ECONOMETRIEECONOMETRIE - CURS 7 -- CURS 7 -

TematicTematic ă C7ă C7

1.1. Modelul reciprocModelul reciproc2.2. Modele semi-logaritmice Modele semi-logaritmice 3.3. Modele polinomialeModele polinomiale

Modelul reciproc (I)Modelul reciproc (I)

este modelul care are la bază ecuaţia unei hiperbole;este modelul care are la bază ecuaţia unei hiperbole; variabila independentă apare prin inversa sau reciproca sa.variabila independentă apare prin inversa sau reciproca sa.

Estimarea parametrilor modeluluiEstimarea parametrilor modelului

Modelul reciproc este definit prin relaţia:Modelul reciproc este definit prin relaţia:

Pentru această clasă de modele se va face substituţia Pentru această clasă de modele se va face substituţia XX**=1/X=1/X. În urma . În urma substituţiei, va rezulta forma liniarizată a modelului hiperbolic:substituţiei, va rezulta forma liniarizată a modelului hiperbolic:

Modelul liniarizat va fi tratat ca un model simplu liniar pentru Modelul liniarizat va fi tratat ca un model simplu liniar pentru determinarea estimaţiilor parametrilor determinarea estimaţiilor parametrilor ββ00 şi şi ββ11..

εββ ++=X

1Y 10

εββ ++= *10 XY

Modelul reciproc (II)Modelul reciproc (II)

Interpretarea parametrilor modeluluiInterpretarea parametrilor modelului

ββ00: valoarea limită pe care o atinge variabila : valoarea limită pe care o atinge variabila

dependentă, atunci când valorile variabilei dependentă, atunci când valorile variabilei independente cresc la infinit;independente cresc la infinit;

ββ11: - variaţia medie a lui Y la o creştere cu o unitate : - variaţia medie a lui Y la o creştere cu o unitate

a lui X;a lui X;

- dacă - dacă ββ11>>0, atunci o creştere a lui X determină 0, atunci o creştere a lui X determină

o descreştere a lui Y;o descreştere a lui Y;

- dacă - dacă ββ11<0, <0, atunci o creştere a lui X determină atunci o creştere a lui X determină

o creştere a lui Y.o creştere a lui Y.

Curba lui Philips

• în teoria şi practica economică, modelul hiperbolic este folosit

pentru a explica relaţia dintre inflaţie şi şomaj;•curba reprezentată cu ajutorul celor două variabile se numeşte

curba lui Philips

unde: Y – rata inflaţiei sau indicele salariului real, exprimat în

procente;

X – rata şomajului, exprimată în procente.

Exemplu:

Modelul reciproc (II)

εββ ++=X

1Y 10

XY

1302,13029,52 +=

Modele semi-logaritmice (I)Modele semi-logaritmice (I)

Fie variabila independentă, fie variabila dependentă Fie variabila independentă, fie variabila dependentă aparapar, , în forma liniarizată a modelului, ca variabile în forma liniarizată a modelului, ca variabile logaritmatelogaritmate

Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei Estimează variaţia relativă sau absolută a variabilei dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o dependente la o variaţie absolută sau relativă cu o unitate a variabilei independenteunitate a variabilei independente

Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe Modelele cu variabila dependentă logaritmată pe care le vom studia sunt: modelul Compound care le vom studia sunt: modelul Compound (Compus), Growth (de creştere) şi Exponenţial(Compus), Growth (de creştere) şi Exponenţial

Modelul cu variabila independentă logaritmată pe Modelul cu variabila independentă logaritmată pe care îl vom studia este modelul Logarithmiccare îl vom studia este modelul Logarithmic

Modele semi-logaritmice (II)Modele semi-logaritmice (II)

Modelul CompoundModelul Compound

Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

εββ eY X ⋅⋅= 10

εββ +⋅+= 10 lnlnln XY

Modele semi-logaritmice (III)Modele semi-logaritmice (III)

Parametrii modelului:Parametrii modelului:- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .

Variabila Y are numai valori pozitive, deci Variabila Y are numai valori pozitive, deci ββ00

satisface condisatisface condiţiaţia ββ00 >0. >0.

- - lnlnββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o

variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. Reprezintă cu o unitate. Reprezintă rata de creştere sau reducere a variabilei rata de creştere sau reducere a variabilei YY în în raport cu variabila raport cu variabila XX..

dX

Ylndln 1 =β

Modele semi-logaritmice (IV)Modele semi-logaritmice (IV)

Observaţii:Observaţii:

- Dacă lnDacă lnββ11>0, adică >0, adică ββ11>1, atunci legătura dintre >1, atunci legătura dintre

cele două variabile este directă.cele două variabile este directă.

- Dacă lnDacă lnββ11<0, adică 0<<0, adică 0<ββ11<1, atunci legătura dintre <1, atunci legătura dintre

cele două variabile este incele două variabile este inversversă.ă.

Modele semi-logaritmice (V)Modele semi-logaritmice (V)

2. 2. Estimarea parametrilor modeluluiSSe face prin MCMMP: e face prin MCMMP:

Sistemul de ecuaţii normale:Sistemul de ecuaţii normale:

n1,i ,yln=xbln+blnn ii10 =∑∑

ylnx=xbln+xbln ii2i1i0 ∑∑∑

∑ = imminei2

Modele semi-logaritmice (VI)Modele semi-logaritmice (VI)

( );

xxn

ylnxylnxnbln

2i

2i

iiii1 ∑∑

∑∑∑−−

=

( )2i2i

iii2ii

0xxn

ylnxxxylnbln

∑∑∑∑∑∑

−−

=

Modele semi-logaritmice (VII)Modele semi-logaritmice (VII)

3. Testarea semnificaţiei parametrilor3. Testarea semnificaţiei parametrilor IpotezeIpoteze InterpretareInterpretare

4. Intensitatea legături i dintre variabile4. Intensitatea legături i dintre variabile- - raportul de determinaţie (raportul de determinaţie (R squareR square))

Modele semi-logaritmice (VIII)Modele semi-logaritmice (VIII)

5. Exemplu5. Exemplu

În urma analizei legăturii dintre valoarea investiţiilor (mii euro) şi valoarea producţiei (mil. euro) înregistrate pe un eşantion de 5 firme, s-au obţinut următoarele rezultate:

Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:

Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nyny ii=ln1,322=ln1,322 +x+x ii ln1,769ln1,769 =0,279=0,279 +0,570x+0,570x ii

Coefficients

1.769 .103 2.677 17.118 .000

1.322 .256 5.161 .014

xi

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

The dependent variable is ln(yi).

i

i

xx 769,1322,1y ⋅=

Interpretare:Interpretare:

- valoarea parametrului - valoarea parametrului ββ11 arată că, la o arată că, la o creştere cu o mie de euro a valorii creştere cu o mie de euro a valorii investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în investiţiilor, valoarea producţiei creşte, în medie, cu medie, cu o rato rată de ă de 0,0,57 sau cu 57%.57 sau cu 57%.

22 . Testarea semnificaţiei parametrilor. Testarea semnificaţiei parametrilor

3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii 3. Estimarea şi testarea intensităţii legăturii dintre variabiledintre variabile

Model Summary

.985 .969 .959 .185R R Square

AdjustedR Square

Std. Error ofthe Estimate

The independent variable is xi.

ANOVA

3.253 1 3.253 95.333 .002

.102 3 .034

3.356 4

Regression

Residual

Total

Sum ofSquares df Mean Square F Sig.

The independent variable is xi.

Modele semi-logaritmice (IX)Modele semi-logaritmice (IX)

Modelul Growth (de Creştere)Modelul Growth (de Creştere)

1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

εββ ++= X10eY

εββ +⋅+= XYln 10

Modele semi-logaritmice (X)Modele semi-logaritmice (X)

Parametrii modelului:Parametrii modelului:

- eeββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .

- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o

variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.

dX

Ylnd1 =β

Modele semi-logaritmice (XI)Modele semi-logaritmice (XI)

ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Timpul de Timpul de accelerare de la 0 la 100 km/haccelerare de la 0 la 100 km/h (secunde) şi (secunde) şi Puterea motorului Puterea motorului (CP).(CP).

Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:

Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nY=3,092-0.004XnY=3,092-0.004X

Coefficients

-.004 .000 -.726 -21.032 .000

3.092 .019 164.791 .000

Horsepower

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

The dependent variable is ln(Time to Accelerate from 0 to 60 mph (sec)).

XeY ⋅−= 004,0092,3

Interpretare:Interpretare: când când Puterea motorului Puterea motorului este de 0 este de 0

C.P., C.P., Timpul de accelerareTimpul de accelerare este de este de ee3,0923,092=22 secunde.=22 secunde.

La o creştere a puterii motorului cu 1 La o creştere a puterii motorului cu 1 C.P., timpul de accelerare scade, în C.P., timpul de accelerare scade, în medie, cu o rată de 0,004 sau cu medie, cu o rată de 0,004 sau cu 0,4%.0,4%.

Modele semi-logaritmice (IX)Modele semi-logaritmice (IX)

Modelul ExponentialModelul Exponential

1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::

Ecuaţia se liniarizează prin logaritmare:

εββ eeY X0

1 ⋅⋅=

εββ +⋅+= XlnYln 10

Modele semi-logaritmice (X)Modele semi-logaritmice (X)

Parametrii modelului:Parametrii modelului:

- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=0X=0. .

- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie procentuală procentuală a lui a lui YY la o la o

variaţie variaţie absolutăabsolută a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.

dX

Ylnd1 =β

Modele semi-logaritmice (XI)Modele semi-logaritmice (XI)

ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Puterea Puterea motorului (CP)motorului (CP) şi şi Numărul de cilindri Numărul de cilindri (cilindri)(cilindri)..

Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două Ecuaţia estimată a legăturii dintre cele două variabile este:variabile este:

Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:Logaritmând ecuaţia de mai sus, se obţine:ll nY=ln38,911+0,17XnY=ln38,911+0,17X

Coefficients

.170 .005 .842 31.057 .000

38.911 1.221 31.877 .000

Number of Cylinders

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

The dependent variable is ln(Horsepower).

XeY 170,0911,38 ⋅=

Interpretare:Interpretare: când când Numărul de cilindri Numărul de cilindri este de 0, este de 0,

Puterea medie a motoruluiPuterea medie a motorului este de este de 38,911 C.P.38,911 C.P.

La o creştere a numărului de cLa o creştere a numărului de ciilindri cu lindri cu 1 cilindru, puterea motorului creşte, în 1 cilindru, puterea motorului creşte, în medie, cu 17%.medie, cu 17%.

Modele semi-logaritmice (XII)Modele semi-logaritmice (XII)

Modelul LogarithmicModelul Logarithmic1.1. Forma generală a modeluluiForma generală a modelului ::

- ββ00 este valoarea medie a lui este valoarea medie a lui YY pentru pentru X=X=11. .

- ββ 11 arată variaţia medie arată variaţia medie absolutabsolutăă a lui a lui YY la o la o

variaţie variaţie procentualăprocentuală a lui a lui XX cu o unitate. cu o unitate.

εββ +⋅+= XlnY 10

Xlnd

dY1 =β

ExempluExempluSe consideră legătura dintre Se consideră legătura dintre Puterea Puterea motorului motorului şi şi Numărul de cilindriNumărul de cilindri..

Ecuaţia estimată a legături i dintre cele Ecuaţia estimată a legături i dintre cele două variabile este:două variabile este:

ε+⋅+−= Xln458,104048,68Y

Coefficients

104.458 3.632 .822 28.761 .000

-68.048 6.112 -11.134 .000

ln(Number of Cylinders)

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Interpretare:Interpretare: când când Numărul de cilindri Numărul de cilindri este de 1, este de 1,

Puterea medie a motoruluiPuterea medie a motorului este de este de -68,048 C.P.-68,048 C.P.

