DEKOMPOSISI LU

METODE DEKOMPOSISI LU

Untuk Memenuhi Tugas Terstruktur

Mata Kuliah: Metode Numerik

Dosen Pengampu: Saluky, M.Kom

KEL.10

1. Moh. Irfadi (59451082)

2. Ovinda fitri (59451089)

3. Santi Andriani (59451092)

4. Titi Rohaeti (59451100)

JURUSAN/KELAS/SEMESTER : MATEMATIKA/C/VII

KEMENTERIAN AGAMA RI

INSTITUT AGAMA ISLAM NEGERI (IAIN) SYEKH NURJATI

CIREBON

2012

Solusi SPAL dengan Teknik Dekomposisi LU

A. Prinsip Dekomposisi LU dan Identitas

Matriks [A] dari SPAL didekomposisi (difaktorisasis) menjadi matriks-matrik

segitiga bawah (L) dan segitiga atas (U)sedemikian rupa sehingga identitasnya

adalah:[A] = [L]·[U] atau A = L·U

B. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Doolittle

Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:

L =

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas berharga 1

(satu) !

Notasi matriks U dituliskan sbb:

U =

Perhatikan, bahwa semua elemen yang terletak di bawah diagonal dari matriks

U di atas (= u1,1 … un,n) berharga 0 (nol) !

C. Notasi Matriks LU berdasarkan Metode Crout

Notasi matriks L seperti di atas dituliskan sbb:

L =

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal dari matriks L diatas tidak harus

berharga 1 (satu), sedangkan, elemen-elemen di atas diagonal semuanya

berharga 0 (nol) !

Notasi matriks U dituliskan sbb:

U=

Perhatikan, bahwa semua elemen diagonal (= u1,1 … un,n)berharga 1 (satu),

sedangkan yang terletak di bawahnyaberharga 0 (nol) !

D. Notasi Matriks A dan LU dalam SPAL

Notasi Matriks LU sebagai dekomposan matriks A dapat dituliskan dalam

SPAL sbb:

[A] · [x] = [L]·[U]·[x] = [b]

Sehingga, dalam notasi Metode Doolittle dapat dituliskan:

=

Sedangkan, dalam notasi Metode Crout dapat dituliskan:

=

E. Deskripsi Tahapan dan Strategi Dekomposisi

Notasi A = LU dalam Metode Doolittle seperti di atas dapat diuraikan dalam

operasi perkalian matriks (sebagai contoh:matriks n x n) sbb:

Baris 1 ( i = 1):

; i= 1,...,n

Baris 2 ( i = 2):

Baris 3 ( i = 3):

Baris n ( i = n ):

# Dari operasi-operasi perkalian matriks LU seperti di atas, dapat

disimpulkan beberapa hal berikut:

1. Mekanisme ‘proses dekomposisi’ dilakukan dengan cara mengisi terlebih

dahulu baris pertama matriks U. Selanjutnya, mengisi matriks L pada

baris terendah terlebih dulu (mulai baris ke-2), dan kemudian diikuti

pengisian matriks U pada baris yang sama, demikian seterusnya sampai

baris terakhir (ke-n).

2. Harga-harga dari semua elemen matriks U pada baris 1 identik dengan

elemen-elemen matriks A (matriks asal),

3. Harga-harga elemen pada kolom 1 untuk matriks L, dapat dihitung

menggunakan persamaan berikut: li,1 = ai,1 / u1,1 ; i = 2,…,n

4. Jumlah maksimum operasi penjumlahan per elemen matriks A sesuai

dengan jumlah/posisi baris,

5. Pada baris rendah, langkah/iterasi pengisian matriks U lebih banyak

dibandingkan dengan matriks L, dan sebaliknya.

F. Algoritma Dekomposisi dan Komputasi Praktis

1. Algoritma solusi numerik dengan Metode Doolittle:

Baris 1:

u1,i = a1,i ; i =1,...,n

Baris 2:

Pengisian matriks L:

Pengisian matriks U:

Baris 3:



Baris n :



G. Manfaat Dekomposisi LU untuk Solusi SPAL

Solusi SPAL [A] · [x] = [b], melalui teknik dekomposisi matriks [A], sangat

bermanfaat untuk menyelesaikan problem-problem ataupun model matematis

yang membentuk SPAL dengan matriks [A] yang sama untuk berbagai vektor

jawab, [b]. Dengan teknik dekomposisi LU ini, penyelesaian akan menjadi

sangat efisien dan banyak menghemat waktu pada saat telah diperoleh

dekomposisi matriks [A], karena hasil dekomposisi LU tersebut dapat dipakai

untuk semua SPAL dengan matriks [A] yang identik. Bentuk umum SPAL

yang menggunakan matriks [A] yang identik, seperti disebutkan di atas, dapat

dituliskan sbb:

Perhatikan, bahwa bentuk di atas sesungguhnya merupakan perkalian 2 bentuk

matriks, antara matriks bujur sangkar [A] yang berdimensi n x n dengan matrik

segi 4 yang berdimensi n x m, dengan hasil matriks lain yang juga berdimensi n

x m!

Contoh soal

Tentukan x1, x2 , x3 dan x4 dari sistem persamaan linier di bawah ini dengan

metode dekomposisi LU

X1 – 2x3 + 7x4 = 11

2x1 – x2 + 3x3 + 4x4 = 9

3x1 -3x2 + x3 + 5x4 = 8

2x1 + x2 + 4x3 + 4x4 =10

Jawab:

Sistem persamaan linier tersebut dinyatakan dalam bentuk perkalian matriks

sebagai berikut,

= , dengan A =

X = dan B =

Jadi U =

Ly = B

UX =

DAFTAR PUSTAKA

Atkinson, Kendal E., “An Introduction to Numerical Analysis”, John

Wiley & Sons, Toronto, pp. 33-39, 1978.

Atkinson, L.V., Harley, P.J., “An Introduction to Numerical

Methods with Pascal”, Addison-Wesley Publishing Co., Tokyo,

pp. 49-59, 1983.

Bismo, Setijo, “Kumpulan Bahan Kuliah Metode Numerik”, Jurusan

TGP-FTUI, 1999.

Documents

DEKOMPOSISI LU