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Béton précontraint
4A Génie civil
2012-2013
2
Introduction
Le béton est largement utilisé dans plusieurs types de structures grâce à son faible coût, à la
possibilité de le produire dans différents endroits, sous diverses formes et particulièrement
grâce à sa capacité de résistance en compression au niveau mécanique. Néanmoins, une limite
importante du béton est sa faible résistance en traction.
Ce défaut de faible résistance en traction du béton est amélioré par un remplacement des
renforts en aciers dont la résistance en traction est beaucoup plus grande. Ces renforts
subissent les efforts en traction à travers l’adhérence des aciers ancrés dans le béton. Dans le
cas de faibles valeurs d’efforts en traction, les aciers et une partie du béton peuvent subir ces
efforts. Dans ce cas la contrainte du béton est inférieure à la résistance en traction du béton.
Lorsque les efforts sont plus importants, la contrainte dans le béton dépasse la résistance en
traction qui génère les fissures dans les structures béton armée. Dans ce cas, on considère que
ces efforts en traction sont occupés seulement par les renforts en aciers.
La méthode de renforcement présentée ci-dessus est appelée le béton armé. Elle est très
efficace dans le cas où la dimension de la structure est faible ou modérée et où le niveau de la
fissuration n’est pas très important. Toutefois, quand la longueur de la poutre augmente à
quinzaine (ou jusqu’à centaine) de mètres, dans ce cas les aciers passifs ne sont pas suffisants
pour subir les charges ou pour diminuer les déformées et les fissurations. Cela influence donc
la durabilité de la structure.
L’exigence de construire des ouvrages à grande dimension a forcé les ingénieurs en génie
civil de trouver une méthode pour dépasser les difficultés rencontrées dans le béton armé. Et
l’idée du béton précontraint moderne a été proposée pour la première fois en 1928 avec
l’invention d’un ingénieur français, Eugène Freyssinet. Cet auteur a déposé les brevets qui
définissent à la fois le fonctionnement théorique du matériau « béton précontraint » et les
dispositifs technologiques de mise en œuvre. L’idée principale du béton précontraint est de
générer artificiellement dans les structures un système de contraintes préalables qui, ajoutées
aux effets des charges extérieures, permettent au béton de rester dans le domaine des
compressions (on supprime les contraintes en traction dans le béton). Il corresponde donc à
diminuer les déformées et à éliminer la fissuration dans le béton.
L’objectif de ce module dans un premier temps est de présenter les principaux concepts, les
aspects règlementaires et les techniques souvent utilisées dans le béton précontraint. Dans le
deuxième temps, on s’intéressera à la méthode du dimensionnement de la précontrainte des
éléments structuraux (isostatique et hyperstatique) suivant les normes Eurocode 2.
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Chapitre 1 : Généralité de la précontrainte
1. Présentation générale sur le principe de la précontrainte
Sur la figure 1.1 est présenté le principe du béton précontraint dont l’idée est de générer
artificiellement dans les structures un système de contraintes préalables qui, ajoutées aux
effets des charges extérieures, permettent au béton de rester dans le domaine des
compressions. Cet effet de précontrainte peut être modélisé comme les forces ponctuelles P
imposées aux deux extrémités de la poutre. La charge de précontrainte crée les contraintes en
compression dans le béton qui élimine donc la contrainte en traction sous la flexion des
charges extérieures. La contrainte totale dans la poutre est la contrainte en compression. Cela
permet donc à diminuer les déformées et à éliminer la fissuration dans le béton. Aujourd’hui,
ce principe peut être compris dans le sens plus large où la précontrainte (totale ou partielle)
permet de diminuer la fissuration dans le béton en autorisant certains efforts de traction du
béton.
Figure 1.1 : Principe de la précontrainte
2. Panorama des applications du béton précontraint
Le principe de la précontrainte a apparu depuis longtemps avant l’application dans le domaine
de génie civil. Un exemple est le cerclage en fer des tonneaux. Le refroidissement de cerclage
en fer engendre un serrage des douelles qui assure l’étanchéité des tonneaux.
En 1928, E. Freyssinet dépose le premier brevet de procédé de précontrainte qui comporte la
technologie de mise en œuvre et le choix des matériaux (notamment les aciers qui supportent
des tensions initiales élevées).
En 1934, les ingénieurs allemands (F. Dischinger et U. Finsterwalder) proposent les bases du
précontraint extérieur non adhérent qui sont ensuite appliquées aux ponts en 1937 et 1938.
En 1940, E. Freyssinet a présenté une nouvelle méthode avec un procédé de précontrainte par
câble et un ancrage par cône en béton.
Après la second guerre mondiale, la précontrainte se développe rapidement et est utilisée dans
de nombreux ouvrages : ponts routiers, ponts ferroviaires continus. Dans les années cinquante,
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U. Finsterwalder présente la technique de construction des ponts précontraints par
encorbellements.
