Upload
miruna-mosoia
View
26
Download
1
Embed Size (px)
DESCRIPTION
Modelare economica- Facultatea de Management economic, 2013
Citation preview
CURS 9&10
MODELARE ECONOMICA,
CONF. DR. Nadia Ciocoiu MODELE DE ALOCARE OPTIMALA A UNOR
RESURSE LIMITATE
1. Optimizarea modelelor de programare de tip liniar (cu variabile numere reale/continue)
2. Formularea cazului general de postoptimizare
3. Alte aplicații practice ale programării liniare
4. Optimizarea modelelor de programare de tip liniar (cu variabile numere intregi)
5. Programarea multidimensionala/multiobiectiv
6. Proceduri de fuzzyficare a problemelor de programare liniară
1. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
TIP LINIAR (cu variabile reale/continue)
Fiind date n activităţi competitive şi m resurse limitate, se notează cu:
x1, x2,...,xn, nivelurile pe care le pot atinge fiecare din cele n activităţi = variabilele de decizie ale problemei.
Alegerea unei variante decizionale se realizează pe baza unor criterii economice (profit, cost, încărcarea utilajelor etc.) exprimate prin funcţii liniare de forma:
f(X) =
Aceste funcţii vor fi maximizate sau minimizate în funcţie de obiectivul pe care îl reprezintă. Ele se numesc funcţii obiectiv sau de eficienţă.
Nivelul pe care îl poate atinge valoarea funcţiei obiectiv depinde de nivelul resurselor disponibile şi de obligaţiile pe care organizaţia le are de îndeplinit.
Aceste constrângeri la care sunt supuse variantele decizionale pot fi exprimate matematic prin restricţii liniare.
Metodele de rezolvare ale modelelor de programare liniară au la bază algoritmul simplex construit de G. Dantzig
j
n
j
j xc1
1. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
DE TIP LINIAR (cu variabile reale/continue)
Forma generală a modelului de programare liniară este:
max (sau min) f(X) =
supusă la restricţiile:
AX b (sau AX ≥ b)
X 0
unde:
X = vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn, care reprezintă necunoscutele modelului (variabilele decizionale);
A, b, c sunt constantele modelului, considerate certe în perioada analizată;
A = matrice cu m linii şi n coloane. Este numită matricea coeficienţilor tehnologici aij, i = 1,...,m, j = 1,...,n;
b = vector coloană cu m componente b1, b2, ..., bm, care sunt termenii liberi din partea dreaptă a restricţiilor. Ei reprezintă disponibilul maxim dintr-o anumită resursă sau nivelul minim care trebuie atins de anumite activităţi;
c = vector linie cu n componente care reprezintă coeficienţii funcţiei obiectiv. Ei pot fi costuri unitare, preţuri unitare, profituri unitare sau alţi indicatori de performanţă care caracterizează variabilele de decizie.
jxn
1jjc
1. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
TIP LINIAR (cu variabile reale/continue)
Orice problemă de programare liniară are două forme:
• forma primală
• forma duală.
Prin rezolvarea uneia dintre ele se obţin soluţiile pentru
ambele forme.
Rezolvarea în sistem conversaţional se poate efectua cu
produse informatice cum sunt:
WINQSB/Lp – ilp,
LINDO,
SOLVER care este un instrument add-ins al Excel.
1. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
DE TIP LINIAR (cu variabile reale/continue)
Prin rezolvarea modelului de programare liniară (forma primală) se obţin:
Soluţia optimă, adică varianta decizională care duce la cea mai bună valoare a criteriului de performanţă specificat prin funcţia obiectiv;
Preţurile umbră asociate restricţiilor liniare:
• Preţurile umbră reprezintă valorile optime ale variabilelor duale;
• Preţurile umbră sunt folosite la analiza senzitivităţii soluţiei optime la variaţia vectorului b al resurselor (termenii liberi ai restricţiilor liniare);
• Preţul umbră arată cu cât s-ar modifica valoarea funcţiei obiectiv dacă s-ar putea mări cu o unitate disponibilul din resursa respectivă;
• Preţul umbră asociat unei resurse este valabil pentru un anumit interval de variaţie al cantităţii disponibile de resursă;
• Preţul umbră este diferit de zero numai dacă restricţia asociată este verificată cu egalitate, adică numai dacă resursa respectivă este folosită integral de către soluţia optimă.
Costurile reduse asociate restricţiilor de neneg. asupra variabilelor decizionale:
• Costurile reduse sunt folosite pentru verificarea optimalităţii soluţiilor problemei de programare liniară;
• Costul redus este diferit de zero numai dacă variabila asociată are valoarea zero în soluţia optimă;
• Costul redus arată cu cât s-ar înrăutăţi valoarea funcţiei obiectiv dacă valoarea variabilei asociate ar creşte de la 0 la 1.
O societate comercială specializată în realizarea de ţesături urmează să producă în luna următoare, pe baza studiilor de piaţă întreprinse, trei tipuri de stofe: Stofa1, Stofa2 şi Stofa3.
