Cursul nr. 3 Modelarea numerica a circuitelor electriceusers.utcluj.ro/~lcret/Curs MNCE/MNCE3 [Compatibility... · · 2014-04-013.2 Modele matematice pentru circuite reciproce in

Modelarea numerica a circuitelor electrice

Universitatea Tehnica din Cluj-Napocahttp://users.utcluj.ro/~lcret/

Cursul nr. 3

Despre curs

• Scop– Familiarizarea studentilor cu metodele uzuale de modelare

numerica a circuitelor electrice.

• Obiective– Cunoasterea modelelor matematice utilizate pentru

rezolvarea circuitelor electrice reciproce si nereciproce, functionand in regim stationar, in regim permanent sinusoidal si in regim tranzitoriu.

• Elemente de topologie a circuitelor electrice�Algoritm de construire sistematica a arborelui normal.

• Circuite analogice in regim stationar�Generalitati�Modele matematice pentru circuite reciproce in regim

stationar�Metoda teoremelor lui Kirchhoff�Metoda nodala modificata�Metoda tensiunilor ramurilor pasive�Metoda curentilor coardelor pasive

Cuprinsul cursului 3

Capitolul 2Capitolul 2Capitolul 2Capitolul 2

ELEMENTE DE TOPOLOGIE A CIRCUITELOR ELECTRICE

Tuesday, April 01, 2014 4

Capitolul 2. Elemente de topologie ale circuitelor electrice


2.3 Algoritm de construire sistematica a arborelui normal

• Prezinta o importanta deosebita datorita conexiunii stranse existente intre arbore, matricile de incidenta si modelul matematic bazat pe teoremele lui Kirchhoff

Pasii algoritmului sunt urmatorii:1. Se genereaza matricea de descriere a grafului de conexiune;2. Se ordoneaza matricea de descriere a grafului dupa

elementele liniei 2, in ordinea crescatoare a codurilor numerice ale elementelor, prin permutari intre coloane;

=

098410000000

66435361777

77743252461

13121199977551

7891043521161

MDGO



3. Se construieste matricea de incidenta laturi-noduri prin inspectarea coloanelor MDGO. In matricea de incidenta laturi-noduri astfel construita, ordinea coloanelor coincide cu cea din matricea de descriere ordonata, iar ordinea liniilor corespunde ordinii crescatoare a indexarii nodurilor 1, 2…n. Prin eliminarea ultimei linii se obtine matricea de incidenta laturi-noduri redusa.

11000

00001

00110

00011

00000

00000

789104

0100106

0100005

0001004

1000003

1010002

0010011

3521161

−−−

−−

−

−

−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A



4. Se identifica primele n-1 coloane liniar independente, de la stanga spre dreapta, in matricea creata anterior. Daca exista un arbore normal, atunci aceste coloane corespund laturilor lui, astfel incat identificarea coloanelor liniar independente din aceasta matrice e echivalenta cu identificarea arborelui. Acest lucru se realizeaza prin combinatii liniare intre linii, care conduc la o forma superior triunghiulara a matricei:

a) Se aduce pe pozitia a11 un element nenul prin permutarea a doua linii, daca este necesar. Pozitia liniei 1 va fi apoi pastrata pe toata durata calculului. Coloana 1 este deci prima coloana independenta;

b) Se urmareste anularea celorlalte elemente de pe coloana 1, aflate sub a11. Daca este necesar, linia 1 se aduna cu alta linie;

c) Se aduce pe pozitia a22 un element nenul prin permutarea a doua linii, fara a modifica pozitia liniei fixata anterior. Daca nu este posibila aducerea unui element nenul pe pozitia a22, el se aduce pe coloana urmatoare, a23 sau urmatoarele. Se fixeaza linia 2, primul ei element nenul este pivotul care marcheaza a doua coloana liniar independenta.