Jusqu’à présent, la précontrainte est appliquée dans plusieurs types de structures: les ponts (à
haubans, ponts dalles courants), les bâtiments de dimension importante, les réservoirs, les
enceintes de réacteurs nucléaires, les pieux de fondation, les tirants d’ancrage, les
boulonnages des tunnels…
3. Différentes modes et les matériels de précontrainte
3.1 Classification de la précontrainte
La classification de la précontrainte peut être réalisée par divers moyens, par exemple
- par la source de la force de précontrainte qui consiste en 4 sources principales :
mécanique, hydraulique, électrique et chimique.
- Par la géométrie de membre (précontrainte linéaire ou circulaire).
- par la location des câbles de précontrainte par rapport de la section du béton qui
consiste de la précontrainte extérieure et intérieure
- par le procédé de la génération de précontrainte avant ou après le coulage du béton qui
consiste de précontrainte pré-tension et post-tension. Cette classification est la plus
importante.
On considère par la suite les deux types de classification qui sont les plus souvent abordés en
réalité.
3.1.1 Précontrainte extérieure et précontrainte intérieure
Quand les aciers de précontrainte sont à l’extérieure par rapport à la section en béton de la
structure, nous avons la précontrainte extérieure. Cette méthode de précontrainte est utilisée
depuis une vingtaine année notamment dans les ponts à grande dimension.
Vice versa, quand les aciers de précontrainte se localisent à l’intérieur de la section en béton
de la structure, nous avons la précontrainte intérieure. La plupart des structures en béton
précontrainte sont réalisées par la précontrainte intérieure. Dans ce cas, le béton est coulé
autour des aciers de précontrainte.
3.1.2 Précontrainte par pré-tension et précontrainte par post-tension
On distingue les précontraintes par pré-tension ou post-tension lorsque la création de
précontrainte dans les aciers est avant ou après le coulage du béton.
a. Précontrainte par pré-tension
Dans cette méthode, les câbles de précontrainte sont préalablement tendus sur un banc de
préfabrication. Très souvent le tracé des câbles est rectiligne. Le béton est ensuite coulé
directement au contact des câbles. Après le durcissement du béton, les câbles sont libérés et
coupés aux extrémités de poutre. L’adhérence entre les câbles et béton entraîne de contrainte
en compression dans la poutre. Cette méthode est donc adaptée à la production en usine.
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Figure 1.2 : Précontrainte par pré-tension
La précontrainte par pré-tension est efficace pour les poutres de faible portée de l’ordre de
30m maximum. Elle est donc très utilisée en bâtiment notamment pour la préfabrication des
poutrelles de plancher.
b. Précontrainte par post-tension
La mise en tension des armatures après le coulage et le durcissement du béton est définie
comme la précontrainte par post-tension. Ces armatures sont souvent logées dans les gaines
situées à l’intérieur du béton. En outre, les vérins sont utilisés pour tendres les armatures en
appuyant sur la pièce à comprimer. Cette méthode de précontrainte est utilisée notamment au
chantier pour les structures importantes à grande dimension.
Les étapes de la précontrainte par post-tension sont détaillées comme suivant :
- les gaines sont mises dans un premier temps dans le coffrage avant le coulage du béton
- après le durcissement du béton, les armatures de précontrainte sont mises dans les
gaines. Ces gaines empêchent donc le contact entre le béton et les armatures.
- Mise en place des dispositifs d’ancrage et de vérins
- Mise en tension des armatures
- Injection d’un colis de ciment
- Blocage par le système d’ancrage et puis couper les armatures
Les armatures peuvent être tendues aux deux extrémités de la pièce (ancrage actif - actif) ou
une seule extrémité (ancrage actif – passif).
L’injection est une étape importante dans le béton précontrainte par post-tension et à
l’intérieure du béton. Le coulis de ciment injecté dans les gaines permet d’améliorer
l’adhérence entre les armatures et les gaines (et donc entre les armatures et le béton). Il a
également un rôle pour la protection contre la corrosion des armatures. Quelques exigences
pour les coulis utilisés dans la précontrainte par post-tension sont notamment la faible
viscosité, la résistance suffisante, le faible retrait. En effet, une faible viscosité permet de
couler et pénétrer facilement le coulis dans la gaine et entre les fils des câbles de
précontrainte. Une résistance est suffisante pour assurer l’adhérence des armatures au béton.
De plus, le coulis choisi n’est pas agressif vis-à-vis de l’acier de précontrainte.
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Figure 1.3 : Précontrainte par post-tension
c. Avantages et limitations de la précontrainte par pré-tension et par post –tension
La précontrainte par pré-tension est efficace pour les éléments préfabriqués dans les usines.
Elle est plus économique par rapport à la méthode de précontrainte par post-tension car elle
n’a pas besoin des gaines, des dispositifs d’ancrage et de l’injection des coulis. De plus, elle
est plus simple à réaliser en assurant une bonne collaboration du béton et des armatures. Par
contre on peut compter parmi ses inconvénients sont sa limite du choix des formes des
éléments (due à la nécessité d’un système d’installations), sa difficulté de réalisation des
tracés courbes d’armatures et son impossibilité de régler l’effort dans les armatures après la
mise en tension.
Au contraire, la précontrainte par post-tension est très efficace pour les éléments à très grande
dimension avec différentes formes. En outre cette méthode permet de régler l’effort dans les
armatures après la mise en tension. Les tracés courbes des armatures sont également faciles à
réaliser.