Se doreşte stabilirea unui program optim de producţie în următoarele condiţii:
1. Maximizarea venitului dacă preţurile de vânzare sunt: 57 u.m./metru pentru Stofa1, 70 u.m./metru pentru Stofa2 şi 50 u.m./metru pentru Stofa3;
2. Obţinerea unei producţii fizice de cel puţin 8000 metri (pentru care există contracte ferme) şi cel mult 10000 metri;
3. Consumul din materia primă de import MI să nu depăşească 2400 kg, cunoscându-se consumurile specifice: 0,2 kg/metru Stofa1, 0,3 kg/metru Stofa2, 0,1 kg/metru Stofa3.
Studiul de caz 4 ptr. Seminar ( din carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed.
ASE, 2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile
numere reale
1. Modelul economico – matematic:
Variabilele:
x1 = cantitatea din Stofa1,
x2 = cantitatea din Stofa2,
x3 = cantitatea din Stofa3
Funcţia obiectiv: max (57x1 + 70x2 + 50x3)
Restricţiile liniare:
x1 + x2 + x3 8000
x1 + x2 + x3 10000
0,2x1 + 0,3x2 + 0,1x3 2400
Restricţiile referitoare la semnul variabilelor:
x1 0, x2 0, x3 0
Studiul de caz 4 ptr. Seminar (din carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed.
ASE, 2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile
numere reale
Studiul de caz 4 (carte Modelare economică, Ed. ASE, 2009, p. 100): Determinarea
structurii optime de productie pentru variabile numere reale
2. Rezolvarea cu WINQSB/LP-ILP:
Decisi
on
Varia
ble
Solution
Value
Unit
Cost
or
Profit
c(j)
Total
Contribu
tion
Redu
ced
Cost
Basis
Status
Allowa
ble
Min.
c(j)
Allowa
ble
Max.
c(j)
1 X1 0 57 0 -3.00 At
bound -M 60
2 X2 7000 70 490000 0 basic 64 150
3 X3 3000 50 150000 0 basic 44 70
Objective Function
(Max)= 640000
Constrai
nt
Left Hand
Side
Directio
n
Right Hand
Side
Slack
or
Surplus
Shado
w
Price
Allowabl
Min. RHS
Allowable
Max. RHS
1 C1 10000 >= 8000 2000 0 -M 10000
2 C2 10000 <= 10000 0 40 8000 24000
4 C3 2400 <= 2400 0 100 1000 3000
Interval de
optimalitate
Inerval de
admisibilitate
2. FORMULAREA CAZULUI GENERAL DE
POSTOPTIMIZARE
După obţinerea soluţiei optime, înainte de implementarea practică a acesteia, decidentul poate efectua:
Modificarea simultană a cantităţilor disponibile din diferite resurse: duce la reoptimizarea în raport cu vectorul b sau la parametrizarea vectorului b al termenilor liberi;
Modificarea simultană a mai multor costuri unitare (sau preţuri) duce la reoptimizarea în raport cu vectorul c sau la parametrizarea vectorului c al coeficienţilor funcţiei obiectiv;
Modificarea consumurilor tehnologice: determină modificarea unor elemente ale matricei coeficienţilor tehnologici şi duce la reoptimizarea în raport cu matricea A;
Asimilarea de produse noi determină introducerea unor variabile noi şi duce la reoptimizarea în raport cu matricea A şi vectorul c;
Apariţia unor noi resurse limitate determină adăugarea de noi restricţii şi duce la reoptimizarea în raport cu matricea A şi vectorul b.
Aceste modificari se pot realiza prin:
Analize de senzitivitate, Reoptimizări, Parametrizări
2. FORMULAREA CAZULUI GENERAL DE
POSTOPTIMIZARE
I. Analiza senzitivităţii soluţiei optime la variaţia coeficienţilor funcţiei obiectiv
Furnizează intervalul în care poate varia fiecare coeficient al funcţiei obiectiv, astfel încât soluţia optimă primală (coloana Solution Value din WINQSB) să rămână neschimbată.
Intervalul asociat unui coeficient al funcţiei obiectiv pentru care soluţia problemei rămâne optimă se numeşte interval de optimalitate (Coloanele Allowable Min c(j) şi Allowable Max c(j) din WINQSB)
Cunoscând soluţia optimă şi intervalul de variaţie al unui coeficient al funcţiei obiectiv, în ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică, se poate determina variaţia corespunzătoare a funcţiei obiectiv.
Ex.: dacă preţul de vânzare pentru Stofa1 este mai mic de 60 u.m./metru atunci x1 = cantitatea realizată din Stofa1 va rămâne zero.
Creşterea de la 57u.m./metru la 58 u.m./metru a preţului de vânzare nu va genera venit suplimentar deoarece (58 – 57)*0 = 0. Dacă ceilalţi coeficienţi nu se modifică, dar se modifică de la 70 u.m./metru la 72 u.m./metru preţul asociat lui x2, deoarece 72 aparţine intervalului [64; 150], iar x2 = cantitatea optimă realizată din Stofa2 = 7000 metri, atunci venitul total va creşte cu (72-70)*7000 = 14000 u.m., adică de la 640 000 u.m. la 654000 u.m.
