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METODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOSMETODOS CUANTITATIVOS PARA NEGOCIOS 18/05/2009

UPLA: Facultad de Ciencias Administrativas y Contables 1

“LA OPTIMIZACIÓN LINEAL:UN INSTRUMENTO DE GESTIÓN”“LA OPTIMIZACIÓN LINEAL:UN INSTRUMENTO DE GESTIÓN”

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Métodos Cuantitativos Métodos Cuantitativos de Negociosde Negocios

Universidad Peruana Los AndesFacultad de Ciencias Administrativas y Contables

CAPITULO 4: MODELOS DE OPTIMIZACIÓN: PROGRAMACIÓN LINEAL Y ENTERA

Objetivo de Aprendizaje:

Formular y resolver modelos de optimización: programación lineal y/o entera e

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y/o entera e Interpretar los resultados de un problema de programación lineal y/o entera mediante el análisis de sensibilidad



Contenido

•Modelos de Programación Matemática4.1

P ió Li l F l ió d P bl4 2

MODELOS DE OPTIMIZACIÓN: PROGRAMACIÓN LINEAL Y ENTERA

[email protected] 4

•Programación Lineal: Formulación de Problemas4.2

•Programación Lineal: Métodos de Resolución4.3

•Programación Lineal Entera4.4

4.1 Modelos de Programación Matemática..

El principal objetivo consiste en formular y resolverdiversos problemas, en los que se busca la mejordecisión posible entre un conjunto de alternativas,orientados a la toma de decisiones.

La naturaleza de los problemas abordados puede serdeterminística como en los Modelos de Programación

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determinística, como en los Modelos de ProgramaciónMatemática, donde la teoría de probabilidades no esnecesaria, o bien de problemas donde la presencia deincertidumbre tiene un rol preponderante, como en losModelos Probabilísticos.

Antes de precisar debidamente esta idea, veamos un ejemplo muy simple que nos permita ilustrar los conceptos que vamos a introducir:


Una empresa desea planificar su producción diaria de dos artículos A y B. La empresa puede disponer de un máximo de 12 horas diarias de mano de obra. Cada unidad de A requiere 3 horas, mientras que cada unidad de B requiere 2.

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Por otro lado, la producción requiere un insumo K del que la empresa puede disponer como máximo de 10 unidades diarias. Cada unidad de A requiere una unidad de K, mientras que cada unidad de B requiere 2 unidades de K. ¿Cuál es la máxima producción diaria que puede conseguir la empresa?, ¿Qué cantidad debe producir para ello de cada artículo?




El primer paso para abordar un problema como éste es modelizarlo, es decir, expresarlo en términos matemáticos precisos.

Para ello, llamamos x1 a la cantidad diaria producida de A y x2 a la cantidad diaria producida de B.

El problema es encontrar los mejores valores posibles para x1 y x2.

Ah b d ió di i ( ) i

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Ahora observamos que una producción diaria (x1, x2) requiere:• [3x1 + 2x2] horas diarias de mano de obra, • así como una cantidad [x1 + 2x2] del insumo K. • Por lo tanto sólo nos valdrán las soluciones (x1, x2) que

satisfagan: 3x1 + 2x2 ≤ 12 y x1 + 2x2 ≤ 10. • Hay otra condición implícita en el enunciado que es

fundamental explicitar: la producción no puede ser negativa, luego x1 ≥ 0, x2 ≥ 0.


Hay infinitas producciones posibles (x1, x2) que satisfacen todos estos requisitos. El problema es encontrar la mejor, es decir, la que hace que la producción total x1 + x2 sea máxima. La formulación matemática del problema es la siguiente:

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Se lee: Maximizar (la función) x1 + x2 sujeta a (las restricciones) 3 x1 + 2 x2 ≤ 12, etc.

Max. x1 + x2s.a. 3 x1 + 2 x2 ≤ 12

x1 + 2 x2 ≤ 10x1, x2 ≥ 0


Cualquier problema formulado en los términos anteriores recibe el nombre de problema, programa o modelo de programación matemática. Más precisamente, para determinar un modelo de programación matemática hemos de especificar:

Modelos y sus elementos

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• Las variables principales del modelo, que son las variables para las que queremos encontrar el mejor valor posible.

