Modelarea numerica a circuitelor electrice

Universitatea Tehnica din Cluj-Napocahttp://users.utcluj.ro/~lcret/

Cursul nr. 7

Despre curs

• Scop– Familiarizarea studentilor cu metodele uzuale de modelare

numerica a circuitelor electrice.

• Obiective– Cunoasterea modelelor matematice utilizate pentru

rezolvarea circuitelor electrice reciproce si nereciproce, functionand in regim stationar, in regim permanent sinusoidal si in regim tranzitoriu.

Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu�Generalitati�Metode operationale�Modelarea cuplajelor magnetice�Modele matematice pentru circuite reciproce in regim

tranzitoriu�Metoda teoremelor lui Kirchhoff�Metoda nodala modificata�Metoda tensiunilor ramurilor pasive�Metoda curentilor coardelor pasive

�Modele matematice pentru circuite nereciproce in regim tranzitoriu�Metoda teoremelor lui Kirchhoff�Metoda nodala modificata�Metoda hibrida

Cuprinsul cursului 7

Capitolul 5Capitolul 5Capitolul 5Capitolul 5

CIRCUITE ANALOGICE LINIARE IN REGIM TRANZITORIU

Tuesday, May 13, 2014 4

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 5

5.1 Generalitati

• Regimurile tranzitorii in circuitele electrice sunt consecinte ale unor actiuni exterioare voite, care conduc la modificari topologice sau variatii ale unor parametri functionali, perturband astfel regimurile permanente. Dureaza pana la stabilirea unui nou regim permanent.

• Pe parcursul regimurilor tranzitorii, marimile electrice si magnetice sunt variabile in timp, astfel incat solutia generala a unei probleme de analiza de acest tip consta in functii vectoriale de timp.

• Pentru un circuit cu l laturi, dintre care lC laturi cu condensatoare si lL laturi cu bobine, solutia generala a analizei contine:

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 6

– Curentii si tensiunile laturilor

– Sarcinile condensatoarelor

– Fluxurile magnetice totale ale bobinelor

( )

( )( )

( )

( )

( )( )

( )

=

=

tu

tu

tu

tu

ti

ti

ti

ti

ll

......2

1

2

1

( )

( )( )

( )

=

tq

tq

tq

tq

Cl

...2

1

( )

( )( )

( )

[ ]final

l

tttcu

t

t

t

t

L

,... 02

1

∈

=

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 7

Modelul matematic general se scrie astfel:

cu conditiile initiale:

S-au folosit notatiile simplificate pentru derivatele in raport cu timpul (exemplu: reprezinta derivata in raport cu timpul a sarcinii electrice)

( ) ( )

( )( )

( ) ( )( ) ( )

=−=−

==⋅=⋅ −

1,

1,

1,

1,

1,1

0

0

0,,,

0

0

L

C

l

l

l

b

n

tut

titq

quif

tuB

tiA

ϕϕϕϕ

ϕϕϕϕ

&

&( )( )

==

00

00

ϕϕϕϕϕϕϕϕ t

qtq

( )tq&

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 8

5.2 Metode operationale

• Modelele matematice cu sisteme de ecuatii integro-diferentiale se substituie prin sisteme de ecuatii algebrice cu coeficienti complecsi;

• Opereaza cu marimi imagine, fara semnificatie fizica, asociate marimilor electrice descrise prin funtii de timp (functii de tip original, carora li se asociaza transformata Laplace):

• Metoda presupune construirea in prealabil a schemei operationale a circuitului;

• Notatii utilizate in practica:

( ) ( ){ } ( ) ( ) ( ){ }sFtfdtetftfsF ts 1

0

−∞

⋅− =⋅== ∫ LLLLLLLL si

( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ } ( ) ( ){ }.,,, tqsQtstisItusU LLLLLLLLLLLLLLLL ==Φ== ϕϕϕϕ

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 9

Folosind indicele k pentru indexul laturii ocupate de elementul de baza, rezulta ecuatiile caracteristice pentru elementele de circuit:

• Rezistoare liniare

• Bobine liniare

• Condensatoare liniare

• Surse independente de tensiune

• Surse independente de curent

( ) ( ) ( ) ( )sUGsIsIRsU kkkkkk ⋅=⋅= sau

( ) ( )sILs kkk ⋅=Φ

( ) ( )sUCsQ kkk ⋅=

( ) ( ) ( )*

ssE

sEsU kkk −=−=

( ) ( ) ( )*

ssJ

sJsI kkk ==

* Valabil numai pentru surse de curent continuu

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 2014 10

• Portile de comanda ale surselor comandate:– In curent:

– In tensiune:

• Portile comandate ale surselor de tensiune comandate:– In curent:

– In tensiune:

• Portile comandate ale surselor de curent comandate:– In curent:

– In tensiune:

( ) 0=sU j

( ) 0=sI j

( ) ( )sIRsU jkjk ⋅−=

( ) ( )sUAsU jkjk ⋅−=

( ) ( )sIBsI jkjk ⋅=

( ) ( )sUGsI jkjk ⋅=

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201411

Formele operationale de evolutie ale elementelor acumulatoare de energie:

• Bobine liniare izolate:

- sursa de tensiune operationala

sau

- sursa de curent operationala

• Condensatoare liniare

- sursa de tensiune operationala

sau

- sursa de curent operationala

Este avantajoasa modelarea conditiilor initiale prin surse operationale de curent, intrucat acestea nu impun cresterea numarului de noduri al schemei operationale fata de circuitul initial.

( ) ( ) ( )−⋅−⋅⋅= 0kkkkk iLsILssU

( ) ( ) ( )s

iLssU

sI k

k

kk

−+⋅

= 0

( ) ( ) ( )s

uCssI

sU k

k

kk

−+⋅

= 0

( ) ( ) ( )−⋅−⋅⋅= 0kkkkk uCsUCssI

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201412

Modelarea conditiilor initiale in schema operationala echivalenta prin surse de curent:

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201413

Forma generala a modelului matematic:

Dupa determinarea solutiilor se calculeaza marimile instantanee prin efectuarea transformatei Laplace inverse (cu formule specifice de inversiune).

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

⋅==

⋅−=−=

=−==−⋅=−⋅

=⋅=⋅ −

sI

sUBGsJsI

sI

sURAsEsU

sJsIsisEsU

sIsUsYsausUsIsZ

sUB

sIA

E

JcccJc

E

JcccEc

lJlE

lkkklkkk

b

n

JE

pp

1,1,

1,1,

1,

1,1

00

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201414

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201415

Forma generala a modelului matematic:

Dupa determinarea solutiilor se calculeaza marimile instantanee prin efectuarea transformatei Laplace inverse (cu formule specifice de inversiune).

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

⋅==

⋅−=−=

=−==−⋅=−⋅

=⋅=⋅ −

sI

sUBGsJsI

sI

sURAsEsU

sJsIsisEsU

sIsUsYsausUsIsZ

sUB

sIA

E

JcccJc

E

JcccEc

lJlE

lkkklkkk

b

n

JE

pp

1,1,

1,1,

1,

1,1

00

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201416

Forma generala a modelului matematic:

Dupa determinarea solutiilor se calculeaza marimile instantanee prin efectuarea transformatei Laplace inverse (cu formule specifice de inversiune).

