Példatár megoldások

Részletes megoldások

SZENTELEKINÉ DR. PÁLES ILONA

MATEMATIKA A KÖZGAZDASÁGI ALAPKÉPZÉS

SZÁMÁRA készült Analízis példatárához

(Kiadja a Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt.,

ISBN: 978-963-19-6796-8, raktári szám: 42656/P)

A CD teljes anyagát nemzetközi jog védi. Annak sem teljes egésze, sem semmilyen része semmiféle formában nem másolható a jogtulajdonos hozzájárulása nélkül.

© Szentelekiné dr. Páles Ilona, Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., 2010.

Nemzeti Tankönyvkiadó Zrt., Budapest, 2010

TARTALOM

1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK....................................................... 3

2. VALÓS FÜGGVÉNYEK ................................................................. 15

3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK ................................................... 33

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA ........ 52

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁL-

SZÁMÍTÁSA..................................................................................... 66

6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA.............. 83

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL .................................................... 119

8. HATÁROZOTT INTEGRÁL.......................................................... 136

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK.............................................. 159

1. HALMAZELMÉLETI ALAPOK

1. 1. Alapfogalmak, halmazműveletek és tulajdonságaik 1. a) BA = , , BA ⊆ AB ⊆ b) BA ≠ , AB ⊂ c) BA ≠ , , BA⊄ AB ⊄ d) BA ≠ , BA⊂ 2. a) { }2,2−=A { }3,2=C { }3,2=B { }3,2,1,0,1,2,3 −−−=D CB = b) Mindegyik halmaz részhalmaza önmagának, továbbá és (nem valódi részhalmazok). CB ⊆ BC ⊆ DA⊂ , DB ⊂ és (valódi részhalmazok). DC ⊂ 3. { }1>= xxxA szám, valós

{ }12 >−<= xxxxB vagyszám, valós

{ }12 >−<= xxxxC vagyszám, valós a) hamis; b) igaz; c) igaz; d) igaz. 4. A 2008. évi magyarországi adófizetők közül a) a legfeljebb 8 millió Ft-os jövedelemmel rendelkezők, meg akiknek

legalább 50 millió Ft értékű vagyonuk van; b) azok a maximum 8 millió Ft-os jövedelemmel rendelkezők, akiknek a vagyona legalább 50 millió Ft értékű; c) azok, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több; d) azok a maximum 8 millió Ft-os jövedelműek, akik vagyonának értéke nem éri el az 50 millió Ft-ot; e) azok a legalább 50 millió Ft értékű vagyonnal rendelkezők, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több; f) BABA =+ : azok, akiknek a jövedelme több mint 8 millió Ft, de a

vagyonuk értéke kevesebb, mint 50 millió Ft; g) BAAB += : a 8 millió Ft-nál több jövedelemmel rendelkezők, meg

azok, akiknek a vagyona 50 millió Ft-nál kisebb értékű; h) BABABA +==− : azok, akiknek a jövedelme 8 millió Ft-nál több,

vagy akiknek a vagyona legalább 50 millió Ft értékű.

3

ANALÍZIS PÉLDATÁR – MEGOLDÁSOK

5. A felsőfokú tanintézmény hallgatói közül a) azok a nappali tagozatra járó hallgatók, akik tanulmányi ösztöndíjasok és felvették a matematikai modellezést; b) a nappalira járók, valamint a férfiak; c) a tanulmányi ösztöndíjas nők, meg a matematikai modellezést fölvevő hallgatók; d) azok a tanulmányi ösztöndíjas nők, akik nem nappalira járnak; e) a nem tanulmányi ösztöndíjasok, valamint a férfi hallgatók; f) azok a nappalis nők, akik nem vették föl a matematikai modellezést, vagy nem részesülnek tanulmányi ösztöndíjban; g) [ ] =+==−− )()()( CABDACABDAACADB DCABDCABCABDBDAA =+∅=+= )()()( : azok a tanulmányi ösztöndíjas nők, akik fölvették a matematikai modellezést, és nem a nappali tagozatra járnak; h) [ ] =++=++= )()()()()( DBABAADBBAADBBAA

ABDABDABDBAB =+∅=+= )()()( : a tanulmányi ösztöndíjas, matematikai modellezést fölvevő nők; 6. a) BCD b) DCDCHDCCCDCC +=+=++=+ )()()()(

c) DCA

d) )( CBD + 7. 14-en vannak a társaságban.

M1. ábra 8. a) nem; b) igen; c) { }6,2−=A , { }5,4,3,2,1,0,1−=B , igen; d) { }42, <<∈= xxxA R , { }53, <<∈= xxxB R , nem; e) { }2=A , { }2=B , nem.

4


9. a) AAHBBABAAB ==+=+ )()()( és

∅=∅== ABBABAAB )()()( .

b) [ ] [ ] =++=+=−+ )()()( BABAABBAABBA

BABAHBAAABBBAA +=+=∅+++=++= )()()()()(

[ ] .)( ∅==− ABABABBA 10. a) ++++=+++++ )()()()()()()()( BBBAABAABABABABA

+++∅+++=++++ )()()()()()()( ABABAABABBBAABAA

HHAAHHBBABBAAABA =++=+++++=∅++ )()()()()(

b) )()()()( DCBACDABCDAB ++==+

c) Bal o.: )()()()( ACBACBACBACBA +=+==−−

Jobb o.: )()()()( ACBAACBA +=+−

d) HBABAABBABABAABBA =+++=++−+− )()()()()()()()( ,

mert HPP =+ , ahol )()( ABBAP += .

e) [ ]{ } [ ]{ }=−−−=−−−− )()( CBBAACBBAA

[ ] [ ]{ }=+−−=⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ⋅−−= )( CBBAACBBAA

[ ]{ } { } { }=+−=−=+−−= )()()( CBAABCAABCBBAA

( ) ABCABCAACBAACBAA =+=++=+= )()()( . 11. a) ( ) ( ) =++=++++ )()()( BAAABBABBAAABBAB

AAHBBABAAB ==+=++∅= )()()( b) BBCCBBA ==++ )()( , mert . CBBA ⊂⊂ és

c) [ ]{ } [ ]{ } =+=−+− )()()( BCCABABCCABA

[ ]{ } BCBCBCCBACAABCCBAA =+∅=++=++= )()()()()()( 12. 1. CBA 5. ACB

2. CAB 6. BCA

3. BAC 7. CBA

4. CBA 8. CBA

5


13.

o.Jobbc)o.Balc)o.Jobbb)

o.Balb)

o.Jobba)

o.Bala)

IIIIIIICBAaIIIIIIIABCaICBAaIIIICaIIIIBaIIIIAaICBAa

IIIIIIICBAaIBCAa

IIBCaICABa

IIABaNINININICaNNIINNIIBaNNNNIIIIAa

++∈∈∈∈∈∈

++∈++∈

∈∈

∈∈∈∈∈

)(

)(

M1. táblázat

1.2. A valós számok halmaza. A valós számok axiómái 14. A csak alulról korlátos: AA ∈=1inf . B korlátos: BB ∈−= 1inf , BB ∈=1sup . C korlátos: CC ∉= 5inf , CC ∈= 6sup . D korlátos: { 1,1−= } DD ∈−= 1inf , DD ∈=1sup . E { …,4,3,2,1 }−−= sem alulról, sem felülről nem korlátos. F korlátos: { 3,2,1,0= } FF ∈= 0inf , FF ∈= 3sup . G { …,2,1,0,1,2,3 − }−= csak felülről korlátos: GG ∈= 3sup . H korlátos: HH ∉= 9,2inf , HH ∉= 1,3sup .

{ }, 2,9 vagy 3,1I x x x x= ∈ ≤ ≥R sem alulról, sem felülről nem

korlátos. J korlátos, ugyanis átalakítva a kifejezést, kapjuk:

6


1

18 , ha páros28 ( 4) 18

8 2 18 , ha páratlan2

n

nn n

n n

n

n

+

⎧ ⎛ ⎞+⎪ ⎜ ⎟+ − ⎪ ⎝ ⎠⎛ ⎞= + − = ⎨⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎛ ⎞⎪ − ⎜ ⎟⎪ ⎝ ⎠⎩

Ha n értéke nő, akkor n

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21 csökken. Így a felső határt megkapjuk, ha n

helyébe 2-t, az alsó határt pedig, ha n helyébe 1-et helyettesítünk: JJ ∈= 25,8sup , JJ ∈= 5,7inf .

1.3. Halmazok Descartes-féle szorzata, koordináta rendszer. Intervallum, környezet

15. a) { })4,2(),3,2(),0,2(),4,1(),3,1(),0,1(=× BA { })2,4(),1,4(),2,3(),1,3(),2,0(),1,0(=× AB { })2,2(),1,2(),2,1(),1,1(=× AA

M2. ábra

7


b) { }R∈<<<<=× bababaBA ,,20,40),(

{ }R∈<<<<=× babaabAB ,,20,40),(

{ }R∈<<<<=× 212121 ,,40,40),( xxxxxxAA

M3. ábra 16. { }2,0=A { }4,1=B { }9,6,3 −−−=C { ),6,4,0(),3,4,0(),9,1,0(),6,1,0(),3,1,0( −−−−−=×× CBA ),3,4,2(),9,1,2(),6,1,2(),3,1,2(),9,4,0( −−−−− })9,4,2(),6,4,2( −− { ),0,9,1(),2,6,1(),0,6,1(),2,3,1(),0,3,1( −−−−−=×× ACB ),2,6,4(),0,6,4(),2,3,4(),0,3,4(),2,9,1( −−−−− })2,9,4(),0,9,4( −−

{ ),2,2,0(),0,2,0(),2,0,0(),0,0,0(3 =××= AAAA })2,2,2(),0,2,2(),2,0,2(),0,0,2(

8


17. a) Az origó középpontú, 1 illetve 2 egység sugarú körrel határolt

körgyűrű, ahol a belső körív hozzátartozik a halmazhoz, a külső nem. b) Az origó középpontú, 2 egység sugarú körlap pontjai a határoló

körvonallal együtt. c) Az origó középpontú, egység sugarú körlap negyedik síknegyedbe eső pontjai, kivéve az x tengelynek origótól különböző pontjai. d) Az xy sík origótól különböző pontjai. e) Az origó középpontú egység sugarú körlap pontjai (a határoló körvonallal együtt), kivéve az első síknegyednek origótól különböző pontjai. f) Az origó középpontú 1 illetve 2 egység sugarú körrel határolt körgyűrű belső pontjai, kivéve az x tengely alatti pontok. 18. a) [ [6,4=A ] ]3,∞−=D ] [7,5=B [ ]2,2−=E ] [∞= ,10C ] [1,4 −−=F

M4. ábra b) ] [6,5=AB [ [7,4=+ BA [ ]5,4=− BA ∅=CD ] ] ] [∞∪∞−=+ ,103,DC CDC =− [ [1,2 −−=EF ] ]2,4−=+ FE [ ]2,1−=− FE 19. a) ] [4,2)3(1 =K b) ] [1,0,1,0)0(1,0 −=K c) ] [999,0,001,1)1(001,0 −−=−K 20. )2(01,0KA = )2(1 −= KC )5(610−= KB ( )2,11,0KD =

9


1.4. Halmazok számossága 21. Megmutatjuk, hogy a két halmaz elemei között létesíthető kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés. Egy lehetséges megfeleltetés a következő: { }...,10...,,30,20,10 nT = { }...,...,,3,2,1 n=+N

22. Megmutatjuk, hogy a halmaz elemei sorba rendezhetők: ...,41,

31,

21,1

23. Elég belátni, hogy elemeit sorba lehet rendezni: Ζ ...,3,2,2,1,1,0 −− 24. A TK. 1.4. példája alapján tudjuk, hogy a +Q halmaz megszámlálható,

ugyanis elemeit sorba tudjuk rendezni: ...,31,3,2,

21,1

Hasonlóan a −Q halmaz elemei is sorba rendezhetők:

...,31,3,2,

21,1 −−−−−

Így a halmaz elemeit is sorba rendezhetjük úgy, hogy a 0-t első helyre tesszük, és , valamint elemeit „összefésüljük”:

Q+Q −Q

...,,3,3,2,2,21,

21,1,1,0 −−−− tehát a Q halmaz is

megszámlálható számosságú. 25. Mivel a halmazok megszámlálható számosságúak, ezért elemeikből sorozat készíthető: { }...,,, 321 aaaA = { }...,,, 321 bbbB = Az BA∪ halmaz elemei szintén sorba rendezhetők: { }...,,,,, 32211 ababaBA =∪ Tehát az BA∪ halmaz is megszámlálható. Megjegyzés: Ha A és B elemei között egyenlők is vannak, akkor az „összefésülésnél” a már másodszor előforduló elemet „átugorjuk”, vagyis kihagyjuk. 26. A 24. feladat alapján tudjuk, hogy a Q halmaz megszámlálható számosságú, azaz elemei sorba rendezhetők: { }...,,, 321 rrr=Q .

10


Így a QQ × halmaz elemeit célszerű a következőképpen elrendezni:

1 1 1 2 1 3 1 4

2 1 2 2 2 3 2 4

3 1 3 2 3 3 3 4

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

( , ) ( , ) ( , ) ( , )

r r r r r r r r

r r r r r r r r

r r r r r r r r

→ →

↓

…

…

…

A nyilak egy lehetséges sorba állítást mutatnak. 27. A két szakasz pontjai között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés létesíthető pl. az M5. ábrán látható módon.

M5. ábra

28. Igen; R és R + egyenlő számosságú, mivel elemeik között kölcsönösen egyértelmű megfeleltetést létesít pl. az xxf 2)( = R∈x függvény.

1.5. Vegyes feladatok 29. { }10,5,2,1=A { }22, >−<∈= xxxxC vagyR

{ }4,2,2,4 −−=B { }3, ≥∈= xxxD R a) CD ⊂ b) A és B diszjunkt halmazok, mert ∅=AB . c) { }10,5,4,2,2,1,2,4 −−=+ BA Korlátos: 4)inf( −=+ BA , 10)sup( =+ BA . { }2,1=−CA korlátos: 1)inf( =−CA , 2)sup( =−CA . { }4,24,2, ≠>≠−<∈=− xxxxxxBC vagyR sem alulról, sem felülről nem korlátos. { }4,4−=BC korlátos: 4)inf( −=BC , 4)sup( =BC . DCD = csak alulról korlátos: 3inf =D . CDC =+ sem alulról, sem felülről nem korlátos.

11


30. Többféle megoldás lehetséges, például: a) CBA ++ b) CBA

c) )()()( CBACBACBA ++

d) )()()()( CBACBACBACBA +++

e) CBAABC ++= 31. 1. Belátjuk, hogy páronként diszjunkt halmazok: [ ] ∅===−− BBCAAABBCAABBCA )()()(

[ ] =+==− )()( CBABCABCBCAABCBCA

∅=+= )()( CABCCBAB

[ ] ∅==+⋅− BABCABABCA )(

∅==− ABCABABCAB )(

∅==+− BAABBAAB )(

∅==+ BACBABAABC 2. Belátjuk, hogy egyesítésük az alaphalmaz: [ ] +++=+++−+− )()()()()()( ABCABBCABAABCABBCA

[ ] [ ] HAAHAAHBBABCBCABA =+=+=+++=+ )()()()()( . 32. I. f) a kifejezés egyszerűbb alakra hozva: )()( CBAABC + .

d) e)

M6. ábra

12


II. g) CB − i) CA

h) CBA j) )()( CBAABC + 33. a) ] [4;1− b) ] [3;2 c) ] ]2;1− 34. Mivel megszámlálhatóan végtelen sok halmazt egyesítünk, ezért a halmazok sorba állíthatók: de maguk a halmazok is megszámlálható számosságúak, vagyis minden egyes halmaznak az elemei is sorba rendezhetők. Ezt felhasználva az halmaz elemeit a következőképpen célszerű elrendezni.

;...,,, 321 AAA

...321 ∪∪∪ AAA

…………

444342414

343332313

242322212

141312111

::::

aaaaAaaaaAaaaaAaaaaA

Az elemeket most már könnyen sorba állíthatjuk, pl. így (a nyilak mentén haladva): …,,,,,,,, 2314132231211211 aaaaaaaa Vegyük még figyelembe a 25. feladat utáni megjegyzést is.

1.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Az összeadás és a szorzás kommutatív (lásd 1.1. tétel), a kivonás azonban nem: BAAB −≠− . Ez utóbbi Venn-diagramon is ellenőrizhető. 2. Nem igaz. A kétféle algebrában vannak ugyan egyforma azonosságok (pl. kommutativitás, asszociativitás, stb.), de vannak eltérőek is (pl. a Boole- algebrában igaz az AAA =+ azonosság, de a valós számok algebrájában nem.) 3. Nem igaz az a) b) és d) azonosság (erről Venn-diagram segítségével is meggyőződhetünk). Igaz a c) azonosság, melyet pl. Boole-algebrai átalakítások segítségével könnyen igazolhatunk. 4. Igen. 5. a) Hamis, mert nem valós számok, hanem 12 db rendezett valós számpár

alkotja a halmazt.

13


14

}

b) Hamis, mert a halmaznak nem 9, hanem 24 db eleme van. (Az elemek rendezett valós számhármasok.) c) Igaz. Legyen pl.: { baA ,= és { }edcB ,,= . Ekkor { }),(),,(),,(),,(),,(),,( ebdbcbeadacaBA =× . { }),(),,(),,(),,(),,(),,( beaebdadbcacAB =× . d) Hamis, mert a két halmazt nem ugyanazok az elemek alkotják (lásd c) pont

megoldása). Pl.: . ),(),( acca ≠ 6. a) Nem igaz. A két halmaz ekvivalens. b) Igaz. Mindkét halmaz megszámlálható számosságú.

c) Nem igaz; ugyanis ha az irracionális számok halmaza megszámlálhatóan végtelen lenne, akkor a (megszámlálhatóan végtelen) racionális számok halmazával egyesítve – a valós számok halmaza is megszámlálható számosságú lenne. A valós számok halmaza azonban nem megszámlálható (lásd 1.8. tétel). d) Nem igaz (lásd pl.: a b) pontban szereplő Z és Q halmazokat). e) Igaz (lásd a 27. feladatot).

2. VALÓS FÜGGVÉNYEK

2. 1. Függvényfogalom, valós függvények. Természetes értelmezési tartomány

35. Függvényt határoz meg a b), d) és e) hozzárendelés, ezeknél ugyanis minden

lakáshoz pontosan egy dolgot rendelünk. Nem függvény azonban az a) és c) hozzárendelés, mert egy-egy lakáshoz több autó, illetve több lakó is tartozhat (vagyis nem egyértelmű a megfeleltetés).

A b) nem kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, mert vannak olyan lakások, amelyekhez ugyanazt a számot rendeljük (pl. két lakáshoz is 0-t rendelünk).

Az e) kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, mert minden lakáshoz más-más sorszám tartozik.

A d) hozzárendelés akkor és csak akkor kölcsönösen egyértelmű, ha nincs két olyan lakás, melyben ugyanannyian laknak.

Mindhárom függvény valós értékű, mert értékkészletük részhalmaza a valós számok halmazának. Valós-valós függvény nincs közöttük, mert mindegyik függvény értelmezési tartományát a társasház lakásai – nem pedig valós számok – alkotják.

36. a) 7,12502,02,1)25( =⋅+=f , azaz egy éves embernek a vér

koleszterinkoncentrációja 1,7 gramm/liter. 25

b) Évente grammal nő a vér koleszterinkoncentrációja literenként. 02,0

37. 3( ) 5, 204

f x x x= + > (mértékegység: ezer Ft)

8. a) 3 %72,0

b) 854)40( ≈f (millió)

0,10

220)( ≥⎥⎦⎤

⎢⎣⎡+= xxxf39.

(M. 7. ábra)

0. , azaz

a) 0273 2 ≠+− xx

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈x 2,

31R

4

b) , azaz 014 ≠+x R∈x . M 7. ábra ≥ c) 2 −x , azaz 2 . 04 ≥x

és vagy d) ≥x 2−≥x , is2 2≥x . 15


16

6 e) 0 és 0>1>−x x , vag 1yis 6− < <x . +x , vag f) 06 >−− x yis 6172 << x .

A c) és d) pontbeli függvények nem ők egyenl , mert az értelmezési tartományuk

1. a)

nem egyezik meg. Az e) és f) pontbeli függvények sem egyenlők, mert bár az értelmezési tartományuk egyenlő, de ugyanazon x értékhez más-más függvényértéket rendelnek.

{ } +=−∈= RR fRxxxf ,0,)( 2 . 4

b) { } { }.6,5,425

)5()2(2)( −−=−∈+−=−

−−−= RR fRxx

xxxxf

c) [ [∞=∈= ,0,,)( fRxxxf R .

d) { } { }4,2,242

)42(242242)(

2

−=−∈=−−

=−⋅−

= +RR fx

x

xx

x

xx

Rxxf .

a) b)

c) d)

M 8. ábra


2.2. Függvénytranszformációk 42. Teljes négyzetté alakítás után a képletből leolvashatók a transzformációs

lépések. 5)5(2025)5(2010)( 222 −+=+−+=++= xxxxxg

[ ] 3)1(251)1(25)2(2542)( 2222 +−=+−−=+−=+−= xxxxxxxh

[ ] 10)3(19)3(1)6(16)( 2222 ++−=+−+−=++−=+−−= xxxxxxxk Pl. a h függvény esetén a transzformációs lépések (egy lehetséges

sorrendje): 1. alapfüggvény ábrázolása; 2xx2. : eltolás az 2)1( −xx x tengely mentén pozitív irányban egy

egységgel; 3. : nyújtás az tengely mentén, azaz minden pontnak az

2)1(2 −xx yx tengelytől mért távolsága 2-szeresére változik;

4. : eltolás az 3)1(2 2 +−xx y tengely mentén 3 egységgel pozitív irányban.

M 9. ábra

43. Egy-egy lehetséges megoldást mutatunk. a) Alakítsuk át a képletet:

2

312

3)2(25

25)(

−+−=

−−−

−=−−

−=−−

=xx

xxx

xxxg

17


A transzformációs lépések:

1. az x

xf 1)( = alapfüggvény ábrázolása;

2. 2

1−x

x : eltolás az x tengely mentén pozitív irányban 2

egységgel;

3. 2

3−x

x : minden pontnak az x tengelytől vett távolsága

3-szorosára nő;

4. 12

3−

−xx : eltolás az y tengely mentén egy egységgel negatív

irányban.

M 10. ábra

b) 342382)( −+=−+= xxxg

1. az xxf =)( alapfüggvény ábrázolása;

2. xx 2 : minden pontnak az x tengelytől mért távolsága 2-szeresére nő; 3. 42 +xx : eltolás az x tengely mentén 4 egységgel negatív irányban;

18


4. 342 −+xx : eltolás az y tengely mentén 3 egységgel negatív irányban.

M 11. ábra

c) 1231)2(91189)( +−=+−=+−= xxxxg

1. az xxf =)( alapfüggvény ábrázolása; 2. 2−xx : eltolás az x tengely mentén 2 egységgel pozitív irányban; 3. 23 −xx : minden pontnak az x tengelytől mért távolsága

3-szorosára változik; 4. 123 +−xx : eltolás az y tengely mentén pozitív irányban egy egységgel.

M 12. ábra

19


44. (M. 13. ábra)

20

M 13. ábra

c)

e)

45. a) Az ] 2;1,62

1)( ∈−

= xx

xf ] függvény képletéből közvetlenül (vagy

grafikus vizsgálat alapján) adódik, hogy a függvény szigorúan monoton csökkenő;

,21)2(,

41)1( −=−= ff így ⎢⎣

⎡⎢⎣⎡ −−=

41;

21

fR .

b) Érdemes vázolni a függvény grafikonját, ahonnan adódik: . R=fR

c) 13)1(3123)( 22 −=−=+−= xxxxxf , így . += 0RfR d▲) Vegyük észre, hogy az f függvény gráfja az ctgxx függvény grafikonjának x tengely irányú zsugorításával keletkezik. E

transzformáció során a periódushossz π -ről π1 -szeresére, vagyis egy

egységre változik. Így: . R=fR

2.3. Szakaszonként megadott függvények, függvénytulajdonságok 46. a) Korlátos: 1)(inf −=xf , 1)(sup =xf .

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

≥+<≤−

−<−−=

2,1223,5

3,12)(

xxx

xxxf

hahaha

Csak alulról korlátos: 5)(inf =xf .


c) Csak alulról korlátos: . ⎩⎨⎧

<≠−−≠≤+

=01,1

10,1)(

xxxx

xfhaha

1)(inf =xf

d) Csak felülről korlátos: 6)(sup =xf . e) Korlátos: 0)(inf =xf , 1)(sup =xf . f) Nem korlátos.

a) b)

c) d)

e) f)

M 14. ábra

21


47. a) Páratlan, mert R=fD , és minden R∈x esetén

. )(2)()(2)( 33 xfxxxxxf −=+−=−−−=− b) Se nem páros, se nem páratlan, mert van olyan R∈x , hogy , )(424)()(2)( 33 xfxxxxxf ±≠++−=+−−−=− pl. 5)1(3)1( =±≠=− ff . c) Páros, mert { }0−= RfD és minden fDx∈ esetén

)(25

1)(2)(5

1)( 2424 xfxxxx

xf =+

=−+−

=− .

d) Páros, mert , és minden R=fD R∈x esetén

. )(33)( xfxf xx =+=− −

e) nem szimmetrikus az origóra ⇒ se nem páros, se nem páratlan.

+= 0RfD

f) Páros, mert { }0−= RfD , és minden fDx∈ esetén

)(sinsin)sin()( xfx

xx

xxxxf ==

−−

=−−

=− .

48. (M. 15. ábra)

M15.a) ábra

22


M 15.b) ábra a) [ [7;0=fR ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai:

szigorúan monoton csökken a [ ]3;5 −− és [ ]0;1− intervallumokban, valamint szigorúan monoton növekedő a és [

[ ]1;3 −−[2;0 intervallumokban.

Korlátos: 0)(inf =xf és 7)(sup =xf . Lokális maximumhelyek: 5−=x és 1−=x , a lokális maximumértékek: .4)1()5( =−=− ff Lokális minimumhelyek: 3−=x és 0=x , a lokális minimumértékek: 0)3( =−f és 3)0( =f . Abszolút maximumhely nincs, abszolút minimumhely: 3−=x és az abszolút minimumérték: 0)3( =−f . b) ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai:

szigorúan monoton csökkenő a

] 4;0=fR ][ [2;7− és [ ]5;2 intervallumokban,

valamint szigorúan monoton növekedő az [ [7;5 intervallumban. Korlátos: 0)(inf =xf és 4)(sup =xf . Abszolút (és lokális) maximumhely: 2=x , értéke: 4)2( =f , lokális

maximumhely: 7−=x , értéke: 3)7( =−f , lokális minimumhely: , értéke: 5=x 1)5( =f , abszolút minimuma nincs.