11000

00001

00110

00011

00000

00000

789104

0100106

0100005

0001004

1000003

1010002

0010011

3521161

−−−

−−

−

−

−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A

Se inverseaza liniile 2 si 6 pentru a aduce pe pozitia a22 un element nenul – pivotul celei de-a doua ramuri

00000

00001

00110

00011

11000

00000

789104

1010002

0100005

0001004

1000003

0100106

0010011

3521161

−−

−−−

−−

−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A



Se inverseaza liniile 3 si 4 pentru a aduce pe pozitia a33 un element nenul – pivotul celei de-a treia ramuri

00000

00001

00110

00011

11000

00000

789104

1010002

0100005

0001004

1000003

0100106

0010011

3521161

−−

−−−

−−

−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A

00000

00001

00011

00110

11000

00000

789104

1010002

0100005

1000003

0001004

0100106

0010011

3521161

−−

−−−

−

−−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A



Pe pozitia a44 se aduce pivotul urmatoarei ramuri prin permutarea liniilor corespunzatoare lui n3 si n2

00000

00001

00011

00110

11000

00000

789104

1010002

0100005

1000003

0001004

0100106

0010011

3521161

−−

−−−

−

−−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A

00011

00001

00000

00110

11000

00000

789104

1000003

0100005

1010002

0001004

0100106

0010011

3521161

−−

−−−

−

−−

=

lllll

n

n

n

n

n

n

llllll

A



Pe pozitiile a55 si a66 exista deja pivotii urmatoarelor ramuri, nemaifiind necesare combinatii liniare pe liniile matricei.

Pasii algoritmului (continuare):

d) Procedeul se repeta pana cand elemetul pivot se gaseste pe linia i=n-1, sau toate elementele liniei i sunt nule (i<n-1);

e) Coloanele liniar independente sunt marcate de pivotii stabiliti anterior. Ele arata componenta arborelui normal (in cazul circuitului exemplu, arborele normal are urmatoarele ramuri: l1→l6 →l11 →l2 →l5 →l3). Dupa construirea arborelui normal se partitioneaza matricea A in forma [A r Ac] si apoi se pot calcula usor matricile D, Q si B.

Capitolul 3Capitolul 3Capitolul 3Capitolul 3

CIRCUITE ANALOGICE LINIARE IN REGIM STATIONAR


Capitolul 3. Circuite analogice liniare in regim stationar


3.1 Generalitati

Caracteristici particulare regimului de curent continuu:• Bobinele reprezinta scurt circuite (caracterizate de u=0)

• Condensatoarele reprezinta intreruperi (caracterizate de i=0)

Forma generala a modelului matematic al circuitelor liniare are 2l ecuatii:

• n-1 ecuatii pentru prima teorema a lui Kirchhoff:

• b ecuatii pentru a doua teorema a lui Kirchhoff:

• l ecuatii caracteristice ale elementelor de baza ale circuitului:

- functie vectoriala

( ) 1,10 −=⋅ nIA

1,0bUB =⋅

( ) 1,0, lIUf =



Componentele functiei vectoriale pot avea una din formele:

Pentru rezistoare liniare:sau

Surse ideale independente de tensiune:

Surse ideale independente de curent:

Pentru sursele comandate raman valabile definitiile date la surse.

Variabilele sistemului de 2l ecuatii sunt curentii si tensiunile laturilor:

0=⋅− kkk IRU 0=⋅− kkk UGI

kk EU −=

kk JI =

[ ] [ ]tlt

l UUUUIIII ...;... 2121 ==



3.2 Modele matematice pentru circuite reciproce in regim stationar

In general, laturile circuitului se partitioneaza in

lp – laturi pasive,

lE – laturi cu surse independente de tensiune,

lJ – laturi cu surse independente de curent.

Matricile de conexiune, vectorii curentilor si tensiunilor laturilor se partitioneaza la fel:

[ ] [ ]JEpJEp BBBBAAAA == ;

[ ] [ ]ttJ

tE

tp

ttJ

tE

tp UUUUIIII == ;



Forma ecuatiilor matriciale este:

Pentru laturi pasive:

sau

Pentru laturile cu surse ideale independente de tensiune:

unde reprezinta vectorul tensiunilor electromotoare ale surselor de tensiune

Pentru laturile cu surse ideale independente de curent:

unde reprezinta vectorul surselor independente de curent

1,0plpp UIR =−⋅ 1,0

plpp UGI =⋅−

EU E −=

JI J =

1,ElE

1,JlJ



Sistemul ecuatiilor matriciale este (in total sunt 2l ecuatii):

Observatie: Intrucat nu toate variabilele acestui sistem de ecuatii sunt independente, se pot formula modele matematice echivalente, care opereaza cu un numar mai mic de variabile.

