Curs nr. 2

Universitatea Tehnica din Cluj-Napoca

Teoria CampuluiElectromagnetic

en

enen

EAAA

1. Camp electric E omogen

(en , E) = 0 = 90o

Def.: = c.A.EVarianta: c 1

= 0 = E A cos

= (E.en) A

2. Cazul general pentru E Pentru elemente mici de suprata dA:A si en sunt constante

S S

E dA E A ne d

Definitia fluxului electric :

en’

dA’

Fluxul E’ prin suprafata A’:

A’R

dA

en

A

Fluxul E prin sfera A:

Deducerea legii lui Gauss (1)

O Q

Sarcina Q in O

204E

A A

Q dAr

r nE dA e e

22

0 0

1 44

Q Q. . RR

204E '

A' A'

Q' ' dA 'r'

r nE dA e e

2 20 0 04 4

A' A'

Q cos .dA ' Q dA Qr' R

Rezultatul este independent de forma suprafetei !!!0

EQ

Electrostatica

Rezultatul este independent de forma suprafetei:

0E

Q

Flux:

Consecinte:

• Q nu trebuie plasata in O

• sarcinile exterioare: nu creeaza flux

• mai multe sarcini in interiorul lui A:

iEiE ,

ElectrostaticaLegea lui Gauss (2): continuare

Fluxul total printr-o suprafata inchisa este egal cu sarcina totaladelimitata de aceasta suprafata, impartita la permitivitatea vidului.

• Calculul campului electric E– Daca se cunoaste distributia de sarcina si– Problema are simetria necesara pentru a permite

evaluarea integralei.• Determinarea distributiei de sarcina:

– Sarcini plasate pe sfere conductoare,– Sarcini distribuite intr-un volum dat.

Electrostatica

Cum se foloseste teorema lui Gauss pentru:

• Intai se gaseste o suprafata Gaussiana a carui vector normal la elementul de suprafata este paralel cu campul electric E;

• Se foloseste geometria pentru a evalua A.• Prin intermediul legii lui Gauss se face legatura intre E si sarcina

localizata in interiorul suprafetei.

EdA EdA

• Trebuie sa ne asiguram si de faptul ca pe suprafata Gaussiana, amplitudinea campului electric E este constanta.

EAdAEEdA

Electrostatica

Determinarea campului electric E folosind legea lui Gauss

In cazul general

0. AEperp

• Daca E este paralel cu A, trebuie sa ne asiguram ca E esteconstant pe toata suprafata.

• Se utilizeaza simetria distributiei de sarcina pentru a determinasablonul liniilor de camp.

• Se urmareste alegerea suprafetei Gaussiene astfel incat E sa fie paralel cu A, sau suprafata sa poata fi descompusa in componenteparalele si perpendiculare, intrucat:

Electrostatica

Determinarea campului electric E folosind legea lui Gauss

Algoritmul de calcul:

• Analiza problemei si a simetriei acesteia

• Abordarea solutiei• Calcule• Concluzii

Determinarea campului electric E folosind legea lui Gauss

Electrostatica

plan ∞ extins cilindru ∞ lung sfera

“Cutie de pastile” GaussInaltimea 0

Cilindru GaussRaza r (r < R sau r > R),

lungime L

Sfera GaussRaza r (r < R sau r > R).

ElectrostaticaSimetriiSimetrii de de bazabaza pentrupentru legealegea luilui GaussGauss

Legea lui Gauss pentru o distributie liniara de sarcina infinitlunga:

Electrostatica

Se cere:

Sa se calculeze campul electric E in puncte arbitrare situate in afara liniei

Se cere:

Sa se calculeze campul electric E in puncte arbitrare situate in afara liniei

Se da:

Distributie de sarcina pe o linieinfinit lunga, cu densitatea ρl [C/m]

Se da:

Distributie de sarcina pe o linieinfinit lunga, cu densitatea ρl [C/m]

ρl [C/m]

Legea lui Gauss pentru o distributie liniara de sarcina infinitlunga:

Electrostatica

Analiza problemei si a simetriei acesteia

1. Linie infinit lunga.2. Distributie de sarcina: omogena.ρl C/m].

3. Simetrie cilindrica.

Supraf. Gaussiana imaginara

R

L

Consecinte:Cutie imaginara Gauss:

un cilindru coaxial de raza R, lungime L.