• Las restricciones, que son las condiciones que hemos de imponer a las variables para que una solución sea admisible como tal.

• La función objetivo, que es la función f : Rn → R que queremos maximizar o minimizar.




Para resolver un problema de programación matemática hay que aplicar técnicas diferentes según sus características, por ello es muy importante ser capaz de reconocer si un problema dado reúne las características necesarias para que le podamos aplicar unas técnicas determinadas. Distinguiremos tres tipos de problemas, más adelante introduciremos un

Clases de problemas

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cuarto tipo (los de programación lineal entera):

• Programación no lineal: Todos los problemas que vamos a estudiar se engloban dentro de la programación no lineal.

• Programación lineal: Si tanto su función objetivo como sus restricciones son lineales.

• Programación clásica: Si no tiene restricciones o bien tiene únicamente restricciones de igualdad.


Soluciones Una solución de un problema es cualquier valor ibl i bl i i l

Clases de soluciones

Para estudiar los problemas de programación matemática conviene clasificar como sigue sus posibles soluciones:


posible para sus variables principales.

Soluciones factibles/No factibles Una solución factible de un problema es una solución que satisface todas sus restricciones. En caso contrario se dice que es una solución no factible.

El conjunto de oportunidades de un problema es el conjunto Sformado por todas sus soluciones factibles.


Notemos que si un problema no tiene restricciones entonces todas las soluciones son factibles, por lo que el conjunto de oportunidades es S = Rn.

Clases de soluciones

S l i i i /d f


Soluciones interiores/de frontera Una solución factible de un problema es una solución de frontera si cumple alguna de las restricciones con igualdad (y en tal caso se dice que satura la restricción, o que la restricción está activa en dicha solución).

En caso contrario, es decir, si la solución cumple todas las restricciones con desigualdad estricta se dice que es una solución interior.




x2

6

5

3 x1 + 2 x2 ≤ 12Max. x1 + x2s.a. 3 x1 + 2 x2 ≤ 12

x1 + 2 x2 ≤ 10


x1

4

3

2

1

2 4 6 8 10 12

x1 + 2 x2 ≤ 10

x1 ≥ 0

x2 ≥ 0

1 2

x1, x2 ≥ 0


Es necesario introducir ciertas precisiones y distinciones en los conceptos de máximo y mínimo de una función:

Clases de Óptimos


Definición Consideremos una función objetivo f : Rn → R y un conjunto de oportunidades S Rn. Sea x S.

• Máximo global y Local• Mínimo global y Local


Máximo Global (y Local)

Máximo Local


Mínimo Global (y Local)

Mínimo Local




Un problema de programación matemática no tiene necesariamente una solución óptima.

Clases de problemas (según su solución)


Ahora bien, cuando no hay solución óptima ello puede deberse a dos causas muy diferentes y que nunca debemos confundir.

No debemos clasificar a los problemas en problemas con óptimo y problemas sin óptimo, sino que hemos de distinguir siempre a cuál de los tres tipos siguientes pertenece un problema dado:


Problemas con solución óptima. Aquí hay que entender que nos referimos a problemas con solución óptima global.

Problemas no factibles. Un problema no factible es un problema para el que todas las soluciones son no factibles, es


decir, tal que no existe ninguna solución que satisfaga las restricciones o, también, un problema cuyo conjunto de oportunidades es vacío.

Problemas no acotados. Un problema es no acotado si es factible pero no tiene solución óptima, es decir, si toda solución factible puede ser mejorada por otra.


Variables no negativas Una variable no negativa es una variable x sometida a una restricción la forma x ≥ 0. Las restricciones de

Clases de variables

Conviene clasificar las variables de un problema en los tres tipos siguientes:


x sometida a una restricción la forma x ≥ 0. Las restricciones de esta forma se llaman condiciones de no negatividad.

Variables no positivas Una variable no positiva es una variable x sometida a una restricción de la forma x ≤ 0. Las restricciones de la forma x ≤ 0 o x ≥ 0 se llaman condiciones de signo.

Variables libres Una variable libre es una variable no sometida a ninguna condición de signo.



4.2 Programación Lineal: Formulación de Problemas

Supongamos que se dispone de determinadaspiezas para la elaboración de dos productosfinales. Se dispone de 8 “piezas pequeñas” y 6“piezas grandes” que son utilizadas para elaborar

Elementos de un modelo de optimización.


piezas grandes , que son utilizadas para elaborarsillas (usando 2 piezas pequeñas y 1 piezagrande) y mesas (usando 2 piezas de cada tipo).

