Curs Statistica Leahu

7/28/2019 Curs Statistica Leahu

1/114

1

Prof.univ.dr. Alexei LEAHUPROBABILITATI, STATISTICA I

(Statistica Descriptiva si Probabilita tiDiscrete)


2/114

2

CUPRINS

1.Introducere2.Elemente de statistica descriptiva

2.1.Populatie statistica. Unitati statistice. Esantion de volum n.2.2. Caracteristici statistice2.3. Distributii (repartitii)2.4. Analiza exploratorie a datelor

. 2.4.1. Reprezentarea tabelara a datelor2.4.2. Reprezentarea graca a datelor statistice

2.5. Functia empirica de repartitie2.6. Parametri de pozitie

2.7. Parametri de mprastiere2.8. Probleme propuse3. Probabilitati discrete

3.1. Spatii de evenimente elementare3.2. Denitia clasica a probabilitatii3.3. Elemente de combinatorica si aplicatii3.4. Cmpuri de probabilitate discreta3.5. Probabilitate conditionata3.6. Independenta evenimentelor aleatoare3.7. Probleme propuse

4. Variabile aleatoare discrete4.1. Variabile aleatoare si repartitia lor4.5. Functia de repartitie4.6. Repartitii (modele probabiliste) uzuale n caz discret

4.6.1. Repartitia uniforma pe f0,1,: : : N g sau pe f1,2,: : : N g4.6.2. Repartitia Bernoulli cu parametrul p, p 2 [0,1]

4.6.3. Repartitia binomiala cu parametrii n si p, n = 1,2,: : : ;p 2 [0,1]

4.6.4.. Repartitia geometrica cu parametrul p, p 2 [0,1]4.6.5. Repartitia Poisson cu parametrul , > 04.6.6. Repartitia hipergeometrica cu parametrii N, M si n

4.7. Variabile aleatoare bi(multi)dimensionale4.7.1. Vectori sau variabile aleatoare bidimensionale4.7.2. Vectori sau variabile aleatoare multidimensionale

4.8. Independenta variabilelor aleatoare4.9. Formula convolutiei


3/114

3

4.10. Probleme propuse

5. Caracteristici numerice5.1. Valoarea medie5.2. Dispersia (varianta)5.3. Coecientul de corelatie5.4. Valori medii conditionate

5.5. Probleme propuse6. Inegalitati. Teoreme limita

6.1. Inegalitatea lui Cebsev6.2. Legea numerelor mari (forma slaba)6.3. Legea Numerelor Mari n forma Bernoulli6.4. Teorema limita centrala. Aplicatii

6.4,1. Aplicatii ale teoremei limita centrala6.4,2. Aplicatii la Metoda Monte Carlo

6.5. Probleme propuse


4/114

4


5/114


6/114

6 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE

sa formuleze legea atractiei universale:

F = k m1m2r2

.

Acesta este un exemplu tipic de model matematic a unui fenomen (in cazuldat) determinist. Dealtfel, a modela matematic (spre a cercetat) un fenomen,proces, experiment, eveniment sau obiect oarecare nseamna a-l descrie cuajutorul notiunilor si formulelor matematice, adica a-l descrie n limbajulmatematic. Unul si acelasi model matematic poate descrie doua fenomenediferite n esenta. De exemplu, formula de mai sus poate servi in calitate demodel matematic si pentru fenomenul atractiei a doua particule elementare(legea lui Coulomb).

Spunem despre un fenomen ca este indeterminist (aleator) - daca ob-servatorul fenomenului nu poate anticipa cu certitudine evolutia lui. Dinpunct de vedere al observatorului, observatiile facute asupra unui fenomensau masuratorile corespunzatoare echivaleaza cu o experimentare legata defenomenul dat. Or, prin experiment vom ntelege observarea unui fenomendat. Experimentele indeterministe se mpart la rndul lor n doua subclase:(a) experimente nedeterministe (aleatoare) care poseda proprietatea regular-itatii statistice si (b) experimente aleatoare care nu poseda proprietatea reg-ularitatii statistice.

Vom spune ca un experiment aleator Eposeda proprietatea regularitatii(stabilitatii) statistice daca acesta verica urmatoarele proprietati:

1) poate reprodus ori de cte ori dorim practic n aceleasi conditii;2) pentru orice eveniment A asociat lui E frecventa lui relativa n n

probe

fn(A) =numarul de probe {n care s a produs A

numarul total de probe=

n(A)

n

oscileaza n jurul unui numar notat cuP(A);P(A) 2 [0; 1], fn(A) devenind,odata cu cresterea lui n, tot mai aproape si mai aproape deP(A)";

3) pentru doua serii diferite, respectiv de n si m probe, atunci cnd n sim sunt foarte mari, avem ca fn(A) fm(A) .n concluzie, stabilitatea statistica a frecventelor relative confera verosimil-

itate ipotezei, conform careia pentru orice eveniment A; posibil ca rezultat ob-servabil al unui experiment aleator E, putem deni numarulP(A) cu ajutorul


7/114

7

caruia masuram gradul (sansele) de realizare a lui A ntr-un numar foarte

mare de probe. Astfel, n Teoria probabilitatilor devine postulat armatia,conform careia pentru orice eveniment A asociat unui experiment aleator Eexista (obiectiv) un numar P(A) numit probabilitate a lui A. Proprietateareasca a acestui numar rezida n faptul ca odata cu cresterea numarului nde probe (experimente) independente frecventa relativa fn(A) se apropietot mai mult de P(A): Numarul P(A) se numeste probabilitate statistica (saufrecventiala) a evenimentului A.

Exemplul 1 Consideram n calitate de experiment Earuncarea monedei osingura data. FieA evenimentul ce consta n aparitia stemei. Observam, deexemplu, ca.

f1000 (A) 12

= P(A), f2000(A) 12

= P(A).

Prin urmare, putem arma ca probabilitatea (statistica) a aparitiei stemeila aruncarea monedei o singura data este egala cu 1=2; ceea ce inseamna, caaruncnd moneda de un numar sucient de mare de ori, stema va apare naproximativ 50% de cazuri .

Putem aduce si alte exemple de fenomene aleatoare: rezultatele aruncariiunui zar, greutatea unui bob ge gru ales la ntmplare, numarul de bacterii

ntr-o picatura de apa, durata vietii unui calculator produs de ntreprindereadata, numarul de apeluri telefonice nregistrate la o statie telefonica pe du-rata unei zile, etc., etc. Enumerarea lor poate continua la nesfrsit, nsa eletoate vor avea acelasi caracter, ind nsotite de astfel de notiuni imprecise(deocamdata) ca aruncare onesta, moneda perfecta, independenta,etc.

Observatia 1 Probabilitatea statistica nu poate aplicata ntotdeauna, deoarecenu orice experiment poate repetat n conditii identice ori de cte ori dorim.Experimentele aleatoare care poseda proprietatea regularitatii statistice tin defenomenele de masa. Pentru studiul experimentelor care nu poseda aceasta

proprietate, putem folosi notiunea de probabilitate subiectiva.

Denitia 2 Prin probabilitate subiectiva a evenimentului A vom ntelegeacea regulaP conform careia ecarui evenimentA o persoana data i asociazaun numarP(A) 2 [0; 1], numit probabilitatea evenimentului A.


8/114

8 CAPITOLUL 1. INTRODUCERE

Astfel, putem vorbi despre probabilitatea subiectiva, evaluata, sa zicem,

de un expert, ca pna n 2010 se va produce prima expeditie a omului peMarte.Pentru studiul fenomenelor aleatoare indeterministe, n afara de probabil-

itate subiectiva si probabilitate frecventiala, exista si notiunile de probabili-tate clasica, probabilitate geometrica, probabilitate discreta si probabilitatedenita n sens axiomatic. Toate aceste notiuni au ca scop denirea uneimodalitati de masurare a sanselor (gradelor) de realizare a evenimenteloraleatoare date. Denitia axiomatica a probabilitatii este, ntr-un anumitsens, acoperitoare pentru toate celelate.


9/114

Capitolul 2

Elemente de statisticadescriptiva

Statistica descriptiva (analiza exploratorie a datelor sau analiza primara adatelor) are drept scop prelucrarea si prezentarea datelor statistice ntr-oforma ct mai compacta si propice analizei si interpretarii acestor date.Prezentarea vizeaza, de regula, o prezentare a datelor numerice pentru aputea folosi din plin posibilitatile calculatoarelor moderne. Datele statis-tice reprezinta rezultatele masuratorilor sau observatiilor facute asupra unuifenomen aleator.

2.1 Populatie statistica. Unitati statistice

Esantion de volum n

Notiunile de baza cu care ncepe statistica descriptiva sunt cele din titlu.

Denitia 3 Prinpopulatie (colectivitate) statistica vom ntelege orice multime nevida de obiecte, elemente, indivizi, supusa cercetarii. Elementele! 2 se numesc unita ti ale populatiei statistice .

Denumirea de populatie statistica este conventionala si provine din faptulca initial statistica avea de-a face cu studiul populatiilor de persoane.Unitatileunei populatii interesante din punct de vedere statistic sunt considerate omo-gene n raport cu acea proprietate sau caracteristica care prezinta interesdin punct de vedere al cercetarii. O cercetare exhaustiva a unei populatii

9


10/114

10 CAPITOLUL 2. ELEMENTE DE STATISTICA DESCRIPTIVA

statistice n raport cu una sau mai multe caracteristici date se numeste re-

censamnt. Realizarea practica a unui recensamnt este, de regula, extremde costisitoare, de aceea cercetarea se limiteaza doar la o parte a acesteipopulatii.

Denitia 4 Orice submultime nita A a unei populatii statistice se nu-meste esantion. n cazul cnd card(A) = n spunem ca esantionul este devolum n.

Pentru ca un studiu statistic sa e corect, procedeul de selectare a unuiesantion reprezentativ de indivizi din populatia supusa studiului trebuie saasigure o esantionare perfect aleatoare. Printre metodele de selectie a unuiesantion enumeram:

metoda selectiei aleatoare ce consta n etichetarea tuturor indivizilordintr-o populatie si apoi selectarea lor n esantion prin generarea denumere aleatoare;

selectia sistematica din k n k, adica includerea unitatilor din popu-latie n esantion se face pe baza unei progresii aritmetice cu pasul k,alegnd un numar de la care se realizeaza construirea progresiei;

selectia straticata, adica selectia este realizata astfel nct n esantionsa e reprezentate toate straturile populatiei statistice (pentru aceastametoda trebuie cunoscuta n prealabil proportia straturilor din popu-

latie); selectia pe grupe (strazi, careuri de teren, circumsciptii, etc); selectia ierarhica, de exemplu: se aleg aleator judete, apoi comune, apoi

strazi, apoi persoane

Exemplul 5 La alegerile prezidentiale populatia statistica este formata dinmultimea tuturor persoanelor prezente la vot iar esantion este orice sub-multime de persoane votante (de exemplu 1500 de alegatori) alese conformunei metode adecvate de selectie.

Scopul si sensul unei investigari statistice rezida n cercetarea esantionului

si extrapolarea concluziilor deduse asupra ntregii populatii. Sursele de eroricele mai importante ntr-un studiu statistic la nivelul statisticii descriptivepot aparea din cauza lipsei unor date semnicative, nregistrarii gresite aunor date sau din cauza ca esantionul nu are la baza metode aleatoare deconstruire.


11/114

2.2. CARACTERISTICI STATISTICE 11

2.2 Caracteristici statistice

De regula, din punctul de vedere al unei cercetari, nu unitatile populatieistatistice sunt cele care prezinta interes, ci proprietatile sau caracteristicileacestora.

Denitia 6 Prin caracteristica statistica,variabila statistica sau variabilaaleatoare asociata unei populatii vom intelege orice nsusire, trasatura sauproprietate caracteristica tuturor unitatilor populatiei date. Caracteristicilevor notate cu litere latine mari X; Z; Y;:::.

