of 112 /112
Fritz Józsefné, Kónya Ilona, Pataki Gergely és Tasnádi Tamás MATEMATIKA 1. GYAKORLATOK 2011. Ismertető Szakmai vezető Tartalomjegyzék Lektor Pályázati támogatás Technikai szerkesztő Gondozó Copyright

Matematika Analízis 1 (példatár)

Embed Size (px)

DESCRIPTION

Matematika Analízis 1 (példák)

Text of Matematika Analízis 1 (példatár)

  • Fritz Jzsefn, Knya Ilona,Pataki Gergely s Tasndi Tams

    MATEMATIKA 1.GYAKORLATOK

    2011.

    Ismertet Szakmai vezetTartalomjegyzk LektorPlyzati tmogats Technikai szerkesztGondoz Copyright

  • ii

    A Matematika 1. elektronikus oktatsi segdanyag a Budapesti Mszaki s Gazda-sgtudomnyi Egyetem Villamosmrnki s Informatika Karn a mrnk-informatikusszakos hallgatk Analzis 1 trgyhoz kszlt, de haszonnal forgathatjk ms szakok,karok vagy mszaki fiskolk, egyetemek hallgati is, akik hasonl mlysgben hasonlanyagot tanulnak matematikbl.

    Az anyag numerikus sorok, sorozatok elmlett, egyvltozs vals fggvnyek hatr-rtkt, folytonossgt, differencilst s integrlst trgyalja. A defincik, ttelek,bizonytsok mellett kiemelt szerepet kapnak a pldk, s a gyakran elfordul feladat-tpusok megoldsai.

    A mintegy 260 oldalas elmleti anyagot kiegszti egy tbb, mint 100 oldalas plda-tr, amely tbbsgben megoldott, tematizlt gyakorlfeladatokat tartalmaz. A kt pdfllomny klcsnsen hivatkozik egymsra. Az eligazodst tartalomjegyzk, valamintaz elmleti anyagban tallhat trgymutat segti. A megrtst sznes brk knny-tik, az rdekld olvas pedig a Thomas Calculus illetve a Calculusapplets kapcsoldweboldalaira is elltogathat kls hivatkozsokon keresztl. A httrsznezssel tagoltelmleti anyag fekete-fehr vltozata is rendelkezsre ll, amely nyomtatsra javasoltformtum.

    Kulcsszavak: sor, sorozat, folytonossg, kalkulus, differencils, integrls.

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • iii

    Tmogats:Kszlt a TMOP-4.1.2-08/2/A/KMR-2009-0028 szm, a Termszettudomnyos

    (matematika s fizika) kpzs a mszaki s informatikai felsoktatsban cm projektkeretben.

    Kszlt:A BME TTK Matematikai Intzet gondozsban.

    Szakmai felels vezet:Ferenczi Mikls

    Lektorlta:Prhle Pter

    Az elektronikus kiadst elksztette:Fritz gnes, Knya Ilona, Pataki Gergely, Tasndi Tams

    Cmlap grafikai terve:Cspny Gergely Lszl, Tth Norbert

    ISBN 978-963-279-445-7

    Copyright: Fritz gnes (BME), Knya Ilona (BME), Pataki Gergely (BME), TasndiTams (BME)

    A c terminusai: A szerz nevnek feltntetse mellett nem kereskedelmi cllalszabadon msolhat, terjeszthet, megjelenthet s eladhat, de nem mdosthat.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • iv

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • Tartalomjegyzk

    Tartalomjegyzk 1

    1. Sorozatok 31.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n, log n) . . . . . . . . . 71.3. Sorozatok hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np n 1, nn n 1) . . . . . . . . . . . . 141.5. Rekurzve megadott sorozatok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 171.6. (1 + x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos feladatok . . . . . . . . . . 201.7. Limesz szuperior, limesz inferior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 251.8. Egy alkalmazs: a kr terlete . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27

    2. Sorok 292.1. Numerikus sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 292.2. Alternl sorok, Leibniz sorok . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 312.3. Majorns kritrium, minorns kritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . 332.4. Abszolt konvergencia, feltteles konvergencia . . . . . . . . . . . . . . . 352.5. Hibaszmts pozitv tag sorokra . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

    3. Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossga 413.1. Fggvny hatrrtke . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 413.2. Szakadsok tpusai . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 473.3. lim

    x0sinxx

    = 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk . . . . . . . . . . . . . . . . 49

    4. Egyvltozs vals fggvnyek derivlsa 534.1. Differencils a defincival . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 534.2. A derivlsi szablyok gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 554.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsa . . . . . . . . . . . . . . . . 584.4. Elemi fggvnyek . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 614.5. LHospital szably . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 684.6. Fggvnyvizsglat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 694.7. Abszolt szlsrtk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 764.8. Implicit megads fggvnyek derivlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78

    1

  • 2 TARTALOMJEGYZK

    4.9. Paramteres megads grbk . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80

    5. Egyvltozs vals fggvnyek integrlsa 825.1. Hatrozatlan integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 825.2. Parcilis integrls . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 875.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 895.4. Hatrozott integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 925.5. Terletszmts . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 945.6. Integrlfggvny . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 965.7. Integrls helyettestssel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1005.8. Improprius integrl . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1035.9. Integrlkritrium . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1. fejezet

    SorozatokAppElm1.1. Specilis (vgtelenhez tart) sorozatokElm

    Definci: Az an vals szmsorozat vgtelenhez tart, jelben limn

    an = +(vagy ms jellssel an

    n , vagy csak an ), ha P > 0 (P R) esetn N(P ) N , melyre

    an > P , ha n > N(P ).

    Definci: limn

    an = , ha

    M < 0 (M R) esetn N(M) N , melyrean < M , ha n > N(M).

    (Lehet M > 0 -val is definilni, ekkor ... an < M ...)

    1. Feladat: an = 6n3 + 3 , mert

    6n3 + 3 > P 6n3 > P 3 n > 3P 36

    ,

    teht N(P ) [

    3

    P 36

    ].

    ([x] az x egsz rszt jelli, mely az x -nl nem nagyobb legnagyobb egsz, pl.:[0.8] = 1 , [1.95] = 1.)

    3

  • 4 1. FEJEZET: SOROZATOK

    2. Feladat: an = 6n3 + 3n ,6n3 + 3n > P : most gy nem megy. Helyette becsls:

    6n3 + 3n 6n3 > P n > 3P

    6 N(P )

    [3

    P

    6

    ].

    (Az als becslsnl a 6n3 helyett llhatna n3, 3n, n, stb.)

    3. Feladat: an =n2 n , lim an =?

    n2 n hatrozatlan, alak, de az an =n(n 1) alakbl mr ltszik,

    hogy an .Az N(P ) kszbindex meghatrozsa:

    Azn2 n > P egyenltlensget nehzkes egzaktul megoldani. Inkbb valamilyen

    becslst alkalmazunk. Termszetesen tbb lehetsg van, pldul:n2 n =

    n(n 1) >

    (n 1)(n 1) = n 1 > P n > P + 1

    Ennek megfelelen: N(P ) [P + 1].

    Vagy:

    n2 n >

    n2 n

    2

    2=

    n2> P n >

    2 P.

    Ez a becsls akkor igaz, han2

    2> n , azaz ha n > 2 , teht a kszbindex:

    N(P ) max{2 , [2 P ]}.

    4. Feladat: an = n3 3n2 + 5n+ 9 , mert:

    n3 3n2 + 5n+ 9 > n3 3n2 > n3 n3

    2=n3

    2> P n > 3

    2P

    A becsls akkor igaz, ha n3

    2> 3n2, azaz ha n > 6 , gy

    N(P ) max{ [ 32P ] , 6}tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.1. SPECILIS (VGTELENHEZ TART) SOROZATOK 5

    5. Feladat: an =n3 + 3n

    n2 + 2 , , mert:

    n3 + 3n

    n2 + 2 n

    3

    n2 + 2n2=

    n

    3> P n > 3P N(P )

    [3P

    ].

    6. Feladat: an = n2 + 3n 9 , mert: +++

    n2 + 3n 9 < M (< 0) n2 3n+ 9 > M (> 0)Az egzakt megolds helyett most is rdemesebb elszr becslni:

    n2 3n+ 9 > n2 3n > n2 n2

    2=

    n2

    2> M

    A becsls akkor igaz, ha n2

    2> 3n , ami egy bizonyos N1 kszbindex esetn az

    n > N1 indexekre teljesl. (Nem kell N1 -et meghatrozni, elg ltni, hogy ltezik.)Teht N(P ) max{N1, [2M ]}.

    7. Feladat:

    Gyakorl feladatok:

    A megfelel defincival mutassa meg, hogy az albbi sorozatok -hez vagy -heztartanak!

    a) an = 7n5 + 5 , bn = 7n5 5

    b) an = 7n5 + 5n2 , bn = 7n5 5n2

    c) an =2n5 3n2

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 6 1. FEJEZET: SOROZATOK

    d) an = n4 2n3 + 6n2 + 3

    e) an = n3 + 50n2

    Ttel: Ha limn

    an = , s bn an , akkor limn

    bn =.

    Megjegyzs: Elegend, hogy bn an csak n > N0 indexekre teljesl.

    Ttel:(an

    n ) (bn = an n ).A tteleket nem bizonytjuk.

    8. Feladat:

    A fenti ttelek alkalmazsval mutassuk meg, hogy a kvetkez sorozatok-hez vagy -hez tartanak!

    a) an = n5 7n2 + 5n+ 3

    (an > n5 7n2 n5 n5

    2=n5

    2)

    b) an =n5 + 2n2 , illetve

    n5 2n2

    c) an =n4 + 2n3

    n4 5n3 (n 5)

    (an =n4 + 2n3 (n4 5n3)n4 + 2n3 +

    n4 5n3 =

    n2

    n27n

    1 +2

    n+

    1 5

    n

    7n1 + 2 +

    1 + 0

    = const. n)

    d) an =n6 n4

    n6 + 2n4

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.2. NAGYSGRENDEK SSZEHASONLTSA (nn, n!, 2n, nk, n, log n) 7

    (Legyen bn = an . Megmutatjuk, hogy bn , (ez knnyebb), ebbl mr kvetke-zik, hogy an .)

    9. Feladat: an = 3n6 + n5 3n6 n5 +++

    an =3 3

    2 + + 2, ahol = 3

    n6 + n5 , = 3

    n6 n5.

    1.2. Nagysgrendek sszehasonltsa (nn, n!, 2n, nk, n,log n)

    ElmA hatrozatlan alak, konkrt esetekben klnbz hatrrtkeket kaphatunk, pl-

    duln

    n2 0 , n

    3

    n , 3n

    5n 3

    5.

    Ttel:

    a)nn

    n!; b) n!

    2n; c) 2

    n

    n; d) n

    log2 n.

    Bizonyts:a)

    nn

    n!=n n . . . n1 2 . . . n n 1 1 . . . 1 = n =

    spec. rendrelv

    nn

    n!

    b)

    n!

    2n=n(n 1)(n 2) . . . 2 1

    2 2 . . . 2 n

    2 1 1 . . . 1

    2=n

    4 =

    spec. rendrelv

    n!

    2n

    c) Legyen an =2n

    n. +++

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 8 1. FEJEZET: SOROZATOK

    Egyrszt a sorozat monoton n, teht an+1 an , hiszen:2n+1

    n+ 1

    ? 2n

    n= 2n ? n+ 1 = n 1

    Msrszt a pros index rszsorozat vgtelenhez tart:

    a2n =22n

    2n=

    2n 2n2 n = 2

    n1an 2n1a1 = 2n .E kt tulajdonsgbl kvetkezik, hogy an .

    d) Legyen an =n

    log2 n.+++

    Belthat, hogy a sorozat monoton n (ezt csak ksbb tudjuk megmutatni), s a2k . Ebbl a kt tulajdonsgbl kvetkezik az llts.

    A kvetkezt kaptuk:

    nn n! 2n nk n 1k log n, k N+

    Itt a jelet gy kell olvasni hogy ersebb, vagy nagyobb nagysgrend. Ezeket afogalmakat a flv vgn pontostjuk.

    Belthat, hogy an -bl kvetkezik, hogy 1an 0 .

    Ennek alapjn az elzekbl kvetkezik :

    log n

    n 0; n

    2n 0; 2

    n

    n! 0; n!

    nn 0

    1.3. Sorozatok hatrrtkeElm

    Szksges ismeretek:lim an = A defincija; pldk N() meghatrozsra; konvergens sorozat korltos;divergens sorozatok; mveletek konvergens szmsorozatokkal.