2. FORMULAREA CAZULUI GENERAL DE
POSTOPTIMIZARE
II. Analiza senzitivităţii soluţiei optime (primale si duale) la variaţia termenilor liberi ai restricţiilor liniare
Furnizează intervalul în care poate varia fiecare termen liber, astfel încât soluţia optimă duală (vectorul preţurilor umbră) să nu se modifice.
Intervalul asociat unui termen liber pentru care preţul umbră asociat rămâne neschimbat se numeşte interval de admisibilitate pentru soluţia primalei. (Coloanele Allowable Min RHS şi Allowable Max RHS din WINQSB).
Cunoscând preţul umbră optim şi intervalul de variaţie al unui termen liber, în ipoteza că ceilalţi coeficienţi ai modelului nu se modifică, se poate determina variaţia corespunzătoare a funcţiei ob.
Ex.: preţul umbră de 100 u.m. asociat restricţiei C3 este valabil pentru variaţia disponibilului b3 de materie primă de import MI între 1000 kg şi 3000 kg.
Dacă disponibilul de resursă creşte de la cantitatea curentă 2400 kg la 2500 kg, atunci se va obţine un spor de venit = (2500 – 2400)*100 = 10000 u.m., adică venitul total va fi de (640000 + 10000) = 650000 u.m.
De asemenea, dacă disponibilul de resursă scade de la cantitatea curentă 2400 kg la 2300 kg, atunci se va obţine o reducere de venit = (2300 – 2400)*100 = -10000 u.m., adică venitul total va fi de (640000 – 10000) = 630000 u.m.
2. FORMULAREA CAZULUI GENERAL DE
POSTOPTIMIZARE
III.Reoptimizarea în cazul modificării coeficienţilor cj din funcţia obiectiv, în afara intervalelor lor de optimalitate şi/sau modificarea termenilor liberi bi din partea dreaptă a restricţiilor în afara intervalelor de admisibilitate şi/sau modificarea unor coeficienţi din matricea A.
Reoptimizarea pp. parcurgerea a două etape:
Verificarea optimalităţii soluţiei curente în noile condiţii;
Determinarea noii soluţii în cazul în care soluţia curentă nu îndeplineşte condiţiile de optimalitate.
2. FORMULAREA CAZULUI GENERAL DE
POSTOPTIMIZARE
IV. Parametrizarea pentru analize de tipul „ce-ar fi dacă?”
în cazul în care coeficienţii cj ai funcţiei obiectiv sau
termenii liberi bi din partea dreaptă restricţiilor sunt
funcţii liniare de un parametru (-, +).
Parametrizarea pp parcurgerea a două etape:
Rezolvarea problemei pentru o valoare fixată a
parametrului;
Studiul senzitivităţii soluţiei la variaţia parametrului.
Range From
Coeff.
of X1
To
Coeff.
of X1
From
OBJ Value
To
OBJ Value
Slope Leaving
Variable
Entering
Variable
1 57.00 60.00 640000 640000 0 X3 X1
2 60.00 70.00 640000 700000 6000 X2 Slack_
C3
3 70.00 M 700000 M 1000
0
4 57.00 -M 640000 640000 0
Ex: Parametrizarea coeficientului c1 asociat variabilei x1 în
funcţia obiectiv (pret unitar al prod Stofa 1).
Parametric Analysis for LP Sample Problem -- Objective Function
Studiul de caz 4 ptr. Seminar (carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed. ASE,
2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile numere reale
640000640000
700000
640000
600000
700000
800000
900000
30 40 50 60 70 80 90
Coeficientul lui x1 din functia obiectiv
Valo
are
a f
unctiei obie
ctiv
M
-M 57 M
Studiul de caz 4 ptr. Seminar (carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed. ASE,
2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile numere reale
Ex: Parametrizarea termenului liber b3 asociat restricţiei C3 referitoare la
materia primă de import.
Parametric Analysis for LP Sample Problem - Right-Hand-Side
From
RHS of C3
To RHS
of C3
From
OBJ Value
To
OBJ
Value
Slope
Leaving
Variable
Entering
Variable
1 2400 3000.00 640000 700000 100 X3 Slack_C3
2 3000 M 700000 700000 0
3 2400 1000 640000 500000 100 X2 Slack_C2
4 1000 800 500000 400000 500
Surplus_C
1
5 800 -Infinity Infeasible
Studiul de caz 4 ptr. Seminar (carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed. ASE,
2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile numere reale
Studiul de caz 4 ptr. Seminar (carte RSC, LF; HD, CN, Modelare economică, Ed. ASE,
2009, p. 100): Determinarea sructurii optime de productie pentru variabile numere reale
3. ALTE APLICAȚII PRACTICE ALE PROGRAMARII LINIARE
MODELE PENTRU PROBLEME DE AMESTEC Un produs final P are în componenţă sa produsele care trebuie amestecate.
Produsul P are caracteristici calitative impuse şi exprimate prin m indicatori I1, I2, ... Im de mărime bi (i = 1, ..., m);
aij – mărimea indicatorilor pentru fiecare produs (i = 1, ..., m); (j = 1, ..., n);
Eh (h = 1, ..., r) – indicatori de eficienţă ai fiecărui produs cu mărimile Chj (h = 1, ..., r); (j = 1, ..., n), care, după caz, vor fi maximizaţi sau minimizaţi.
