CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ … · 2018-09-06 · modelo matemático representativo do robô manipulador cujos parâmetros são estimados em tempo real pelo método dos

Universidade Federal da Paraíba

Centro de Tecnologia

Programa de Pós-Graduação em Engenharia Mecânica

-Mestrado – Doutorado

CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ

MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR

por

James Sidney Freitas de Carvalho

Tese de Doutorado apresentada à Universidade Federal da Paraíba para

obtenção do grau de Doutor em Engenharia Mecânica

João Pessoa – PB Outubro/2009

ii

JAMES SIDNEY FREITAS DE CARVALHO



Tese de Doutorado apresentada ao Programa de

Pós-Graduação em Engenharia Mecânica da

Universidade Federal da Paraíba - UFPB, em

cumprimento às exigências para obtenção de

Grau de Doutor em Engenharia Mecânica.

Orientador: Prof. Dr. José Antônio Riul

João Pessoa –Paraíba Outubro – 2009

iii



por

James Sidney Freitas de Carvalho

Tese aprovada em 28 de outubro de 2009

Período letivo 2009.2

João Pessoa – PB Outubro/2009

C331c Carvalho, James Sidney Freitas de. Controle adaptativo aplicado em um robô

manipulador de dois graus de liberdade planar / James Sidney Freitas de Carvalho.- João Pessoa, 2009.

287f. : il. Orientador: José Antonio Riul Tese (Doutorado) – UFPB/CT

1. Robótica. 2. Identificação de sistemas. 3. Controle adaptativo.

UFPB/BC CDU: 004.896(043)

iv

À Cida, minha sempre e amada esposa.

Aos meus amados filhos, José Henrique e

João Arthur.

Aos meus pais, José Secundo de Carvalho

e Maria das Graças F. de Carvalho.

DEDICO.

v

AGRADECIMENTOS

Agradeço principalmente, ao “Grande Arquiteto do Universo”, pois sem a sua

permissão nada seria possível.

Agradeço ao meu orientador professor Dr. José Antônio Riul, pelos ensinamentos,

paciência, sobretudo, pela confiança em mim depositada.

À Coordenação de Pós-Graduação de Engenharia Mecânica (CPGEM) da

Universidade Federal da Paraíba (UFPB) pelo apoio institucional recebido e ao Instituto

Federal de Educação, Ciência e Tecnologia de Alagoas (IF-AL) pela oportunidade de

realização deste trabalho de tese.

Agradeço à Fundação e Coordenação de Aperfeiçoamento de Pessoal de Nível

Superior (CAPES), pelo apoio financeiro.

Agradeço em especial a toda minha família, sobretudo aos meus pais José Secundo e

Maria das Graças, e aos meus irmãos pelo estímulo constante.

Enfim, a todos, sou muito grato.

vi



RESUMO

A presente tese tem como objetivo o modelamento e controle em tempo real de um

robô manipulador de dois graus de liberdade planar, constituído de um elo rotacional e outro

prismático. O elo rotacional é um perfil U em alumínio e tem como atuador um motor-redutor

de corrente contínua. O elo prismático é composto por um cilindro pneumático de dupla ação e

haste passante, fixado no interior do perfil U e tem como atuador uma válvula

eletropneumática proporcional de cinco vias e três posições. O sensoriamento de posição

angular do elo rotacional é realizado por meio de um potenciômetro de dez voltas, e o de

posição linear do elo prismático é realizado através de uma régua potenciométrica. É obtido o

modelo matemático representativo do robô manipulador cujos parâmetros são estimados em

tempo real pelo método dos mínimos quadrados recursivo (MQR), em função de entradas

impostas ao manipulador e das saídas obtidas considerando o acoplamento entre os elos, a

partir de uma estrutura pré-definida para este fim. De posse do modelo do sistema,

controladores adaptativos de variância mínima generalizado (GMV) auto-ajustáveis são

projetados e implementados visando o controle de posição do robô manipulador, conforme

trajetórias especificadas para ambos os elos. Resultados de simulações e experimentais dos

modelos estimados e respostas do sistema, considerando seus elos operando de forma

desacoplada e acoplada sob a ação dos controladores, são apresentados e comparados.

Palavras-chave: Robótica, Identificação de Sistemas, Controle Adaptativo.

vii

ADAPTIVE CONTROL APPLIED TO A TWO-DEGREE-OF-

FREEDOM PLANAR MANIPULATOR ROBOT

ABSTRACT

The objective of this thesis was to model and control in real time a planar

manipulator robot with two degrees of freedom (2-DOF), comprising a rotational and a

prismatic link. The rotational link is an aluminum U-channel activated by a motor-reducer DC.

The prismatic link comprises a double-acting pneumatic cylinder and a pass-through rod fixed

inside the U-channel and activated by a 5-way electropneumatic proportional valve with three

positions. A 10 turn potentiometer senses the angular position of the rotational link, and a

potentiometric ruler senses its linear position of the prismatic link. The mathematical model

that represents the manipulator robot, whose parameters are estimated in real time by the

recursive least squares (RLS) method, is obtained as a function of the inputs fed into the

manipulator and its measured outputs, considering the coupling between the links, based on a

structure predefined for this purpose. After modeling the system, self-adjustable adaptive

controls of generalized minimum variance (GMV) are designed and implemented, which

control the position of the manipulator robot according to trajectories specified for the two

links. Lastly, the estimated and experimental responses of the system are presented and

compared, considering its links operating in uncoupled and coupled mode under the action of

the designed controls.

Keywords: Robotics, Systems Identification, Adaptive Control

viii

SUMÁRIO

CAPÍTULO 1: INTRODUÇÃO ...................................................................................................... 1

1.1 CARACTERÍSTICAS DOS ROBÔS MANIPULADORES .................................................... 1

1.2 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DA PROPOSTA DE TESE ........................................... 3

1.2.1 Aspectos Relacionados com a Dinâmica do Robô Manipulador ........................................... 3

1.2.2 Aspectos Relacionados com o Controle do Manipulador ...................................................... 7

1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA ................................................................................................ 11

1.4 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES DA TESE ...................................................................... 20

1.5 METODOLOGIA .................................................................................................................... 22

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO ...................................................................................... 23

CAPÍTULO 2: DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL ............................................... 25

2.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 25

2.2 PROJETO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE PLANAR 26

2.3 DESCRIÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

PLANAR ....................................................................................................................................... 27

2.3.1 Bancada de Testes ................................................................................................................ 28

2.3.2 Sistema de Aquisição de Dados............................................................................................ 29

2.3.3 Componentes do Servoposicionador do Elo de Translação ................................................. 30

2.3.4 Componentes do Servoposicionador do Elo de Rotação ...................................................... 33

2.4 CONCLUSÃO ......................................................................................................................... 36

CAPÍTULO 3: MODELAGEM DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE

LIBERDADE PLANAR ............................................................................................................... 37

3.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 37

3.2 MODELO MATEMÁTICO DO MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

PLANAR ....................................................................................................................................... 38