2.4. Műveletek függvényekkel. Összetett és inverz függvények 49. a) 4),4lg()4lg(: >++−+ xxxxgf . b) :, hgf DDhgf ≠≠+ +mert

{ } { }és 4 , és 4 4f g hD x x x D x x x x+ = ∈ > = ∈ < − ∨R R > .

23


50. a) { }0,2:2

−∈+

+ Rxx

xxgf .

{ }0,2: −∈⋅ Rxxgf .

{ }0,2

:2

−∈Rxxxgf .

b) xxxgf −+−=+ 562)()( , [ ]5;3∈x .

xxxgf −⋅−=⋅ 562)()( , [ ]5;3∈x .

x

xxgf

−

−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

562)( , [ [5;3∈x .

c) . 0,lg3lglg2lglg)()( 2 >=+=+=+ xxxxxxxgf

. ,lg2lg)(lg)()( 22 xxxxgf ⋅==⋅ 0>x

2lglg2

lglg)(

2

===⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛xx

xxx

gf , { }1−∈ +Rx .

51. a) 3,3: ≤− xxxgf 0,3: ≥− xxxfg b) 3),3lg(: −>+ xxxgf 0,lg3: >+ xxxfg

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<−−=∨−=>∨−<

=−−64,1

64,064,1

)242sgn(: 2

xxxxx

xxxgfhahaha

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−=−<−

0,250,240,21

:xxx

xfghahaha

d) nem értelmezhető egyetlen valós x-re sem, mert , ha

)(log: 23 xxgf −

02 ≤− x R∈x . , 2

3 )(log: xxfg − 0>x

e) 352:

++

xxxgf , { }3−−∈Rx

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

<−

+=+−+−

≥+

−=++

=++

0,3

12352

0,3

12352

352

:x

xxx

xxx

x

xx

xfgha

ha

24


a)

b)

c)

d)

e)

M. 16. ábra 25


52. a) 2811: 2 −+− xxxgf , R∈x

R∈−⋅+− xxxxfg ,2811: 2

xxxff =: , R∈x

R∈−−+−+−+−− xxxxxxgg ,28)2811(11)2811(: 222

b) 12: 2 +x

xgf , { }0−∈Rx

12

1: 2 +xxfg , R∈x

, 1)12(2: 22 ++xxff R∈x xxgg : , { }0−∈Rx

c) xxgf 5log: , 0>x

xxfg 5log: , 1≥x 1,loglog: 55 >xxxff

0,: 4 ≥= xxxxgg

d)

⎪⎪⎪

⎩

⎪⎪⎪

⎨

⎧

>+

=

<+

ha ,

ha ,21

ha ,2

1

02

1

0

02

:

2 xx

x

x

xgf

x

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+

−<+

2ha ,2

1

2ha ,2: 2

21

xx

xxfg

x

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−−∈

++

2;25,

22

11: Rx

x

xff ha

⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

=<=

ha ,

ha ,ha ,2)(2 2x2x

0)(

000

:422 xxx

xx

xgg

53. Vezessük be a következő jelölést: gfh = . Ekkor

a) R∈= xxf x ,8)( R∈+= xxxg ,45)( .

26


b) 0,)( ≥= xxxf 20,2

)( >∨<−

= xxx

xxg .

c) . R∈= xxxf ,)( 5 R∈−= xxxg ,23)( 2

d) R∈= xxxf ,)( 2 0,lg)( >= xxxg .

e) 0,lg)( >= xxxf { }0,)( 2 −∈= Rxxxg . Vezessük be a következő jelölést: kgfh = . Ekkor

f) 0,)( ≥= xxxf 0,log)( 3 >= xxxg

27

73,37)( −>+= xxxk .

54. 11),1(log: 2

21 >∨−<− xxxxgf .

11,)1(log: 2

21 >∨−<− xxxxgfh .

{ }1;1,1log: 2

21 −−∈− Rxxxghf .

M 17. ábra


55. Csak a b), d) és h) függvényeknek nincs inverzük. Ezeknél a függvények-nél ugyanis ugyanazt a függvényértéket több helyen is fölveszi a függvény. Pl. az xxf cos)( = függvény az πkx 2= Ζ)∈k( helyeken – vagyis végtelen sokszor – fölveszi az 1 értéket.

a) [ ]6;0,23

)(1 ∈+=− xxxf

c) { }1),(11)(1 −−∈=+−

=− Rxxfxxxf

e) [ [∞∈−=− ;1,)(1 xxxf

f) [ ]1;0,1)( 21 ∈−−=− xxxf

g) { }0,21)(3

1 −∈+−=− Rxx

xf

g)

M 18. ábra

56. Belátható, hogy mindegyik függvény szigorúan monoton, ezért létezik az

inverzük. a) 0,2log)( 3

1 >−=− xxxf 28


b) R∈+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

+− xxf

x

,21

21)(

11

c) 01222,222,2

22: 21 =−⋅−−=−

= −−

− yyyyyy

xxxf

1202;12

4422 222

2,1 ++=⇒>+±=+±

= xxxxxx yyy

R∈⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ ++= xxxy ,1log 2

2

d) 1 1 , ha ( )1, h

1a 1

xf xx

xx

− <⎧− −⎪= ⎨− ≥⎪⎩

2.5. Vegyes feladatok 57. a) 6100002,08,5)100( =⋅+=f (t/ha) Tehát 100 kg műtrágya felhasználásához 6000 kg termésátlag tartozik

hektáronként. b) Ha 1 kg-mal növeljük hektáronként a műtrágya mennyiségét, akkor

tonnával, azaz 2 kg-mal nő a termésátlag. 002,0 58.

M 19. ábra ; nem monoton, de vannak monotonitási szakaszai: szigorúan mo-

noton csökken a

[ 3;1−=fR ][ ]4;2 intervallumban, és szigorúan monoton növekedő a

] [4; −∞− , [ ]5;4 intervallumokban, valamint állandó a [ ]2;4− interval-lumban.

Korlátos, 1)(inf −=xf és 3)(sup =xf .

29


Abszolút (és lokális) maximumhelyek: 24 ≤≤− x , a maximumérték: . 3 Abszolút (és lokális) minimumhely: 4=x , a minimumérték: 1− . Lokális maximumhely: , a maximumérték: 5=x 0)5( =f . 59. Az f függvény szigorúan monoton növekedő, a g függvény (képe

hiperbola) szintén kölcsönösen egyértelmű megfeleltetés, ezért mindkét függvénynek létezik inverze:

+− =∈= − R1,,3)(1f

x Rxxf R

{ }0,91,

91

1)( 11 −=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −−∈

+= −

− RR gRxx

xg

] [9;0,911log: 3 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= hD

xxgfh

h szigorúan monoton csökkenő függvény ⇒ létezik inverze:

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=−

911log: 3

1

yxh ,

9113 −=

yx , ,

913

1

+=

xy , így: R∈x

] [9;0,,

913

1)( 11 =∈

+= −

−h

xRxxh R .

60. [ ] R∈xxxgf ,: 2 . Sem nem páros, sem nem páratlan; { }N∈= nnR gf

2 . Nem létezik inverze, lásd az M 20. ábrát.

M 20. ábra

30


2.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Nem lehet, mert egy x értékhez két y érték is tartozhat. Pl. ha , akkor

. (Grafikonon: van olyan függőleges egyenes, amelynek nem egy, hanem két metszéspontja van a körrel.)

0=x1±=y

2. a) A g függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az tengely

mentén 2 egységgel történő eltolásával kapjuk. y+

b) a h függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az x− tengely mentén 2 egységgel történő eltolásával kapjuk.

c) a k függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az y tengely mentén történő nyújtásával kapjuk: minden pont az x tengelytől mért távolságát 2 -szeresére változtatja.

d) az e függvény grafikonját az f függvény grafikonjának az x tengely mentén történő zsugorításával kapjuk: minden pont az y tengelytől való távolságát felére csökkenti.

3. a) Nem igaz; gondoljunk arra, hogy egy függvénynek több lokális

maximuma is lehet. b) Igaz. c) Nem igaz; gondoljunk az alulról nem korlátos függvényekre. d) Nem igaz; legyen pl. xxf −=)( és . 3)( xxg = Mindkét függvény monoton,de sem az összegük, sem a szorzatuk nem

monoton. e) Igaz; ugyanis ha f és g páros függvény; azaz )()( xfxf =− és

)()( xgxg =− az origóra szimmetrikus értelmezési tartományon, akkor )()()()()()()()( xgfxgxfxgxfxgf +=+=−+−=−+ és )()()()()()()()( xfgxgxfxgxfxfg =⋅=−⋅−=− , ahol gfgf DDD ∩=+ és gffg DDD ∩= . f) Csak az összegre igaz az állítás. Két páratlan függvény szorzata ugyanis

páros. (Az igazolás az e) pont mintájára elvégezhető.) 4. Nem létezik, hiszen a páros függvények nem kölcsönösen egyértelmű

leképezések. (Grafikonon: van olyan vízszintes egyenes, amely nem egy, hanem több pontban metszi a függvény grafikonját.)

5. Van. Ilyen pl. az xxf sin)( = függvény. 6. Az f és függvények grafikonjai egymás tükörképei az 1−f xy =

egyenletű egyenesre nézve.

31


7. Mivel ff RD =−1 és , ezért ábrázolva az f függvényt,

leolvasható, hogy a B válasz a helyes. ff DR =−1

8. Az függvény esetében f a külső és g a belső függvény, ezért a C

válasz a helyes. (Az értelmezési tartomány a feltételből adódik.)

gf

026 2 >− xx

9. Pl.: xxf =)( és 21)(x

xg −=

Nincs olyan valós szám, amelyre az

21:x

xgf − függvény értelmezhető lenne, ugyanis

012 <−

x minden { }0−∈Rx esetén.

32

3. SZÁMSOROZATOK ÉS SOROK

3. 1. A sorozat fogalma és megadási módjai

61. a) , 043 ,

98 ,

1615 ,

2524 , … e) ...,

3231,

1615,

87,

43,

21

b) 21

− , 54 , 1− ,

78 ,

45

− , … f) ...,25,5,0,10,10 −−−

c) 2 , 1, 1, 0 , 1− , 1− , … g) 3 , , , , , … 1,3 14,3 141,3 1415,3

d) ...,125,161,27,

41,1

62. a) Számtani sorozat; 455)1(1 −=−+= nnan vagy rekurzív módon: és 11 =a ,51 += −nn aa . 2≥n

b) n

an13+= e) ∑

=

+=n

iina

1 1033 vagy: 3,31 =a

c) 1

21 +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

n

na és 2,10

31 ≥+= − naa nnn

d) ⎪⎩

⎪⎨⎧

+

=párosha,

11

páratlanha,2

nn

nnan f) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ += 1

2nan

63. Az első év végén: =+=⋅+= )08,01(00010008,00001000001001a 08,1000100 ⋅= . A 2. év végén: =⋅⋅+⋅= 08,008,100010008,10001002a

. 208,1000100)08,01(08,1000100 ⋅=+⋅=

Az n-edik év végén: mértani sorozat, nna 08,1000100 ⋅= .08,1=q

64. a) , mértani sorozat, nnf 08,1100)( ⋅= )( +∈Nn .08,1=q b) nnf ⋅+= 10100)( , számtani sorozat, )( +∈Nn .10=d

33


M 21. ábra

Az M21. ábra mutatja, hogy rövid távon a b) (lineáris) függvény szerint, hosszabb távon (7 év eltelte után) az a) (exponenciális) függvény szerint lesz magasabb a bér.

3.2. A sorozatok tulajdonságai (monotonitás, korlátosság) 65. a) Nem monoton.

M 22. ábra 34


b) Szigorúan monoton növekedő.

M 23. ábra

c) 33

)7()3()7()3(

+−

=+++−

=nn

nnnnan , szigorúan monoton növekedő.

M 24. ábra

d) Szigorúan monoton csökkenő.

M 25. ábra

66. a) ⇒+=n

an18 szigorúan monoton csökkenő.

b) ),1,0,1,0,1( …− , nem monoton.

35


c) 0)25()35(

71 >

−+=−+ nn

aa nn minden esetén ⇒

szigorúan monoton növekedő.

+∈Nn )( na

d) előjelváltó nem monoton. )( na ⇒

e) ⎩⎨⎧

≥<=>

++++−−

=+

−++

+=−+ 2

1,0)3()42(

6223

242

2222

2

221 nn

nnnnn

nn

nnnaa nn ha0,

ha

nem monoton, illetve )( na ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ...;

21;

74;

21 valóban nem monoton.

f) 14333639

343

433

21

)1(21 >

+⋅+⋅

=+

⋅+

=+

++

n

n

n

n

n

n

n

n

aa

minden esetén

szigorúan monoton növekedő.

+∈Nn ⇒

)( na

g) 1895

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

n

na , nem monoton, mert a páros indexű tagok 18 -nál

nagyobbak, a páratlan indexűek pedig 18 -nál kisebbek. h) monoton növekedő. ),3,3,2,2,2,2,2,1,1,1( … )( na 67. a) Korlátos: és 0inf =na 1sup =na .

b)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=

),717

),717

(növekvőpáratlanha

(csökkenőpárosha

n

na

n

n

n

Korlátos: 766inf 1 == aan és

4917sup 2 == aan .

c)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

+−

+=),

121

),12

1

(növekvőpáratlanha

(csökkenőpárosha

nn

nnan

Korlátos: 31inf 1 −== aan és

51sup 2 == aan .

d) 5

12−

−=n

an Ha elkészítjük az sorozat

grafikonját, akkor látható, hogy

{ }.5−∈ +Nn )( na

1inf 6 == aan és , tehát a sorozat korlátos. (M26. ábra)

3sup 4 == aan

36


M 26. ábra e) nem korlátos, csak felülről: ,2)10( 2 +−−= nan 2sup =na . f) nem korlátos, csak alulról:

,32log8log 322 na nn

n ===.3inf 1 == aan

3.3. Konvergens sorozatok. Műveletek konvergens sorozatokkal

68. a) Állítás: .01lim =n

M 27. ábra Bizonyítás: legyen 0>ε tetszőleges szám. Belátjuk, hogy létezik küszöbszám, amelynél nagyobb sorszámú tagjai a sorozatnak már mind beleesnek a határértéknek az

0n

ε sugarú környezetébe, azaz ezekre a tagokra teljesül a következő egyenlőtlenség:

.01 ε<−n

Ezt megoldva kapjuk: .1ε

>n Tehát létezik küszöbszám:

ha 11 0 =⇒≥ nε , ha ⇒<< 10 ε .10 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=ε

n

37


b) Állítás: 0lim =na

M 28. ábra Bizonyítás: 0>ε tetszőleges szám.

,101)1( ε<=−⋅−nn

n ε1

>n . Tehát létezik küszöbszám: ha

11 0 =⇒≥ nε , ha ⇒<< 10 ε .10 ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡=ε

n

c)

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

=+

⋅−=

páratlanha

párosha

n

na

n

n

n

nn

n

,311

,311

313)1(

A 3/c. példa megoldása alapján ez a sorozat divergens. 1lim1lim −=≠= nnnn

aapáratlanpáros

M 29. ábra 69. Legyen 0>ε tetszőleges valós szám.

a) ,20255 ε<=−

nn ,25

ε>n 5

2ε

>n , azaz ⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡= 5

02ε

n , ha

20 << ε , vagy 10 =n , ha 2≥ε .

b) ε<=− nn 1030

103 , ,310

ε>n

ε3lg>n ,

azaz ,3lg0 ⎥⎦⎤

⎢⎣⎡=

εn ha

1030 << ε , vagy ,10 =n ha

103

≥ε .

38


c) ε<−

=−

=+− 68

3)43(2

321

432

nnnn , ,63

81

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +>ε

n

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += 1,63

81max0 ε

n .

d) ,3

175325

22

2

ε<−

=−−+

nnn ha , 1>n ,3172 +>

εn .317

0⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=

εn

70. a) 1111lim...11lim11lim11lim 100100

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

nnnn, mert

.01lim =n

b) 21

84

238421lim 23

3

−=−=−−

−+nn

nn (A számláló azonos fokú a nevezővel).

c) 026lim

)2()3()13(2lim 8

7

26

243

=++

=++

++……

nn

nnnnnn (A nevező magasabb fokú,

mint a számláló.) d) A nevezőt a számtani sorozat összeg-képlete alapján átírva kapjuk:

2 2

2

3 1 3 1 3 1lim lim lim 32 4 6 2 (2 2 )

2

n n nnn nn

+ += =

+ + + + ++…

2

n+

= .

e) 21

2012

23

132lim

4=

+−

=+

+−

n

n

f) Egyszerűsítsünk 5 8n -nal: 5

5565 3

585

31

3113

121lim =

+++

++

nnn

nn

g) 36036616lim 2 =−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

n

n⎧ ⎫

− = ⎨ ⎬⎩ ⎭

h) a = + ⇒ divergens 4, ha páros

3 ( 1)2, ha páratlan

nn

n

39


i) 251

250010

2554

521

526

lim −=−−+

=

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅

n

n

n

j) Írjuk szorzat alakba a kifejezést:

1lim cos(2 1) 06

n

n⎡ ⎤⎛ ⎞− + =⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦

,

mert 061lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

n

( 1,0lim <= qqn ha ) és a

sorozat korlátos, így alkalmazhatjuk a TK. 3.6. tételt.

))12(cos( +n

71. a) 771lim −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+ e

n

n

b) 58

2

51

53

2

32

1

51

1

53

1

lim1535lim

1535lim e

e

e

n

n

nn

nn

n

n

n

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

−

−

c) 45

43

21

2

2

2

2

2

2

2

43

1

21

1

lim

431

421

lim−

−

==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−e

e

e

n

n

n

nn

n

n

d) 111lim11lim1111lim 1 =⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − − ee

nnnn

nnn

e) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ − −5

1452lim

4114

2512

limnn

nn

nn

n

40


0

2110

1452

1lim

41

1

25

1

21lim 5

41

25

5 =

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

e

e

nn

n

n

n

n

n

f) n

n

n

n

n

n

n

nn

nn

a

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

−=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=

72

1

73

1

)1(

7217

7317

)(limlim 75

75

nnnnnaeaea ⇒−=≠=

páratlanpáros divergens.

g) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+ + 100100

1434lim

1434lim

1434lim

nn

nn

nn nn

n páros

ee

e

n

n

n

n

==⋅

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=−

41

43

1

41

1

43

1

lim ; =

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

3

3

31

1

32

1

lim13

32lim n

n

n

n

n

n

nn

páratlan

ee

e

e=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

31

3

31

32

Mivel a két részsorozat határértéke megegyezik, ezért az sorozat konvergens és

)( na.lim ean =

h▲) ),0,1,0,1(2

sin …−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ πn

41


1

21

23

21

1

23

1

lim

211

231

lim2123lim −

−

−

==

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

=⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−

−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−− e

e

e

n

n

n

nnn

n

n

n

n

Ezért

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

∈+=−

∈=

∈+=

=−

+

−

N

N

N

kkne

kkn

kkne

an

,34,

,2,0

,14,

lim1

1

ha

ha

ha

Mivel a részsorozatok határértékei különböznek egymástól, ezért az sorozat divergens. )( na

72. a) 441lim −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

n.

9991441

<+−n

, 99911

<n

, , tehát az . tagtól kezdve

esnek a sorozat tagjai a -nek az

999>n 0001

4− ε sugarú környezetébe. b) 0lim =na ; a .11 tagtól. c) 4lim =na ; már az első tagtól. d) 6lim =na ; a tagtól. .448

e) 51lim =na ; a 7. tagtól.

f▲) ;31lim =na

1001

391)1(15

31

135)1(

22

2

<+

−−⋅=−

+⋅−+

nnn nn

Ha n páros: ,100

139

142 <+n

.46,12>n

Ha n páratlan: ,100

139

162 <+n

. 32,13>n

Tehát a 14 . tagtól kezdve esnek a tagok a határérték 01,0=ε sugarú környezetébe. 73. a) Szigorúan monoton növekedő; konvergens: 50lim =na ; korlátos:

793inf =na és ; 50sup =na 128470 =n .

42


b)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

−=+−

−

=+−

=50lim,

527100

50lim,527100

nn

nnn

annn

annn

a

páratlan

páros

páratlanha

párosha

Nem monoton; divergens; korlátos: 50inf −=na és . 50sup =na

c) Monoton növekedő; konvergens: 2lim =na ; korlátos: 23inf =na és

2sup =na ; . 1980 =n

d) 552

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

n

na ; nem monoton; konvergens: 5lim −=na ; korlátos:

5

27inf −=na és 25214sup −=na ; 50 =n .

e) Nem monoton; nem korlátos, csak alulról: 0inf =na ; divergens.

f) Szigorúan monoton növekedő; konvergens: 9917lim =na ; korlátos:

17,0inf =na és 9917sup =na ; 10 =n .

g▲) Nem monoton; konvergens:

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅≤⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=<

−2020

2120

!202020...

2220

2120

2020...

220

1200

n

n na

02120

2120

!2020 2020

→⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−n

A „rendőrelv” (TK. 3.8. tétel) miatt .0lim =na

Korlátos: és 0inf =na19

19 2020sup19!na a a= = = .

3.4. Speciális divergens sorozatok

74. a) −∞=−⋅∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−− )2(5432lim 542

5

nnnn

tágabb értelemben konvergens. )( na

b) −∞=−

+5

6

10285lim

nn (A számláló magasabb fokú, mint a nevező.)

c) A tagok külön-külön ∞ -be tartanak (a számláló magasabb fokú a nevezőnél), ebből következik, hogy az összegük is: ∞=nalim .

43


d) A kisebbítendő és a kivonandó külön-külön ∞ -hez tart. Ebből a tényből azonban a különbség konvergenciájával kapcsolatban még semmire sem tudunk következtetni. Hozzuk közös nevezőre a kifejezést!

16829

142

122

2

222

++++

=+−

−++

=nn

nnn

nnn

nan .

A kapott racionális tört konvergens (a számláló azonos fokú a nevezővel),

így: 1lim8na = .

e) Egyszerűsítsünk n-nel: ∞=++

+

111

2lim3

3n

n .

f) =−++

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −++⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−+

nnnn

nnnnnnnnlim

122

1111

2lim2lim ==

−++

=−++

=

nnnnnn

n

g) ∞=∞⋅=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅ 22 6,0

167

6,01lim

n

, mert ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n

67lim . (TK. 3.10. tétel)

h) ∞=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⋅∞=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−

21

21

32

21

2

21

1

32

1

23lim

2112

3213

lime

e

n

n

nn

nn

n

n

n

n

75. a) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−= 2

2 101n

nan , −∞=nalim .

, , , tehát a 25. tagtól. 60010 2 −<− n 6102 >n 7,24>n b) −∞=nalim ; a 361. tagtól. c) −∞=nalim ; a 10. tagtól. 76. a) ∞=nalim ; , , tehát a 11. tagtól. 44 10>n 10>n44


b) ∞=nalim ; a 11. tagtól. c) ∞=nalim ; az 5002. tagtól.

3.5. Végtelen sorok

77. a) Mértani sor: 31

=q , ⇒<1q a sor konvergens és összege:

1

311

32

=−

=s .

b) ⇒>= 123q a sor divergens.

c) 51

−=q , 1<q , 1

511

56

−=+

−=s .

d) ⇒−<−= 156q a sor divergens.

e) ∑ , ∞

=

⋅1

47n

n ⇒>= 14q a sor divergens.

f) 134

941

94

...94

94

94 32

−=+

−=+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+− , így a sor összege:

1335

1343 =− .

g) ∑∞

=

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

1 32

521

52

52

n

n

, így a sor összege: 3210 .

h▲) Használjuk fel a következő összefüggést: 1

11)1(

1+

−=+ nnnn

Így a sor n-edik részletösszege:

1

111

11...41

31

31

21

211

+−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

nnnsn

Mivel 11

11limlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−=

nsn , ezért a sor konvergens és összege: 1.

45


78. a) 95

1011

105

105

105

10555,0 32 =

−=+++=

•…

b) 9931

01,0131,0

1031

1031

103113,0 642 =

−=+++=

••…

c) 9992343

9993452

001,01345,02

10345

103452543,2 63 =+=

−+=+++=

••…

79. a) nns10

4...10

4104

2 +++= ; szigorúan monoton növekedő, mert

010

411 >=−++ nnn ss minden esetén. +∈Nn

Konvergens: 94

1011

104

lim =−

=ns . Korlátos: 4,0inf =ns

és .94sup =ns

n

nn

ns ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅=101

94

94

1091011

104

1011

1011

104 .

,10

110

194

94

101

94

94

6<⋅=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅− n

n

,109410 6⋅>n

,65,5>n

.50 =n

b) Nem monoton, konvergens: ,821

711

3lim =+

=ns

korlátos: 7

18inf 2 == ssn és .3sup 1 == ssn

,10

171

821

821

71

821

821

6<⋅=−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−− n

n

,108217 6⋅>n .70 =n

46


80. a) Mivel ⇒≠−=− 052101lim 2

2

nn a sor divergens.

b) Mivel ⇒≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + 051lim 5e

n

n

a sor divergens.

c) Mivel ⇒<=<+

=⋅+

=+

+ 14,04,01

4,04,01

4,0 11

nn

nnn

naa

n

n

n

n a sor

konvergens.

d) Mivel ⇒<<+

=+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

⋅+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

=

+

+ 131

13

131

311

31 1

1

n

n

n

nnna

an

n

n

n a sor

konvergens.

3.6. Vegyes feladatok

81. a) =+−

−−=

+−

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +−⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

=⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ −−

nnn

nnn

nnn

nnnnnnnnn

2

22

2

22

2 limlimlim

21

111

1limlim2

−=

+−

−=

+−

−=

nnnn

n

b) ∞=+∞

=+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

01321

34

lim

n

n

c) )(2lim2lim nnnnnaaa ⇒−=≠=

páratlanpáros divergens.

d) 31

32

3lim32

3lim1

=+

=+

+

n

n

n

n páros; 3

13lim 2

2

=+n

nn páratlan

A két határérték egyenlő .3lim =⇒ na

e) 0)10sgn(321

1lim 2 =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

++n

nn, mert 0

3211lim 2 =++ nn

és

))10(sgn( −n korlátos.

47


f) 11

83

85

69

4

6 9

6 22

0lim

83

1

85

1

lim)1(

lim −−

−

=+=++

=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

++

eee

en

n

n

n

n

nn

n

…

82. Az sorozat szigorúan monoton növekedő, mert )( na ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

311

n

szigorúan monoton növekedő, és egyre nagyobb számnak a 10 . hatványa is

egyre nagyobb. A sorozat konvergens: 13

11lim10

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

n.