    Nhny feladat az eladson tanultakkal kapcsolatban:

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.3. SOROZATOK HATRRTKE 9

    10. Feladat: an =3n2 + 4n+ 7

    n2 + n+ 1 3, N() =?

    |an A| =3n2 + 4n+ 7n2 + n+ 1

    3 = n+ 4

    n2 + n+ 1 n+ 4n

    n2=

    5

    n< ,

    N() [5

    ]Persze mskpp is majorlhatunk. Ha egyszeren megoldhat, clszer olyan becslseketalkalmazni, melyek minden n -re jk.

    11. Feladat: an =n2 108

    5n6 + 2n3 1 , limn an =?, N() =?

    an 0, mert an = n2

    n6= 1n4 0

    1 108n2

    5 + 2n3 1

    n6

    0 1 05 + 0 0 = 0

    |an A| = n2 1085n6 + 2n3 1

    ha n 104= n2 1085n6 + 2n3 1 >0

    1, k N+

    A fenti bekeretezett formulkat bizonyts nlkl felhasznlhatjuk a feladatok meg-oldsnl.

    Vizsglja konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!

    21. Feladat: an =(2)n + 35 + 7n

    =

    (27

    )n 1 + 3 (12

    )n5

    (1

    7

    )n+ 1

    0 1 + 00 + 1

    = 0

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.3. SOROZATOK HATRRTKE 13

    22. Feladat: an =(3)n+1 + 22n+3

    8 + 5n=3 (3)n + 8 4n

    8 + 5n=

    =

    3 (3

    5

    )n+ 8

    (4

    5

    )n8 (1

    5

    )n+ 1

    0 + 00 + 1

    = 0

    23. Feladat:

    an =(3)2n

    (3)n + 10n ? bn =(3)2n

    3n + 9n ? cn = 9

    n

    3n + 2n ?

    24. Feladat: an =n3 2n + 3n

    22n 3n2 =n3 2n + 3n

    4n 3n2 =n3(12

    )n+(34

    )n1 3n2(1

    4

    )n 0(Felhasznltuk, hogy nk an 0, ha |a| < 1.)

    25. Feladat: +++A q R paramter fggvnyben hatrozzuk meg a kvetkez sorozat hatrrtkt:

    an =22n

    (3)n + qn ?

    26. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorozatokat!

    a) an =5n+2 + (1)n

    5n

    b) an =(2)n 3n3n+1 + 22n

    c) an =4n1 + n5 3n+3

    22n+3 + 2n3

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 14 1. FEJEZET: SOROZATOK

    d) an =2n1 + n8 4n

    7 + 23n+1

    1.4. Kt nevezetes hatrrtk ( np

    n 1, nn n 1)

    limn

    np = 1, p > 0 lim

    nnn = 1

    27. Feladat: Keresse meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!

    a) an =2n2n , b) bn =

    n2n , c) cn =

    2nn

    Megolds.

    a) an 1 , mert az nn sorozat rszsorozata.

    b) bn = n2n = n

    2 nn 1 1 = 1

    c) cn = 2n

    2n

    2=

    2n2n

    2n2 1

    1= 1 , mert a szmll s a nevez is kt rszsorozat.

    Vagy egyszerbben:

    2nn =

    nn

    1 = 1

    28. Feladat: Vizsglja meg konvergencia szempontjbl a kvetkez sorozatot!

    an =nn+ 1

    Megolds.A rendrelvvel dolgozunk:

    nn1

    bn = nn+ 1 nn+ n = n

    2 nn

    1 1= bn 1 .

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.4. KT NEVEZETES HATRRTK ( np

    n 1, nn n 1) 15

    Termszetesen 1 < bn als becsls is j.

    29. Feladat:

    an =n2n3 + 3 bn =

    n

    2n2 + 3

    4n2 + n

    Megolds. Ezek a pldk csak rendrelvvel oldhatk meg!!!! (Nem tudjk megkerlni.)

    n31

    an = n2n3 + 3 n

    2n3 + 3n3 =

    n5 ( nn)3

    1 13 = 1= an 1 .

    n

    2

    51

    =n

    2n2

    4n2 + n2 bn = n

    2n2 + 3

    4n2 + n n

    2n2 + 3n2

    4n2=

    n

    5

    41

    = bn 1 .

    Msik megolds: bn := nn

    Megmutatjuk, hogy n 12

    . . .

    Ezrt0.4 < n < 0.6 , ha n > N0 (N0)

    Ekkor n0.4 1

    < bn =nn N0

    = bn 1 (Most is a rendrelvet hasznltuk fel.)

    30. Feladat:an =

    n2n

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 16 1. FEJEZET: SOROZATOK

    Megolds.

    an = n

    nn

    1s n1 1 GY NEM!!!!

    Ez gy "letakars". Nem tanultunk olyan ttelt, amely szerint gy csinlhatnnk. Csaka sejtshez hasznlhat a "letakars".Egy helyes megolds:

    nn 1 = 0.9 < nn < 1.1 , ha n > N0 (N0)

    Ekkor n0.9 1

    < an 0) = a2n 7 an + 10 = (an 2) (an 5)? 0

    Mivel a)-ban belttuk, hogy 2 an 5 , ezrt az elz teljesl s gy (an)monoton n.

    Megmutattuk, hogy a szmsorozat monoton s korltos= (an) konvergens, s fennll:

    A = limn

    an = limn

    (7 10

    an

    )

    A = 7 10A

    = A = 5 vagy A = 2.

    A = 2 nem lehet, mivel an a1 = 4 , ezrt an nem esik a 2 szm pl. 1 sugarkrnyezetbe. gy A = lim

    nan = 5 .

    33. Feladat: Vizsglja az albbi sorozatok konvergencijt!

    an =2 an1 + 3

    a) a1 = 1 : (an) = (1 , 2.236 , 2.73 , )

    b) a1 = 5 : (an) = (5 , 3.605 , 3.195 , )

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.5. REKURZVE MEGADOTT SOROZATOK 19

    Megolds.

    A =2A+ 3 = A2 2A 3 = 0 = A = 1 vagy A = 3 .

    Most csak A = 3 jhet szba, hiszen an > 0. Ha teht a szmsorozat konvergens,akkor A = 3 . Ezrt dolgozunk majd a korltossgnl is a 3 -mal. A megolds vzlata:

    a) Megmutathat teljes indukcival, hogy (an) monoton n s szintn teljes indukci-val, hogy an < 3 . Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 .(A Segdletben van hasonl plda kidolgozva.)

    b) Most teljes indukcival megmutathat, hogy (an) monoton cskken s an > 3 .Teht a sorozat konvergens s az elzek miatt A = 3 most is.

    34. Feladat:Gyakorl pldk:

    a)

    an+1 =8 an 7 , n = 1, 2, s a1 = 4

    (an) = (4 , 5 , 5.74 , )a) Bizonytsa be, hogy 1 < an < 7 !

    b) Igazolja, hogy a sorozat monoton!

    c) Konvergens-e ez a sorozat? Ha igen, mi a hatrrtke?

    b)

    an+1 =a2n 8

    7, n = 1, 2, s a1 = 9

    (an) = (9 , 10.43 , 14.4 , )

    a) Mely vals szmok jhetnek szba a sorozat hatrrtkeknt?

    b) Igazolja, hogy an > 8 , n N+c) Igazolja, hogy a sorozat monoton!

    d) Konvergens-e a sorozat!

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 20 1. FEJEZET: SOROZATOK

    c) Legyen

    a1 = 5, an+1 = 8 12an

    rekurzve adott sorozat! (an) = (5 , 5.6 , 5.85 , )a) Mutassa meg, hogy 2 an 6 minden n N -re!b) Indokolja meg, hogy (an) konvergens! A felhasznlt ttelt rja le!c) Hatrozza meg az (an) hatrrtkt!

    1.6. (1+x/n)n n ex hatrrtkkel kapcsolatos felada-tok

    Elmlimn

    (1 +

    x

    n

    )n= ex felhasznlhat.

    llaptsuk meg a kvetkez sorozatok hatrrtkt!

    35. Feladat:

    an =

    (1 +

    1

    6n2

    )6n2+2Megolds.

    an =

    (1 +

    1

    6n2

    )6n2 (1 +

    1

    6n2

    )2 e 12 = e

    (en rszsorozatrl van sz.)

    36. Feladat:

    an =

    (n+ 5

    n 4)n+3

    Megolds.

    an =

    (1 +

    5

    n

    )n(1 +4n

    )n (1 +

    5

    n

    )3(1 +4n

    )3 e5e4 1313 = e9

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 21

    Ms talaktssal:

    an =

    (n 4 + 9n 4

    )n4+7=

    (1 +

    9

    n 4)n4

    (1 +

    9

    n 4)7 e9 17 = e9

    Ez a fajta talakts bizonyos pldknl sokkal hosszabb, ezrt az els mdszert hasz-nlata javasolt, de persze ez nem ktelez.

    37. Feladat:

    an =

    (n2 + 2

    n2 + 3

    )n2+7Megolds.

    an =

    (n2 + 2

    n2 + 3

    )n2(n2 + 2

    n2 + 3

    )7=

    (1 +

    2

    n2

    )n2(1 +

    3

    n2

    )n2 1 + 2n21 +

    3

    n2

    7

    e2

    e3 17 = 1

    e

    Msik megolds:

    an =

    ((n2 + 3) 1n2 + 3

    )(n2+3)+4=

    (1 +

    1n2 + 3

    )n2+3(1 +

    1n2 + 3

    )4 e114 = 1

    e

    38. Feladat:

    an =

    (3n+ 5

    3n 4)3n

    , bn =

    (3n+ 5

    3n 4)2n

    Megolds.

    an =

    1 + 53n1 +43n

    3n

    e5

    e4= e9

    bn =

    1 + 53n1 +43n

    2n

    =

    1 + 5/3n1 +4/3n

    n

    2

    (

    e5/3

    e4/3

    )2= e6

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 22 1. FEJEZET: SOROZATOK

    39. Feladat:Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!

    a) an =(1 +

    1

    n

    )5nb) an =

    (1 +

    1

    5n

    )nc) an =

    (1 +

    1

    5n

    )6nd) an =

    ((1 +

    1

    n

    )10)n

    e) an =

    (5 1

    n

    )n(5 +

    1

    n

    )n f) an =(1 +

    8

    n

    )2n

    g) an =(n+ 7

    n+ 4

    )n+4h) an =

    (n+ 7

    n+ 3

    )ni) an =

    (2n+ 7

    2n+ 3

    )2nj) an =

    (2n+ 7

    2n+ 3

    )n

    k) an =(2n+ 7

    2n+ 3

    )2n+5

    40. Feladat:

    Gyakorl pldk:A paramterek megadott rtkeire keresse meg az albbi sorozat hatrrtkt!

    an =

    (3n3 + 5

    3n3 + 3

    )n3+a) = 3 , = 0 b) = 3 , = 2

    c) = 1 , = 0 d) = 6 , = 0

    41. Feladat:

    an =

    (1 +

    1

    n2

    )ntankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 1.6. (1 + x/n)n n ex HATRRTKKEL KAPCSOLATOS FELADATOK 23

    Megolds.

    GY TILOS! : an =n

    (1 +

    1

    n2

    )n2 ne 1

    Ez gy "letakars"! Ez a sejtshez hasznlhat:

    n

    (1 +

    1

    n2

    )n2 ne 1

    De preczen meg kell mutatni. (Persze kimondhat lenne hasznlhat ttel, de mi nemmondtunk ki ilyent.)Helyesen:

    ne 0, 1 1

    < an =

    n

    (1 +

    1

    n2

    )n2

    e

    < ne + 0, 1 1

    , ha n > N0

    = an 1Persze ms becsls is j. Pl.: n

    2 an < n

    3 stb.

    42. Feladat:

    an =

    (1 +

    1

    n

    )n2Megolds.

    an =

    ((1 +

    1

    n

    )n)n 2n =

    spec. rendrelvan

    43. Feladat: +++

    a) an =

    (1 1

    n4

    )n3b) bn =

    (1 1

    n4

    )n5Megolds.