3.3 DEFINIÇÃO DA ESTRUTURA DE MODELO DO MANIPULADOR .............................. 39

3.3.1 Definição do Sinal de Excitação dos Elos de Translação e Rotação do Manipulador ......... 39

ix

3.3.2 Definição do Tempo de Amostragem ................................................................................... 41

3.3.3 Definição da Estrutura e Identificação Paramétrica do Manipulador................................... 45

3.3.4 Identificação em Tempo Real do Manipulador (Resultados Preliminares) .......................... 64

3.3.5 Validação dos Modelos Estimados para os Elos de Translação e Rotação do Manipulador71

3.4 CONCLUSÕES ....................................................................................................................... 80

CAPÍTULO 4: CONTROLADORES ADAPTATIVOS .............................................................. 82

4.1 INTRODUÇÃO ....................................................................................................................... 82

4.2 O CONTROLE ADAPTATIVO ............................................................................................. 83

4.2.1 Posicionamento do Elo de Translação em Malha Fechada .................................................. 85

4.2.2 Posicionamento do Elo de Rotação em Malha Fechada ....................................................... 87

4.3 TIPOS DE CONTROLADORES ADAPTATIVOS ............................................................... 89

4.3.1 Controladores Auto-ajustáveis (STR) .................................................................................. 89

4.3.2 O Controle Adaptativo de Variância Mínima (MV) ............................................................ 94

4.4 PROJETO DO CONTROLADOR GMV-I AUTO-AJUSTÁVEL PARA O ROBÔ

MANIPULADOR OPERANDO DESACOPLADO DINAMICAMENTE ............................... 113

4.4.1 Resultados Obtidos com o Robô Manipulador Operando sob Ação do Controle GMV-I

Auto-ajustável Projetado (Elos desacoplados) ............................................................................ 117

4.5 PROJETO DO CONTROLADOR GMV-I AUTO-AJUSTÁVEL PARA O ROBÔ

MANIPULADOR OPERANDO ACOPLADO DINAMICAMENTE ....................................... 137

4.5.1 Resultados Obtidos com o Robô Manipulador Operando sob Ação do Controle GMV-I

Auto-ajustável Projetado (Elos Acoplados) ................................................................................ 140

4.6 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 160

CAPÍTULO 5: COMPARATIVO DE RESULTADOS .............................................................. 164

5.1 INTRODUÇÃO ..................................................................................................................... 164

5.2 COMPARATIVO DOS RESULTADOS OBTIDOS ........................................................... 164

5.3 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 172

CAPÍTULO 6: CONSIDERAÇÕES FINAIS ............................................................................. 175

6.1 CONCLUSÕES ..................................................................................................................... 175

6.2 PROPOSTAS DE CONTINUIDADE DO TRABABLHO .................................................. 178

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS ........................................................................................ 180

APÊNDICE A: MODELAGEM MATEMÁTICA DE SISTEMAS DINÂMICOS ................... 204

A.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 204

A.2 CONCEITOS PRELIMINARES .......................................................................................... 204

x

A.3 CLASSIFICAÇÃO DE MODELOS .................................................................................... 209

A.4 GENERALIDADES SOBRE IDENTIFICAÇÃO DE SISTEMAS DINÂMICOS ............. 210

A.4.1 OBJETIVOS DA IDENTIFICAÇÃO ............................................................................... 210

A.4.2 ETAPAS DA IDENTIFICAÇÃO ..................................................................................... 212

A.4.3 REPRESENTAÇÕES DE MODELOS LINEARES DISCRETOS .................................. 217

A.4.4 ESTIMADOR DE PARÂMETROS (ALGORITMO DE IDENTIFICAÇÃO) ................ 227

A.4.4.1 Obtenção do Estimador dos Mínimos Quadrados ......................................................... 230

A.4.4.2 Obtenção do Estimador dos Mínimos Quadrados Recursivo ........................................ 237

A.4.4.3 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo ............................................................. 240

A.4.4.4 Obtenção do Estimador MQR Aplicável aos Sistemas Múltivariáveis ......................... 241

A.4.4.5 Estimação de Parâmetros Variantes no Tempo de Sistemas Múltivariáveis ................. 243

A.4.4.6 Critérios para Seleção da Estrutura de Modelos a serem Identificados ........................ 246

A.4.4.7 Critérios para Validação da Estrutura de Modelos identificados .................................. 252

A.5 MODELAGEM MATEMÁTICA DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE

LIBERDADE PLANAR ............................................................................................................. 256

APÊNDICE B: CONTROLADORES ADAPTATIVOS ............................................................ 262

B.1 INTRODUÇÃO .................................................................................................................... 262

B.1.1 CONTROLE ADAPTATIVO POR ESCALONAMENTO DO GANHO (GS) ............... 262

B.1.2 CONTROLE ADAPTATIVO POR MODELO DE REFERÊNCIA (MRAC) ................. 264

xi

LISTA DE FIGURAS

Figura 2.1 - Manipulador Planar.................................................................................................... 27

Figura 2.2 – Bancada de Testes ..................................................................................................... 28

Figura 2.3 – Diagrama em blocos da bancada de teste .................................................................. 29

Figura 2.4 - Servoposicionador do elo translacional ..................................................................... 30

Figura 2.5– Servoposicionador do elo rotacional .......................................................................... 34

Figura 3.1 – Excitação aplicada ao servoposicionador pneumático .............................................. 44

Figura 3.2 – Resposta ao degrau do elo de translação em malha aberta ....................................... 44

Figura 3.3 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 – Elo de Translação. .................. 49

Figura 3.4 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Translação ..................... 49

Figura 3.5 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Translação ................... 50

Figura 3.6 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 – Elo de Translação. .................. 50

Figura 3.7 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 - Elo de Rotação. ....................... 51

Figura 3.8 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Rotação. ........................ 51

Figura 3.9 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Rotação. ...................... 52

Figura 3.10 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 - Elo de Rotação. ..................... 52

Figura 3.11 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Translação. ..................................................... 57

Figura 3.12 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Rotação. .......................................................... 57

Figura 3.13 – Modelos selecionados - Elo de Translação. ............................................................ 60

Figura 3.14 – Modelos selecionados - Elo de Rotação.................................................................. 60

Figura 3.15 – Sinal de excitação aplicado ao elo de translação. ................................................... 65

Figura 3.16 – Sinal de excitação aplicado ao elo de rotação. ........................................................ 65

Figura 3.17 – Parâmetros ai estimados - Elo de translação. .......................................................... 66

Figura 3.18 – Parâmetros bj estimados - Elo de translação. .......................................................... 66

Figura 3.19 – Parâmetros ai estimados - Elo de rotação ................................................................ 67

Figura 3.20 – Parâmetros bj estimados - Elo de rotação. ............................................................... 67

Figura 3.21 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de translação ....................... 69

xii

Figura 3.22 – Erro de estimativa referente ao elo de translação.................................................... 69

Figura 3.23 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de rotação ............................ 70