A )( sorozat nem monoton, mert előjelváltó. nb

ee

e

n

nnn

n

n

n

n

131

21lim

32lim 3

2

==

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

páros; .1

32lim

enn n

n−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++

−páratlan

A két részsorozat határértéke nem egyezik meg, tehát a sorozat divergens.

)( nb

83. a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−+

⋅−+ n

n nn

nnn

n1235lim

52

3512

1lim3512lim

∞=⋅∞⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛⋅=

−

21

53

52

21

1

53

1

25lim

52

e

e

n

n

n

n

n

(divergens).

b) 22

12lim 2 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n (konvergens).

Szigorúan monoton csökkenő; korlátos: ,2inf =na . 5,2sup =na

48


c) )(31lim

31lim

páratlanpáros nnnnnaaa ⇒−=≠= divergens.

84. a) Monoton növekedő; nem korlátos, csak

alulról: ),3,3,2,2,1,1,0( …

0inf =na ; divergens; .lim ∞=na

b) 22

3+−

=nnan szigorúan monoton növekedő; konvergens: ;

21lim =na

korlátos: 21inf −=na és

21sup =na ; a 2000. tagtól.

c) Konvergens: 0lim =na ; szigorúan monoton csökkenő; korlátos:

0inf =na és 112sup =na ; a 9. tagtól.

85. Mindkét sor végtelen mértani sor. a) divergens, mert …+++ 32 101010 110 >=q ; szigorúan monoton növekedő; nem korlátos, csak alulról:

)( ns

10inf 1 == ssn . b) , 01,0=q )(1 nsq ⇒< (és a végtelen sor) konvergens:

101,01

99,0lim =−

=ns ; szigorúan monoton növekedő; korlátos:

)( ns

99,0inf 1 == ssn és 1sup =ns .

3,1010,10

1100

11100

11 062

6 =><=−− nnnn .

3.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nem. Gondoljuk meg, hogy ezen meghatározás alapján pl. az

sorozatnak a és az 1 is határértéke lenne. (A helyes definíció a TK. 58. oldalán szerepel.)

nna )1(−= 1−

b) Igen. Ez a meghatározás ekvivalens a TK. definíciójával, hiszen ha -lal jelöljük a küszöbszámot, akkor A 0n ε sugarú környezetén kívül

maximum db tagja lehet a sorozatnak. 0n 2. a) Hamis, mert van olyan konvergens sorozat, amelyik nem monoton.

Pl. .1)1(n

a nn ⋅−=

49


b) Hamis, ugyanis van ellenpélda:

111lim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

n és ,01lim =

n de ∞=+=

+)1lim(

1

11lim n

n

n

(A tétel csak akkor igaz, ha kikötjük, hogy a nevező nem nullához tart. Lásd: 3.7. tétel.)

c) Hamis, mert pl. ,01lim =n

és ∞=2limn .lim1lim 2 ∞==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅ nn

n

(Lásd: 3.6. tétel.) d) Igaz, mert az Euler-féle szám irracionális szám. )(e

e) Hamis, mert pl. ⎪⎩

⎪⎨⎧

=párosha

páratlanha

nnnn

an ,2

,2

∞=nalim , de nem monoton növekedő. )( na f) Hamis. Ha ugyanis a monoton sorozat korlátos is, akkor konvergens. g) Hamis. Ellenpélda: a 84/b feladatban szereplő sorozat két plusz

végtelenbe tartó sorozat különbsége és

)( na

)!0(21lim ≠=na .

h) Igaz, mert a mértani sorok csak 1<q esetén konvergensek.

i) Hamis. Ellenpélda: a ∑∞

=1

1

n n harmonikus sor divergens (TK. 3.17.

példa). (Az állítás fordítva igaz. Lásd a TK. 3.13. tételét.) 3. Az A válasz a helyes, ugyanis

0)12()32(

1612

4632

421 <

−+−

=+

−−

+−

=−+ nnnn

nnaa nn minden esetén

szigorúan monoton csökkenő.

+∈Nn

⇒ )( na 4. A B válasz a helyes, mert

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

n83 szigorúan monoton csökkenő szigorúan monoton növekedő

⇒ )( na

⇒861inf 1 == aan és 8limsup == nn aa .

5. A C válasz a helyes, ugyanis

1

páratlanpáros

11lim11lim −=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −≠=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ + e

ne

n

n

n

n

n.

50


6. A B válasz a helyes, mert

000101

11

1)1(2

1)1(2 <

+=

+−

=−+−

+nnn

nn

,

ahonnan 9999>n adódik. 7. Az A válasz a helyes, mert

∑∑∑∞

=

∞

=

∞

=

−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

⋅=

111 61

231

23

n

n

nnn

nn

n

végtelen mértani sor, ahol 61

=q .

Mivel ⇒<1q a sor konvergens és összege: 51

611

61

=−

.

51

4. FÜGGVÉNYEK HATÁRÉRTÉKE ÉS FOLYTONOSSÁGA

4. 1. Függvények határértéke véges helyen; folytonosság 86. a)

M 30. ábra

0)(lim)(lim)(lim

000=== xhxgxf , de nem létezik, ugyanis

.

)(lim0

xk

0lim)(lim2)2(lim)(lim 2

0000

2

0000==≠=+=

−−++xxkxxk

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>=

<<−=

1,11,0

10,1lnsgn:

xx

xxxf

hahaha

)(lim1)(lim1)(lim10101

xfxfxf ⇒−=≠=−+

nem létezik.

M31. ábra 52


c) Lásd. TK. 2.13 ábra! )(lim1)(lim0)(lim

00000xfxfxf ⇒−=≠=

−+ nem létezik.

d) Lásd. TK. 4.12 ábra! )(lim1)(lim0)(lim

20202xfxfxf ⇒=≠=

−+ nem létezik;

5,0)5,0()(lim5,0

== fxf .

87. a) c) és d) igaz; b) és e) hamis. 88. Csak az f függvény folytonos. 89. Csak az 10 =x helyen folytonos. 90. a)

M 32. ábra

létezik határérték az

2 helyen: és mivel

⇒−====++−−

2

02020202)4(lim)(lim42lim)(lim xxfxxf

0 =x 4)(lim2

=xf ),2()(lim2

fxf = ezért f

folytonos az pontban. 20 =x b)

53 M 33. ábra


⇒==≠=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=

++−−0lim)(lim1

21lim)(lim 2

00000000xxfxf

x

nem létezik

határérték az helyen, ezért itt nem folytonos a függvény. 00 =x c)

M 34. ábra ⇒−∞=+=

+−+−)1ln(lim)(lim

0101xxf nem létezik határértéke a

függvénynek az 10 −=x helyen, s ezért itt nem is folytonos. 91. a) ; 3)0()327(lim 38

0−==−+ fxx 6)1()(lim

1== fxf

b) 0)5(5

25lim2

5==

+− f

xx ; 10)5(lim

5)5()5(lim

55=−=

++−

−−x

xxx

c) 31)0(

12743lim 2

2

0−==

+−−− f

xxxx ; 5

31lim

)4()3()4()1(lim

44=

−+

=−−−+

xx

xxxx ;

∞=+

=−+

≠−∞=−

=−+

+− 04

31lim

04

31lim

0303 xx

xx ⇒ Tágabb értelemben

vett határértéke sincs a függvénynek az 30 =x helyen.

d) 8

134313

lim)4()4(31)4(3

lim44

=−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+−

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⋅

−− x

x

xxx

xxx;

41

413lim

0=

−−

xx ;

∞=+

=−−

≠−∞=−

=−−

+− 011

413lim

011

413lim

0404 xx

xx Tágabb értelemben

vett határértéke sincs a függvénynek az

⇒

40 =x helyen.

e) 1)0(11lim 4

5

0==

−− f

xx ;

45

)1()1()1()1(lim 23

234

1=

+++−++++−

xxxxxxxxx

f) 83)3(

11

11lim 23

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−f

xx;

)1()1(11

11)( 2 +−

=−

−−

=xx

xxx

xf

54


±∞=+−

=±± )1()1(

lim)(lim0101 xx

xxf ⇒ Tágabb értelemben vett

határértéke sincs a függvénynek az 10 =x helyen.

g) 21

11

1lim11lim20

2

0=

+++

−=

+−+

xx

xx

xx

A konjugálttal bővítettük, majd x-szel egyszerűsítettük a törtet. h▲) Legyen . Ha 13 += xu .10 →⇒→ ux

31

11lim

)1()1(1lim

11lim 21213

3 3

1−=

++−

=++−

−=

−−

uuuuuu

uu

92. a) ⇒=≠=−−+ 8)0(442

166lim2

0f

xxx f az 00 =x helyen nem folytonos.

⇒==+

=−

−+ )2(52

8lim)2(2

)2()8(lim22

fxx

xxAz 20 =x helyen

folytonos a függvény.

b) ⇒−==−

=+

+−−−

)7(27lim)7(

)7()7(lim77

fx

xxx

xxAz 70 −=x helyen

folytonos a függvény.

⇒∞=−

±∓

xx 7lim

00Nincs határérték, tehát nem folytonos az

helyen a függvény.

00 =x

93. a) AxxA

xxxxA

45

67lim

)6()2()7()2(lim

0202=

−−

⋅=−−−−

⋅−−

32

1lim

)1()2()2(lim

0202=

+=

+−−

++ xx

xxxx

158

32

45

=⇒= AA esetén,

ha ,32)2( =f akkor folytonos az 20 =x helyen a függvény.

b) 1)134(lim 25

00−=−+

−xx −∞=

+xlnlim

00

Nem létezik a nincs olyan A érték, amely folytonossá

tenné a függvényt.

⇒)(lim0

xf

94. a) Ax

x==

−+

251

)10(54lim 45

⇒∞=−+

± 4010 )10(54lim

xx Nem létezik

olyan B érték, amely a helyen folytonossá tenné a függvényt. 100 =x

55


b) Bx

xxxx

xxx==

++

=+−+−

766

8)5(2lim

)8()6()5()6(2lim

66

⇒±∞=++

±− 8)5(2lim

08 xxx Nem létezik olyan A érték, amely az

80 −=x helyen folytonossá tenné a függvényt.

95. a) 12

1lim2

2=

−−−

xe x

(Lásd TK. 4. fejezet 5. példa!)

b) 111lim)1(lim 0

00=⋅=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛ −⋅=

− ex

eex

ee xx

xx

c) 333

3

3

33

31

31lim

3)1(lim ee

xee

xee xx

=⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅=−− −−

4.2. Függvények határértéke a végtelenben

96. a) −∞=−⋅∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

∞±)6(326lim 4

6

xxx

b) ∞=−⋅±∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++−

∞±∓)3(123lim 2

3

xxx

c) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=−−+

+−∞±∞±

545

627

45

57

2323

142lim

232342lim

xxxx

xxx

xxxxxx

∞=⋅∞=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−+

+−=

∞± 32

2323

142lim

54

622

xxx

xxx

d) ∞=

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

++

−−⋅−

∞±∓

4

53

311

211lim

xx

xxx

e) 0......lim

)1()3(lim 4

3

4

3

=++

=−−

∞±∞± xx

xx

f) 26512lim

324

223lim 2

222

=+++−

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+−

++

∞±∞± xxxx

xx

xx

56


97. a) 2111

211

lim

42

43−=

++

−+

∞

xx

xx

b) A konjugálttal való bővítés után:

41

214

1lim24

lim2

−=

+−

−=

+−

−∞±∞±

xxxx

x

c) ∞=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

∞ xxx 5112lim , mivel

0125112lim >−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

∞ xx

d) { } 01

1lim 34 =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

++⋅

∞± xxx , mert az { }xx → törtrész-függvény

korlátos és 01

1lim 34 =++∞± xx

.

e) ∞=⋅∞=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⋅=

⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛ −+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

∞∞32

31

1

31

1

2lim

31

13

31

16

lim e

x

x

xx

xx

x

x

x

x

4.3.* Trigonometrikus függvények határértéke és folytonossága 98. a) 00tg3tglim

0==x , ugyanis az xxf tg)( = és xxg 3)( = függvények

folytonosságából következik, hogy az függvény is folytonos a 0 helyen (TK. 4.6. tétel).

gf

b)

22 2

l”sin 2 0 2sin costípusú lim lim(2sin ) 2sin 2„cos 0

mos

ic 2

x x x xx xππ π

π⎛ ⎞ = = =⎜ ⎟⎝ ⎠

=

57


c▲) Legyen .xu ctg= Ha .00 ∞→⇒+→ ux

eu

xu

x =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=+

∞+

11lim)1(lim00

ctgtg

99. a)

M 35. ábra

10cos44

cos4

coslim)(lim0

40

4

==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

++

πππππ

xxf

0444

lim)(lim0

40

4

=−=−=−−

πππππ

xxf

Mivel a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg, ezért nem

létezik határértéke a függvénynek az 40π

=x helyen, és így nem is

folytonos ebben a pontban. b)

M 36. ábra

létezik határérték

az

⇒+====++−−

)sin1(lim)(lim1lim)(lim00000000

xxfexf x

00 =x helyen: 1)(lim0

=xf és mivel )0()(lim0

fxf = , ezért a

függvény folytonos az pontban. 00 =x

58


100. a) 271

271

2sin2

27

77sinlim

0=⋅⋅=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅

xx

xx

b) 38

3cos13

33sinsin

31lim

33

3sinlim 2

22

02

2

2

2

0−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

xxx

xx

xxtg

xx

c) 04

)1(14

cos5coslim 22 =−−−

=−

ππ xxx

Az 00 =x helyen vett határérték megállapításához fölhasználjuk a

2

sin2

sin2coscos βαβαβα +−−=− összefüggést:

333

3sin2

2sinlim4

3sin2sin2lim020

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−=

⋅⋅−x

xx

xx

xx

d) =−

−

=−

=−

xx

x

xx

x

xxx

202030 cos1cos

cos1

limsin

1cos

1

limsin

sincossin

lim

21

)cos1()(cos1lim

0=

+=

xx

e) 1ln

lnsinlim1

=x

x 1sin1

1sinln

lnsinlim ==x

xe

101. a) 01sinlim =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∞± xx , mert az függvény korlátos és xx sin 01lim =

∞± x.

b) 03

)13cos(lim 5

24

=+

++∞± xx

xx , mert az függvény

korlátos és

)13cos( 24 ++ xxx

03

1lim 5 =+∞± xx

.

102. a) 11

12

)2sin(lim2

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡

−⋅

−−

xxx ±∞=

±−−

=−−

−± )0()1(

)1sin()1()2(

)2sin(lim01 xx

x

korlátos0

.0)2sin(23

1lim 2

↓

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −⋅

+−∞±x

xx

b) .44142

2sinlim)(2sin)(lim

2

02

2

0=⋅=⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−−

xx

xxxx

ππ

59


02sinlim 2

2

=x

xπ

korlátos

0

.02sin1lim 22

↓

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅

∞±x

x

103. a) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛− x

xx

xx

xx

xx cos

sin4sin

sinlim4sinlim

00 tgtg

=≠−=⋅−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ⋅⋅−= )0(31)41(cos

sin4

44sin

sinlim

0fx

xx

xx

xx

Az ⇒= 4 00 =x helyen nem folytonos a függvény.

b) 2)13(lim1

)13()1(lim1

)1()1(3lim 2

01

2

01

2

01=−=

−−−

=−

−−−−−−

xx

xxx

xxx

2222

)22sin(lim1

)22sin(lim0101

=⋅−−

=−−

++ xx

xx

⇒=+−

)(lim)(lim0101

xfxf létezik a 2)(lim1

=xf , és mivel

)1()(lim1

fxf = , ezért a függvény folytonos az 10 =x helyen.

104. [ ] =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅⋅⋅=+ xx

xx

xxxx 8sin2cos

21

2sin28

88sinlim8sin)21(lim

00ctg

⇒=+⋅⋅⋅⋅= 40121181 4)0( == Af

105. 1)1(lim1lim1

00=+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∞−−

yx ee 22

1sinlim00

Axx

xA =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅⋅

+

1212

==⇒= BAA és

106. Aeex

ex

x x

=−

=−−

⋅⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅⋅−−−

61

311

21

31

2sin2

21lim

333

0

Bx

ex

x x

==⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−

⋅−

6sin31

6sin3

31

2sinlim

3

3

±∞=±−−

=−

−⋅ −−

± )0()3()1(

2sin)3(lim

33

0 ππ π

π

exx

xex x

Nincs megfelelő C érték.

60



107. a) 32)1(

)4()2(lim)2()1(

)4()2()2(lim2

2

2

2−=

−−++

=−−

++−x

xxxx

xxx

∞==−

++±

∓∓ 015

1)4()2(lim

2

01 xxx −∞=

+−−

∞± 2316lim 2

4

xxx

b) 41

)1()2(32lim

)1()2()2()2()32(lim

22=

−+−

=−+−

−−xx

xxxx

xx

±∞=−⋅±

−=

−+−

±− )3(07

)1()2(32lim

02 xxx

∞=⋅±

−=

−+−

±∓

301

)1()2(32lim

01 xxx 0

44672lim 23

2

=+−−

+−∞± xxx

xx

108. a) 0lim1

00=

−

+xe , ∞=

−

−xe1

00lim , tehát xe

1

0lim

− nem létezik.

1lim1

=−

∞±xe

b) 0lim =∞ xe

x (Lásd TK. 4.7. fejezet végén: 1,0)(

lim >=∞

aa

xPx

n )

−∞=∞−∞=⋅= −

∞−∞−)()(limlim x

x exex

c) 2lnlim21lnlim 2 ==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

∞∞e

x

x

109. Axx

xxxx

xx=−=

+−+

=+−−

++−− 9

2)1()1(

4lim)2()1()1(

)4()2(lim 2222

±∞=+−

+±− )1()1(

4lim 201 xxx ∞=

+−+

± )1()1(4lim 201 xx

x

Nincs megfelelő B és C érték.

110. ⎩⎨⎧

<−>

=0),ln(0,ln

)(xxxx

xfhaha

)ln(lim)(limlnlim)(lim00000000

xxfxxf −==−∞==−−++

Nincs határérték nem megszüntethető szakadási hely az pont. ⇒ 00 =x

61


111. a) 1101lim)(lim1

0000−=−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−−xexf

111lim)(lim

0000−=

+−

=++ x

xxf

Tehát 1)(lim0

−=xf , s mivel )0()(lim0

fxf = , ezért f folytonos a

pontban. Így f a teljes értelmezési tartományon

0

)( R=fD folytonos.

b▲) Belátható, hogy f csak az 00 =x helyen folytonos, ugyanis ha egy ( )nx sorozat tart 0x -hoz, akkor a racionális tagok részsorozata 0x -hoz,

az irracionális tagok részsorozat 0x− -hoz tart. E két határérték csak

esetén lehet egyenlő, és ekkor a határérték megegyezik a helyettesítési értékkel.

0 0x =

112. a) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<−

=>

=

0,

0,0,

)(3

3

xx

xxx

xf

ha

ha0ha

M 37. ábra

f mindenütt folytonos. )( R∈x

b) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>+

=<+−

=

0,1

0,0,)1(

)(2

2

xx

xxx

xf

ha

ha0ha

M 38. ábra

f az 0=x hely kivételével mindenütt folytonos. c) 1)1sgn()( 2 =+= xxf

62


M 39. ábra

f mindenütt )( R∈x folytonos.

d) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

<<==><−

=53,1

53,05,1

)(x

xxxx

xfha

vagyhavagy3ha

M 40. ábra

f az 3=x és 5=x helyeken kívül mindenütt folytonos.

4.5. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. Nem helyes. A határérték létezéséhez ugyanis azt kell belátni, hogy bármely

1-hez tartó sorozat )( nx )1( ≠∈ nfn xDx és esetén a megfelelő függvényértékek sorozata mindig konvergens. )( nxf

(Lásd a definíciót a TK. 83. oldalán.) 2. a) Hamis. A folytonossághoz nemcsak a határértéknek, hanem a helyettesítési értéknek is léteznie kell az adott pontban és e két értéknek egyenlőnek is kell lennie. (Lásd a definíciót a TK. 87. oldalán.) b) Igaz. c) Hamis; ugyanis lehet, hogy a jobb és bal oldali határértékek nem egyenlők, vagyis még határértéke sincs a függvénynek az pontban. 0x d) Hamis; ugyanis az 10 −=x helynek nincs olyan környezete, amelynek minden pontjában (kivéve -et) folytonos lenne a függvény. 1− (Lásd a definíciót a TK. 90. oldalán.) e) Igaz.

3. a)

3

2 , ha {0}( )1 , ha 0

x xf x xx

⎧∈ −⎪= ⎨

⎪ =⎩

R 00 =x

63


Mivel 0limlim)(lim02

3

00=== x

xxxf , ezért, ha az 00 =x pontban a

függvényértéket 0 -ra változtatjuk, akkor a függvény az helyen folytonos lesz.

00 =x

b) 2

3

)(xxxf = , { }0−∈Rxha 00 =x

Mivel 0limlim)(lim02

3

00=== x

xxxf , ezért, ha kiterjesztjük a függvény

értelmezését az 00 =x helyre úgy, hogy 0)0( =f legyen, akkor a függvény az pontban folytonos lesz. 00 =x

c) 2)2(1)(−

=x

xf 20 =x , mert ∞=− 22 )2(1lim

x.

d) 31)(x

xf = , mert 00 =x −∞=− 300

1limx

és ∞=+ 300

1limx

.


2

28 8

14( 8)”4 33 8 0 4 1 34lim típusú lim lim„8 0 ( 8)

x xx x x

x x x x x

⎛ ⎞− −⎜ ⎟− + −⎛ ⎞ ⎝ ⎠= =⎜ ⎟− −⎝ ⎠ 8

18

=

831)8(

831

=⇒= af .

5. A B válasz a helyes. )4(11lim)23sgn(lim)(lim

04

2

0404fxxxf ===+−=

+++

2

1( 4)

4 0 4 0lim ( ) lim 0xf x a e a

−−

− −

⎛ ⎞a= + = +⎜ ⎟⎜ ⎟

⎝ ⎠=

Tehát 1=a esetén folytonos a függvény az 40 =x helyen. 6. A C válasz a helyes, mert

4 2

3 31 1

”1 0 ( 1)( 1)lim típusú lim„( 1) 0 ( 1)x xx x− −

− −⎛ ⎞ = =⎜ ⎟+ +⎝ ⎠

2x +

2 2

3 21 1

( 1)( 1)( 1) ( 1)( 1) 4lim lim( 1) ( 1) 0

x x x x xx x− −

− + + − + −= =

+ += = −∞+

.

64


7. Az A válasz a helyes, mert

∞=+

=

++

++

∞ 01

111

111lim

332

432

xxx

xx .

65

5. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFERENCIÁLSZÁMÍTÁSA

5. 1. A differenciálhányados fogalma; a deriváltfüggvény

113. a) 611

7113245

)4()5(=

−=

−− ff

b) 1201,4801,0

71481201,71401,4

)4()01,4(=

−=

−− ff

c) 012,48001,0

71048012,71001,0

)4()001,4(=

−≈

− ff

=−−

=−

−+=

−−

=464lim

471)7(lim

4)4()(lim

3

4

3

444 xx

xx

xfxfv

48)164(lim4

)164()4(lim 2

4

2

4=++=

−++−

= xxx

xxx

114. a) 71

61334

)3()4(=

−=

−− ff b) 1,6

1,0661,6

31,3)3()1,3(

=−

=−− ff

c) 01,601,0

60601,6301,3

)3()01,3(=

−=

−− ff

Az érintő iránytangense:

6)3(lim39lim

36)3(lim

3)3()(lim)3(

3

2

3

2

33=+=

−−

=−

−−=

−−

=′ xx

xx

xx

fxff

115. a) { }0,23)23(0

)0()()( −∈−=−−

=−−

= Rxxx

xfxfxd

b) { }1 1

( ) (2) 8 16( ) , 0 ; 22 2

2116

2 16

xxf x f xd x x

x x x x

−−= = = ∈ −

− −

−

= −−

R

116. a) )2(4)2(lim24lim

29)5(lim

2

2

2

2

2fx

xx

xx ′==+=

−−

=−

−+

b) =+

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

=+

−−−− 3

)3(5

195lim

357)45(lim

3

2

3 x

xx

xxx

)3(34)195(lim3

−′=−=−=−

fx

66


c) )1(4)1(lim11lim 23

1

4

1fxxx

xx ′==+++=−−

d) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′=−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−⋅

−=

−

−

=−

−

3193lim

13331lim

313

31

lim

31

31

lim31

31

31

31

fxxx

xxx

x

x

x

e) =+−

−=

−+−−

=−

−+

⋅

)2(2)1(1lim

1)2(223

lim1

21

21

23

lim111 xx

xxxx

xx

)1(61

)2(21lim

1f

x′=−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=

f) )8(121

22)(1lim

2)(2lim

82lim

23238333

3

8

3

8f

xxxx

xx ′==

++=

−−

=−−

117. a) =−

−+=

−−−+

=′3

3042lim3

29)142(lim)3(2

3

2

3 xxx

xxxf

16)5(2lim3

)5()3(2lim33

=+=−

+−= x

xxx

b) 0lim0

10)10(lim)0( 2

0

3

0==

−−+

=′ xx

xf

118. a) A függvény folytonos.

11lim3

0)3(lim)3(0303

==−−−

=′++

+ xxf

1)1(lim3

0)3(lim)3(0303

−=−=−−−

=′−−

− xxf

⇒′≠′ −+ )3()3( ff A függvény nem differenciálható az 3=x pontban.

M 41. ábra

b) Mivel a függvény nincs értelmezve az 0=x helyen, ezért nem differenciálható ebben a pontban.

67

15. EGYVÁLTOZÓS VALÓS FÜGGVÉNYEK DIFFENRECIÁLSZÁMÍTÁSA

c) ∞=−

=−

−−3 22

3

2 )2(

1lim2

02limxx

x

Tehát nincs határértéke a különbségihányados-függvénynek az helyen, vagyis a függvény nem differenciálható itt.

2=x

M 42. ábra d) Mivel [ [∞−= ;3fD , ezért az 3−=x helyen csak a jobb oldali differenciálhatóságot vizsgálhatjuk.

⇒∞=+

=+−+

+−+− 31lim

303lim

0303 xxx A függvény nem differenciálható

(jobbról) az 3−=x helyen.

M 43. ábra e) A függvény folytonos.

11lim1

1

lim1

11

lim)1(010101

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=

−

−

=−

−=′

++++ xxx

x

xxf

1)1(lim1

1)2(lim)1(0101

−=−=−

−+−=′

−−− x

xf

⇒′=′ −+ )1()1( ff A függvény differenciálható az 1=x helyen.