Exemplul 7 Consideram n calitate de populatie statistica multimea

= f! j ! student la Universitatea Ovidiusg.Exemplul 8 Consideram n calitate de populatie statistica multimea =f! j ! student la Universitatea Ovidius g. Fie caracteristica X, calitateastudentului de a sau nu fumator, Y - calitatea studentului de a sau nuintegralist, G - greutatea studentului, IQ - coecientul lui de inteligenta. Ob-servam ca ecarei caracteristici statistice i corespunde o multime de valoriposibile. Astfel, X 2 X = fF; NFg, unde F nseamna ca studentul estefumator, NF ca este nefumator; Y 2 Y = fI;N IP;N IN g, unde NINnseamna ca studentul este neintegralist - nepromovat, NIP - neintegral-ist - promovat, iar I - integralist; G

2 G=

fg

jg > 0

g, unde prin g am

notat greutatea studentului; IQ 2 IQ = fi j i = 0; 1; 2; :::; kg, i ind punc-tajul care caracterizeaza gradul de inteligenta cu valoarea maxima posibilak. Putem imagina caracteristica (G; IQ); unde G si IQ sunt cele deniteanterior. Pentru caracteristica (G; IQ) avem ca (G;IQ) 2 G IQ =f g j g > 0g fi j i = 0; 1; 2; :::;kg.

Exemplele invocate arata ca o caracteristica statistica este de fapt ofunctie denita pe multimea cu valori n multimea de valori posibile. Ast-fel,

X :

7! X, Y :

7! Y, G :

7! G, IQ :

7! IQ, (G;IQ) :

7! G I Q.

Aceleasi exemple de mai sus arata ca variabilele statistice pot de douafeluri:

1. variabile statistice unidimensionale (univariate), cum ar X;Y;G;IQ


12/114


2. variabile statistice multidimensionale(multivariate), cum ar variabila

bidimensionala IQ.

Din punct de vedere al formei de prezentare a valorilor posibile, variabilelestatistice sunt de doua tipuri:

1. categoriale (sau calitative) daca valorile posibile se exprima cu ajutorulunor nume sau simboluri care nu admit o interpretare numerica nsensul ca asupra lor nu sunt aplicabile operatiile aritmetice (de exempluvariabilele X; Y descrise anterior sunt de tip categorial);

2. numerice (sau cantitative) daca valorile posibile pot interpretate nu-meric (de exemplu variabilele G;IQ de mai sus sunt de tip numeric).

Variabilele statistice categoriale sunt de trei tipuri:

1. Nominal - sunt acele variabile pentru care multimea de valori posibileeste nita; valorile sunt exprimate prin intermediul unui nume, simbol,cod, etc. Pentru valorile posibile ale unei variabile de tip nominal nupoate stabilita o ordine; de exemplu, variabila X din exemplul demai sus, sau variabila ce caracterizeaza apartenenta religioasa (ateu,crestin ortodox, catolic, musulman, etc.)

2. Ordinal - multimea de valori posibile este de asemena nita; nsa poate denita o relatie de ordine pe multimea valorilor posibile, chiar dacascala lor de masurare nu este bine denita; de exemplu, variabila Y dinexemplul de mai sus este ordinala, deoarece performantele unui studentpot ordonate descrescator precum urmeaza: integralist, neintegralist-promovat, neintegralist-nepromovat);

3. Interval - este variabila a carei multime de valori posibile este nita,categoriile din aceasta multime, n afara de faptul ca au o ordine intrin-

seca, sunt exprimate, gradate numeric (de exemplu nota unui studentla disciplina Probabilitati, Statistica este o variabila statistica de tipinterval, multimea de valori posibile ind f1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10g)

Variabilele statistice numerice sunt, de asemenea, de trei tipuri:


13/114

2.3. DISTRIBUTII (REPARTITII) 13

1. Discret - este variabila care ia valori ntr-o multime nita sau innita,

valorile ind, de regula, numere ntregi care exprima frecventa cu carese produce un fenomen (eveniment) dat (drept exemplu putem luanumarul de apeluri telefonice nregistrate pe parcursul a 24 de ore la ostatie de urgenta medicala);

2. Non-ratio (non-raport) continua - este variabila care ia valori dintr-o scala efectiv continua , dar relativ slab denita. Deseori, pentruvariabile de acest tip, 0 nu nseamna lipsa caracteristicii, iar scala nueste liniara. Spre exemplu, diferenta dintre valorile 5 si 10 poate sanu aiba aceeasi semnicatie ca si diferenta dintre 80 si 85. Poate, deasemenea, sa nu nsemne ca 40 corespunde cu 20 luat de 2 ori sau cu

jumatate din 80. Drept exemplu tipic de variabila de acest tip putemlua temperatura aerului. In acest caz 0 nu inseamna lipsa temperaturii,iar n ziua n care au fost inregistrate 40oC nu inseamna ca a fost dedoua ori mai cald dect n ziua care au fost inregistrate 20 oC;

3. Ratio (raport) continua: este variabila care ia valori dintr-o scala efec-tiv continua si bine denita iar asupra valorilor posibile au sens toateoperatiile aritmetice (de exemplu greutatea, inaltimea unui student.

2.3 Distributii (repartitii)Fie o populatie statistica, de exemplu multimea tuturor studentilor de laUniversitatea Ovidius, si X o caracteristica statistica, X : 7! X. DacaX este, sa zicem, calitatea de a sau nu fumator, atunci X 2 fF;NFg =f0; 1g ;unde F $ 0; NF $ 1. Nu este exclus sa existe !i; !j 2 , !i 6=!j; i ; j = 1; N , astfel nct X(!i) X(!j ), N ind volumul populatiei.

Frecventa relativa asociata valorii NF, adica ponderea nefumatorilor nntreaga populatie

fN(N F) =X(!1) + X(!2) + : : : + X(!N)

N,

iar frecventa relativa asociata valorii F

fN(F) =(1 X(!1)) + (1 X(!2)) + : : : + (1 X(!N))

N.


14/114


Astfel, tabelul

X : 0 1fN(F) fN(NF) reprezinta distributia sau repartitia valorilor caracteristicii X n populatiastatistica .

Denitia 9 Vom numi distributie (repartitie) a unei caracteristici statis-tice n populatia data modelul, tabloul sau regula conform careia putem aafrecventa relativa cu care ecare valoare posibila (sau grupa de valori posibile)a acestei caracteristici apare n populatia data.

Cunoasterea distributiei variabilei statistice in populatia data, e si cu oanumita "exactitate", este esentiala pentru orice cercetare statistica.

2.4 Analiza exploratorie a datelor

Analiza exploratorie sau prelucrarea primara a datelor statistice este etapa adoua de cercetare statistica, prima ind etapa colectarii acestor date. Acestcurs nu se ocupa cu prima etapa. Etapa a doua are drept scop reprezentareadatelor colectate (care sunt, de regula, date numerice) ntr-o forma ct maicompacta, comoda pentru etapa urmatoare a cercetarii statistice: analiza siinterpretarea acestor date. Formularea de intepretari pentru datele statisticetine de statistica inferentiala care la rndul ei tine de statistica matematica.

2.4.1 Reprezentarea tabelara a datelor

n cele ce urmeaza esantionul (x1; x2; : : : ; xn) de volum n din populatia sta-tistica a caracteristicii X va notat cu (x1; x2; : : : ; xn) s X; iar multimeade valori posibile pentru X va notata cu X. n functie de tipul variabileistatistice X, reprezentarile tabelare sunt diferite.

a) Daca variabila este categoriala atunci valorile (categoriile) ei posibilepot grupate: X = G1 [ G2 [ : : : [ Gk, unde Gi \ Gj = ;, 8 i 6= j,n1 + n2 + : : : + nk = n; ni = card fx 2 X j x 2 Gi g, i,j =

____

1; k . n acestcaz datele pot reprezentate sub forma de tabel de distributie a frecventelorabsolute

Gi G1 G2 : : : Gkni n1 n2 : : : nk


15/114

2.4. ANALIZA EXPLORATORIE A DATELOR 15

sau sub forma de tabel de distributie a frecventelor relative

Gi G1 G2 : : : Gkni=n n1=n n2=n : : : nk=n

b) Daca variabila este de tip numeric, atunci reprezentarea tabelara adatelor este precedata de o prelucrare a datelor n ctiva pasi:

Pasul 1: Se construieste sirul variational corespunzator esantionului.

Denitia 10 Se numeste sir variational corespunzator esantionului(x1, x2,. . . , xn) multimea ordonata de valori (x(1), x(2), . . . , x(n)) care are urma-toarele proprietati:

1. fx(1); x(2); : : : ; x(n)g fx1; x2; : : : ; xng;2. x(1) x(2) : : : x(n).

Exemplul 11 Consideram n calitate de variabila statistica X greutateaunui student din anul II, iar(80,83,70,70,86) un esantion de5 din populatiastatistica a lui X. Atunci sirul variational corespunzator acestui esantioneste (70,70,80,83,86).

Pasul 2: se construieste sirul variational de valori distincte.

Denitia 12 Se numeste sir variational de valori distincte multimea ordo-

nata de valori (x0(1),x0(2),: : :,x0(k)), k n, n care valorile distincte ale siruluivariational (x(1); x(2); : : : ; x(n)) apar o singura data.Exemplul 13 Pentru exemplu anterior, sirul variational de valori distincteeste (70,80,83,86).

Trecerea de la sirul variational la sirul variational de valori distincte poateavea ca efect pierderea de informatie care este recuperata la.

Pasul 3: Construirea tabloului frecventelor absolute:

Denitia 14 Tabelul

x0(1) x0(2) : : : x0(k)n1 n2 : : : nk

, ni 0; kXi=1

ni = n;

se numestedistributie a frecventelor absolute sauserie statistica a frecventelorabsolute, undeni este frecventa absoluta a valorii x0(i) n esantionul dat.


16/114


Pasul 4: Construirea tabloului frecventelor relative.

Denitia 15 TabelulbX : x0(1) x0(2) : : : x0(k)n1n

n2n

: : : nkn

, ni 0;

kXi=1

ni = n, (1)

se numestedistributie a frecventelor relative sauserie statistica a frecventelorrelative. Evident, n1

n+ n2

n+ + nk

n= 1.

Observatia 2 Trecerea de la seria statistica a frecventelor absolute la seriastatistica a frecventelor relative este justicata si de faptul ca majoritateapopulatiilor statistice interesante din punct de vedere practic sunt multimiinnite. Atunci ponderea sau frecventa relativa cu care valoarea data se

ntlneste n populatie este mai reasca din punct de vedere al cercetarii,deoarece pentru populatii innite nu are sens sa vorbim despre frecventaabsoluta cu care valoarea data se ntlneste n populatie. Mai mult dectatt, atunci cnd avem de a face cu un fenomen care poseda proprietatearegularitatii statistice, numarul de observatii n ind foarte mare, frecventarelativa a evenimentului

nX = x0(i)

otinde catre probabilitatea ca variabilaX

ia valoarea x0(i), adica

fn(X = x0(i)) P(X = x0(i)), i = 1; k:

Prin urmare, putem, n consens cu scopul statisticii, sa extrapolam distributia

(1) asupra ntregii populatii, considernd ca bX ca functie de unitatile esan-tionului de volum n se comporta, din punct de vedere probabilistic, ca sivariabila statisticaX:

Pasul 5: Descrierea frecventei cumulate ca functie de x 2 R.n prelucrarea primara a datelor statistice, scopul principal ind prezentarea

acestora ntr-o forma ct mai compacta, sunt utilizate si frecventele cumu-late.

