§¹o hµm cÊp caoI/ KiÕn thøc c¬ b¶n:1/ §¹o hµm cÊp 2

- Cho hµm sè cã ®¹o hµm . Nõu cã ®¹o hµm th× ®¹o hµm cña nãgäi lµ ®¹o hµm cÊp hai cña hµm vµ kÝ hiÖu lµ , tøc lµ

=- cßn gäi lµ ®¹o hµm cÊp mét cña hµm sè - §¹o hµm cÊp hai cña hµm sè cßn ®îc ký hiÖu lµ

2/ ý nghÜa c¬ häc cña ®¹o hµm cÊp hai- Gia tèc tøc thêi a(t0) t¹i thêi ®iÓm t0 cña mét chÊt ®iÓm chuyÓn ®éng cho bëi ph¬ng tr×nh S = S(t) b»ng ®¹o

hµm cÊp hai cña hµm sè S = S(t) t¹i ®iÓm t0, tøc lµ: =

3/ §¹o hµm cÊp cao- Cho hµm sè cã ®¹o hµm cÊp n-1, (n N, n ), lµ .

Nõu lµ mét hµm sè cã ®¹o hµm th× ®¹o hµm cña nã ®îc gäi lµ ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè vµ kÝ hiÖu lµ . Tøc lµ:

,n N,n- §¹o hµm cÊp n cña hµm sè cßn ®îc ký hiÖu lµ y(n)

II. Kü n¨ng c¬ b¶n+/ VËn dông c¸c quy t¾c vµ c¸c c«ng thøc tÝnh ®¹o hµm cña hµm sè+/ Cñng cè, n©ng cao kü n¨ng chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc.

III. Mét sè vÝ dôVD1. TÝnh ®¹o hµm ®Õn cÊp ®· chØ ra cña c¸c hµm sè sau:1/ 2/ 3/ 4/ Gi¶i:1/ Ta cã:

xxy 16860 2 2/ Ta cã:

3/ Ta cã:

=

=

4/ Ta cã:

VD2: TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè víi Gi¶i:

Ta cã:

+/ Ta dù ®o¸n , n N* (*)

+/ Ta chøng minh c«ng thøc (*) b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p: Râ rµng (*) ®óng víi n=1 Gi¶ sö (*) ®óng víi n=k, k N*, tøc lµ ta cã:

y(k) = 2k sin (2x+k )

Khi ®ã y(k+1) =

=

=

=

=

+/ VËy (*) ®óng víi L u ý : B»ng c¸ch chøng minh t¬ng tù, ta cã thÓ chøng minh ®îc: §¹o hµm cÊp n cña hµm sè y = sin ax,(a 0) lµ:

n N*

VD3: TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè

Gi¶i:

Ta cã:

+/ Cã thÓ dù ®o¸n

, n N* (*)

+/ Ta chøng minh (*) b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p Râ rµng (*) ®óng víi n=1 Gi¶ sö (*) ®óng víi n=k, k N*, tøc lµ

Khi ®ã

= -

=

VËy (*) ®óng víi L u ý : B»ng c¸ch chøng minh t¬ng tù, ta cã thÓ chøng minh ®îc:

§¹o hµm cÊp n cña hµm sè (a,b,c lµ c¸c h»ng sè a lµ

,n

VD4: TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña hµm sè

Gi¶i:

+/ Ta cã

+/ Ta t×m hai sè A, B ®Ó cho

1 = 2x (A + B) + B – A

+/ Nh thÕ,

=

+/ T¬ng tù vÝ dô 3, ta cã

=

VD5: Cho hµm sè y=xsinx chøng minh r»ng(

Gi¶i:+/ Ta cã:

+/ Nh vËy:

§iÒu ph¶i chøng minh

IV. Bµi tËpBµi1. TÝnh ®¹o hµm cña c¸c hµm sè sau ®Õn cÊp chØ ra

1/ 2/

3/ y = (1 - x2) cosx 4/ 5/ y = cos2x (y(4)) 6/ y = tan23xH íng dÉn :

1/ Ta cã

2/ Ta cã

3/

4/ Ta cã: (x>0)

=> => (x>0)

5/ Ta cã: , y(4)= 16 cos2x6/ Ta cã:

=54 tan43x + 70tan23x+18Bµi 2. TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña c¸c hµm sè:1/ y = sin5x 2) y = cos4x3/ y = sin2x cosx 3) y = sin2xH íng dÉn : 1/ Xem l¹i c¸ch lµm ë vÝ dô 2:

y(n) = 5nsin(5x+n ) n N*

2/ Ta cã:

y(n)= 4n.cos(4x+n ) n N*

3/ Ta cã:

y =

=> y(n) =

=

4) Ta cã:

y =

=> y(n) = -2n-1cos (2x+n

L u ý : C¸c c«ng thøc ®a ra tõ (1) -> (4) ®Òu ph¶i chøng minh b»ng ph¬ng ph¸p quy n¹p to¸n häc.Bµi 3. TÝnh ®¹o hµm cÊp n cña c¸c hµm sè

1/ y = 2/ y =

3/ y = 4/ y =

H íng dÉn :1) Ta cã:

y = -(1+x) +

Khi ®ã y(n)=

2) Ta cã:

y =

+ T×m ®îc

7

2

B

A

=> y =

=> y(n) =

3) Ta cã:

+) y =

+) MÆt kh¸c:

+ Nªn y =

4) T¬ng tù, ta cã:

y = 5 +

=> y(n)=

Bµi 4. Cho hµm sè y= CMR: 2

H íng dÉn:

Ta cã:

Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minhBµi 5. Cho hµm sè f(x) = x4+2mx2+m1/ Víi nh÷ng gi¸ trÞ nµo cña m ®Ó f(x)>0 2/ Víi m võa t×m ®îc CMR

F(x) = +H íng dÉn :1/ + §iÒu kiÖn cÇn: Gi¶ sö f(x)>0 => f(0)>0 =>m>0 + §iÒu kiÖn ®ñ: Víi m>0 râ rµng x4+2mx2+m>0 VËy m>0 lµ c¸c gi¸ trÞ cÇn t×m2/ + TÝnh ®îc F(x) = m(2x2+4x+5) + x2(x2+4x+4) + 8(x2+3x-3) lu«n d¬ng + Tõ ®ã suy ra ®iÒu ph¶i chøng minh

Vi ph©nI. KiÕn thøc c¬ b¶n 1. Vi ph©n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm

Cho hµm sè y=f(x) cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0. TÝch ®îc gäi lµ vi ph©n cña hµm sè y=f(x) t¹i ®iÓm x0 (øng víi sè gia ) vµ ®îc ký hiÖu lµ df(x0) tøc lµ:

(x0) = 2. øng dông cña vi ph©n vµo tÝnh gÇn ®óng

Khi kh¸ nhá, th× sè gia cña hµm sè t¹i ®iÓm x0 øng víi sè gia xÊp xØ b»ng vi ph©n cña hµm sè t¹i x0 øng víi sè gia ®ã, tøc lµ:

(x0+Tõ ®ã ta cã:

(x0+3. Vi ph©n cña hµm sè

Nõu hµm sè cã ®¹o hµm th× tÝch gäi lµ vi ph©n cña hµm sè y= , ký hiÖu lµ:=

§Æc biÖt víi hµm sè y=x, ta cã do ®ã ta cã: hay

II. Kü n¨ng c¬ b¶n +/ TÝnh ®îc vi ph©n cña hµm sè t¹i mét ®iÓm, vi ph©n cña mét hµm sè+/ øng dông vµo viÖc tÝnh gÇn ®óng

III. Mét sè vÝ dô A. VÝ dô tù luËnVD1. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè sau, t¹i ®iÓm x øng víi sè gia ®· cho.1/ t¹i x=0, =0,001

2/ t¹i x=

Gi¶i:1/ Ta cã:

2/ Ta cã:

VD2. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè:1/ 2/ 3/ 4/ Gi¶i:1/ Ta cã:

2/ Ta cã:

3/ Ta cã:

4/ Ta cã:

VD3. TÝnh gÇn ®óng1/ 2/ Gi¶i:

1/ XÐt hµm sè

Chän x0 =1

Do ®ã

VËy 2/ Ta chuyÓn 590 sang ®¬n vÞ ®o ra®ian ®îc:

XÐt hµm sè

Víi

Do ®ã

VD4. Cho hµm sè y=-2 Chøng minh r»ng:Gi¶i:

Ta cã:

®pcm.

B. VÝ dô tr¾c nghiÖmChän ph¬ng ¸n tr¶ lêi ®óng trong c¸c vÝ dô sau:

VD5. Vi ph©n cña hµm sè t¹i ®iÓm x0=1 øng víi =0,001 lµ:A. 0 B. 0,1 C. 0,01 D.0,001VD6. Vi ph©n cña hµm sè lµ:A. B. C. C.

VD7. Vi ph©n cña hµm sè lµ

A. B.

C. D.

VD8. Vi ph©n cña hµm sè y = xsinx lµ:A. B. C. D. VD9. Vi ph©n cña hµm sè y=(1+3x)9 lµ:A. B. C. D. §¸p ¸n:

VD5 VD6 VD7 VD8 VD9A B D B C

IV. Bµi tËpBµi 1. TÝnh vi ph©n cña c¸c hµm sè sau t¹i ®iÓm ®· chØ ra øng víi sè gia

1/ t¹i x0=1, =0,0012/ t¹i x0=3, =0,01

3/ t¹i x0=

4/ t¹i

H íng dÉn: 1/ Ta cã:

2/ Ta cã:

3/ Ta cã:

4/ Ta cã:

Bµi 2. T×m vi ph©n cña c¸c hµm sè:

1/ 2/

3/ 4/

H íng dÉn:

1/

2/

3/

4/

Bµi 3. TÝnh gÇn ®óng gi¸ trÞ sau:1/ 2/ H íng dÉn:

1/ §Æt , x0=225,

=15+

2/ §æi 610 vÒ sè ®o ra®ian, ta ®îc

+/ Xem c¸ch lµm ë ë VÝ dô B

Bµi 4. Chøng minh r»ng Nõu c¸c hµm sè cã ®¹o hµm t¹i ®iÓm x0, th× t¹i ®iÓm ®ã ta cã:

H íng dÉn: Ta cã:

=

=