3.2 Matériels de précontrainte
3.2.1 Les armatures de précontrainte
Les premiers éléments qu’on peut aborder dans la précontrainte sont les armatures de
précontrainte. On peut rencontrer les armatures sous la forme des barres ou les câbles.
a. Câbles
Les câbles sont formés à partir les fils en acier à haute résistance.
- Les fils ont les diamètres de 4, 5, 6, 7, 8, 10 ou 12.2mm.
- Dans le cas de précontrainte par pré-tension, pour assurer l’adhérence avec le béton,
les fils sont crantés, nervurés et ondulés.
- Dans le cas de post-tension, on utilise les fils lisses. Ces fils lisses sont mis en
juxtaposition pour former les câbles (par exemple un câble 547 constitué de 54 fils
de 7mm). Néanmoins, le plus fréquemment utilisés sont les torons qui sont composés
d’un fil central autour duquel s’enroulent six fils de diamètre plus faible. Deux types
de torons souvent rencontrés sont les T13S (section A=100mm2) et T15S
(A=150mm2). On a aussi les torons T13 (A=93mm
2) et T15 (A=139mm
2). Un câble
7
dans ce cas est formé de plusieurs torons ; par exemple un câble 12T13S consiste de
12 torons de type 13S et la section du câble est 12 x 100mm2=1200mm
2.
En réalité, nous avons les câbles plus utilisés comme les suivants :
- câbles à fils parallèles : 147, 187, 307, 547
- câbles formés de torons : 1T15S, 6T13S, 12T13S, 12T15S, 19T15S. Il existe
également les câbles 37T15S, 55T15S ou 127T15S comme dans la construction des
ponts à haubans.
b. Barres
L’armature de précontrainte dans ce cas est constituée à partir d’une barre rigide. Le diamètre
de la barre varie de 12 à 36mm. Dans certains cas, on peut utiliser les barres à 75mm de
diamètre. Ces barres de précontrainte peut être lisses munies de filetages aux deux extrémités
ou crénelées pour le vissage d’écrou. Ce type d’armature de précontrainte est peu utilisé en
France notamment dans le cas de la précontrainte à faible longueur.
(a) (b)
Figure 1.4 : Armatures de précontrainte : torons (a), barres (b)
3.2.2 Les gaines
Les gaines ne sont utilisées que dans la précontrainte par post-tension. Elles réservent dans la
section des places pour les armatures de précontrainte qui sont tendues après le coulage et le
durcissement du béton. Pour cela, ces gaines sont disposées dans le coffrage avant le coulage
du béton en fixant sur le ferraillage passif. Pour assurer la qualité de la procédure de
précontrainte :
- les gaines doivent avoir une résistance suffisante pour subir les charges appliquées due
à la pression hydrostatique du béton frais lors du bétonnage.
- Elles doivent être déformables suivant sa longueur qui permet de générer des tracés
courbes dans le béton.
- Elles sont étanches pour empêcher la pénétration de laitance dans les câbles
- Elles sont adhérentes au béton pour assurer la transmission de précontrainte à partir
des câbles au béton.
Le diamètre des gaines dépend de la section du câble enfilé. Le diamètre intérieur des gaines
doit être au moins égal à pA6.1 où pA est la section transversale du câble. Le tableau 1.1
donne quelques valeurs du diamètre des gaines en fonction du type de câble choisi.
8
Câble Diamètre intérieur de la gaine (mm)
6T13S 55
12T13S 65
12T15S 80
19T15S 100
Tableau 1.1 : Diamètre intérieur des gaines
3.2.3 Matériels de mise en tension : vérins
Le vérin constitue d’un cylindre et d’un piston qui délimitent une chambre. L’huile est
injectée dans cette chambre pour faite glisser le piston par rapport au cylindre. La mise en
tension des câbles est réalisée en appuyant le vérin sur le béton, alors que le câble est fixé au
piston. Cette fixation du câble au piston est assurée par le coincement ou par le vissage. Le
mouvement du piston lorsqu’on injecte l’huile tend donc les câbles.
Figure 1.5 : Mise en tension du câble par le vérin
3.2.4 Système d’ancrage et coupleurs
3.2.4.1 Système d’ancrage
Le système d’ancrage est important dans la procédure de précontrainte. Trois types d’ancrage
souvent utilisés sont : ancrage par coincement conique, calage et vis-écrou.
a. Ancrage par coincement conique
Ce type d’ancrage consiste d’une tête épaisse en acier percée de n trous (de 4 à 37) de forme
conique. Les torons après la mise en tension sont bloquées dans ces trous (chaque toron pour
un trou) au moyen de mors métalliques constitués de deux ou trois éléments appelés clavettes.
Le jonc d’assemblage est utilisé pour assurer la même position des clavettes.
9
Figure 1.6 : Ancrage par coincement conique
Cette technique est la plus utilisée sur les chantiers. Cependant, une limite de ce type
d’ancrage est le glissement relatif entre le câble et son ancrage (de l’ordre de 6 à 8mm) lors du
relâchement du câble par le vérin qui provoque une perte de tension dans les câbles.
b. Ancrage par calage
Figure 1.7 : Ancrage par calage
Ce type d’ancrage se compose d’une tête d’ancrage qui est fixée à l’extrémité du câble avant
de sa mise en tension et on les bloque par des cales sur le béton. L’effort de précontrainte est
reporté sur le béton par l’intermédiaire de cales (en forme de coquille de demi-cylindriques).
