PROGRAMACIÒN LINEALMétodos Cuantitativos I

Docente : Ing. Eco. Rodolfo Rojas Gallo

3.1. Concepto 3.2. Programa Lineal 3.3. Formulación del programa lineal 3.4. Ejemplos de formulación de P.L 3.5. Ejercicios.

La programación lineal es un técnica matemática de planteamiento de problemas de negocios, que emplea el modelo especifico denominado programa lineal.

El uso de este modelo facilita la solución de la función objetivo ya que a través del uso de las ecuaciones y gráficos se encuentran primero las variables y luego el resultado final. (Función objetivo)

Modelo matemático que utiliza ecuaciones , inecuaciones , de primer grado para expresar las relaciones entre dos o más variables, y que se encuentran ligadas directamente al objetivo del problema que expresado se conoce como función objetivo de máximo o de mínimo.

También el modelo precisa que la variables son mayores o iguales a cero (No negativas)

Un programa lineal se plantea del texto del problema, y del cual se extraen la función objetivo ya sea de MAXIMIZACIÒN o de MINIMIZACIÒN, así mismo se establecen las RESTRICCIONES respecto a los recursos o condiciones que nos indiquen en el problema.

Por último se indicará que las variables ( X, Y ) son positivas o mayores o iguales a

cero

1.- Una empresa produce dos artículos cuyos precios de venta son 14 y 27 soles respectivamente. La fabricación de ambos pasa por tres procesos con 4000, 3600 y 2900 horas semanales. Para fabricar un artículo A, se requieren 3, 2 y 1 hora en cada proceso. Para el artículo B , se requieren 6, 4 y 2 horas en cada proceso.

Se requiere un P.L para MAXIMIZAR el ingreso de la empresa.

ENUNCIADO PROGRAMA LINEAL

RESOLVER

M. GRAFICO

M. ALGEBRAICO

SIMPLEX

EXCEL

SOFTWARE’s

P2

Sean : X = Unidades ha producir del artìculo A Y = Unidades ha producir del artìculo B Px = 14, Py = 27 Nos piden MAXIMIZACIÒN de INGRESOS La fabricaciòn pasa por tres procesos con

sus respectivos tiempos y disponibilidadesmelaboremos la siguiente tabla AUXILIAR

PROCESO 1

PROCESO 2

PROCESO 3 PRECIOS

ARTICULOS A (X)

3 2 1 14

ARIICULOS B (Y) 6 4 2 27

DISPONIBILIDAD 4000 3600 2900

De donde se origino el problema:◦ Una empresa produce 2 artículos, cuyos precios,

son 14 y 27.

I ) F.O : MAX(I) = 14X + 27Y

II) S.a : 3X + 6Y <= 4000 ( Proceso 1) 2X + 4Y <= 3600 ( Proceso 2) X + 2Y < = 2900 ( Proceso 3)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

1.-Un herrero con 80 kgs. de acero y 120 kgs. de aluminio quiere hacer bicicletas de paseo y de montaña que quiere vender, respectivamente a 20.000 y 15.000 Bolívares cada una para sacar el máximo beneficio. Para la de paseo empleará 1 kg. De acero y 3 kgs de aluminio, y para la de montaña 2 kgs. de ambos metales. ¿Cuántas bicicletas de paseo y de montaña venderá?

◦ Solucion :◦ Sean :

X = cantidad de bicicletas de paseo ha producir◦ Y = Cantidad de bicicletas de montaña ha

producir◦ Px = 20000 , Py = 15000◦ Para el proceso productivo utilizan acero ( 80Kgs)

y aluminio (120Kgs)◦ En una tabla podemos resumir el requerimiento

unitario para cada tipo de bicicleta según el material

MATERIALES

ACERO ALUMINIO PRECIOS

De paseo (X) 1Kg 3Kg 20000

De Montaña (Y)

2Kg 2Kg 15000

RECURSOS DE M.P

80Kgs 120Kgs

I ) F.O : MAX(I) = 20000X + 15000Y

II) S.a : X + 2Y <= 80 ( Por el Acero) 3X + 2Y <= 120 (Por el Aluminio)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

EJERCICIO 2.- . En un viaje desea transportar al menos 4 Tm. de la mercancía A y un peso de la mercancía B que no sea inferior a la mitad del peso que transporta de A. Sabiendo que cobra 30 pts./kilo de A y 20 pts./kilo de B, ¿cómo se debe cargar el camión para obtener la ganancia máxima?