Modelul matematic general al problemei de amestec:
Exemplu: care să fie cantitatea din fiecare ingredient
ce formează intră în compoziția unui produs (variabilele),
astfel încât să se obțină un produs cu cost minim
(functia obiectiv), în condițiile respectării unor anumite
conținuturi în substanțe nutritive (restricțiile).
ij
n
1jij bxa
0x j
j
n
1jhjxCopt
n,...,1jPj
3. ALTE APLICAȚII PRACTICE ALE PROGRAMARII
LINIARE
MODELE DE CROIRE
Modelul general al problemei de croire:
Notaţii: aij- număr de piese/bucăţi de tip i care se debitează/taie/
croiesc conform soluţiei (tiparului) j;
cj – costul sau cantitatea deşeurilor rămase conform soluţiei j;
Ni - numărul de piese/bucăţi necesare de tip i;
Xj - numărul de suprafeţe debitate/croite conform soluţiei j.
ijij Nxa
0x j
jj
jxcmin
În cazul produselor indivizibile, pentru determinarea structurii optime de fabricaţie se pot utiliza modele de programare liniară în numere întregi.
Domeniul de admisibilitate al modelelor liniare cu variabile în numere întregi este format dintr-un număr finit de puncte. Rezultă că numărul de variante sau alternative decizionale este finit.
4. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
DE TIP LINIAR (cu variabile numere întregi)
Rezolvarea modelelor liniare cu variabile întregi se efectuează cu metode de enumerare.
Există două tipuri de metode de enumerare: explicită şi implicită.
Din categoria metodelor de enumerare implicită face parte metoda „Branch and Bound” adică „ramifică şi mărgineşte”.
Procesul iterativ de rezolvare a unei probleme printr-o metoda de tip „branch and bound” poate fi reprezentat printr-un arbore binar, în care fiecare nod are un singur ascendent şi doi descendenţi direcţi.
Fiecare nod al arborelui binar reprezintă o problemă de programare liniară fără restricţiile ca variabilele să fie întregi. Problemele asociate nodurilor arborelui binar se rezolvă cu algoritmul simplex.
4. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
DE TIP LINIAR (cu variabile numere întregi)
Un nod se ramifică dacă soluţia problemei este neîntreagă şi nu există alt nod cu soluţie întreagă şi cu valoare mai bună a funcţiei obiectiv.
Pentru ramificarea unui nod, din soluţia problemei asociată acelui nod, se alege o componentă xj cu valoare neîntreagă,
xj = . Pornind de la această variabilă se construiesc două probleme care generează două noduri descendente:
Problema pentru nodul stâng: prin adăugarea restricţiei xj [], unde [] este parte întreagă a numărului
Problema pentru nodul drept: prin adăugarea restricţiei xj [] +1.
Un nod NUse mai ramifică, adică devine margine, dacă: are soluţie întreagă;
nu are soluţie admisibilă;
are soluţie neîntreagă, dar există alt nod cu soluţie întreagă şi o valoare mai bună a funcţiei obiectiv
4. OPTIMIZAREA MODELELOR DE PROGRAMARE
DE TIP LINIAR (cu variabile numere întregi)
Exemplu practic: Modelarea structurii de productie si a posibilitatilor de dezvoltare a
unei organizatii, cu variabile numere intre
Studiul de caz 5 (carte Modelare economică, Ed. ASE, 2009, p. 124)
Modelul economico matematic Variabilele modelului
x1 = numărul de produse F43
x2 = numărul de produse F126
x3 = număr suplimentar de utilaje LM43
x4 = număr suplimentar de muncitori pentru grupa de montaj
Funcţia obiectiv
Max (450x1 + 700x2 – 90x3 – 25x4)
Restricţii
5x1 + 2x2 24
1,5x1 + 5x2 24 + 8x3 1,5x1 + 5x2 - 8x3 24
5x1 + 6x2 36 + 8x4 5x1 + 6x2 - 8x4 36
x3 2
x4 4
x1 0 şi întreg, x2 0 şi întreg,
x3 0 şi întreg, x4 0 şi întreg
Exemplu practic: Modelarea structurii de productie si a posibilitatilor de dezvoltare a unei
organizatii, cu variabile numere intregi
Rezolvare cu WINQSB (7 iteratii), ex:
Decis
on
Varia
le
Lower
Bound
Upper
Bound
Solutio
n
Value
Variabl
e
Type
Sta
Us
1 X1 0 M 1.82 Integer No
2 X2 0 M 7.45 Integer No
3 X3 0 M 2.00 Integer Yes
4 X4 0 M 2.23 Integer No
Current OBJ(Maximize) = 5800.68
>= ZL = -M Non-integer
Decis