    44. Feladat:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 24 1. FEJEZET: SOROZATOK

    Gyakorl pldk:Keresse meg az albbi sorozatok hatrrtkt!

    a) an =(1 +

    2

    n

    )n2b) an =

    (1 2

    n

    )n2

    c) an =(n2 + 3

    n2 + 5

    )n3

    45. Feladat:

    an =

    (4n+ 1

    4n+ 5

    )n, bn =

    (4n+ 1

    7n+ 5

    )n, cn =

    (6n+ 1

    4n+ 5

    )nMegolds.

    an =

    (1 +

    1/4

    n

    )n(1 +

    5/4

    n

    )n e1/4e5/4

    =1

    e

    0 < bn =

    (4n+ 1

    7n+ 5

    )n 7

    x : x+ 3 > 7

    = x > 7 3 = P1()

    x : (x+ 3) > 7

    = x < (7

    + 3

    )= P2()

    3. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok

    A megfelel defincival bizonytsa be az albbi hatrrtkeket!

    a) limx 1

    2x 2x 1 + 3x = 5

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 3.1. FGGVNY HATRRTKE 43

    3.1. bra. Az f(x) = 12xx+3

    fggvny grafikonja.

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    -20 -15 -10 -5 0 5 10 15 20

    f(x)

    b) limx2

    2x+ 15 =

    11

    c) limx

    (2x3 x2 + 4x+ 7) =

    d) limx

    31 + 2x =

    e) limx

    6x+ 1

    3 2x = 3

    Megolds.. . .

    4. Feladat:

    f(x) =x2 + 3x 10(x2 4)2 , limx2 f(x) = ? , limx 2 f(x) = ?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 44 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

    Megolds.

    f(x) =(x 2) (x+ 5)(x 2)2 (x+ 2)2

    limx2

    1

    (x+ 2)2 +

    x2 + 3x 10(x 2)2 12/16

    =

    limx 20

    x 2(x 2) (x 2) =

    1

    x 2

    x+ 5(x+ 2)2 7/16

    =

    5. Feladat:

    limx

    2x5 3x2 + 1x7 + 4x3 + 5

    =?

    Megolds.

    limx

    x5

    x7=1

    x2 0

    2 3

    x3+

    1

    x5

    1 +4

    x4+

    5

    x7 2

    = 0

    6. Feladat:

    limx 1

    x 13x2 + 1 2x =? ,

    Megolds.

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 3.1. FGGVNY HATRRTKE 45

    limx 1

    x 13x2 + 1 2x = limx 1

    x 13x2 + 1 2x

    3x2 + 1 + 2x3x2 + 1 + 2x

    =

    = limx 1

    (x 1) (3x2 + 1 + 2x)3x2 + 1 4x2 = limx 1

    x 1x 1

    3x2 + 1 + 2x

    (x+ 1) = 1 4

    2 = 2

    7. Feladat:

    limx

    x(

    x2 + 1 x2 3) =?Megolds.

    limx

    x(

    x2 + 1 x2 3

    ) x2 + 1 + x2 3x2 + 1 +

    x2 3 =

    = limx

    xx2 + 1 (x2 3)x2 + 1 +

    x2 3 =

    = limx

    xx2

    =x

    |x| =x

    x =1

    41 +

    1

    x2+

    1 3

    x2

    = 1 41 + 1

    = 2

    8. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok

    a) limx

    (4x2 + 3x 2x) = ?

    b) limx

    1

    (x2 4x + x) = ?

    c) limx

    (2x6 x5 + 8x3 5x2 + 1) = ?

    Megolds.. . .

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 46 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

    9. Feladat:

    a) limx 30

    2 + 5{x} =? b) limx 30

    [x 1] = ?

    Megolds.

    limx 3+0

    2 + 5{x} = 2 + 5 0 = 0lim

    x 302 + 5{x} = 2 + 5 1 = 7

    limx 3+0

    [x 1] = 2 , mert x (3, 4) esetn x 1 (2, 3) = [x 1] = 2lim

    x 30[x 1] = 1 , mert x (2, 3) esetn x 1 (1, 2) = [x 1] = 1

    10. Feladat:

    +++

    Bizonytsa be, hogy limx 0

    cos1

    xnem ltezik!Elm

    Megolds. . . .

    11. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok

    a) limx

    sin 7x2 =?

    b) limx

    1

    xsin 7x2 =?

    Megolds.. . .

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 3.2. SZAKADSOK TPUSAI 47

    3.2. Szakadsok tpusaiAppElm Hol s milyen szakadsai vannak az albbi fggvnyeknek?

    (Mindig hatrozza meg a jobb s bal oldali hatrrtkeket a vizsgland pontokban!)

    12. Feladat:

    f(x) =x3 + x2 5x+ 3

    x2 (x+ 3)

    Megolds.

    f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3

    limx 0

    1

    x2+

    x3 + x2 5x+ 3

    x+ 3 1

    = + : x = 0 msodfaj szakadsi hely.

    x = 3 -ban a hatrrtk 00

    alak, teht a szmllbl is kiemelhet az (x + 3)gyktnyez.

    x3 + x2 5x+ 3 = . . . = (x+ 3) (x2 2x+ 1)

    limx3

    x+ 3

    x+ 3 1

    x2 2x+ 1

    x2 16/9

    =16

    9: x = 3 -ban megszntethet szakadsa

    van.

    13. Feladat:

    f(x) =x4 3x3|2x2 6x|

    Megolds.

    f kt folytonos fggvny hnyadosa, gy csak a nevez nullahelyeinl van szakadsa.

    f(x) =1

    2 x

    3

    |x| x 3|x 3|

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 48 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

    Vizsgland pontok: x = 0 , illetve x = 3

    limx 0+0

    1

    2 x

    3

    x=x2 0

    x 3|x 3| 1

    = 0 limx 00

    1

    2 x

    3

    x=x2 0

    x 3|x 3| 1

    = 0 :

    x = 0 megszntethet szakadsi hely.

    limx 3+0

    1

    2 x2 9 x 3x 3 1

    =9

    2lim

    x 301

    2 x2 9 x 3(x 3)

    1

    =92

    :

    x = 3 -ban vges ugrsa van.

    14. Feladat:

    f(x) =

    1

    |4 x| +1

    4 x , ha x 2

    x2 10xx2 11x+ 10 , ha x < 2

    Megolds.

    Ha x < 2 : f(x) =x (x 10)

    (x 1) (x 10)rtelmezsi tartomny: x 6= 4 , x 6= 1Vizsgland pontok: 1 , 2 , 4

    f(1 0) = limx 10

    1

    x 1

    xx 10x 10 = msodfaj (lnyeges) szakads.

    f(2 0) = limx 20

    x (x 10)(x 1) (x 10) = 2 f(2 + 0) = limx 2+0

    (1

    |4 x| +1

    4 x)

    =

    1

    f -nek x = 2 -ben vges ugrsa van (elsfaj szakads)

    f(4 + 0) = limx 4+0

    (1

    (4 x) +1

    4 x)

    =0

    = 0

    f(4 0) = limx 40

    (1

    4 x +1

    4 x)

    = limx 40

    2

    4 x =

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 3.3. limx0

    sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 49

    x = 4 : msodfaj szakadsi hely

    15. Feladat:

    +++

    Hol folytonos, hol milyen szakadsa van?

    f(x) =

    2x , ha x rac.

    x2 , ha x irrac.

    Megolds. . . .

    3.3. limx0

    sinxx = 1 hatrrtkkel kapcsolatos pldk

    Elm

    16. Feladat:

    limx 0

    sin 5x2

    tg 3x2=?

    Megolds.

    limx 0

    sin 5x2

    5x25x2

    3x23x2

    sin 3x2cos 3x2 = 1 5

    3 1 1 = 5

    3

    17. Feladat:

    limx 0

    1 cos 9x2x2

    =?

    Megolds.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 50 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

    sin2 =1 cos 2

    2alapjn: 1 cos 9x2 = 2 sin2 9x2

    2

    limx 0

    2 sin2 9x2

    2

    x2= lim

    x 02

    sin 92x2

    92x2

    9

    2sin 9

    2x2 = 2 1 9

    2 0 = 0

    18. Feladat:

    limx 0

    cos 2 5x 1

    sin 3x

    =?

    Megolds.

    Most is az elz azonossgot hasznljuk:

    limx 0

    2 sin2 5xsin 3x

    = limx 0

    2(sin 5x

    5x

    )2( 5x)2

    3x

    ...= 15x 0

    3x

    sin 3x

    = 2 1 0 1 = 0

    19. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnyeknek?

    f(x) =sin (1 x)x2 1 g(x) =

    sin |2 x|x 2

    Megolds.

    f(x) = sin (1 x)1 x

    1

    x+ 1

    Szakadsi helyek: x = 1 s x = 1

    limx 1

    f(x) = limx 1

    sin (1 x)1 x 1

    1

    x+ 1 1/2

    = 12

    : megszntethet szakads

    limx10

    f(x) = limx10

    1

    x+ 1

    ( sin (1 x)

    1 x)

    sin 2

    2< 0

    = : msodfaj szakads

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 3.3. limx0

    sin xx = 1 HATRRTKKEL KAPCSOLATOS PLDK 51

    g(x) =sin |2 x|x 2 =

    sin |x 2|x 2

    (Nem muszj trni, de gy taln jobban rtik.)

    Szakadsi hely: x = 2

    g(2 + 0) = limx 2+0

    sin (x 2)x 2 = 1

    g(2 0) = limx 20

    sin ((x 2))x 2 = limx 20

    sin (x 2)x 2 = 1

    Vges ugrs (elsfaj szakads).

    20. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a) limx 0

    tg 7x

    sin 9x=?

    b) limx 0

    sin 4x2

    2x=?

    c) limx 0

    5x sin 8x7x + sin 2x

    =?

    d) limx

    5x sin 8x7x + sin 2x

    =?

    e) limx 0

    cos 5x 17x2

    =?

    f) limx 0

    cos 2x2 16x3

    =?

    g) limx 0

    1 cos 3x25x

    =?

    h) limx 0

    1 cos 5xsin

    3x2

    =?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 52 3. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK HATRRTKE, FOLYTONOSSGA

    i) limx

    x4 sin2

    x4=?

    j) limx 0

    x4 sin2

    x4=?

    21. Feladat:Hol s milyen tpus szakadsa van az albbi fggvnynek?

    f(x) =sin (x 2)

    (x2 + 4)x2 4x+ 4

    Megolds.

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4. fejezet

    Egyvltozs vals fggvnyekderivlsa

    Elm4.1. Differencils a defincival AppA derivlt defincijval hatrozza meg az albbi derivltakat!

    1. Feladat:

    f(x) =6x+ 1 f (4) = ?

    Megolds.

    f (4) = limh 0

    f(4 + h) f(4)h

    = limh 0

    6(4 + h) + 1 5

    h=

    = limh 0

    25 + 6h 5

    h

    25 + 6h + 525 + 6h + 5

    =

    = limh 0

    25 + 6h 25h (25 + 6h + 5)

    = limh 0

    h

    h

    625 + 6h + 5

    =6

    10

    2. Feladat:

    f(x) =1

    2x+ 7f (1) = ?

    53

  • 54 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    Megolds.

    f (1) = limh 0

    f(1 + h) f(1)h

    = limh 0

    12(1 + h) + 7

    13

    h=

    = limh 0

    3 9 + 2hh 3 9 + 2h

    3 +9 + 2h

    3 +9 + 2h

    = . . . =

    = limh 0

    23

    h

    h

    19 + 2h (3 +

    9 + 2h)

    = 127

    3. Feladat:

    f(x) =1

    3x+ 1f (1) = ?

    Megolds. . . .

    4. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    A defincival hatrozza meg az albbi derivltakat!

    a) f(x) =1 3x f (3) = ?

    b) f(x) =1

    x 5 f(6) = ?

    c) f(x) =x 1x+ 1

    f (2) = ?

    d) f(x) =x2 4x+ 4 sin (x 2) f (2) = ?

    5. Feladat:

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 55

    Ttel: (cosx) = sinx , x RBizonytsa be a ttelt!(Hasonlan igazolhat, hogy (sinx) = cos x )

    Megolds.

    f(x) := cosx

    f (x) = limh 0

    f(x+ h) f(x)h

    = limh 0

    cos (x+ h) cosxh

    =

    = limh 0

    cosx cosh sinx sinh cosxh

    =

    = limh 0

    cosx cosh 1h 0

    sinx sinhh 1

    = sinx

    Ugyanis:

    limh 0

    cosh 1h

    = limh 0

    2 sin2 h2

    h= lim

    h 0 sin

    h2

    h2

    sinh

    2= 1 0 = 0

    4.2. A derivlsi szablyok gyakorlsaApp 1App 2App 3App 4App 5

    Szksges ismeretek: derivlsi szablyok, sszetett fggvny derivlsa.Tovbb: ( x) = x1, (sinx) = cosx, (cosx) = sinx.