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Dans cette catégorie on utilise souvent le système BBR-B. Le câble dans ce cas est constitué
de n fils parallèles (de 7mm de diamètre). A leur extrémité, ces fils s’appuient sur une tête
d’ancrage métallique percée de n trous. Cette tête filetée extérieure permet de visser sur elle la
tige de traction du vérin et ainsi de tendre en même temps les fils (et donc le câble).
Ce type d’ancrage réduit le risque de glissement du câble par rapport à son ancrage mais il est
beaucoup plus encombrant que les ancrages à coincement conique à cause de l’allongement
du câble.
c. Ancrage par vis-écrou
Ce type d’ancrage est utilisé pour les barres de précontrainte qui sont filetées à chaque
extrémité. La mise en tension par le vérin est poursuivie par le serrage de l’écrou jusqu’à sa
mise au contact avec la plaque d’ancrage.
Figure 1.8 : Ancrage par vis – écrou des barres de précontrainte
3.2.4.2 Coupleurs
La construction des ouvrages en précontrainte peut être réalisée en plusieurs phases (par
exemple les ponts en encorbellement). Dans ces cas pour assurer la continuité de la force de
précontrainte en plusieurs tronçons d’une même poutre, on utilise les coupleurs. Ce type de
dispositif permet d’accrocher un nouveau câble dit secondaire à l’extrémité d’un câble dit
primaire déjà tendu.
11
Figure 1.9 : Système de coupleurs
3.2.4.3 Plaques d’ancrage
Les dimensions des plaques d’ancrage sont précisées dans les fiches d’agrément et sont
spécifiques pour chaque procédé de précontrainte. Le tableau 1.2 retient les ordres de
grandeur de quelques paramètres comme la taille de la plaque (D), la distance minimale entre
axes des plaques (d) et la distance minimale entre l’axe de la plaque et la paroi la plus proche.
Câbles D(cm) d(cm) e(cm)
6T13S 15 20 10 à 15
12T13S 20 à 25 25 à 30 15 à 20
12T15S 25 à 30 30 à 35 20 à 25
Tableau 1.2 : Dimension et disposition des plaques d’ancrage
3.2.5 Système d’injection de colis du ciment dans la gaine et cachetage
Le câble est muni à ses extrémités des tubes d’injection. Après la mis en tension des câbles,
le coulis est injecté à travers les tubes d’injection qui sont ensuite fermés lorsque la
consistance du produit est suffisante. La pression d’injection est de l’ordre de 1.5MPa.
La circulation de l’eau dans la structure de précontrainte est catastrophe pour la conservation
des armatures. Donc le cachetage est une opération importante pour assurer la protection des
armatures de précontrainte et l’étanchéité au niveau d’ancrage. Pour cela, les ancrages des
câbles sont en général logés dans des encoches qui sont positionnées à l’intérieure du béton
environ d’une dizaine de cm par rapport à la paroi. Cette encoche est bouchée avec beaucoup
de soin en utilisant les mortiers (mortier à l’époxy) qui empêchent toute entrée de l’eau à
l’intérieur des gaines. Pour les structures importantes, on peut utiliser un capot métallique
étanche définitif qui est injecté en même temps que les gaines.
3.3 Disposition des câbles dans le béton et enrobages
Très souvent dans les structures précontraintes, on utilise les câbles dont le tracé est curviligne
qui permet d’assurer une résistance optimale aux efforts appliqués. Néanmoins, la courbure
du câble ne doit pas être très forte pour réduire le frottement des câbles sur les gaines. On
limite les rayons de courbure aux valeurs minimales comme les suivantes :
- fils de 7mm : mR 5
- fils de 8mm et torons de 13mm : mR 6
- torons de 15mm : mR 8
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Pour avoir un bétonnage optimal autour des gaines, les gaines ne doivent pas être mises
juxtaposées. L’espacement entre les gaines doit vérifier les conditions suivantes :
- espacement suivant la direction verticale : ev , cmev 4 et dgev
- espacement suivant la direction horizontale : eh , cmeh 5 et cmdgeh 5
où est le diamètre de la gaine et dg désigne le diamètre du plus gros granulat.
Pour la protection des câbles contre la corrosion, l’épaisseur minimale des pièces (âmes,
hourdis…) est à trois fois le diamètre de la gaine. De plus, pour une âme comportant une
gaine centrée de diamètre , l’épaisseur minimale (en cm) est au minimum de :
)]5.32(102[2min àe
Un enrobage est calculé égal au diamètre du câble (majoré de 5mm si le diamètre du plus gros
granulat est supérieur à 32mm) avec une valeur minimale compris entre 20 et 50 mm. Cette
valeur est ensuite majorée de 10mm pour tenir compte des tolérances de pose.
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Chapitre 2 : Caractéristiques des matériaux, les sollicitations et les sections de calcul
Dans ce chapitre, les caractéristiques des matériaux (béton, aciers de précontrainte, aciers
passives), les sollicitations et les sections de calcul seront détaillés.
