Curs nr. 1

Universitatea Tehnica din Cluj-Napocahttp://users.utcluj.ro/~lcret/

Teoria CampuluiElectromagnetic

Despre Curs

• Scop– Familiarizarea studentilor cu notiuni despre electromagnetism

• Obiective– Prezentarea principiilor si aplicatiilor din electromagnetism– Intelegerea si aplicarea legilor ce guverneaza campul electric si

cel magnetic– Cunoasterea anumitor aplicatii ale campului electromagnetic

Cuprinsul cursului

1. Electrostatica2. Legile generale. Legi de material3. Magnetostatica4. Electrodinamica5. Unde electromagnetice

Istoria electromagnetismului

Electricitate

Magnetism

Camp EM

Abordarea EM

Aplicatiitehnice

FranklinCoulombGalvani

VoltaAmpère

OerstedGaussFaraday

HelmholtzMaxwell

LorentzHertz

MillikanMarconi

1700 1800 1900 2000

INTRODUCEREStatica si dinamica in electromagnetism

Sarcini stationare campuri electrostatice

(sarcinile au viteza nula si acceleratia nula)

Curenti constanti campuri magnetostatice

(sarcinile au viteza ne-nula si acceleratia nula)

Curenti variabili in timp camp electromagnetic

(sarcinile au viteza ne-nula si acceleratia ne-nula)

Studiul electromagnetismului

Legile fundamentale ale electromagnetismului

Ecuatiile luiMaxwell

Electro-statica

Magneto-statica

Undeelectro-magnetice

Teoriacircuitelorelectrice

Cazuri speciale

Statica:

• Abordare axiomatica• Bazata pe

Teorema lui Helmholtz

Modelul de circuit cu elementeconcentrate

•Modelul liniei de transmisie cu elemente concentrate, vazutintre AA’ sau BB’

•Valid doar dacaLungimea liniei de transmisie Lungimea de unda a semnalului

Doua variante

Tensiunea la capatul liniei (d) este aproximativ aceeasi cu tensiunea de intrare. Linia poate fi tratata ca un circuit cu elementeconcentrate.

In aceasta situatie, tensiunea la capatul liniei poate diferi mult fatade tensiunea de intrare. Linia se trateaza ca un circuit cu elementedistribuite.

Marimi vectoriale fundamentale in electromagnetism

• Un camp reprezinta distributia spatiala a unei marimi; aceasta marime poate fi atat un vector cat si un scalar.

• Atunci cand un eveniment produs intr-o anumita locatieproduce un efect intr-o alta locatie, se spune ca acesteevenimente sunt conectate printr-un camp.

•In general, marimile vectoriale fundamentale in electromagnetism sunt functii atat de pozitie (in spatiul 3D) cat si de timp.

Marimi vectoriale fundamentale in electromagnetism

• Intensitate camp electric

u.m. = volt per metru (V/m = kg m/A/s3)

• Inductie electrica

u.m. = coulomb per metru patrat (C/m2 = A s/m2)

• Intensitate camp magnetic

u.m. = amper per metru (A/m)

• Inductie magnetica

u.m. = tesla = weber per metru patrat

(T = Wb/m2=kg/A/s3)

E

D

H

B

Trei constante universale

• Viteza undei electromagnetice (ex: lumina) in vid

• Permeabilitatea magnetica a vidului

• Permitivitatea dielectrica a vidului

ED0

Relatia dintre cele trei constante universale

In vid

Electrostatica

Capitolul 1

Campul electric in vid

• Definitii• Sarcini Electrice• Legea lui Coulomb si definitia fortei electrice si a

intensitatii campului electric• Campul electric pentru distributii discrete• Campul electric pentru distributii continue• Legea lui Gauss

Electrostatica

Electrostatica

Electrostatica este ramura electromagnetismului care se ocupa de studiul efectelor sarcinilor electrice statice.

Legea fundamentala a electrostaticii este legea lui Coulomb care se bazeaza pe observatii fizice si nu poate fi dedusa logic sau matematicdin orice alta lege a fizicii.

Fenomenele electrice cauzate de frecare fac parte din viata noastrade zi cu zi, si pot fi intelese prin intermediul sarcinilor electrice.Efectele sarcinilor electrice pot fi observate ca atractia / respingereaunor obiecte diverse “incarcate cu sarcina electrica”.

Conceptul de camp se utilizeaza pentru a descrie “o actiune la distanta” – o pertubatie produsa intr-un punct poate avea un efectasupra unui alt punct, situat la o anumita distanta. Regiunea in care se resimte acest efect al mediului de cuplaj este descrisa prin intensitateacampului (marime vectoriala).