Figura 3.24 – Erro de estimativa referente ao elo de rotação ........................................................ 70

Figura 3.25 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação .............................. 72

Figura 3.26 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação .................................. 72

Figura 3.27 – Correlação cruzada entre a excitação u1(k) e a saída y1(k) - Elo de translação ....... 73

Figura 3.28 – Correlação cruzada entre a excitação u2(k) e a saída y2(k) - Elo de rotação ........... 73

Figura 3.29 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de

translação ................................................................................................................... 75


rotação ....................................................................................................................... 76

Figura 3.31 – Autocorrelação da excitação u1(k) - Elo de translação ........................................... 77

Figura 3.32 – Autocorrelação da excitação u2(k) - Elo de rotação ................................................ 77

Figura 3.33 – Correlação cruzada entre os erros de estimativas e1(k) e e2(k) - Elos de

translação e rotação ................................................................................................... 78

Figura 3.34 – Correlação cruzada entre as excitações u1(k) e u2(k) - Elos de translação e

rotação ....................................................................................................................... 79

Figura 4.1 – Diagrama do servoposicionador pneumático ............................................................ 87

Figura 4.2 – Diagrama do servoposicionador elétrico ................................................................... 88

Figura 4.3 – Diagrama em blocos do controlador STR ................................................................. 92

Figura 4.4 – Diagrama em blocos do controlador STR explícito .................................................. 93

Figura 4.5 – Diagrama em blocos do STR implícito ..................................................................... 94

Figura 4.6 – Controle de variância mínima e sistema com distúrbio ............................................ 95

Figura 4.7 – Estrutura do sistema generalizado para o controlador GMV .................................. 102

Figura 4.8 – Controle GMV e planta com perturbação ............................................................... 106

Figura 4.9 – Respostas experimental e estimada do elo de translação para referências degraus,

sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ...................................................... 120

Figura 4.10 – Erro de estimativa do elo de translação................................................................. 120

Figura 4.11 – Segmento de trajetória referente ao período de 28 a 110 s - Elo de translação .... 122

Figura 4.12 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação ............................ 124


translação ................................................................................................................. 124

Figura 4.14 – Erro de saída do elo de translação ......................................................................... 125

xiii

Figura 4.15 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável - Elo de

translação ................................................................................................................. 126

Figura 4.16 – Evolução dos parâmetros ai e bj estimados do elo de translação .......................... 127

Figura 4.17 – Respostas experimental e estimada do elo de rotação para referências degraus,

sob a ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................................................... 128

Figura 4.18 – Respostas experimental e experimental filtrada do elo de rotação para

referências degraus, sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ..................... 129

Figura 4.19 – Erro de estimativa do elo de rotação ..................................................................... 129

Figura 4.20 – Segmento de trajetória referente ao período de 55 a 210 s - Elo de Rotação ....... 131

Figura 4.21 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação ................................ 133

Figura 4.22 – Correlação cruzada entre o erro de estimativa e2(k) e a excitação u2(k) – Elo de

rotação ..................................................................................................................... 133

Figura 4.23 – Erro de saída do elo de rotação ............................................................................. 134

Figura 4.24 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável - Elo de

rotação ..................................................................................................................... 135

Figura 4.25 – Evolução dos parâmetros ai e bj estimados do elo de rotação ............................... 135

Figura 4.26 – Composição de movimentos descritos pelos elos de translação e rotação

Considerando-os desacoplados ................................................................................ 136

Figura 4.27 – Respostas experimental e estimada do elo de translação para referências degraus

sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável – Sistema acoplado ...................... 142

Figura 4.28 – Erro de estimativa do elo de translação................................................................. 143

Figura 4.29 – Segmento de trajetória referente ao período de 28 a 190 s - Elo de translação .... 145

Figura 4.30 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação ............................ 147

Figura 4.31– Correlação cruzada entre o erro de estimativa e1(k) e a excitação u1(k) - Elo de

translação ................................................................................................................. 147

Figura 4.32– Erro de saída do elo de translação .......................................................................... 148

Figura 4.33 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................. 149

Figura 4.34– Evolução dos parâmetros ai estimados do elo de translação .................................. 150

Figura 4.35 – Evolução dos parâmetros bj estimados do elo de translação ................................. 150

Figura 4.36 – Respostas experimental e estimada do elo de rotação para referências degraus,

sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável ...................................................... 151

Figura 4.37– Erro de estimativa do elo de rotação ...................................................................... 152

Figura 4.38 – Segmento de trajetória referente ao período de 15 a 75 s - Elo de Rotação ......... 153

Figura 4.39 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação ................................ 155

xiv


rotação ..................................................................................................................... 156

Figura 4.41 – Erro de saída do elo de rotação ............................................................................. 157

Figura 4.42 – Variável de controle sob ação do controlador GMV-I auto-ajustável .................. 157

Figura 4.43– Evolução dos parâmetros ai estimados do elo de rotação ...................................... 158

Figura 4.44– Evolução dos parâmetros bj estimados do elo de rotação ...................................... 159

Figura 4.45 – Composição de movimentos descritos pelos elos de translação e rotação

acoplados ................................................................................................................. 160

Figura 5.1 – Respostas experimentais do elo de translação para referências degraus, sob ação

dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ............................................................... 166

Figura 5.2 – Erro de seguimento de trajetória do elo rotacional para referências degraus, sob

ação dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ...................................................... 167

Figura 5.3 – Variáveis de controle do elo de translação sob ação dos controladores GMV-I

auto-ajustáveis ......................................................................................................... 168

Figura 5.4 – Respostas experimentais do elo de rotação para referências degraus, sob ação dos

controladores GMV-I auto-ajustáveis ..................................................................... 169

Figura 5.5 – Erro de seguimento de trajetória do elo de rotação para referências degraus, sob

ação dos controladores GMV-I auto-ajustáveis ...................................................... 169

Figura 5.6 – Variáveis de controle do elo de rotação sob ação dos controladores GMV-I auto-

ajustáveis ................................................................................................................. 170

Figura 5.7 – Movimentos relativos descritos pelos elos de translação e rotação ........................ 171

Figura A.1 – Etapas do Processo de Identificação ...................................................................... 212

Figura A.2 – Representação de um processo com perturbação estocástica................................. 218

Figura A.3 – Representação ARX de um Sistema SISO ............................................................. 231

Figura A.4 – Teste de detecção da ordem do sistema ................................................................. 249

Figura A.5 – Diagrama em bloco do sistema manipulador ......................................................... 257

Figura B.1 – Sistema de Controle Adaptativo por Escalonamento de Ganhos - GS ................... 263

Figura B.2 – Controle adaptativo por modelo de referência – MRAC........................................ 265

Figura B.3 – Controle adaptativo por modelo de referência - MRAC indireto ........................... 266

Figura B.4 – Sistema de Controle por Modelo de Referência - MRAC direto ........................... 267

xv

LISTA DE TABELAS

Tabela 2.1 – Dados técnicos da válvula eletropneumática proporcional ...................................... 31