68


M 44. ábra

f) ⎩⎨⎧

≥∨−≤

<<−=

22,

22,2)( 2 xxx

xxxf

ha

ha

M 45. ábra 2−=x -nél nem folytonos a függvény, ugyanis a jobb és bal oldali határérték nem egyezik meg: , ezért nem is

deriválható az

4lim42lim 2

0202=≠−=

−−+−xx

2−=x pontban.

-nél folytonos és 2=x 4)2(lim24lim)2(

02

2

02=+=

−−

=′+++ x

xxf

22lim242lim)2(

0202==

−−

=′−−

− xxf

⇒′≠′ −+ )2()2( ff f nem differenciálható az 2=x helyen. 119. Legyen tetszőleges eleme -nek. 0x fD

a) 33lim)(3

lim)23()23(

lim)(000 0

0

0

00 ==

−−

=−

+−+=′

xxx xxxx

xxxx

xf

,3)( =′ xf . R∈x

69


b) =−−−

=−

−−−=′

0

20

2

0

20

2

0)(2

lim)26()26(

lim)(00 xx

xxxx

xxxf

xx

[ ] 00 4)(2lim0

xxxx

−=+−= ,4)( xxf −=′ R∈x .

c) 20

200

2

0

30

3

0

30

3

0 9)(3lim)(3

lim33

lim)(000

xxxxxxxxx

xxxx

xfxxx

=++=−−

=−−

=′

,9)( 2xxf =′ R∈x .

d) 0 0 0

0

0 00 2

0 0 0

1 13 31 1( ) lim lim lim

x x x

x xx x x xf x

0x x x x x x

⎛ ⎞ −⎛ ⎞+ − +⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎛ ⎞⎝ ⎠ ⎝ ⎠′ = = = −⎜ ⎟− − ⎝ ⎠ x= −

2

1)(x

xf −=′ , { }0−∈Rx .

e) =−⋅⋅

−⋅−=

−⋅

−=

−

−

=′)(

)(4lim

)(44

lim

44

lim)(0

50

5

50

5

05

05

550

0

50

5

0000 xxxx

xxxxxx

xxxxxx

xfxxx

60

100

40

50

5

40

30

20

20

34 2054)(4lim

0 xxx

xxxxxxxxxx

x−=

⋅−=

++++−=

,20)( 6xxf −=′ { }0−∈Rx .

f)

=−

−=

−−

=−

+−+=′

20

20

0

0

0

00 )()(

limlim)1()1(

lim)(000 xx

xxxx

xxxx

xxxf

xxx

00 2

11lim0 xxxx

=+

= , ha . 00 >x ,2

1)(x

xf =′ . +∈Rx

[ [∞= ;0fD , de a 0 helyen jobbról nem differenciálható a függvény,

ugyanis: ∞==−

−+=′

+++ xx

xf 1lim0

1)1(lim)0(0000

.

120. a) Az f függvény így is megadható:

M. 46. ábra

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≥+−

<<−+

≤+−

=

5,56

51,56

1,56

)(2

2

xxx

xx-x

xxx

xf

ha

ha

ha2

70


M46. ábra

Először belátjuk, hogy a függvény differenciálható az [ ]3;1 intervallum egy tetszőleges belső pontjában. 0x

=−

−+−=

−−+−−−+−

0

022

0

0

02

02 66

lim)56()56(

lim00 xx

xxxxxx

xxxxxx

[ ] 626)(lim)(6)()(

lim 000

000

00

+−=++−=−

−++−−= xxx

xxxxxxxx

xx

Az intervallum végpontjaiban csak egyoldali differenciálhányados létezése szükséges (lásd a TK. 126. oldalának definícióját). Mivel differenciálható 1-ben és 3 -ban, ezért és

562 −+− xxx)1(+′f )3(−′f létezik.

Tehát az f függvény differenciálható az [ ]3;1 intervallumon.

b) 14

4lim4

2)6(lim)4(0404

−=−−

=−−−

=′++

+ xx

xxf

41

)2()2(2lim

42lim)4(

0404=

+−

−=

−−

=′−−−

xxx

xxf

⇒′≠′ −+ )4()4( ff Nem deriválható az f függvény az 4=x pontban és így az [ ]5;1 intervallumon sem.

M 47. ábra

71


c) f nem folytonos nem dif-

ferenciálható az 0

⇒=+≠=+

−

−0)1ln(lim1lim

0000xe x ⇒

=x helyen, így a [ ]1;1− intervallumon sem.

M 48. ábra d) f nem differenciálható a [ ]2;1− intervallumon, mert az helyen nincs értelmezve.

0=x

M 49. ábra

5.2. Differenciálási szabályok A következő feladatoknál ahol nem említjük meg az értelmezési tartományt, ott a derivált-függvény értelmezési tartománya megegyezik az eredeti függvény értelmezési tartományával.

72


121. a) 21262)( xxxf −+=′

b) 43

547 34)39(21)(

−− −+−= xxxxxf

47

636

4920)1263(

21)(

−− +−−=′ xxxxxf

c) 65

21

34

21

34

21

42

21

34

)( xxx

xxx

x

xxxxxf ==+−

=+⋅−

=−

61

65)(

−=′ xxf

d) ( ) )26(34)2(53)( 5565

4

+⋅⋅−++⋅−=′−

xxxxxxf , { }0−∈Rx

e) 41

35

345

100

53)(xx

exxxf++

++=

−

−

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++⋅−

=′

−

241

35

41

35

54

100

100)2015(

)(

xx

xxxx

xf

2

41

35

43

32

345

100

41

35)53(

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅++

−

−−

xx

xxexx

f) −+

+⋅⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=′

−

22

2931

51032

4

)34(

)34(103)2(3115

)(x

xxxxxxx

xf

( )

22

1035

)34(8)2(3

++−

−x

xxxx, { }0−∈Rx

122. a) 6

316

51)( xxf x ⋅−⋅= 526ln6

51)( xxf x −⋅=′

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅⋅++⋅−=′

−−

10ln14ln43)lg4(

521)( 5

75

12

xxxxxf xx

c) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅++−⋅

⋅=′

xexxe

xxf xx 15)3(log)ln5(

1,0ln1)( 1,0

73


d) −⋅+⋅

⋅+⋅⋅⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

=′

−

27

787

)572(

)572(41

3ln1

)(x

xxx

xf x

x

( )

27

683

)572()357ln72(2log

xxxx

x

x

⋅+⋅+⋅⋅⋅−

−

( )

13

2

23

2

10 2 (4 lg 3 10 )3

e) ( )(4 lg 3 10 )

410 ln 3 10 ln10ln10

(4 lg 3 10 )

x

x

x

x

x x ex

f xx e

x xx

x e

−⎛ ⎞− ⋅ + ⋅ −⎜ ⎟

⎝ ⎠′ = −⋅ + ⋅ −

⎛ ⎞⋅ − + ⋅ ⋅⎜ ⎟⎝ ⎠−

⋅ + ⋅ −

1 33 22 2

2

12 2

2

2

1 1 42 ln (32 ln 2

f) ( )(3 7)

ln 4 log 3 ln3

(3 7)

x

x

x

x

x x x x xx x

f x

x x x x

− −− −

−−

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞− − + − − + ⋅ −⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⋅⎝ ⎠ ⎝ ⎠⎣ ⎦′

7)= −

−

⎡ ⎤⎛ ⎞− + ⋅ ⋅ ⋅⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎣ ⎦−−

123. a) )212()23(10)( 394 −⋅−=′ xxxxf

b) 4)52()( 75

+−= xxf 2)52(75)( 7

2

⋅−=′−

xxf , ⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈

25Rx

c) 2121 )1(3)3(ln3)1()1(3)1()3(ln3)( xxxf xx −−⋅−=−⋅−+−⋅=′ −−

d) 1

12)1(211

1

1)(2

21

2

2 +=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⋅++⋅

++=′

−

xxx

xxxf

e) 10ln)32(2

3)32(

10)32(510ln1

532

21)( 2 ⋅+

=+−+

⋅⋅+

⋅=′xxx

xxx

xxf

f) xxxx

xxxf 1ln1

lnln1

41lnlnln)( 4

5 ⋅⋅⋅+⋅−=′ −

g) 2

5242

)()1()2()2()2(5)( x

xx

eexexxxf

−

−− −⋅⋅−−⋅−⋅−=′

74


h) 22

254

2212

)2(2)12()2(2

212

51)3(ln3)(

52

+−−+

⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−

⋅⋅=′−

+

−

xxxx

xxxf x

x

,

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−∈

21Rx

( )

3

3

2 3 1 3

23

3 1 2

23

1( 3 ) 2 (ln 2) 3 3 (7 4)2 3 1i) ( )

3 (7 4)

2 ( 3)(7 4) 7,

3 (7 4)

x x

x x

e x xxf x

x

e x

x

− −

− −

⎡ ⎤ ⎡ ⎤− + ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ − +⎢ ⎥ ⎣ ⎦−⎣ ⎦′ = −⎡ ⎤− +⎣ ⎦

+ ⋅ − + ⋅−

⎡ ⎤− +⎣ ⎦

1 1 (6 3 4)3 7

x< ≠ −

( )

( )

25

32

25

42 25 5

3

225

1 1 4 9(log )ln10 ln3j) ( )

4 9

1(lg log ) 4 (ln 4) 9 4 (9 ) ( 2 )5

4 9

x

x

x x

x

xx xf x

x

x x x

x

−

⋅ ⋅ ⋅ −′ = −

⋅ −

⎤⎡⋅ ⋅ ⋅ − + ⋅ − ⋅ − ⎥⎣ ⎦−⋅ −

x

124. a) xxx eexf

x lnln)( ⋅== )1(ln)1(ln)( ln +=+⋅=′ xxxexf xxx

b) ( ) )ln(lg)(lnlnlglnln )()(lg xxxxx eex ⋅==

( ) ( )ln ln lg

ln

1 1( ) ln(lg ) (ln )lg ln10

1 1(lg ) ln(lg )

x x

x

f x e x xx x x

x xx x

⋅ 1⎡ ⎤′ = ⋅ ⋅ + ⋅ ⋅ =⎢ ⎥⋅⎣ ⎦⎡ ⎤= ⋅ +⎢ ⎥⎣ ⎦

125. a) xy45

= c) 2ln31++−= xy

22 b) 32240 +−=y d) y 4x 3 eex +−= 126. a) 3124 += xy és 3324 −= xy

b) f ′ 26)( xx = 24)2( =−′f )24;2(0 −=P f xx 12)( =′′ mf =−=−′′ 24)2( Az érintő egyenlete: )2(2424 +−=− xy , azaz 2424 −−= xy .

75


127. 83 −−= xy és 83 +−= xy

128. xy ⋅=22

1

5.3. Magasabb rendű deriváltak Ahol nem írjuk ki az értelmezési tartományt, ott a magasabb rendű derivált értelmezési tartománya megegyezik az eredeti f függvény értelmezési tartományával. 129. a) 24 180840)( xxxf +=′′′ !74)()7( ⋅=xf 0)()8( =xf

b) 13)3( 1211102)( −⋅⋅⋅−= xxf

c) 35)75(!4)( ⋅+=′′′ xxf

d) ( ) xexf =)(555

e) ( ) nnxn xf 2)5(ln56)( 2 ⋅⋅⋅=

f) ( ) nnn xnxf −+ −⋅−= !)1()1()( 1

g) )66()( 2 ++=′′′ xxexf x

h) 34

ln)(x

xxf −=′′

i) )3ln2(1)( 3 −=′′ xx

xf )ln611(1)( 4 xx

xf ⋅−=′′′

5.4.* Trigonometrikus függvények deriválása

130. a) xxxxf tg7)cos(sin32)( ⋅+−=

x

xxxf 2cos17)sin(cos

32)( ⋅++=′

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −++⋅−=′

−−

xxxxxxxf 22

35

38

sin2

cos1)2(

35)( ctgtg

c) xx

xxxxxxxxxf 22

22

cossin)sin(cos)cos(sincos)(sin)sin(cos)(

⋅−+−−

=′

76


d) 2

2

)sin3(

cos3)ln5tg()sin3(5cos

tg)(

x

xxxexxx

exexf

xx

x

+

−⋅−+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⋅

=′π

π

131. a) [ ] )421()27cos()( 223 xxxxxf −⋅−=′

b) )14(2ctg1)tg1()tg(7)( 87

226 −−⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⋅=′ x

xxxxf

2

2 2

2 2

2 2

4 ( sin3 ) 3(3 sincos )cos3c) ( )

(3 sincos )

(4 lncos3 ) 3 ln3 (coscos )( sin )2(3 sincos )

x

x

x

x

x xxf x

x

x x xx

−

−

−

−

− ⋅ +′ = −

+

⎡ ⎤⋅ ⋅ − ⋅ + −⎣ ⎦−+

x

[ ][ ]

cos

sin

d) ( ) (sin ) ( sin ) lnsin (ctg ) cos

(cos ) (cos ) lncos (tg )sin

x

x

f x x x x x x

x x x x x

′ = ⋅ − ⋅ + ⋅ +

+ ⋅ ⋅ −

132. ] [.;0),sin21()(cos2sin)(cos4cos2)( π∈−=−=′ xxxxxxxf

, ha , azaz ha 0)( =′ xf 0cos =x ,21π

=x vagy

21sin =x , azaz ha

62π

=x , illetve 6

53

π=x .

133. a) A függvény folytonos, de nem differenciálható az 00 =x helyen. b) A függvény az 0=x helyen differenciálható; az 1−=x helyen nem folytonos nem differenciálható. ⇒ 134. a) { }ZR ∈−=′ kkD f π

b) ⎩⎨⎧

<−=−≥

==0,sin)sin(0,sin

sin)(xxxxx

xxfhaha

{ }0−=′ RfD

135. a) b) xxf sin)()102( −=3

cos3

1)( 120)120( xxf =

77


5.5.* Taylor-polinom, Taylor-sor 136. a) Az f függvény 30 =x -hoz tartozó harmadrendű Taylor-polinomját kell fölírni: 32 )3(4)3(41)3(138152)( −+−+−+= xxxxf

b) 43 )1(2)1(3)1(31)( +++−++−= xxxxf

c) 5432 )1(3)1(15)1(30)1(32)1(192)( −+−+−+−+−+= xxxxxxf

137. a) ...)2(!3

)2(ln4)2(!2

)2(ln4)2(!1

2ln442 33

22

+−⋅

+−⋅

+−⋅

+= xxxx

...)2(!

)2(ln4+−

⋅+ n

n

xn

)( R∈x

b) ...2!7

12!5

12!3

12

cos753

−⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

ππππ xxxxx

)( R∈x

138. a) ...!)3(ln...

!3)3(ln

!2)3(ln

!13ln13 3

32

2

++++++= nn

x xn

xxx )( R∈x

b) ...876546544

36)(3864

2 +⋅⋅⋅⋅

+⋅⋅

+++=+ − xxxxee xx )( R∈x .

c) [ ] ...432

)(1ln)1ln(432

−−−−−=−+=−xxxxxx )11( <≤− x

d) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++=−−+=

−+ ...

7532)1ln()1ln(

11ln

753 xxxxxxxx )11( <<− x

e) ...!7!5!3

...!7)(

!5)(

!3)(sin

141062

72523222 +−+−=+−+−=

xxxxxxxxx

)( R∈x 139. a) Az )1ln( xx + függvény MacLaurin-sorát alkalmazva:

18232,062,0

52,0

42,0

32,0

22,02,0)2,01ln(

65432

=−+−+−≈+

Használhatjuk a gyorsabban konvergáló

xxxxxx

−+

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++++

11ln...

7532

753

MacLaurin-sort is, ha 111

=x .

78


Ekkor a fenti pontosság eléréséhez elegendő csupán a sor első két tagjának a kiszámítása:

18232,0311

12

112

1111

1111

ln2,1ln3≈

⋅+≈

−

+=

b) 098,17

21

521

321

212

211

211

ln3ln

753

≈

⎥⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+⋅≈−

+=

c) 196,23ln23ln9ln 2 ≈== 140. Az függvény MacLaurin-sorát alkalmazva: xex a) 5 tag figyelembevételével: 1,221403 b) 7 tag figyelembevételével: 0,7408181 c) 15 tag figyelembevételével: 7,389057

141. a) 38942,0!5)4,0(

!3)4,0(4,04,0sin

53

=+−≈

b) 99500,0720

000001,0240001,0

201,011,0cos =−+−≈


142. ( )

2

2 2

1(2 ln 2 2 ) (3 ) (2 )3 2( )2 3

x x

x

x x xx xf xx x

− + − − ⋅+′ = ⋅− +

8122ln2)1( −−⋅=′f

143. A differenciálhatóság szükséges feltétele a folytonosság, azaz teljesülnie kell, hogy 1)(lim

01=

+xf és 1)1()(lim

01=+⇒+==

−babafxf . (1)

Másrészt a jobb és bal oldali deriváltnak is egyenlőnek kell lennie:

2)13(6)(−

−=′+ xxf ⇒≥ )1(x

23)1( −=′+f

axf =′− )( ⇒≤ )1(x af =′− )1( 79


Innen 23

−=a adódik.

Az 23

−=a értéket -be helyettesítve kapjuk: )1(25

=b .

144. Az a) függvény folytonos, de nem differenciálható a vizsgált helyen. A b) függvény differenciálható és 1)5( =′f . 145. a) f nem folytonos függvény, mert az 1=x helyen nincs határértéke. b) f nem differenciálható függvény, mert az 1=x helyen nem differenciálható.

c) ⎪⎩

⎪⎨

⎧

>−

<≠−+

−=′

1,)1(2

11,)1(

2)( 2

xx

xxxf

ha

ha

146. a)

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

>+

≤<−+

−≤−−

=′

0,1

01,1

1,1

)(2

5

5

xx

xx

xx

xf

ha

ha

ha

Az 1−=x helyen nem differenciálható; az 0=x helyen differenciálható a függvény. b) Az érintő egyenlete: 12980 −−= xy .

147. a) Tengelypontok: és . )0;6( )2;0( 2)3(3)(−

=′x

xf

31)0()6( =′=′ ff .

b) 3)3(6)(−

−=′′x

xf 6)4( −=′′f )6;4(0 −=P

4)3(

)3(18)(−

=x

xf mf ==18)4()3(

Az érintő egyenlete: )4(186 −=+ xy , azaz 7818 −= xy .

80


5.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nincs ilyen függvény, mert a differenciálhatóságnak szükséges feltétele

a folytonosság. (Lásd TK. 5.2. tétel.) b) Pl. 2)( −= xxf , 20 =x .

c) Pl. 3)( xxf = , 00 =x . A függvény grafikonjának érintője az 00 =x pontban az y tengely, a

függvény azonban nem deriválható ebben a pontban. 2. a) Hamis, mert hézagpontban nincs értelmezve a függvény. b) Igaz, hiszen póluspontban nincs is értelmezve a függvény. c) Hamis. Fordítva igaz: minden differenciálható függvény folytonos. (Lásd TK. 5.2. tétel.) d) Igaz, mert a derivált az adott pontban az érintő iránytangensével egyenlő. e) Hamis, a deriválhatósághoz ugyanis nem elég léteznie a jobb és bal oldali deriváltaknak, hanem egyenlőnek is kell lenniük. f) Igaz. 3. Pl. , ha nxxf =)( 0<x , ahol { }1−∈ +Nn . 4. A szorzat deriválási szabálya szerint járunk el, az egyes tényezőket pedig a lánc-szabály alapján deriváljuk:

3

2)4()3ln()5()4(72)( 2

72

52479

5

+⋅−++−⋅−−=′

−−

xxxxxxxf .

Tehát a B válasz a helyes.

5. 3)3(124)(

−−−

=′x

xxf , 4)3(488)(

−+

=′′xxxf

, így az érintési pont: . 20)2( =′f )20;2(0P Az érintő meredeksége: mf ==′′ 64)2( , így az érintő egyenlete: . 10864 −= xy Tehát az A válasz a helyes. 6. Írjuk fel a függvényt a következő alakban:

⎪⎪

⎩

⎪⎪

⎨

⎧

≥⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

<⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

−

0,101

0,101

)(

x

xxf

x

x

ha

ha

81


Nyilvánvaló, hogy 0<x , illetve esetén differenciálható a függvény. Az

0>x0=x helyen folytonos ugyan:

)0(101lim1

101lim

0000f

xx

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+

−

−,

de a jobb és bal oldali deriváltak nem egyenlők:

101ln

101)( ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=′

−

−

x

xf , 101ln)0( −=′−f

101ln

101)( ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=′+

x

xf , 101ln)0( =′+f .

Így a függvény az helyen nem deriválható. 0=x Tehát a B válasz a helyes.

82

83

6. DIFFERENCIÁLHATÓ FÜGGVÉNYEK VIZSGÁLATA

6.1. Monotonitás, szélsőérték 148. a) 266)( xxf −=′ , 066 2 =− x , ha 1±=x .

4)1(maxl.

4)1(minl.

:

00:111111

=−=−

−+−′>=<<−−=−<

fff

fxxxxx

M2. táblázat

b) )14(6060240)( 2224 −=−=′ xxxxxf , ( ) 0f x′ = , ha 01 =x , 21

3,2 ±=x .

21

−<x21

−=x 021

<<− x 0=x 210 << x

21

=x 21

>x

:f ′ + 0 – 0 – 0 +

:f l. max.

121

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−f

0)0( =f

l. min.

121

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f

M3. táblázat Vegyük észre, hogy az 0=x hely nem lokális szélsőértékhely, hiszen 0)0( =f , és a

0-nak van olyan bal oldali környezete, amelyben 0)( >xf , valamint a 0-nak van olyan jobb oldali környezete, amelyben 0)( <xf .

c) 22

2

)9(1171053)(x

xxf+−

=′ , 0)( =′ xf , ha 3±=x .

3−<x 3−=x 33 <<− x 3=x 3>x

:f ′ – 0 + 0 –

:f l. min. 5,19)3( −=−f

l. max. 5,19)3( =f

M4. táblázat

d) 291)(x

xf −=′ , 0)( =′ xf , ha 3±=x .

3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x

:f ′ + 0 –

– 0 +

:f l. max. 6)3( −=−f

l. min. 6)3( =f

M5. táblázat


84

e) ⎩⎨⎧

−>−<−

=′4ha,24ha,2

)(xx

xf , 0)( ≠′ xf

M6. táblázat

f) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +=′

−

xexf x 11)(

1

, 0)( =′ xf , ha 1−=x .

M7. táblázat

g) R∈≠⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′ − xx

xexf x 0,

32)( 3 2

3, 0)( =′ xf , ha

32

=x .

0<x 0=x 320 << x

32

=x 32

>x

:f ′ – + 0 –

:f

0)( >xf 0)0( =f

l. min.

0)( >xf

l. max.

3

2

32

32

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

ef

M8. táblázat

h) xx

xxf−−

=′2

2)( , 0)( =′ xf , ha 2=x .

21 << x 2=x 2>x

:f ′ – 0 +

:f l. min. 4ln)2( =f

M9. táblázat

i) xx

xxf 32 ln2ln)( +

−=′ , 0)( =′ xf , ha 2−= ex .

4−<x 4−=x 4−>x

:f ′ – +

:f 0)( >xf

l. min. 0)4( =−f

0)( >xf

1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 0>x

:f ′ + 0 – +

:f l. max. ef −=− )1(


85

20 −<< ex 2−= ex 12 <<− xe 1=x 1>x

:f ′ – 0 + –

:f

l. min.

4)(

22 eef =−

M10. táblázat

j) x

xexfln1

)( = )ln1(1)( 2

ln1

xx

exfx

x −⋅⋅=′

ex <<0 ex = ex >

:f ′ + 0 –

:f l. max.

eeef1

)( =

M11. táblázat

149. )12()(1

−=′ xexf x

0<x 0=x 210 << x

21

=x 21

>x

:f ′ – – 0 +

:f

l. min.

421 2ef =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

M12. táblázat A táblázat alapján az a) állítás igaz, a b) állítás hamis. 150*. xxaxf 3coscos)( +⋅=′

20123

=⇔=−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′ aaf π .

xxxf 3sin3sin2)( −−=′′

⇒<−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′′ 03

3πf A függvénynek 2=a esetén lokális maximuma van az

3π

=x helyen.

151. a) 22 )2(8)(+

=′x

xxf


86

01 <≤− x 0=x 20 ≤< x :f ′ – 0 +

:f l. min. 1)0( =f

M13. táblázat Lok. min. hely: 0=x ; lok. min. érték: 1)0( =f .

Lok. max. helyek: 1−=x és 2=x ; lok. max. értékek: 35)1( =−f és

614)2( =f .

Absz. min. hely: 0=x ; absz. min. érték: 1)0( =f .

Absz. max. hely: 2=x ; absz. max. érték 6

14)2( =f .

b) 3)2(105)(

−−−

=′x

xxf

25 −<≤− x 2−=x 22 <<− x 2=x 52 ≤< x

:f ′ – 0 + –

:f l. min.

85)2( −=−=f

M14. táblázat

∞=−± 202 )2(5lim

xx

Lok. min. helyek: 2−=x és 5=x ; lok. min. értékek: 85)2( −=−f és

925)5( =f .

Lok. max. hely: 5−=x ; lok. max. érték: 4925)5( −=−f .

Absz. min. hely: 2−=x ; absz. min. érték: 85)2( −=−f .

Absz. max. hely: nincs. c) += 0RfD

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=′ − x

xexf x

21)( , +

′ = RfD

210 << x

21

=x 21

>x

:f ′ + 0 –

:f l. max.

ef

21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

M15. táblázat


87

Lok. min. hely: 0=x ; lok. min. érték: 0)0( =f .

Lok. max. hely: 21

=x ; lok. max. érték: e

f21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

Absz. min. hely: 0=x ; absz. min. érték: 0)0( =f ( 0)( >xf , ha 0>x ).

Absz. max. hely: 21

=x ; absz. max. érték e

f21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ .

152. Jelölje m a függvény legkisebb, M pedig a függvény legnagyobb értékét. a) 48)2( −== fm , 63)3( == fM . b) A) Nincs abszolút szélsőérték. B) 0)4( == fm , 32)0( == fM . c) Nincs abszlút szélsőérték.

d) 0)0( == fm , e

ffM 11)1()1( −==−= .

e) 0)4()0( === ffm , 2)2( == fM . f*) Nincs absz. minimum; 1)( −== ππfM .

153. a) ] ]2;0 eR f =

b) A) ⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ ∞= ;319fR B) ⎥⎦

⎤⎢⎣⎡= 1;31

9fR

c) A) ] [20;0−= RfR B) ] [36;16−−= RfR

6.2. Konvex és konkáv függvények 154. a) 23)( xxxf −=′ xxxf 23)( 2 −=′′

0<x 0=x 320 << x

32

=x32

>x

:f ′′

+ 0 – 0

+

:f infl. pont.

infl. pont.

M16. táblázat

b) )1(3)( 2 −=′ xxf , xxf 6)( =′′

0<x 0=x 0>x

:f ′′ – 0 + :f infl. pont.