Electrostatica

Sarcini electrice

Sarcina electrica este o proprietate fundamentala a materiei. Aceasta este masurata in Coulomb (C). S-a convenit ca intensitateacurentului electric, avand unitatea de masura Amper (A) sa fie aleasa ca unitate de masura fundamentala in SI. De aceea, Coulombeste o unitate de masura secundara, obtinuta ca:

sACdtdQi 111

i reprezinta curentul electric, in Amper (A)

Q reprezinta sarcina electrica, in Coulomb (C)

t reprezinta timpul

• Dovezi ale existentei sarcinilor electrice exista pretutindeni, ex.– electricitate statica– fulgere

• Obiectele se pot incarca prin contact sau prin forte de frecare.• Benjamin Franklin (anii 1700) descopera ca exista doua tipuri de

sarcini:– Sarcini pozitive– Sarcini negative

• Franklin descopera si ca sarcinile de acelasi fel se resping sisarcinile diferite se atrag.

• Sarcinile electrice sunt:– cuantificate (Millikan)–masoara sarcina electrica a electronului– conservate (Franklin)

Electrostatica

Sarcini electrice

Clase de materiale• Conductoare sunt materiale in care sarcinile se pot

misca liber (ex. cupru).• Izolatoare sunt materiale in care sarcinile nu se pot

misca liber (ex. sticla).• Semiconductoare sunt materiale in care sarcinile se pot

misca in anumite conditii (ex. silicon).Sarcinile si Pamantul

• Pamantul actioneaza ca o sursa sau o scurgere aproape infinita a sarcinilor, si de aceea sarcina sa neta nu poate fi modificata usor.

• Orice conductor in contact cu pamantul se spune ca e legat la pamant si nu poate avea o sarcina neta. (principiulparatrasnetului)

Electrostatica

Sarcinile electrice

Sarcini induse

• Plasarea unor obiecte incarcate in apropierea unui conductor poate duce la redistribuirea sarcinilor electrice (polarizareaconductorului).

• Intr-un conductor polarizat legat la pamant, sarcinile electrice se vor transfera catre/de la pamant, putand ajunge sa ramana cu o sarcina neta (prin Inductie).

• Obiectele se pot incarca prin– conductie (necesita contact cu un alt obiect incarcat).– inductie (nu necesita contact cu un alt obiect incarcat).

ElectrostaticaSarcini electrice

Electrostatica

Nucleul atomului contine particule purtatoare de sarcini electrice: protonii. Protonii si electronii reactioneaza in moduri opuse la influenta campurilor EM externe. De aceea, ei au sarcini opuse.

S-a convenit ca protonii sa fie considerati incarcati cu sarcinapositiva, si electronii cu sarcina negativa. Sarcina unui electron este egala ca valoare absoluta cu cea a unui proton si este:

In acest curs ne vom ocupa de sarcini electrice macroscopice, de ex. distributii de sarcina mult mai mari decat dimensiunilemaxime ale unui nucleu atomic.

Sarcini electrice

CQe

,10602.1 19

Electrostatica

Sarcinile sunt asociate cu materia. De aceea, ele ocupa volumurifinite. Totusi, sarcinile volumice Q pot fi oricand considerate ca fiind alcatuite din volume mai mici. Aceasta metoda este foarteutila mai ales in cazul distributiilor de sarcina neomogene.

Distributii Continue de Sarcini

Sarcinile pot fi:

• Punctiforme (C)

• Distributii volumice de sarcini (C/m3)

• Distributii superficiale de sarcini (C/m2)

• Distributii liniare de sarcini (C/m)

Cazul celmai general

Electrostatica

Sarcini punctiforme

Reprezinta sarcini al caror volum poate fi consideratinfinitesimal (un punct) in comparatie cu distanta de la centrulsau pana la un punct in care se analizeaza campul electric.

Q4Q1

Q2

Q3

Qn

Q5R

A

Electrostatica

Definitia desitatii superficiale de sarcina [C/m2]

X

Y

dA=dx dy

dQ=ρs(x,y) dx dy

Ss

S

Q dA

Sarcini superficiale Sunt utile atunci cand sarcinile fizice 3-D sunt distribuite in straturi subtiri, a carorgrosime este neglijabila in comparatie cu lungimea si latimea lor. In plus, se poateconsidera ca variatia densitatii de sarcinacu inaltimea este neglijabila.

Electrostatica

Sarcinile superficiale implica simetria campului creat fatade planul in care se gasesc.

Electrostatica

Sarcini liniare Reprezinta aproximari utile pentru sarcinile al caror volum are doua dimensiuni neglijabilein raport cu cea de a treia (lungimea). Variatiadensitatii de sarcina in sectiunea firului esteneglijabila.