Tabela 2.2 – Dados técnicos do cilindro pneumático .................................................................... 31

Tabela 2.3 – Tensão de excitação versus tensão de saída do amplificador de potência ................ 34

Tabela 3.1 – Características das excitações dos elos do manipulador........................................... 41

Tabela 3.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQR ................................................... 47

Tabela 3.3 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Translacional ................................................ 53

Tabela 3.4 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Rotacional ..................................................... 54

Tabela 3.5 – Parâmetros dos modelos do Sistema de translação .................................................. 58

Tabela 3.6 – Parâmetros dos modelos do Sistema de rotação ....................................................... 58

Tabela 3.7 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Translação ............ 61

Tabela 3.8 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Rotação ................. 61

Tabela 3.9 – Médias e variâncias referentes aos erros de estimativa ............................................ 71

Tabela 3.10 – Médias e variância das funções de autocorrelação e correlação cruzada ............... 79

Tabela 4.1 – Critérios de desempenho para avaliação dos sistemas de controle ......................... 118

Tabela 4.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQRGMV1....................................... 119

Tabela 4.3 – Desempenho do elo de translação relativo aos critérios de desempenho

estabelecidos - Elo de translação/Sistema desacoplado .......................................... 122

Tabela 4.4 – Desempenho do elo de translação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR,

s e Id,estabelecidos - Elo de translação/Sistema desacoplado ................................. 123

Tabela 4.5– Desempenho do elo de rotação relativo aos critérios de desempenho estabelecidos

- Elo de rotação/Sistema desacoplado ..................................................................... 131

Tabela 4.6– Desempenho do elo de rotação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR, s, e

Id estabelecidos - Elo de rotação/Sistema desacoplado ........................................... 132

Tabela 4.7– Trajetórias especificadas para os elos de rotação e translação ................................ 136

Tabela 4.8– Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQRGMV2 ........................................ 141

Tabela 4.9 – Desempenho do elo de translação relativo aos critérios de desempenho

estabelecidos - Elo de translação/Sistema acoplado ................................................ 145

xvi

Tabela 4.10 – Desempenho do elo de translação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR,

s e Id - Elo de translação/Sistema acoplado ............................................................. 146

Tabela 4.11 – Desempenho do elo de rotação relativo aos critérios de desempenho

estabelecidos - Elo de rotação/Sistema acoplado .................................................... 154

Tabela 4.12 – Desempenho do elo de rotação relativo aos índices de desempenho IAE, VAR, s,

e Id - Elo de rotação/Sistema acoplado .................................................................... 154

Tabela 5.1 – Desempenho global do robô para referência seqüência de degraus ....................... 172

Tabela 5.2 – Desempenho global do robô para referência seqüência de degraus ....................... 172

xvii

LISTA DE SÍMBOLOS E ABREVIATURAS

A( z -1

), B( z -1

), C( z -1

), D( z -1

) e F( z -1

) – Polinômio discretos de parâmetros

A(𝑧−1), B(𝑧−1) – Matrizes polinomiais discretas de parâmetros

an, bn, cn, dn, fn – Parâmetros dos polinômios discretos

𝑎𝑘𝑗 (𝑧−1) e 𝑏𝑘𝑗 (𝑧−1) - Elementos das matrizes polinomiais discretas A(𝑧−1) e B(𝑧−1)

𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 - Parâmetros referentes ao modelo SISO do sistema

AIC – Critério de informação de Akaike

𝐴𝐼𝐶 𝑖 - Valor normalizado do critério de Akaike

ARX – Modelo auto-regressivo com entradas externas

ARMAX - Modelo auto-regressivo com média móvel e entradas exógenas

d – Atraso de transporte associado ao sistema

- Função impulso unitário (Delta de Dirac)

Sn – Variação da soma dos quadrados do erro de estimativa

n – Variação da ordem do sistema

e(k) – Erro de estimativa, predição ou previsão, atribuído à modelagem, erro de medição,

ruído estocástico acrescentado à saída y(k), com média nula e variância 2

ε(k) – Erro residual

erroi(j) – Erro de segmento de trajetória por um i-ésimo elo do sistema em um instante j

de tempo

𝑒𝑟𝑟𝑜𝑖 - erro médio de segmento de trajetória por um i-ésimo elo do sistema

(k), E(k), EM(k) – Vetor de erros de estimativa referente ao sistema MIMO

𝐸 ∙ - Esperança Matemática

FPE – Critério de informação do erro de predição final

𝔼1, 𝔼2 – sinais de erro de posicionamento

xviii

FIR – Modelo de resposta ao impulso finito

(k) - Vetor de medidas de entradas e saídas referente ao sistema SISO

m 𝑘 - Vetor de medidas de entradas e saídas referentes ao sistema MIMO

∅휀휀 ,∅𝑖𝑗 - Funções de autocorrelação de ε(k) e 𝑘 no atraso

∅𝑢휀 ,∅𝑈𝑖𝑗 - Funções de correlação cruzada de u(k) e 𝑘 no atraso

GMV – Controlador de variância mínima generalizado

GS – Controlador de ganhos tabelados

IAE - Erro Integral Absoluto (IAE)

Id - Índice de desempenho

𝐽𝑀𝑄 , 𝐽𝑁 , 𝐼2, 𝐽 - Função custo

k – Instante de tempo discreto

𝐾 𝑘 - Ganho do estimador

𝜆, 𝛌 - Fator de esquecimento

MQ – Algoritmo dos mínimos quadrados

MQR – Algoritmo dos mínimos quadrados recursivos

MQE - Algoritmo dos mínimos quadrados estendidos

MQG - Algoritmo dos mínimos quadrados generalizados

MVS – Algoritmo de máxima verossimilhança

MVI – Método de variáveis instrumentais

MRAC – Controlador adaptativo por modelo de referência

MV – Controlador adaptativo de variância mínima

MIMO – Sistema com múltiplas entradas e múltiplas saídas

MP – Máximo sobre-sinal (%)

N – Número de medidas ou amostras

na, nb, nc, nd e nf – Ordem dos polinômios discretos

n, np – Número de parâmetros estimados do modelo

OE – Modelo de erro na saída

PID – Controlador proporcional integral derivativo

PRBS – Sinal binário pseudo-aleatório

xix

PI – Controlador proporcional integral

PD – Controlador proporcional derivativo

𝑃 𝑘 - Matriz de covariância

𝑃 𝑧−1 , 𝑄 𝑧−1 e 𝑅 𝑧−1 - Polinômios de ponderação do controlador GMV

p – Número de saídas referente ao sistema MIMO

r – Número de entradas referente ao sistema MIMO ou fator de ponderação de u(k)

R2, 𝑅𝑀(𝑛)

2 - Coeficiente de correlação múltipla

STR – Controlador auto-ajustável

SISO – Sistema com única entrada e única saída

Sn, SEQM – Soma do erro quadrático de estimativa

2 - Variância

𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜2 - Variância do erro de estimativa