on
Varia
le
Lower
Bound
Upper
Bound
Soluti
on
Value
Varia
Le Type
Statu
s
1 X1 2.00 M 2.00 Integer Yes
2 X2 0 M 7.00 Integer Yes
3 X3 0 M 1.75 Integer No
4 X4 0 M 2.00 Integer Yes
Current OBJ(Maximize) = 5592.50 >=
ZL = -M Non-integer
Decisio
Variable
Lower
Bound
Upper
Bound
Solution
Value
Variable
Type
Status
1 X1 2.00 M 2.00 Integer Yes
2 X2 0 M 7.00 Integer Yes
3 X3 2.00 M 2.00 Integer Yes
4 X4 0 M 2.00 Integer Yes
Current OBJ(Maximize)= 5570.00 >= ZL = -M New incumbent
ITERATIA 1 ITERATIA 2
ITERATIA 3
Exemplu practic: Modelarea structurii de productie si a posibilitatilor de dezvoltare a unei
organizatii, cu variabile numere intregi
Z=5800,68
x1 = 1,82
x2 = 7,45
x3 = 2 x4 = 2,23
Z= 5612,50
x1 = 1
x2 = 7,7
x3 = 2
x4 = 1,9
Z=5592,50
x1 = 2
x2 = 7
x3 = 1,75
x4 = 2
x1 1 x1 2
x3 1 x3 2
Z=4967,95
x1 = 2,55
x2 = 5,64
x3 = 1
x4 = 1,32
Z=5570
x1 = 2
x2 = 7
x3 = 2
x4 = 2
x2 7 x2 8
Z=5175
x1 = 1
x2 = 7
x3 = 1,56
x4 = 1,38
Z=5382,50
x1 = 0
x2 = 8
x3 = 2
x4 = 1,5
Soluţie neadmisibilă
Iteraţia 1
Iteraţia 2
Iteraţia 3 Iteraţia 4
Iteraţia 5
Iteraţia 7 Iteraţia 6
Soluţia optimă
5. PROGRAMAREA LINIARĂ
MULTIDIMENSIONALĂ/ MULTIOBIECTIV
Forma generală a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii
obiectiv:
Optimum F(x) = Cx
cu restricţiile:
Ax b
x 0,
unde: F(x) = vector coloană cu r componente f1(x), f2(x),...,fr(x), care reprezintă funcţiile obiectiv prin care sunt exprimate criteriile de evaluare a variantelor decizionale.
Metode:
Metoda maximizării unei funcţii sinteză de utilitate
Metoda programarii scop
METODA MAXIMIZĂRII UNEI FUNCŢII SINTEZĂ DE UTILITATE
Pentru determinarea unei soluţii care realizează cel mai bun compromis pentru toate funcţiile se va construi o funcţie sinteză a tuturor funcţiilor obiectiv numită funcţie sinteză de utilitate.
Funcţia sinteză de utilitate se obţine prin transformarea funcţiilor obiectiv f1(x), f2(x), ..., fr(x), cu semnificaţii economice concrete, în funcţii de utilitate care pot fi însumate.
Prin maximizarea funcţiei sinteză de utilitate în raport cu restricţiile problemei se obţine soluţia de compromis cu utilitate maximă.
Algoritmul de calcul:
Pasul 1. Se obţin valorile optimiste şi valorile pesimiste ale tuturor funcţiilor obiectiv.
Pasul 2. Pe baza axiomelor von Neumann – Morgenstern, se determină utilităţile valorilor optimiste O1, O2, ..., Or şi pesimiste P1, P2, ..., Pr ale functiilor obiectiv.
Pasul 3. Se construiesc funcţiile de utilitate de forma (αhfh(x) + βh)
Pasul 4. Se rezolvă problema de programare liniară care maximizeaza funcţia sinteză de utilitate.
Pentru înțelegerea modelului vezi exemplul practic din cartea Rațiu-Suciu C, Luban
F, Hincu D, Ciocoiu N, Modelare Economică, Ed ASE, 2009, St caz 10, p. 165-167
5. PROGRAMAREA LINIARĂ
MULTIDIMENSIONALĂ/ MULTIOBIECTIV
METODA PROGRAMARII SCOP
PS - o metodă de rezolvare a problemei de programare liniară cu mai multe funcţii obiectiv.
Metoda PS a fost propusă şi dezvoltată sub denumirea de "Goal Programming" de A. Charnes şi W. Cooper.
Obiectivul programării scop: găsirea unei soluţii care verifică restricţiile Ax b, x0 şi care conduce la abateri cât mai mici faţă de scopurile propuse prin funcţiile obiectiv.
Ideea de bază a metodei constă în transformarea tuturor funcţiilor obiectiv în „restricţii scop” prin:
– specificarea pentru fiecare funcţie obiectiv a unui nivel de aspiraţie sau scop;
– definirea pentru fiecare scop a unei perechi de variabile de abatere sau deviaţie:
• deviaţia în plus faţă de scopul propus;
• deviaţia în minus faţă de scopul propus.
Nivelurile de aspiraţie sau scopurile pot fi:
– stabilite de decident;
– obţinute prin optimizarea problemei de programare liniară în raport cu fiecare funcţie obiectiv.
5. PROGRAMAREA LINIARĂ
MULTIDIMENSIONALĂ/ MULTIOBIECTIV
METODA PROGRAMARII SCOP
Funcţia care minimizează deviaţiile faţă de nivelurile de aspiraţie sau scopurile propuse se numeşte „funcţie scop”.
