CURS 6

STABILITATEA SISTEMELOR TEHNOLOGICE

1

CURS 6

3. VERIFICAREA IPOTEZELOR. CRITERII DE SEMN (CONTINUARE)

3.4. CRITERIUL DE SE Z MEDII

caracteristica X ilor care compun , iar

al.

m1, m2 mediile i cu 1 , 2 (standard)

i. Cunoa tem i ne

i,

m1 i m2 ipoteza

m1 = m2.

Exemple: re. Abaterile medii

prealabile: 1

202

25

al procesulu

1 i m2

cu m0 = 3.000m.

Fie: x11, x12 1n1,

x21, x22 2n2

valorile caracteristicii ob ile care compun n1 i

n2 ile studiate.

mediile de selec ie:

1n

1ii 1

1

1

x

xn

i

2n

2ii 1

2

2

x

xn

.

d : 1 2d x x .

d se distribuie normal cu

media:

1 2M d m m , (3.17)


2

i dispersia:

2 21 2

1 2

D dn n

. (3.18)

Ipoteza m1 = m2 se poate verifica cu ajutorul criteriului Z:

1 2

2 21 2

1 2

x xz

n n

. (3.19)

unde variabila Z se distribuie normal cu media 0 i dispersia 1.

Potrivit Z, avem:

2 2 2 21 2 1 2

1 2

1 2 1 2

P P z x x z 2 zn n n n

(3.20)

Intervalul critic determinat pentru (risc) este

ile:

2 2 2 21 2 1 2

1 2 1 2

1 2 1 2

x x z ; x x zn n n n

. (3.21)

Pro , iar z

rela ia:

2 2 2 21 2 1 2

1 2

1 2 1 2

1 P z x x z 1 2 zn n n n

(3.22)

Prin urmare, ipoteza m1 = m2, sau d = 0,

1 2d x x (3.21) intervalul critic.

Pentru un nivel de semnifica ie ales cazuri i

- cazuri.

Exemplu , 6 fire produse la carde se unesc la flyere pentru a da un fir.

firului1 pentru i.

selec ie comp Din ce le

10,005 i

20,0045.

-au ob

i

1 sistemul indirect

. i metri (km) sunt cuprin -un gram (kg) din acel fir.


3

Nivelul de semnifica ie ales este 0,02.

Din rela ia (3.22): 1 1 0,02 0,98

1 2 z z 0,492 2 2

,

Valorii z 0,49 z 2,33 (tabelul 1, ANEXA 1).

Limitele

2 2 2 2

1 2

1 2

0,005 0,0045z ; 2,33 0,007

n n 5 5

2 2 2 2

1 2

1 2

0,005 0,0045z ; 2,33 0,007

n n 5 5

m1 = m2 a 1 2d x x - 0,007 i 0,007.

1

x 0,240 i 2

x 0,225

Diferen a lor este: 1 2

d x x 0,240 0,225 0,015.

.

3.5. CRITERIUL DE SEM t

3 redere pentru criteriul t

subcapitolele anterioare s-au studiat criterii cu ajutorul datelor unei n

dintr-o colectivitate cu i dispersia 2

.

. ii generale se

te cu abaterea med , s.

:

0x mz

n

, (3.23)

:

0x mts

n

, (3.24)


4

unde s este calcu

formula:

n2

ii 1

x x

sn 1

, (3.25)

ix sunt valorile caracteristicii care compun selec ia, x este media selec iei, iar n este

iei.

ia (3.24) are o t (Student) cu f = n - 1 grade de libertate.

Intervalul critic pentru criteriul t este definit de

ile:

0x m ts

n

i 0x m

ts

n

(3.26)

5, astfel:

t

t

P t t P t t f t dt f t dt , (3.27)

unde f(t) este t

(Student).

Fig.5

t

scrie:

t

P t t P t t 2 f t dt2 2

. (3.28)

:

t

F t P t t f t dt , (3.29)

iar:

t

t

f t dt 1 f t dt , (3.30)

t

P t t P t t 2 1 f t dt 2 1 P t t . (3.31)


5

valoare pentru nivelul de semnifica ie , atunci t se va determina

folosind rela ia:

2 1 P t t P t t 12

. (3.32)

Din figura 5 ilor:

t t t , (3.33)

care definesc :

P t t t 1 ; (3.34)

C ile (3.33 sub forma:

0 0

s sm t x m t

n n, (3.35)

pentru media de selec unui nivel de

semnifica ie sunt:

0 0

s sm t , m t

n n, (3.36)

prin urmare ipoteza m1 = m0 ie x

limitele de semnifica ie (3.36), unde m0 este o , s este

, iar n este ;

este important

- ;

n s-

ii. A adar

pentru i 0,05. Valorile cele mai utilizate ale nivelului de

semnifica ie sunt te o precizie mare, 0,001 i

-

i alte valori, pentru nivelul de semnifica ie;

important este ca valorile alese ;