Ta – Tempo de amostragem (s)

ts – Tempo de acomodação (s)

𝑡95% - Tempo para que a resposta do sistema atinja 95% do seu valor final

- Constante de tempo (s)

Θ - Vetor de parâmetros referente ao sistema SISO

Θ - Matriz de parâmetros referente ao sistema MIMO

Θ 𝑘 , Θ 𝑀𝑄 𝑘 – Vetores de parâmetros estimados

u(k) – Entrada do sistema no instante k ou variável de controle

UM (k) – Vetor de entradas referente ao sistema MIMO

VAR - Variância do erro de acompanhamento de referência

v(k) - Ruído branco filtrado a partir de e(k) e estatisticamente independente

𝑤 𝑘 - Referência

y(k) – Saída do sistema no instante k

𝑦 𝑖 𝑘 - Média das N medidas para a saída 𝑦𝑖(𝑘) do sistema sob ensaio

𝑦 (𝑘) - Saída estimada do modelo do sistema no instante k referente ao sistema SISO

𝑦 𝑘k − 1, 𝜃 - Saída atual estimada do sistema, baseada em valores de saída passados

YM (k) – Vetor de saídas referente ao sistema MIMO

𝑌 𝑀(𝑘) - Vetor de saídas estimadas referente ao sistema MIMO

xx

z-1

– Operador de atraso, y(k)𝑧−1 = 𝑦(𝑘 − 1)

CAPÍTULO 1:

INTRODUÇÃO

1.1 CARACTERÍSTICAS DOS ROBÔS MANIPULADORES

Ao longo das últimas décadas a abertura de mercado e o processo de globalização da

economia têm levado o setor industrial a um novo padrão de concorrência, onde as formas

tradicionais de gestão e produção não são mais suficientes para garantir a lucratividade e

sobrevivência no mercado que se apresenta cada vez mais competitivo e exigente em

qualidade, custo e atendimento. Visando o aumento de produtividade e padronização na

qualidade de produtos, muitas indústrias têm implementado a automatização de sua produção

baseada na utilização de robôs manipuladores para realização de tarefas pré-determinadas e

repetitivas. Neste panorama, os robôs manipuladores estão sendo cada vez mais utilizados em

atividades que envolvem precisão e alta velocidade (UNECE, 2004)1.

Atualmente, os robôs industriais substituem o homem na realização de diversos tipos

de operações. Eles podem servir como máquinas–ferramenta para realizar tarefas como

soldagem, prensagem, forjamento, embalagem, entre outras e, são empregados nos mais

diversificados segmentos industriais como mecânica, automobilística, aeronáutica, espacial,

eletroeletrônica e outros. O setor produtivo automobilístico tem se beneficiado muito ao se

utilizar deste tipo de equipamento, onde a maior parte das tarefas de montagem, soldagem,

pintura e polimento é realizada pelos robôs manipuladores.

1 United Nations Economic Commission for Europe – World Robotics.

2

No final da década de 50, o primeiro robô industrial foi desenvolvido, o “Unimate”,

por George Devol e Joe Engeberger (ROMANO, 2002), e, desde esta época vem se

desenvolvendo de acordo com os avanços tecnológicos ocorridos em função dos inúmeros

resultados de pesquisas realizadas, o que justifica a constante realização de estudos voltados

para esta área.

Os robôs manipuladores, objeto desta pesquisa, são basicamente dispositivos de

posicionamento com muitos graus de liberdade, formados por cadeias de corpos (elos), em

cuja extremidade é fixada uma ferramenta ou dispositivo com o qual é realizada a tarefa,

conhecido como efetuador (end-effector). Os elos que formam a cadeia são interligados

através de juntas às quais determinam o grau de liberdade do mecanismo e podem ter

movimentos de translação (prismático) ou de rotação (rotacional).

O movimento do efetuador de um manipulador é o resultado do movimento das

juntas, realizado pelos atuadores podendo estes serem do tipo elétrico, eletrohidráulico ou

eletropneumático, com a predominância dos atuadores elétricos (RAMIREZ et al., 2003).

Quando os atuadores são elétricos além do motor costuma ser necessária uma transmissão

através da qual a velocidade do motor é adequada às necessidades do manipulador. Como o

movimento do efetuador é monitorado nas juntas, é comum que os elos e as transmissões

mecânicas dos seus atuadores sejam construídos de forma a serem bastante rígidos para que os

erros de flexibilidade introduzidos por estes elementos sejam minimizados (RAMIREZ et al.,

2003).

Os sensores, que medem o estado do manipulador e se necessário o estado do

ambiente, normalmente são encoders, potenciômetros, tacômetros, câmeras e sensores de

torque/força, entre outros.

O robô manipulador, como uma planta a ser controlada, é um sistema mecatrônico

múltivariável, não-linear e com acoplamentos dinâmicos e por isso, seus parâmetros são

incertos e variam ao longo do tempo, onde a tarefa de controle é por si mesma uma tarefa

dinâmica (CANUDAS et al., 1996).

SLOTINE e LI (1991), afirmam que as incertezas existentes nos parâmetros de

inércia de qualquer manipulador provocam erros de segmento (de posição e velocidade) e de

3

regime, que podem ser significativos, dependendo do robô manipulador e do grau de

incertezas nos efeitos de gravidade (SCIAVICCO e SICILIANO, 1996; MARTINS, 2001).

Considerando as características e fenômenos relacionados com a dinâmica dos

manipuladores, verifica-se que o controle dos mesmos não é uma tarefa trivial e o principal

desafio está na complexidade da dinâmica e nas incertezas paramétricas e dinâmicas que lhes

são peculiares. Por isso, a busca de soluções no sentido de minimizar o efeito destas não

linearidades visando o controle do movimento preciso de robôs manipuladores tem-se tornado

um problema de interesse crescente.

Nesta tese, é aplicada a técnica de controle adaptativo para o controle de trajetória de

um robô manipulador de dois graus de liberdade planar. Uma rotina computacional

implementada estima os parâmetros do sistema em tempo real, empregando o método dos

mínimos quadrados recursivo (MQR) e em seguida calcula os parâmetros do controlador que

se encarregará do controle do robô manipulador. Resultados experimentais são apresentados e

discutidos.

1.2 JUSTIFICATIVA E RELEVÂNCIA DA PROPOSTA DE TESE

Nesta seção serão apresentados os aspectos que estão relacionados com a dinâmica e

controle do manipulador planar em estudo, objetivando ressaltar para o leitor a relevância, o

que motivou e, sobretudo, a justificativa da realização desta pesquisa.