Forma generală a unui model PS:
minimizează una sau mai multe funcţii scop de forma:
supusă la restricţiile:
Ax b
x 0
şi restricţiile „scop”: fi(x) = Vi + d+i - d
-i => fi(x) - d+
i+ d-i = Vi, i = 1,...,N
d+i 0, d-
i 0, i = 1,...,N
unde: •d+
i si d-i deviaţia în plus/în minus faţă de val. prestabilită pentru funcţia obiectiv i;
•πi şi ρi sunt coeficienţi ai deviaţiilor care fac posibilă însumarea lor; •fi(x) - funcţia obiectiv i; •Vi - valoarea prestabilită (nivelul de aspiraţie) pentru funcţia obiectiv i; •x - vector coloană cu n componente x1, x2,...,xn care reprezintă variabilele decizionale ale problemei. •Ax b: restricţiile care definesc domeniul de admisibilitate al problemei pentru variabilele decizionale x1, x2,...,xn.
)(1
ii
N
i
ii dd
5. PROGRAMAREA LINIARĂ
MULTIDIMENSIONALĂ/ MULTIOBIECTIV
METODA PROGRAMARII SCOP
Elementul cheie - specificarea funcţiei obiectiv, adică definirea coeficienţilor πi şi ρi pentru deviaţiile di+ şi di-.
Dacă deviaţiile se măsoară cu unităţi de măsură diferite, atunci este necesară definirea unor costuri de penalizare a deviaţiilor astfel încât să se poată minimiza suma totală a costurilor de penalizare generate de diferite deviaţii.
Funcţiilor scop li se pot asocia diferite priorităţi. În acest caz se poate proceda astfel:
– Se ordonează descrescător scopurile şi se stabileşte prioritatea de satisfacere a fiecărui scop:
P1 P2 … Pn... unde înseamnă "mult mai mare".
– Numărul priorităţilor este mai mic sau cel mult egal cu numărul funcţiilor obiectiv, iar numărul funcţiilor scop este egal cu numărul priorităţilor acordate.
– Ordonarea prin priorităţi este absolută, astfel că scopul cu prioritatea P2 nu va fi niciodată atins înainte ca scopul cu prioritatea P1 să fie realizat cu abaterea cea mai mică faţă de nivelul de aspiraţie propus.
În acest caz, prin metoda programării scop se rezolvă succesiv un număr de probleme egal cu numărul priorităţilor.
Rezolvarea modelelor de PS: WINQSB/ Gp – igp.
5. PROGRAMAREA LINIARĂ
MULTIDIMENSIONALĂ/ MULTIOBIECTIV
Studiul de caz 10 ptr. seminar (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica, Ed
ASE, 2009, p.165 ): Rezolvarea cu metoda programarii scop
Pasul I: scrierea modelului econ. – matematic cu mai multe functii obiectiv:
Variabilele:
x1 = cantitatea din Pcs1 x2 = cantitatea din Pcs2 x3 = cantitatea din Pcs3
Funcţiile obiectiv:
Maximizarea venitului total
(max) f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3
Minimizarea timpului necesar de lucru
(min) f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3
Minimizarea consumului total din materia primă de import
(min) f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3
Restricţii:
referitoare la materialul Mat1:
C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10
referitoare la cantităţile contractate:
C2: 1x1 + 1x2 12
C3: 1x3 5
Restricţiile de nenegativitate:
x1 0, x2 0, x3 0,
Cele 3 fct obiectiv
se transforma in
Restrictii Scop
Pasul 2: transformarea in modelul economico – matematic de PS Funcţiile scop:
Scopul cu prioritate 1: minimizarea deviaţiei în plus Mimpsupl faţă de consumul minim de
materie primă de import
Min G1: 1Mimpsupl
Scopul cu prioritate 2: minimizarea deviaţiei în minus Venitm faţă de venitul maxim
Min G2: 1Venitm
Scopul cu prioritate 3: minimizarea deviaţiei în plus Timpsupl faţă de timpul de lucru necesar minim
Min G3: 1Timpsupl
Restricţiile pentru consumuri materiale şi pentru cerere:
C1: 0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10
C2: 1x1 + 1x2 12
C3: 1x3 5
Restricţiile scop:
C4: 60x1 + 120x2 + 90x3 – Venitsupl + Venitm = 2700
C5: 15x1 + 10x2 + 19x3 – Timpsupl + Timpm = 215
C6: 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 – Mimpsupl + Mimpm = 4,4
Restricţiile de nenegativitate:
x1 0, x2 0, x3 0,
Venitsupl 0, Venitm 0,
Timpsupl 0, Timpm 0,
Mimpsupl 0. Mimpm 0
Niveluri de
aspiratie
Variabile de
abatere/deviatie
Studiul de caz 10 ptr. seminar (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica, Ed
ASE, 2009, p.165 ): Rezolvarea cu metoda programarii scop