Interesa decidir cuántas sillas y mesas fabricar demodo de obtener la máxima utilidad, dado unbeneficio neto de U$ 15 por cada silla y de U$20por cada mesa fabricada.


Posibles soluciones factibles a considerar, esto essoluciones que respetan las restricciones del númerode piezas disponibles, son por ejemplo, fabricar:


•4 sillas, que reportan una utilidad de U$60•1 sillas y 2 mesas , utilidad de U$55•3 mesas, utilidad de U$60•1 mesa y tres sillas, utilidad de U$65•2 sillas y 2 mesas, utilidad de U$70•etc.


Un modelo matemático para hallar la mejor solución factible a este problema tiene tres

componentes básicas:


i.Las variables de decisión

ii.La función

objetivo

iii.Restricciones del problema




• que consiste en definir cuáles son las decisiones que se debe tomar.

Variables de

Decisión


En el ejemplo,x: número de sillas elaboradas.y: número de mesas elaboradas.


• que permita tener un criterio para decidir entre todas las soluciones factibles.

Función Objetivo


En el ejemplo, maximizar la utilidaddada por:

z = f(x,y) = 15x + 20y


• consiste en definir un conjunto de ecuaciones e inecuaciones que restringen los valores de las variables de decisión a aquellos considerados como factibles..

Restricciones


En el ejemplo, respetar la disponibilidad de piezaspara la fabricación de sillas y mesas:

Piezas pequeñas: 2x + 2y ≤ 8Piezas grandes : x + 2y ≤ 6

Se impone restricciones de no – negatividad:x,y ≥ 0




En resumen: Max 15x + 20ysa: 2x + 2y ≤ 8

x + 2y ≤ 6x,y ≥ 0


El ejemplo corresponde a un modelo de ProgramaciónLineal. Si además restringimos los valores de x e y anúmeros enteros, tendríamos un modelo deProgramación Entera. Por otra parte, si hubieseretornos crecientes a escala, deberíamos emplear unafunción objetivo no lineal como f(x,y) = cxa + dyb cona,b >1, y tendríamos un modelo de Programación NoLineal.


El problema consiste en decidir cuántas unidadestrasladar desde ciertos puntos de origen (plantas,ciudades, etc.) a ciertos puntos de destino (centros de

Ejemplos de Formulación. Problema de Transporte


, ) p (distribución, ciudades, etc..) de modo de minimizar loscostos de transporte, dada la oferta y demanda endichos puntos.Se suponen conocidos los costos unitarios detransporte, los requerimientos de demanda y la ofertadisponible.


Ejemplos de Formulación.Por ejemplo, suponga que una empresa posee dosplantas que elaboran un determinado producto encantidades de 250 y 450 unidades diarias,respectivamente.Di h id d d b t l d d t t d


Dichas unidades deben ser trasladadas a tres centros dedistribución con demandas diarias de 200, 200 y 250unidades, respectivamente. Los costos de transporte (en$/unidad) son:

C.Dist. 1 C.Dist.2 C.Dist.3Planta 1 21 25 15Planta 2 28 13 19




Ejemplos de Formulación..Ejemplos de Formulación..

Diagrama:C.D.1X11

Orígenes Destinos


Planta 1

Planta 2

C.D.2

C.D.3

X12

X21 X22

X13

X23



Variables de decisión:

xij = Unidades transportadas desde la planta i (i=1,2),h t l t d di t ib ió j (j 1 2 3)


hasta el centro de distribución j (j=1,2,3)

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de transporte dado por la función:

21x11+25x12+15x13+28x21+13x22+19x23



Restricciones del problema:

1) No Negatividad: xij ≥ 0


1) No Negatividad: xij ≥ 0

2) Demanda: CD1 : x11 +x21 = 200CD2 : x12 +x22 = 200CD3 : x13 + x23 = 250





3) Oferta :P1 : x11 + x12 + x13 ≤ 250


P2 : x21 + x22 + x23 ≤ 450

Las variables de decisión deben aceptar soluciones como números reales para tener un modelo de P.L.