Sean : X = Tns. que transpotarà el camiòn de mercancìa

A Y = Tns que trasnportarà el camiòn de l

mercancìa B Gx = ganancia por TN de A Gy = Ganancia por TN. De B El camiòn tiene una capacidad màxima de 9 TN Debe transportar por lo menos 4 TN de ARespecto a B , por lo menos debe ser la mitad de

A

I ) F.O : MAX(G) = 30000X + 20000Y

II) S.a : X + Y <= 9 ( Por la capacidad màxima) X >= 4 X – 2 Y =< 0

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

EJERCICIO 3 .-Los 500 alumnos de un colegio van a ir de excursión. La empresa que realiza el viaje dispone de 10 autobuses de 40 plazas y 8 de 50, pero sólo de 11 conductores en ese día. El alquiler de los autobuses pequeños es de 5000 pts. y el de los grandes de 6000 pts. ¿Cuántos autobuses de cada clase convendrá alquilar para que el viaje resulte lo más económico posible?

Sean: X = Cant. de Autobuses de 40, pequeños Y = Cant. de Autobuses de 50, grandes MIN (CT), es el objetivo Px= 5000 Py= 6000 MIN(CT) = 5000X + 6000Y La capacidad de los de tipo X, 40 La capacidad de los de tipo Y, 50 La cantidad total de estudiantes es 500

Por lo tanto: 40X + 50Y = 500 (Todos los alumnos iran) Se dispone de 11 conductores: X + Y <= 11 Se dispone de 10 buses de tipo X X <= 10 Se dispone de 8 buses de tipo Y Y <= 8

I ) F.O : MIN(CT) = 5000X + 6000Y

II) S.a : 40X + 50Y = 500 (Todos van) X + Y <= 11 (Por los conductores) X =< 10 (Tipo pequeño) Y =< 8 (Tipo grande)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

1. Disponemos de 210.000 euros para invertir en bolsa. Nos recomiendan dos tipos de acciones. Las del tipo A, que rinden el 10% y las del tipo B, que rinden el 8%. Decidimos invertir un máximo de 130.000 euros en las del tipo A y como mínimo 60.000 en las del tipo B. Además queremos que la inversión en las del tipo A sea menor que el doble de la inversión en B. ¿Cuál tiene que ser la distribución de la inversión para obtener el máximo interés anual?

Sean: X = Dinero invertido en acciones de tipo A Y = Dinero invertido en acciones de tipo B MAX(i); es el objetivo renx = 0.10 reny = 0.08 MAX(i) = 0.10X + 0.08Y Disponemos de 210.000 euros para invertir

en bolsa X + Y = 210000

Invertimos un máximo de 130.000 euros en las del tipo A

X =< 130000 Invertimos como mínimo 60000 euros en

las de tipo B Y => 60000 Queremos que la inversión en las del tipo A

sea menor que el doble de la inversión en B X – 2Y < 0

I ) F.O : MAX(i) = 0.10X + 0.08Y

II) S.a : X + Y = 210000 (Dinero a invertir) X =< 130000 (Din. a invert. en acc. Tipo A) Y => 60000 (Din. a invert. en acc. Tipo B) X – 2Y < 0 (Inv. Tipo A < doble inv. Tipo B)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

2. En una pastelería se hacen dos tipos de tartas: Vienesa y Real. Cada tarta Vienesa necesita un cuarto de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce un beneficio de 250 Pts, mientras que una tarta Real necesita medio Kg. de relleno por cada Kg. de bizcocho y produce 400 Ptas. de beneficio. En la pastelería se pueden hacer diariamente hasta 150 Kg. de bizcocho y 50 Kg. de relleno, aunque por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo. ¿Cuántas tartas Vienesas y cuantas Reales deben vender al día para que sea máximo el beneficio?

Sean: X = Número de tartas Vienesa Y = Numero de tartas Real MAX(I); es el objetivo Benx = 250 Ptas. Beny = 400 Ptas. MAX(I) = 250X + 400Y En una tabla podemos resumir el requerimiento

unitario para cada tipo de tarta:

INGREDIENTES

BISCOCHO RELLENO BENEFICIO

TARTA VIENESA (x)

1Kg 0.25 Kg 250

TARTA REAL (Y)

1Kg 0.50Kg 400

KG POR CADA INGREDIENTE

150 Kg

50 Kg

Por problemas de maquinaria no pueden hacer mas de 125 tartas de cada tipo

X <= 125

I ) F.O : MAX(I) = 250X + 400Y

II) S.a : X + Y =< 150 Kg (Por el biscocho) 0.25X + 0.50Y =< 50 Kg (Por el relleno) X + Y <= 125 (Por prob. De maquinaria)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

3. Una escuela prepara una excursión para 400 alumnos. La empresa de transporte tiene 8 autocares de 40 plazas y 10 autocares de 50 plazas, pero solo dispone de 9 conductores. El alquiler de un autocar grande cuesta 80 euros y el de uno pequeño, 60 euros. Calcular cuántos de cada tipo hay que utilizar para que la excursión resulte lo mas económica posible para la escuela.