Definitia densitatii liniare de sarcina [C/m]

lC

Q ds

dz

zO

dQ

C

dl=dz

Electrostatica

Sarcini volumice

Definitia densitatii volumice de sarcina [C/m3]

vV

Q dv

V

Z

Y

XV

dQ

dV=dx dy dz

Electrostatica

2. Legea lui Coulomb (1785)

Legea lui Coulomb stabileste faptul ca forta dintre douasarcini electrice aflate in repaus este direct proportionala cu valorile sarcinilor electrice si invers proportionala cu patratuldistantei dintre ele.

Aceata proportionalitate inversa cu patratul distantei este o caracteristica universala a campurilor in lumea noastra 3-D.

Sarcinile de acelasi semn se resping si sarcinile de semnediferite se atrag.

Electrostatica

Constanta de proportionalitate k depinde de sistemul de unitati de masura folosit. In SI k=1(4πε)

Prin experimente (realizate in aer/vid), daca forta estemasurata in newtoni, distanta in metri si sarcina in coulombi

Teoretic, in SI aceasta constanta are valoarea:

unde c este viteza luminii.

Electrostatica

Constanta

se numeste permitivitate dielectrica, care in vid este

O valoare mai precisa este

Permitivitatea dielectrica a materialelor depinde de abilitateamateriei de a se polariza sub influenta unui camp electric extern.

Electrostatica

Permitivitatea dielectrica a materialelor se determina, de obicei, relativ la cea a vidului prin intermediul permivitatiidielectrice relative (constanta dielectrica) εr

Aer: εr = 1.0006

Apa: εr = 1.0006

Sol urban (uscat): εr ≈ 3

Sol rural (umed): εr ≈ 14

Electrostatica

Intensitatea campului electric (vector) E

Vectorul intensitate camp electric reprezinta forta exercitataasupra unei sarcini unitare.

0q

F d FE lim ,N / C V / mq q

F q E, N

Aici, este o sarcina de proba, ceea ce inseamna ca estesuficient de mica pentru a nu perturba campul electric masuratinitial, generat de sarcina sursa Q.

q

2 30 0

14 4

Q Q rE ur r

Deci campul electric creat de aceastasarcina este:

0q

FE limq

q

r

Q

u

F

E

Electrostatica

Intensitatea campului electric creat de o sarcina punctiforma q

Proprietati generale ale unui camp electric

• Campul electric este generat de orice obiect incarcat cu sarcina.

• Este un camp vectorial si respecta principiul superpozitiei, astfel incat campul unui sistem de obiecte incarcate este egalcu suma (vectoriala) a campurilor create de fiecare obiectincarcat in parte.

• Forta electrostatica dintre obiectele incarcate cu sarcinaelectrica este mediata de campul electric.

Intensitatea campului electric

Electrostatica

Electrostatica

• Reprezinta un instrument de vizualizare pentru a ilustrageometria unui camp electric.

• Liniile de camp electric au ca origine sarcinile pozitive si se incheie in sarcinile negative.

• Directia campului electric in orice punct este tangentiala cu linia de camp ce trece prin acel punct.

• Intensitatea campului electric in orice punct este proportionalacu densitatea liniilor de camp din acea zona.

Liniile de camp electric

Intensitatea campului electric

Electrostatica

Intensitatea campului electric

Exemple:

Camp electric uniform: un camp electricce are aceeasi amplitudine si aceeasidirectie in orice punct.

Electrostatica

Intensitatea campului electric

Exemple:

Forta asupra unei sarcini de proba este

1

n

ii

F F

astfel incat campul electric este, prin definitie, dat de

1

0 0 1

n

i ni

iq q i

FFE lim lim Eq q

Principiul superpozitiei!

Campul electric datorat mai multor sarcini punctiforme

Electrostatica

Campul electric datorat mai multor sarcini punctiforme

Electrostatica

Principiul superpozitieiAcest principiu este de mare importanta pentru solutionareaproblemelor de camp in medii liniare (medii ale carorproprietati electromagnetice (EM)) nu depind de intensitateacampului. In cazul campurilor electrostatice (CES), proprietatea EM care se ia in considerare este permitivitateadielectrica. Daca nu depinde de E, atunci mediul este liniar.

CES datorat mai multor sarcini punctiforme in orice puncteste suma vectoriala a campurilor create de fiecare sarcinaindividuala:

1

ni

iE E

1r

Q1

Q2

2r

1E

2E

Campul electric datorat mai multor sarcini punctiforme

Principiul superpozitiei (cont)

Electrostatica

E

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

Cand campul este datorat unor sarcini distribuite intr-un anumitvolum, cu densitate cunoscuta C/m3 , acest volum se consideraalcatuit dintr-un numar infinit de sarcini infinitezimale(diferentiale):

v

vdQ dv, C

Fiecare sarcina diferentiala reprezinta in fapt o sarcina punctiforma.Ea genereaza o “parte” diferentiala a campului, care este:

20

14

dQd E u, V / mr

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

Campul total se obtine pe baza principiului superpozitiei.

