Corvinus matematika 2 példatár

1

MATEMATIKA, STATISZTIKA, MSC FELVÉTELI, MIKROÖKONÓMIA, VÁLLALATI PÉNZÜGYEK,

OPERÁCIÓKUTATÁS, ÜZLETI KÖZGAZDASÁGTAN ANGOL (ÁLTALÁNOS ÉS GAZDASÁGI)

Egyéni és kiscsoportos (2-4fő) vizsgafelkészítés (MSc felvételire is) már 500 Ft/óra/főtől

[email protected] facebook.com/corvinusmatek corvinusmatek.blogspot.hu

Corvinus Matematika 2 példatár

2





1. Végtelen sorok (megoldások részletes magyarázattal: facebook.com/corvinusmatek)

1.1. Feladat

Adjuk meg az alábbi sor összegét!

1.2. Feladat


1.3. Feladat


1.4. Feladat


1.5. Feladat


3





1.6. Feladat

Konvergens-e az alábbi sor?

1.7. Feladat


1.8. Feladat


1.9. Feladat


1.10. Feladat


4





2. Integrálás (megoldások részletes magyarázattal: facebook.com/corvinusmatek)

2.1. Feladat

2.2. Feladat

2.3. Feladat

2.4. Feladat

2.5. Feladat

2.6. Feladat

5





2.7. Feladat

2.8. Feladat

2.9. Feladat

2.10. Feladat

2.11. Feladat

2.12. Feladat

2.13. Feladat

6





2.14. Feladat

2.15. Feladat

2.16. Feladat

2.17. Feladat

2.18. Feladat

2.19. Feladat

7





3. A valószínűségszámítás alapfogalmai

3.1. Feladat

Egy kockát kétszer egymás után feldobunk. Mennyi annak valószínűsége, hogy a dobott

számok összege 7?

3.2. Feladat

A [0;1] intervallumon véletlenszerűen felveszünk egy értéket. Határozzuk meg a következő

események valószínűségét!

A: A felvett szám kisebb, mint ½.

B: A felvett szám legfeljebb ½.

C: A felvett szám pontosan ½.

3.3. Feladat

Egy 32 lapos kártyából kiveszünk egyszerre négy lapot. Tekintsük az alábbi eseményeket:

A: A kihúzott lapok közt legfeljebb három ász van.

B: A kihúzott lapok közt mind a 4 féle szín előfordul.

Határozzuk meg az alábbi valószínűséget!

8





4. Kombinatorika

4.1. Feladat

Egy 25 fős osztályban a tanár véletlenszerűen oszt ki 5 jegyet. Határozzuk meg, hányféleképp

oszthatók ki a jegyek az alábbi esetekben!

a) A tanár 5 különböző jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló csak egy jegyet kaphat.

b) A tanár 5 különböző jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló akár több jegyet is kaphat

c) A tanár öt egyforma jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló csak egy jegyet kaphat.

d) A tanár öt egyforma jegyet oszt ki úgy, hogy egy tanuló több jegyet is kaphat.

4.2. Feladat

Az 1,2,3,4,5 számjegyek felhasználásával felírunk egy négyjegyű számot. Hányféle szám

írható fel az alábbi esetekben?

a) A szám négy különböző jegyből áll.

b) A négyjegyű számot három különböző szám alkotja.

c) A négyjegyű szám két különböző számjegyből áll.

5. Mintavétel

5.1. Feladat

Egy dobozban 100 termék van, melyek közül 10 hibás. Véletlenszerűen kiveszünk 5 terméket

a dobozból. Az alábbi mintavételi módok esetén mennyi annak valószínűsége, hogy a kivett 5

termék közül 3 hibás?

A: A termékeket egyszerre vesszük ki.

B: Egymás után visszatevés nélkül húzunk.

C: Egymás után visszatevéssel húzunk.

9





5.2. Feladat

Egy dobozban 100 termék található, melyek közül 10 darab hibás. Véletlenszerűen húzunk a

dobozból 5 terméket. Mennyi annak valószínűsége, hogy az első 3 termék hibás, de a többi

nem az alábbi mintavételi módok esetén?

A: Egyszerre húzzuk ki az öt terméket.

B: Egymás után visszatevés nélkül húzunk.

C: Egymás után visszatevéssel húzzuk ki a termékeket.

5.3. Feladat

Egy dobozban 100 termék van, melyek közül 10 hibás. Kiveszünk 5 darab terméket egyszerre

és megszámoljuk, hogy hány termék hibás a kivett termékek közt, majd a kivett termékeket

vissza tesszük. Ezt követően ezt a kísérletet még háromszor ismételjük. Mennyi annak

valószínűsége, hogy pontosan egyszer fordult elő az, hogy a kivett termékek közt több volt

hibás, mint a jó termék?