Pasul 3: Rezolvarea modelului cu WINQSB/Gp-igp
Decision
Variable
Solution
Value
Basis
Status
Reduced
Cost
Goal 1
Reduced
Cost
Goal 2
Reduced
Cost
Goal 3
1 X1 12 basic 0 0 0
2 X2 0 at bound 0 60 -35
3 X3 5 basic 0 0 0
4 Venitsupl 0 at bound 0 1 0
5 Venitm 1480 basic 0 0 0
6 Timpsupl 60 basic 0 0 0
7 Timpm 0 at bound 0 0 1
8 Mimpsupl 0 at bound 1 -300 75
9 Mimpm 0 at bound 0 300 -75
Goal 1: Minimize G1 = 0
Goal 2: Minimize G2 = 1480
Goal 3: Minimize G3 = 60
Studiul de caz 10 ptr. seminar (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica, Ed
ASE, 2009, p.165 ): Rezolvarea cu metoda programarii scop
Sensitivity Analysis of the Right-Hand-Sides for Studiul de caz 10
Constraint
Right
Hand
Side
Allowabl
e
Min.RHS
Allowable
Max.RHS Shadow
Price
Goal 1
Shadow
Price
Goal 2
Shadow
Price
Goal 3
1 Material1 <= 10 8.2 M 0 0 0
2 Cerere Pcs1+Pcs2 >= 12 -M 12 0 0 0
3 Cerere PCs3 >= 5 3.2 5 0 20 -11
4 Venit
prioritate 2
= 2700 1220 M 0 1 0
5 Timp
prioritate 3
= 215 -M 275 0 0 -1
6 Mimport
prioritate 1
= 4.4 4.4 5 0 -300 75
2 conflicte: 1. intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 2 (cu valoarea -300)
2. Intre scopul de prioritate 1 si cel de prioritate 3 (cu valoarea 75)
Studiul de caz 10 ptr. seminar (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica, Ed
ASE, 2009, p.165 ): Rezolvarea cu metoda programarii scop
Pasul 4: Analiza rezultatelor:
1. Citirea solutiei (solution value)
2. Interpretarea costului redus
3. Interpretarea pretului umbra
4. Identificarea si analiza conflictelor dintre
scopuri
Studiul de caz 10 ptr. seminar (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica, Ed
ASE, 2009, p.165 ): Rezolvarea cu metoda programarii scop
6. PROCEDURI DE FUZZYFICARE A
PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIARĂ
Se porneşte de la forma generală a problemei de programare liniară cu mai
multe funcţii obiectiv descrisă la punctul 5, unde, pentru simplificarea
prezentării, restricţiile s-au împărţit în două grupe: de tip ≤, indexate superior
cu 1 şi de tip ≥, indexate superior cu 2.
Optim F(x) = Cx
Cu restricţiile:
A1x ≤ b1
A2x ≥ b2
x ≥ 0
Pentru acest model, mulţimea soluţiilor admisibile D este definită prin restricţiile
A1x ≤ b1, A2x ≥ b2, x ≥ 0.
Ideea de bază a fuzzyficării constă în asocierea unei mulţimi vagi sau fuzzy
valorilor fiecărei funcţii obiectiv şi valorilor fiecărei restricţii.
O mulţime vagă sau fuzzy este astfel definită încât un element poate nu numai să
îi aparţină sau să nu îi aparţină, ci să se caracterizeze şi printr-o apartenenţă
intermediară.
6. PROCEDURI DE FUZZYFICARE A
PROBLEMELOR DE PROGRAMARE LINIARĂ
Fie E = mulţimea tuturor vectorilor realizabili de producţie,
Si = mulţime vagă inclusă în E (de exemplu mulţimea vectorilor de producţie
care satisfac „aproximativ” restricţia i) şi x = (x1, x2, ..., xn) un vector de
producţie din E, x E.
În general, o mulţime vagă Si E este caracterizată atât prin mulţimea
elementelor sale x, cât şi prin funcţiile lor de apartenenţă µSi(x). Aceste funcţii
pun în corespondenţă fiecare element x E cu un număr real din intervalul
[0, 1]. Acest număr indică gradul de apartenenţă al elementului x la mulţimea
vagă Si. Prin urmare, o mulţime vagă Si E este definită cu ajutorul
perechilor (x, µSi(x)), pentru x E şi µSi(x): E [0, 1].
În cazul fuzzyficării modelelor de programare liniară, este important de
reţinut faptul că deşi, exprimarea vagă se poate referi numai la restricţii,
funcţiile obiectiv devin de asemenea fuzzy din cauza restricţiilor fuzzy.
Modelul fuzzy va avea ca funcţie obiectiv maximizarea gradului de satisfacere
simultană de către soluţia x a restricţiilor şi a funcţiilor obiectiv.
Pentru înțelegere se prezintă exemplul practic următor.
În tabelul urmator sunt preluate rezultatele obţinute prin rezolvarea diferitelor
modele în vederea stabilirii programului de producţie pentru produsele Pcs1, Pcs2 şi
Pcs3. A fost exclusă soluţia obţinută prin rezolvarea modelului min f3(x), pentru x
D deoarece este dominată de celelalte soluţii.