DATOS:

CADA PLANTA

EMPRESA DOS PLANTAS CD1 200P1 250 CD2 200 P1 250P2 450 CD3 250 P2 450

CENTRO DE DISTRIBUCION

COSTOS DE TRANSPORTE A CADA CENTRO DE DISTRIBUCION


CD1 CD2 CD3P1 21 25 15P2 28 13 19

PLANTA 1X11 CANTIDAD QUE ENVIA LA P1 AL CD1X12 CANTIDAD QUE ENVIA LA P1 AL CD2X13 CANTIDAD QUE ENVIA LA P1 AL CD3

PLANTA 2X21 CANTIDAD QUE ENVIA LA P2 AL CD1X22 CANTIDAD QUE ENVIA LA P2 AL CD2X23 CANTIDAD QUE ENVIA LA P2 AL CD3

28.X21 + 13.X22 + 19.X23

COSTO DE ENVIO DE PLANTA 121.X11 + 25.X12 + 15.X13

COSTO DE ENVIO DE PLANTA 2


MINIMIZAR COSTOS

FUNCION OBJETIVO 11350

X11 X12 X13 X21 X22 X23COEFICIENTES DE FUNCION OBJETIVO 21 25 15 28 13 19

X11 X12 X13 X21 X22 X23


X11 X12 X13 X21 X22 X23VALORES DE LAS VARIABLES 200 0 50 0 200 200

RESTRICCIONESX11 X12 X13 X21 X22 X23

Restriccion (1) 1 0 0 1 0 0 200 200 =Restriccion (2) 0 1 0 0 1 0 200 200 =Restriccion (3) 0 0 1 0 0 1 250 250 =Restriccion (4) 1 1 1 0 0 0 250 250 ≤Restriccion (5) 0 0 0 1 1 1 450 400 ≤

COEFICIENTES RECURSOS DISPONIBLE

RECURSOS UTILIZADOS




ii) Problema de la dieta: este consiste en determinaruna dieta de manera eficiente, a partir de un conjuntodado de alimentos, de modo de satisfacer ciertosrequerimientos nutricionales.



Supongamos que se tiene la siguiente información:

Leche

(galon)

Legumbre

(1 porción)

Naranjas

(unidad)

Requerimientos

Nutricionales

Niacina 3,2 4,9 0,8 13

Tianina 1,12 1,3 0,19 15

Vitamina C 32 0 93 45

Costo 2 0,2 0,25



x1 : galones de leche utilizados en la dieta.

x2 : porciones de legumbre utilizadas en la dieta.



x3 : unidades de naranja utilizadas en la dieta.

Función Objetivo:

Minimizar el costo total de la dieta, dado por:

2 x1 + 0.2 x2 + 0.25 x3



Requerimientos mínimos de los nutrientesconsiderados:



3.2 x1 + 4.9 x2 + 0.8 x3 ≥ 13

1.12 x1+ 1.3 x2 + 0.19 x3 ≥ 15

32 x1+ + 9 x3 ≥ 45

x1 ≥ 0 ; x2 ≥ 0 ; x3 ≥ 0




iii) Problema de dimensionamiento de lotes: esteconsiste en hallar una política óptima de producciónpara satisfacer demandas fluctuantes en el tiempo, demodo de minimizar costos de producción e inventario



modo de minimizar costos de producción e inventario,considerando la disponibilidad de diversos recursosescasos.

Supongamos que una fabrica puede elaborar hasta 150unidades en cada uno de los 4 periodos en que se hasubdividido el horizonte de planificación y se tieneadicionalmente la siguiente información:


Periodos Demandas

(unidades)

Costo Prod.

(US$/unidad)

Costo de Inventario

(US$/unidad)

1 130 6 2

2 80 4 1



Supuestos adicionales:

1) Existe un inventario inicial de 15 unidades.

2) No se acepta demanda pendiente o faltante (esdecir, se debe satisfacer toda la demanda del periodo).

3 125 8 2.5

4 195 9 3



xt : número de unidades elaboradas en el periodo t.

It : número de unidades de inventario al final del periodo t.



t p

Función objetivo:

Consiste en minimizar los costos de producción y el costode mantenimiento de inventario.

6x1+ 4x2 + 8x3 + 9x4 + 2I1 + I2 + 2.5I3 + 3I4





Notar que en el óptimo I4 va a ser 0, así que inclusopodríamos no incluirla, pero de todos modos laconsideramos.