2.1 Le béton
Le béton est un matériau hétérogène dont la composition consiste de graviers, de sable, de
ciment et d’eau (et éventuellement les adjuvants). Donc les propriétés physiques du béton
dépendent de nombreux paramètres qu’on peut citer par exemple:
- la granulométrie et la nature des graviers et du sable
- la qualité du ciment et son dosage
- la teneur en eau
- la température, l’humidité, les conditions de mise en œuvre
- l’âge du béton
- la durée du chargement
2.1.1 Résistance à la compression et à la traction
La résistance caractéristique en compression ckf du béton est déterminée sur les éprouvettes
cylindriques à 28 jours d’âge. En effet, dans quelques pays, on peut mesurer cette résistance
sur les éprouvettes cubiques cubeckf , .
Selon l’Eurocode, la résistance du béton est définie par un couple cubeckck ff ,/ qui présentent la
résistance caractéristique déterminée sur les éprouvettes cylindrique et cubiques
respectivement. La relation entre ce couple est 8.0/ , cubeckck ff . L’EC donne les classes du
béton de C12/15 à C50/60. Pour les classes de résistance supérieure jusqu’à C90/105, ces
bétons sont appelés bétons à haute performance.
Très souvent, le béton est subi les chargements avant 28 jours. On définit donc une résistance
caractéristique jckf , à «j » jours après le coulage du béton :
jccck
js
ckjck feff ,
)28
1(
,
(2.1)
Où :
2.0s : ciment à haute résistance et à durcissement rapide (classe R)
25.0s : ciment normal à durcissement rapide (classe N)
38.0s : ciment à durcissement lent (classe S)
En effet, après 28 jours, la résistance du béton continue d’augmenter mais cette valeur assez
faible (de 15 à 20% à 90 jours) n’est pas prise en compte. La valeur moyenne de la résistance
en compression est égale :
MPaff ckcm 8 (2.2)
La résistance moyenne en traction du béton est déterminée comme la suivante :
14
60/50);10/1ln(12.2
60/503.03/2
Cff
Cff
cmctm
ckctm
(2.3)
La résistance caractéristique en traction est donc calculée en fonction du fractile à 5% ou
95% :
%95;3.1
%5;7.0
95.0,
05.0,
fractileff
fractileff
ctmctk
ctmctk
(2.4)
2.1.2 Courbe contrainte déformation
Sur la figure (2.1) est présentée la tendance générale de la courbe de contrainte déformation
du béton. On constate à partir de cette courbe quelques caractéristiques :
- la première partie correspondant à la déformation en traction du béton est très faible.
- Une partie dans une zone de faible compression est quasi-linéaire. Par la suite, la courbe
tend vers la forme parabolique avec un pic au voisin de 0.2% de déformation en compression.
Ensuite, l’apparition des microfissures dans le béton s’abaisse légèrement la courbe. La
rupture est constatée au moment où le raccourcissement est l’ordre de 0.3 à 0.4%
Figure 2.1 : Courbe de contrainte déformation du béton
Une forme analytique est proposée pour la courbe de contrainte déformation du béton comme
la suivante (qui est utile surtout dans le calcul non linéaire du béton) :
cm
ccm
c
c
ck
c
fEk
k
k
f
1
1
2
05.1
;
;)2(1
(2.5)
15
Où :
1c : déformation correspondant le pic de la courbe qui varie en fonction de classe du béton.
Par exemple pour le béton de fck=40MPa elle est de l’ordre de 0.23%.
cmE : module élastique sécant déterminée entre 0c et cmf4.0 . On peut utiliser la formule
suivante pour calculer cmE (en MPa) :
;)10/(22000 3.0
cmcm fE (2.6)
Pour la simplification dans les calculs des sections (la vérification de la résistance des
sections), la courbe de contrainte déformation en comprimé est adoptée sous la forme
parabole-rectangle dans le cas où MPafck 60 :
;5.3;
;20;)1(1
000
22
000
2
2
2
cuccckc
cc
c
cckc
f
f
(2.7)
Figure 2.2 : Courbe parabole – rectangle de contrainte déformation du béton en comprimé
On peut remarquer que dans les calculs des sections, la résistance caractéristique ckf est
remplacée par la résistance de calcul cdf . Cette dernière est déterminée comme la suivante :
c
ckcd
ff
(2.8)
avec :
c : coefficient partiel relatif au béton.
: coefficient tenant compte des effets à long terme sur la résistance en compression et des
effets défavorables résultant de la manière dont la charge est appliquée. Normalement, ce
coefficient est pris égal à 1 mais il peut varier de 0.8 à 1.
16
Pour ce qui concerne le coefficient de Poisson du béton, on prend une valeur de 0.2 pour le
béton non fissuré alors qu’il est égal à 0 dans le cas du béton fissuré.