M17. táblázat

c) 4)1(72)(

−−−

=′x

xxf , 5)1(306)(

−+

=′′xxxf


88

5−<x 5−=x 15 <<− x 1=x 1>x

:f ′′ + 0 – + :f infl. pont.

M18. táblázat

d) ,)4(43)( 32

2

xxxf−+

=′ 42

3

)4(4812)(

xxxxf

−+

=′′

2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 20 << x 2=x 2>x

:f ′′ – – 0 + + :f infl.

pont.

M19. táblázat

e) ,2

)(2x

xxf+

=′ 0)2(

2)(32>

+=′′

xxf minden R∈x esetén,

vagyis f konvex; nincs inflexiós pontja. f) )22()( 22 xxexf x −=′ − , )284()( 22 +−=′′ − xxexf x

221−<x

221−=x

221

221 +<<− x

221+=x

221+>x

:f ′′ + 0 – 0 +

:f infl. pont

infl. pont.

M20. táblázat

g) 2)1()(

xexxf

x

+⋅

=′ , 3

2

)1(1)(

xxexf x

++

⋅=′′

⇒≠′′ 0)(xf nincs inflexiós pont.

1−<x 1−=x 1−>x

:f ′′ – +

:f M21. táblázat

h) 22

22)( 2 +++

=′xx

xxf , 22

2

)22(42)(++−−

=′′xx

xxxf


89

2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 0>x

:f ′′ – 0 + 0 –

:f infl. pont infl.

pont

M22. táblázat

i) xx

xf 1ln

1)( 2 ⋅−=′ , ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

⋅=′′

xxxxf

ln21

ln1)( 22

20 −<< ex 2−= ex 12 <<− xe 1=x 1>x

:f ′′ + 0 – +

:f infl. pont

M23. táblázat

j*) xxf cos1)( +=′ , xxf sin)( −=′′ ⇔=′′ 0)(xf ha Z∈= kkx ,π

πkx 2= ππ )12(2 +<< kxk π)12( += kx ππ )22()12( +<<+ kxk

:f ′′ 0 – 0 +

:f infl. pont

infl. pont

M24. táblázat 155. Az a) állítás igaz; a b) állítás hamis.

156. σ

σ210)( =⇔=±′′ hf

Ekkor f ′′ előjelet vált az σ±=x helyeken, tehát σ2

1=h esetén az σ±=x

helyek valóban inflexiós pontok.

6.3. Függvényvizsgálat 157. a) R=fD , zérushelyek: 0=x , 27±=x .

2327)( xxf −=′ , xxf 6)( −=′′


90

3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x

:f ′ – 0 + 0 –

:f ′′ + 0 – l. min.

54)3( −=−f l. max.

54)3( =f

:f infl.

pont

M25. táblázat ∞=−

∞±∓)27(lim 3xx R=fR , páratlan függvény, mert

)(27)( 3 xfxxxf −=+−=− minden R∈x esetén; abszolút szélsőértékei nincsenek.

M 50. ábra b) A) B)

M51/a ábra M 51/b ábra c)

M 52. ábra


91

d)

M 53. ábra

e)

M 54. ábra f)

M 55. ábra


92

g) A) B)

M 56/a ábra M 56/b ábra

158. a) { }0−= RfD , zérushely: 32

=x .

3243)(xx

xf +−=′ , 43126)(xx

xf −=′′

0<x 0=x 340 << x

34

=x 234

<< x 2=x 2>x

:f ′ – + 0 –

:f ′′ – – 0 + l. max.

89

34

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f

:f

infl. pont

M26. táblázat

−∞=+−

=−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

∞± 0223lim,023lim 202 x

xxx

,

⎥⎦⎤

⎥⎦⎤ ∞−=

89;fR , absz. maximum:

89

34

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f ; absz. minimum nincs.

Aszimptoták: 0=x és 0=y egyenletű egyenesek.


93

M 57. ábra b)

M 58. ábra c) { }1−= RfD , zérushely: 0=x .

3)1(22)(

−−−

=′x

xxf , 4)1(84)(

−+

=′′xxxf

2−<x 2−=x 12 −<<− x 1−=x 11 <<− x 1=x 1>x

:f ′ – 0 + –

:f ′′ – 0 + + l. min.

( )211 −=−f

:f infl.

pont

M27. táblázat

∞=−

=−∞± 212 )1(

2lim,0)1(

2limx

xx

x .


94

⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ ∞−= ;

21

fR , absz. minimum: 21)1( −=−f , absz. maximum nincs.

Aszimptoták: 1=x és 0=y egyenletű egyenesek.

M 59. ábra d) { }1;1−−= RfD , zérushely nincs.

32

2

22 )1(26)(,

)1(2)(

xxxf

xxxf

−+

=′′−

=′

1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x

:f ′ – – 0 + +

:f ′′ – + – l. min.

1)0( =f

:f

M28. táblázat

∞=−

±∞=−

=− ±±−∞±

∓2012012 11lim

11lim,0

11lim

xxx,

[ [1;0−= RfR , páros függvény, mert )()(1

1)( 2 xfx

xf =−−

=− minden fDx∈

esetén; absz. szélsőértékei nincsenek. Aszimptoták: 1−=x , 1=x és 0=y egyenletű egyenesek.

M 60. ábra


95

e) f)

M61. ábra M62. ábra

159. a) { },0−= RfD zérushely nincs.

241)(x

xf −=′ , 38)(x

xf =′′

2−<x 2−=x 02 <<− x 0=x 20 << x 2=x 2>x

:f ′ + 0 – – 0 +

:f ′′ – + l. max.

4)2( −=−f l. min.

4)2( =−f

:f

M29. táblázat

±∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +±∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

±∞± xx

xx 4lim,4lim

00,

aszimptoták: xy = és 0=x egyenletű egyenesek. ] [4;4−−= RfR , páratlan függvény, mert

)(4)( xfx

xxf −=−

+−=− minden 0≠x -ra;

abszolút szélsőértékei nincsenek.

b)

M 63. ábra

M 64. ábra


96

c)

M 65. ábra

d) { }2;1,21

)2()1()1()1()( −−∈

++

=+−+−

= Rxxx

xxxxxf , hézagpont: 1=x .

M 66. ábra e) R=fD , zérushely nincs.

32

2

22 )1(412)(,

)1(4)(

+−

=′′+

−=′

xxxf

xxxf

3

1−<x

31

−=x 03

1<<− x 0=x

310 << x

31

=x 3

1>x

:f ′ + 0 –

:f ′′ + 0 – 0 +

l. max. 3)0( =f

:f

infl. pont

infl. pont

M30. táblázat

] ]3;1,113lim 2

2

==++

∞± fRxx , páros függvény, mert )(

1)(3)()( 2

2

xfxxxf =

+−+−

=−

minden R∈x -re; absz. maximuma: 3)0( =f , absz. minimuma nincs, aszimptota: 1=y egyenletű egyenes.


97

M 67. ábra f)

M 68. ábra g) { }1;1−−= RfD , zérushely: 0=x .

32

2

22 )1(26)(,

)1(2)(

−+

=′′−

−=′

xxxf

xxxf

1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x

:f ′ + + 0 – –

:f ′′ + – + l. max.

( ) 00 =f

:f

M31. táblázat

±∞=−

∞=−

=− ±±−∞± 1

lim1

lim,11

lim 2

2

012

2

012

2

xx

xx

xx ∓ ,

] ]1;0−= RfR , páros függvény, mert ( )xfx

xxf =−−

−=−

1)()()( 2

2

minden fDx∈

esetén; nincsenek absz. szélsőértékei, aszimptoták: 1−=x , 1=x és 1=y egyenletű egyenesek.


98

M 69. ábra

h) 2

)2()3()2(

)2()3()(+

−+=

+−+

=x

xxxx

xxxxf , { }0;2−−= RfD .

Zérushelyek: 3−=x és 2=x ; hézagpont: 0=x ; póluspont 2−=x . Először az 0=x -ban (az egyszerűsítéssel) folytonossá tett g függvényt vizsgáljuk:

2

)2()3()(+

−+=

xxxxg , { }2−−∈Rx

( ) 32

2

)2(8)(,

)2(84

+−=′′

+++

=′x

xgx

xxxg

2−<x 2−=x 2−>x

:g ′ + +

:g ′′ + –

:g

M32. táblázat

∞=+−+

±∞=+−+

∞±−∞±∓

26lim,

26lim

2

2

2

xxx

xxx ,

)0(2

41)( ≠+

−−= xx

xxf , aszimptoták:

1−= xy és 2−=x egyenletű egyenesek, R=fR , nincsenek absz. szélsőértékek.

M 70. ábra


99

i)

M 71. ábra j) { }2−−= RfD , zérushely: 0=x .

43

23

)2(24)(,

)2(6)(

+=′′

++

=′x

xxfx

xxxf

6−<x 6−=x 26 −<<− x 2−=x 02 <<− x 0=x 0>x

:f ′ + 0 – + 0 +

:f ′′ – – 0 +

l. max. 5,13)6( −=−f

:f

infl. pont

M33. táblázat

−∞=+

±∞=+ −∞± 2

3

22

3

)2(lim,

)2(lim

xx

xx ,

44

16124)( 2 +++

+−=xx

xxxf , aszimptoták: 4−= xy és 2−=x egyenletű egyenesek.

R=fR , nincsenek absz. szélsőértékek.

M 72. ábra


100

160. a) += RfD , zérushely nincs.

533 4

3

4

1)(,2

12

1)(xx

xfxx

xf +−=′′−=′

10 << x 1=x 31 << x 3=x 3>x

:f ′ – 0 +

:f ′′ + 0 – l. min.

2)1( =f

:f

infl. pont

M34. táblázat

∞=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+∞=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

∞+ xx

xx 1lim,1lim

00,

[ [∞= ;2fR , absz. maximum nincs, absz. minimum: 2)1( =f .

M 73. ábra b) ] ] [ [∞∪−∞−= ;11;fD , zérushelyek: 1±=x .

,1)1(

1)(,1

)(222 −−

−=′′−

=′xx

xfx

xxf { }' '' 1 ; 1f f fD D D= = − −

1−<x 11 <<− x 1>x

:f ′ – +

:f ′′ – –

:f

M35. táblázat


101

01lim,01lim,1lim 2

01

2

01

2 =−=−∞=−+−−∞±

xxx ,

+= 0RfR , absz. maximum nincs, absz. minimum: 0)1()1( ==− ff , páros függvény.

M 74. ábra c) ] [2;2−=fD , zérushely nincs.

,)4(

42)(,)4(

)(52

2

32 x

xxfx

xxf−

+=′′

−=′

02 <<− x 0=x 20 << x

:f ′ – 0 +

:f ′′ + l. min.

21)0( =f

:f

M36. táblázat

∞=−

∞=− −+− 202202 4

1lim,4

1limxx

,

⎢⎣⎡

⎢⎣⎡ ∞= ;

21

fR , absz. maximum nincs, absz. minimum: ( )210 =f ,

aszimptoták: 2−=x és 2=x egyenletű egyenesek, páros függvény, mert

)()(4

1)(2

xfx

xf =−−

=− minden fDx∈ esetén.


102

M 75. ábra d)

M 76. ábra e) R=fD , zérushely: 1−=x .

,)1(9

2)(,13

2)(3 43 +⋅

−=′′+⋅

=′x

xfx

xf { }1f f fD D D′ ′′= = − − .

1−<x 1−=x 1−>x

:f ′ – +

:f ′′ – – l. min.

0)1( =−f

:f

M37. táblázat ∞=+

∞±

3 2)1(lim x , += 0RfR ,

absz. maximum nincs, absz. minimum: 0)1( =−f .


103

M 77. ábra

f)

M 78. ábra

161. a) R=fD , zérushely nincs.

xx exfexf −=′′−=′ )(,1)(

0<x 0=x 0>x

:f ′ + 0 –

:f ′′ – l. max.

1)0( −=f

:f

M38. táblázat

−∞=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−−∞=−

∞∞∞−1lim)(lim,)(lim x

xxx

exeexex ,

] ]1; −∞−=fR , absz. minimum nincs, absz. maximum: 1)0( −=f .

M79. ábra


104

b)

M 80. ábra c)

M 81. ábra d) { }0−= RfD , zérushely nincs.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=′′⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=′ 32

221)(,111)(xxx

exfxx

exf xx

0<x 0=x 10 << x 1=x 1>x

:f ′ – – 0 +

:f ′′ – +

l. min.

ef =)1(

:f

M39. táblázat

∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−∞=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛∞==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

+−∞∞−

xxx

x ex

exx

eex

1lim,1lim,lim,01lim0000

,

[ [eRf ;0−= R , absz. szélsőértékei nincsenek; aszimptoták: 0=x és 0=y egyenletű egyenesek.


105

M 82. ábra

e)

M 83. ábra f) { }0−= RfD , zérushely nincs.

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=′′⋅=′

−−322)(,2)( 24

1

3

122

xxexf

xexf xx

32

−<x 32

−=x 032

<<− x 0=x320 << x

32

=x 32

>x

:f ′ – +

:f ′′ – 0 + + 0 –

:f

infl. pont

infl. pont

M40.táblázat


106

0lim,1lim 221

0

1

==−−

∞±xx ee ,

] [1;0=fR , aszimptota: 1=y egyenletű egyenes, nincsenek abszolút

szélsőértékek, páros függvény, mert )()(2)(

1

xfexf x ==− −−

minden 0≠x -ra.

M 84. ábra 162. a)

M 85. ábra b) R=fD , zérushely: 0=x

22

2

2 )1(22)(,

12)(

xxxf

xxxf

++−

=′′+

=′

1−<x 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x 1>x

:f ′ – 0 +

:f ′′ – 0 + 0 – l. min.

0)0( =f

:f infl.

pont infl. pont

M41. táblázat


107

∞=+∞±

)1ln(lim 2x , += 0RfR , páros függvény, mert )())(1ln()( 2 xfxxf =−+=−

minden R∈x esetén; absz. minimum: 0)0( =f , absz. maximum nincs.

M 86. ábra

c) ] [ ] [∞∪−∞−= ;11;fD , zérushelyek: 2±=x .

22

2

2 )1(22)(,

12)(

−−−

=′′−

=′x

xxfx

xxf

1−<x 11 ≤≤− x 1>x

:f ′ – +

:f ′′ – –

:f

M42. táblázat −∞=−−∞=−∞=−

+−−∞±)1ln(lim,)1ln(lim,)1ln(lim 2

01

2

01

2 xxx ,

R=fR , nincsenek absz. szélőértékek, páros függvény, mert

[ ] )(1)(ln)( 2 xfxxf =−−=− minden fDx∈ esetén; aszimptoták: 1−=x és 1=x egyenletű egyenesek.

M 87. ábra


108

d)

M 88. ábra

e) { }0−= RfD , zérushelyek: 1±=x .

2

22 ln48)(,ln4)(x

xxfx

xxf −=′′⋅

=′

ex −< ex −= 1−<<− xe 1−=x 01 <<− x 0=x 10 << x 1=x ex <<1 ex = ex >

:f ′ – 0 + – 0 +

:f ′′ – 0 +

+ 0 –

l. min. 0)1( =−f

l. min. 0)1( =f

:f infl.

pont

infl. pont

M43. táblázat 2 2 2 2

0limln ( ) , limln ( )x x±∞

= ∞ = ∞ ,

[ [∞= ;0fR , páros függvény, absz. maximuma nincs, absz. minimuma: 0)1()1( ==− ff , aszimptota: 0=x egyenletű egyenes.

M 89. ábra


109

f)

M 90. ábra

g)

M 91. ábra


110

163.* a)

M 92. ábra

b) ( )⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ ∈−−= ZkkRDf 4

14 π , zérushelyek: Z∈= kkx ,π .

2( ) 0,

1 sin 2 f ff x D Dx ′′ = ≠ =

+

''2

2 2 cos2( ) ,(1 sin 2 ) f f

xf x D Dx

′′ = − =+

02cos0)( =⇔=′′ xxf és Z∈+=⇔∈ kkxDx f ,4

ππ .

4π

−=x 44ππ

<<− x 4π

=x 4

34

ππ<< x

43π

=x

:f ′ +

:f ′′ – 0 +

:f

infl. pont

M44. táblázat

M 93. ábra


111

∞=+

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−∞=+

−=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ + −+− 0

22

4sin

sinlim,022

4sin

sinlim0

430

4ππ ππ

x

x

x

x ,

R=fR , periodikus függvény (periódusa: π ), absz. szélsőértékei nincsenek,

aszimptoták: 4

)14( π−= kx Z)∈k( , egyenletű egyenesek.

6.4. Gazdasági alkalmazások.

164. a) 053)( ≥=′ xxC minden [ ]1000;0∈x esetén ⇒ C monoton növekedő függvény.

010

3)( >=′′x

xC minden ] ]1000;0∈x esetén ⇒ C konvex függvény.

Abszolút minimuma: 2)0( =C , abszolút maximum nincs.

[ [2104000;2 +=fR

M 94. ábra

b) A határköltség: 610053)100( ==′C , ami azt mutatja meg, hogy ha 100 db helyett

101 db terméket állítanak elő, akkor közelítőleg 6 euróval nő a költség.

c) A) (%)94,32100)100(

)100()121(≈⋅

−C

CC , 57,121

94,32,(%)21100100

100121≈=⋅

−

Tehát: ha %1 -kal több terméket állítanak elő, akkor átlagosan %57,1 -kal nő a költség.

B) (%)29,15100)100(

)100()110(=⋅

−C

CC , 529,110

29,15,(%)10100100

100110==⋅

−

Az elaszticitás:


112

(%)493,1)100(

100)100()100( ≈⋅′=C

CEC , ami azt mutatja meg, hogy ha 100 db

helyett %1 -kal több terméket állítanak elő, akkor közelítőleg %493,1 -kal nő a költség.

165. a) A határkereslet: 235,19

300)9(5

−≈−=′D

b) 23

200300

200300

)()()(

23

23

23

25

−=⋅−=

⋅

⋅⋅−=⋅′=−

−

−

−

p

p

p

pppD

ppDpED ;

az elaszticitás független p-től, ezért (%)5,1)9( −=DE Tehát: ha a termék árát 9 -ről %1 -kal növeljük, akkor közelítőleg %5,1 -kal csökken a kereslet. A pontos számítás:

%48,1100407,7

407,72977,7100)9(

)9()09,9(−≈⋅

−≈⋅

−D

DD .

166. Az f függvény elaszticitásfüggvénye:

0)()(

)()( ≠⋅′= xfxf

xxfxE f .

a) { } 10)4(,0,105

50)( 109 =−==−

−= ffEf EDDxxxxE

b) 3)4(,326)(

3

4 −=−=⋅−= ff E

x

xx

xE

c) { }21)4(,0,

21

21)( =−==⋅= ffEf EDD

xx

xxE .

d) { } 110

110 )4(,0,)(

1

1 bEDDbxbxxbbxE ffEb

bf =−==⋅= −

167. a) 8,0)10(,25,

522)( =

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧−−=

+= ffEf EDD

xxxE

b) { } 4,10)10(,2,410

)4()4(10)( 2

2

5242 ≈±−=

−−=

−⋅−−= ffEf EDD

xx

xxxxxE

c) 667,0)10(,280

4)280(5)280(

20)( 23 =

−=−⋅⋅

−= ff E

xxxx

xxE

d) { } 83,0)10(,4,)123(2

31231232

3)( ≈−=−

=−−

⋅−

−= ffEf EDDx

xxx

xxE

e) 5,2)10(,44

1)(4

10

410

−=−=⋅−=−

−

fx

x

f Ex

e

xexE

f) { } 1,1)10(,0,102

102

1025)102(

510)( 2 ≈−=−

=

−

⋅−

= ffEf EDDx

xxx

xxE


113

168. A téglalap oldalainak hosszát jelölje x és y. Ekkor a kerület: yxK += 2 .

A téglalap területe: xy=0005 , innen x

y 0005= .

Így feladatunk a

0,00052)( >+= xx

xxK

függvény abszolút minimumhelyének a meghatározása.

)50(50000052)( 2 KDxx

xK ∉−=⇔=−=′ .

300010)(x

xK =′′

⇒>′′ 0)50(K a K függvénynek lokális és egyben abszolút minimumhelye: 50=x . Tehát a téglalap oldalainak hossza: 50 m és 100 m. 169.

M 95. ábra Az M95. ábra jelöléseivel a hasáb felszíne: xyxF 42 += .

A hasáb térfogata: 322 =yx , ahonnan 232x

y = .

Az

x

xx

xxxF 128324)( 22

2 +=⋅+= , x<0

függvény abszolút minimumhelyét keressük.

⇔=−=′ 01282)( 2xxxF ha 4=x .

32562)(x

xF +=′′ (4) 0F ′′ > ⇒ Az F függvénynek az 4=x helyen lokális és egyben

abszolút minimuma van. Tehát a medence hossza és szélessége 4 m, a mélysége 2 m. 170. Az 22

22

1 )(...)()()( nxxxxxxxf −++−+−= függvény abszolút minimumhelyét kell meghatározni. ⇔=−−−−=−++−+−=′ 02...222)(2...)(2)(2)( 2121 nn xxxnxxxxxxxxf ha

n

xxxx n+++=

...21 .

nxf 2)( =′′ ⇒>⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++′′ 0...1

nxxf n Az f függvénynek az

nxxx n++

=...1 helyen

lokális és egyben abszolút minimuma van.


114

171. Jelölje x a zuhanykarok számát. Ekkor az

154003)( ⋅+=x

xxf , 4000 << x

függvény abszolút minimumhelyét keressük.

4520000)(,60003)( 2 ≈=⇔=′−=′ xxfx

xf )2000( fD∉−

⇒>′′=′′ 0)2000(,00012)( 3 fx

xf f-nek lokális és egyben abszolút minimuma van az

2000=x helyen. Tehát 45 zuhanykar elhelyezése gazdaságos. 172. 1000=Q (egység) 173. a) 66,178 kg/ha b) 100 kg/ha

174. Jelöljük x-szel a hajóút hosszát. A hajóút vx napig tart, tehát a hajózás költségét a

sebesség függvényében a következő függvény adja meg:

állandó)0()( 23 >+=+= kkxvavxkv

vxa

vxvC

E függvény a minimumát a 32kav = helyen veszi fel.

175. a) A határkereslet: 3)6(,3)( −=′−=′ DpD Az árbevétel függvény: pppDppR 423)()( 2 +−=⋅= Határbevétel: 426)( +−=′ ppR , 6)6( =′R

b) Az R függvény maximuma 7=p Ft-nál van, a maximum értéke: 147)7( =R Ft, ekkor a kereslet: 21)7( =D kg. c) Kereslet árelaszticitás függvény:

75,0)6(,423

3)(

)()( −=+−

−=⋅′= DD Ep

ppD

ppDpE

Tehát: ha az egységárat 6 Ft-ról %1 -kal növeljük, akkor a kereslet közelítőleg %75,0 - kal csökken. 176. a) Az árbevételfüggvény:

)()( xfxxR ⋅= , azaz 0,)( 410

>⋅=−

xexxRx

. E függvény abszolút maximuma az 50=x (egységnél) van.

b) 5,2)10(,44

1)(4

10

410

−=−=⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=

−

−

fx

x

f Ex

e

xexE

Tehát: ha a termék árát 10 -ről %1 -kal megemeljük, akkor közelítőleg %5,2 -kal csökken a kereslet. 177. a) 2,316≈x (egység) b) 200=x (egység) 178. 00010=x (egység)


115

179.▲ Tekintsük az M96. ábrát!

M 96. ábra

Az átlagos raktárkészlet: 2rc + .

Ha egy periódus t napból áll, akkor az egy periódusra jutó költséget az alábbi függvény adja meg:

trctk ⋅⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ 1,0

2100:

Egy év alatt a készletezések száma: t

300 . Mivel ,1500300rt

= innen 5rt = .

Tehát az egy évre jutó költséget a következő függvény adja meg:

rcrr

rrcrK 153000015015005

1,02

100: ++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅⋅⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++ .

E költségfüggvénynek minimuma van, ha 100=r db, a raktárat 20 naponként kell feltölteni. 180. 100=x (egység) 181. a) A profit 3000 db termék esetén maximális.

Ekkor a havi bevétel: 21)3( =R millió Ft.

b) Elaszticitással közelítve:

34)2( =RE .

Tehát: ha a termelt mennyiséget 2000 darabról %1 -kal növeljük, akkor a bevétel kb. %33,1 -kal növekszik.


182. Az a) állítás hamis ( 0=x inflexiós pont); a b) állítás igaz. 183. Mindkét állítás hamis.


116

184. a)

M 97. ábra b) 0,1470423,0)( 2 ≥+−=′ xxxxC . 750)20( =′C , 30)60( =′C . c) 236,0)20( ≈CE , 015,0)60( ≈cE . 185. a) Az árbevétel függvény: 802,0)( +−⋅= peppR E függvény maximuma a 50=p (egység)-nél van. 7)50( eD = (egység)

b) pe

pepE pp

D 02,002,0)( 802,0802,0 −=⋅⋅−= +−

+− , 8,0)40( −=DE

Tehát: ha az árat 40 egységről %1 -kal növeljük, akkor a kereslet körülbelül %8,0 -kal csökken. 186. a) Jelöljük R-rel az árbevételfüggvényt az eladott mennyiség függvényében: 0,1471602)()()( 2 ≥−+−=+= xxxxCxxR π . E függvény az 40=x helyen veszi fel a maximumát. b) Határköltség: 40)( =′ xC 40)20( =′C Határbevétel: 1604)( +−=′ xxR , 80)20( =′R Határprofit: 1204)( +−=′ xxπ , 40)20( =′π

6.6. Ellenőrző kérdések és feladatok

1. a) Nem igaz. Pl. az x

xxf 9)( += függvénynek lokális maximuma van az 3−=x helyen,

abszolút maximuma viszont nincs (a függvény felülről nem korlátos). b) Igaz, mert az abszolút maximumhely egyben lokális maximumhely is. c) Nem igaz. Pl. az 3)( xxf = függvénynek az 0=x helyen nincs lokális szélsőértéke, de az

érintője itt az x tengely. d) Nem igaz; ugyanis nem biztos, hogy f differenciálható az 0x pontban. (Gondoljunk pl. az

xxf =)( függvényre az 0=x helyen.)

e) Nem igaz. Pl. az 4)( xxf = függvénynek az 0=x helyen lokális minimuma van, de 0)0()0( =′′=′ ff .