1) Restricciones de cotas, que reflejan la capacidad deproducción.

xt ≤150


2) Restricciones de no negatividad

xt ≥ 0



3) Restricciones de demanda

x1 + I0 – I1 = 130 Periodo 1 I0=15

x2 + I1 – I2 = 80 Periodo 2

x3 + I2 – I3 = 125 Periodo 3

x4 + I3 – I4 = 195 Periodo 4


iv) Problema de planificación financiera:

Supongamos que un banco dispone de $250 millonespara destinar a 4 tipo de créditos ofrecidos, los cualestienen las siguientes tasas de crédito:



tienen las siguientes, tasas de crédito:

• Primer crédito corriente :12%

• Segundo crédito corriente :16%

• Crédito para el hogar :16%

• Crédito personal :10%




La asignación de estos créditos, debe satisfacer la siguiente políticautilizada por la institución:


El monto asignado a los PCC, debe ser al menos,el 55% del monto asignado a los créditos


el 55% del monto asignado a los créditoscorrientes, y al menos un 25% del total del dineroprestado.

El SCC, no puede exceder el 30% del total deldinero prestado, por políticas tributarias el interésrecibido por el banco no debe exceder a un retornodel 14% sobre el capital prestado.


¿Cuánto asignar a cada tipo de crédito, de la maneramás eficiente, respetando la política del banco?




x1 :Monto asignado al PCC.

x2 : Monto asignado SCC.

x3 : Monto asignado al crédito para el hogar.

x4 : Monto asignado al crédito personal.


Se propone maximizar los retornos recibidos en laasignación, dados por:

Ejemplos de Formulación..Ejemplos de Formulación.. Función Objetivo:


0.12 x1 + 0.16 x2 + 0.16 x3 + 0.10 x4




x1 ≥ 0.55 ( x1 + x2 )x1 ≥ 0.25 ( x1 + x2 +x3 + x4 )x2 ≤ 0.30 ( x1 + x2 +x3 + x4 )

Ejemplos de Formulación..Ejemplos de Formulación.. Restricciones del problema:


(0.12x1+0.16x2+0.16x3+0.10x4 ) ≤ 0.14 ( x1+ x2 +x3 +x4 )

Adicionalmente: x1 + x2 +x3 + x4 ≤ 250


v) Problema de mezcla de productos: en esteproblema una refinería produce 4 tipos de gasolina (gas1, gas 2, gas 3 y gas 4). Dos características importantesde cada gasolina son su número de performance (NP) y



su presión de vapor (RVP), que están dados por:

NP RVP Barriles diarios

gas 1 107 5 3814

gas 2 93 8 2666

gas 3 87 4 4016

gas 4 108 21 1300


Estas gasolinas pueden ser vendidas directamente a unprecio de $2483 por barril o bien mezcladas paraobtener gasolinas de aviación (avgas A y avgas B). Lacalidad de estas dos últimas junto con sus precios de

t



venta son:

NP RV Precio por barril (US$)

avgas A Al menos 100 A lo más 7 26,45

Avgas B Al menos 91 A lo más 6 25,91




El NP y RVP de cadamezcla es un promediode los respectivos NP yRVP de las gasolinas



RVP de las gasolinasempleadas.

Se desea obtener unplan de venta de lasdistintas gasolinasque maximice losretornos.



xj : cantidad de barriles del gas j que son vendidos sinmezclar con j = 1 2 3 4



mezclar, con j = 1, 2, 3, 4.

xA : cantidad de barriles de avgas A.

xB : cantidad de barriles de avgas B.

xjA: cantidad de gas j usado en avgas A.

xjB: cantidad de gas j usado en avgas B.