Se realizeaza insumarea contributiilor diferentiale: aceasta reprezintao integrare (integrala de volum).

20

14

v

V

rE dv, V / mr r

Cand sarcinile sunt distribuite pe o suprafata, sarcina totala se descompune in sarcini diferentiale de suprafata, fiecare fiind descrisade densitatea superficiala de sarcina C/m2:s

sdQ dA, C

20

14

s

S

rE dA, V / mr r

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

In cazul distributiilor liniare de sarcini, acestea se descompun in sarcini liniare diferentiale, fiecare fiind descrisa de densitatea liniarade sarcina C/m:l

ldQ ds, C

20

14

l

C

rE ds, V / mr r

Campul electric generat de sarcinile liniare se determinautilizand urmatoarea integrala curbilinie:

Algoritmul de calcul:• Analiza problemei si a

simetriei acesteia• Abordarea solutiei• Calcule• Concluzii

Calculul campului electric utilizand principiul superpozitiei

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

Exemplul nr.1Campul electric al unui disc

Se da:

Un disc subtire circular, de raza R,incarcat cu densitatea de sarcina ρS[C/m2].

Se cere:

Determinarea campului electric Eintr-un punct arbitrar, situat in oricare parte a discului.

Analiza problemei si a simetriei acesteia1. Distributia de sarcina:

ρs C/m2]

2. Axele de coordonate:

axa Z = axa de simetrie,

perpendiculara pe discZ

X

Y

3. Simetria problemei: cilindrica

4. Coordonate cilindrice:

r, z

er

rez

z

e

Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

R1. Axele XYZ

Z

Y

X

2. Punctul P pe axa Z

P

Ei

Qi

ri3. Toate sarcinile Qi aflatela ri si i creeaza Ei in P

4. Ei,xy , Ei,z

Ei,z

Ei,xy

5. consecinta: Ei,xy = 0,

de verificat !! 6. E = Ez ez doar !

Analiza, evaluarea campuluiCampul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

R

Z

1. Sarcini distribuite

dQ

2. redE 204 r

dQ

dE

err P

3. Inele si segmente

4. dQ = sdA= s da.)(a d

a

d

da

5. Doar componenta z!

dExy

dEz 6. )(4 2

0zz

rdQ eedE r

Abordarea solutieiCampul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

R

Z

dQ

dE

err P

a

d

da

dEz

zP

1. )(4 2

0zz

rdQ eedE r

2. dQ = sdA= s da.)(a d

22cos

P

P

za

z

zr ee3.

4.

2

2 2 2 20 0 0

14

Rs P

zP P

.da.a.d zEa z a z

CalculeCalcule (1)(1)Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

R

Z

dQ

dE

err P

a

d

da

dEz

zP2 2

0

5 12

s Pz

P

z. Ez R

6. Daca R infinit :

02s

zE

CalculeCalcule (2)(2)Campul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

4.

2

2 2 2 20 0 0

14

Rs P

zP P

.da.a.d zEa z a z

Z

P

EP

02s

P

zE e

Pentru discuri infinite:Pentru discuri infinite:

Intensitatea campului esteindependenta de distantapana la disc =>

Camp omogen

ConcluziiConcluziiCampul electric datorat unor distributii de sarcina continue

Electrostatica

Analiza:

• fir lung: ρl [C/m]• simetrie cilindrica

y

z

yx

PyP

Problema: EP in punctul P(0,yP,0)

204

l .dz cosr

yE dE

dEy

• Simetrie doar componenta y !!er . ey = cos

ryzyr P

P cos;22

r, er si sunt f (z) : 02l

Py

Concluzie: E simetrie radiala

r

dzer

dE

Abordare: redE 204 r

dQ

z

O

• Element de sarcina: dQ = ρl dz

Electrostatica

P

Placa subtire, ρs[C/m2]

x

y

z

(1)

zP

dQ = ρs dA = ρs dx.dy

dE

rer

dE = dEx ex + dEy ey+ dEz ez

daca placa e extinsa: dE // ez

(2)(2) daca ρs = f (x):

x

se utilizeaza rezultatul pt fir lung:

zdE

rer

PzP

cu dρl = ρs. dx

02l

zP

ddEz

dE in planul XZ

= dA = dx.dy , at (x,y)(1)

Electrostatica

Electrostatica

Rezumatul formulelor de calcul de camp, pentru distributiisandard de sarcini electrice

Sarcina punctiforma

Sarcina liniara uniforma infinit lunga

Sarcina superficiala uniforma infinit extinsa