Denitia 16 Se numestefrecventa absoluta cumulata crescator (descrescator)corespunzatoare valorii x 2 R, suma frecventelor absolute ale tuturor valo-rilor distincte din esantion care sunt mai mici sau egale cu x (respectiv maimari sau egale cux), adica

Xi:x0

(i)x

ni

0@ Xi:x0

(i)x

ni

1A


17/114

2.4. ANALIZA EXPLORATORIE A DATELOR 17

Frecventa relativa cumulata crescator (descresator) corespunzatoare valorii

x 2R

se numeste suma frecventelor relative ale tuturor valorilor distinctedin esantion care sunt mai mici sau egale cux (respectiv mai mari sau egalecux), adica X

i:x0(i)

xni=n

0@ Xi:x0

(i)x

ni=n

1AFrecventa relativa cumulata crescator (descrescator) a unei valori x este

denita exact n aceeasi maniera, ca ind suma frecventelor relative ale tu-turor valorilor variabilei mai mici sau egale cu x (mai mari sau egale cu x)adica X

yxny X

yxny!

Se observa ca frecventa relativa cumulata este raportul dintre frecventaabsoluta cumulata si volumul populatiei. Dealtfel, notiunea de frecventa rel-ativa cumulata crescator coincide cu notiunea de functia empirica de repar-titie care va , data ind importanta ei, introdusa si studiata ntr-un paragrafaparte.

Pentru variabilele numerice, indeosebi de tip continue, atunci cnd volu-mul esantionului este foarte mare, este indicata gruparea datelor n clase (in-tervale) disjuncte de valori si construirea tabelelor de distributie a frecventelor

pe baza acestor clase:

Clasa Frecventa absoluta Frecventa relativa

[x1; x2) n1 n1=n[x2; x3) n2 n2=n

[xl1; xl) nl nl=nP

n 1

Valoarea centrala (sau mijlocul) clasei [xi1; xi) este

ci =

xi

1 + xi2 , i = 1; l

c) Reprezentarea tabelara a variabilelor bidimensionaleFie (X,Y) : ! X Y;unde X = fx1,x2,: : :g, iar Y = fy1,y2,: : :g.

Valorile variabilei bidimensionale (X,Y) sunt X Y=f(x1,y1),(x1,y2),: : :g.


18/114


Fie un esantion de valori ((xi1,yi1),(xi2 ,yi2),: : :,(xin,yin)) s (X,Y). Notam nst

frecventa absoluta a perechii (x0(s),y

0

(t)) din esantion, unde (x0(1),x0(2),...,x0(l)),(y0(1),y0(2),...,y

0(m)) sunt sirurile variationale de valori distincte corespunzatoare

lui X si Y, l, m n; s = 1; l, t = 1; m.

XnY y0(1) y0(2) ::: y0(m)mX

t=1

nst = ns

x0(1) n11 n12 ::: n1m n1x0(2) n21 n22 ::: n2m n2...

...... :::

......

x0(l) nl1 nl2 ::: nlm nllX

s=1

nst = nt n1 n2 ::: nmlX

s=1

mXt=1

nst =mX

t=1

nt =

lXs=1

ns = n

,

Acesta se mai numeste tabel de contingenta a frecventelor absolute cecorespunde esantionului de volum n din populatia statistica a variabilei (X,Y).Din acest tip de tabel se obtin cu usurinta tabelele de distributie ale ecareicaracteristici n parte, numite si distributii marginale:

x0(1) x0(2) : : : x

0(l)

n1 n2 : : : nl

; ni 0;

l

Xi=1ni = n;

y0(1) y

0(2) : : : y

0(m)

n1 n2 : : : nm

; ni 0;

nXi=1

ni = n.

2.4.2 Reprezentarea graca a datelor statistice

Fie (x1; x2; : : : ; xn) s X un esantion de volum n.

1. Reprezentarea graca sub forma de bastoane

Acestui tip de reprezentare se preteaza datele legate de variabilele sta-tistice categoriale sau discrete. Astfel, pentru ecare valoare (sau grupade valori) distincta marcata pe axa Ox a sistemului cartezian de co-ordonate xOy se ridica cte un segment vertical de lungime egala cufrecventa corespunzatoare valorii respective.


19/114

2.5. FUNCTIA EMPIRICA DE REPARTITIE 19

2. Reprezentarea graca sub forma de histograma

Acest tip de reprezentare se aplica, de regula, n cazul variabilelor con-tinue atunci cnd volumul esantionului este mare. Pentru realizareaacestui tip de grac, datele trebuie grupate pe clase de intervale dis-juncte de valori, iar tabelul de distributie, sa zicem, a frecventelor rel-ative sa e alcatuit pentru aceste intervale:

[a1; a2) [a2; a3) : : : [ak; ak+1)n1n

n2n

: : : nkn

unde (x1; x2; : : : ; xn) [a1; a2) [ [a2; a3) [ ::: [ [ak; ak+1). Dupa aceastan sistemul cartezian de coordonate xOy marcam pe axa Ox ecare

interval [ai; ai+1); construind pe el un dreptunghi cu naltimea ni=n,i = 1; k .

3. Poligonul frecventelor se obtine prin unirea centrelor laturilor supe-rioare ale dreptunghiurilor din histograma

4. Diagrame circulare (diagrame PIE)

Fiecarei categorii (clasa interval) din tabelul de distributie a frecventelori se asociaza un sector de cerc al carui unghi (arie) este proportional cufrecventa categoriei (clasei) respective. Pentru aceasta, pentru ecarecategorie i se calculeaza unghiul la centru corespunzator dupa formula:

i = 360 ni

n.

2.5 Functia empirica de repartitie

Fie (x1,x2, :::, xn) X un esantion de volum n.

Denitia 17 Vom numi functie empirica de repartitie (f.e.r.) functia^

Fn :R

7!R, unde

^Fn(x1; x2; : : : ; xn; x) =

numarul de valori observate xi : xi xnumarul total de valori

=card fxi 2 fx1; x2; : : : ; xng j xi xg

n


20/114


Exemplul 18 Fie esantionul (80,70,76,70,83) G, unde G este greutatea

unui student luat la ntmplare. Atunci functia empirica de repartitie este :

Fn(80; 70; 76; 70; 83; x) =

8>>>>>>>:0 ; x < 7025

; 70 x < 7635 ; 76 x < 8045

; 80 x < 831 ; x 83

Din gura se vede ca functia empirica de repartitie este o functie de tipscarat si are doar puncte de discontinuitate de speta I. n plus, observam ca,avnd gracul functiei empirice de repartitie, putem restabili:

1. sirul variational de valori distincte care coincide cu multimea de punctede discontinuitate (de salt);

2. frecventele relative cu care aceste valori apar in esantion care coincid,respectiv, cu marimile salturilor f.e.r. n punctele de discontinuitate.

Cu alte cuvinte, avnd o functia empirica de repartitie putem restabiliunivoc seria statistica a frecventelor relative (repartitia de selectie), undefrecventa relativa ni=n a valorii x

0

(i)coincide cu

^Fn(x1; x2; ::: ; xn; x

0

(i))

^Fn(x1 ; x2; ::: ; xn; x

0

(i)

0); i =

___

1; k

Urmatoarea propozitie,care poate demonstrata cu usurinta, arata caeste valabila si reciproca.

Propozitia 19 Pentru functia empirica de repartitie^

Fn au loc urmatoareleegalitati

^Fn(x1 ; x2; ::: ; xn; x)

1

n

nXi=1

I(1;x]

(xi) ^

Fn(x(1); x(2); ::: ; x(n) ; x)

1n

nXi=1

I(1;x]

x(i) Fn(x0(1); x0(2); ::: ; x0(k) ; x) 1

n

kXi=1

niI(1;x]

x0

(i)

kXi=1

nin

I(1;x]

x0

(i)

;


21/114

2.6. PARAMETRI DE POZITIE 21

undeI(1;x]

(xi) = 1; xi x

0; xi > x; este indicatorul evenimentului fxi 2 (1; x]g.

2.6 Parametri de pozitie

Sunt parametri care redau tendinta centrala a valorilor din esantion, servindn calitate de parametri de referinta pentru aceste valori. Acestia sunt defapt, niste statistici sau estimatori care, prin denitie, sunt functii realedenite pe mutimea de valori posibile a esantionului (x1, x2, :::, xn) X. Cualte cuvinte, daca X

2 X, atunci (x1, x2, :::, xn)

2 X X :::

X=

Xn

si prin urmare estimatorul (statistica) este o functie f : Xn 7! R. Valoareaconcreta f(x1, x2, :::, xn) a unui estimator f se numeste estimatie. Origineadenumirilor de estimator si estimatie o putem aa lund drept exemplu celmai cunoscut parametru de pozitie, media de selectie.

Denitia 20 Vom numi medie de selectie numarul x = 1n

nPi=1

xi. Pentru

datele grupate n intervale, media se deneste folosind centrele intervalelorastfel:

x =1

n

k

Xi=1cini,

undeci este mijlocul intervalului de indice i, i = 1; k.

Fie caracteristica X : ! X, unde este o populatie nita, =f!1,!2, : : : ,!Ng. Valorile caracteristicii X n functie de unitatile populatiei sunt X(!1),X(!2),: : :,X(!N).

Media lor aritmetica X =1

N

nPi=1

X(!i) este media populatiei statistice n

raport cu variabila statistica X: n contextul unei cercetari statistice esteresc sa estimam valoarea lui X, eventual necunoscuta, prin intermediulestimatorului x:

Propozitia 21 Fie (x1; x2; : : : ; xn) X un esantion de volum n. Atuncimedia de selectie x poseda urmatoarele proprietati:

1. x = c daca x1 = x2 = : : : = xn = c.


22/114


2. Media de selectiex0 a esantionului transformat(x1+,x2+, :::, xn+

) se calculeaza dupa formula x0 = x + pentru orice ,2R

;3. x(1) x x(n), unde x(1) = min

i=_ __1;n

xi ,iar x(n) = maxi=

_ __1;n

xi;

4. Daca dispunem de doua esantioane: primul (x1, x2, : : :, xn) X devolum n cu media x0, al doilea (xn+1, xn+2, : : :, xn+m) X de volumm cu media x00, atunci media esantionului obtinut prin concatenareacelor doua esantioane(x1, x2, : : :,xn, xn+1, xn+2, : : :, xn+m), este datade formula

x =nx0 + mx00

n + m.

5. x 1n

nPi=1

x(i)

1n

kPni

i=1

x0

(i)

kPnin

i=1

x0

(i)

Exercitiul 2.6.1 Demonstrati proprietatile mediei de selectie enuntate npropozitia anterioara.

Denitia 22 Mediana este acea valoare numerica care mparte sirul vari-ational n doua parti egale, n sensul ca de ambele parti a acestei valori vanimeri acelasi numar de valori ale sirului variational. Modalitatea de calcul

a medianei depinde de paritatea numarului de observatii din esantion:

xm =

(x(k+1)

; daca n = 2k + 1x(k)

+x(k+1)

2; daca n = 2k + 1

Mediana are proprietatea de stabilitate: schimbarea valorii unei obser-vatii, dar nu si a rangului ei, nu afecteaza mediana. Calculul sau se face nfunctie de modul de grupare al datelor:

daca datele sunt date n forma de esantion (x1; x2; ; xn) calcululmedianei se face folosind denitia;

daca datele sunt n forma unui tabel de distributie a frecventelor, pasiide parcurs sunt urmatorii:

se calculeaza frecventele absolute cumulate crescator;


23/114

2.6. PARAMETRI DE POZITIE 23

se calculeaza n+12 ;

se determina mediana , ca ind valoarea minima a sirului vari-ational de valori distincte pentru care frecventa absoluta cumulatacrescator este n+12 .

daca datele sunt grupate n intervale, aarea medianei se face astfel: se traseaza grac poligonul frecventelor absolute cumulate cresca-

tor;

pentru valoarea n+12

de pe axa Oy se aa acea valoare x; carecorespunde punctului poligonului nostru ce are ordonata egala cun+1

2.

Denitia 23 Moda (modul) este acea valoare xM din esantion care arefrecventa (absoluta sau relativa) cea mai mare n esantion. Exista doua vari-ante:

1. moda exista si este unica, atunci spunem ca suntem n cazul unimodal;

2. moda exista si nu este unica, atunci spunem ca suntem n cazul multi-modal.