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Criteriile Tip
criteriu
max f1(x)
x D
min f2(x)
x D
Maximizarea
funcţiei sinteză
de utilitate
Programarea scop
f1(x) = venitul
total (u.m.) max 2700* 1890 2250 1220
f2(x) = timpul
necesar de lucru
(ore)
min 386 215* 245 275
f3(x) =consumul
de materie primă
de import (tone)
min 12,8 9,2 11 4,4*
Decidentul dispune de patru programe de producţie pentru perioada următoare, dar nici
unul dintre ele nu realizează toate obiectivele propuse.
De aceea, decidentul doreşte să determine programul de producţie care să maximizeze
gradul de satisfacere simultană a celor trei obiective propuse: maximizarea venitului total,
minimizarea timpului necesar de lucru, minimizarea consumului total de materie primă de import.
Pentru rezolvarea problemei este necesară fuzzyficarea funcţiilor obiectiv ale modelului de
programare liniară multicriterială.
Pasul 1. Construirea modelului de programare liniară multicriterială.
Vectorul programului de producţie x pentru luna următoare este format din componentele:
x1 = cantitatea din Pcs1, x2 = cantitatea din Pcs2, x3 = cantitatea din Pcs3
Funcţiile obiectiv:
Maximizarea venitului total
(max) f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3
Minimizarea timpului necesar de lucru
(min) f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3
Minimizarea consumului total din materia primă de import
(min) f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Restricţia referitoare la materialul Mat1:
0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10
Restricţiile referitoare la cantităţile contractate:
1x1 + 1x2 12
1x3 5
Restricţiile de nenegativitate:
x1 0, x2 0, x3 0,
Pasul 2. Specificarea nivelurilor de aspiraţie pentru valorile funcţiilor obiectiv şi a
toleranţelor pozitive a admise faţă de aceste niveluri de aspiraţie.
Funcţia obiectiv Nivelul de aspiraţie Toleranţa
max f1(x) = 60x1 + 120x2 + 90x3 v1 = 2700 u.m. q1 = 2700-1220 = 1480 u.m.
min f2(x) = 15x1 + 10x2 + 19x3 v2 = 215 ore q2 = 386 – 215 = 171 ore
min f3(x) = 0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 v3 = 4,4 tone q3 = 12,8 – 4,4 = 8,4 tone
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Pasul 3. Fuzzyficarea funcţiilor obiectiv şi construirea funcţiilor de
apartenenţă asociate.
Funcţia obiectiv
fuzzy
Restricţia asociată pentru
definirea
lui Sh
Funcţia de apartenenţă
μSh(x)
f1(x) f1(x) v1 - q1
μS1(x) =
pentru 1220 f1(x) 2700
f2(x) f2(x) v2 + q2
μS2(x) =
pentru 215 f2(x) 386
f3(x) f3(x) v3 +q3
μS3(x)=
pentru 4,4 f3(x) 12,8
xa~m 1480
12203x902x1201x60
ni~
m 171
)3x192x101x15(386
ni~
m 4,8
)3x4,02x6,01x2,0(8,12
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Pasul 4. Se introduce variabila cu valori în [0, 1] şi se construiesc
restricţiile μSh(x) , pentru h = 1, 2, 3.
μS1(x)
sau
60x1 + 120x2 + 90x3 – 1480 1220
μS2(x)
sau
15x1 + 10x2 + 19x3 + 171 386
μS3(x)
sau
0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 + 8,4 12,8
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Pasul 5. Se construieşte şi se rezolvă modelul pentru determinarea programului de
producţie care să maximizeze gradul de satisfacere simultană a celor trei obiective propuse.
Max 1
Cu următoarele restricţii:
Restricţiile obţinute prin fuzzyficare
60x1 + 120x2 + 90x3 – 1480 1220
15x1 + 10x2 + 19x3 + 171 386
0,2x1 + 0,6x2 + 0,4x3 + 8,4 12,8
Restricţiile iniţiale nevagi
0,6x1 + 0,6x2 + 0,2x3 10
1x1 + 1x2 12
1x3 5
1 1
Restricţiile de nenegativitate:
x1 0, x2 0, x3 0, 0
S-a obţinut un model de programare liniară cu o singură funcţie obiectiv, patru variabile, şapte
restricţii.
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy
Conform acestei soluţii, dacă în perioada următoare se vor realiza
6,517 tone produs Pcs1, 7,945 tone produs Pcs2 şi 6,613 tone produs
Pcs3, gradul de satisfacere a nivelului de aspiraţie pentru fiecare
obiectiv propus va fi de 0,486.
WINQSB/Lp-ilp/ Solution Summary for Studiul de caz fuzzy
Decision
Variable
Solution
Value
Unit Cost or
Profit C(j)
Total
Contribution
Reduced
Cost
Basis
Status
1 X1 6.517 0 0 0 basic
2 X2 7.945 0 0 0 basic
3 X3 6.613 0 0 0 basic
4 alfa 0.486 1.000 0.486 0 basic
Objective Function (Max.)= 0.486
Exemplu practic: Studiul de caz 10 (carte RSC, LF, HD, CN, Modelare Economica,
Ed ASE, 2009, p.165 ), Rezolvarea cu model fuzzy