2.1.3 Retrait du béton
Le phénomène de raccourcissement du béton en l’absence des chargements est appelé le
retrait cs . Il consiste de retrait de séchage cd dû à l’évaporation de l’eau libre dans le béton et
de retraite endogène ca .
cacdcs (2.9)
La déformation dûe au retrait de séchage évolue lentement car elle est fonction de la
migration de l’eau au travers du béton durci. Plus précisément, elle est fonction des
paramètres :
- teneur en eau
- dosage en ciment
- sécheresse de l’atmosphère (humidité relative)
- minceur des pièces
En fonction du temps, cette déformation de retrait de séchage est calculée à partir de cette
formule :
3
0
0,
04.0)(),(
),()(
htt
tttt
kttt
s
ssds
cdhsdscd
(2.10)
Où :
t est l’âge du béton à l’instant considéré (en jours)
st est l’âge du béton (en jours) au début du retrait de dessiccation (normalement à la fin de la
cure)
0h est le rayon moyen (mm) de la section transversale. Elle est calculée à partir de l’aire de la
section du béton cA et le périmètre de la partie de la section exposée à la dessiccationU . Donc
UAh c /20
hk est un coefficient dépendant du rayon moyen 0h . Il est présenté sur le tableau 2.1
0,cd est le retrait de dessiccation non gêné
0h hk
100
200
300
500
1.0
0.85
0.75
0.7
Tableau 2.1 : Valeur de hk en fonction de 0h
17
Tableau 2.2 : Valeurs nominales du retrait de dessiccation non gêné 0,cd (en 000 )
pour le béton avec des ciments CEM de la classe N
La déformation dûe au retrait endogène se développe au cours du durcissement du béton dont
une partie majeure est dans les premiers jours suivant le coulage. Au temps infini, le retrait
endogène ca est calculée (en 000 ) par la formule :
t
as
ckca
caasca
et
f
tt
2.0
6
,
,
1)(
10)10(5.2
)()(
(2.11)
où t étant exprimé en jours.
2.1.4 Fluage du béton
Le phénomène d’accroissement de la déformation du béton au cours du temps sous le
chargement constant est appelé le fluage du béton. Cette déformation dite également la
déformation différée dépend de plusieurs paramètres (composition du béton, âge du béton au
moment de la mise en charge, la contrainte appliquée). Elle est observée au bout de 3 à 5 ans
sous l’action des charges permanentes. Au contraire, la déformation est dite instantanée lors
de l’application des charges.
La déformation de fluage du béton à l’infini ),( 0tcc sous la contrainte de compression
c appliquée à l’âge du béton 0t est donnée par :
c
ccc
Ett
),(),( 00 (2.12)
Où :
),( 0t est la valeur finale du coefficient de fluage. Dans le cas où une grande précision n’est
pas exigée, et pour des taux limités de compression du béton, on peut prendre les valeurs
présentées dans le tableau 2.3. Les formules exactes de ce paramètre sont présentées dans le
chapitre suivant.
0t est l’âge du béton au moment du chargement (en jours)
18
Age du
béton au
chargement
(jours)
Rayon moyen 0h (mm)
50 150 600 50 150 600
Atmosphère sèche (intérieure)
RH=50%
Atmosphère humide (extérieure)
RH=80%
1
7
28
90
5.4
3.9
3.2
2.6
4.4
3.2
2.5
2.1
3.6
2.5
2.0
1.6
3.5
2.5
1.9
1.6
3.0
2.1
1.7
1.4
2.6
1.9
1.5
1.2
Tableau 2.3 : Coefficient de fluage à l’infini
2.1.5 Masse volumique
Dans le calcul de la section brute (la section du béton seul qui ne tient compte pas des trous
des gaines ou des aciers la traversant), le poids volumique du béton est pris égal à
0.025MN/m3
(densité de 2.5).
2.1.6 Coefficient de dilatation thermique
La valeur du coefficient de dilatation thermique du béton est prise égale à 161010 K
2.2 Les armatures de précontrainte
2.2.1 Résistance de l’acier de précontrainte
Les aciers de précontrainte (fils, torons et barres) sont caractérisés par leur résistance, décrite
par la valeur de la limite d’élasticité conventionnelle à %1.0 d’allongement )( 1.0 kpf , par la
résistance en traction )( pkf et par l’allongement sous charge maximale )( uk (figure 2.3). La
valeur caractéristique de )( uk est de l’ordre de 002 .
Figure 2.3 : Courbe contrainte déformation de l’acier de précontrainte
19
Les aciers de précontrainte (fils, torons) ont les résistances de l’ordre de :
MPafMPa
MPafMPa
pk
kp
19001600
16001400 1.0
(2.13)
Les barres de précontrainte ont la résistance en traction plus faible ( pkf de 1000 à 1200 MPa).
Pour le dimensionnement des sections, la courbe de contrainte déformation de l’acier de
précontrainte est simplifiée (courbe bilinéaire). Cette courbe peut consister :
- d’une branche inclinée avec une limite de déformation )( uk
- d’une branche supérieure horizontale, sans limite pour la déformation
Dans le calcul, la valeur de calcul de la contrainte de l’acier pdf est prise égale à :
pkkp
skppd
ff
ff
9.0
;/
1.0
1.0 (2.14)
Figure 2.4 : Courbe contrainte déformation simplifié de l’acier de précontrainte
et diagramme de calcul pour les aciers de précontrainte
2.2.2 Module d’élasticité
La valeur de calcul du module d’élasticité pE peut être prise égale à 205GPa pour les fils et
les barres. La valeur réelle peut varier entre 195 et 210GPa, selon le procédé de fabrication.