4.-Una compañía posee dos minas: la mina A produce cada día 1 tonelada de hierro de alta calidad, 3 toneladas de calidad media y 5 de baja calidad. La mina B produce cada día 2 toneladas de cada una de las tres calidades. La compañía necesita al menos 80 toneladas de mineral de alta calidad, 160 toneladas de calidad media y 200 de baja calidad. Sabiendo que el coste diario de la operación es de 2000 euros en cada mina ¿cuántos días debe trabajar cada mina  para que el coste sea mínimo?.

Sean: X = Días trabajados en mina A Y = Días trabajados en mina B MIN(CT); es el objetivo Cosx = 2000 euros Cosy = 2000 euros MIN(CT) = 2000X + 2000Y Resumimos en una tabla las toneladas de

hierro de diferentes calidades producidas en cada mina:

CALIDADALTA

CALIDADMEDIANA CALIDAD

BAJA CALIDAD

COSTO DIARIO

MINA A (X) 1 Tm 3 Tm 5 Tm 2000

MINA B (Y) 2 Tm 2 Tm 2 Tm 2000

CANT. MIN. REQUERIDA

80 Tm 160 Tm 200 Tm

I ) F.O : MIN(CT) = 2000X + 2000Y II) S.a : X + 2Y => 80 Tm (Por Hiero alt. calidad) 3X + 2Y => 160 Kg (Por el Hierro med. cal.) 5X + 2Y => 200 (Por el hierro alta calidad)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

5. Se va a organizar una planta de un taller de automóviles donde van a trabajar electricistas y mecánicos. Por necesidades de mercado, es necesario que haya mayor o igual número de mecánicos que de electricistas y que el número de mecánicos no supere al doble que el de electricistas. En total hay disponibles 30 electricistas y 20 mecánicos. El beneficio de la empresa por jornada es de 250 euros por electricista y 200 euros por mecánico. ¿Cuántos trabajadores de cada clase deben elegirse para obtener el máximo beneficio y cual es este?

Sean: X = Numero de electricistas Y = Numero de mecánicos MAX(I); es el objetivo Benx = 250 euros Beny = 200 euros MAX(I) = 250X + 200Y Es necesario que haya mayor o igual número de

mecánicos que de electricistas X – Y =< 0

El número de mecánicos no supera al dobleque el de electricistas 2X – Y => 0Hay disponibles 30 electricistas X =< 30Hay disponibles 20 mecánicos Y =< 20

I ) F.O : MAX(I) = 250X + 200Y

II) S.a : X – Y =< 0 (Mecánicos >= electricistas) 2X – Y > 0 (Mecánicos =< doble electric.) X =< 30 (Electricistas) Y =< 20 (Mecánicos)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0

6. Para recorrer un determinado trayecto, una compañía aérea desea ofertar, a lo sumo, 5000 plazas de dos tipos: T(turista) y P(primera). La ganancia correspondiente a cada plaza de tipo T es de 30 euros, mientras que la ganancia del tipo P es de 40 euros.El número de plazas tipo T no puede exceder de 4500 y el del tipo P, debe ser, como máximo, la tercera parte de las del tipo T que se oferten. Calcular cuántas tienen  que ofertarse de cada clase para que las ganancias sean máximas.

Sean: X = Numero de plazas T (Turista) Y = Numero de plazas P (Primera) MAX(I); es el objetivo Ganx = 30 euros Gany = 40 euros MAX(I) = 30X + 40Y Hay 5000 plazas, a lo sumo, para los dos tipos: X + Y =< 5000

Número de plazas tipo T: X =< 4500Número de plazas tipo P: Debe ser, como

máximo, la tercera parte de las del tipo T X – 3Y =>0

I ) F.O : MAX(I) =30X + 40Y

II) S.a : X + Y =< 5000 (Nro plazas ofertadas) X =< 4500 (Nro de plazas del tipo T) X – 3Y =>0 (Nro de plazas del tipo P)

III. C.N.N : X>=0 , Y >= 0