    6. Feladat:

    Ttel:

    a) (tg x) =1

    cos2 x, x 6= pi

    2+ kpi

    b) (ctg x) = 1sin2 x

    , x 6= kpi

    Bizonytsa be az lltsokat!

    1konstansszoros derivltja2sszeg derivltja3szorzat derivltja4sszetett fggvny derivltja5inverzfggvny derivltja

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 56 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    Megolds.

    A hnyadosfggvny derivlsi szablyt s a fggvnyek defincijt hasznljuk fel.( (uv

    )=

    u v u vv2

    )(tg x) =

    (sinx

    cosx

    )=

    (sinx) cosx sinx (cosx)cos2 x

    = . . . =1

    cos2 x, x 6= pi

    2+ kpi

    (ctg x) =(cosxsinx

    )=

    (cosx) sinx cosx (sinx)sin2 x

    = . . . = 1sin2 x

    , x 6= kpi

    7. Feladat:

    Derivljuk az albbi (vagy hasonl) fggvnyeket!

    x2 2x+ 32x2 + 7

    , (x2 + 1)1 + 2x4 ,

    x2 + 5x32x6 + 3

    , (x3 + 2x2 x)6 ,

    sin 3x , sin3 2x , sinx3 , sin5 2x3 , (x3 + cos2 x4)3

    Megolds.(x2 2x+ 32x2 + 7

    )=

    (2x 2) (2x2 + 7) (x2 2x+ 3) 4x(2x2 + 7)2(

    (x2 + 1)1 + 2x4

    )= (x2 + 1)

    1 + 2x4 + (x2 + 1)

    (1 + 2x4

    ) =(1+2x4)1/2

    =

    = 2x1 + 2x4 + x2

    1

    2(1 + 2x4)1/2 (1 + 2x4)

    =8x3

    Most mg ilyen rszletessggel dolgozzanak!(x2 + 5x32x6 + 3

    )=

    (x2 + 5x3)2x6 + 3 (x2 + 5x3) (2x6 + 3)

    (2x6 + 3)2

    =

    =(2x+ 15x2)

    2x6 + 3 (x2 + 5x3) 1

    2(2x6 + 3)1/2 12x5

    (2x6 + 3

    ( (x3 + 2x2 x)6 ) = 6 (x3 + 2x2 x)5 (x3 + 2x2 x) =3x2+4x1

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.2. A DERIVLSI SZABLYOK GYAKORLSA 57

    ( sin 3x ) = cos 3x 3(sin3 2x

    )= 3 sin2 2x (sin 2x)

    cos 2x 2

    ( sinx3 )= cos x3 3x2(

    sin5 2x3)

    = 5 sin4 2x3 (sin 2x3) cos 2x3 6x2(

    (x3 + cos2 x4)3)

    = 3 (x3 + cos2 x4)2 (x3 + cos2 x4)

    (x3 + cos2 x4)= 3x2 + 2 cosx4 (cosx4)

    sinx4 4x3

    8. Feladat:

    f(x) =

    1

    cos2 (4x) + 3 8

    (x 2)4 , ha x 0

    sin2 3x

    7x2, ha x < 0

    Hatrozza meg a derivltfggvnyt, ahol az ltezik!

    Megolds.

    f (2) @ , mert a fggvny nem rtelmezett x = 2 -ben.

    f(0 + 0) = limx 0+0

    (1

    cos2 (4x) + 3 8

    (x 2)4)

    =1

    4 1

    2= 1

    4

    f(0 0) = limx 00

    sin2 3x

    7x2= lim

    x 00

    (sin 3x

    3x

    )2 97=

    9

    76= f(0 + 0)

    f (0) @ , mert a fggvny nem folytonos x = 0 -ban (nem ltezik a hatrrtk itt).Ha x 6= 0 s x 6= 2 , akkor f derivlhat, mert derivlhat fggvnyek sszettele.

    f (x) =

    2 cos 4x ( sin 4x) 4

    (cos2 4x+ 3)2 8 (4) (x 2)5 , ha x > 0 s x 6= 2

    2 sin 3x cos 3x 3 7x2 sin2 3x 14x49x4

    , ha x < 0

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 58 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    4.3. A derivlsi szablyok + definci gyakorlsaApp

    9. Feladat:

    f(x) = 3x Mutassuk meg, hogy f (0) @!

    Megolds.

    f (0) = limh 0

    f(h) f(0)h

    = limh 0

    3h 0h

    = limh 0

    13h2

    = Teht f (0) @ .

    10. Feladat:

    f(x) = 3x sin

    3x2 f (x) = ?

    (x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)

    Megolds.

    Ha x 6= 0 , akkor derivlhat fggvnyek sszettele sf (x) =

    1

    3x2/3 sin 3

    x2 + 3

    x(cos

    3x2) 2

    3x1/3

    Ha x = 0 , akkor a defincival dolgozunk:

    f (0) = limh 0

    3h sin

    3h2 0

    h= lim

    h 0

    3h

    3h

    sin3h2

    3h2

    = 1

    11. Feladat:

    f(x) = 5x3 tg (5x2) , |x| < 1

    5

    a) f (x) = ? , ha x 6= 0b) A derivlt defincija alapjn hatrozza meg f (0) rtkt!

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.3. A DERIVLSI SZABLYOK + DEFINCI GYAKORLSA 59

    Megolds.

    a) Ha x 6= 0 , akkor ltezik a derivlt, mert derivlhat fggvnyek sszettele:f (x) =

    ((x3 tg 5x2)

    1/5)

    =1

    5(x3 tg 5x2)

    4/5 (x3 tg 5x2)

    (x3 tg 5x2)= 3x2 tg 5x2 + x3

    1

    cos2 5x2 10x

    b) f (0) = limh 0

    f(h) f(0)h

    = limh 0

    5h3 tg 5h2 0

    h= lim

    h 0

    5

    h3

    sin 5h2

    cos 5h25h5

    =

    = limh 0

    5h3

    5h3 5

    sin 5h2

    5h2

    55

    5cos 5h2

    = 1 51 55

    1= 55

    12. Feladat:

    f(x) = |x 1| sin (2x 2) f (x) = ?

    Megolds.

    g(x) := (x 1) sin (2x 2)Ez egy mindentt derivlhat fggvny:

    g(x) = 1 sin (2x 2) + (x 1) cos (2x 2) 2g felhasznlsval:

    f(x) =

    {g(x) , ha x 1g(x) , ha x < 1

    Ezrtf (x) =

    {g(x) , ha x > 1g(x) , ha x < 1

    x = 1-ben legjobb a defincival ellenrizni a derivlhatsgot. (Hasznlhat lenne asegdlet 26. oldaln kimondott ttel is, de taln jobb ilyenkor a definci.)

    f (1) = limx 1

    f(x) f(1)x 1 = limx 1

    |x 1| sin (2x 2) 0x 1 =

    = limx 1

    |x 1| sin 2(x 1)2(x 1) 2 = 0 1 2 = 0

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 60 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    13. Feladat:

    f(x) =

    3x2 sin

    1

    x, ha x 6= 0

    0 , ha x = 0

    f (x) = ?

    Megolds. . . .

    14. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a) f(x) = |x2 9| sin (x 3) , f (x) = ?

    b) f(x) = |x3 3x2| , f (x) = ?

    c) f(x) = 5x2 sin

    5x3 , f (x) = ?

    d) f(x) =

    sin 2x2

    7x2, ha x > 0

    |x(x 1)| , ha x 0f (x) = ?

    e) f(x) =

    1

    3x 1 , ha x 1

    ax + b , ha x < 1

    Adja meg a s b rtkt gy, hogy f (1) ltezzen!

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.4. ELEMI FGGVNYEK 61

    4.4. Elemi fggvnyekElmApp 6App 7App 8App 9

    15. Feladat:

    Rajzolja fel a tg s az arctg fggvnyek grafikonjt! Hatrozza meg rtelmezsitartomnyukat, rtkkszletket, derivltjukat!

    16. Feladat:

    a) limx 0

    arctg x

    x=?

    b) limx 3+0

    arctg1

    3 x =? limx 30 arctg1

    3 x =?

    limx

    arctg1

    3 x =?

    c) limx 0

    x arctg1

    x=?

    d) limx 3

    arctgx2 3x3x 9 = ?

    e) limx

    arctgx2 12x+ 3

    =?

    Megolds.

    6hatvnyfggvnyek7exponencilis fggvnyek8trigonometrikus fggvnyek9hiberbolikus fggvnyek

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 62 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    a) x = tg u , u = arctg x helyettestssel :

    limx 0

    arctg x

    x= lim

    u 0u

    tg u= lim

    u 0u

    sinucosu = 1

    b) limx 3+0

    arctg1

    3 x , mert 1/0 alak

    = pi2

    limx 30

    arctg1

    3 x , mert 1/+0 alak

    =pi

    2

    limx

    arctg1

    3 x = arctg 0 = 0

    c) limx 0

    x arctg1

    x= 0 , mert ( 0 korltos) alak.

    d) limx 3

    arctgx2 3x3x 9 = limx 3 arctg

    x

    3

    x 3x 3 = arctg 1 =

    pi

    4

    e) limx

    arctgx2 12x+ 3

    = limx

    arctg

    (x2

    x

    1 1x2

    2 + 3x

    )

    =pi

    2

    17. Feladat:

    f(x) = 3x arctg x2 , f (x) = ?

    (x = 0 -ban a defincival dolgozzon!)

    Megolds.

    Fel kell hasznlni, hogy limx 0

    arctg x2

    x2= 1 az elz pldban ltottak alapjn.

    Adjuk fel hzi feladatnak, mert nincs benne mr j dolog!

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.4. ELEMI FGGVNYEK 63

    18. Feladat:

    f(x) =

    x arctg

    1

    x, ha x 6= 0

    a , ha x = 0

    g(x) =

    x2 arctg

    1

    x, ha x 6= 0

    b , ha x = 0

    a) Hatrozza meg az a s b paramterek rtkt gy, hogy az f s g folytonoslegyen x = 0 -ban!

    b) f (0) = ? , g(0) = ?

    Megolds.

    a) limx 0

    x arctg 1x

    = 0 , (0 korltos alak)Hasonlan lim

    x 0g(x) = 0

    Teht a = f(0) := 0 , b = g(0) := 0 . Vagyis

    f(x) =

    x arctg

    1

    x, ha x 6= 0

    0 , ha x = 0

    g(x) =

    x2 arctg

    1

    x, ha x 6= 0

    0 , ha x = 0fggvnyek mr mindentt folytonosak.

    b) f (0) = limh 0

    f(h) f(0)h

    = limh 0

    h arctg1

    h 0

    h= lim

    h 0arctg

    1

    [email protected](

    f +(0) =pi

    2, f (0) =

    pi

    2

    )

    g(0) = limh 0

    g(h) g(0)h

    = limh 0

    h2 arctg1

    h 0

    h= lim

    h 0h arctg 1

    h= 0

    19. Feladat:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 64 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    f(x) =

    arctg

    1 + x

    1 x , ha x 6= 1

    , ha x = 1

    a) Megvlaszthat-e rtke gy, hogy az f fggvny folytonoslegyen x = 1 -ben?

    b) f (x) = ? , ha x 6= 1

    c) limx 1

    f (x) = ?

    Ltezik-e f (1) ?

    Megolds.

    a) limx 1+0

    arctg1 + x

    1 x

    = pi26= lim

    x 10arctg

    1 + x

    1 x

    =pi

    2

    Mivel x = 1 -ben @ a hatrrtk, ezrt nincs olyan , melyre f folytonos lennex = 1 -ben.

    b) Ha x 6= 1 :

    f (x) =1

    1 +

    (1 + x

    1 x)2 (1 + x1 x

    )= . . . =

    1

    1 + x2

    ( (1 + x

    1 x)

    =1 (1 x) (1 + x) (1)

    (1 x)2 =2

    (1 x)2)

    c) limx 1

    f (x) =1

    2, de f (1) @ , mert az f fggvny nem folytonos x = 1 -ben.

    20. Feladat:

    Ismertesse az arcsin fggvny tulajdonsgait (rtelmezsi tartomny, rtkkszlet, bra,derivlt)!