La valeur de calcul du module d’élasticité peut être prise égale à 195GPa pour les torons. La
valeur réelle peut varier entre 185 et 205GPa, selon le procédé de fabrication.
La masse volumique moyenne des armatures de précontrainte peut être supposée égale à 7850
kg/m3.
2.2.3 Relaxation
Le phénomène de diminution de la contrainte lorsque l’on tend un fil d’acier à une longueur
maintenue constante est appelé la relaxation. Il dépend de quelque paramètre notamment :
- de la qualité intrinsèque de l’acier.
20
- la tension initiale de l’armature. La relaxation est faible tant que la contrainte est inférieure à
60% de la limite en élastique. Plus la contrainte initiale est importante, plus la relaxation
augmente.
- la température. Ce paramètre sera pris en compte lorsqu’on injecte des gaines par de la cire
opération qui s’effectue à chaud.
On établi la perte de contrainte due à la relaxation des aciers de précontrainte sur la base de la
valeur 1000 , la perte par relaxation (en %) à 1000 heurs après la mise en tension, pour une
température de 20°C. Les caractéristiques du comportement en relaxation des armatures de
précontrainte sont fournies par le producteur.
L’Eurocode définit trois classes de relaxation
- classe 1 : fil ou toron – relaxation normale
- classe 2 : fil ou toron – basse relaxation
- classe 3 : barre laminées à chaud, ayant subi un traitement complémentaire
La valeur de 1000 peut soit être pris égal à 8% pour la classe 1, à 2.5% pour la classe 2 et 4%
pour la classe 3 soit être donné par le certificat.
La perte de contrainte par relaxation en fonction du temps exprimé en heures est de la forme :
3)1(75.0
10001 10)1000
(2
tek
k
pipr (2.15)
Où :
pi est la contrainte initiale
pkpi f/
Les valeurs de 1000 , 1k et 2k sont résumés dans le tableau 2.4
1000 1k 2k
Classe 1 8% 5.39 6.7
Classe 2 2.5% 0.66 9.1
Classe 3 4% 1.98 8
Tableau 2.4 : Paramètres des formules de relaxation
Pour les structures importantes, on utilise des aciers de classe 2 (torons ou fils à basse
relaxation).
Les valeurs à long terme (finales) des pertes par relaxation peuvent être estimées à un temps t
égal à 500 000 heures (soit 57 ans environ).
2.3 Les armatures passives
Les propriétés pour les aciers passifs du béton précontraint suivant la norme EN 10080 sont
caractérisées par :
- la limite élastique caractéristique ykf , généralement entre 400 et 600MPa. Si la limite
d’élasticité n’est pas prononcée, elle est remplacée par kf 2.0 qui correspond à un allongement
de %2.0 .
- le module d’élasticité GPaEs 200
21
- la résistance en traction tkf qui est définie comme la valeur caractéristique de la charge
maximale, en traction directe, divisée par l’aire nominale de la section.
Pour un calcul courant, on peut utiliser le diagramme contrainte déformation simplifié
(diagramme bilinéaire) qui consiste :
- soit d’une branche supérieure inclinée, avec une contrainte maximale sykfk / pour
00010uk avec yktk ffk /
- soit d’une branche supérieure horizontal de valeur s
ykf
(sans limite à uk ).
La valeur moyenne de la masse volumique peut être supposée égale à 7850kg/m3. Un
coefficient de dilatation thermique est 12 x 10-6
K-1
Figure 2.5 : Courbe contrainte déformation d’aciers de béton armé types
Figure 2.6 Diagramme bilinéaire de contrainte déformation d’acier passif
2.4 Les actions, les sollicitations et les sections de calcul
2.4.1 Les actions
Les actions sont l’ensemble des charges appliquées à la structure qui peuvent être dûes aux
poids propres, aux surcharges, à la dilatation thermique, au fluage…On distingue :
22
- les charges permanentes (G) qui représentent les actions permanentes ou peu variables dans
le temps. Les poids propres des éléments structuraux, des équipements fixes (cloisons,
revêtement…), les efforts exercés par des terres… sont classés dans ce type d’action.
- les charges variables (Q) dont l’intensité varie fréquemment et de façon importante dans le
temps. Cette classe d’action comporte :
+ les charges d’exploitation par exemple les charges de camion ou des convois, force de
freinage…
+ les charges non permanentes dans la phase de construction (équipements, matériaux,
engins…)
- les actions climatiques : neige, vent, température…
- les charges accidentelles (A) par exemple les effets du séisme, les chocs, explosions…
- la charge de précontrainte dans les structures en béton précontraint
Pour chaque situation de projet (en fonction de l’étape par exemple en construction, en
service…), différents types d’action appliqués à la structure seront définis. A partir de ces
actions, plusieurs combinaisons d’action sont effectuées. Dans EC2 les combinaisons sont
distinguées suivant les états limites ultimes (ELU) et les états limites de service (ELS).