Observatia 3 Mediana si modul, spre deosebire de media de selectie, nuau proprietati de linearitate. Modalitatea de calcul pentru mod n cazul n

care dispunem de tabelul de distributie a frecventelor pe intervale de valorieste urmatoarea: mai nti se identica clasa modala, adica intervalul [a; c)caruia i corespunde frecventa (relativa sau absoluta) cea mai mare. Apoifolosind notatiile din gura, formula de calcul este:

xm = a +d1

d1 + d2 c

Exemplul 24 Fie esantionul(80, 70, 76, 70, 83) G , undeG este greutateaunui student luat la ntmplare, atunci media de selectie, mediana si modasunt egale, respectiv cu x = 75: 8, xm = 76, xM = 70.

Observatia 4 Exemplul anterior arata, daca e sa confruntam cu f.e.r. Fn(80, 70, 76, 70, 83; x)a esantionului dat (vezi exemplul din paragraful anterior), ca mediana are

proprietatea ca^

Fn(80, 70, 76, 70, 83; xm) 1=2 si1^

Fn(80, 70, 76, 70, 83; xm0) 1=2, fapt ce conrma armatia urmatoare.


24/114


Propozitia 25 Daca xm este mediana esantionului (x1,x2, :::, xn) X,

atunci ^Fn(x1; x2; ::: ; xn; xm) 1=2 si

1 ^

Fn(x1; x2; ::: ; xn; xm 0) 1=2;

unde prinf(x 0) se subntelege limita la stanga a functiei f n punctulx.

Demonstratie. Fie xm mediana esantionului (x1, x2, ..., xn) X .Consideram sirul variational (x

(1), x

(2), ..., x

(n)) corespunzator esantionului

(x1,

x2, ...,

xn):Cum

neste par sau impar, analiz

am dou

a cazuri. Dac

a

n = 2r + 1, atunci xm = x(r+1). Prin urmare, dat ind faptul ca x(r+1) poate o valoare care se repeta de mai multe ori n sirul variational (x

(1), x

(2), ...,

x(n)

),^

Fn(x1; x2; ::: ; xn; xm) = Fn(x1; x2;:::;xn; x(r+1))

(r + 1) = (2r + 1) > 1=2:Din aceleasi motive,

^Fn(x1; x2 ; ::: ; xn; xm 0) = Fn(x1 ; x2;:::;xn; x(r+1) 0)

< r= (2r + 1) :Dar

1 ^

Fn(x1; x2; ::: ; xn; xm 0) = 1 ^

Fn(x1; x2; ::: ; xn; x(r+1) 0) 1 r= (2r + 1) = (r + 1) = (2r + 1) > 1=2:

Daca n = 2r, atunci xm =

x(r)

+ x(r+1)

=2. n caz ca x

(r)6= x

(r+1)e clar

ca^

Fn(x1 ; x2; ::: ; xn; xm) =^

Fn(x1 ; x2; ::: ; xn; xm 0) = r=(2r) = 1=2:

Presupunnd ca x(r)

= x(r+1)

; deducem ca xm = x(r) = x(r+1):Prin urmare au loc inegalitatile:

^Fn(x1; x2; ::: ; xn; xm) = Fn(x1; x2;:::;xn; x(r+1))


25/114


26/114


Urmatorii trei parametri de mprastiere au la baza abaterile individuale

ale valorilor esantionului fata de medie, mediana sau mod, respectiv xi x,xi xm, xi xM.Abaterea medie liniara absoluta fata de mediese deneste ca ind valoarea

Ax =1n

nPi=1

jxi xj.

Abaterea medie liniara absoluta fata de mediana se deneste ca ind val-oarea

Axm =1n

n

Pi=1jxi xmj.

Abaterea medie liniara absoluta fata de mod se deneste ca ind valoarea

AxM =1n

nPi=1

jxi xMj.

Observatia 5 Observam ca pentru abaterile individuale xi x a valorilorxi fata de media x, i = 1; n, ntotdeauna

nPi=1

(xi x) = 0 (Demonstrati!).Faptul aceasta, ca si faptul ca o masura a gradului de mprastiere trebuiesa aiba valori nenegative, explica de ce n denitiile abaterilor medii liniare

operam cu valorile absolute ale abaterilor individuale. n plus, urmatoareapropozitie arata ca printre abaterile medii liniare absolute este preferabilaabaterea medie liniara absoluta fata de mediana

Propozitia 28 Minimul functiei f(c) = 1n

nPi=1

jxi cj se obtine pentru c =xm, adica

minc2R

1

n

nXi=1

jxi cj = 1n

nXi=1

jxi xmj :

Exercitiul 2.7.1 Demonstrati propozitia anterioara.

Dispersia de selectie care, prin denitie, coincide cu valoarea

S2 =1

n

nXi=1

(xi x)2 ;


27/114

2.7. PARAMETRI DE MPRASTIERE 27

este cel mai des utilizat parametru de mprastiere. Se mai numeste si abatere

medie patratica sau varianta, iar valoarea

S =

vuut1n

nXi=1

(xi x)2

se numeste abatere standard.

Exemplul 29 Consideram doua esantioane (2; 4; 6) X si (1; 4; 7) X.Atunci mprastierea valorilor n primul esantion este caracterizata de urma-toarele valori A

0

= 4; A0

rel = 1, A0

x = 4=3, A0

xm= 4=3, S21 = 8=3; iar m-

prastierea valorilor n esantionul al doilea de valoprile A00

= 6, A00

rel = 6=4,

A00

x = 6=3, A"xm = 6=3, S22 = 18=3. Observam ca ambele esantioane suntmultimodale, prin urmare pentru ele abaterea medie liniara absoluta fata demoda nu este denita univoc.

Pentru toti parametrii de mprastiere deniti mai sus putem arma ca val-orile acestora sunt cu att mai mari cu ct mprastierea valorilor esantionuluieste mai mare si viceversa.

Propozitia 30 Dispersia de selectie poseda urmatoarele proprietati:

1. S2

0 si S2 = 0

,x1 = x2 = : : : = xn = c, c

2R.

2. Daca esantionul (x1; x2; : : : ; xn) X are dispersia de selectie S2, atunciesantionul (x1 + ,x2 + , : : : ,xn + ) X+ va avea dispersiaS21 =

2S2;

3. Daca dispunem de doua esantioane, primul (x1, x2, :::, xn) X devolum n; al doilea (xn+1, xn+2, :::, xn+m) X de volum m si notamcu x0, S21 , x

00, S22 media si dispersia corespunzatoare acestor esantioane,atunci dispersia de selectie a esantionului concatenat (x1, x2, ..., xn,xn+1, xn+2, ..., xn+m) poate calculata dupa formula

S2 =nS2

1

+ mS22n + m +

n(x0

x)2 + m(x00

x)2

n + m ;

unde x este media de selectie a esantionului concatenat.

Exercitiul 2.7.2 Demonstrati proprietatile dispersiei.


28/114


Observatia 6 Din proprietatea 3 a dispersiei rezulta ca dispersia de selectie

a esantionului concatenat este suma a doi termeni: primul exprima variatian interiorul esantioanelor si il vom nota cu21;

21 =nS21 + mS

22

n + m;

al doilea exprima variatia ntre grupe si l vom nota cu22;

22 =n(x0 x)2 + m(x00 x)2

n + m:

Atunci S2 = 21 + 22 si spunem, spre exemplu, ca variatia n interiorul gru-

pelor este mult mai mare dect variatia ntre grupe daca 21 >

22. Pondereaecarui termen n dispersia esantionului poate exprimata procentual, re-

spectiv, prin21

21 + 22

100%; 21

21 + 22

100%.

2.8 Probleme propuse

Pentru ecare din exemplele prezentate mai jos descrieti populatia statisticacorespunzatoare, esantionul si volumul lui, caracteristica statistica si tipulacesteia.

Exercitiul 2.8.1 Dispunem de urmatorul esantion, rezultat n urma cn-taririi a 12 mere:

86 88 100 86 87 100 105 100 86 86 87 86

1. Construiti sirul variational.

2. Construiti sirul variational de valori distincte, apoi alcatuiti tabelul dedistributie (seria) al frecventelor absolute, respectiv relative.

3. Construiti tabelul de distributie (seria) frecventelor absolute cumulatecrescator, respectiv frecventelor absolute cumulate descrescator.


29/114

2.8. PROBLEME PROPUSE 29

4. Realizati o diagrama cu bastonase care sa reprezinte aceste date. Trasati

poligonul frecventelor.5. Determinati mediana seriei statistice (valoarea din sirul variational care

lasa la stnga, respectiv la dreapta, un numar egal de valori).

6. Determinati modul seriei statistice (valoarea cu frecventa cea mai mare).

7. Determinati media seriei statistice.

8. Determinati dispersia seriei statistice.

9. Determinati functia empirica de repartitie si trasati gracul ei.

Exercitiul 2.8.2 97 de persoane au fost rugate sa noteze numarul de pro-grame TV pe care le urmaresc ntr-o saptamna. Rezultatele sunt centralizaten tabelul urmator:

Numar programe [0; 9] [10; 19] [20; 29] [30; 39] [40; 49] [50; 59]Numar persoane 3 16 36 21 12 9

1. Completati tabelul cu frecventele relative, frecventele relative cumulatecresc

ator si frecventele relative cumulate descresc

ator.

2. Trasati histograma frecventelor relative si mai apoi poligonul frecventelor.

3. Determinati clasa modala. Determinati modul.

4. Determinati media.

Exercitiul 2.8.3 S-au masurat dimensiunile a 30 de frunze si informatiileobtinute s-au grupat astfel:

Lungimea frunzei [10; 14] [15; 19] [20; 24] [25; 29]Numar frunze 3 8 12 7


30/114


1. Completati tabelul cu frecventele relative, frecventele absolute cumu-

late crescator si frecventele absolute cumulate descrescator.

2. Cte frunze au avut lungimea mai mica de 19 cm ? Dar mai mare de19 cm ?Dar mai mare de 14 cm ?

3. Sa se reprezinte histograma frecventelor absolute cumulate crescator.Determinati media si modul distributiei.

Exercitiul 2.8.4 Au fost intervievati 68 de fumatori n legatura cu numarulde tigari pe care le fumeaza n ecare zi. Raspunsurile lor sunt centralizaten tabelul urmator:

Numar tigari [0; 7] [8; 15] [16; 23] [24; 31] [32; 40]Numar persoane 4 18 28 14 4

1. Determinati clasa modala. Determinati modul.

2. Trasati histograma frecventelor absolute.

3. Cte persoane fumeaza sub 16 tigari pe zi ? Dar peste 32 ?

Exercitiul 2.8.5 Au fost cntarite 35 de obiecte si rezultatele obtinute (ex-primate n unitati de masura a greutatii) au fost grupate n tabelul urmator:

Greutate [6; 9) [9; 12) [12; 18) [18; 21) [21; 30)Numar obiecte 4 6 10 3 12

Trasati histograma frecventelor.

Exercitiul 2.8.6 Dobnda (n unitati monetare) platita la 460de persoanentr-un an este:

Dobnda [25; 30) [30; 40) [40; 60) [60; 80) [80; 110)Numar persoane 17 55 142 152 93

1. Trasati histograma frecventelor.


31/114


2. Determinati media dobnzii.

Exercitiul 2.8.7 38 de copii au rezolvat o problema si a fost notat timpul(n minute) de rezolvare pentru ecare dintre ei. Rezultatele au fost grupaten tabelul urmator.

Determinati clasa modala.

Exercitiul 2.8.8 Durata de stationare (n ore) ntr-o parcare a fost notatapentru 536 masini. Rezultatele au fost grupate n tabelul urmator:

Durata [6; 26) [26; 61) [61; 81) [81; 106) [106; 116) [116; 151) [151; 201)Nr.mas. 62 70 88 125 56 105 30

Determinati clasa modala si modul.

Exercitiul 2.8.9 n tabelul urmator sunt trecute vnzarile din anul 2001pentru 5 companii.

Companie A B C D E Vnzari 55 130 20 35 60

Realizati o diagrama pie care sa reprezinte aceste date.