1.2.1 Aspectos Relacionados com a Dinâmica do Robô Manipulador

Com o crescente aumento de demanda em equipamentos de automação e controle de

sistemas é importante realizar-se uma investigação sobre as vantagens da utilização dos

atuadores elétricos, eletrohidráulicos ou eletropneumáticos em robôs manipuladores. A

utilização dos servoatuadores elétricos e eletrohidráulicos já está bem difundida. Por outro

lado, é notória a utilização de servoatuadores pneumáticos na automação discreta. Neste caso,

o manipulador tem uso limitado, executando tarefas simples como a movimentação de cargas

entre duas posições ou tarefas como tirar e colocar (pick and place), enquanto que sua

utilização no controle contínuo, principalmente de posição, ainda não está consolidada. A

4

maior dificuldade de realização do controle contínuo destes servoatuadores está relacionada

com as não-linearidades inerentes a estes sistemas, principalmente devida à compressibilidade

do ar (PERONDI e GUENTHER, 2002). Este comportamento não-linear tem limitado a

utilização destes servoatuadores em tarefas que se exija um seguimento preciso de trajetória de

maneira que o movimento se dê de forma suave e contínua. Neste sentido, os avanços dos

sistemas computacionais ocorridos nos últimos anos aliado ao rápido desenvolvimento de

controladores eletrônicos, baseados em processadores de sinais digitais e o desenvolvimento

de novos instrumentos eletrônicos como sensores digitais, além de componentes pneumáticos

tais como as servoválvulas de alta precisão e novas configurações de cilindros, tem motivado

diversos trabalhos que investigam os sistemas pneumáticos de controle ou servoatuadores

pneumáticos.

Em atendimento à necessidade de realização de novas pesquisas que envolva o

controle de servoatuadores em acompanhamento de trajetórias, sobretudo os pneumáticos,

surgiu a idéia de construção de um protótipo de robô manipulador de dois graus de liberdade

planar, no Laboratório de Automação e Controle do Departamento de Engenharia Mecânica da

Universidade Federal da Paraíba.

No protótipo construído, com o objetivo de estudar o controle de trajetória sobre dois

servoatuadores distintos, foi empregado no acionamento do elo de rotação um motor-redutor

no qual se utilizou como máquina motriz um motor de corrente contínua de imã permanente

controlado pela armadura. No acionamento do elo de translação, foi utilizada uma válvula

eletropneumática.

CANUDAS et al. (1987) realizaram um estudo para compensar adaptativamente o

efeito não-linear do atrito em um motor de corrente contínua e concluíram que quando o efeito

do atrito é compensado, o modelo do motor pode ser descrito por um modelo linear com

coeficientes constantes. As características do atrito dependem da direção do movimento do

motor e por fim, o atrito é sempre presente de alguma forma, causa dificuldades e provoca um

mau desempenho em aplicações servo para o controle de robôs e outras.

Os servoatuadores pneumáticos possuem características que os tornam de um modo

geral, atraentes para aplicações industriais. Dentre as quais pode-se citar o custo relativamente

baixo quando comparados com atuadores elétricos, podendo chegar a uma relação

5

custo/benefício de 10:1, aproximadamente (RICHARDSON et al., 2001), segurança quanto a

sobrecargas, pode operar em altas velocidades, facilidade para instalação e manutenção,

utilizam como energia o ar comprimido que é uma energia limpa e não oferece riscos de

incêndio, apresentam boa relação de força de saída por unidade de peso. Porém, a

compressibilidade do ar e as não-linearidades associadas ao escoamento do ar na servoválvula

e ao atrito entre o êmbolo e a camisa do cilindro em conjunção com os atrasos devido à baixa

velocidade de propagação das ondas de pressão no ar, tornam difícil a obtenção de

posicionamentos precisos quando utiliza-se os servoposicionadores pneumáticos para

execução de diversas tarefas. Normalmente, estes sistemas quando operam sob condições de

baixa pressão de trabalho apresentam uma certa “mobilidade” devido a compressibilidade do

ar.

A força de atrito é considerada a mais complexa das não-linearidades presentes nos

servomecanismos pneumáticos e depende da temperatura, direção do movimento, pressões nas

duas câmaras, velocidade e fatores como condições de lubrificação. O material, o tipo e a

geometria das vedações também exercem grande influência no comportamento da força de

atrito presentes nos cilindros pneumáticos (VIRVALO e KOSKINEN, 1988; SANTOS, 1996;

RICHARDSON et al., 2001; GUENTHER e PERONDI, 2004 ).

Os efeitos do atrito no controle de posição são os mais variados possíveis e podem

ocasionar erros de regime e de seguimento de trajetória. A literatura apresenta vários efeitos

de degradação do desempenho do movimento causados pelas características não-lineares do

atrito (CANUDAS et al., 1995; PERONDI e GUENTHER, 2002). Alguns destes efeitos são

chamados de adere-desliza (stick-slip), hunting, perda de movimento (standstill) e quadrature

glitch. O efeito stick-slip refere-se a uma alternância entre o movimento de deslizamento e o

repouso, sendo definido como um ciclo limite estável surgido durante o movimento e é mais

perceptível quando é utilizado o controle do tipo integrativo, devido à tendência da correção

do erro que é uma característica inerente a este tipo de controle. Da mesma forma que o efeito

stick-slip, o fenômeno hunting refere-se também a um ciclo limite porém ocorre quando o

movimento oscila em torno de uma dada posição desejada de valor constante. Esse fenômeno

é mais perceptível quando o sistema de controle possui ação integral (CANUDAS et al.,

1995). A perda de movimento (standstill) refere-se ao efeito do atrito que ocorre quando o

6

sistema é mantido no repouso por um intervalo de tempo ao passar pela velocidade nula.

Finalmente, o termo quadrature glitch refere-se ao erro de seguimento de trajetória num

movimento que envolve múltiplos eixos (movimento de uma mesa de coordenadas, por

exemplo).

Em servoatuadores, outra fonte de atrito situa-se no sensor de posição e nos locais em

que sua parte móvel entra em contato com as guias direcionais fixas.

O atrito representa uma forte não-linearidade em que conhecer o seu modelo

matemático exato não é uma tarefa fácil devido ao fato de ser variante ao longo do tempo de

acordo com as condições operacionais, de projeto e do meio, caracterizando-se como uma

incerteza paramétrica.

A não-linearidade de zona-morta da válvula ocorre quando a largura do carretel é

maior que diâmetro do orifício no pórtico da válvula por onde escoa o ar. Em válvulas

proporcionais, seria ideal que a área de passagem do ar fosse proporcional ao sinal de controle

da válvula a fim de facilitar o controle das vazões que são direcionadas às câmeras dos

cilindros, porém isto não acontece devido à presença da zona-morta.

A não-linearidade de zona-morta causa limitações no desempenho da malha de

controle por realimentação e por isso precisa ser compensada. Os efeitos da zona-morta podem

ser minimizados adaptativamente (TAO e KOKOTOVICK, 1996; VALDIERO, 2005;

MENDOZA, 2006).

Outra consideração a ser feita com relação ao servoposicionador pneumático, é que as

características do atrito de seus componentes variam com o tempo, ou seja, o atrito estático

por exemplo, varia com a posição e o desgaste das peças internas do cilindro e válvula,

enquanto que o atrito viscoso pode mudar com alterações da temperatura. Sendo assim, seus

efeitos sobre o sistema variam com o tempo (SANTOS, 1996; VALDIERO, 2005;

GUENTHER et al., 2006).