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.4. ELEMI FGGVNYEK 65

    21. Feladat:

    f(x) = 3pi 2 arcsin (3 2x)

    a) Df =? , Rf =? , f (x) = ?

    b) rja fel az x0 =7

    4pontbeli rintegyenes egyenlett!

    c) Indokolja meg, hogy f -nek ltezik az f1 inverze!f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

    Megolds.

    a) 1 3 2x 1 . . . = Df = [1, 2]3 2x [1, 1] = arcsin (3 2x)

    [pi2,pi

    2

    ]= 2 arcsin (3 2x) [pi , pi] = Rf = [2pi , 4pi]

    f (x) = 2 11 (3 2x)2 (2) =

    41 (3 2x)2 , x (1, 2)

    b) y = f(7

    4

    )+ f

    (7

    4

    ) (x 7

    4

    )=

    10

    3pi +

    83

    (x 7

    4

    )

    c) f (x) > 0, ha x (1, 2) s f folytonos [1, 2] -ben, ezrt f szigoran monoton n Df -en, gy a teljes rtelmezsi tartomnyban invertlhat.

    y = 3pi 2 arcsin (3 2x) = . . . f1(x) = 12

    (3 sin 3pi x

    2

    )Df1 = Rf = [2pi , 4pi] , Rf1 = Df = [1, 2]

    22. Feladat:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 66 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    f(x) = arccos4

    x2 pi

    2

    a) Df =? , Rf =?

    b) Adja meg a 5 pontot tartalmaz azon legbvebb intervallumot, melyen finvertlhat!

    f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

    Megolds.

    a) f pros fggvny.

    T.: 4x2 1 = |x| 2

    0 2.f (x) < 0 , ha x (,2) s f folytonos I = (,2] -n = f szigoranmonoton cskken I -n, teht invertlhat I -n. (5 I)

    y = arccos4

    x2 pi

    2= . . . f1(x) = 2

    cos (x+pi

    2)

    Df1 = Rf =[pi2, 0), Rf1 = Df = (,2]

    23. Feladat:

    Derivlja az albbi fggvnyeket!

    f(x) =

    ch 5x2 , ha x 0

    sh 2x 3x , ha x < 0; g(x) = (1 + x4)2x

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.4. ELEMI FGGVNYEK 67

    Megolds.

    Rajzoljuk fel az shx , chx fggvnyeket!

    f(0 + 0) = f(0) = ch 0 = 1 6= f(0 0) = 0 = f nem folytonos x = 0 -ban= f (0) @

    Egybknt f derivlhat fggvnyek sszettele s gy derivlhat:

    f (x) =

    10x sh 5x2 , ha x > 0

    2 ch 2x 3 , ha x < 0g exponencilis hatvnyfggvny, ennek megfelelen derivljuk:g(x) = eln (1+x

    4)2x = e2x ln (1+x4)

    g(x) = e2x ln (1+x4) (2x ln (1 + x4)) = (1 + x4)2x

    (2 ln (1 + x4) + 2x

    4x3

    1 + x4

    )

    24. Feladat:

    f(x) =

    x e

    1

    (x 2)2 , ha x > 2

    ch2 (x 2)3 , ha x 2rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!

    Megolds. . . .

    25. Feladat:

    f(x) = 2 arctg1

    x2 pi

    Hol s milyen szakadsa van a fggvnynek?rja fel f (x) rtkt, ahol az ltezik!Adjon meg egy intervallumot, melyen ltezik f1 !f1(x) = ? , Df1 =? , Rf1 =?

    Megolds. . . .

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 68 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    4.5. LHospital szablyElmApp

    26. Feladat:

    a) limx 0

    arctg 2x3

    arsh 5x3=?

    b) limx 0

    arcsin 3x2

    tg2 x=?

    c) limx

    x2 e5x =?

    d) limx+0

    x lnx7 =?

    e) limx 1

    (x

    x 1 1

    lnx

    )=?

    f) limx+0

    xtg x =?

    g) limx

    e8x 2 e3xe5x + e3x

    =?

    h) limx

    sh (3x 2)ch (3x+ 4)

    = ?

    Megolds.

    a) limx 0

    arctg 2x3

    arsh 5x3LH= lim

    x 0

    1

    1 + (2x3)26x2

    11 + (5x3)2

    15x2= lim

    x 02

    5

    1

    1 + (2x3)2

    11 + (5x3)2

    =2

    5

    b) limx 0

    arcsin 3x2

    tg2 xLH= lim

    x 0

    11 (3x2)2 6x

    2 tg x1

    cos2 x

    = limx 0

    31

    1 9x4x

    sinxcos3 x = 3

    c) limx

    x2 e5x = limx

    x2

    e5xLH= lim

    x2x

    5 e5xLH= lim

    x2

    25 e5x= 0

    d) limx+0

    x lnx7 = lim

    x+0lnx7

    1x

    = limx+0

    7 ln x

    x1/2LH= lim

    x+0

    71

    x

    12x3/2

    =

    = limx+0

    14 x = 0

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.6. FGGVNYVIZSGLAT 69

    e) limx 1

    (x

    x 1 1

    lnx

    )= lim

    x 1x lnx x + 1(x 1) ln x

    LH= lim

    x 1

    lnx + x1

    x 1

    lnx + (x 1) 1x

    = limx 1

    lnx

    lnx + 1 1x

    LH=

    1

    x1

    x+

    1

    x2

    =1

    2

    f) limx+0

    xtg x = limx+0

    elnxtg x

    = limx+0

    etg x lnx = e0 = 1 , mert

    limx+0

    tg x lnx = limx+0

    lnx

    ctg xLH= lim

    x+0

    1

    x1sin2 x

    = limx+0

    sinxx

    sinx = 0

    g) A LHospital szably alkalmazsa most nem vezetne eredmnyre.

    limx

    e8x 2 e3xe5x + e3x

    = limx

    e3x

    e3xe11x 2e8x + 1

    = 1 0 20 + 1

    = 2

    h) Itt sem vezet eredmnyre a LHospital szably. Berva a fggvnyek defincijt, azelz pdhoz hasonlan jrhatunk el:

    limx

    sh (3x 2)ch (3x+ 4)

    = limx

    e3x2 e(3x2)e3x+4 + e(3x+4)

    = limx

    e3x

    e3xe2 e6x+2e4 + e6x4

    =e2

    e4

    4.6. Intervallumon derivlhat fggvnyek tulajdons-gai, fggvnyvizsglat

    ElmAppApp27. Feladat:

    f(x) = (x 3)3 (x+ 5)4

    a) Adja meg azokat a legbvebb intervallumokat, melyeken a fggvny szigoran mo-noton!

    b) Hol van loklis szlsrtke?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 70 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    Megolds.

    f (x) = 3(x3)2 (x+5)4 + (x3)34(x+5)3 = . . . = (x 3)2(x+ 5)2 0

    (x+ 5)(7x+ 3) rajzoljuk fel!

    x (,5) 5(5,3

    7

    )37

    (37, 3

    )3 (3,)

    f + 0 0 + 0 +f

    Teht f szigoran monoton n: (,5) s(37,)

    intervallumokon,

    f szigoran monoton cskken:(5,3

    7

    )-en.

    x = 5 -ben loklis maximum van, mert f nvekvbl cskkenbe megy t.x = 3

    7-ben loklis minimum van, mert f cskkenbl nvekvbe vltozik.

    28. Feladat:

    f(x) = ln (x2 + 2x+ 2)

    Keresse meg azokat az intervallumokat, melyeken a fggvny- monoton n, illetve monoton cskken;- alulrl konvex, alulrl konkv.

    Megolds.

    f(x) = ln (x2 + 2x+ 2) = ln ((x+ 1)2 + 1) 1

    = Df = R

    f (x) =2x+ 2

    x2 + 2x+ 2

    x (,1) 1 (1,)f 0 +f

    Teht f (szigoran) monoton cskken (,1) -en s (szigoran) monoton n (1,) -en.

    f (x) =2(x2 + 2x+ 2) (2x+ 2)(2x+ 2)

    (x2 + 2x+ 2)2=2x (x+ 2)(x2 + 2x+ 2)2

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.6. FGGVNYVIZSGLAT 71

    A nevez 1 , a szmllban lev parabolt pedig rajzoljuk fel!x (,2) 2 (2, 0) 0 (0,)f 0 + 0 f (infl. pont) (infl. pont)

    29. Feladat:

    f(x) = x e3x

    Hol monoton nv, illetve cskken az f fggvny?Hol van loklis szlsrtke?

    Megolds.

    f (x) = 1 e3x + x e3x (3) = (1 3x) e3x = 0 , ha x = 13.

    x

    (, 1

    3

    )1

    3

    (1

    3,)

    f + 0 f lok.max.

    f

    (1

    3

    )=

    1

    3e1

    30. Feladat:

    f(x) = 2x6 15x5 + 20x4Hol konvex, hol konkv a fggvny? Hol van inflexis pontja?

    Megolds.

    f (x) = 12x5 75x4 + 80x3f (x) = 60x4 300x3 + 240x2 = 60x2

    0(x2 5x + 4)

    (x1) (x4)

    x (, 0) 0 (0, 1) 1 (1, 4) 4 (4,)f + 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 72 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    31. Feladat:

    f(x) = x ex2

    Keresse meg azokat az intervallumokat, amelyeken az f fggvny konvex, illetve konkv!Hol van inflexija az f fggvnynek?

    Megolds.

    f (x) = ex2+ x ex

    2(2x) = ex2 2x2 ex2

    f (x) = ex2(2x) 4x ex2 2x2 ex2 (2x) = ex2 (4x3 6x) = ex2 2x (2x2 3)

    brzoljuk vzlatosan a 2x (2x2 3) fggvnyt, mert gy knnyebb az eljelvizsglat!

    (Harmadfok polinom, nullahelyek:

    3

    2, 0 ,

    3

    2;

    + -ben + -hez tart a fggvny s -ben -hez tart a fggvny.)

    Ennek alapjn:

    x

    (,

    3

    2

    )

    3

    2

    (

    3

    2, 0

    )0

    (0,

    3

    2

    ) 3

    2

    (3

    2,)

    f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.

    32. Feladat: Hol konvex, hol konkv az

    f(x) = x2 ln (ex)

    fggvny? Van-e inflexis pontja?

    Megolds. Df = (0,)

    f (x) = 2x ln (ex) + x21

    exe = 2x ln (ex) + x

    f (x) = 2 ln (e x) + 2x1

    exe + 1 = 2 ln (e x) + 3 = 0

    = ln (ex) = 32

    = ex = e3/2 = x = e5/2

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.6. FGGVNYVIZSGLAT 73

    x (0 , e5/2) e5/2 (e5/2 , )f 0 +f (infl. pont)

    33. Feladat: Vizsglja meg s vzlatosan brzolja az

    f(x) =ln (ex)

    x

    fggvnyt? Konvex-konkv tulajdonsgot, inflexit most ne vizsgljon!

    Megolds. Df = (0,)

    Nullahely: ex = 1 = x = 1e

    limx+0

    ln (ex)

    x +0

    alak

    = limx

    ln (ex)

    x alak

    LH= lim

    x

    1

    x1

    = 0

    f (x) =x1

    x ln (ex)x2

    =1 ln (ex)

    x2= 0 = ln (ex) = 1 = x =

    1 , f(1) = 1

    x (0 , 1) 1 (1 , )f + 0 f lok. max.

    A fggvny grafikonja a 4.1 brn lthat.

    34. Feladat:

    Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!

    a) f(x) = x3 ex

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 74 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    4.1. bra. Az f(x) = ln(ex)x

    fggvny grafikonja.

    -5

    -4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    0 2 4 6 8 10

    ln(ex)/x

    b) f(x) =x2 + x 2

    x

    Megolds.

    a) f(x) = x3 exDf = R ; Nullahely: x = 0

    limx

    x3 ex = limx

    x3

    exLH= . . . = 0 lim

    xx3 ex =

    Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.

    f (x) = 3x2 ex x3 ex = x2 ex (3 x)

    x (, 0) 0 (0, 3) 3 (3,)f + 0 + 0 f lok. max.

    f(3) = 27 e3 =27

    e3

    f (x) = 6x ex 3x2 ex 3x2 ex + x3 ex = x ex (x2 6x+ 6) =0 : x=33

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.6. FGGVNYVIZSGLAT 75

    x (, 0) 0 (0, 33) 33 (33, 3 +3) 3 +3 (3 +3,)f 0 + 0 0 +f infl.p. infl.p. infl.p.