Exercitiul 2.8.10 Tabelul urmator reprezinta vnzarile unei companii pecontinentele unde are reprezentante, n doi ani succesivi. Realizati o dia-grama pie care sa compare vnzarile companiei.

Anul Africa America Asia Europa Total2002 8; 4 12; 2 15; 6 23; 8 602003 5; 5 6; 7 13; 2 19; 6 45

Exercitiul 2.8.11 Aati media, mediana, modul, dispersia si deviatia stan-dard pentru urmatoarele serii statistice:

1. 7 7 2 3 4 2 7 9 31


32/114


2. 36 41 27 32 29 38 39 42

3. Concatenati cele doua esantioane si calculati media si dispersia nouluiesantion.

Exercitiul 2.8.12 Calculati mediana pornind de la urmatorul tabel de dis-tributie a frecventelor:

Numar copii 0 1 2 3 4 5 Numar familii 3 5 12 9 4 2


Nota 5 6 7 8 9 10 Numar copii (fabs) 6 11 15 18 6 5facc 6 17 32 50 56 61

Exercitiul 2.8.14 Aati mediana si modul seriei statistice:0,78 0,45 0,65 0,78 0,45 0,32 1,9 0,78


x 5 9 13 17 21

Exercitiul 2.8.16 Aati modul urmatoarelor serii statistice:

1. 4 5 5 1 2 9 5

2. 1 8 9 19 2

Exercitiul 2.8.17 Determinati modul pentru notele a 330 de elevi, sistem-atizate n tabelul urmator:

Nota [11; 20) [21; 30) [31; 40) [41; 50) [51; 60) [61; 70) [71; 80) [81; 90)Nr. 20 40 80 100 50 20 10 10


33/114


Exercitiul 2.8.18 Media de selectie a urmatorului esantion este 17. Ct

este c ?12 18 21 c 13

Exercitiul 2.8.19 Aati media si dispersia ecarui esantion de mai jos.Pentru esantionul obtinut prin concatenarea lor calculati media, dispersia,amplitudinea absoluta si cea relativa.

4 5 2 6 8 si 10 14 11 3

Exercitiul 2.8.20 Elevii unei scoli de muzica au fost ntrebati la cte in-

strumente cnta ecare. Aati ca cte instrumente cnta n medie un elev.

Numar instrumente 1 2 3 4 5 Numar elevi 11 10 5 3 1

Exercitiul 2.8.21 Media datelor din urmatorul tabel de distributie a frecventeloreste 3,66. Aati valoarea a.

x 1 2 3 4 5 6 fabs 3 9 a 11 8 7

Exercitiul 2.8.22 Aati media, dispersia si mediana ecarui esantion demai jos. Pentru esantionul obtinut prin concatenarea lor calculati media sidispersia.

2 5 4 8 6 si 6 11 9 8 x1 = 5, s12 = 4, xmediana 1 = 5, x2 = 8; 5, s

22 = 3; 25, xmediana 2 = 8; 5,

x = 6; 55, s2 = 3; 67

Exercitiul 2.8.23 Aati media, dispersia si mediana ecarui esantion demai jos. Pentru esantionul obtinut prin concatenarea lor calculati media sidispersia.

11 23 17 14 29 si 5 13 7 9 16 15

Exercitiul 2.8.24 Calculati valoarea a si deviatia standard a esantionuluiurmator stiind ca media esantionului este 8.

3 6 7 a 14


34/114


Exercitiul 2.8.25 Pentru un set de 10 numere (xi; i = 1; 10), se cunosc:

Pxi = 290 siPx2i = 8469. Aati media, dispersia si deviatia standard aacestor numere.Exercitiul 2.8.26 Fie urmatorul esantion: 3 6 7 9 10 .

1. Calculati media, dispersia si deviatia standard.

2. Calculati media, dispersia si deviatia standard daca adunam 3 la ecareelement al esantionului din enunt.

3. Calculati media, dispersia si deviatia standard daca nmultim cu 3ecare element al esantionului din enunt.

Exercitiul 2.8.27 Fie urmatorul esantion: 1 2 3 4 5 6 7 .

1. Calculati media, dispersia si deviatia standard.

2. Folosind valorile obtinute, calculati media, dispersia si deviatia stan-dard pentru urmatoarele esantioane:

(a) 101 102 103 104 105 106 107

(b) 100 200 300 400 500 600 700

(c) 2,01 3,02 4,03 5,04 6,05 7,06 8,07


35/114

Capitolul 3

Probabilitati discrete

3.1 Spatii de evenimente elementare

Modelarea matematica a experimentelor aleatoare presupune descrierea: a)multimii de rezultate posibile ntr-un experiment; b) evenimentelor aleatoareasociate acestui experiment si c) probabilitatea sau regula conform careiaecarui eveniment aleator i punem n corespondenta un numar ce caracter-izeaza sansele (gradul) lui de realizare. Pentru nceput vom realiza acestdeziderat in cazul discret, adica n cazul cnd multimea de rezultate posibilentr-un experiment aleator este nita sau innita cel mult numarabila.

Chiar daca intr-un experiment aleator nu putem anticipa cu certitudinecare rezultat anume se va produce, este resc sa presupunem ca multimeatuturor rezultatelor posibile poate descrisa cu exactitate.

Exemplul 31 Experimentul Econsta n aruncarea monedei o singura data.Multimea de rezultate posibile este data de = fS; Bg = f0; 1g = f!1; !2g,unde prin S; 0 sau !1 se subntelege "stema" iar prin B; 1 sau !2 se sub-ntelege "banul".

Exemplul 32 Experimentul Econsta n aruncarea monedei de trei ori suc-cesiv. Multimea de rezultate posibile este data de

=f

SSS;SSB;SBS;SBB;BSS;BSB;BBS;BBBg

:

Exemplul 33 Experimentul E consta n aruncarea zarului o singura data.Multimea de rezultate posibile este data de

= f1; 2; 3; 4; 5; 6g = fiji = 1; 6g = f!iji = 1; 6g:

35


36/114


37/114

3.2. EVENIMENTE ALEATOARE, CMP DE EVENIMENTE37

este = f1; 2; 3; 4; 5; 6g. Consideram urmatoarele evenimente aleatoare:

A = fnumarul de puncte va parg; B = fnumarul de puncte va imparg;C = fnumarul de puncte va mai mic sau egal cu 4g; D = fnumarul depuncte va mai mic dect 13g; E = fnumarul de puncte va mai mare dect13g; F = fnumarul de puncte va divizibil cu 3g. Observam ca putem sta-bili urmatoarea corespondenta biunivoca: A ! f2; 4; 6g; B ! f1; 3; 5g;C ! f1; 2; 3; 4g; D ! f1; 2; 3; 4; 5; 6g = ; E ! ;; F ! f3; 6g.

n concluzie, daca experimentului aleator i corespunde un spatiu discretde evenimente elementare , atunci evenimentele aleatoare pot descriseca ind submultimi ale lui . Or, operatiile care pot aplicate asupramultimilor pot aplicate si asupra evenimentelor aleatoare.

Asa dar e un spatiu de evenimente elementare.

Denitia 38 Vom numi eveniment aleator (n caz discret) orice submultimeA . n particular, se va numi evenimentul sigur, iar ; se va numieveniment imposibil. Spunem ca evenimentul elementar ! 2 favorizeazaaparitia evenimentului A daca si numai daca ! 2 A .

Denitia 39 Suma (reuniune) a doua evenimente aleatoare A; B vomnumi evenimentul

C = A [ B = f! 2 j ! 2 A sau ! 2 Bg;adica C se produce daca sau se produce A, sau se produce B, sau se producA si B concomitent . Cu alte cuvinte, suma evenimentelor A si B se pro-duce atunci si numai atunci cnd se produce cel putin unul din aceste douaevenimente.

n exemplul nostru: A [ F = f2; 3; 4; 6g, A [ B = .

Denitia 40 Produs (intersectie) a doua evenimente aleatoare A; B vom numi evenimentul

C = A \ B = f! 2 j ! 2 A si ! 2 Bg;

adicaC se produce daca se produce si A si B. Cu alte cuvinteprodusul eveni-mentelor A si B se produce atunci si numai atunci cnd aceste evenimentese produc concomitent.

n exemplul nostru: A \ F = f6g, A \ B = ;.


38/114

38 CAPITOLUL 3. PROBABILITATI DISCRETE

Denitia 41 Pentru orice A vom numi eveniment "non-A" comple-

mentara acestei submultimi n raport cu , adica evenimentul notat cu

AsauAc, undeAc = f! 2 j ! =2 Ag

Or, evenimentul A se produce atunci si numai atunci cnd nu se produceevenimentulA.

n exemplul nostru: A = B, B = A, D = E, E = D.

Denitia 42 Daca avem doua evenimente aleatoare A; B spunem caevenimentul A implica evenimentul B daca si numai dacaA

B. Altfel spus,

A implica B atunci si numai atunci cnd din faptul ca s-a produs evenimentulA rezulta ca s-a produs si evenimentul B. Daca A B si B A, atuncispunem ca A = B (A este echivalent cu B).

Cum operatiile asupa evenimentelor aleatoare sunt, de fapt, operatii asupramultimilor din putem formula fara demonstratie

Propozitia 43 Operatiile asupra evenimentelor aleatoare au urmatoarele pro-prietati: A[A = A; A[ = ; A\A = A; A\ = ; A[; = A; A\; = ;;A \ (B [ C) = (A \ B) [ (A \ C); A [ B = A \ B; A \ B = A [ B.

Observatia 8 Ultimele doua proprietati se numesc formulele de dualitateale lui De Morgan.

Prin analogie, operatiile de suma si produs pot extinse asupra eveni-

mentelor Ai , i = 1,2,: : : ;adica putem opera cu evenimentele :k[

n=1An,

1[n=1

An,k\

n=1An,

1\n=1

An, unde k 2.

Denitia 44 DacaA; B sunt astfel nct A\ B = ;, atunci spunem caA si B sunt experimente incompatibile (sau disjuncte).

Se verica cu usurinta ca familia F = fA j A este eveniment aleatorlegat de experimentul caruia i corespunde gsi care n caz discret coincidecu fA j A g; poseda urmatoarele proprietati:

1. Daca A F, atunci A 2 F;


39/114

3.3. DEFINITIA CLASICA A PROBABILITATII 39

2. Daca A1; A2;:::;An;::: 2 F, atunci1[

i=1Ai .

Denitia 45 Familia F cu proprietatile de mai sus se numeste alge-bra, iar spatiul de evenimente elementare nzestrat cu algebra F desubmultimi ale lui se numeste spatiu masurabil sau cmp (borelian) deevenimente si se noteaza prin(; F).

3.3 Denitia clasica a probabilitatii

n secolul XVII Jacob Bernoulli da urmatoarea denitie a probabilitatii con-siderate astazi clasica, denitie ce vizeaza cazul cnd (1) multimea tuturor

rezultatelor posibile este nita si (2) aceste rezultate sunt echiprobabile:"Probabilitatea P(A) a evenimentului A este raportul dintre numarul k derezultate posibile care favorizeaza acest eveniment si numarul total de rezul-tate posibile, adica

P(A) =numarul de rezultate favorabile evenimentului A

numarul total de rezultate posibile".