V se stabilesc de condi iile e se

face cercetarea:

cali m = m0 (m0 fiind

), pentru

criteriul Z;


6

c are la fenomenul sau procesul studiat,

t cu ajutorul formulei:

0x mts

n

,

n care x i s se ob in pe baza n, iar m0 este valoarea

. t astfel ob t

semnifica ie 0,05 ( t0,05) f = n 1:

Cazuri:

1) t t0,05 ;

2) d t t0,05 co or ,

t0,01 co or ,

temei pentru respingerea, dar nici pentru acceptarea ipotezei. Decizia nu se poate

!!!;

3) t t0,01 , ipoteza se respinge.

Deoarece t depinde de ul gradelor de libertate f, valorile t0,05 i t0,01 cu care se

t ob n func ie

de f cu ajutorul tabelului 2, ANEXA 2 probabilitatea

ca valorile lui t t P t t P.

I t0,05 i t0,01 de semnifica ie i .

Pentru 0,05

P 1 0,9752

i pentru 0,01

P 1 0,9952

.

t0,05 i t0,01 se 2, ANEXA 2, la intersec ia coloanei

0,975, respectiv 0,995, cu f. De exemplu

f = 13, atunci t0,05 = 2,160, respectiv t0,01 = 3,012.

3.5.2. Puterea criteriului t

Pentru a determina riscul de genul II, a comiterii unei erori de genul II

nejuste):

11 m , (3.37)

.

Potrivit defini iei, puterea criteriului de a respinge ipoteza 0m m

m este afectat de o abatere sistemati ,

m este diferit de m0 ( 1 0m m m ).


7

Se poate da o care permite folosirea

elec

f n 1, este mare:

1 11 2 2

t tm 1

t t1 1

2 f 2 f

, (3.38)

unde: t 2, ANEXA 2, a nivelului de

t corespunde valorii P 12

din tabel;

1 este :

1 0 1 01

m m m m

s s

n n n

;

f este , f n 1, n .

Exemplu. Con

inutul mediu de

carbon al pieselor turnate dintr-o se

o selec = 20 (se iau 20 de piese produse din

aceea i inutului de carbon al celor

20 .

Deoarece nu se cunoa te dispersia 2

t.

n

i

i 1

x

x 2,42n

,

n2

i

i 1

x x

s 0,1517n 1

Se t:

0

calc

x m 2,42 2,35 0,07t 2,059

s 0,1517 0,034

n 20

Din tabelul 2, ANEXA 2, pentru P 97,5 i f = 20 1 = 19, t0,05 = 2,093.

tcalc < t0,05, deci

acesta este 2,35%.

Se calcul 0 = 2,35% = m1 = x = 2,42%

0,07


8

1 0 1 0

1

m m m m 0,072,064

s 0,1517

n n 20

1 1

2 2 2 21

t t 2,093 2,064 2,093 2,064m 1 1

t t 2,093 2,0931 11 1

2 19 2 192 f 2 f

1 0,027 3,959 1 0,01197 0,499963 0,488

abaterea sist este 1

2,1 (o de 0,07),

ob inem pentru func ia de putere a criteriului valoarea 1

m 0,49;

a % din cazuri vom accepta arja are un con inut mediu de carbon de

2,35%.

3.6. UTILIZAREA CRITERIULUI t MEDII

i distribuite normal din punct de vedere al caracteristicii x cu

mediile m1, m2 i dispersiile 2

1 , 2

2 necunoscute 1 2m m pe

baza datelor ob inute cu ajutorul a dou selec i.

Fie: 111 12 1n

x , x ,.....x ,

221 22 2nx , x ,.....x ,

ii ob inute prin cercetarea caracteristicii X a n1 i extrase din

n2 i extrase din a doua colectivitate.

Mediile de selec ie 1x , 2x m1, m2 i dispersiile de selec ie 2

1s i 2

2s

dispersiile 21 , 2

2 m1, m2 sunt egale,

de selec ie 1x , 2x se datore 1 2d x x Conform

ia 1x , 2x are o distribu ie

, mediile 1 1M x m , 2 2M x m i dispersiile 2

11

1

xn

D , 2

22

2

xn

D .

- 3.4, ipoteza 1 2m m se poate verifica cu ajutorul criteriului Z:

1 2

2 21 2

1 2

x xz

n n

. (3.39)

care, evident, se distribuie normal cu media 0 i dispersia 1, ceea ce ar permite aplicarea

criteriului Z s-ar cunoa te dispersiile 21 , 2

2 .