    Rf =

    ( , 27

    e3

    ]

    A fggvny grafikonja a 4.2.a) brn lthat.

    4.2. bra. A kt vizsglt fggvny grafikonja.

    -2

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    2

    -2 0 2 4 6 8 10

    a)

    x3 e-x

    -8

    -6

    -4

    -2

    0

    2

    4

    6

    8

    -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8

    b)

    (x2+x-2)/xx+1

    b) f(x) =x2 + x 2

    x= x+ 1 2

    x=

    (x 1) (x+ 2)x

    Df = R \ {0} ; limx+0

    (x+ 1 2

    x

    )= ; lim

    x0

    (x+ 1 2

    x

    )= +

    limx

    (x+ 1 2

    x

    )=

    Nullahelyek: x = 1 , x = 2

    f (x) =(x+ 1 2

    x

    )= 1 +

    2

    x2> 0

    x (, 0) 0 (0,)f + @ +f szak.h.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 76 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    f (x) = 4x3

    x (, 0) 0 (0,)f + @ f szak.h.

    A fggvny grafikonja a 4.2.b) brn lthat.

    Megjegyzs:

    limx

    (f(x) (x+ 1)) = limx

    (2x

    )= 0 = A fggvny, ha x

    egyre kzelebb kerl az y = x+ 1 lineris fggvnyhez ( lineris aszimptota).

    35. Feladat:

    Van-e lineris aszimptotja az albbi fggvnynek + -ben?

    a) f(x) = 2x + x sin 1x

    b) f(x) =4x2 + 3x

    c) f(x) =2x3 + 1

    x2 + x 3

    4.7. Abszolt szlsrtkElmApp

    36. Feladat:

    f(x) = x3 +48

    x2

    a) Vgezzen fggvnyvizsglatot s vzlatosan brzolja a fggvnyt!

    b) Beszlhetnk-e a fggvny maximumrl illetve minimumrl az [1, 3] intervallu-mon? Ha igen, akkor mennyi ezek rtke?

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.7. ABSZOLT SZLSRTK 77

    Megolds.

    a) Df = R \ {0} ; limx 0

    x3 +48

    x2= +

    limx

    f(x) = + , limx

    f(x) = Nem pros, nem pratlan, nem periodikus.

    Nullahely: f(x) =x5 + 48

    x2= 0 = f( 548) = 0

    f (x) = 3x2 96x3

    =3 (x5 32)

    x3= 0 = x = 2 , f(2) = 20

    x (, 0) 0 (0, 2) 2 (2,)f + @ 0 +f szak.h. lok. min.

    f (x) = 6x +3 96x4

    = 6 x5 + 48

    x4= 0 = x = 548 , (f( 548) = 0)

    x (, 548) 548 ( 548, 0) 0 (0,)f 0 + @ +f infl.p. szak.h.

    A fggvny grafikonja a 4.3 brn lthat.

    b) Mivel f folytonos [1, 3] -ban (zrt!) = min., max. ( Weierstrass II. ttele)Mivel f az intervallumon mindentt derivlhat, a szbajhet pontok:- a loklis szlsrtk: f(2) = 20,

    - az intervallum vgpontjai: f(1) = 49 , f(3) = 27 +48

    9

    = minx[1,2]

    {f(x)} = 20 , maxx[1,2]

    {f(x)} = 49

    37. Feladat:

    f(x) = x2 e3x

    Van-e minimuma, illetve maximuma az f fggvnynek a [0 , 1] intervallumon? (Indo-koljon!)Ha igen, hatrozza meg!

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 78 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    4.3. bra. A vizsglt fggvny grafikonja.

    -60

    -40

    -20

    0

    20

    40

    60

    -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4x3+48x-2

    Megolds. . . . f (x) = x e3x (2 3x) . . .

    minx[0,1]

    {f(x)} = f(0) = 0 , maxx[0,1]

    {f(x)} = f(2

    3

    )=

    4

    9e2

    4.8. Implicit megads fggvnyek derivlsaElm

    38. Feladat:

    Az y(x) fggvny az x0 = e pont krnyezetben differencilhat s kielgti az

    x ln y + y lnx = 1

    implicit fggvnykapcsolatot.Hatrozza meg ezen fggvny (e,1) pontjabeli rint egyenesnek egyenlett!

    Megolds.

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.8. IMPLICIT MEGADS FGGVNYEK DERIVLSA 79

    Ellenrizzk a pontot!

    e ln 1 + 1 ln e ?= 1 Igaz.

    Teht az y(x) valban tmegy az adott ponton: y(e) = 1 .

    x ln y(x) + y(x) ln x = 1

    Mindkt oldalt x szerint derivljuk:

    1 ln y(x) + x 1y(x)

    y(x) + y(x) lnx + y(x) 1x

    = 0

    Behelyettestve x = e -t (y(e) = 1) , kapjuk y(e) -t:

    ln 1 + e y(e) + y(e) ln e + 1e= 0 = y(e) = 1

    e (e + 1)

    Az rintegyenes egyenlete:

    y = y(e) + y(e)(x e) = 1 1

    e (e + 1)(x e)

    39. Feladat:

    A differencilhat y = y(x) tmegy az x0 = 1 , y0 = 1 ponton s x0 egy krnyezet-ben kielgti az albbi implicit egyenletet:

    y2 + 2 y5 + e2x2 (x 1)4 = 0

    Van-e ennek a fggvnynek loklis szlsrtke az x0 = 1 pontban?Van-e inflexija a fggvnynek ugyanitt?

    Megolds.

    1 2 + 1 0 ?= 0 Igaz.Az x -tl val fggst mr nem jellm, gy ttekinthetbb:

    2y y + 10y4 y + 2e2x2 4(x 1)3 = 0

    Behelyettests: x = 1 , y = 1

    2y(1) + 10y(1) + 4 0 = 0 = y(1) = 14

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 80 4. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK DERIVLSA

    Mivel y(1) 6= 0 = nincs loklis szlsrtke x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).

    2y y + 2y y + 40y3 y y + 10 y4 y + 4e2x2 12(x 1)2 = 0

    x = 1 , y = 1 , y = 14

    :

    1

    8 2 y(1) 40

    16+ 10 y(1) + 4 0 = 0

    Elg csak felrni, hogy ebbl y(1) = 1364

    (ha igaz).Mivel y(1) 6= 0 = nincs inflexis pontja x = 1 -ben (nem teljesl a szksgesfelttel).

    4.9. Paramteres megads grbkElmAppApp 40. Feladat:

    Legyenx = t + sin 4t , y = t + sin 2t

    a) Indokolja meg, hogy a fenti paramteresen megadott grbnek van y = f(x) ell-ltsa a t0 =

    pi

    8paramterhez tartoz x0 = x(t0) pont egy krnyezetben!

    b) f (x0) = ? , f (x0) = ? Van-e loklis szlsrtke, illetve inflexija az f fggvny-nek az x0 pontban?

    c) rja fel a t0 paramter pontban az rint egyenes egyenlett!(Descartes koordintkkal.)

    Megolds.

    a) x(t) = 1 + 4 cos 4t

    x(pi8

    )= 1 > 0 s x(t) folytonos =

    (pi8 , pi

    8+ ), ahol x(t) > 0

    = itt x(t) szigoran monoton n= inverze : t = t(x) s gy f(x) = y(t(x)) .

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 4.9. PARAMTERES MEGADS GRBK 81

    b) y(t) = 1 + 2 cos 2t , y(pi8

    )= 1 +

    2

    x0 = x(pi8

    )=pi

    8+ sin

    pi

    2= 1 +

    pi

    8

    f (x0) =y(t0)

    x(t0): f

    (1 +

    pi

    8

    )=

    y(pi8

    )x(pi8

    ) = 1 +2 > 0= f loklisan n x0 -ban. (Nincs loklis szlsrtk itt.)

    x = 16 sin 4t , x(pi8

    )= 16

    y = 4 sin 2t , y(pi8

    )= 4

    2= 22

    f (1 +

    pi

    8

    )=

    y x y xx3

    t0

    =22 (1 +2)(16)

    1= 16 + 14

    2 > 0

    Nincs x0 -ban inflexis pont, mert nem teljesl a szksges felttel (f (x0) 6= 0) .

    c) y = f(x0) + f (x0) (x x0) = y(t0) + y(t0)x(t0)

    (x x(t0)) =

    =pi

    8+

    12+ (1 +

    2)(x (1 + pi

    8))

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 5. fejezet

    Egyvltozs vals fggvnyekintegrlsa

    5.1. Hatrozatlan integrlAppAppAppElm

    Szksges fogalmak: primitv fggvny, hatrozatlan integrl.

    1. Feladat:

    a)

    (2x+ 3)5 dx =1

    2

    2 (2x+ 3)5 dx = 1

    2

    (2x+ 3)6

    6+ C

    f f 5

    b)

    1

    (2x+ 3)5dx =

    1

    2

    2 (2x+ 3)5 dx = 1

    2

    (2x+ 3)4

    4 + Cf f5

    c)

    2

    9x+ 1dx =

    2

    9

    9

    9x+ 1dx =

    2

    9ln |9x+ 1| + C

    f /f

    d)

    2

    (9x+ 1)2dx =

    2

    9

    9 (9x+ 1)2 dx =

    2

    9

    (9x+ 1)1

    1 + Cf f2

    82

  • 5.1. HATROZATLAN INTEGRL 83

    e)

    2

    9x2 + 1dx = 2

    1

    1 + (3x)2dx = 2

    arctg 3x

    3+ C

    f)

    2

    9x2 + 3dx =

    2

    3

    1

    1 + (3x)2

    dx =2

    3

    arctg3x

    3+ C

    g)

    2x

    9x2 + 3dx =

    1

    9

    18x

    9x2 + 3dx =

    1

    9ln (9x2 + 3) + C

    f /f

    h) A kvetkez kt feladatot az elz kett mintjra oldhatjuk meg.2x+ 4

    9x2 + 3dx = (Hf.)

    7x+ 5

    9x2 + 3dx = (Hf.)

    i)

    2

    9x2 + 6x+ 3dx = 2

    1

    (3x+ 1)2 + 2dx =

    2

    2

    1

    1 + (3x+12)2

    dx =

    =arctg 3x+1

    232

    + C

    j)

    18x+ 8

    9x2 + 6x+ 3dx

    Felhasznljuk az elz plda eredmnyt:

    I =

    18x+ 6

    9x2 + 6x+ 3dx +

    2

    9x2 + 6x+ 3dx =

    = ln (9x2 + 6x+ 3) +arctg 3x+1

    232

    + C

    sszefoglalva az elz pldk tanulsgait

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 84 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    x+

    ax2 + bx+ cdx tpus integrlok megoldsa

    f(x) := ax2 + bx+ c , D := b2 4acD 0 esetn rszlettrtekre bontssal dolgozunk. ( Ezt ksbb vesszk.)D < 0 esetn az albbi talaktssal dolgozunk:

    x+

    ax2 + bx+ cdx = k1

    f (x)f(x)

    dx + k2

    1

    f(x)dx =

    = k1 ln |f(x)| + k2

    1

    f(x)dx

    A megmaradt hatrozatlan integrl meghatrozsa:

    A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez alakotkapjuk:

    1

    f(x)dx = k3

    1

    1 + (...)2dx = k3

    arctg (...)

    (...)+ C

    Itt (...) : xnek lineris fggvnye, gy a nevezbe konstans kerlt.

    Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!

    k)

    9x+ 2

    9x2 + 6x+ 3dx = (Hf.)

    Most ttrnk az

    x+ ax2 + bx+ c

    dx tpus integrlok szmtsra.

    Elszr egyszerbb pldkat csinlunk, majd ezt is megbeszljk ltalnosan.

    l)

    1x2 4x 12 dx =

    1

    (x 2)2 16 dx =1

    4

    1

    (x24)2 1

    dx =

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.1. HATROZATLAN INTEGRL 85

    =1

    4

    arch x24

    14

    + C

    m)

    x 2x2 4x 12 dx =

    1

    2

    (2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx =

    f f1/2

    =1

    2

    (x2 4x 12)1/212

    + C

    n) A kvetkez plda megint az elz kt tpus egyestse, azok eredmnyt felhasznl-juk:

    4x 2x2 4x 12 dx = 2

    2x 4 + 3x2 4x 12 dx =

    = 2

    ((2x 4) (x2 4x 12)1/2 dx + 3

    1

    x2 4x 12 dx)

    =

    = 2

    ((x2 4x 12)1/2

    12

    + 3 14

    arch x24

    14

    )+ C

    sszefoglalva az elz pldk tanulsgait:x+ ax2 + bx+ c

    dx tpus integrlok megoldsa

    f(x) := ax2 + bx+ c

    Az albbi talaktssal dolgozunk:

    x+ f(x)

    dx = k1

    f (x) f1/2(x) dx + k2

    1f(x)

    dx =

    = k1f 1/2(x)

    1/2+ k2

    1f(x)

    dx

    A megmaradt hatrozatlan integrl kiszmtsa:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 86 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    A nevezben teljes ngyzett kiegszts s esetleges kiemels utn a kvetkez esetekegyikt kapjuk:

    1f(x)

    dx = k3

    1

    1 (...)2 dx = k3arcsin (...)