117

f) Nem igaz, ugyanis 0)( =′ xf is lehetséges. Pl. az 3)( xxf = függvény szigorúan monoton növekedő és .0)0( =′f

g) Igaz. (Lásd TK. 6.3. tétel b) részét.) h) Nem igaz. Pl. az 4)( xxf = függvény esetén ,0)0( =′′f az 0=x hely mégsem inflexiós

pontja a függvénynek. i) Igaz. (Lásd TK. 6.9. tétel b) részét.) j) Igaz; ugyanis ha 0x póluspont, akkor definíció szerint ∞=)(lim

0

xfx

, ami azt jelenti,

hogy az 0xx = egyenletű egyenes az f függvény grafikonjának függőleges aszimptotája. (TK. 170. old.)

2. 7 ;2fD ⎡ ⎡= − ∞⎢ ⎢⎣ ⎣

, 72

63)(++

=′x

xxf , ∞=∞

)(lim xf .

227

−<<− x 2−=x 2−>x

:f ′ – 0 +

:f l. min.

33)2( −=−f

M45. táblázat A fentiek figyelembe vételével adódik, hogy a B válasz a helyes.

3. 3

23

)3(9)(

−−

=′x

xxxf , 4)3(54)(−

=′′x

xxf

0)0( =′f , 0)0( =′′f .

0<x 0=x 30 << x

:f ′ + 0 +

:f ′′ – 0 +

:f infl. pont

M46. táblázat

A táblázatból leolvasható, hogy a C válasz a helyes.


118

4. 32

3

22

2

)1(312)(,

)1(66)(

+−

⋅=′′+−

=′x

xxxfxxxf

3−<x 3−=x 03 <<− x 0=x 30 << x 3=x 3>x

:f ′′ + 0 – 0 + 0 –

f infl. pont

infl. pont infl.

pont

M47. táblázat A táblázat alapján az A válasz a helyes.

5. )ln1(2)(,ln2)( 2 xx

xfx

xxf −=′′=′

10 << x 1=x ex <<1 ex = ex >

:f ′ – 0 + :f ′′ + 0 –

l. min. 0)1( =f

:f

infl. pont

M48. táblázat A táblázat alapján igaz: a b) c) és e) állítás, illetve hamis: az a) és d) állítás.

6. Árbevétel: ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

⋅+=⋅=1

50500)()(x

exxfxxF

0)(,50

1)(1

50 =′⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −⋅=′

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−

xFxexFx

, ha 50=x .

0>′F , ha 5020 << x és 0<′F , ha 11050 << x , így 50=x lokális és abszolút maximumhely. A maximális árbevétel: 550)50( =F (ezer Ft), ezért az A válasz a helyes. 7. Az elaszticitásfüggvény:

x

xxE f 3212)(−

−= , így 6,41360)5( ≈=fE .

Az elaszticitás definíciója szerint a C válasz a helyes.

7. HATÁROZATLAN INTEGRÁL

7.1. Primitív függvény, határozatlan integrál

187. a) e) Cxdx +=∫ 77 ∫ += Cxdxx 2023

203

2320

b) f) Cxdxx +=∫ 656 Cxdxx

++=+∫ 7ln

71

c) ∫ +−

=−

− Cxdxx3

34 g) Cdx xx +=⋅⋅∫ 88ln8

d) ∫ += Cxdxx2

2

, 0≠x h) Cedxex

x +=∫ 2

22

188. a) Van. A primitív függvények az alábbi formában adhatók meg:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤+=

0ha,

0ha,)(

4

2

xCx

xCxxF

Hangsúlyozzuk, hogy C bármilyen valós számot jelenthet, de a és ] ]0;∞− ] [∞;0 intervallumokban e konstansok értéke egyenlő kell hogy legyen, különben nem lenne folytonos az F függvény az helyen. 0=xb) Nincs. Nyilvánvaló ugyanis, hogy ha létezne primitív függvény, akkor az csak ilyen alakú lehetne:

⎪⎩

⎪⎨⎧

>+

≤+=

0ha,

0ha,)(

2

12

xCe

xCxxF

x

hiszen és xCx 2)( 12 =′+ xx eCe =′+ )( 2 .

Azonban nincsenek olyan , konstansok, amelyek esetén F differenciálható lenne az helyen, mert F folytonossága miatt

1C 2C0=x

21 1 CC += lenne, de 0)0(1)0( =′≠=′ −+ FF . 189. Azt kell megvizsgálni, hogy az F függvény differenciálható függvény-e.

a) F differenciálható függvény (az 2=x helyen is) ⇒ lehet primitív függvény. b) F nem differenciálható az 1=x helyen ( 1−=x -nél differenciálható) nem lehet primitív függvény. ⇒

119


c) A függvény nyilvánvalóan differenciálható az ] [2;1 és intervallumokban, de a csatlakozási pontban – az

] [∞;22=x helyen – nem

differenciálható; ugyanis

3)2(2ln2

1)2( −=′≠=′ +− FF .

Tehát F nem lehet primitív függvény. d) F nem differenciálható (nem is folytonos) az 1=x helyen nem lehet primitív függvény.

⇒

7.2. Alapintegrálok. Egyszerű integrálási módszerek

190. a) ∫ ∫ ∫ +⋅+=+=+ Cxxdxxdxdxx6

210210)210(6

55

b) =++−=+− ∫∫∫ Cxxxdxxdxxdxx4

47

38

2432478

367

Cxxx++−= 4

78

73

4

c) =+−−

+−=−+−−2

−− ∫∫∫∫ Cxxxxdxxdxxdxxdx

533

39

773971

53

37546

Cxxxx +−−−= − 53

37 53

d) Cexxxdxedxx

dxxdxx xx +−+−

−−

=−+−−−

−− ∫∫∫∫ 3ln33

26

313236

47

e) A számlálót tagonként elosztjuk a nevezővel, majd tagonként integrálunk.

∫ =++−⋅=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅

−Cxxxdxxxx

23

8

45

21

38323

45

21

21

41

21

Cxxx ++−= 23

45

21

316

5432

f) -nal egyszerűsítünk, elvégezzük a négyzetre emelést, majd a számlálót tagonként elosztjuk a nevezővel és tagonként integrálunk:

3x

2

3 2 3

4 4 1 1 1 1 1 1 1ln4 4

x x dx dx x Cx x x x x

− + ⎛ ⎞= − + ⋅ = + − +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ ∫ 28x

g) Cxexdxexx

x +++=++∫ 25

24

4ln4

5)4(

120


h) 2

2 2

3 1 133 l

x xx

x

x dx dx Cx x x

−

−

+ ⎛ ⎞ 3n3

= + = − + +⎜ ⎟⋅ ⎝ ⎠∫ ∫

191. a) CxxxF ++=3

2)(3

, 2)0( == CF , tehát 23

2)(3

++= xxxF .

Hasonlóan az a) ponthoz adódik:

b) 22

5)(2

+=xxF

c) 3ln

123ln

3)( −+=x

xF

d) 24

)2()(4

−+

=xxF

e) 1ln)( +−= exxF , ha ex <

f) 34)1(

32)( 3 ++= xxF

192. a) ∫ ++

=+⋅+

=+ CxCxdxx88

)58(118

)58()58(1111

10

b) C

x

C

x

dxx+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=+⋅

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +∫ 50

21

10021

21

21

100100

99

c) ∫ +−

=+−−

−=−

−−− CxCxdxx

15)52(

)3()5()52()52(

334

d) ∫ +−⋅−=+⋅−

−=− CxCxdxx 2

323

21

)76(212

237

)76()76(

e) ∫ ++=+−

Cxdxx 32

31

)14(83)14(

f) ∫ +−=+⋅

−=−

−CxCxdxx 5

353

52

)12(25

532

)12(3)12(3

g) ∫ +−

=+−

+− Cedxex

x

2

3232

h) ∫ +⋅

= Cdxx

x

10ln31010

33

121


i) ∫ +−−

=−

Cx

dxx 4

43ln43

1

j) ln 2 12 (2 1) 1 11

2 1 2 1 2 1 2xx xdx dx dx x C

x x x−− + ⎛ ⎞= = + = + +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫

193. a) ∫ ∫ ++

⋅=⋅+=+ Cxdxxxdxxx11

)58(16116)58(

161)58(

112102102

b) Cxxxdxxxxxx +++

⋅=++⋅++∫ 4)632(

61)666()632(

61 423

2323

c) ∫ +−−

=−−−

− Cxxdxxxx3

)5()5()25(32

42

d) ∫ ++=++

=+ CxCxdxxx 611

56

115

65

54 )3(556

611

)3(51)3(5

51

e) ∫ ++=++−

Cxedxxee xxx 52

53

)(25)()1(

f) Cdx xxx +−−=−−−−

∫ 32

31

)38(3ln2

3)38()3(ln33ln

1

g) ∫ += Cxdxxx 4

ln)(ln1 43

h) Cxdxxx

++

=+∫ 2)log2()2(ln)log2(

2ln1)2(ln

22

2

194. a) ∫ ++=+

Cxdxx

67ln67

6

b) ∫ ++=++=+

CxCxdxx

x )58ln(58ln58

16 222

c) ∫∫ +−=−−

=−− Cxxdx

xxxdx

xxx 6ln

21

662

21

)6(3 2

2

d) ∫ ∫ +−+=−+

−=

−+− Cxxdx

xxxxdx

xxxx 62

62

5

62

5

32ln21

32182

21

329

e) ∫ ∫ +−−=−

−−=

−Cdxdx x

x

x

x

x

73ln7ln

173

7ln77ln

173

7

f) ∫ ∫ +−=−−

=−− Cxedx

xeedx

xee x

x

x

x

x

3ln31

333

31

31 3

3

3

3

3

122


g) ∫ ∫ ++=+

=+

Cxdxx

xdxxx 2

22

log2ln)2(lnlog2

2ln1

)2(ln)log2(

1

h▲) ∫ ∫ ∫ ∫ +==== Cxdxx

xdxxx

dxxxdx

xx lnln)5(ln

ln

1

)5(lnln

5lnln5ln

5log

195. a) ∫ +=⋅ Cedxxe xx 33 23

b) ∫ ∫ +=⋅=⋅ Cdxxdxxx

xx

4ln2442

214

222

c) Cdxxxx

xx +=−−

−∫ 5ln55)32(

33

22

d) Cedxexx xxxxxx +=++ ++++∫ 2342344 2424

21)2616(

21

e) ∫ ++=+ Cdx xxx 67

61

)37(7ln7

6)37()7(ln77ln

1

f) ∫ ∫ +−=−−= Cdxx

dxx

xx

x

3ln3

2132

213 2

22

11

33

1

g) ∫ +−=+−=⋅ −− Cx

Cxdxxx ln

1)(ln)(ln1 12

h) Cxdxxx

+−

=−∫ 4)5(log)3(ln)5(log

3ln1)3(ln

433

3

7.3. Integrálás helyettesítéssel

196. a) ∫ ∫ +=+==

=

=

=

= CeCedte

dxxdt

xdxdt

xt

dxxe xttx 33

2

2

3

2

3

33

b) ∫ ∫ +=+==

=

=

=

=⋅ CCdt

dxxdt

xdxdt

xt

dxxxt

tx

4ln24

4ln4

21

24

2

242

2

2

123


c) ∫∫ +=+==

−=

−=

−=

=−−

− CCdt

dxxdt

xdxdt

xxt

dxxxxt

txx

5ln5

5ln55

)32(

32

3

5)32(3

2

32

2

d) ∫ =

++=

++=

++=

=++ ++

dxxxdt

xxdxdt

xxxt

dxexx xxx

)268(2

2616

234

)138(

3

3

24

2343 24

CeCedte xxxtt +=+== ++∫ 234 24

21

21

2

e) ∫ ∫ =+⋅⋅==

=

=

+=

=+⋅ Ctdtt

dxdtdxdtt

dx

x

x

x

xx 67

61

76

7ln1

7ln

77ln

7ln7

37

)37(7 61

Cx ++= 67

)37(7ln7

6

f) ∫∫ +−=+−=−

=

=−

−=

=

= CCdt

xdxdtxdx

dtx

t

dxx

xtt

x

3ln233

3ln21

23

2

2

1

3 221

3

3

2

3

1

g) ∫∫ +−=+−==

=

=

=

=⋅

− Cx

Ct

dtt

dxx

dt

xdxdt

xt

dxxx

dxln11

1

1ln

ln2

2

124


h) ∫∫ =+==

=

=

−=

=− Ctdtt

xdxdt

xdxdt

xt

dxxx

4)3(ln)3(ln

)3(ln

3ln1

5log)5(log 4

3

33

3

Cx

+−

=4

)5(log)3(ln

43

197. a) ∫ ∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=

−⋅

−=

−=

−=

−=

−=

=−− −

dtttdtt

t

dtdx

dtdx

tx

xt

dxx

x 31

32

3372

31

327

31

31

34

34

3416

CxxCtt +−−−=+⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= 3

235

32

35

)34(27)34(

52

221

56

31

b) ∫ ∫∫ =−

=−

=

=

=

−=

+=

=+

dtt

tdt

t

t

dtdx

dtdx

tx

xt

dxx

x333

63251

5

)2(53

5

515

225

)25(

3

1 3 1 12 2 2 21 13 6 6 12

25 25t t dt t t C− − −⎛ ⎞ ⎛ ⎞

= − = + +⎜ ⎟ ⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎝ ⎠∫ =

Cxx +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+++=

−21

21

)25(12)25(6251

c) ∫ ∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−⋅=−−=

−=

−=

−=−=

=−⋅ dtttdttt

dtdxdtdx

txxt

dxxx 51

56

55 123)312(1

44

43

125


CxxCtt +−⋅−−⋅=+⋅−⋅= 56

511

56

511

)4(10)4(111510

1115

d) ∫ ∫∫ =−

=−−

=

=

=

−=

+=

=+− dt

ttdt

t

t

dtdx

dxdt

tx

xt

dxxx 133

41

2

5)1(23

2

2

2112

1253

[ ] CxxCttdtt

++−+=+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −= ∫ 12ln13)12(3

41)ln133(

41133

41

e) ∫ ∫ ∫∫ =+−+

=+

=+

=

=

=

=

=+ − dt

ttdt

tt

tdt

t

t

tdtdx

edxdt

et

dxe

e x

x

x

x

11)1(

1111

∫ ++−=++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+− CeeCttdt

txx )1ln(1ln

111

f) ∫ ∫ ∫∫ =+−+

=+

=+

=

=

=

−=

+=

+=

=++

dtt

tdtt

tdttt

dttdx

tdtdx

tx

xt

xt

dxx 1

1)1(21

221

1

2

2

1

1

1

111 2

2

CxxCttdtt

+++−+=++−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

+−= ∫ )11ln(212)1ln(2

1112

7.4. Parciális integrálás 198. a) xxf =)( , xexg 22)( =′

1)( =′ xf , xexg 2)( =

Cexedxexedxxex

xxxx +−=−= ∫∫ 22

22222

126


b) 24)( += xxf , xexg −=′ )(

4)( =′ xf , xexg −−=)(

Ceexdxeexdxex xxxxx +−+−=++−=⋅+ −−−−− ∫∫ 4)24(4)24()24(

c) xxf =)( , 4

41)(

x

exg =′

1)( =′ xf , 4)(x

exg =

Cexedxexedxex xxxxx

+−=−= ∫∫ 44444 44

d) 310)( −= xxf , 15)( +=′ xexg

10)( =′ xf , 5

)(15 +

=xexg

∫∫ =−−=− ++

+ dxeexdxex xx

x 1515

15 25

)310()310(

Cex xx

+−−= ++

1515

52

53)310(

e) xxf 5)( = , xxg 2)( =′

5)( =′ xf , 2ln

2)(x

xg =

Cxdxxdxxxxxx

x +−=−=⋅ ∫∫ 2ln25

2ln25

2ln25

2ln2525 2

f) 23)( −= xxf , xxg 4)( =′

3)( =′ xf , 4ln

4)(x

xg =

Cxdxxdxxxxxx

x +−−=−−=− ∫∫ 4ln43

4ln4)23(

4ln43

4ln4)23(4)23( 2

g) , 3)( 2 ++= xxxf 2)(x

exg =′

12)( +=′ xxf , 22)(x

exg =

∫∫ =+−++=++ dxexexxdxexxxxx22222 2)12()3(2)3(

12)( += xxf , 22)(x

exg =′

2)( =′ xf , 24)(x

exg =

127


∫ =++−++= dxeexexxxxx2222 8)12(4)3(2

Ceexexxxxx

+++−++= 2222 16)12(4)3(2

h) , 2)( xxf = xxg −=′ 12)(

xxf 2)( =′ , 2ln

2)(1 x

xg−

−=

∫∫ =+⋅

−=−−

− dxxxdxxxx

x

2ln22

2ln22

11212

xxf 2)( = , 2ln

2)(1 x

xg−

=′

2)( =′ xf , 2ln

2)( 2

1 x

xg−

−=

Cxxdxxx xxxx

xx

+⋅

−−−=+−⋅

−=−−−

−−−

∫ 2ln22

2ln22

2ln22

2ln2

2ln22

2ln2

3

1

2

1121

22

112

199. a) xxf ln)( = , 2)( xxg =′

x

xf 1)( =′ , 3

)(3xxg =

∫ ∫ +−=−= Cxxxdxxxxdxxx9

ln33

ln3

ln3323

2

b) xxf ln)( = , 3

1)(x

xg =′

x

xf 1)( =′ , 32

23)( xxg =

Cxxxdxxxxdxxx

+−⋅=−= ∫∫− 3 23 23

132

3 49ln

23

23ln

23ln

c) xxf 2ln)( = , xxg =′ )(

221)( ⋅=′x

xf , 23

32)( xxg =

∫ ∫ +−=−= Cxxxdxxxxdxxx 3321

3

942ln

32

322ln

322ln

d) xxf 8ln)( = , 21)(x

xg =′

881)( ⋅=′x

xf , x

xg 1)( −=

128


∫ ∫ +−−=+−= Cxx

xdxxx

xdxx

x 18ln18ln8ln22

e) , xxf 2ln)( = 1)( =′ xg

x

xxf ln2)( =′ , xxg =)(

∫ ∫ =−=⋅ dxxxxdxx ln2lnln1 22

xxf ln)( = , 2)( =′ xg

x

xf 1)( =′ , xxg 2)( =

∫ ++−=+−= Cxxxxxdxxxxx 2ln2ln2ln2ln 22

f) xxf 3log)( = , 1)( =′ xg

3ln

1)(x

xf =′ , xxg =)(

Cxxxdxxxdxx +−=−=⋅∫ ∫ 3lnlog

3lnloglog1 333

g) xxf lg)( = , 31)(x

xg =′

10ln

1)(x

xf =′ , 221)(x

xg −=

Cxx

xdxxxxdx

xx

+−−=+−=∫ ∫ −22

323 )10(ln4

12lg

10ln21

2lglg

h) )5(log)( 2 xxf −= , 7)( xxg =′

2ln

1)5(2ln5

1)(xx

xf =−⋅−

=′ , 8

)(8xxg =

∫ ∫ =−−=− dxxxxdxxx2ln8

)5(log8

)5(log7

2

8

27

Cxxx+−−=

2ln64)5(log

8

8

2

8

7.5.* Trigonometrikus függvények határozatlan integrálja 200. Van. A primitív függvények ilyen alakban adhatók meg:

⎪⎩

⎪⎨⎧

≤+

<<+=

,0ha,2

0ha,tg)(

xCx

xCxxF

π

129


ahol C bármilyen valós szám lehet. A két intervallumban

] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛∞⎢⎣

⎡⎥⎦⎤ 0;-és

2;0 π ] azonban a C értéke mindig egyenlő kell,

hogy legyen (különben F nem lenne folytonos az 0=x helyen, és így nem is lenne differenciálható).

201. a) ∫∫∫ +++−=−++ Cxxxdxx

dxxdxx ctgsin41cos

41

sin1cos

41sin

41

2

b) ∫ ∫∫ +−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

−= Cxxdx

xdx

xxdx

xx ctg1

sin1

sinsin1

sincos

22

2

2

2

c) ∫ +−

⋅−=− Cxdxx

324cos

43

324sin

d) ∫ ++⋅=+

Cxdxx

)23(tg34

)23(cos4

2

e) Alkalmazzuk a 2

2cos1sin 2 xx −= azonosságot!

Cxxdxxdxdxxdxx +−=−=−

= ∫ ∫∫ ∫ 42sin

22cos

21

21

22cos1sin 2

f) CxCxdxxx +−=+⋅−=⋅−

∫ 545

4

51

)(cos25

54

)(cos2)(cos)(sin2

g) ∫ ∫ +== Cxdxxxdxx sinln

sincosctg

h) ∫ ∫ +−−=−=− Cxdxxx

dxxx

)1(cos4)1sin(2

14)1sin(2

202. a) ctg ctg2 2

2

ctg1 1

sin sin(sin )

x t

t xdte dx e dt e C e

x dx xdx x dt

=

= = − = − = − + = − +

= −

∫ ∫ t x C

b▲) ∫∫ =⋅−=

⋅=

=

=

=

=− tdtt

tdtdx

tdtdx

tx

tx

dxx cos2)sin2(4

cos2

cos2

sin2

sin2

4 22

130


=+

=⋅=⋅−= ∫ ∫∫ dtttdttdtt2

2cos14cos4cos2sin12 22

1 cos24 2 s2 2

t dt t t C⎛ ⎞= + = + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫ in 2

Itt az eredeti x változóra nem térhetünk vissza, mivel az egyenlőségből az eddigi ismereteink alapján nem tudjuk t-t kifejezni.

tx sin2=

203. a) xxf 27)( −= , 4

cos)( xxg =′

2)( −=′ xf , 4

sin4)( xxg =

∫ ∫ =+−=− dxxxxdxxx4

sin84

sin)27(44

cos)27(

Cxxx +−−=4

cos324

sin)27(4

b) , 22)( xxxf −= xxg cos)( =′ xxf 22)( −=′ , xxg sin)( =

∫∫ =−−−=− dxxxxxxdxxxx sin)22(sin)2(cos)2( 22

xxf 22)( −= , xxg sin)( =′ 2)( −=′ xf , xxg cos)( −=

∫ =+−+−= dxxxxxxx cos2cos)22(sin)2( 2

Cxxxxxx ++−+−= sin2cos)22(sin)2( 2

c) , xxf 3)( = xxg sin)( =′

, 3ln3)( xxf =′ xxg cos)( −=

=+−=∫ ∫ dxxxdxx xxx cos)3(ln3cos3sin3

, 3ln3)( xxf = xxg cos)( =′

, 3ln3)( 2xxf =′ xxg sin)( =

dxxxx xxx ∫−+−= sin)3(ln3sin)3(ln3cos3 2

[ ] Cxxdxx xxx ++−+

=∫ sin)3(ln3cos33ln1

1sin3 2

d) x

xf 2cos1)( = ,

xxg 2cos

1)( =′

xxxf 3cos

sin2)( =′ , xxxxg

cossintg)( ==

131


=−

−=−=⋅∫ ∫ ∫ dxx

xx

xdxxx

xxdx

xx 4

2

24

2

222 coscos12

costg

cossin2

costg

cos1

cos1

∫ ∫+−= dxxx

dxx

x242 cos

12cos

2cos

tg

Innen átrendezéssel kapjuk:

∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += Cx

xx

xdx tgtg 2

cos31

cos 24

7.6. Vegyes feladatok 204. Lehet, ha 21 CC = . Ekkor ugyanis F folytonos és differenciálható az értelmezési tartomány minden pontjában.

205. A primitív függvények: CxxxF ++=2

39

4)(29

.

Mivel 1)0( == CF , ezért a ponton átmenő primitív függvény:

)1;0(

12

39

4)(29

++=xxxF .

206. a) Cxdxxx

dxxx

+=⋅=∫ ∫ 2lnln1ln 2

b) ∫ +−−

+−

=−+−

− Cxdxxx

x

8)25(

3ln23))25(3(

425325

207. a) Cdxxx

xx ++−

=+−−

−−∫ 4ln24

3ln23)43(

322322

b)

33 4 3 41 34 4 ln

4

x

xx x

x dx dx x C

⎛ ⎞⎜ ⎟⎡ ⎤+ ⎛ ⎞ ⎝ ⎠= + = + +⎢ ⎥⎜ ⎟

⎝ ⎠⎢ ⎥⎣ ⎦∫ ∫

c) ∫ ∫ +⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

=

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛+

⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

Cdxdxx

x

x

x

x

134ln

34ln

1

341

34ln

34

34ln

1

341

34

d) ∫ ∫ +−=−=−

−Cxdxxxdx

x

x 21

221

2

2)35(

52)35(10

51

35

2

132


e) 1 12 2

5 3

5 2 ( 3)2 25 35 255 3

53

5

t xdt

tdxx dtdx t t dtdtdxx t

tx

−

= −

=+ ⎛ ⎞

= = = +⎜ ⎟=− ⎝ ⎠

+=

∫ ∫ ∫ =

CxxCtt+−+−=+

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+= 21

232

123

)35(2512)35(

754

21

3

2325

2

f) ∫ ∫ +−=−

=−

Cxdxx

xdxx

x 35ln51

3510

51

352 2

22

g) ∫ ∫ =+−−=−⋅− dxxxxxdxxx )10440()4()10( 333

1 7 3 9

3 42 2 2 220 240 4 10 403 9

x x x dx x x x x C⎛ ⎞

= − − + = − − + +⎜ ⎟⎝ ⎠∫

h) ∫ ∫ +−=−−= −−− Cedxxedxxe xxx 222

212

21

i) ∫ ∫ ∫ =+−−=+−= −−−−−− dxexeexdxxeexdxex xxxxxx 222 222

(Kétszer parciálisan integráltunk.) Cexeex xxx +−−= −−− 222

j) Tagonként integrálunk; az első tagnál a parciális integrálás módszerét alkalmazzuk.

( )∫ ∫ =+−=+ dxxdxxdxxx xxx

xx 2252

21

5ln5

5ln555 ∫

Cxxxx

+⋅+−=5ln

521

5ln5

5ln5

2

2

k) 5 2 (5 15) 17 1753 3 3

x xdx dx dxx x x+ − + ⎛ ⎞= = +⎜ ⎟− − −⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =

Cxx +−⋅+= 3ln175 l) A feladatot megoldatjuk a parciális integrálás módszerével vagy helyettesítéssel. Helyettesítéssel:

∫ ∫ ∫ ∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

+−=

−

=−=+=

=+

−dttttdt

tttdt

tt

dtdxtx

xtdx

xx 2

121

23222

212)1(11

1

133

CxxxCttt ++++−+=++−= 21

23

25

21

23

35

)1(2)1(34)1(

522

34

52


m) ∫ ∫ ∫ =+=+ dxxxdx

xxdx

xxxxx lglglglg

2

3

Cxxxxdxxxxx+−+=−+= ∫ 10ln4

lg22

lg)10(ln10ln2

lg22

lg)10(ln22222

n) ∫ ∫ ===

−=

−=

−=

=−− dttdtt

xdtdx

xdxdt

xxt

dxxxx ln21

2ln

)1(2

22

2

)2ln()1(

2

2 ∫

CxxxxxxCttt +−−−⋅−=+−= )2(21)2ln()2(

21)ln(

21 222

A helyettesítés után parciálisan integráltunk.