La o creştere a numărului de cLa o creştere a numărului de ciilindri cu lindri cu 1 %, puterea motorului creşte, în 1 %, puterea motorului creşte, în medie, cu 1,04458 C.P.medie, cu 1,04458 C.P. (104,458/100) (104,458/100)

Modele polinomiale (I)Modele polinomiale (I)

a. Modelul parabolic: cel mai simplu model polinomial este modelul parabolic (Quadratic).

La nivelul eşantionului:

εβββ +⋅+⋅+= 2210 XXY

2210X XbXbbY ⋅+⋅+=

Modele polinomiale (II)Modele polinomiale (II)

În economie, modelul polinomial este folosit pentru În economie, modelul polinomial este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia descrierea relaţiei dintre costul unitar şi producţia realizatărealizată: : costul unitar scade concomitent cu costul unitar scade concomitent cu creşterea producţiei până la un nivel optim al creşterea producţiei până la un nivel optim al producţiei, după care, dacă producţia continuă să producţiei, după care, dacă producţia continuă să crească, începe să crească şi costul unitar.crească, începe să crească şi costul unitar.

ExempluExemplu

Ecuaţia estimată este:Ecuaţia estimată este:yy ii=89,041-25,795x=89,041-25,795x ii+2,114x+2,114x ii

22

50.00

40.00

30.00

20.00

10.00

9.008.007.006.005.004.003.002.00

Productia

Quadratic

Observed

Cost unitar

Coefficients

-25.795 3.895 -5.322 -6.623 .000

2.114 .351 4.842 6.026 .001

89.041 9.231 9.646 .000

Productia

Productia ** 2

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.

Interpretare:Interpretare: ββ11<0<0,, β β22>0>0, deci legătura de tip parabolic admite un , deci legătura de tip parabolic admite un

punct de minim.punct de minim.

Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim Coordonatele punctului de minim arată nivelul optim al al producţiei pentru care costul unitar este minim. producţiei pentru care costul unitar este minim. Abscisa acestui punct este: Abscisa acestui punct este: bb11/2b/2b22=25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 =25,79/4,22=6,11. Pentru o producţie de 611 bucăţi din produsul A, costul este minim.bucăţi din produsul A, costul este minim.

b. b. Modelul cubicModelul cubic

În economie acest model este folosit pentru În economie acest model este folosit pentru descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea descrierea relaţiei dintre costul total şi valoarea producţiei.producţiei.Pentru acest tip de legătură se poate determina Pentru acest tip de legătură se poate determina punctul de inflexiune al curbei, prin anularea punctul de inflexiune al curbei, prin anularea derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X derivatei de ordinul 2 in X. Se obţine valoarea lui X de unde Y îşi modifică de unde Y îşi modifică modul de modul de variaţivariaţiee..

εββββ +⋅+⋅+⋅+= 33

2210 XXXY

100

80

60

40

20

0

2500020000150001000050000

PIB / loc

Grad de urbanizare (%)

EcuaEcua ţia estimată este:ţ ia estimată este:

Punctul de inflexiune este dat de:Punctul de inflexiune este dat de:

-b -b 22 /3b/3b 33=6,1/0,000121=25105 =6,1/0,000121=25105

31127 1021,1101,6010,0036,32 XXXY ⋅⋅+⋅⋅−⋅+= −−

Coefficients

.010 .002 2.557 4.950 .000

-6.1E-007 .000 -3.206 -2.652 .009

1.21E-011 .000 1.255 . .

32.036 3.395 9.438 .000

PIB/loc

PIB/loc ** 2

PIB/loc** 3

(Constant)

B Std. Error

UnstandardizedCoefficients

Beta

StandardizedCoefficients

t Sig.