Función objetivo:

Max 24,83 (x1 + x2 + x3 + x4) + 26,45xA + 25,91xB

Restricciones: x1 + x1A + x1B = 3814



x2 + x2A + x2B = 2666x3 + x3A + x3B = 4016x4 + x4A + x4B = 1300x1A + x2A + x3A + x4A = xA

x1B + x2B + x3B + x4B = xB




NP, avgas A:

NP B

100x

x108x87x93x107A

A4A3A2A1 ≥+++

x108x87x93x107 +++



NP, avgas B:

RVP, avgas A:

RVP, avgas B:

91x

x108x87x93x107B

B4B3B2B1 ≥+++

7x

x21x4x8x5A

A4A3A2A1 ≤+++

7x

x21x4x8x5B

B4B3B2B1 ≤+++


vi) Problema de expansión de la capacidad de unSistema de Potencia Eléctrica:

En este problema se desea planificar la expansión del id d d i t lé t i l i i t



la capacidad de un sistema eléctrico para los siguientesT años. La demanda (estimada) para el año tcorresponde a dt MW para t = 1, 2, ..., T. La capacidadexistente del sistema corresponde a ct MW para el añot = 1, 2, ..., T.


Existen 2 alternativas para la expansión de lacapacidad del sistema:

• Usar plantas térmicas a petróleo.



• Usar plantas térmicas a gas.

Se requiere una inversión pt por MW instalado de unaplanta a petróleo que esté operativa al comienzo delaño t, y el correspondiente costo para una planta a gases gt.




Por razones políticas y de seguridad, se ha decidido queno más del 30% de la capacidad instalada, correspondaa plantas a gas (nuevas).

C



Cada planta a petróleo tiene una vida de 20 años y unaplanta a gas una vida de 15 años.

Se desea proponer un plan de expansión al mínimocosto posible.



xt : cantidad de MW expandidos en planta a petróleo alinicio del año t, con t = 1, 2, ..., T.



yt : cantidad de MW expandidos en planta a gas al iniciodel año t, con t = 1, 2, ..., T.

zt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevas apetróleo al inicio del año t.

wt : cantidad total de MW disponible en plantas nuevasa gas al inicio del año t.


Función Objetivo:[ ]∑

=

+T

1ttttt ygxpMin



Restricciones:

20txz

20txz

dwzc

t

19tkkt

t

1kkt

tttt

>=

≤=

≥++

∑

∑

−=

=



......


15tywt

t

1kkt ≤= ∑

=



0w,z,y,x

T...1t30,0wzc

w

15tyw

tttt

ttt

t

t

14tkkt

≥

=≤++

>= ∑−=

4.3 Programación Lineal: Métodos de Resolución

Temario:

IIII..22.. ResoluciónResolución gráficagráfica dede problemasproblemas..II.3. Análisis de Sensibilidad.II 4 El Mét d Si l


II.4. El Método Simplex.II.5. Dualidad en Programación Lineal.II.6. Análisis de Sensibilidad o Post-Optimal44 ppt


Resolución gráfica de problemas.Resolución gráfica de problemas.

Consideremos el siguiente problema a resolver gráficamente:


Max z = 3x1 + 5x2

sa: x1 ≤ 42x2 ≤ 123x1 + 2x2 ≤ 18x1,x2 ≥ 0




..

Curvas de Nivel

Región de puntos factibles

9

x2

x* Solución Optima



6

2

4

4 6 x1

x*

x Solución Optima


Resolución

Resolución


gráfica de problemas.

gráfica de problemas.


En primer lugar, se debe obtener la región de puntosfactibles en el plano, obtenida por medio de laintersección de todos los semi - espacios quedeterminan cada una de las inecuaciones presentes en



determinan cada una de las inecuaciones presentes enlas restricciones del problema.




Enseguida, con el desplazamiento de las curvas de nivelde la función objetivo en la dirección de crecimiento dela función (que corresponde a la dirección del vectorgradiente de la función, ∇z(x1,x2) = (3,5)T), se obtiene la



g , ( 1, 2) ( , ) ),solución óptima del problema en la intersección de lasrectas: 2x2 = 12 y 3x1+2x2 = 18 (restricciones activas).Esto es:

x1* = 2 x2

* = 6z* = 3 x1

* + 5 x2* = 36


Notar que se pueden dar otras situaciones en labúsqueda de una solución óptima para esta clase deproblemas:

1) La solución óptima exista pero haya más def



una. En el ejemplo, considere la nueva funciónobjetivo: z = 6x1+4x2.2) El problema no tenga solución, dada una región depuntos factibles no - acotada. En el ejemplo,reemplace cada desigualdad ≤ por una ≥.3) El problema no tenga solución, porque no existenpuntos factibles. En el ejemplo, suponga queagregamos la restricción: x1 ≥ 5.



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