Pelo exposto até o momento, verifica-se então que o controle do protótipo em estudo

constitui-se um problema complexo, pois o movimento da estrutura mecânica que se se realiza

através de movimento de rotação e translação de seus elos que apresentam acoplamento

dinâmico e devem ser controladas simultaneamente. Por outro lado, o comportamento dessa

estrutura é fortemente não-linear e dependente das condições operativas do sistema. Estas

7

condições devem ser levadas em consideração na estratégia de controle a ser adotada. A

trajetória desejada é definida pela posição desejada do elemento efetuador de tarefas, que se

pressupõe estar montado em um dos extremos da haste do cilindro.

Resumindo, o protótipo em estudo é um sistema MIMO2, altamente não-linear,

acoplado e com parâmetros variáveis com o tempo, por isso seu controle é extremamente

complexo pois além das não-linearidades e incertezas paramétricas envolvidas, têm-se ainda a

possibilidade de ocorrer interações entre as variáveis de entrada e saída, ou melhor, entre as

malhas de controle (XIONG e CAI, 2006). Por isso trata-se de um problema de controle cuja

solução não é considerada trivial.

1.2.2 Aspectos Relacionados com o Controle do Manipulador

Atualmente muitas estratégias de controle têm sido empregadas na tentativa de

solucionar os problemas de controle de movimento de robôs manipuladores. A literatura tem

apresentado as mais variadas técnicas (AGUIRRE, et al., 2007). Dentre elas tem-se o controle

Proporcional-Integral-Derivativo (PID), Proporcional-Derivativo (PD), Proporcional-

Proporcional-Integrativo (P-PI), Lead-Lag, feedfoward e PD+feedfoward, as técnicas de

controle avançado como Adaptativo e Robusto e finalmente, as técnicas tais como Redes

Neurais Artificiais e Lógica Fuzzy (CARELLI et al., 1995; CHEN et al., 1997; BOBROW e

MCDONELL, 1998; KIM e LEWIS, 2000; WANG et al., 2001; PAZOS e HSU, 2003;

LABIOD et al., 2005; BURKAN & UZMAY, 2005; OUYANG et al., 2006; PURWAR et al.,

2007 ). As técnicas convencionais de controle têm sido empregadas na maioria dos processos

automatizados no segmento industrial nos últimos 50 anos. Segundo ÄSTROM & HÄGLUND

(2001), o controle PID ainda hoje predomina em aplicações. Estima-se que mais de 90% das

malhas existentes são do tipo PI/PID atingindo uma larga faixa de aplicações, o que é

justificado pela sua simplicidade e robustez. Algumas destas aplicações compreendem o

controle de processos, a indústria automobilística, indústria eletroeletrônica, controladores de

vôo, pilotos automáticos, entre outros.

2 MIMO (Multiple Input, Multiple Output): Sistema multivariável composto de múltiplas entradas e

múltiplas saídas.

8

Apesar desta importância, os controladores PID apresentam desempenho inadequado

em algumas aplicações, sobretudo, em processos não-lineares e com parâmetros variantes com

o tempo (incertezas paramétricas), por serem controladores de ganho fixo. Na literatura há

relatos de que uma porcentagem significante dos controladores instalados operam em modo

manual e que mais de 50% dos controladores PID‟s instalados que operam em modo

automático não apresentam um desempenho satisfatório frente a sistemas complexos

(OVIEDO et al,, 2006; ARRUDA et al., 2008; TEIXEIRA et al., 1998).

As técnicas convencionais de controle de robôs manipuladores ou aquelas baseadas

em modelo (controle de posição e/ou força) envolvem o conhecimento das equações que

descrevem o comportamento dinâmico do manipulador, ou seja, o conhecimento das

formulações de Newton-Euler, Lagrange-Euler ou das equações generalizadas de D‟ Alambert

(CRAIG, 1986). O problema de controle começa a existir pelo fato de que estas formulações

requerem o completo conhecimento do modelo dinâmico do robô e este por sua vez é muito

complexo. Além de ser necessária a inclusão da dinâmica de seus elementos (dos elos),

também devem ser inclusos a dinâmica do sistema de transmissão, dos atuadores e

equipamentos eletrônicos de comando. Estes elementos incorporam ao modelo novas inércias

e atritos, aumentando ainda mais sua complexidade. Assim, as equações obtidas são acopladas

e contemplam incertezas paramétricas.

Por outro lado, as soluções destas equações exigem a realização de uma elevada

quantidade de cálculos, tornando necessário o uso de máquinas de grande porte, tendo em

vista o esforço computacional requerido (KOIVO e GUO, 1983; CARVALHO et al., 2008).

Normalmente, com o objetivo de reduzir o esforço computacional e obter uma

solução factível para este problema, recorre-se às técnicas de linearização do modelo dinâmico

em torno de um ponto de operação do sistema. A aplicação desta técnica parte da suposição de

que o sistema a ser controlado pode ser representado convenientemente por um modelo

dinâmico linear e invariante no tempo de ordem reduzida, que despreza a dinâmica da planta

em freqüências elevadas. FRANKLIN et al. (1994), afirmam que o controlador que é obtido

com a utilização dessa técnica de projeto, também é linear e invariante no tempo.

A linearização em torno de um ponto de operação pode se revelar uma estratégia

plenamente aceitável, no caso em que o processo a ser controlado não sofra grandes variações

9

nos parâmetros e, as não-linearidades existentes sejam “fracas” a ponto de poderem ser

desconsideradas. Porém, a grande maioria das plantas sofre variações em seus parâmetros ao

longo do tempo ou apresentam diversas formas de não-linearidades, tornando necessário um

processo periódico de ajuste nos parâmetros dos controladores quando estes são fixos,

procedimento por vezes dispendioso, demorado e muitas vezes não sendo possível de ser

realizado (nos casos em que não há a possibilidade da planta ter sua operação descontinuada).

A utilização de controle robusto pode ser uma alternativa para solucionar os

problemas da variação paramétrica de um sistema. Porém, deve-se ter alguns cuidados na sua

utilização, como a existência de um compromisso entre robustez (seja com relação a rejeição

de distúrbios ou a erros de modelagem) e desempenho do controlador, pois, não é possível

obter um controlador que garanta um bom desempenho na região de freqüências em que o

modelo de projeto é grosseiro (CRUZ, 1996).

Outra proposta para contornar este problema é a utilização de técnicas de controle

adaptativo, onde é suposto que os parâmetros e/ou estrutura de modelo da planta podem variar

ao longo do tempo, permitindo assim, que o controlador possa compensar essas alterações

atualizando seus parâmetros, de modo a manter o sistema com desempenho desejado

(ÅSTRÖM e WITTENMARK, 1984). Esta técnica permite que os parâmetros de um modelo

selecionado para representar o sistema sejam identificados e a partir dos valores obtidos, os

parâmetros do controlador e a variável de controle necessária ao controle do sistema são

calculados em tempo real.