Legea lui Gauss:0

QE dA

Abordarea solutiei si calcule

Electrostatica

E normal si constant pe suprafata A2

Datorita simetriei pesuprafata Σ a cutiei Gauss:

E paralel pe suprafetele A1 si A3

L

1A 2A

3A

R

1 3 2

EA A A

E dA E dA E dA E dA

Fata Spate Lateral

1 2 3

EA A A

E dA E dA E dA E dA

Calcule

Electrostatica

0E dA

2 2A A

E dA E dA 0E dA

2

2 2

2EA A

E dA E dA E A E R L Datorita simetriei, E constant pe A2

Aria laterala a cilindrului

Calcule

Electrostatica

Sarcina totala delimitata de suprafata Gaussiana este localizata doarpe segmentul de linie delimitat de suprafata din fata si cea din spate.

0 02 2l l RE u

R R R

0E

QE dA

2E E R L

Q enclosed L

L

1A 2A

3A

R

ρl [C/m]

Important !!

Potential Electric

• Definitia potentialului electric• Suprafete echipotentiale• Potential datorat unei distributii de sarcina

continua• Calculul campului electric cunoscand

potentialul

Electrostatica

Potential ElectricCand o sarcina de proba Δq se deplaseaza de la A la P (origine de potential) intr-o regiune cu camp electric E campul efectueaza lucrumecanic asupra sarcinii. Pentru o deplasare infinitezimala ds lucrulefectuat de camp este:

Electrostatica

P P P

AP v vA A A

L F d s q E d s q E d s

PAP

vAA

LV E d sq

Potentialul electric este definit ca energia potentiala per unitate de sarcina, si este independent de sarcina de probaΔq. Are o valoare unica in fiecare punctaflat in camp electric.

EvA

P

ds

Fq

Electrostatica

Potential Electric

• potentialul electric este o marime scalara.• potentialul electric nu depinde de calea de integrare aleasa.• campul electrostatic este un camp conservativ!!!!

Proprietati ale potentialului electric

Unitatea e J/C Volts (V)APA

LVq

• unitatea de masura in SI pentru potentialul electric :

Diferenta de potentialDiferenta de potential UAB = VB - VA intre doua puncte A si B este:

P P P B B

AB A B v v v v vA B A P A

U V V E d s E d s E d s E d s E d s

Electrostatica

A

P

ds

B

Ev

ds

Intrucat forta electrica este conservativa, diferenta de potential nu depinde de calea

de integrare, ci doar de punctul initial sicel final. Nu depinde nici de originea de

potential.Daca se considera o curba inchisa:

0vU E d s

Noi unitati de masura pentru campul electric

E = (VA-VB)/s camp uniform, a.i. E se masoara in V/mNote: 1 N/C = 1 V/m

Reamintim definita diferentei de potential intre doua puncte A si B: B

A B v

A

V V E ds Puncte echipotentiale: puncte unde VA = VB.

Suprafete echipotentiale si linii echipotentiale

0B

v

A

E ds

Electrostatica

0vE ds

Orice suprafata, plana sau curba, pentru care potentialul este constant se numeste suprafata echipotentiala. Suprafata echipotentiala poate sa

coincida sau nu cu o suprafata fizica.

vE

d s perpendiculare

Electrostatica

Suprafete echipotentiale si linii echipotentialeA

ds

BvE0vE d s

Linii echipotentialeColectia tuturor punctelor avand acelasi potential formeaza o linie in 2-D.

Colectia tuturor puncteloravand acelasi potential formeaza o suprata in 3-D. vE

Suprafete echipotentiale

Electrostatica

Liniile echipotentiale sunt ortogonale cu liniile de camp electric!!!

0vE ds

Ecuatia liniilor echipotentiale:

0vE ds

Ecuatia liniilor de camp electric:

Exemplu

Campul electric al diferitelorsarcini

Echipotential, camp E

Potentialul unor sarcini punctiformePentru o colectie de sarcini punctiforme, potentialul electric se determina folosind principiul superpozitiei:

ii

V V

Intrucat V este scalar e mult mai usor de evaluat decat vectorul camp electric Ev.

Electrostatica

Intrebare fara raspuns:

Daca se cunoaste V cum se poate determina E?