[ ] ( )

[ ]

=−=

=⋅−=−⋅

=

⋅

=

⋅ −

1,

1,

1,1,

1,

1,1

00

0

0

J

E

pp

lJ

lE

lpplpp

b

J

E

p

JEp

n

J

E

p

JEp

JI

EU

UGIsauUIRU

U

U

BBB

I

I

I

AAA



3.2.1 Metoda teoremelor lui Kirchhoff

Eliminand variabilele UE, IJ, Up rezulta modelul matematic echivalent, in care numarul de ecuatii este egal cu numarul de laturi ale circuitului.

Acesta se poate scrie sub forma matriciala astfel:

⋅=⋅+⋅⋅⋅−=⋅+⋅

EBUBIRB

JAIAIA

EJJpp

JEEpp

( )

⋅⋅−

=

⋅

⋅−

EB

JA

U

I

I

BRB

AA

E

J

J

E

p

Jlbp

lnEp

E

J

,

,1

0

0



O alta varianta presupune eliminarea variabilelor UE, IJ si Ip, rezultand sistemul echivalent:

sau

⋅=⋅+⋅⋅−=⋅+⋅⋅

EBUBUB

JAIAUGA

EJJpp

JEEpp

( )

⋅⋅−

=

⋅

⋅ −

EB

JA

I

U

U

BB

AGA

E

J

E

J

p

lbJp

Elnp

E

J

,

,1

0

0



3.2.2 Metoda nodala modificata• Potentialul unuia dintre nodurile circuitului se considera referinta

(V=0). Nodul referinta e acelasi cu nodul lipsa din matricea A (matricea de incidenta laturi-noduri).

• Se formuleaza prima teorema a lui Kirchhoff pentru celelalte n-1 noduri, scriind curentii laturilor in functie de po tentialele nodurilor.

• Curentii laturilor de rezistenta nula nu pot fi exprimati in functie de potentiale. Ei raman ca variabile independente, alaturi de potentialele nodurilor, reunite in vectorul V(n-1),1.

• Tensiunile laturilor se exprima in functie de potentialele nodurilor astfel:

⋅⋅⋅

=⋅

=

VA

VA

VA

V

A

A

A

U

U

U

tJ

tE

tp

tJ

tE

tp

J

E

p



Prima teorema a lui Kirchhoff se scrie astfel:

Curentii laturilor pasive se scriu in functie de tensiunile laturilor pasive, astfel:

Expresia curentilor laturilor pasive se inlocuieste in prima teorema a lui Kirchhoff:

La aceasta ecuatie se adauga ecuatiile caracteristice ale laturilor de rezistenta nula:

( ) 1,10 −=⋅+⋅+⋅ nJEEpp JAIAIA

VAGUGI tppp ⋅⋅=⋅=

JAIAVAGA JEEtpp ⋅−=⋅+⋅⋅⋅

EVAEUVAU tEE

tEE −=⋅−=⋅= rezultand,iar,



In final rezulta sistemul matricial ce corespunde metodei nodale modificate:

sau

−=⋅⋅−=⋅+⋅⋅⋅

EVA

JAIAVAGAtE

JEEtpp

−⋅−

=

⋅

⋅⋅E

JA

I

V

A

AAGA J

ElltE

Etpp

EE ,0



3.2.3 Metoda tensiunilor ramurilor pasive• Se partitioneaza laturile circuitului dupa:

– laturi pasive ale arborelui lpa (sunt ramuri); – laturi pasive ale co-arborelui lpc (sunt coarde); – laturi cu surse independente de tensiune lE (sunt ramuri); – laturi cu surse independente de curent lJ (sunt coarde);

• Matricea incidentelor esentiale se partitioneaza dupa aceeasi logica. La fel si vectorii curentilor si tensiunilor laturilor:

=EJEp

pJpp

E

pa

Jpc

DD

DD

l

l

llca

D

\

t

coarde

tJ

tpc

ramuri

tE

tpa

t

coarde

tJ

tpc

ramuri

tE

tpa

UUUUU

IIIII

=

=

4342143421

4342143421



Prima teorema a lui Kirchhoff exprimata cu matricea de incidenta laturi sectiuni se scrie astfel:

=

⋅

1,

1,

0

0

10

01

E

pa

l

l

J

pc

E

pa

EJEp

pJpp

I

I

I

I

DD

DD

Efectuand inmultirea matricilor se pot exprima curentii ramurilor in functie de curentii coardelor matricial:

JIcuI

I

DD

DD

I

IJ

J

pc

EJEp

pJpp

E

pa =

⋅

−=

sau:

( )

⋅−⋅−=⋅−−=⋅⇒⋅−⋅−=

JEJpcEpE

JpJpapcppJpJpcpppa

IDIDI

IDIIDIDIDI *



A doua teorema a lui Kirchhoff se scrie astfel:

=

⋅

−−−−

1,

1,

0

0

10

01

J

pc

l

l

J

pc

E

pa

tEJ

tpJ

tEp

tpp

U

U

U

U

DD

DD

sau:

−==+⋅−⋅−=+⋅−⋅−

EUcuUUDUD

UUDUDE

lJEtEJpa

tpJ

lpcEtEppa

tpp

J

pc

1,

1,

0

0

Tensiunile coardelor se exprima in functie de tensiunile ramurilor:

⋅−⋅=⋅−⋅=EDUDU

EDUDUtEJpa

tpJJ

tEppa

tpppc



Ecuatia urmatoare se inmulteste, la stanga, cu matricea conductantelor coardelor pasive, Gpc, matrice diagonala de dimensiunile lpc X lpc si apoi cu matricea Dpp, matrice de dimensiunile lpa X lpc :

1,

1,

1,

0

0

0

pa

pc

pc

pc

lpcppEtEppcpppa

tpppcpp

ppl

I

pcpcEtEppcpa

tpppc

pclpcEtEppa

tpp

IDUDGDUDGD

DUGUDGUDG

GUUDUD

=⋅+⋅⋅⋅−⋅⋅⋅−⇒

⋅=⋅+⋅⋅−⋅⋅−⇒

⋅=+⋅−⋅−

43421



Inlocuind relatia (*) in ecuatia astfel obtinuta, rezulta :

1,0palpapJ

tEppcpppa

tpppcpp IJDEDGDUDGD =−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⇒

Inlocuim in ecuatia precedenta:

papapa UGI ⋅= unde Gpa este matricea diagonala a conductantelor ramurilor pasive, de dimensiune lpa X lpa

1,0palpapapJ

tEppcpppa

tpppcpp UGJDEDGDUDGD =⋅−⋅−⋅⋅⋅+⋅⋅⋅−⇒

Grupand termenii se obtine ecuatia matriciala finala, corespunzand metodei tensiunilor ramurilor pasive (contine lpa ecuatii):

( ) JDEDGDUGDGD pJtEppcpppapa

tpppcpp ⋅−⋅⋅⋅=⋅+⋅⋅



Rezolvand ecuatia caracteristica metodei tensiunilor ramurilor pasive se obtine matricea Upa. Cunoscand aceasta matrice se pot apoi obtine si celelalte necunoscute ale metodei, folosind ecuatiile neutilizate, rezultate din Teoremele lui Kirchhoff:

papapa

pcpcpc

tEppa

tpppc

UGI

UGI

EDUDU

⋅=

⋅=

⋅−⋅=



3.2.4 Metoda curentilor coardelor pasiveAceasta metoda presupune parcurgerea acelorasi pasi ca si la

metoda tensiunilor ramurilor pasive:• Construirea arborelui normal• Partitionarea vectorilor curentilor si tensiunilor laturilor s i a

matricii incidentelor esentiale in acelasi modRezulta modelul matematic al metodei

( ) JDRDEDIDRDR pJpatpp

tEppcpppa

tpppc ⋅⋅⋅−⋅−=⋅⋅⋅+

unde Rpa este matricea diagonala a rezistentelor ramurilor pasive, de dimensiune lpa X lpa

si Rpc este matricea diagonala a rezistentelor coardelor pasive, de dimensiune lpc X lpc



Rezolvand ecuatia caracteristica metodei curentilor coardelor pasive se obtine matricea Ipc. Cunoscand aceasta matrice se pot apoi obtine si celelalte necunoscute ale metodei, folosind ecuatiile neutilizate, rezultate din Teoremele lui Kirchhoff:

pcpcpc

papapa

pJpcpppa

IRU

IRU

JDIDI

⋅=

⋅=

⋅−⋅−=

Documents

Cursul nr. 3 Modelarea numerica a circuitelor electriceusers.utcluj.ro/~lcret/Curs MNCE/MNCE3 [Compatibility... · · 2014-04-013.2 Modele matematice pentru circuite reciproce in