6. Feltételes valószínűség, teljes valószínűség tétele, Bayes tétel

6.1. Feladat

Egy dobozban 8 új és 2 használt teniszlabda van. Az 1-es játékos véletlenszerűen húz a

dobozból 2 labdát. Játszik velük, majd visszateszi a dobozba. A 2-es játékos ezt követően

véletlenszerűen kivesz egy labdát dobozból.

a) Mennyi annak valószínűsége, hogy a 2-es játékos új labdát húz?

b) A 2-es játékos használt labdát húzott. Mennyi annak valószínűsége, hogy az 1-es játékos 2

használt labdát vett ki a dobozból?

10





7. Valószínűségi változók

7.1. Feladat

Egy olyan fej vagy írás játékban veszünk részt, melyben ha egy érme feldobásakor fej adódik

10 Ft-ot nyerünk, írás esetén pedig 5 Ft-ot vesztünk. Jelölje X a játékból származó

nyereményünket, mint valószínűségi változót. Adjuk meg az X eloszlásfüggvényét!

7.2. Feladat

Adjuk meg az alábbi sűrűségfüggvényhez tartozó eloszlásfüggvényt!

7.3. Feladat

a) A megadott sűrűségfüggvény esetén határozzuk meg az „a” paraméter értékét!

b)

8. Valószínűségi változók várható értéke, szórása

8.1. Feladat

Egy fej-vagy írás játékban a játékos 10 Ft-ot nyer, ha fej adódik és 5 Ft-ot veszít, ha írás lesz

az eredmény. Számítsuk ki a játék várható értékét és szórását!

11





8.2. Feladat

Határozzuk meg az alábbi sűrűségfüggvényhez tartozó valószínűségi változó várható értékét

és szórását!

9. Nevezetes valószínűségi eloszlások

9.1 Feladat

Az X normális eloszlású valószínűségi változó várható értéke 400, szórása 5. Mennyi annak

valószínűsége, hogy az X nagyobb, mint 394 és kisebb, mint 403?

9.2. Feladat

Határozzuk meg az alábbi valószínűséget a megadott feltételek alapján!

a) X Poisson eloszlású 0,09 várható értékkel.

b) X exponenciális eloszlású 1/λ várható értékkel.

c) X egyenletes eloszlású a [-1,1] intervallumon.

9.3. Feladat

Bizonyos fajta izzók élettartama exponenciális eloszlású 2 év várható értékkel.

Véletlenszerűen vásárolunk 10 darab izzót. Mennyi annak valószínűsége egy legalább 8 izzó

élettartama nagyobb, mint 8 év?

12





10. Kétdimenziós eloszlások (kovariancia, korreláció, függetlenség)

10.1. Feladat

Egy kockát kétszer feldobunk. X legyen a dobott hatosok, míg Y legyen a dobott egyesek

száma.

a) Adjuk meg az X és az Y együttes eloszlását jellemző táblázatot!

b) Adjuk meg az alábbi valószínűségeket az a) pontban meghatározott együttes eloszlás

alapján!

10.2. Feladat

Adjuk meg az alábbi sűrűségfüggvény alapján az együttes eloszlásfüggvényt, és az „A”

paraméter értékét!

10.3. Feladat

Az alábbi valószínűségeloszlás alapján állapítsuk meg, hogy független-e az X és az Y,

továbbá számítsuk a két változó kovarianciáját és korrelációját!

10.4. Feladat

Az alábbi eloszlásfüggvény alapján állapítsuk meg, hogy független-e az X és az Y

valószínűségi változó!

13





11. Csebisev egyenlőtlenség és a nagy számok törvénye

11.1. Feladat

Legyen X ismeretlen eloszlású valószínűségi változó 9 várható értékkel és 3 szórással.

Adjunk becslést az alábbi valószínűségekre!

11.2. Feladat

Legalább 10 százalékpontos pontosságú becslést szeretnénk adni egy közvéleménykutatás

során arra vonatkozóan, hogy a megkérdezettek hány százaléka ért egyet egy adott kérdéssel.

Legalább hány embert kell megkérdezni ahhoz, hogy a mintából kapott arány 90 %-os

valószínűséggel megfeleljen az előírt pontosságnak?

11.3. Feladat

Hányszor kell egy kockát feldobni ahhoz, hogy a mintából kapott bekövetkezési arány a hatos

dobásának valószínűségét 10 százalékpontnál kisebb hibával becsülje legalább 80 %-os

valószínűséggel?

Documents

Corvinus matematika 2 példatár