INCREMENTO DE UNA FUNCION

INCREMENTO DE UNA FUNCION

La palabra incremento se entiende como el aumento del valor de una variable. El incremento x de una variable x es el cambio en x cuando esta crece o decrece desde un valor , hasta un valor y se escribe .

Si y=f(x), entonces , es el incremento de y para un incremento de x

INCREMENTO RELATIVO DE UNA FUNCION

El incremento relativo de dos variables es la razn de sus incrementos . El incremento relativo de y respecto a x es .

Si y=f(x), el incremento relativo de la funcin respecto de la variable independiente x, es la transformacin que experimenta la funcin por cada unidad de cambio en x.

Simblicamente:

Ejemplo: Si y=3x-1 halla el incremento relativo

Solucin

Se tiene y = f(x) = 3x-1, aplicando la definicin de incremento relativo se tiene:(se cambia x por x+x)

Eliminando corchetes

DERIVADA DE UNA FUNCIN

En esta definicin x permanece fijo, en tanto que x tiende a cero. Si el lmite no existe para un valor particular de x la funcin no tiene derivada en ese valor. Se acostumbra a denotar la derivada de la funcin y=f(x) por: , , y , f(x) , ,

Ejemplo: calcula la derivada de , utilizando la definicin de derivada

Solucin

Por definicin

Se calcula primero el incremento relativo

Se aplica lmite cuando x tiende a cero

REGLAS BASICAS DE DERIVACIN

Una vez conocida la definicin de derivada, se pueden utilizar reglas prcticas para calcular la derivada de diferentes funciones, setas reglas son:

1. DERIVADA DE UNA COSNTANTE: La derivada de una constante es igual a cero. Simbolicamente: si f(x) = c, entonces f(x)=0, siendo c una constante para todos los valores de xEjemplo: y= -5 , entonces y = 02. DERIVADA DE UNA FUNCION LINEAL: la derivada de la funcin lineal es igual al coeficiente de la variable. Simbolicamente: Si f(x)=mx+b, entonces f(x)=m, siendo m la pendiente de la recta. Ejemplo: y = -2x+3, entonces y=-23. DERIVADA DE UNA POTENCIA: La derivada de una potencia es igual a la potencia multiplicada por la base elevada al exponente menos 1. Simblicamente: si , entonces

Ejemplo: , entonces

* Observacin: Recurdese que algunas funciones pueden reescribirse con el objeto de ser derivadas como una potencia, tal es el caso de y que

4. DERIVADA DE UNA CONSTANTE POR UNA FUNCION: La derivada de una constante por una funcin es igual al producto de la constante por la derivada de la funcin. Simblicamente: Si f(x)=c.g(x), entonces f(x)=c. g(x)Ejemplo:,entonces

DERIVADA DE FUNCIONES ESPECIALESFuncin Derivada

f(x)= axf(x)=) = axlna

f(x) = exf(x)= ex

f(x) = logaxf(x)=

f(x) = lnxf(x)=

f(x) = senxf(x)=cosx

f(x) = cosxf(x)=-senx

f(x)= tanxf(x)=sec2x

f(x)= cotxf(x)=-cosc2x

f(x)=secxf(x)=secx.tanx

f(x)= coscxf(x)=-coscx.cotx

ALGEBRA DE DERIVADAS1. DERIVADA DE UNA SUMA O DIFERENCIA DE FUNCIONES: La derivada de una suma o resta de funciones es igual a la suma o resta de las derivadas de cada una de las funciones.

Simblicamente:

Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x) = f(x) g(x), entonces

Ejemplo: F(x) = senx+lnxSolucin

Se observa que F(X) est formada por dos funciones , llamemos f(x) = senx y g(x)= lnx, de manera que f(x)= cosx y g(x)=

Como F(x) = f(x) + g(x), entonces

reemplazando

2. DERIVADA DEL PRODUCTO DE DOS FUNCIONES: la derivada del producto de dos funciones es igual a la derivada de la primera funcin por la segunda, ms la primera por la derivada de la segunda.Simblicamente:

Si f(x) y g(x), tienen derivadas y F(x)=f(x)*g(x), entonces

Ejemplo: Calcular F(x) , si F(x) =

Solucin

Sea f(x) = 5x3 , entonces f(x)= 15x2 y g(x) = cosx, entonces g(x)=-senxComo F(x) = f(x)g(x)

reemplazando las derivadas

3. DERIVADA DEL COCIENTE DE DOS FUNCIONES: La derivada del cociente de dos funciones es igual a la derivada de la funcin del numerador por la funcin del denominador menos la funcin del numerador por la derivada de la funcin del denominador, dividido por el cuadrado de la funcin del denominador.

Simblicamente: si , entonces

Ejemplo: si , hallar F(x).Solucin

Sea f(x) = x3, su derivada f(x)=3x2 y g(x) = ex, su derivada g(x)= exComo , entonces

, reemplazando

DERIVADA DE FUNCIONES COMPUESTAS: REGLA DE LA CADENA

Para calcular la derivada de una funcin compuesta , es conveniente considerar a f como la funcin externa y a g como la funcin interna. De esta manera la derivada de la funcin compuesta es la derivada de la funcin externa (calculada en la funcin interna) multiplicada por la derivada de la funcin interna (o derivada interna).Simblicamente: Si g es una funcin tal que existe g, y f es tal que existe , entonces la funcin compuesta , tiene por derivada . Este resultado se le conoce como regla de la cadena.

Ejemplo: calcular F(x), para

Solucin

Se observa que F(x) es una funcin compuesta , cuya funcin interna es x3 y funcin externa seno, para lo cual se considera g(x) = x3 y , de manera que al derivar estas funciones se tiene:

Luego como

, al derivar por regla de la cadena

, reemplazando

DERIVACION IMPLICITAAlgunas funciones no se encuentran escritas en forma explcita, es decir y=f(x), si no que estn en forma implcita, donde no se sabe si y es funcin de x si x de y, como por ejemplo: x2y-3xy=3y2+1Para derivar una funcin que est en forma implcita, se siguen los siguientes pasos:

1. Se deriva a cada uno de los trminos a ambos lados de la ecuacin primero respecto a x , luego respecto a y, teniendo en cuenta que cada vez que se derive respecto a y se deja indicado.

2. Se agrupan los trminos de tal manera que se pueda despejar la derivada respecto a y , para ello deben trasladarse trminos.

3. Simplificar la expresin resultante del paso anterior para la expresin de la derivada

Ejemplo: calcula y, para la funcin

Solucin

Se deriva cada trmino primero con respecto a x ,luego respecto a y

(la derivada de , respecto a x y respecto a y y es ), luego se tiene

(trasponiendo hacia la izquierda los trminos y)

factorizando por factor comn y)

(despejando y)

Si y=f(x) es una funcin con variable independiente x , la derivada de y respecto a x, que se representa por y f(x) , est definida por:

EMBED Equation.3 , si este lmite existe.

_1290665510.unknown

_1290864778.unknown

_1290866103.unknown

_1290867179.unknown

_1290867309.unknown

_1290867403.unknown

_1290867583.unknown

_1290867661.unknown

_1290867325.unknown

_1290867218.unknown

_1290867251.unknown

_1290866255.unknown

_1290866545.unknown

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_1290662409.unknown