    (...)+ C

    Vagy:1f(x)

    dx = k3

    1

    1 + (...)2dx = k3

    arsh (...)

    (...)+ C

    Vagy:1f(x)

    dx = k3

    1

    (...)2 1 dx = k3arch (...)

    (...)+ C

    Itt (...) : xnek lineris fggvnye.

    Ezzel a mdszerrel oldja meg az albbi feladatot!

    o) 1.)

    4xx2 + 6x+ 11

    dx (Hf.)

    2.)

    3x+ 1

    3 x2 2x dx (Hf.)

    2. Feladat:

    Gyakorl pldk:cos (x) esinx dx =

    1

    (1 + x2) arctg xdx =

    1

    x lnx5dx =

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.2. PARCILIS INTEGRLS 87

    1

    x ln5 xdx =

    e4x

    (1 + e4x)4dx =

    5.2. Parcilis integrlsElm

    3. Feladat:

    (3x 1) sin (5x+ 3) dx = I

    u = 3x 1 , v = sin (5x+ 3)u = 3 , v =

    cos (5x+ 3)5

    I = (3x 1) cos (5x+ 3)5

    +3

    5

    cos (5x+ 3) dx =

    = 15(3x 1) cos (5x+ 3) + 3

    5

    sin (5x+ 3)

    5+ C

    x3 ln (2x) dx = I

    u = x3 , v = ln (2x)

    u =x4

    4, v =

    1

    2x 2 = 1

    x

    I =x4

    4ln (2x) 1

    4

    x3 dx =

    x4

    4ln (2x) 1

    4

    x4

    4+ C

    arctg 2x dx = I =

    1 arctg 2x dx

    u = 1 , v = arctg 2x

    u = x , v =1

    1 + 4x2 2

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 88 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    I = x arctg 2x

    2x

    1 + 4x2dx = x arctg 2x 1

    4

    8x

    1 + 4x2dx =

    = x arctg 2x 14ln (1 + 4x2) + C

    ch 2x sin 5x dx = I

    u = ch 2x , v = sin 5x

    u = 2 sh 2x , v = cos 5x

    5

    I = 15ch 2x cos 5x +

    2

    5

    sh 2x cos 5x dx

    u = ch 2x , v = sin 5x

    u =sh 2x

    2, v = 5 cos 5x

    I =1

    2sh 2x sin 5x 5

    2

    sh 2x cos 5x dx

    A kt egyenletbl kikszblve a fellp idegen integrlt kapjuk I -re a vgeredmnyt:

    I =4

    29

    (54ch 2x cos 5x +

    1

    2sh 2x sin 5x

    )+ C

    4. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a)

    ln (5x) dx =?

    b)

    (2x+ 3) ln (5x) dx =?

    c)

    (5x+ 2) sh (4x) dx =?

    d)

    x2 cos (3x) dx =?

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 89

    e)

    arcsin (2x) dx =?

    f)

    4x arctg (2x) dx =?

    5.3. Racionlis trtfggvnyek integrlsaElm

    5. Feladat:

    x+ 1

    x2 + 3xdx =?

    Megolds.

    x+ 1

    x (x+ 3)=

    A

    x+

    B

    x+ 3

    x (x+ 3)x+ 1 = A(x+ 3) + Bx

    x := 3 : 2 = 3B = B = 23

    x := 0 : 1 = 3A = A = 13

    I =

    (1

    3

    1

    x+

    2

    3

    1

    x+ 3

    )dx =

    1

    3ln |x| + 2

    3ln |x+ 3| + C

    6. Feladat:

    2x+ 1

    x2 5x+ 6 dx =?

    Megolds.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 90 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    2x+ 1

    (x 2) (x 3) dx = (

    A

    x 2 +B

    x 3)

    dx =

    =

    (5 1

    x 2 + 71

    x 3)

    dx = 5 ln |x 2| + 7 ln |x 3| + CUgyanis:

    2x+ 1

    (x 2) (x 3) =A

    x 2 +B

    x 3 (x 2) (x 3)

    2x+ 1 = A(x 3) + B(x 2)x := 2 : 5 = A = A = 5x := 3 : 7 = B = B = 7

    7. Feladat:

    1

    x3 + 2x2dx =?

    Megolds.1

    x2 (x+ 2)=

    A

    x2+B

    x+

    C

    x+ 2

    x2 (x+ 2)1 = A(x+ 2) + Bx(x+ 2) + Cx2

    Most egytthat sszehasonltssal dolgozunk:1 = (B + C)x2 + (A+ 2B)x + 2A

    Innen a kvetkez lineris egyenletrendszer addik:2A = 1A+ 2B = 0B + C = 0

    Melynek megoldsa: A =1

    2, B = 1

    4, C =

    1

    4

    I =

    (1

    2

    1

    x2 1

    4

    1

    x+

    1

    4

    1

    x+ 2

    )dx =

    1

    2

    x1

    1 1

    4ln |x| + 1

    4ln |x+ 2| + C

    8. Feladat:

    x+ 1

    (x 1)2 (x 3) dx =?

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.3. RACIONLIS TRTFGGVNYEK INTEGRLSA 91

    Megolds.x+ 1

    (x 1)2 (x 3) =A

    (x 1)2 +B

    x 1 +C

    x 3 = . . . =1

    (x 1)2 +1x 1 +

    1

    x 3

    I = (x 1)1

    1 ln |x 1| + ln |x 3| + C

    9. Feladat:

    a)

    x3

    x4 16 dx =? b)x5 15xx4 16 dx =?

    Megolds.

    a)f

    falak:

    1

    4

    4x3

    x4 16 dx =1

    4ln |x4 16| + C

    b) ltrt, t kell alaktani:x5 15xx4 16 = x +

    x

    x4 16x

    x4 16 =A

    x 2 +B

    x+ 2+Cx+D

    x2 + 4= . . . =

    1/16

    x 2 +1/16

    x+ 2+1/8 xx2 + 4 (

    x +1

    16

    1

    x 2 +1

    16

    1

    x+ 2 1

    8

    1

    2

    2x

    x2 + 4

    )dx =

    =x2

    2+

    1

    16ln |x 2| + 1

    16ln |x+ 2| 1

    16ln (x2 + 4) + C

    10. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a)

    x2

    x2 9 dx =?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 92 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    b) )

    1

    (x 1)2 dx =? )

    1

    x2 1 dx =?

    c) )

    x2

    x3 1 dx =? )

    1

    x3 1 dx =?

    d)x5 + 2x4 + x3 + 3x2 2x+ 2

    x3 + 2x2dx =?

    5.4. Hatrozott integrlElmAppAppApp

    A feladatok megoldshoz a NewtonLeibniz ttelt hasznljuk.

    11. Feladat:

    pi0

    cos2 x dx =?

    Megolds.

    I =

    pi0

    cos2 x 1 + cos 2x

    2

    dx =1

    2

    (x +

    sin 2x

    2

    )pi0

    =1

    2(pi + 0 (0 + 0)) = 1

    2pi

    cos 2x integrlja a megadott intervallumra 0 -nak addott, ami nem meglep, mivel afggvny pi szerint periodikus s egy teljes periodusra integrltunk.

    12. Feladat:

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.4. HATROZOTT INTEGRL 93

    pi/20

    cos5 x sin2 x dx =?

    Megolds.

    I =

    pi/20

    cosx (cos2 x)2 (1sin2 x)2

    sin2 x dx =

    =

    pi/20

    (cosx sin2 x 2 cosx sin4 x + cosx sin6 x) dx =

    =sin3 x

    3 2 sin

    5 x

    5+

    sin7 x

    7

    pi/20

    =1

    3 2

    5+

    1

    7

    13. Feladat:

    20

    e|2x1| dx =?

    Megolds.

    I =

    1/20

    e12x dx +

    21/2

    e2x1 dx =

    = 12e12x

    1/20

    +1

    2e2x1

    21/2

    = 12(1 e) + 1

    2(e3 1)

    14. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a)pi

    pi/2

    cos3 x dx =?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 94 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    b)2

    1

    |x2 3x| dx =?

    c)4

    0

    x2 4x+ 4 dx =?

    d)3

    0

    sign (x2 4) dx =?

    e)1

    0

    (x+ 5) e3x dx =?

    5.5. TerletszmtsElmApp Az f(x) s g(x) "kz" es terlet, ha x [a, b] :

    T =

    ba

    |f(x) g(x)| dx

    15. Feladat:

    Szmtsa ki az f(x) = x2 + 2x s az g(x) = 4 x2 grbjekztti terletet!

    Megolds.

    Rajzoljuk fel az f(x) = x(x+ 2) , g(x) = (2 x)(2 + x) grbket.Az 5.1 brbl lthat, hogy :

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.5. TERLETSZMTS 95

    5.1. bra. Az f s g fggvny kzti terlet.

    f(x)g(x)

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    6

    -3 -2 -1 0 1 2

    T =

    12

    (4 x2 (x2 + 2x)) dx = 1

    2

    (2x2 2x + 4) dx = 23x3 x2 + 4x

    12

    =

    . . . = 9

    16. Feladat:

    Mekkora az y = lnx grbje, valamint az y = 0 , x =1

    e, x = e egyenesek

    kz es skrsz terlete!

    Megolds.

    Tekintsk az 5.2 brt!

    T = 1

    1/e

    lnx dx +

    e1

    lnx dx = . . .

    Parcilisan kell integrlni...

    17. Feladat:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 96 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    5.2. bra. A vizsglt terlet. Integrlskor az x tengely al es terletet negatv eljellelkapjuk meg.

    1/ee

    ln(x)

    -1.5

    -1

    -0.5

    0

    0.5

    1

    1.5

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

    +-

    Mekkora az f(x) = x2 4x+ 3 grbje, valamint az y = 0 , x = 0 , x = 5egyenesek kz es skrsz terlete!

    Megolds. . . .

    5.6. IntegrlfggvnyElmApp

    18. Feladat:

    f(x) = sg(x2 5x+ 4)

    a) brzolja a fggvnyt!

    b) rja fel az

    F (x) =

    x0

    f(t) dt

    n. integrlfggvnyt, ha x [0, 3] !

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.6. INTEGRLFGGVNY 97

    Megolds.

    a) Az f(x) = sg ((x 1)(x 4)) fggvny grafikonja az 5.3.a) brn lthat.

    5.3. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -1 0 1 2 3 4 5

    a)

    f(x)x2-5x+4

    -3

    -2

    -1

    0

    1

    2

    3

    -1 0 1 2 3 4 5

    b)

    F(x)

    b) Az integrlfggvny meghatrozshoz az integrlsi tartomnyt kt rszre bontjuk:

    x [0 , 1] : F (x) =x

    0

    1 dt = x

    x (1 , 3] : F (x) =1

    0

    1 dt +

    x1

    1 dt = 1 t|x1 = 2 x

    Teht:

    F (x) =

    x , ha 0 x 12 x , ha 1 < x 3

    Az F (x) integrlfggvny az 5.3.b) brn lthat.

    19. Feladat:

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 98 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    f(t) =

    {2t , ha t [0, 1]2 , ha t > 1

    Hatrozza meg az

    F (x) =

    x0

    f(t) dt (x > 0)

    integrlt! Hol derivlhat az F fggvny s mi a derivltja?

    Megolds.

    Az f fggvny grafikonja az 5.4.a) brn lthat.

    5.4. bra. Az f s az F fggvny grafikonja.