9

Deoarece dispersiile 21 , 2

2 sunt necunoscute, asupra lor se pot face :

a) 21 =2

2 ;

b) 212

2 .

Ipoteza 2 21 2 cu ajutorul raportului dispersiilor 2

1s , 2

2s cu ajutorul

F, Cursul 7, 3.7.

21s de

22s , dispersiile

21 ,

22

ipotezei 1 2m m pe baza diferen ei

1 2d x x i anume:

a) 1 2m m i 2 2

1 2 ;

b) 1 2m m i 2 2

1 2 .

3.6.1. Verificarea ipotezei 1 2m m i 2 2

1 2

n acest z devine:

1 2 1 2

2 21 2

1 21 2

x x x xz

1 1

n nn n

. (3.40)

trebuie s- cu estima ia s,

iilor.

D 21s , 2

2s sunt cu 2 2

1 2 ,

estima ia 2s a lui 2 este 21s , 2

2s

( ia 2s ):

2 22 1 1 2 2

1 2

f s f ss

f f, (3.41)

unde: 1 1 2 2 1 2 1 2f n 1; f n 1; f f n n 2.

rimea z a t:

1 2

1 2

x xt

1 1s

n n

, (3.42)

M t ia (3.42) are o Student t cu 1 2 1 2f f f n n 2 grade

de libertate, prin urmare verificarea ipotezei 1 2m m se poate face cu ajutorul criteriului t.


10

z aplicarea criteriului t nivelului de

. Vom compara t t

ie 2, tabelul 2 1 2 1 2f f f n n 2

grade de libertate:

1. 0,05t t a dintr medii 1 2d x x este

i nu se datore unei diferen e dintre mediile m1 i m2, iar ca atare

ipoteza 1 2m m

2. d 0,01 0,05t t t

necesar ie

mare de

3. 0,01t t a dintre cele , ci se

datore diferen m1 i m2 i

medii se respinge.

Obs. Pentru 0,05

P 1 0,9750,052

, iar pentru 0,01

P 1 0,9950,012

.

1 2m mm

atunci pentru media m i dispersia 2 ale ii generale se pot calcula

estima iile:

1 1 2 2

1 2

n x n xx m

n n, (3.43)

1 2n n2 2

1i 1 2i 22 2i 1 i 1

0

1 2

x x x x

sn n 1

. (3.44)

Deoarece media x se distribuie normal cu media m i dispersia 2

1 2n n

0

1 2

x mt

s

n n

, (3.45)

t 1 2 1f n n grade de libertate.

Pentru un

0 0

1 2 1 2

s sP x t m x t 1

n n n n, (3.46)


11

0

1 2

sx t

n n; 0

1 2

sx t

n n,

unde: x i 0s (3.43) i (3.44);

n1 i n2 selec ii ;

t ANEXA 2, tabelul 2 ie ales i

1 2 1f n n ii P 12

.

Obs. Pentru 0,05

P 1 0,9750,052

, iar pentru 0,01

P 1 0,9950,012

.

3.6.2. Verificarea ipotezei 1 2m m i 2 2

1 2

M z este:

1 2

2 21 2

1 2

x xz

n n

(3.47)

1 2m m 2 2

1 2 sunt necunoscute, se

21s ,

22s :

1 2

2 21 2

1 2

x xt

s s

n n

. (3.48)

Se demonstrea t t cu:

22

1 2

1f

1 cc

f f

(3.49)

grade de libertate, unde:

21

12 2

1 2

1 2

s

nc

s s

n n

, (3.50)

iar 1 1f n 1 i 2 2f n 1 sunt gradele de libertate ale dispersiilor de selec ie 2

1s , 2

2s .


12

Aplicarea criteriului t necesi .

t t

semnifica ie 2, tabelul 222

1 2

1f

1 cc

f f

grade de libertate:

1. 0,05t t medii 1 2d x x este

i nu se datore unei diferen e dintre mediile m1 i m2, iar ca atare

ipoteza 1 2m m

2. d 0,01 0,05t t t

necesar ie

mare de

3. 0,01t t a dintre cele

datore diferen m1 i m2 i

medii se respinge.

Obs. Pentru 0,05

P 1 0,9750,052

, iar pentru 0,01

P 1 0,9950,012

.

BIBLIOGRAFIE

1. Bulgaru, M., , www.cermi.utcluj.ro

2. Pop, M., .a., - , Editura RISOPRINT, Cluj-Napoca,

2008

3. Rancu, N., Tovissi, L., , Editura Academiei
http://www.cermi.utcluj.ro/


13

ANEXA 1

Tabelul 1


14

Tabelul 1 (continuare)


15

Tabelul 1 (continuare)


16

ANEXA 2

Tabelul 2

Documents

CURS 6