- Etats limites ultimes sont les états où le dépassement conduit à la ruine de la structure. Ces
états correspondent à la limite de :
l’équilibre statique de la structure
la résistance du matériau
la stabilité de forme (flambement).
- Etats limites de service sont les états liés aux conditions normales d’exploitation et de
durabilité. Ces états correspondent à la limite de :
l’ouverture excessive des fissures
la compression excessive du béton
la déformation excessive : flèche maximale
la vibration inconfortable
2.4.2 Les sollicitations de calcul en ELU
Les sollicitations sont les efforts (l’effort normal et l’effort tranchant) ou moments (moment
fléchissant et moment de torsion) produis par les actions extérieures ou intérieures à l’élément
étudié. Ces sollicitations sont calculées pour chaque section droite d’élément.
a. Combinaison fondamentale
La combinaison fondamentale des actions est la suivante :
11minminmaxmax kQGGmp QGGP (2.16)
où :
p : coefficient applicable à la précontrainte. Ce coefficient vaut 1 dans une grande majorité
des cas. Néanmoins, dans certain cas où la précontrainte est défavorable, il peut prendre la
valeur 1.2.
PPPm 0 : valeur probable de la précontrainte telle qu’elle résulte du calcul des pertes de
tension. La précontrainte 0P représente la valeur à l’origine alors que P est la perte de
précontrainte.
minmax ,GG : valeurs défavorables et favorables des actions permanentes qui ressortent du
calcul.
23
minmax , GG : coefficients appliqués aux charges permanentes. Les valeurs de ces coefficients
sont respectivement 1.35 et 1.
1kQ : valeur caractéristique d’une action variable
1Q : coefficient appliqué à l’action variable. Ce coefficient vaut 1.5 dans le cas général et
égale à 1.35 pour les actions liées au trafic.
Si nécessaire, il faut ajouter les autres actions variables d’accompagnement :
iikQGGmp QQGGP 011minminmaxmax 5.1 (2.17)
b. Combinaison accidentelle
Dans le cas où l’action accidentelle est prise en compte (l’effet d’un séisme par exemple), on
a la combinaison suivante :
121minmax kmp QGGPA (2.18)
où :
A : l’action accidentelle
121 kQ : valeur quasi-permanente d’une action variable
Si nécessaire, dans le cas échéant, il faut ajouter les autres actions variables
d’accompagnement avec leurs valeurs quasi-permanentes.
2.4.3 Les sollicitations de calcul en ELS
Il est nécessaire de calculer en fourchette en remplaçant mP par kP qui représente 2 valeurs
caractéristiques de la précontrainte encadrant mP :
mk
mk
PP
PP
9.0
1.1
inf,
sup, (2.19)
Dans le cas où les câbles non liés au béton (câbles sans adhérence) les valeurs de kP sont :
mk
mk
PP
PP
95.0
05.1
inf,
sup, (2.20)
a. Combinaison caractéristique (ou non fréquente)
kiikk QQGGP ,01minmax (2.21)
b. Combinaison fréquente
kiikk QQGGP ,2111minmax (2.22)
c. Combinaison quasi-permanente
24
kiik QGGP ,2minmax (2.23)
2.4.4 Les sections de calcul : section bruite, section nette, section homogène, section
homogène réduite, section d’enrobage
a. Section bruite
La section bruite est la section du béton seul qui ne tient pas compte des trous des gaines ou
des aciers la traversant. On utilise la section bruite pour déterminer les sollicitations dûes au
poids propre ou calculer les flèches des ouvrages. Dans la phase de pré-dimensionnement,
cette section est également utilisée comme la précontrainte n’est pas connue à ce stade. Les
caractéristiques de la section bruite comprennent : la surface cbA , la position du centre de
gravité par rapport à la fibre inférieure cbY et le moment d’inertie cbI .
b. Section nette
La section nette est obtenue après la déduction des trous des gaines. Les caractéristiques à
nouveau pour cette section nette comportent : la surface cnA , la position du centre de gravité
cnY et le moment d’inertie cnI en enlevant la section des gaines.
La section nette est utilisée pour calculer les contraintes dues aux efforts permanents
(précontrainte, poids propre et autre charges permanentes). L’excentricité du câble est
calculée par rapport à la position du centre de gravité de cette section nette. Dans la phase de
dimensionnement, lorsque les positions des gaines sont connues, il faut utiliser la section
nette.
c. Section homogène
La section nette en ajoutant la section des câbles adhérents de précontrainte multipliée par un
coefficient d’équivalence est appelée la section homogène. Ce coefficient d’équivalence est
pris égal au rapport du module d’élasticité du câble de précontrainte sur celui du béton
( cp EE / ) qui est très souvent de l’ordre de 5. Pour évaluer les effets à long terme, ce
coefficient peut être compris entre 10 et 15.
La section homogène est utilisée pour le calcul des contraintes sous charges variables avec
une hypothèse du comportement élastique des matériaux. Dans le cas échéant, des armatures
passives peuvent être prises en compte dans le calcul de la section homogène de la même
façon.
Les caractéristiques de la section homogène sont: la surface chA , la position du centre de
gravité chY et le moment d’inertie chI .
25
(a) (b)
Figure 2.7 : Section bruite (a) et section nette (b)