Electrostatica

Potentialul electric al unei sarcini punctiforme

P

A

Ev

ds

20

14v

Q rEr r

Q

Pe drumul de la A (rA) la P (rp = ), Ev e paralel cu ds (dr = ds)

2 20 0

20 0 0

1 14 4

1 1 14 4 4

A A

P P P

A vA A A

Ar r

Q r Q rV E d s d r d rr r r r

Q Q Qd rr r r

Se obisnuieste alegerea originii de potential la rp = .

V este constant pe suprafete sferice centrate pe sarcina punctiforma.

E

Q

Electrostatica

Potentialul electric al unei sarcini punctiforme

Echipotential, linii de camp E

20

14v

Q rEr r

0

14

QVr

In cazul unei distributii continue de sarcini, incepem prin divizarea sarcinii in portiuni mici, iar apoi se aduna contributia fiecarei portiuni la

crearea potentialului electric:

Electrostatica

Potentialul produs de o distributie continua de sarcini

V

Z

Y

dQ

dv=dx dy dz

r

X

A0

14A

dQdV dvr

0

14A

v

dQVr

Volume - v

ElectrostaticaPotentialul produs de o distributie continua de

sarcini

Sarcini distribuite

in volumvdQ dv

Sarcini distribuite

pe o suprafatasdQ dA

Sarcini distribuite

pe o curbaldQ dl

0

14

vA

V

V dvr

0

14

lA

C

V dlr

20

14

vA

V

rE dvr r

0

14

sA

S

V dAr

2

0

14

sA

S

rE dAr r

20

14

lA

C

rE dlr r

Camp si potential electricElectrostatica

( )

( , , )( , , )

P fix

A vA x y z

V x y z E d s

( , , ) ( ) ( )vA vx vy vzdV x y z E d s E i E j E k dx i dy j dz k

( , , )A vx vy vzdV x y z E dx E dy E dz

Dar:

; ;vx vy vzV V VE E Ex y z

Camp si potential electricElectrostatica

; ;vx vy vzV V VE E Ex y z

vV V VE i j k V gradVx y z

Important !!

Conductoare in camp electrostatic

• un conductor poate conduce, sau trasporta, sarcini electrice.

• in situatii statice, un conductor este un mediu in care campul electric interna este mereu nul.

• rezulta ca toate partile conductorului au acelasi potential.

e e e e e0E

V Constant pe conductor

conductor

Electrostatica

{e} Sarcini libere

Se considera conductorul plasat intr-un camp electric extern exE

e ee exE

Forta asupra electronilor exF e E

Timp t = 0

Electrostatica

Conductoare in camp electrostatic

La un foarte scurt interval de timp dupa aplicarea lui redistribuireasarcinilor inceteaza.

exE

Timp t > 0ee

++

Acumulare de sarcini negative Acumulare de sarcini pozitive

exE

Electrostatica

Conductoare in camp electrostatic

Separarea sarcinilor produce un camp electric intern in conductoriE

eeee

++++

iE

Redistribuirea sarcinilor continua panacand amplitudinea campului electric intern este egala cu cea a campuluielectric aplicat.

iE e xE

0

net ex i

net

E E E

E

In interiorul conductorului, campul

electric total este zero duparedistribuirea sarcinilor

Timp t 10-10 s

Electrostatica

Conductoare in camp electrostatic

0E

Suprafata Gaussiana, Arie A

+++++++++++++

Densitatea sarcinilor pesuprafata S

E

S

o

AE A

Legea lui Gauss

0S E

Daca E = constant, constant !!S

Electrostatica

Conductoare in camp electrostatic

Se considera o coaja conductoare sferica. Care este valoarea campului electric in interiorul acesteia cand se aplica un camp electric extern si dupa ceredistribuirea sarcinilor s-a incheiat?

exE

insideE

Se presupune ca dupa ceredistribuirea sarcinilor s-a incheiat.