Interesant este faptul ca aceasta denitie a aparut n directa legatura cujocurile de noroc, iar la formularea ei au contribuit si Blaise Pascal si PierreFermat care in acea perioada se confruntau cu o problema formulata de cav-alerul De Mere. Este vorba de observatia lui De Mere ca, n legatura cuaruncarea zarului de trei ori, evenimentele A = fsuma numarului de puncteva egala cu 11g si B = fsuma numarului de puncte va egala cu 12g saumizele puse pe aceste evenimente au, teoretic vorbind, aceasi sansa (proba-bilitate) de realizare. Iata rationamentele lui De Mere: evenimentului A icorespund combinarile 1 4 6, 1 5 5, 2 3 6, 2 4 5, 3 3 5,3 4 4, iar evenimentului B i corespund combinarile 1 5 6, 2 4 6,255, 345, 356, 444 , prin urmare sunt favorizate de acelasinumar de rezultate posibile cea ce echivaleaza cu faptul ca P(A) =P(B).nsa acelasi De Mere observa, pe cale empirica, faptul ca frecventele rela-tive corespunzatoare evenimentelor A si B difera, atunci cnd numarul n de

partide de joc devine sucient de mare, mai exact fn(A) > fn(B). Cumse explica acest "paradox"?- ntreaba acesta. Eroarea lui De Mere rezida,dupa cum au remarcat Pascal si Fermat in corespondenta lor, n faptul caacesta nu a enumarat corect rezultatele posibile ce favorizeaza evenimente ncauza. Astfel, combinarea 1 4 6 nglobeaza, de fapt, 3! rezultate posibile,


40/114


daca e sa luam n consideratie si rezultatul concret al ecarei aruncari. Or,

A este favorizat de 27 iar B de 25 rezultate posibile. Zarul ind "perfect",este resc sa consideram ca toate rezultatele posibile sunt echiprobabile siatunci,conform denitiei de mai sus, P(A) = 27 = 216 >P(B) = 25 = 216(Demonstrati!).

Denitia 46 Vom spune ca avem de-a face cu o probabilitate clasica daca:

1. Spatiul de evenimente elementare este nit: = f!1;!2; : : : ; !ng;2. Familia tuturor evenimentelor aleatoareF= fA j A g;3. Probabilitatea este o funtieP: F ! R data de formula

P(A) = card(A)card()

n acest caz, (; F;P) se numeste cmp de probabilitate clasica.Evident, are loc

Propozitia 47 Daca(; F;P) este un cmp de probabilitate clasica sicard()= n, atunci

P f!1g = P f!2g = : : : = P f!ng = 1n

.

Observatia 9 Echiprobabilitatea tuturor evenimentelor elementare n cali-tate de conditie necesara pentru aplicabiltatea denitiei clasice a probabilitatiila rezolvarea unor probleme, atunci cnd card() < 1; se bazeaza, de regula,pe supozitia ca, de pilda, "moneda este simetrica", "zarul este perfect", "ex-tragerea se face la ntmplare", etc. Daca modelul clasic(; F;P) este sau nu"n concordanta cu realitatea" o putem aa, vericand daca "frecventa rela-tiva este sau nu n concordanta cu probabiltateaP" , aceasta in presupunereaca experimentul n cauza poseda proprietatea regularitatii statistice.

3.4 Elemente de combinatorica si aplicatii

Analiza combinatorie se bazeaza esential pe doua principii: Principiul adunariisi Principiul nmultirii. Daca A si B sunt doua multimi nite, atunci dis-tingem doua situatii, dupa cum cele doua multimi pot disjuncte sau nu.Evident are loc


41/114

3.4. ELEMENTE DE COMBINATORICA SI APLICATII 41

Principiul adunarii (caz disjunct) Daca A si Bsunt multimi nite si

disjuncte, adica A \ B = ;, card(A) = n si card(B) = m, atuncicard(A [ B) = n + m

Corolar 48 DacaA1; A2;:::;Ak sunt multimi nite disjuncte doua cte doua,atunci

card(k[

i=1Ai) =

kXi=1

cardAi

Principiul adunarii (caz general). Daca A si B sunt multimi nite,A; B

, card(A) = n, card(B) = m si card(A

\B) = k, atunci card(A

[B) = n + m k.Demonstratie. Folosind proprietatile operatiilor asupra multimilor, deducem

ca oricare ar multimile A, B avem :

A = (A \ B) [ (A \ B), B = (A \ B) [ (A \ B),A [ B = (A \ B) [ (A \ B) [ (A \ B).

Conform principiului adunarii n cazul disjunct obtinem:

card(A) = card(A\B) + card(A\B);card(B) = card(A\B) +card(A\B);

card(A[B) = card(A\B)+card(A\B)+card(A\B)+card(A\B)card(A\B)

= card(A) + card(B) card(A \ B) = n + m k.

Exercitiul 3.4.1 Folosind inductia matematica deduceti Principiul adunariipentu un numar arbitrar k de multimi niteA1; A2;:::;Ak.

Exemplul 49 Consideram o grupa de studenti despre care stim ca 20 destudenti cunosc limba engleza, 15 limba franceza, 10 limba germana, 5 limbileengleza si franceza, 5 limbile franceza si germana,4 limbile engleza si germanasi1 student limbile engleza, franceza si germana. Cti studenti sunt n grupa?


42/114


Notnd prin E, F si G multimile de studenti care poseda, respectiv, limba

engleza, franceza, germana si tinnd cont de datele problemei, deducem:cardE = 20, cardF = 15, cardG = 10, card(E\ F) = 5, card(E\ G) = 4,card(F \ G) = 5, card(E\ F \ G) = 1 si atunci

card(E[ F [ G) = card(E) + card(F) + card(G) card(E\ F)card(E\ G) card(F \ G) + card(E\ F \ G) = 32:

Principiul nmultirii n limbajul produsului cartezian. Daca A siB sunt doua multimi nite astfel nct card(A) = n si card(B) = m, atunci

card(A

B) = n

m:

Demonstratie. Este evident ca daca

A = fa1; a2;:::;ang ; B = fb1; b2;:::;bmg ;

atunci multimile A B si f (i; j) i = 1; n, j = 1; mg au acelasi numar deelemente. Daca n sistemul cartezian de coordonate xOy vom plasa valorilei = 1; n pe axa Ox iar valorile j = 1; m pe axa Oy, atunci elementului (i; j)

i corespunde punctul (i; j) din planul xOy, avnd, astfel, n planul xOy oretea de n m puncte. Pentru orice numar k de multimi nite, aplicnd metoda inductiei matem-

atice, putem demonstra ca are loc formula:

card(A1 A2 : : : An) =n

i=1

cardAi.

Demonstratia ei se bazeaza esential pe faptul ca are loc egalitatea A1 A2 : : : Ai = (A1 A2 : : : Ai1) Ai, i = 2; k;.

Principiul nmultirii n limbajul produsului cartezian poate reformulat

n limbajul actiunilor.Principiul nmultirii n limbajul actiunilor. Daca o actiune poate realizata n k etape succesive astfel nct etapa i poate realizata n nimodalitati, i = 1; k, atunci aceasta actiune poate realizata n n1 n2 : : : nkmodalitati.


43/114


Exemplul 50 Presupunem ca un safeu poate deschis cunoscnd un cod de

forma i1 i2 i3 i4 i5 i6

unde ik = 0; 9, k = 1; 6. Cu ce este egala probabilitatea ca safeul se vadeschide daca vom forma codul la ntmplare.

Spatiul de evenimente elementare coincide cu produsul cartezian a multimiif0; 1; 2;:::; 9g de 6 ori cu ea nsasi, adica

=

(i1; i2;:::;i6) j ik 2 f1; 2;:::; 9g ; k = 1; 6

.

Acesta are, conform Principiului nmultirii n limbajul produsului cartezian,106

elemente. Din denitia clasica deducem ca probabilitatea de a deschidesafeul, formnd codul la ntmplare, este egala cu 1=106.Daca avem informatia ca acest cod este format din cifre diferite atunci

probabilitatea n cauza creste. ntr-adevar, a forma un cod din 6 cifre diferiteeste echivalent cu a efectua o actiune n 6 etape succesive, astfel nct primaetapa poate realizata n 10 modalitati, cea de a doua n 9 modalitati,etc.,ultima (a sasea) n 10 (6 1) = 5 modalitati. Conform Principiului n-multirii n limbajul actiunilor, numarul tuturor evenimentelor elementare esteegal cu 10 9 8 7 6 5 = A610 , prin urmare probabilitatea de a deschidesafeul, formnd codul la ntmplare, este egala cu 1=A610.

Denitia 51 Fie A o multime formata din n elemente diferite, A = fa1,a2, , ang, atunci vom numi aranjament din n elemente luate cte k oricemultime ordonata de forma (ai1 ; ai2; ; aik) cu proprietatea ca i1 6= i2 6= 6= ik, aij 2 A, ij = 1; n , j = 1; k. Evident notiunea are sens pentruk = 1; n. Multimea tuturor aranjamentelor de n elemente luate cte k senoteaza cuAkn siAkn =

(ai1; ai2 ; ; aik) j i1 6= i2 6= 6= ik; aij 2 A; ij = 1; n, j = 1; k

.

Cardinalul acestei multimi se noteaza cuAkn si este numarul tuturor aran-jamentelor dinn elemente luate ctek.

Conform principiului nmultirii n limbajul actiunilor, a construi un aran-jament dinn elemente luate cte k este echivalent cu a realiza o actiune n ketape succesive, astfel nct prima etapa poate realizata n n modalitati, ceade a doua n n1 modalitati, etc., ultima (etapa nr. k) n n(k1) = nk+1


44/114


modalitati. Or, numarul tuturor aranjamentelor din n elemente luate cte k

este egal cuAkn = n (n 1) (n 2) (n k + 1) =

n!

(n k)!Prin denitie, atunci cnd k = n; aranjamentul se numeste permutare de

n elemente. Deci multimea tutror permutarilor de n elemente notata prinPn coincide cu Ann, ceea ce nseamna ca numarul tutror permutarilor de nelemente Pn este egal cu Akn, adica Pn = n!.

Denitia 52 Orice submultime de formafai1; ai2; ; aikg, i1 6= i2 6= 6=ik, aij 2 A, ij = 1; n, j = 1; k , se numeste combinare din n elemente

luate cte k. Evident notiunea are sens pentru k = 1; n. Multimea tuturorcombinarilor den elemente luate ctek elemente o vom nota prin

Ckn =fai1; ai2 ; ; aikg j i1 6= i2 6= 6= ik; aij 2 A; ij = 1; n ; j = 1; k .

Cardinalul acestei multimi l vom nota cuCkn.

Observam ca dintr-o combinare din n elemente luate cte k putem formak! aranjamente din n elemente luate cte k. Or, a forma un aranjament dinn elemente luate cte k este echivalent cu a realiza o actiune n doua etapesuccesive:

1. alegem o combinare din n elemente luate cte k, etapa pentru careavem Ckn modalitati de a o efectua;

2. din aceasta combinare, formam un aranjament din n elemente luatecte k, etapa care se poate realiza n Akn modalitati.

Rezulta ca Akn = k! Ckn; adica Ckn = Akn

k!= n!

k!(nk)!

Exercitiul 3.4.2 Demonstrati ca daca A este o multime formata dinn ele-mente diferite, atunci Cardf B j B A g = 2n.Exemplul 53 Consideram ca avem o multime de n elemente astfel nct

n1 elemente sunt de tipul 1, n2 elemente sunt de tipul 2, , nk elementesunt de tipul k, n1 + n2 + ::: + nk = n. Alegem la ntmplare, unul cteunul, toate elementele multimii si le aranjam n ordinea extragerii lor. Sa secalculeze cardinalul spatiului de evenimente elementare corespunzator acestuiexperiment.


45/114


Pentru a alcatui un evenimentt elementar din spatiul corespunzator

acestui experiment este sucient sa realizam o actiune n k etape succesive.Etapa 1: din n locuri disponibile pentru a aranja elementele extrase,alegem n1 locuri pe care vom plasa elementele de tipul1. Aceasta actiune oputem realiza n Cn1n modalitati;

Etapa 2: din cele nn1 locuri, disponibile dupa etapa 1 , alegem n2 locuripe care vom plasa elementele de tipul 2. Aceasta actiune o putem realiza nC

n2nn1 modalitati, etc.,

Etapa k: din cele n n1 n2 nk1 = nk locuri, disponibile dupaetapa k, alegem nk locuri pe care vom plasa elementele de tipul k. Aceastaactiune o putem realiza n Cnknn1n2nk1 = C

nknk

modalitati.Conform principiului nmultirii, avem :

card() = Cn1n Cn2nn1 Cnknn1n2nk1 =n!

n1!n2! nk! .

