retard » et B :« Corentin prend le bus ».

a. Rappeler l’énoncé de la formule des probabilités totales. Calculer P(B).

b. On remarque un matin que Corentin prend le bus. Quelle est la probabilité qu’il se soit levé àl’heure ?

c. On étudie maintenant les trajets pendant les 180 jours de cours d’une année scolaire. On supposeque chaque jour les choix de Corentin sont indépendants des choix des jours précédents. Onnomme X la variable aléatoire égale au nombre de fois où Corentin prend le bus.

(i) Reconnaître la loi de X. Donner l’ensemble X(Ω) est des valeurs prises par X et pour chaqueentier k, une expression de P(X = k) en fonction de k.

(ii) Donner E(X) et V(X).

(iii) En moyenne, combien de matins dans l’année Corentin peut-il espérer aller au lycée à pied ?

2. La société de bus annonce pour la semaine suivante un préavis de grève reconductible. On supposeque durant la grève aucun bus ne circule.Cette fois-ci, Corentin, bien entendu, est obligé de se rendre au lycée à pied. Mais s’il se lève enretard, il arrivera en retard au lycée. Chaque jour de grève, il arrive donc en retard au lycée avec laprobabilité 1

3 .On considère que la durée N de la grève en nombre de jours suit une loi de probabilité donnée dansle tableau suivant :

k 1 2 3

P(N = k) 12

18

38

Soit Y la variable aléatoire égale au nombre de jours où Corentin est en retard au lycée pendant lapériode de grève.

a. Calculer E(N).

b. Décrire Y(Ω), ensemble des valeurs prises par Y.

c. (i) Calculer les probabilités conditionnelles P(Y = 0|N = 1) et P(Y = 1|N = 1).

(ii) En déduire que P(N = 1,Y = 0) = 13 et que P(N = 1,Y = 1) = 1

6 .

(iii) Que valent P(N = 1,Y = 2) et P(N = 1,Y = 3) ?

d. On admet que la loi conjointe du couple (N,Y) est donnée par le tableau suivant, où a est unparamètre réel :

Y = 0 Y = 1 Y = 2 Y = 3

N = 1 13

16 0 0

N = 2 4a 4a a 0

N = 3 8a 12a 6a a

(i) Déterminer la valeur de a.

(ii) Déterminer la loi de Y. Calculer E(Y).

(iii) Quelle est la probabilité que Corentin soit en retard au moins une fois durant la durée de lagrève ?

(iv) Les variables aléatoires Y et N sont-elles indépendantes ?

(v) Calculer E(YN). En déduire E(YN) −E(Y)E(N). Peut-on retrouver le résultat de la questionprécédente ?



Durée : 4 heures





Exercice ILes questions sont indépendantes1. Effectuer la division euclidienne de X5 + 3X3 + X par X3 + X + 1.2. Soit n ≥ 3. Déterminer le reste de la division euclidienne de Xn par (X − 1)2(X − 2).3. Décomposition en facteurs irréductibles de X4 − X3 − X + 1 dans R[X] et dans C[X].4. Soit n ∈ N∗. Que dire d’un polynôme P ∈ Rn[X] tel que ∀k ∈ [[0 ; n]], P(k) = 1 ?5. Soit n ∈ N∗. Si k ∈ [[0 ; n]], on pose Pk = (X + k)(X + k + 1) . . . (X + n − 1 + k). Montrer que la

famille (Pk )0≤k≤n est une base de Rn[X].

Exercice IISoit n un entier naturel ≥ 2 et f l’application de R[X] dans lui-même définie par

f (P) = P(X + 1) − 2P(X) + P(X − 1).

1. Montrer que f est un endomorphisme de R[X].2. a. Calculer f (P) lorsque P est de degré ≤ 1.

b. Soit d ∈ N Si α ∈ R, développer (X + α)d . En déduire que si P est de degré d ≥ 2, alors f (P) estde degré d − 2.

c. En déduire que f (Rn[X]) ⊂ Rn[X]. On note fn l’endomorphisme de Rn[X] induit par f .3. Dans cette question uniquement, on suppose que n = 4.

a. Calculer f4(Xk ) pour 0 ≤ k ≤ 4. En déduire la matrice M4 de f4 dans la base canonique deR4[X].

b. Déterminer le noyau et l’image de f4 en précisant une base de chacun de ces espaces.4. On suppose dorénavant à nouveau que n est quelconque ≥ 2.

a. Si k ∈ [[0 ; n]], on pose Qk = fn(Xk ). Quel est le degré de Qk ? La famille (Q0, . . . ,Qn) est-ellelibre ?

b. Déterminer une base de Im fn et préciser sa dimension.c. En déduire la dimension de Ker fn. Donner une base de cet espace.

5. Soit Q ∈ Rn−2[X].a. Donner la structure de l’ensemble des solutions de l’équation f (P) = Q où P ∈ Rn[X].b. Soit (α, β) ∈ R2. Montrer qu’il existe un unique P ∈ Rn[X] tel que f (P) = Q vérifiant P(0) = α

et P′(0) = β.

Exercice III

On considère une variable aléatoire réelle X définie sur un espace probabilisé fini (Ω,P). On définit Y par

∀ω ∈ Ω, Y(ω) =

∫ 1

0max(X(ω), t) dt.