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

    a)

    f(x)

    -1

    0

    1

    2

    3

    4

    5

    0 0.5 1 1.5 2 2.5 3

    b)

    F(x)x22x-1

    x [0 , 1] : F (x) =x

    0

    2t dt = t2x0= x2

    x > 1 : F (x) =

    10

    2t dt +

    x1

    2 dt = 1 + 2t|x1 = 1 + (2x 2)

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.6. INTEGRLFGGVNY 99

    Teht:

    F (x) =

    x2 , ha 0 x 1

    2x 1 , ha 1 < xAz F intgrlfggvny grafikonjt az 5.4.b) bra mutatja.

    Az integrandusz ( f ) folytonossga miatt F derivlhat ( integrlszmts II. alaptte-le) s

    F (x) = f(x) =

    {2x , ha x [0, 1]2 , ha x > 1

    20. Feladat:

    G(x) =

    4x0

    1 + t8 dt , (x > 0) ; G (x) = ?

    Megolds.

    1. megolds: megfelel helyettestssel integrlfggvnyt kapunk.t := 4u = dt = 4 dut = 0 : u = 0 ; t = 4x : u = x

    Elvgezve a helyettestst:

    G(x) =

    x0

    1 + (4u)8 4 dt

    Az integrandusz folytonossga miatt G derivlhat ( integrlszmts II. alapttele) s

    G(x) =1 + (4x)8 4

    2. megolds:

    F (x) :=

    x0

    1 + t8 dt = F (x) =

    1 + x8 (az integrandusz folytonos)

    Mivel G(x) = F (4x) , felhasznlhatjuk az sszetett fggvny derivlsi szablyt:

    G(x) = F (4x) 4 = 1 + (4x)8 4

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 100 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    21. Feladat:

    F (x) =

    x0

    11 + t4

    dt , G(x) =

    x30

    11 + t4

    dt , H(x) =

    x3x

    11 + t4

    dt , (x 6= 0)

    Hatrozza meg a derivltfggvnyeket!

    Megolds.

    f(t) =1

    1 + t4folytonossga miatt az F integrlfggvny derivlhat

    ( integrlszmts II. alapttele) s

    F (x) =1

    1 + x4

    G(x) = F (x3) derivlhat fggvnyek sszettele

    = G(x) = F (x3) 3x2 = 11 + x12

    3x2

    H(x) = F (x3)F (x) = H (x) = F (x3)3x2F (x) = 11 + x12

    3x2 11 + x4

    22. Feladat:

    limx 0

    x0

    ln (1 + t) dt

    x2=?

    5.7. Integrls helyettestsselElmApp 23. Feladat:

    x2 4 dx =? x

    2= ch t helyettestssel dolgozzon!

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.7. INTEGRLS HELYETTESTSSEL 101

    Megolds.

    X := 2

    (x2

    )2 1 dx :

    Helyettestssel:x

    2= ch t = x = 2 ch t = dx = 2 sh t dt

    (t = arch

    x

    2

    )2

    2

    ch t 12 sh t dt = 4

    2

    sh t dt = 4

    ch 2t 1

    2dt = 2

    (ch 2t 1) dt =

    = 2

    (sh 2t

    2 t)

    + C = 2(sh t ch t t) + C = 2(ch2 t 1 ch t t) + C

    X = 2

    ((x2

    )2 1 x

    2 arch x

    2

    )+ C = x

    (x2

    )2 1 2 arch x

    2+ C

    24. Feladat:

    a)

    e2x

    e2x + 1dx =? b)

    e6x

    e2x + 1dx =?

    Szksg esetn alkalmazza az ex = t helyettestst!

    Megolds.

    a) Itt nem kell helyettests. f /f alak :1

    2

    2 e2x

    e2x + 1dx =

    1

    2ln(e2x + 1

    )+ C

    b) Helyettestssel:

    ex = t = dx = 1tdt

    X :

    t6

    t2 + 1

    1

    tdt =

    t5

    t2 + 1dt =

    (t3 t+ t

    t2 + 1

    )dt =

    =t4

    4 t

    2

    2+

    1

    2ln (t2 + 1) + C

    X =e4x

    4 e

    2x

    2+

    1

    2ln (e2x + 1) + C

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 102 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    25. Feladat:

    9x

    2 3x+ 1 dx =? t =2 3x helyettestssel dolgozzon!

    Megolds.

    x =2

    3 1

    3t2 = dx = 2

    3t dt

    X :

    3 (2 t2)t+ 1

    (23t

    )dt = 2

    t3 2tt+ 1

    dt = 2

    (t2 t 1 + 1

    t+ 1

    )dt =

    = 2

    (t3

    3 t

    2

    2 t+ ln |t+ 1|

    )+ C

    X = 2

    (1

    3

    (2 3x)3 1

    2(2 3x) 2 3x + ln (2 3x+ 1)

    )+ C

    26. Feladat:

    3x2 + 1

    3x2 + x

    dx =? t = 3x helyettestssel dolgozzon!

    Megolds.

    t = 3x = x = t3 = dx = 3t2 dt

    X :

    t2 + 1

    t2 + t33t2 dt = 3

    t2 + 1

    t+ 1dt = 3

    (t 1 + 2

    t+ 1

    )dt =

    = 3

    (t2

    2 t+ 2 ln |t+ 1|

    )+ C

    X = 3

    (1

    23x2 3x+ 2 ln | 3x+ 1|

    )+ C

    27. Feladat:

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 103

    a)

    1

    3(5x 1)2 dx =? b)

    2x

    3(5x 1)2 dx =?

    Szksg esetn alkalmazza a t =5x 1 helyettestst!

    Megolds. . . .

    28. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a)

    e2x + 5ex

    e2x + 4ex + 3dx =? ex = t

    b) 20

    ex 1ex + 1

    dx =? ex = t

    c) 11

    x5 4x dx =? t =

    5 4x

    5.8. Improprius integrlElmApp

    29. Feladat:

    1

    4

    x2 + 2x+ 5dx =?

    Megolds.

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 104 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    1

    4

    x2 + 2x+ 5dx = lim

    1

    4

    4 + (x+ 1)2dx =

    4

    4lim

    1

    1

    1 +

    (x+ 1

    2

    )2 dx =

    = lim

    arctgx+ 1

    21

    2

    1

    = 2 lim

    (arctg

    + 1

    2 arctg 0

    )= 2 pi

    2= pi

    30. Feladat:

    4

    1

    x2 + 2x 3 dx =?

    Megolds.

    4

    1

    x2 + 2x 3 dx = lim4

    1

    x2 + 2x 3 dx = . . . =

    = lim

    1

    4

    4

    (1

    x 1 1

    x+ 3

    )dx = lim

    1

    4(ln |x 1| ln |x+ 3|)

    4

    =

    =1

    4lim

    (ln 5 ln 1 (ln | 1| ln | + 3|)) =

    =1

    4lim

    (ln 5 + ln

    + 3 1) = 14 (ln 5 + ln 1) = 14 ln 5

    31. Feladat:

    arctg2 2x

    1 + 4 x2dx =?

    Megolds.

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.8. IMPROPRIUS INTEGRL 105

    arctg2 2x

    1 + 4 x2dx = lim

    1 , 2

    21

    arctg2 2x

    1 + 4 x2dx =

    =1

    2lim

    1 , 2

    21

    21

    1 + 4 x22

    arctg 2x f f2 alak

    dx =

    =1

    2lim

    1 , 2arctg3 2x

    3

    21

    =1

    6lim

    1 , 2(

    3arctg 22

    3arctg 21) =

    =1

    6

    ((pi2

    )3(pi2

    )3)=

    pi3

    24

    32. Feladat:

    02

    64 + 2x

    dx =?

    Megolds.0

    2

    64 + 2x

    dx = lim 0+0

    6 12

    02+

    2 (4 + 2x)1/2 f f1/2 alak

    dx =

    = 3 lim 0+0

    (4 + 2x)1/2

    1

    2

    0

    2+

    = 6 lim 0+0

    (2 2 ) = 12

    33. Feladat:

    1/e0

    ln2 x

    xdx =?

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 106 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    Megolds.

    lim 0+0

    1/e

    1

    xln2 x

    f f2 alak

    dx = lim 0+0

    ln3 x

    3

    1/e

    =1

    3lim

    0+0

    (ln3(1

    e

    ) ln3

    )=

    Az improprius integrl divergens.

    34. Feladat:

    20

    14x x2 dx =?

    Megolds.

    20

    14x x2 dx = lim 0+0

    1

    2

    2

    11

    (x 22

    )2 dx = 12 lim 0+0 arcsinx 22

    1

    2

    2

    =

    = lim 0+0

    (arcsin 0 arcsin 2

    2

    )= arcsin (1) = pi

    2

    35. Feladat: Tovbbi gyakorl feladatok:

    a)1

    x

    9 + 4x2dx =?

    b)

    5

    4 + 7x2dx =?

    c)0

    25

    x3 5x2 dx =?

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

  • 5.9. INTEGRLKRITRIUM 107

    d)0

    4x e2x2

    dx =?

    e)0

    (2x+ 3) e3x dx =?

    f)128

    x+ 1x 8 dx =? t =

    x 8

    g)0

    ex dx =?

    x = t

    5.9. IntegrlkritriumElmApp

    36. Feladat:

    Vizsglja meg konvergencia szempontjbl az albbi sorokat!

    a)n=2

    2

    3n lnn3b)n=2

    2

    3n (lnn+ 7)3

    Konvergencia esetn adjon becslst az s s100 kzelts hibjra!

    a) f(x) :=2

    3x lnx3=

    2

    9

    1

    x lnx, x 2

    f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumons f(n) = an > 0 = alkalmazhat az integrlkritrium.2

    2

    9

    1

    x lnxdx =

    2

    9lim

    2

    1

    xlnx

    f /f alak

    dx =2

    9lim

    ln lnx|2 =

    c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi tankonyvtar.ttk.bme.hu

  • 108 5. FEJEZET: EGYVLTOZS VALS FGGVNYEK INTEGRLSA

    =2

    9lim

    (ln ln ln ln 2) =

    Az improprius integrl divergens int. kr.= an=2

    2

    3n lnn3sor is divergens.

    b) f(x) :=2

    3x (lnx+ 7)3=

    2

    3

    1

    x (ln x+ 7)3, x 2

    f pozitv rtk monoton cskken fggvny a [2,) intervallumonf(n) = an > 0 = most is alkalmazhat az integrlkritrium.

    2

    2

    3

    1

    x (ln x+ 7)3dx =

    2

    3lim

    2

    1

    x(lnx+ 7)3 f f3 alak

    dx =

    2

    3lim

    (lnx+ 7)2

    22

    = 13

    lim

    (1

    (ln + 7)2 1

    (ln 2 + 7)2

    )=

    1

    3 (ln 2 + 7)2

    Az improprius integrl konvergens int. kr.= an=2

    2

    3n (lnn+ 7)3sor is konvergens.

    Hibaszmts az s s1000 kzeltsre:

    0 < H = s s1000

    1000

    2

    3

    1

    x(lnx+ 7)3 dx =

    2

    3lim

    (lnx+ 7)2

    21000

    =

    = 13

    lim

    (1

    (ln + 7)2 1

    (ln 1000 + 7)2

    )=

    1

    3 (ln 1000 + 7)2

    tankonyvtar.ttk.bme.hu c Fritzn, Knya, Pataki, Tasndi

    TartalomjegyzkSorozatokSpecilis (vgtelenhez tart) sorozatokNagysgrendek sszehasonltsa Sorozatok hatrrtkeKt nevezetes hatrrtk Rekurzve megadott sorozatok,,Exponencilis'' hatrrtkkel kapcsolatos feladatokLimesz szuperior, limesz inferiorEgy alkalmazs: a kr terlete

    SorokNumerikus sorokAlternl sorok, Leibniz sorokMajorns kritrium, minorns kritriumAbszolt konvergencia, feltteles konvergenciaHibaszmts pozitv tag sorokra

    Egyvltozs vals fggvnyek hatrrtke, folytonossgaFggvny hatrrtkeSzakadsok tpusaisin(x)/x hatrrtkkel kapcsolatos pldk

    Egyvltozs vals fggvnyek derivlsaDifferencils a defincivalA derivlsi szablyok gyakorlsaA derivlsi szablyok + definci gyakorlsaElemi fggvnyekL'Hospital szablyFggvnyvizsglatAbszolt szlsrtkImplicit megads fggvnyek derivlsaParamteres megads grbk

    Egyvltozs vals fggvnyek integrlsaHatrozatlan integrlParcilis integrlsRacionlis trtfggvnyek integrlsaHatrozott integrlTerletszmtsIntegrlfggvnyIntegrls helyettestsselImproprius integrlIntegrlkritrium