0insideE

insideE

2

10E

1 2

0insideE d s E d s E d s

0 fiindca 0E Singura metoda pt a obtine 0 pentru orice 2 este ca

0insideE

Electrostatica

Dipolul electric

Un dipol cunoscut: apa

CmHN

CmClH

CmOH

30)(3

)(

30)()(

30)()(2

100.5

104.3

101.6

Momentul dipoliloranumitor molecule

Electrostatica

Dipolul electric

Un dipol electric este format din doua sarcini egale dar opuseca polaritate, aflate in imediata vecinatate.Un dipol este caracterizat prin momentul dipolului electric:

p Q l ,C m -Q Qp

Se va considera campul creat de dipol la distante mult mai maridecat lungimea acestuia l, care este prin definitie infinitezimala.

l

Electrostatica

Dipolul electric

Dipolul intr-un camp electric extern

E

-Q

Qp F

F

Dipolul tinde sa se roteasca pana cand momentul sau se aliniaza cu campul extern.Cuplul este:

m l F l E Q l Q E p E m p E sin , Nm

Momentul dipolului electric este egal cu cuplul resimtit de dipol intr-un camp extern de valoare unitara si ortogonal pe directia lungimii dipolului.

Electrostatica

Materialele dielectrice si polarizatia

Exemplele anterioare ilustreaza polarizatia electronica, care apare in dielectrii ai caror atomi si molecule sunt initial neutre. Procesul de polarizare este contrabalansat de forta de atractie Coulomb.

Polarizatia ionica apare in molecule formate din ioni pozitivi si negativi, care sunt initial amestecati a.i. sarcina totala a dielectricului este nula.Polarizatia de orientare apare in materiale constand in sub-domenii cu separare permanenta microscopica a sarcinilor (electreti, lichide polare, etc.)

Fiecare regiune polarizata microscopic este caracterizata de momentul dipolului

p Q l

Electrostatica

Materialele dielectrice si polarizatia

Agitatia termica face ca orientarea moleculelorsa fie aleatoare. Valoarea medie a momentelordipolilor din orice volum ales este zero:

Nu se aplica un camp electric extern

0ip

Un camp electric extern produce un cupluasupra fiecarui dipol, aliniid momenteleacestora cu liniile de camp electric.

Se aplica un camp electric extern

0ip

- +

- +- +

- +- +

- +- +

- +

- +

- + - +

E

-+

-+

-+

-+ -+

-+

-+

- +

- + -+

Electrostatica

Pentru a cuantifica efectul polarizatiei la nivel macroscopic, vectorulpolarizatie egal cu suma momentelor dipolilor pe unitatea de volum este:P

2

0

ii

v

pd pP lim ,C / m

v dv

d p P dv - +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

- +- +- +- +- +- +- +- +- +- +

P

dv

Daca o bucata de dielectric este plasata in camp electric extern, dipolii se vor alinia(mai mult sau mai putin) cu campul.

Sarcinile interne se vor compensa dar sarcini de suprafata necompensatevor aparea pe ambele margini ale dielectricului.

Materialele dielectrice si polarizatia

Electrostatica

Materialele dielectrice si polarizatia

E

l

d A

Suprafata inchisa Σ

P

pQ P d A

Sarcina de polarizatie pentruintreaga suprafata inschisa este:

Electrostatica

Campul electric in materialele dielectrice

Se cunosc acum doua tipuri de sarcini: sarcini libere (in conductoare) sisarcini “legate” (in dielectrici). Sarcinile “legate” reprezinta comportareaatomilor / moleculelor de dielectric in vid.

Se aplica legea lui Gauss (dedusa in vid) in prezenta ambelor tipuri de sarcini:

pQ P d A

0

f pQ QE d A

dar:

0

fQ P d A

E d A

0 fE d A P d A Q

Electrostatica

Campul electric in materialele dielectrice

0 fE d A P d A Q

Intr-un mediu arbitrar (altul decat vidul) campul electrostatic este completdefinit folosind 2 vectori de camp:

D, E

0 fE P d A Q

Acum se poate defini un vector nou, care depinde doar de sursele de sarcinilibere:

0D E P

denumit inductie electrica.

21 1SI

D C / m fD d A Q

Electrostatica

Legile electrostaticiiLegea fluxului electric

(generalizare a legii lui Gauss valida doar in vid)Definitie:Fluxul total al vectorului inductie electrica pritr-o suprafata inchisa esteegal cu sarcina totala reala libera localizata in interiorul suprafetei.

fD d A Q

Forma integrala a legii

f vf

V V

D d A divD dv Q dv

vf divD

Forma diferentiala a legii

ElectrostaticaLegile electrostaticii

Legea polarizatiei

Prin studii experimentale s-a stabilit ca vectorul polarizatie (componentatemporara) este strans legata de vectorul camp electric. Pentru dielectriciiuzuali, acesti doi vectori sunt coliniari si proportionali pentru o gamalarga de valori ele lui E (materiale liniare).