( ) ( )

( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

( ) ( ) [ ] ( )( )

⋅==

⋅−=−=

=−==−⋅=−⋅

=⋅=⋅ −

sI

sUBGsJsI

sI

sURAsEsU

sJsIsisEsU

sIsUsYsausUsIsZ

sUB

sIA

E

JcccJc

E

JcccEc

lJlE

lkkklkkk

b

n

JE

pp

1,1,

1,1,

1,

1,1

00

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201417

5.3 Modelarea cuplajelor magnetice:Se face utilizand surse comandate in domeniul operational. Pentru cuplaje magnetice pozitive avem formulele:

Pentru a evita schemele echivalente de tip serie, cu surse de tensiune, care introduc noduri suplimentare, se foloseste modelarea cu surse de curent:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )

⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=⋅−⋅⋅+⋅−⋅⋅=

−−

−−

00

00

kjkkjkjjjjj

jkjjkjkkkkk

iLsILsiLsILssU

iLsILsiLsILssU

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( )

+−⋅=

+−⋅=

−

−

s

isJsUsYsI

si

sJsUsYsI

jjkjjjj

kkjkkkk

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201418

Unde notatiile folosite indica:

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )sUsYsJsUsYsJ

LLLLs

LsY

LLLLs

LsY

LLLLsL

sYLLLLs

LsY

kjkjkjkjkj

jkkjjk

jkjk

jkkjjk

kjkj

jkkjjk

kjj

jkkjjk

jkk

⋅=⋅=

−=

−=

−=

−=

;

;

;

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201419

Modelarea cuplajelor simple in domeniul operational:

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201420

5.4 Modele matematice pentru circuite reciproce functionand in regim tranzitoriu

5.4.1 Metoda teoremelor lui Kirchhoff

sau

( )

( )

( )( )( )

( )( )

⋅⋅−

=

⋅

⋅−

sEB

sJA

sU

sI

sI

BsZB

AA

E

J

J

E

p

Jlbp

lnEp

E

J

,

,1

0

0

( ) ( )( )( )( )

( )( )

⋅⋅−

=

⋅

⋅ −

sEB

sJA

sI

sU

sU

BB

AsYA

E

J

E

J

p

lbJp

Elnp

E

J

,

,1

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201421

5.4.2 Metoda nodala modificata

5.4.3 Metoda tensiunilor ramurilor pasive

5.4.4 Metoda curentilor coardelor pasive

( ) ( )( )

( )( )

−⋅−

=

⋅

⋅⋅sE

sJA

I

sV

A

AAsYA J

sElltE

Etpp

EE ,0

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sJDsEDsYDsUsYDsYD pJtEppcpppapa

tpppcpp ⋅−⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅

( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( )sJDsZDsEDsIDsRDsZ pJpatpp

tEppcpppa

tpppc ⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅⋅+

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201422

5.5 Modele matematice pentru circuite nereciproce functionand in regim tranzitoriu

5.5.1 Metoda teoremelor lui Kirchhoff

( )( )

( )( )( )( )( )

( )( )

⋅⋅−

=

⋅

⋅−⋅−⋅⋅⋅+ −

sEB

sJA

sU

sI

sU

sI

sI

BABBRBsZB

AGABAAA

E

J

Jc

Ec

J

E

p

JclbcEcJcEcp

lnEccJccJcEp

Ec

Jc

,

,1

0

0

Capitolul 5. Circuite analogice liniare in regim tranzitoriu

Tuesday, May 13, 201423

5.5.2 Metoda nodala modificata

5.5.3 Metoda hibrida

( ) ( )( )( )

( )( )

−⋅−

=

⋅

⋅+

⋅+⋅⋅⋅+⋅⋅

10

0

00

,Ec

l

sE

sJJ

A

sEc

I

sE

I

sV

Ec,l

Eclc

RtJ

Ac

AtEc

A

Ec,l

Ecl

E,l

El

tE

A

EcA

cB

JcA

EAt

JA

cG

JcAt

pAsY

pA

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

( )( )

⋅

−=

⋅

⋅+⋅−⋅⋅+⋅⋅−⋅⋅

sE

sJ

D

D

D

D

sU

sI

sU

sI

ADRDD

GDBDD

ADRDDsZ

GDBDsYD

tEJ

EJ

tER

RJ

J

E

pa

pc

ctEcJc

tEcJ

tRJ

cEJccEJcER

ctEcRc

tEcR

tRRpc

cRJccRJcpaRR

0

0

0

0

10

10