Formula obtinuta este, de fapt, formula de calcul pentru P(n1; n2;:::;nk);numarul permutarilor a n elemente, din care n1 elemente sunt de tipul 1, n2elemente sunt de tipul 2, , nk elemente sunt de tipul k, n1+n2+:::+nk = n:

P(n1; n2;:::;nk) =n!

n1!n2! nk! .

Exercitiul 3.4.3 Presupunem ca avem la dispozitie 10 cartonase marcate

cu litere astfel: M, M, A, A, A, T, T, I, E, C. Un copil se joaca, extagndla ntmplare cte un cartonas si aranjndu-l n ordinea extragerii. Care esteprobabilitatea sa obtinem cuvntul MATEMATICA?

ntruct consideram cartonasele marcate la fel ca ind de acelasi tip,rezulta ca avem 2 cartonase de tip M, 3 cartonase de tip A, 2 cartonasede tip T, 1 cartonas de tip I, 1 cartonas de tip E si 1 cartonas de tipC. Folosind formula dedusa mai sus, cardinalul spatiului de evenimenteelementare asociat experimentului este

card() =10!

3!2!1!1!1!Rezulta ca probabilitatea obtinerii cuvntului MATEMATICA este egala cu

1

card()=

3!2!1!1!1!

10!=

1

2 5 6 7 8 9 10


46/114


Exemplul 54 Presupunem ca dispunem den cutii sir bile identice. Plasam

bilele, una cte una, la ntmplare, n una din cutii. Sa se calculeze cardinalulspatiului de evenimente elementare corespunzator acestui experiment.

n cele ce urmeaza vom reprezenta n cutii prin intermediul a n + 1 bareverticale, iar r bilel prin intermediul a r asteriscuri. De exemplu, situatiacnd 5 bile identice, ind plasate in 3 cutii astfel nct in prima cutie nimeresc0 bile, in cutia a doua 2 bile si n cutia a treia 3 bile poate reprezentataastfel:

j j j j;iar situatia cnd toate bilele nimeresc in prima cutie poate reprezentata

astfel:j j j j :

Or, pentru o astfel de reprezentare schematica avem nevoie de n + 1 locuripentru bare (peretii cutiilor) si r locuri pentru asteriscuri (bile). Din exem-plele aduse vedem ca orice repartizare concreta a r bile identice n n cutiieste univoc determinata de pozitia a n 1 bare (pereti) interioriare si a rasteriscuri (bile) pe cele r + n 1 locuri interioare, cele doua bare (pereti)exterioare ramnnd de ecare data xe. Drept consecinta alegerea a n 1locuri pentru bare (sau r locuri pentru asteriscuri) din totalul de n + r 1locuri, poate facuta n Cn1n+r

1 = C

rn+r

1 modalitati, C

rn+r

1 nd cunoscut

ca numarul combinarilor din n elemente luate cte r cu repetare.

Exercitiul 3.4.4 Fie functia reala den variabila f(x1; x2; ; xn). n ctemodalitati putem construi derivatele partiale de ordinul r?

Propozitia 55 Fie(; F;P) un cmp de probabilitate clasica, atunci prob-abiliateaP poseda urmatoarele proprietati:

1. P() = 1;

2. P(;) = 0;3. P(A) = 1P(A), P(A) = 1 P(A);4. Daca A B, A; B 2 F, atunci P(A) P(B);5. 0 P(A) 1; 8 A 2 F;


47/114


6. (Formula adunarii probabilitatilor n caz disjunct)

P(A [ B) =P(A)+P(B); 8 A; B 2 F , A \ B = ;;7. (Formula adunarii probabilitatilor n caz general)

P(A [ B) =P(A)+P(B)P(A \ B); 8 A; B 2 F;8. P(AB) P(A) P(A [ B) P(A) +P(B), 8 A; B 2 F:

Demonstratie. 1. Din denitia clasica a probabilitatii avem ca

P() =card()

card()= 1:

2.Din faptul ca [ ; = , \ ; = si din proprietatea 6 rezultaP( [ ;) =P()+P(;) =P() = 1. Deci P(;) = 0.

3.Din faptul ca A [ A = , A \ A = ; si din proprietatea 6 rezultaP(A [ A) =P(A)+P(A) =P() = 1. Deci P(A) = 1P(A).

4.Fie A; B 2 F, A B.Atunci din faptul ca B = A[(A\B), A\(A\B) =;, avem

P(B) =P(A [ (A \ B)) =P(A)+P(A \ B) P(A).

5.Deoarece ; A din 4 rezulta ca

0 = P(;) P(A) P() = 1.6. Fie A; B 2 F, A \ B = ;, atunci

P(A) =card(A [ B)

card()=

card(A) + card(B)

card()=

card(A)

card()+

card(B)

card()= P(A)+P(B).

7.Fie A; B 2 F, atunci egalitatile A = AB [AB, B = AB [AB, A[B =AB [ AB [ AB si proprietatea 6 implica,

P(B) = P(AB) +P(AB);P(A) = P(AB) +P(AB);

P(A [ B) = P(AB) +P(AB) +P(AB).Deci P(A [ B)) =P(A)+P(B)P(AB).

8. Observam ca AB A A [ B si atunci din proprietatea 4 avemP(AB) P(A) P(A [ B).


48/114


49/114


Notam evenimentul care ne intereseaza prin

Ak = fstudentul k extrage un bilet "norocos"g , k = 1; 24.Pentru k xat

Ak = f(i1; i2; ; in) 2 j ik 2 f1; 2; ; 20ggEvident card(Ak) = 20 23! (alegerea unui bilet norocos pentru pozitia

k se poate realiza n 20 de modalitati, iar aranjarea celorlalte 23 de bileteramase pe cele 23 de locuri ramase libere se poate realiza n 23! modalitati).Rezulta:

P(Ak) =20 23!

24!

=20

24

.

O observatie interesanta asupra rezultatului obtinut este aceea ca proba-bilitatea calculata nu depinde de ordinea intrarii studentului la examen.

Exemplul 56 (Schema bilei nentoarse) Dintr-o urna ce contineM bilerosii si N M bile albe. Extragem la ntmplare n bile. Sa se calculezeprobabilitatea ca printre cele n bile extrase exact k bile vor rosii.

Sintagma "la ntmplare" este esentiala ntruct aceasta indica asupraechiprobabilitatii evenimentelor elementare. Drept consecinta putem aplicadenitia clasica a probabilitatii.

Vom considera bilele rosii numerotate de la 1 la M si bilele albe numero-tate de la M + 1 la N. Atunci spatiul de evenimente elementare asociatacestui experiment se poate scrie ca:

=fi1; i2; ; ing j i1 6= i2 6= 6= in; ij = 1; n ; j = 1; n

si card() = CnN .Notam prin Ak evenimentul ca printre n bile extrase exact k bile vor

rosii:

Ak = ffi1; i2; ; ing 2 j card (fi1; i2; ; ing \ f1; 2; ; Mg) = kg ,k = 0; min(n; M):

Conform principiului nmultirii n limbajul actiunilor, a forma o com-binare din n bile astfel nct k bile sa e de culoare rosie este echivalent cua realiza o actiune n 2 etape:


50/114


1. alegem k bile rosii dintre cele M bile rosii existente: aceasta actiune se

poate realiza nCk

M modalitati;2. alegem n k bile albe pentru a completa pozitiile ramase, actiune ce

se poate realiza n CnkNM modalitati.

Deci probabilitatea evenimentului Ak

P(Ak) =card(Ak)

card()=CkM CnkNM

CnN

.

Observatia 11 RegulaP: F ! R prin care unui eveniment i asociem prob-abilitatea sa se mai numeste si repartitie. Schema bilei nentoarse denestemodelul probabilist ce poarta numele de repartitia hipergeometrica. Este clarca

min(n;M)Xk=0

P(Ak) =

min(n;M)Xk=0

CkM CnkNMCnN

= 1, (1)

deoarece valorile de la 0 la min(n; M) reprezinta toate valorile pe care lepoate luak n experimentul nostru. Acest tip de rationament este tipic pentrudemonstratia unor identitati matematice prin intermediul metodelor proba-biliste. n cazul de fata este vorba de identitatea

CnN =

min(n;M)Xr=0

CrMCnrNM

care este consecinta a relatiei (1).

Exemplul 57 Schema bilei nentoarse serveste ca model matematic pentruexperimentele aleatoare ce apar n legatura cu jocul de noroc "Loto 6 din49".n acest caz N = 49, M = 6 , n = 6. Atunci probabilitatea ca, alegnd lantmplare6 numere dintre 49, toate vor "norocoase" este egala cu:

P(A6) =

C66 C66496C649

=1

C649 1

14000000:

Exemplul 58 Aceeasi schema se poate dovedi utila pentru a estima numarulde pesti dintr-un lac fara a nevoie de a-i numara pe toti. Astfel, pre-supunem ca ntr-un lac sunt x pesti, x ind numarul necunoscut pe care


51/114


vrem sa-l estimam. Presupunem ca aruncam o plasa si prindem M pesi si

i marcam cu o vopsea rezistenta la apa, dupa care i aruncam napoi n lac.Dupa un timp aruncam plasa si prindem, sa zicemn pesti, dintre carek pestivor marcati.Probabilitatea acestui eveniment poate exprimata ca o functie ce depindedex, M; n; k ind cunoscute:

f(x;M;n;k) =CkM CnkxM

Cnx

; x max(n; M)

Conformprincipiului verosimilitatii maxime formulat de remarcabilul ma-matematician si biolog american R.A. Fisher n anii 30 ai secolului trecut, o

data ce s-a produs un eveniment, rezulta ca s-a produs evenimentul de proba-bilitate maxima. Valoareax0 pentru care aceasta functie (care exprima prob-abilitatea) si atinge maximul se numeste estimatie de verosimilitate maximasi conform principiului verosimilitatii maxime putem spune ca numarul celmai probabil de pesti n lac este egal cu x0.

Exemplul 59 Un alt exemplu de aplicare al acestei scheme este cel al ex-perimentelor aleatoare ce apar n legatura cu efectuarea controlului calitatiia unui lot de N produse de acelasi tip. Problema care se pune n acest cazrezida n estimarea numarului de produse care nu corespund standardelor decalitate necesare. Notam numarul acestora cu x.

Luam un esantion den produse si numaram cte produse nu corespund stan-dardelor. Fie ca acest numar este egal cuk. Conform principiului verosimil-itatii maxime, faptul ca s-a produs evenimentul respectiv, nseamna ca s-aprodus evenimentul cel mai probabil. Probabilitatea acestuia poate scrisaca functie dex, N;n;k ind cunoscute:

f(N;x;n;k) =Ckx CnkNxCnN

:

Valoarea x0 pentru care aceasta functie atinge maximul va da numarul celmai probabil de produse care nu corespund standardelor.

Exemplul 60 (Schema bilei ntoarse) Dintr-o urna ce contine N bile,dintre careM bile rosii siNM bile albe extragem la ntmplar una cte unan bile, cu ntoarcerea bilei n cutie dupa ce notam culoarea ei. Sa se calculezeprobabilitatea ca printre n bile extrase, exact k sunt rosii, 0 k n.


52/114


Folosirea expresiei "la ntmplare" ne permite calculul acestei probabil-

itati folosind denitia clasica. Numerotam bilele rosii de la 1 la M si bilelealbe de la M + 1 la N. Atunci spatiul evenimentelor elementare posibile sescrie astfel:

=

(i1; i2; ; in) j ij = 1; N; j = 1; n

ntruct extragerea bilelor se face cu ntoarcere, este posibil ca la o realizarea experimentului o bila sa e extrasa de mai multe ori. Construirea unuielement din poate privita ca realizarea unei actiuni n n etape, la etapak completndu-se pozitia k, k = 1; n. ntruct pentru ecare pozitie existaexact N posibilitati de a alege o bila, cardinalul acestei multimi

card() = Nn:

Evenimentul A = fprintre n bile extrase exact k vor rosiig se poate scrieca

A = f(i1; i2; ; in) 2 j card(fi1; i2; ; ing \ f1; 2; ; Mg) = kg .Dar un sir ordonat (i1; i2; ; in) 2 A se poate construi n trei etape succe-sive:

1.din n locuri posibile se aleg k pozitii pe care vom aseza bilele rosii, etapa

care poate realizata n Ckn modalitati;2.completam cele k pozitii alese la pasul anterior cu bile rosii, adica cu

numere din multimea f1; 2; ; Mg, numere care se pot repeta. Aceastaetapa se poate realiza n Mk modalitati;

3.completam pozitiile ramase, n numar de nk, cu numere din multimeafM + 1; M + 2; ; Ng. Aceasta etapa se realizeaza n (N M)nk modal-itati.