7.7. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Nem igaz. Pl. a 188/c feladatban szereplő f függvénynek nincs primitív függvénye.

b) Nem igaz; ugyanis léteznek nem differenciálható függvények. Pl. Az xxF =)( , R∈x függvény nem tekinthető egyetlen függvény primitív függvényének sem, mert az 0=x helyen nem differenciálható. c) Nem igaz. A primitív függvények végtelen sokan vannak, de nem megszámlálhatóan végtelen sokan. Csak konstansban térnek el egymástól, ahol a konstans tetszőleges valós számot jelent; a valós számok halmaza viszont nem megszámlálható számosságú. d) Igaz. e) Igaz. f) Igaz.

2. a) Igaz. (TK. 7.2. tétel b) része) b) Igaz. (TK. 7.2. tétel következménye) c) Nem igaz. d) Nem igaz.


3,3

103

1))3ln(( >−

=+−

−=′+−− xxx

Cx .

(A C válasz azért nem helyes, mert hiányzik a „C” konstans. Így lenne helyes: Cx +−− 3ln .)

134


4. Az A válasz a helyes.

Az 58

)( xxf = függvény primitív függvényei: CxxF += 513

135)( alakúak.

Mivel 0135)1( =+= CF , ezért

135

−=C adódik.

5. A B válasz a helyes, ugyanis

)()34(040

4)34(10403

40)34()( 9

910

xfxxxxF =+=+⋅+

=′

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

+=′ .


∫∫ +−=−−=−

− −Cxxdxxxxdx

xx

x 21

321

32

3

2

)3(32)3()33(

31

3

1 .

7. Az A válasz a helyes, ugyanis

Cxxxdxxxxdxxx

+−=−=−

∫∫ 210ln2lg2

10ln2lg2lg1 2

1

.

(Parciálisan integráltunk.) 8. A B válasz a helyes, ugyanis

∫ ∫∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

+−=

=

=

−=

+=

=+

+ dttdttt

t

dttdx

tdtdx

tx

xt

dxx

x25

232)3(

23

23

32

3223 2

22

CxxCtt++−+=+−⋅= 32

25)32(

21

25

323 3

3

.

135

8. HATÁROZOTT INTEGRÁL

8.1. Határozott integrál. Newton-Leibniz-formula

136

] 208. a) A [ intervallum osztópontjai: 1;0

1,1...,,2,1,0n

nnn

− .

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +

−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= 112...1221211

nn

nnnsn

[ ] =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

−⋅+=

⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −++++= )222(

2111)1(2...4211 nn

nn

nn

nn

n

( )n

nn

12121−=−=

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +⋅= 12...1221121

nn

nnnSn

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ ++++= )22(

211)2...42(11 nnn

nn

nn

nn

n

nn

12)12(1+=+=

2limlim == nn Ss

[ ] 202)12(1

0

1

02 =−=+=+∫ xxdxx

b) Az [ ]2;1 intervallum osztópontjai:

2,11...,,21,11,1n

nnn

−+++ .

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

nn

nnnsn

11...211111

( ) ( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −+

−⋅+=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+++++= 11

21111...32111 nn

nn

nn

nn

n

n

nnnn 2

112

11 −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −

+=

( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ ++++=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ += n

nn

nnn

nnnSn ...21111...21111

( )n

nnnn

nnn

nn 2

112

1112

11 ++=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +

+=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +⋅+=


23

211limlim =+== nn Ss

23

212

2

2

1

2

1

2

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=∫

xdxx

c) A [ intervallum osztópontjai: ]1;0

1,1...,,2,1,0n

nnn

− .

[ ] =⎭⎬⎫

⎩⎨⎧ −+++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −

++⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++= 222

2

22

22 )1(...21111...2101 n

nnnn

nnnsn

2

2

3 6132

6)12()1(1

nnnnnn

n+−

=−−

=

( ) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +++=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= 222

2

222

...2111...211 nnnn

nnnn

Sn

2

2

3 6132

6)12()1(1

nnnnnn

n++

=++

=

31

62limlim === nn Ss

∫ =−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

1

0

1

0

32

310

31

3xdxx

209. a) ∫ =−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

2

1

2

110ln

9010ln

1010ln

10010ln

1010x

x dx

b) 3

1403215

325)35(

1

0

1

0

23

32 =−+−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=+−∫ xxxdxxx

c) [ ]∫−

−

−

−−=−=−=−−−==

1221

22

220ln1lnln1lnlne

eeex

xdx

d) ∫∫ =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+=

+ −4

1

4

1

21

23

21

214

1

2321 xxdxxxdx

xx

3

202324

3162

3242)4(

32 3 =−−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+=

137


e) ∫ =+=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅−

−=−

3

1

3

3

1

23

21

38

320

232

)26()26( xdxx

f) ∫ ∫− −−

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ +=+=+

1

1

661

1

6252

1

1

52 03

232

6)1(2)1(22)1(4 xdxxxdxxx

g) Parciálisan integrálunk:

xxf =)( , 2)(x

exg−

=′

1)( =′ xf , 22)(x

exg−

−=

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−++−=+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−

−

−

−−

−

−

−

−

∫∫1

1

2211

1

21

2

1

1

21

1

2 42222xxxx

eeedxexedxxe

e

eeeee 664422 21

21

21

21

−=+−+−=−−

h) [ ]∫ −+=+=++1

0

1

02

2 2ln)21ln()2ln(222 eexdxexex x

x

x

i) ∫∫ =+−=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

−=−−=4

1

4

1

11

3

4

1

1

3 9ln12

9ln18

9ln6

9ln929

2

1291 xxx dx

xdx

x

j) ∫ ∫∫ =−

=−

−=

=⇒==⇒−=

−=

−=

−=

−=

=−−

1

9

9

1

1

1

5161

445

1191

4

41

45

45

45dt

ttdt

tt

txtx

dtdx

dtdx

tx

xt

dxx

x

61

32101830

161

3210

1615

161

9

1

23

219

1

21

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

−ttdttt

138


k) ∫∫ =−

=

=

=⇒==

=⇒−=−

=

+=

=+−

−

8

13

5,2

13 2

72

2

85,221

112

323

2314 dt

tt

dtdx

txdtdx

txtx

xt

dxx

x

85,2421

5321

596

221

56

2172

21

8

1

32

358

1

31

32

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−= ∫

−ttdttt

l) Parciálisan integrálunk: xxf ln)( = , 4)( −=′ xxg

x

xf 1)( =′ , 3

)(3

−=

−xxg

=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−+−=+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=⋅ ∫∫ −

eeee

xexdxx

xdxxx

13

134

13

1

4

91

31

3ln

31ln

91

94

91

91

31

333 +−=+−−=eee

210.* a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=∫

− − 6cos6

6cos6

6cos6

6sin πππ

π

π

π

xdxx

06

cos66

cos6 =+−=ππ

b) 53

530)(sin

53cos)(sin

2 2

35

32

−=−=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=∫

π

π

π

πxdxxx

c) [ ] =+−=+−

−=+∫ ∫

2

0

20

2

0

cos52ln54

cos52sin5

54

cos52sin4

ππ

π

xdxx

xdxx

x

27ln

54)7ln2(ln

54

=−−=

d) Parciálisan integrálunk:

[ ]∫ ∫ +⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=−=

3

6

3

6

3

62

sin3

sin3

23sin23sin23cos6

π

π

π

π

π

π

ππππxdxxxdxxx

139


32

32cos

32cos

32

333cos2

3

6

−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡+

πππππ

π

x

211. a) 10)02()80(22

2

0

20

4

22

0

0

4

2

4

=−++=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+−=

−−−∫∫∫

xxdxxdxxdxx

b) 4832802

10)10(108

0

28

0

8

0

=−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=− ∫∫

xxdxxdxx

c) ∫ ∫∫−−

=−+−=−0

1

1

0

221

1

2 )2()2(2 dxxxdxxxdxxx

23111

31

33

1

0

32

0

1

23

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=

−

xxxx

d) [ ] [ ] =−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=− ∫∫∫

3

2

2

1

3

2

2

1

3

1

ln2ln2211221 xxxxdxx

dxx

dxx

3ln22ln4)2ln223ln23()122ln2( −=+−−++−=

212. a) ∫ ∫ ∫− −

=−+−−=2

1

0

1

2

0

2 )12()4()( dxdxxxdxxf x

31

2ln3

2ln12

2ln42

31

2ln22

3

2

0

0

1

23

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=

−

xxx x

b) ∫∫ ∫ ∫ +⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡++⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=+++=

−

−

−−

−

− −

4

1

1

1

21

222

4

2

1

2

1

13 2

314)13(2)( xxx

dxx

dxxdxx

dxxf

( ) 25,4411231

23

4114 4

1=+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+

x

c) 12 1 2 3

2

2 2 1 2

1 2( ) 1 1 ( 1)2 3

f x dx x dx dx xx

−−

− − − −

⎡ ⎤⎛ ⎞= − − + + = − − − +⎜ ⎟ ⎢ ⎥+⎝ ⎠ ⎣ ⎦∫ ∫ ∫

[ ] 4ln3

11)14ln2(322ln

2

1 +=+++=+++−

xx

213. a) Ha ex <≤1 :

[ ] [ ] 1lnln1lnln)(1

111

+−=−=−== ∫∫ xxxtxxdtttdttxGxxx x

140


Ha ex > : [ ] 1ln0ln)(1

1

=−=+= ∫∫e

x

e

e

tttdtdttxG

Összefoglalva:

⎩⎨⎧

><≤+−

=ex

exxxxxG

ha ,11ha ,1ln

)(

b) Ha 01 ≤≤− x : ∫−

==x

dtxG1

00)(

Ha 10 ≤< x : 0 2

2

1 0 0

1 1 1( ) 0 ( )2 4 4 4 4

xx t tG x dt t dt x x−

⎡ ⎤⎛ ⎞= + + = + = +⎢ ⎥⎜ ⎟⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫ ∫

Ha 31 ≤< x : ∫ ∫∫ =+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++= −

−

1

0 1

0

1

2ln241

210)(

xt dtdttdtxG

[ ]212

212

44 1

1

0

2

+−=−+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+= −− x

xttt

Összefoglalva:

⎪⎪⎩

⎪⎪⎨

⎧

≤<−

≤<+

≤≤−

=

− 31ha,21

10ha),(41

01ha,0

)( 2

x

xxx

x

xG

x

8.2. Improprius integrál

214. a) 41

410

41

41lim

4limlim1

41 1

45

15 =+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==∞→

−

∞→

−∞

∞→ ∫∫ bxdxxdx

x b

b b

bb

b) ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

∞→∞→

−∞

∞→ ∫∫ 23

23lim

23limlim1 3 2

1 1

32

31

13

bxdxxdxx b

b b

bb

c) 2

0222

lim2

limlim22221 12

21

2 eeeeedxedxea

aa a

x

a

x

a

x =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡==

−∞→−∞→∞−

−∞→ ∫∫

d) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +⋅=

+ −∞→

−−

∞−−∞→∫ 318ln

9115ln

91lim318ln

182lim

3182 11

axdxx aaa

−∞=∞−= 15ln91

141


e) ( )

( )∫∫∞−

−

−∞→

−

∞−

=

⎥⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢⎢

⎣

⎡

−−

−=−=

−

0

0

21

230

3 21

21

22lim)22(22

a

a

xdxxx

dx

2

102

122

12

1lim =−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

−−=

−∞→ aa

f) =⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛

+−

−=+ ∞→−

−∞

∞→−

−

∫∫b

xb

b

x

x

bx

x

edx

eedx

ee

000

11lnlim1

lim1

( ) 2ln2ln01ln2ln11lnlim =++−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

∞→ bb e

g) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+−

=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=−

∞→

−−∞

∞→

− ∫∫bx

bb

b xbx

b

x ee

bdxeexdxxe0

5

50

5

0

5

0

5

255lim

55lim

251

25100

251

255lim

5

5 =++=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+

−+

−=

−

∞→

b

bb

ee

b

h) =⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⋅−−=⋅

−

∞→

−∞

∞→

− ∫∫b

x

b

bx

b

x dxxdxx1

1

1

1

1

1

3ln3

21lim32

21lim3

222

3ln2

13ln2

103ln2

13ln

321lim

21

=+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅−=

−

∞→

b

b

i) =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−==

∞→

−

∞→

−∞

∞→ ∫∫ 2ln2lim)(ln2lim)(ln1lim

ln

1 21

23

3 bxdxx

xdx

xx b

b

eb

b

eeb

220 =+=

j*) [ ] =+=+=+ ∞→

−∞

∞→ ∫∫b

b

b

bxdxxxdx

xx

00

21

0

2sin2lim)2(sin)(coslim2sin

cos

divergens)222sin2(lim =−+=∞→

bb

215. a) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−==

−

∞→−∞→

∞

∞−

−

∞→−∞→

−

∫ ∫b

a

x

ba

b

a

x

ba

x

edxedxe 222 2limlim

∞=∞+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−

−

−∞→

−

∞→

−−

∞→−∞→

02lim2lim22lim 2222a

a

b

b

ab

ba

eeee

142


b) [ ] =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−= −

→∞−∞→

∞

∞−

−

→∞−∞→

−∫ ∫b

ax

ba

b

a

x

ba

x edxexdxxe222

21lim2

21lim

00021

21lim

22=+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−= −−

∞→−∞→

ab

ba

ee

(Az eredmény nem meglepő, hiszen az integrandus páratlan függvény; ilyenkor a ] [∞∞− ; intervallumban vett improprius integrál konvergencia esetén csak 0 lehet.)

c) [ ] 11202

10)(4

14

4

1

1

=−==++=∫ ∫∫∫∞

∞−

∞

∞−

xdxdxx

dxdxxf

d) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=⋅+= ∫∫ ∫∫

+−+−∞

∞−∞→

∞+−

∞−

b xbx

b

x dxxdxxdxdxxf1

1

1

1

1

11

3ln3

3ln3lim30)(

=⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜

⎝

⎛⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−++

⋅−=

+−

−∞→

bx

bb

b

12

1

1 3ln3

3ln1

3ln3lim

3ln13ln

3ln10

3ln10

3ln1

3ln3

3ln1

3ln3lim 2222

1

1+

=+−+=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+

⋅−=

+−

−∞→

b

bb

b

e) =+−+= ∫∫ ∫∫∞

−∞

∞− −

−

∞− 2

2

1

31

2 2)1(42

1)( dxdxxdxx

dxxf x

[ ] =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

−

∞→−

−

−∞→

bx

baax

x2

2

14

1

2ln2lim)1(

21lim

2ln4

11521

2ln41

2ln2lim)161(

21

21lim +−=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

−

∞→−∞→

b

ba a

216. a) =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

=+=∞→

−∞

∞−

∞

∞→∞−

∫ ∫∫ 181

21lim

2lim0)( 2

3

2

33

3

bAxAdx

xAdxdxxf

b

b

b

181181

1810 =⇒==⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ += AAA

b) =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ +=+

+⋅

=∫ ∫∫∞

∞−

∞

−∞→∞−

0

0

0

)71ln(7ln

1lim0717)(

a

x

ax

x

AdxdxAdxxf

2ln7ln1

7ln2ln0

7ln2ln)71ln(

7ln1

7ln2lnlim =⇒==−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ +−=

−∞→AAAA a

a

143


c) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+=

−

∞→

∞

∞−

∞ −

−∞→

−

∞−

−∫ ∫∫b

ba

x

a

x xAedxxAdxedxxf2

3

2

2634

263

3lim

3lim)(

161241

31

241

31lim

33lim 3

630

=⇒=+=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−⋅+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

∞→

−

−∞→AA

bAee

b

a

a

217.* a) ∞=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−

==∫ ∫ +→

−

+→

−

+→

1

0400

14

00

15

005 41

41lim

4limlim1

εεε

εε

ε

xdxxdxx

b) [ ] =−=−=−∫ +→++→

6

300

6

300)ln23ln2(lim3ln2lim

32 ε

εεεxdx

x

∞=−∞−= )(3ln2

c) [ ]∫ ∫−

−

−+→

−

−

−

+→=⋅==

0

2727

300

27

32

003 23limlim

ε

ε

ε

εxdxx

x

dx

990)2733(lim 3300

=+=−⋅−−⋅=+→

εε

d) ee

eeedxx

e xx 101limlim

11

00

1

0

11

002

1

=−=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡=

−−

+→

−

+→

−

∫ εε

εε

e) ∫ ∫∫∫∫−

−

−

+→

−

+→−−

=+=+=ε

δδε

1

12

00

21

0002

0

12

1

12 limlim111 dxxdxxdx

xdx

xdx

x

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡−=

+→+→+→

−

−+→ δε δεδδ

ε

ε

11lim11lim1lim1lim0000

1

00100 xx

∞+∞= divergens.

f) ∫ ∫∫ =−⋅+−⋅=−

−−1

0

3

1

32

232

23

03 22

)1(2)1(2)1(

2 dxxxdxxxdxx

x

( ) +⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−⋅=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

+→+

+→

−

+→3)2(3lim13lim)1(3lim 3

12

00

3

1

31

2

00

1

0

31

2

00εε

εδ

δ

ε

εxx

963)2(36lim 31

2

00=+=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−+

+→δδ

δ

144


8.3. Területszámítás

218. a) ∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=

3

0

3

0

32 9

3xdxx

b) ∫ ∫∫− −−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+−=

2

2

2

0

40

2

42

0

30

2

33 844xxdxxdxxdxx

c) ∫− −

−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−−=⇒<

1

1

1

1

2 12

)(0)(e

exedxexTxf xx

d) Tekintsük az M 98. ábrát!

M 98. ábra

∫∫ =⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−++⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−−=

−

3

1

21

3

2

3230

273

2273

2dxxxdxxxT

e) 1 1 12 2

2 2 21 1 1

( 1) ( 1) 2 211 1

x x x xdx dx dxx x x− − −

+ + + ⎛ ⎞1

= = +⎜ ⎟+ + +⎝ ⎠∫ ∫ ∫ =

[ ] 2)1ln(1

12 =++=

−xx

145


f) Ábrázoljuk az f függvényt! (M 99. ábra)

M 99. ábra

∫ ∫∫ =+−==1

101

10

1

10

101

lglglg dxxdxxdxxT

Parciális integrálással kapjuk:

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −+⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −=

101

10ln101

10ln1

10lnlglg

10ln

10

1

1

101

xxxxxx

9,910ln10

8110ln1

10ln1010 +−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +−+

g) ∫ ∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=+−

∞→

∞1

0 1

1

012 2ln

11lim2ln

21)12(b

b

xx

xxdx

xdx

h) =⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−++

−

−∞→

−

∞−

−

−∞→∫ ∫1

231 1

21

2211

32lim111lim111

a

aa

a xdx

xxdx

xx

3211

320lim

23

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

−∞→ aa

i) Felhasználjuk, hogy f páros függvény, mert )(11)( xfee

xfxx===−

−,

. R∈x

[ ] 2)1(lim2lim2120

0=+−=−== −

∞→

∞−

∞→∫ b

b

bx

bx eedxe

T

146


j*) [ ]∫ ==2

0

2

04sin4cos4

ππ

xdxx

219. a) Metszéspontok: és 042)2( 1

2 =⇒+=− xxx 62 =x

[ ] 3633

)6()2()42(6

0

236

0

26

0

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=+−=−−+= ∫∫ xxdxxxdxxxT

b) Metszéspontok: 4és0222

24 21

22

==⇒++−=+− xxxxxx

4 42 2 2

0 0

32 2 2 32 4 4x x xT x x dx

⎡ ⎤⎛ ⎞ ⎛ ⎞ ⎛= − + + − − + = − +⎢ ⎥⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜

⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝⎣ ⎦∫ ∫ x dx

⎞=⎟

⎠

82

34

4

0

23

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−=

xx

c) Tekintsük az M 100. ábrát!

M 100. ábra Metszéspont: 011 =⇒+=− xxx

67)1(

32

21)1(

1

0

230

1

21

0

0

1

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=−++=

−−∫∫ xxxdxxdxxT

d) Metszéspontok: 1431 =⇒+−= xx

x és 32 =x

33 2

1 1

34 4 3ln 4 3ln32xT x dx x x

x⎡ ⎤⎛ ⎞= − + − = − + − = −⎜ ⎟ ⎢ ⎥⎝ ⎠ ⎣ ⎦

∫

147


e) Tekintsük az M 101. ábrát!

M 101. ábra

4)1(2)39(921339

1

0

233

0

3

0

231

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−−

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−−−= ∫ ∫ xxdxxdxxT

f) 313 )()( xxfxxf == −

144

32)(21

0

1

0

434

33 =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=−= ∫

xxdxxxT

g) Tekintsük az M 102. ábrát!

M 102. ábra

Metszéspontok:

1./ 2321 xx =+ , azaz . Innen 062 2 =−− xx

23

1 −=x és . 22 =x

2./ 21 3 122

x x+ = , azaz . Innen 062 =−− xx 21 −=x és . 32 =x

148


∫ ∫− −

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −+−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+=

3

2

2

23

22 321

213

21 dxxxdxxxT

27,334

16632

33

463

4

2

23

323

2

32

≈++−=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+=

−−

xxxxxx

220. Tekintsük az M 103. ábrát!

M 103. ábra

3ln34

3ln3

3ln3)33(

1

0

1

0

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

−=−=−

−∫xx

xx dxT


M 104. ábra

A ponton átmenő érintő egyenlete: )2;4(P 141

+= xy .

149


32

32

81

41

4

0

2324

0

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −+= ∫ xxxdxxxT

222. A ponthoz tartozó érintő egyenlete: )3;1(0P 52 +−= xy . A kérdéses területet az M 105. ábra mutatja.

M 105. ábra

1274

349)4(

2

323 2

1

32

1

2 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+−−=+−−

⋅= ∫ xxdxxT

223. A ponthoz tartozó érintő egyenlete: ( 3;20P ) 33 −= xy . A kérdéses területet az M 106. ábra mutatja.

M 106. ábra

150


2 22 2

0 023

0

( 1) (3 3) ( 4 4) ( 2)

( 2) 83 3

T x x x dx x x dx x dx

x

⎡ ⎤= − + − − = − + = −⎣ ⎦

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥⎣ ⎦

∫ ∫2

2

0

=∫

224. 4)1()( 2 −−= xxf

Tekintsük az M 107. ábrát!

M 107. ábra A szimmetria miatt elegendő az egyik érintő egyenletét felírni. A ponthoz tartozó érintő egyenlete:

)0;3(124 −= xy .

3 32 2

1 133

1

2 ( 2 3) (4 12) 2 ( 6 9) 2 ( 3)

( 3) 1623 3

T x x x dx x x dx x d

x

⎡ ⎤= − − − − = − + = −⎣ ⎦

⎡ ⎤−= =⎢ ⎥

⎣ ⎦

∫ ∫3

2

1

x =∫

225. a) [ ] [ ]∫ ∫ ∫ =−+−−=+−==e

e e

ee

e

xxxxxxdxxdxxdxxfT1

1

1 11

1

1 lnlnlnln)(

e22 −=

151


b) I. megoldás: Tekintsük az M 108. ábrát!

M 108. ábra

A keresett terület az ABCD téglalap és a CDE görbevonalú háromszög területének a különbsége.

[ ]( )

5

2

5

2

(ln5 ln2)5 ln 3ln 2

(ln5 ln2)5 ln 3ln 2 3

T x dx

x x x

⎡ ⎤= − − − =⎢ ⎥

⎣ ⎦

= − − − − =

∫

II. megoldás: Az inverz függvény segítségével számítjuk ki a területet.

[ ] 3255ln

2ln

2ln5ln5ln

2ln =−=−=== ∫ eeedyeT yy

226. 31 )(x

exf =− , R∈x

∫ −=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡==

3

0

3

0

33 )1(33 eedxeTxx


M 109. ábra

152


A konstans szakaszokból álló integrandus ábrájáról leolvasható, hogy

, [ ]∫−

−=5,2

2

1dxx

ugyanis szakaszonként integrálva, ha , akkor az integrál értéke a függvénygörbe alatti területtel, ha

0)( >xf0)( <xf , akkor pedig a függvénygörbe

feletti terület 1− -szeresével egyenlő. 228.* Tekintsük az M 110. ábrát!

M 110. ábra

Az ellipszis egyenletéből kifejezzük y-t:

2

2

1axby −±= .

A szimmetria miatt elegendő az

[ ]aaxaxbxf ;1)( 2

2

−∈−=

függvény alatti területet kiszámítani a [ ]a;0 intervallumban, mert az ellipszis területe ennek 4-szerese.

∫ =

=

=⇒==

=⇒==

=

=−=a

dttadx

taxtadtdx

txtax

tax

dxaxbT

02

2

cos2

cos

00sin

sin

14π

πππ ππ

ababdttabdttabtdtatb ==+

==−= ∫ ∫∫ 44

22cos14cos4cossin14

2

0

2

0

22

0

2

153



229. a) Mivel 3 0, ha 11

0, ha 1x

xx

> >⎧− ⎨< <⎩

, ezért

75,444

)1()1(12

1

41

1

41

1

2

1

332

1

3 =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−+−=−

−−−∫ ∫∫ xxxxdxxdxxdxx

b) [ ] [ ]=+−+=+=+

=+∫ ∫ )1ln()1ln(

31)1ln(

31

13

31

136

2

1

2

1

2

13

3

3

3

3

eeedxe

edxe

e xx

x

x

x

11ln

31

3

6

++

=ee

c) ∫ ∫∫ =−

=−−

=

=⇒==⇒−=

=

=

−=+=

=+−

−

3

1

3

1

1

1

52142

3111

1

22

212 dt

ttdt

tt

txtx

dtdxdtdx

txxt

dxxx

∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=

−3

1

3

3

1

23

21

21

1034310)3(

3410

3452 2

1

ttdttt

3

2636 +−=

d) =⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡+−=+=+

−−−

∫∫2

0

21

32

0

23

322

0

23

32 )1(231)1(3

31)1( xdxxxdxxx

94

32

92

=+−=

e) Parciálisan integrálunk:

[ ] [ ] =−=−=⋅ ∫∫9

1

9

1

9

1

9

1 23ln61ln2ln1 xdxx

xxdxxx

43ln6263ln6 −=+−=

f*) 101sin2

sin1sin1cos12

1

2

12 −=+−=+−=⎥⎦⎤

⎢⎣⎡−=⋅∫

π

π

π

π

ππx

dxxx

154


230. a) =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡+

−=+=+

−−

∞−

−

−∞→

−

−∞→∫ ∫33 3

22 )52(2

1lim)52(lim)52( aa

aa xdxx

xdx

210

21

)52(21

21lim =+=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+

+=−∞→ aa

b) =⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−+

−=

⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−=

−

∞→

−−∞

∞→

− ∫∫bx

bb

b xbx

b

x ee

bdxexedxex0

3

30

3

0

3

0

3 93lim33lim

9900993lim 3

3

=+−=⎪⎭

⎪⎬⎫

⎪⎩

⎪⎨⎧

+−−=−

∞→

b

bbe

e

b

c*) [ ]∫ ∫∞

−

→∞+→

−

→∞+→

−

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=⎟

⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−=

00000

2lim2

12limb

x

b

bx

b

x

edxex

dxx

eεε

εε

( ) ( ) ( ) 2202lim2lim22lim0000

=+=+−=+−= −

+→

−

∞→

−−

∞→+→

ε

ε

ε

εeeee b

b

b

b

231. =+=+=∫ ∫ ∫∫∫∞

∞−

∞−

∞→−∞→

−

∞− 0

00

limlim)(b

e

Ax

ab

Ax

a

AxAx dxedxedxedxedxxf

=⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡=

−

∞→−∞→

−

∞→−∞→ AAe

Ae

AAe

Ae Ab

b

Aa

a

bAx

ba

Ax

a

1lim1limlimlim0

0

2121001=⇒==⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −= A

AAA

232. Készítsünk ábrát! (M 111. ábra)

M 111. ábra

155


332)4(

32242

4

0

4

0

23

=⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡−−=−= ∫ xdxxT

233. A hiperbola ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

23;30P pontjához húzott érintő egyenlete:

43

41

+= xy .