0t eP E

Valida doar pt. materiale liniare

unde: este susceptibilitatea electrica a materialului. e

In acest caz, folosind relatia dintre vom avea:tE,D and P

0 0 0 0 1t e eD E P E E E

rD E

Permitivitate dielectrica relativa

ElectrostaticaLegile electrostaticii

Legea polarizatiei

Constanta dielectrica nu este mereu constanta. Ea poate depinde de frecventa sau de intensitatea campului electric. Se mai numeste sipermitivitate dielectrica relativa.

r

Cand permitivitatea dielectrica depinde de intensitatea campului electric E, se spune ca mediul este neliniar, deoarece toate relatiile de camp devin ecuatii neliniare.Cand permitivitatea dielectrica depinde de pozitia in volumul corpuluidielectric se spune ca problema este neomogena, contrarulcazului omogen cand proprietatile de material sunt constante in volum.

x, y,z

Cand proprietatile dielectrice ale materialelor depind de directia campuluiaplicat, datorita anumitor proprietati ale structurilor cristaline, dielectriculse numeste anizotrop.

Electrostatica

Lgile electrostaticiiLegea polarizatiei

Relatia dintre vectorul inductie electrica si vectorul intensitate camp electric include un tensor:

D E

x xx xy xz x

y yx yy yz y

z zx zy zz z

D ED ED E

Din fericire, de cele mai multe ori se poate considera ca mediul este omogen, liniar si izotrop. Acesta este cel mai simplu caz posibil.Nota finala asupra semnificatiei fizice a permitivitatii dielectrice relative: indica de cate ori este mai mare forta electostatica in vid decat in mediul respectiv pentru acelasi sistem fizic (datorita efectului de anulare al corpurilor polarizate).

Nota: In general, vectorul polarizatie are 2 componente:- una temporara (Pt) si una permanenta (Pp)

Electrostatica

Legile electrostaticiiRelatia dintre vectorii D, E si P

0 t pD E P P

Suma vectoriala dintre polarizatie (ambele componente) si intensitateacampului electric multiplicata cu permitivitatea vidului este egala, in orice moment si punct, cu inductia electrica:

Pentru materiale fara polarizatie permanenta: 0 tD E P

D E Pentru materiale liniare fara polarizatie permanenta:

D E

Pentru materiale anizotrope si fara polarizatie permanenta:

Electrostatica

Conditii de frontiera in electrostaticaMajoritatea problemelor practice presupun existenta a mai mult de douaregiuni cu proprietati electrice diferite. Regiunile invecinate sunt separate prin suprafete numite frontiere (sau interfete). Comportarea campului peaceste frontiere este descrisa prin anumite ecuatii: conditii de frontiera.

Aceste ecuatii sunt deduse din ecuatiile generale de camp, valabile in volum. Conditiile de frontiera sunt esentiale pentru solutionarea oricarorprobleme de camp electrostatic. Aceste probleme au o solutie unica doardaca se cunosc conditiile de frontiera.

Conditiile de frontiera pentru componenta tangenta la interfata a campului

s

ElectrostaticaConditii de frontiera in electrostatica

2 10n E E

Conponenta tangentiala a vectorului camp electric este continua prininterfata dintre materiale. !!

2 1sn D D

2 12 1n n sE E !!!

Daca pe suprafata de separatie dintre dielectrici nu exista sarcini libere, atunci componenta normala a inductiei electrice va fi continua.

ElectrostaticaConditii de frontiera in electrostatica

1 2n nD D

1 21 2n nE E

21

12

n

n

EE

Componenta normala a campului electric este discontinala interfata dintre 2 dielectrici.

ElectrostaticaConditii de frontiera in electrostatica

La interfata dintre dielectrici, inductia electrica normala si campul electric tangential sunt continue. Aceasta face ca vectorul camp electric sa-sischimbe brusc directia (NUMAI pt suprafete fara distributii de sarcina):

2 2

1 2E E 1 21 2E sin E sin

1 21 2n nE E 1 2

1 1 2 2E cos E cos

Foarte important !!

0s

1 1

2 2

tantan