Conform principiului nmultirii rezulta ca valoarea

card(A) = Ckn Mk (N M)nk.

Prin urmare probabilitatea evenimentului A:

P(A) =card(A)

card()=Ckn Mk (N M)nk

Nn= Ckn

M

N

k

N MN

nk,

0 k n.


53/114

3.5. CMPURI DE PROBABILITATE DISCRETA 53

Observatia 12 Modelul descris de schema bilei ntoarse se numeste, prin

denitie, repartitie binomiala, denumirea provenind, evident, de la binomullui Newton, ai carui termeni denesc repartitia.

3.5 Cmpuri de probabilitate discreta

Denitia clasica a probabilitatii are o arie de aplicare limitata deoarece nu n-totdeauna sunt respectate conditiile impuse pentru aplicarea acestei denitii:spatiul de evenimente sa e nit sau evenimentele elementare sa e echiprob-abile. O clasa ntreaga de asemenea situatii ne conduc la necesitatea deniriiprobabilitatii P pe spatii masurabile de tip discret, cu alte cuvinte pentru

innita cel mult numarabila, Find familia tuturor submultimilor multimii.

Exemplul 61 Consideram experimentul cu aruncarea unui zar o singuradata si presupunem ca zarul este deformat astfel nct raportul probabilitatilor(frecventelor relative) de aparitie a fetelor zaruluiP f1g : P f2g : P f3g :P f4g : P f5g : P f6g = 1 : 2 : 3 : 4 : 5 : 6.Se observa imediat ca evenimentele elementare asociate acestui experimentnu mai sunt echiprobabile. Deci denitia clasica a probabilitatii nu poate aplicata n acest caz.

Exemplul 62 Ion si Petru arunca pe rnd o moneda; cstiga cel ce nreg-istreaza primul stema. n acest caz, spatiul de evenimente elementare este

=

(S;BS;BBS; ;BBB B| {z }

n1 oriS;

).

Evident multimea este innita, prin urmare nici n acest caz nu este aplica-bila denitia clasica a probabilitatii.

Denitia 63 Vom spune ca avem de-a face cu un cmp de probabilitate dis-

creta (; F;P) daca:

1. Spatiul de evenimente elementare este nit sau innit cel mult numara-bil;


54/114


2. algebra Fde evenimente esteF= fA j A g;

3. Probabilitatea este P: F ! R este denita de formulaP(A) =

Xi:!i2A

Pf!ig

undeP verica urmatoarele doua axiome:

P1. Pf!ig 0; 8 !i 2 ;P2.

Pi:!i2

Pf!ig = 1.Observam ca denitia probabilitatii discrete este corecta, deoarece seria

Pi:!i2APf!ig reprezinta e o suma nita cu card(A) < +1, e o serie numericacu termeni nenegativi, dar convergenta n cazul cnd A este multime innitanumarabila, ntruct:

0 X

i:!i2APf!ig

Xi:!i2

Pf!ig = 1

Exemplul 64 n privinta primului exemplu considerat, vericam conditiilenecesare pentru aplicarea probabilitatii discrete:

ntruct = f1; 2; 3; 4; 5; 6g ; conditia ca multimea de evenimente ele-mentare sa e nita sau cel mult numarabila este satisfacuta; F= fA j A g, dat ind faptul ca orice eveniment asociat experimentului poate de-scris ca submultime a lui ; Vericam axiomele P1 si P2. ntruct Pf1g =

121

, Pf2g = 221

, Pf3g = 321

, Pf4g = 421

, Pf5g = 521

, Pf6g = 621

, evident,Pfig 0 si P

i2Pfig = 1. De pilda, probabilitatea evenimentului

A = faparitia unui numar par de punctegeste P(A) =Pf2g +Pf4g +Pf6g = 2

21+ 4

21+ 6

21= 12

21> 1

2.

n ceea ce priveste al doilea exemplu, multimea este innita numarabila,iar F= fA j A g , dat ind faptul ca orice eveniment asociat experimen-

tului poate descris ca submultime a lui ; Pentru vericarea ipotezelor P1si P2 calculam probabilitatile evenimentelor elementare:

P fSg = 12

; P fBSg = 122

; P fBBSg = 123

; ; P(

BBB B| {z }n1 ori

S

)=

1

2n.


55/114

3.5. CMPURI DE PROBABILITATE DISCRETA 55

Axioma P1 se verica imediat, ecare din probabilitatile de mai sus ind

numere pozitive mai mici dect 1.Axioma P2:

X!i2

Pf!ig =1X

i=1

1

2n=

1

2+

1

22+ + 1

2n+ = 1

2 1

1 12

= 1

Probabilitatea ca va cstiga cel care arunca primul moneda este:Xi:iimPar

Pf!ig = P fSg +P fBBSg +P fBBBBSg +

=

1

2 +

1

23 +

1

25 + =1

2

1

1 122 =2

3 .

Propozitia 65 Denitia clasica a probabilitatii reprezinta un caz particularal denitiei probabilitatii n caz discret.

Demonstratie. Fie (; F;P) un cmp clasic de probabilitate. Rezultaca sunt valabile conditiile impuse de probabilitatea clasica, deci sunt ndepli-nite si conditiile impuse de probabilitatea discreta.Ramne de vericat validitatea axiomelor P1, P2:

P f!ig = card f!igcard()

= 1n

; 8 !i 2 ;

X!i2

Pf!ig =X

!i2

card f!igcard()

=1

card()

X!i2

1 =card()

card()= 1;

Deci sunt satisfacute axiomele P1 si P2. Proprietatile probabilitatii clasice sunt valabile si n cazul probabilitatii

discrete.

Teorema 66 Fie(; F;P) este un cmp de probabilitate discreta. Atunci

P

[

i1Ai

=Xi1P (Ai) ; Ai 2 F; Ai \ Aj = ;; 8i 6= j;i;j 1


56/114


Demonstratie. Observam ca B = [i1

Ai m[

i=1Ai, 8 m 0. Rezulta

ca P(B) =P [i1

Ai P m[i=1

Ai = mPi=1

P (Ai). Prin urmare P [i1

Ai +1Pi=1

P (Ai)

Vom arata ca este valabila si reciproca: P

[i1

Ai

+1Pi=1

P (Ai). ntr-

adevar, din axioma P2 rezulta caP

!i:!i2Pf!ig = 1. Deci

8" 0; 9N(") :N

Xi=1Pf!ig 1 ".Fie A = f!1; !2; ; !Ng. Evident P

A

< ". Cum B = BA [ BA, rezultaca

P (B) = P (BA) +P

BA P A+P (BA) P (BA) + ".

Avem BA =

[i1

Ai

\ A = [

i1(Ai \ A) si ntruct A este o multime nita

de evenimente elementare rezulta ca 9m 0 : [i1

(Ai \ A) m[

i=1Ai.

Prin urmare,

P (B) P (BA) + " P m[i=1

Ai+ " = mXi=1

P (Ai) + ".

Dar faptul ca " > 0 este arbitrar atrage dupa sine inegalitatea

P (B) +1Xi=1

P (Ai) .

3.6 Probabilitate conditionata

Fie (; F;P) un cmp de probabilitate. Consideram un experiment aleator Edescris de acest cmp si un eveniment aleator B 2 Fasociat experimentuluiE, cu P (B) > 0, adica frecventa relativa a producerii lui B ntr-un numar nsucient de mare de probe E, fn (B) > 0. Aceasta ne permite sa imaginamun nou experiment aleator EB care se considera realizat daca si numai daca


57/114

3.6. PROBABILITATE CONDITIONATA 57

s-a realizat experimentul E si s-a produs evenimentul B.

Pentru un numar n sucient de mare de probe Eputem presupune ca numarulde realizari ale experimentului EB este de asemenea foarte mare si putemsepara numarul n (B) de probe ale exeprimentului EB.Orice eveniment A care poate nregistrat ca rezultat al experimentului Epoate nregistrat si ca rezultat al experimentului EB. Deci frecventa relativaa producerii evenimentului A n experimentul EB este data de

fn (A) =n (AB)

n (B),

unde n (AB) reprezinta numarul de probe ale experimentului EB n care s-aprodus evenimentul A, atfel spus numarul de probe ale experimentului

En

care evenimentele A si B s-au produs simultan.Eind aleator, rezulta ca si EB este aleator. De asemenea, putem lua n attde mare nct si n (B) sa e foarte mare. Conform proprietatii stabilitatiistatistice rezulta:

fn(B) (A) =n (AB)

n (B) P (A=B) .

Probabiltatea notata prin P(A=B) indica asupra faptului ca valoarea n jurulcareia oscileaza frecventa realtiva fn(B) (A) este conditionata de realizareaevenimentului B. Este de asemenea adevarat ca:

fn (B) =

n (B)

n P

(B) ;iar fn (AB) =

n (AB)

n P

(AB)deci

fn(B) (A) =n (AB)

n (B)=

n(AB)n

n(B)n

P (AB)P (B)

Putem deci considera ca:

P (A=B) =P (AB)

P (B)

Denitia 67 Fie (; F;P) un cmp de probabilitate si B 2 F, astfel nctP(B) > 0. Atunci pentru orice eveniment A

2 Fvom numi probabilitate

conditionata a evenimentului A de catre evenimentul B numarul notat prinP(A=B) sauPB (A) care se calculeaza dupa formula:

P (A=B) =P (AB)

P (B).


58/114


Din denitia probabilitatii conditionate a evenimentuluiA de catre eveni-

mentul B, P(B) > 0; rezulta ca:P (AB) = P (A=B)P (B) .

Aceasta formula poarta denumirea de formula nmultirii probabilitatilor.

Teorema 68 (Formula nmultirii probabilitatilor (caz general) Fie(; F;P) un cmp de probabilitate si A1; A2; ; An 2 F, n evenimenteastfel nct P(A1A2 An1) > 0. Atunci:

P (A1A2 An) = P (A1)P (A2=A1) P (An=A1 An1)

Demonstratie. Din conditia P(A1A2 An1) > 0 rezulta ca au senstoate probabilitatile conditionate de forma

P (A2=A1) ; P (A2=A1) ; :::;P (An=A1 An1)deoaarece

P (A1) > P (A1A2) > P (A1A2A3) > ::: > P (A1A2 An1) > 0;aceasta ind o consecinta a faptului ca

A1

A1A2

:::

A1A2

An

2

A1A2

An

1.

Pentru n = 2 formula coincide cu formula nmultirii probabilitatilor pen-tru produsul a doua evenimente. Aplicnd-o succesiv, avem:

P (A1A2 An1An) = P (An(A1A2 An1)) == P (An=A1 An1)P (A1A2 An2An1) =

= P (An=A1 An1)P (An1=A1 An2)P (A1 An2) == P (An=A1 An1) P (A2=A1)P (A1) .

Exemplul 69 Presupunem ca un calculator nu functioneaza datorita unuidefect aparut la unul din cele n blocuri ale sale. Pentru a-l repara, ingineruldepanator verica succesiv, la ntmplare, unul cte unul, ecare bloc. Careeste probabilitatea ca depanatorul va depista defectul la ncercarea cu numarulk?


59/114

3.6. PROBABILITATE CONDITIONATA 59

Notam prin Ak = fdefectul este depistat la ncercarea cu numarul kg. Ev-

ident, daca defectul este descoperit la

Documents

Curs Statistica Leahu