1. Justifier que Y est une variable aléatoire.

2. Dans cette question, X suit une loi de Bernoulli B(p) où p ∈ ]0 ; 1[.

a. Rappeler X(Ω), expliciter P(X = x) pour x ∈ X(Ω) et donner l’espérance et la variance de X.

b. Si ω ∈ Ω est tel que X(ω) = 1, calculer Y(ω). Même question lorsque X(ω) = 0.

c. En déduire que Y(Ω) = 12 ,1 et que la loi de Y est donnée par P(Y = 12 ) = 1− p et P(Y = 1) = p.

d. Rappeler la définition de l’espérance et de la variance. Calculer E(Y) et V(Y).

3. Dans cette question, X suit une loi binomiale B(n,p) où n ∈ N∗ et p ∈ ]0 ; 1[.

a. Rappeler X(Ω), expliciter P(X = x) pour x ∈ X(Ω) et donner l’espérance et la variance de X.

b. Déterminer Y(Ω), donner la loi de probabilité de Y et calculer E(Y).

4. On suppose dans cette question que X(Ω) = −1,0, 12 ,2 avec P(X = −1) = P(X = 0) = 1

8 etP(X = 2) = 1

3 .

a. Déterminer la valeur de P(X = 12 ). En déduire E(X) et V(X).

b. Utiliser l’inégalité de Bienaymé-Tchebychev pour estimer P(X ≥ 2). Comparer avec la vraievaleur. Commenter.

c. Donner la loi du couple (X,Y). Les variables X et Y sont-elles indépendantes ?

d. En déduire la loi de probabilité de la variable aléatoire Y puis calculer son espérance E(Y).

e. On pose Z = XY. Justifier que Z(Ω) = −12 ,0,

516 ,4. Déterminer la loi de probabilité de Z puis

calculer E(Z). En déduire E(XY) − E(X)E(Y). Commenter.

Exercice IV

On a trois jetons ayant chacun une face bleue et une face blanche. Si la face bleue est apparente oncompte le jeton comme bleu et inversement. On a au départ un nombre fixé b de jetons bleus. À chaque touron choisit un jeton au hasard puis un second jeton (sans remise) au hasard. Si le deuxième jeton est d’unecouleur différente de celle du premier on le retourne (s’il est bleu, il devient blanc et inversement). Soit Xk lavariable qui compte le nombre de jetons bleus au k-ième tirage. On pose

Yk =

P(Xk = 0)P(Xk = 1)P(Xk = 2)P(Xk = 3)

On adoptera la convention que si P(B) = 0, alors P(C)P(C|B) = 0 pour tout événement C.

1. Exceptionnellement, on indexe les matrices par des entiers à partir de 0 au lieu de 1. On note M lamatrice (mi,j )0≤i,j≤3 ∈ M4(R) où mi,j = P(Xk+1 = i |Xk = j).

a. Donner Y0 selon la valeur de b.

b. Justifier que la première et la dernière colonne de M n’ont qu’un seul coefficient non nul égal à 1.Quel est-il ?

c. Justifier que m3,1 et m0,2 sont nuls.

d. On note B1 l’événement « le premier jeton tiré est bleu », W1 l’événement « le premier jeton tiréest blanc », B2 l’événement « le second jeton tiré est bleu », W2 l’événement « le second jetontiré est blanc ».On suppose qu’il y a un jeton bleu. Calculer P(W1∩B2), P(B1∩W2), P(B1∩B2) et P(W1∩W2).En déduire les valeurs des mi,1 pour 0 ≤ i ≤ 2.

e. Donner, sans plus de justification, la matrice M. Vérifier qu’elle est bien indépendante de k.

f. Rappeler la formule des probabilités totales. En déduire que Yk+1 = MYk . Exprimer alorsexplicitement Yk en fonction de M, Y0 et k.

2. Soit u l’application linéaire R4 −→ R4, (x, y, z, t) 7−→ (x + 13 y,

13 y + 1

3 z, 13 y + 1

3 z, 13 z + t).

a. Donner la matrice A de u dans la base canonique.

b. Trouver une base B1 du noyau de u.

c. Trouver une base B2 de ~v ∈ R4 | u(~v) = ~v.d. Trouver une base B3 de ~v ∈ R4 | u(~v) = 2

3~v.e. Soit e′ la famille obtenue en réunissant les éléments de B1, B2 et B3. Montrer que e′ est une base

de R4. Donner la matrice A′ de u dans la base e′.f. Donner la matrice de passage P de la base canonique e de R4 à e′ et calculer P−1.

3. Soient p et q deux entiers ≥ 1. On dit qu’une suite de matrices (Bn = (bi j (n)))n∈N de Mp,q(R)converge vers une matrice B = (bi j ) de Mp,q(R) si, pour tous i et j fixés, chaque suite réelle(bi j (n))n∈N converge vers bi j quand n tend vers +∞.

a. Déterminer la limite de (A′k )k∈N.

b. Rappeler la formule de changement de base reliant A, A′, P et P−1. En déduire Ak en fonction deA′k , P et P−1 pour tout k ∈ N.

c. Soit Q une matrice de Mp,4(R). Démontrer que si (Bn)n∈N converge vers B dans M4(R), alors(QBn)n∈N converge vers QB. On admettra de même que BnR −→n→+∞ BR si R est une matrice deM4,q(R).

d. En déduire la limite de (Ak )k∈N puis de (Yk )k∈N. Interpréter.

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