Az érintő és az xx függvény grafikonjának metszéspontjai:

143

41

1 =⇒+= xxx és 92 =x

M 112. ábra

∫ =⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−=

9

1

9

1

23

34

43

8)(

32

43

41 xxxdxxxT

8.5. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.3. példa.

b) Igaz, ugyanis minden differenciálható függvény folytonos, a folytonos függvények pedig integrálhatók a TK. 8.2. tétel értelmében. c) Igaz a TK. 8.3. tétel b) része szerint. d) Hamis (vagyis a 8.3. tétel b) része nem megfordítható). Ellenpélda: legyen

⎩⎨⎧

=isirracionálha,2

racionálisha,1)(

xx

xf [ ]1;0∈x és

⎩⎨⎧−

=isirracionálha,1

racionálisha,0)(

xx

xg [ ]1;0∈x .

Ekkor 1)()( =+ xgf , ha [ ]1;0∈x .

156


integrálható, de f és g nem integrálható a gf + [ ]1;0 intervallumon. e) Igaz. Ez következik a 8.3. tételből, ugyanis:

[ ]( ) ( 1) ( 1)b b b b b

a a a a a

b

a

f g f g f g f− = + − = + − = −∫ ∫ ∫ ∫ ∫ g∫ .

f) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.9. példa a) része. g) Hamis. Ellenpélda: TK. 8.9. példa b) része.

2. Az alsó, illetve felső integrálközelítő összeg definíciója alapján a C válasz a helyes. 3. A C válasz a helyes, mert

∫−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡ −−=−

1

0

51

0

54

5)1(

5)1()1( eedxee

xxx .


∫∫ ∫∫∫ =−−−

+−−−

−=−−

+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−

−=−− 7

6

7

6

6

5

6

5

7

54

244

2446

46

46 dx

xxdx

xxdx

xxdx

xxdx

xx

[ ] [ ] =−−+−−−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

−−+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛

−−−= ∫∫

7

6

7

6

6

5

6

5

4ln24ln24

214

21 xxxxdxx

dxx

3ln22ln4 −= .

5. Az A válasz a helyes, mert

∫− −

−=

⎥⎥⎦

⎤

⎢⎢⎣

⎡ −−=−

1

2

1

2

21

14

89)89( xdxx .


∫∫ =⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−

−=

=−=

⇓

=−=

=−=

⇓−=

=−=

=−

1

3

21

0

2

2

488

9

14

14

388

9

89

089

89dtt

t

t

tdttdx

xtdtdx

ttx

xt

xxt

dxx

x

157


∫ =⋅=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−=−=

3

1

3

1

32

247

328

321

39

321)9(

321 ttdtt .

7. A B válasz a helyes, ugyanis

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ +−−=⎥⎦

⎤⎢⎣⎡ −−=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ ++=

∞→

∞

∞−

∞

∞→∞−

∫ ∫∫ 211lim11lim530)( 531

531

64

1

bbA

xxAdx

xxAdxdxxf

b

b

b

2112 =⇒== AA .


0)( <xf az [ ]e;1 intervallumban, így

[ ] [ ]11

(ln 21) lne

ex dx x x x xT e− − = − += =∫ − .

(Az függvényt parciálisan integráltuk.) xx ln 9. Az A válasz a helyes.

A ponthoz tartozó érintő egyenlete: )3;12(0P 161

+= xy .

Tekintsük az M 113. ábrát!

M 113. ábra

∫ ∫ =⎥⎦⎤

⎢⎣⎡ −−⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+=−−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ +=

12

0

12

3

12

3

312

0

2

6)3(32

1231

61 xxxdxxdxxT .

158

9. TÖBBVÁLTOZÓS FÜGGVÉNYEK

9.1. Kétváltozós függvények. Szintvonalak

234. A megadott kétváltozós függvények természetes értelmezési tartománya

mindig 2R -nek valamely részhalmaza. Az egyes értelmezési tartományokat meghatározó feltételeket alább felsoroljuk, a megfelelő tartományokat pedig az M 114. ábrák mutatják.

a) és c) 2R=fD b) 0≥x , R∈y d) R∈yx , és xy 23 −≠ e) 3>x és 4<y vagy és 3<x 4>y f) 0>x és vagy és 0>y 0<x 0<y g) R , ∈x R∈y és xy −< h) R∈yx , és 222 2≥+ yx i) R∈yx , é 222 4<+ yxs , 122 >+ yx j*) R∈yx , és Z∈+≤+≤ kkyxk ,)12(2 22 ππ

b) d) e)

f) g)

M114. ábra

159


h) i) j*) M114. ábra folytatás

235. A szintvonalakat az M 115., a felületeket pedig az M 116. ábrák szemléltetik.

a1) a2) a3)

b1) b2) b3)

M115. ábra

160


c1) c2) c3)

d1) d2) d3)

e*1) e*2) e*3)

M115. ábra folytatás

161


a) b) c)

d) e*)

M 116. ábra

236. a) , 7

1 2)0;()( xxfxf == yyyfyf 1032);1()( 42 −+==

b) , )1ln()1;()( 21 +== xxfxf 2

2 ln);0()( yyfyf ==

c) , 141 3)3;()( +−=−= xxfxf

23);0()(2 +

==y

yfyf

d*) , xexfxf cos1 3)3;()( == 32;

2)(2 −=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛= yyfyf π

162


237. 1

2)( 22 +=

yyyf ,

22

2

2 )1(22)(+

−=′

yyyf , 1ha,0)(2 ±==′ yyf .

32

3

2 )1(124)(+−

=′′y

yyyf , , ha 0)(2 =′′ yf 0=y vagy 3±=y .

M 49. táblázat

3−<y 3−=y

1y < − 1y = − 1 1y− < < 1y = 1y > 2 :f ′ – 0 + 0 –

2 :f l. min. 2 ( 1) 1f − = −

l. max. (1) 1f =

163

03 <<− y 0=y 30 << y 3=y 3>y

:2f ′′ – 0 + 0 – 0 +

:2f infl. pont infl. infl. pont pont

M 50. táblázat 238. a) 42)(1 −= xxf , 2)(1 =′ xf , 11 2)4( mf ==′ . , 2

2 8)( yyf −= yyf 2)(2 −=′ , 22 4)2( mf =−=′ .

b) , , . 22

1 )( xexf −= )4()(22

1 xexf x −⋅=′ −1

21 4)1( mef ==−′ −

, , 232

3)( −= yeyf )9()( 223

23

yeyf y ⋅=′ −22 0)0( mf ==′ .

239. a) , , 24

1 6416)( xxxf −−= xxxf 1216)( 31 −−=′ 11 28)1( mf =−=′ ,

6)1(1 =f , így a ponthoz tartozó meredekségű érintő egyenlete:

)6;1(1P 1m3428 +−= xz , 2−=y .

, 22 234)( yyyf ++= yyf 43)(2 +=′ , 22 5)2( mf =−=−′ ,

6)2(2 =−f , így a ponthoz tartozó meredekségű érintő egyenlete:

)6;2(2 −P 2m45 −−= yz , 1=x .

b) Az a) ponthoz hasonlóan adódik:

2

ln2)(1 +=

xxxf ,

32

32

−= xz , 2=y .

0)(2 =yf , , 0=z 1=x .


9.2. Parciális deriváltak 240. a) , 2810);( xyxyxf x +=′ yxyyxf y

286);( +=′

b) 32

4)3(31

);( 7

332

4

++

⋅+=′

−

yy

xxyxf x , 27

63 4

)32()114(3);(

+++−

⋅+=′yy

yxyxf y

c) 43 )2(2

1);( yyx

eyxf xx +=′ , R∈y , , +∈Rx

[ ]3342 )2(4)2(3);( yyyyeyxf xy +⋅++⋅=′

d) 2ln3

9);(4 33

2

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

=′yyx

yxyxf x , 2ln3

433

);(4 33

41

3

⎟⎠⎞⎜

⎝⎛ +

+=′

−

yyx

yxyxf y

e) 23

2434

)43()123()54()43(5);(

yxxyxxyyyxxyyxf x +

++−+=′ ,

23

3433

)43(4)54()43()204();(

yxxxxyyyxxxyyxf y +

+−++=′

f) 2212);(

2

ye

yxxyyxf y

x

x ⋅+=′ , ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⋅+=′

32

2 2);(2

yxe

yxxyxf y

x

y

g*) +−⋅⋅−⋅=′ )65(sin)sin()10(ln10);( 24cos xyxxyxf xx

[ ] ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−−⋅⋅+

− 243

24cos 645)65cos(10 yxxyxx , R∈≠> yx 0,0 ,

[ ] )12()65cos(10);( 24cos xyxyxyxf xy −−⋅⋅=′

241. Az adott függvények 3 változósak. Valamelyik változó szerinti parciális derivált előállításakor a másik két változót állandónak tekintjük.

a) , , zezyxf yx ln);;( =′ zexzyxf y

y ln);;( =′zexzyxf

y

z =′ );;(

b) 5

2

2);;(

zyzyxf x +

=′ , 522);;(

zxyzyxf y +

=′ ,

25

42

)2(5);;(

zzxyzyxf z +

−=′

c) zyx

xyzzyxf yzx 432

2);;( 1

+++⋅=′ − ,

164


zyx

zxxzyxf yzy 432

3)(ln);;(++

+⋅=′ ,

zyx

yxxzyxf yzz 432

4)(ln);;(++

+=′

d) 2

110ln)1(

2)6()2(ln2);;(23

+⋅

++

+−⋅=′ −

zxzxyzzyxf yx

x ,

, )3()2(ln2);;( 23 2xzzyxf yx

y −⋅=′ −

23

)2(1)1(

10ln)1(22);;(

2

+−

+⋅++

+=′ −

zx

xzzyxf yx

z

242. a) ;51021);( 246 yyxxyxf x +−=′ 21)2;1( =′xf ; 55 6102);( yxyxyxf y −+−=′ 174)2;1( −=′yf

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛++=′ xy

xyxxyxf x 2

21)(5);( 42 , R∈> yx ,0 ,

25)0;1( =′xf

242 )(5);( xyxxyxf y +=′ ; 5)0;1( =′yf

c*) yx

yx

yxxyxf x sin2cos8);(

43 −⋅=′ ; 38)1;( ππ −=′xf

yx

yxyxf y sin2);( 2

5

=′ ; 0)1;( =′ πyf

243. a) , , xyyxf xx 126);( 3 +−=′′ yxxyxf yy

2182);( −=′′

2182);();( xyyyxfyxf yxxy −=′′=′′

b) ( ) 23

222);(−

+=′′ yxyyxf xx , ( ) 23

222);(−

+=′′ yxxyxf yy ,

( ) 23

22);();(−

+−=′′=′′ yxxyyxfyxf yxxy

c) , 3232 2)5(ln5)2()5(ln5);(3232

yxyyxf yxyxxx +=′′

, yxyxyxf yxyxyy

2442 6)5(ln59)5(ln5);(3232

+=′′

2532 6)5(ln56)5(ln5);();(3232

xyyxyxfyxf yxyxyxxy +=′′=′′

d) Térjünk át e alapú logaritmusra!

yxxy ln

lnlog =

21

ln1);(

xyyxf xx

−⋅=′′ ,

165


⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅+⋅=′′ −−

22

23 1)(ln1)(ln2)(ln);(

yy

yyxyxf yy ,

yyx

yxfyxf yxxy1

ln11);();( 2 ⋅

−⋅=′′=′′

244. és );( yxf xy′′ );( yxf yx′′ az alábbi kifejezéssel egyenlő:

a) 490 4 +xy

b) ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−

++

2

22

2

3 33133

yxe

yx

yxe y

xxyxx

c) 0 d) [ ]337226 )3()2()4()3()328(3 −− +−++++− yxyyyxyy 245. a) xyyxf xyy 12);( =′′′ , ( ) xyyxf xxxx 36048);(4 +−=

b) yx

yxf xxy 32);( =′′′ , 3

2);(xy

yxf yyy =′′′

c) , 43232 432);;( zyx

xyz ezyxzyxf ++=′′′

)4()24();;( 32 432zexzyxf zyx

xxz ⋅+=′′′ ++

d*) ( ) , )432sin(96);;( 325 zyxyzyxf xxxxy ++−=

( ) )432cos(96);;( 3224 zyxzzyxf xxxz ++⋅=

9.3. Kétváltozós függvények szélsőértéke

246. a) Nyeregpont: ; lokális maximumhely: )2;2( )0;0( .

b) Nyeregpont: ; lokális minimumhely: )0;0( )2;4(− . c) Nyeregpont: ; lokális minimumhely: )0;0( )24;72( .d) Nyeregpont: ; lokális maximumhely: )0;0( )6;2( −− . e) Lokális minimumhely: )3;1( .f) Lokális minimumhely: )1;2( −− . g) Lokális minimumhely: )2;3( .h) Nyeregpont: ; lokális maximumhelyek: ( és . )0;0( )1;1 )1;1( −−

i) Nyeregpontok: )8;0( − és )8;0( ; lokális minimumhely: , lokális maximumhely: )3;2( )3;2( −− .

j▲) A stacionárius pontokat a

166


⎭⎬⎫

=+−−=+−

0)1(20)1(2

yxyx

egyenletrendszer megoldásai adják. Mivel az egyik egyenlet a másiknak konstansszorosa, ezért mindkét egyenletet ugyanannak az 1+= xy

egyenletű egyenesnek a pontjai elégítik ki. Tehát a stacionárius pontok az 1+= xy egyenes pontjai.

A másodrendű parciális deriváltak most állandók: 2);( =′′ yxf xx , 2);( =′′ yxf yy , 2);( −=′′ yxf xy ,

és minden stacionárius pontban, vagyis további vizsgálatra van szükség.

0)2(22);( 2 =−−⋅=yxD

Könnyen belátható, hogy az 1+= xy egyenes minden pontja

minimumhelye a függvénynek, ugyanis és a függvény csak az

0)1();( 2 ≥+−= yxyxf1+= xy egyenes pontjaiban vesz fel 0 értéket.

k) Nyeregpontok: és )1;1(− )1;1( . l) Lokális minimumhelyek: és )1;1( )1;1(− . m) nincsenek lokális szélsőértékhelyek és

nyeregpontok. ⇒≠=′ 0);( y

x eyxf

n) , yx xeyxf 2);( =′ )1();( 2 yxeyxf y

y ++=′

A ⎭⎬⎫

=++=

0)1(02

2 yxexe

y

y

egyenletrendszer egyetlen megoldása: az )1;0( −S stacionárius pont. , , y

xx eyxf 2);( =′′ )2();( 2 yxeyxf yyy ++=′′ y

xy xeyxf 2);( =′′

[ ] =−′′−−′′⋅−′′=−2

)1;0()1;0()1;0()1;0( xyyyxx fffD

⇒>=−⋅= 020122

2

eeeaz )1;0( −S lokális szélsőértékhely.

⇒>=−′′ 02)1;0(e

f xx az )1;0( −S pont lokális minimumhely.

247. a) A pontban nincs lokális szélsőérték; nyeregpont. 0P 0P b) A pontban lokális minimuma van a függvénynek. 0P

c) A pont nem lokális szélsőértékhely, ugyanis :0P 056)1;3( ≠−=−′xf .

d*) A pontban nincs lokális szélsőérték, nyeregpont. 0P 0P 248. Jelölje a téglatest éleinek hosszát: x, y és )(15 yx +− .

167


Így a térfogat: [ ])(15 yxxyV +−= . Feladatunk a )15();( yxxyyxV −−= , 15,0 << yx kétváltozós függvény abszolút maximumhelyének megkeresése.

E függvény az 5=x és értékek esetén veszi fel a maximális értékét. Ekkor a téglatest mindhárom éle 5 egység hosszúságú.

5=y

249. Jelölje a tagokat: x, y és )(12 yx +− . Ekkor az , 222 )12();( yxyxyxf −−++= 12,0 << yx függvény abszolút minimumhelyét kell meghatározni. A megoldás: 4== yx ; ekkor a harmadik tag is 4. 250. Feltételezzük, hogy akkor kell a legkevesebb anyagot felhasználni, ha a

medence felszíne a lehető legkisebb. Jelölje a medence alaplapjának oldalhosszúságait x és y, a medence mélységét pedig z.

A medence (téglatest) térfogata: xyz=4 . Innen: xy

z 4= .

Így a felszín: xy

xyxy

yxy

xxyF 884242 ++=++= .

Feladatunk az xy

xyyxF 88);( ++= , R∈< yx,0

kétváltozós függvény abszolút minimumhelyének megkeresése. E függvény a minimumát az 2== yx helyen veszi fel. Tehát a medence méretei:

m és m. 2== yx 1=z 251. A C költségfüggvény abszolút minimumhelyét keressük.

1032);( −−=′ yxyxCx , 18103);( −+−=′ yxyxC y .

A ⎭⎬⎫

=−+−=−−

01810301032

yxyx

egyenletrendszer megoldása: . )6;14(S2);( =′′ yxCxx , 10);( =′′ yxC yy , 3);( −=′′ yxCxy

⇒>=−−⋅= 011)3(102)6;14( 2D S lokális szélsőértékhely. ⇒>=′′ 02)6;14(xxC az pont lokális minimumhely; ez egyben

az abszolút minimumhely is. Tehát a költség akkor minimális, ha az első termékből 14 tonnát, a másodikból pedig 6 tonnát állítanak elő. Ekkor a minimális költség: (millió Ft).

)6;14(S

26)6;14( =C

168


252. A profitfüggvény abszolút maximumhelyét keressük, figyelembe véve, hogy x és y csak nemnegatív értékeket vehet fel. Először a lokális maximumhelyet (vagy helyeket) határozzuk meg. Mivel xyxPx 212);( −=′ és yyxPy 28);( −=′ , ezért a

⎭⎬⎫

=−=−

0280212

yx

egyenletrendszer megoldása szolgáltatja a stacionárius pontot: . )4;6(S A másodrendű parciális deriváltak: 2);( −=′′ yxPxx , 2);( −=′′ yxPyy , 0);( =′′ yxPxy .

Az S pont lokális szélsőértékhely, s mivel

⇒>=−−−= 040)2()2()4;6( 2D⇒<−=′′ 02)4;6(xxP az S pont lokális maximumhely.

Belátható, hogy ez egyben az abszolút maximumhely is. Tehát a vállalatnak akkor lesz maximális a profitja, ha kutatásra 6 millió forintot, reklámozásra pedig 4 millió forintot költ évente. Ekkor a maximális profit nagysága: 42 millió forint. ( )42)4;6( =P . 253. és 100=s 300=q . 254. Az f függvénynek a pontban abszolút minimuma van. A minimum értéke, azaz a legmélyebb pont tengerszint feletti magassága: 0

)2;1(P

)2;1( =f . Tehát ez a térkép a meteorit kráter térképe.

9.4.* Feltételes szélsőérték 255. a) Maximum érték: ; minimum nincs. 1)1;1( =f

b) Minimum érték: 21

21;

21

=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛f ; maximum nincs.

c) Minimumérték: 2)1;1()1;1( ==−− ff ; maximum nincs. 256. a) )2();;( −++= yxxyyxF λλ λλ +=′ yyxFx );;( λλ +=′ xyxFy );;(

⎪⎭

⎪⎬

⎫

=−+=+=+

0200Az

yxxy

λλ

169


egyenletrendszer megoldása: 1=x , 1=y , 1−=λ . Tehát egy lehetséges szélsőérték pont van: . )1;1;1(P

b) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;

21;

21P

c) és )2;1;1(1P )2;1;1(2 −−P d) )8;2;2(P e) )1;1;1( −−P

f) ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

21;4;41P és ⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛ −−−

21;4;42P

g) )1;0;0(P h) )5;2;1(P i) )3;1;1(1 −−P és )5;1;1(2 −P j) )39;5;2(1 −P és )45;5;2(2 −−P k) )15;5;6(1 −−P és )11;5;6(2 −P l) )2;1;1(1 −−−P és )2;1;1(2P

9.5. Vegyes feladatok 257. a) 1≤x és 1≤y

M. 117. ábra

b) 16151

4111

41;)( 2

22

1 +−=−+−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛= xxxfxf

21

1)(

x

xxf−

−=′ , 11 31

21 mf =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′ .

22 1

43;

21)( yyfyf −+=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

170


22

1)(

x

yyf−

−=′ , 22 151

41 mf =−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′ .

c) 21

);(x

xyxf x−

−=′ , 3

141;

21

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′xf .

21

);(y

yyxf y−

−=′ , 151

41;

21

−=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′yf .

258. A szintvonalakat az M 118. ábra, a felületet pedig az M 119. ábra szemlélteti.

a) b) c) M. 118. ábra

M. 119. ábra

171


259. , , 2

2)(1xxxf += )21()2(ln2)(

2

1 xxf xx +=′ + 0)(1 =′ xf , ha 21

−=x .

21

−<x 21

−=x 21

−>x

:1f ′ – 0 +

lok. és absz. min

:1f

M 51. táblázat

-nek sem lokális, sem abszolút maximuma nincs, mert . 1f ∞=∞±

)(lim 1 xf

, szigorúan monoton növekedő R-en se minimuma, se maximuma nincs.

422 2)( += yyf 2

422 02)2(ln2)( fyf y ⇒>⋅=′ +

⇒

260. ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛+⋅=′

−+ 52

47

537)3(ln3);(

5 34xyyxf xxy

x , R∈y , { }0−∈Rx ,

37 28)3(ln3);(5 34

xyyxf xxyy ⋅=′ +

3ln59)0;1( =′xf , 0)0;1( =′yf .

261. , 323 )(ln2);( yyyxf x

xxx =′′′ 32)22()12(2);( −−−=′′′ xyyy yxxxyxf

262. yx

x

x eeeyxf+

=′ );( , 22

)()()1();( yx

yxyyxx

xy eeeeeeeyxf+

−=⋅+−=′′+

−

yx

y

y eeeyxf+

=′ );( , 22

)()()1();( yx

yxxyxy

yx eeeeeeeyxf+

−=⋅+−=′′+

−

263. 82);( +−=′ xyxf x , 162);( +−=′ yyxf y

)8;4(0162082

Pyx

⇒⎭⎬⎫

=+−=+−

2);( −=′′ yxf xx , , 2);( −=′′ yxf yy 0);( =′′ yxf xy

lokális szélsőértékhely. PD ⇒>=−−−= 040)2()2()8;4( 2

Pf yy ⇒<−=′′ 02)8;4( lokális maximumhely, egyben abszolút maximumhely is.

172


Tehát a vadásznak akkor lesz a legnagyobb a zsákmánya, ha kutyát és hajtót visz magával. A legnagyobb zsákmány:

48 (4 ; 8) 70f = db fácán.

9.6. Ellenőrző kérdések és feladatok 1. a) Hamis; ha ugyanis a függvény felülről nem korlátos, akkor nincs abszolút maximuma. b) Hamis; ugyanis az 0);();( 0000 =′=′ yxfyxf yx feltétel csak szükséges, de nem elégséges feltétele a lokális szélsőértékhely létezésének az pontban. Az pont lehet nyeregpont is. (Lásd TK. 9.2. és 9.3. tételeket!)

);( 00 yx );( 00 yx

c) Igaz; a TK. 9.2. tétel értelmében, ugyanis az pont nemcsak abszolút, hanem lokális szélsőértékhely is.

);( 00 yx

d) Hamis a TK. 9.3. tétel értelmében. 2. Nem; ugyanis ez a hozzárendelés nem egyértelmű: egy rendezett számpárhoz két függvényértéket (egy pozitív és egy negatív számot) rendel.

);( yx

Tehát a B válasz a helyes. 3. A C válasz a helyes a 9 , azaz 022 >−− yx 2223 yx +> feltétel miatt. 4. Az A válasz a helyes, mert

211)2;()(x

xfxf == .

5. A B válasz a helyes, mert . 79)1(,180)(,40);2()( 22

22 =′−=′−== fyyfyyyfyf

6. A C válasz a helyes, ugyanis a deriválásnál a hányados deriválási szabályát kell alkalmazni az állandó feltétel mellett. =y 7. Az A válasz a helyes, ugyanis

2

22

);(xyeyxf x

y

x ⋅=′−

, =⋅+⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−=′′

−−

22

2 22);(22

xye

xy

xyeyxf x

yxy

xy

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=

−

xy

xye x

y 2

2 122

és ⎟⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=′

−

xyeyxf x

y

y2);(

2

,

173


⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛−⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛=⋅+⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛−⋅=′′

−−−

xy

xye

xye

xy

xyeyxf x

yxy

xy

yx

2

222

2

1222);(222

.

8. A B válasz a helyes.

242);(

yxyxf x −=′ , 2

416);(xy

yyxf y −=′

021;2

21;2 =⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′=⎟

⎠⎞

⎜⎝⎛′ yx ff , vagyis a szükséges feltétel teljesül.

38);(

yxyxf xx =′′ , 3

816);(yx

yxf yy +=′′ , 224);(yx

yxf xy =′′

02 804482

21;2 PD ⇒=−⋅=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛ lokális szélsőértékhely.

00221;2 Pf xx ⇒>=⎟⎠⎞

⎜⎝⎛′′ lokális minimumhely.

9. A C válasz a helyes. Mivel

174

minden esetén, ezért 2R∈);( yx03);( >=′ −xy eyxf 0)2;2( ≠−′yf ,

így a pont nem lokális szélsőértékhely. 0P

Documents

Példatár megoldások