SEBORG (1994) classificou as estratégias de controle em cinco categorias, levando

em consideração a sua utilização no setor industrial. Dentre as categorias classificadas, a

técnica de controle adaptativo se enquadrou na categoria III, classificada como uma técnica de

controle avançada e largamente utilizada na indústria e isso reforça mais ainda a motivação em

utilizá-la na solução do problema de controle do manipulador em estudo.

No trabalho de MONTENEGRO (2007), são apresentados resultados do uso da

técnica de controle adaptativo para o controle de temperatura de ar em um túnel psicrométrico,

sistema SISO3, cujo modelo foi obtido por meio de técnicas de identificação paramétrica em

tempo real através do algoritmo dos mínimos quadrados recursivos. Realizou-se um estudo

3 SISO (Single Input, Single Output): Sistema monovariável composto de uma entrada e uma saída.

10

minucioso de várias configurações de controladores adaptativos e com base nas quais, foram

projetados e implementados os controladores proporcional integral (PI) de ganho tabelado, PI

auto-ajustável via alocação de pólos, variância mínima (MV) auto-ajustável e o controlador

preditivo generalizado (GPC) auto-ajustável. O desempenho do sistema sob a ação de cada um

dos controladores citados foi avaliado quando submetidos ao seguimento de uma trajetória

(seqüência de degraus de temperatura), no intervalo de tempo de 700 segundos e, os resultados

experimentais obtidos possibilitaram concluir que os controladores adaptativos projetados

foram capazes de rastrear a referência e que o controlador GPC auto-ajustável apresentou o

melhor desempenho dentre os controladores avaliados.

Há a necessidade da realização de maiores investigações no que diz respeito à

aplicabilidade desta técnica em sistemas múltivariáveis a exemplo o robô manipulador planar

em estudo, que apresenta um maior grau de complexidade devido às interações entre malhas,

às adversas não-linearidades e incertezas paramétricas a ele associadas.

Na literatura encontram-se diversos estudos e métodos aplicados ao controle de

trajetória de robôs manipuladores (MACHADO et al., 1993; CACCAVALE e SICILIANO,

1999; MATTIAZZO et al., 2002; CHOI, et al., 2005; TAYEBI e ISLAM, 2006). Nos

trabalhos encontrados o manipulador tem sido modelado geralmente, por meio das

metodologias convencionais tais como a cinemática e a dinâmica, e os modelos gerados não

contemplam a presença das não-linearidades devido à atritos, zona- morta, acoplamentos

dinâmicos existentes e incertezas paramétricas como às existentes no manipulador em estudo.

O tratamento do problema de controle em manipuladores robóticos empregando as

metodologias cinemática e dinâmica, respectivamente, apesar de ter seus aspectos positivos,

poderá levar o sistema de controle a operar com limitações e cometer erros devidos às

limitações computacionais e efeitos mecânicos desprezados no ato da modelagem (LAMAS, et

al., 2002).

Dentre os trabalhos encontrados, verifica-se que o controle dos servoposicionadores

elétricos tais como os motores de corrente contínua, motores de passo, entre outros, já é uma

prática bem difundida, consolidada e que tem apresentado bons resultados (REN et al., 2005).

No entanto, quando se trata de servoposicionadores pneumáticos, a situação é bem diferente,

isso devido a própria complexidade dinâmica associada a este tipo de acionamento. A questão

11

ligada à identificação, compensação das não-linearidades e incertezas paramétricas neste tipo

de servoatuador, pouco tem sido pesquisado.

Por outro lado, a tecnologia de controle adaptativo representa uma metodologia

sistemática e flexível que é adequada ao tratamento de incertezas tais como paramétricas e

não-linearidades. Conseqüentemente, o controle adaptativo apresenta um imenso potencial no

que diz respeito ao controle de sistemas complexos, pouco compreendidos e/ou que mude de

características de maneira não previsível.

Outro fator importante que motivou a realização deste trabalho é que embora a

literatura de controle de processos seja rica e bem diversificada na descrição de técnicas e

procedimentos de projeto, poucos trabalhos práticos têm apresentado propostas para o controle

digital em tempo real aplicáveis aos manipuladores robóticos. Um grande número de

algoritmos de controle tem se baseado apenas em ambientes de simulação digital. Há portanto

a necessidade de se investigar em termos práticos o quão eficientes e úteis são estes algoritmos

para o controle de sistemas dinâmicos com as características e complexidades expostas.

1.3 REVISÃO BIBLIOGRÁFICA

O controle de robôs manipuladores não é novidade e tem sido um tema bastante

pesquisado nos últimos anos, devendo-se este interesse às aplicações industriais e, sobretudo,

às aeroespaciais. Na literatura encontram-se estudos correlatos ao controle dos manipuladores

robóticos anteriores à década de 1980.

Há basicamente duas linhas gerais de estudo relacionadas com o tema “Controle de

robôs manipuladores”. Uma enfoca a identificação e a outra, o controle destes sistemas.

Devido às suas propriedades e características, as técnicas de controle adaptativo

normalmente apresentam-se como uma boa opção para o controle de sistemas que apresentam

não-linearidades e incertezas paramétricas como é o caso dos robôs manipuladores.

Apresenta-se a seguir uma revisão bibliográfica nestas linhas de estudo, delineando-

se o estado da arte.

Embora os primeiros trabalhos sobre controle adaptativo, remeta à década de 1950, a

sua primeira aplicação extensiva à robótica se deu através do trabalho apresentado por

12

DUBOWSKY e DESFORGES em 1979. Estes pesquisadores implementaram uma técnica de

parametrização otimizada a qual foi aplicada em um sistema robótico de seis graus de

liberdade. Nesta formulação, cada servomecanismo foi modelado como um sistema de

segunda ordem, sendo o acoplamento dinâmico entre os elos desprezados e, para cada elo,

ganhos de posição e de velocidade são calculados por um algoritmo que minimiza uma função

de erro positiva semi-definida utilizando o Steepest Decent Method. A estabilidade foi

analisada considerando o modelo desacoplado linearizado. Portanto, este trabalho representa a

primeira implementação de controle adaptativo aplicada aos sistemas robóticos

(TOSUNOGLU e TESAR, 1988).

Tratando-se da servopneumática, as obras geralmente reconhecidas como primeira

apresentação significativa são os trabalhos de autoria de JL SHEARER em 1956 (SHEARER,

1956a e 1956b).

BURROWS e WEBB (1968) publicaram um trabalho promissor relacionado com o

controle adaptativo de servomecanismos pneumáticos (SUÁREZ e LUIS, 2005; QUILES et al

2004).

LIU (1985) desenvolveu um esquema de controle adaptativo para manipuladores

robóticos, empregando em sua estrutura o estimador dos mínimos quadrados generalizados e a

técnica de controle auto-ajustável via alocação de pólos. As equações que descrevem a

dinâmica de cada junta foram escritas em forma de equações a diferenças considerando-as

desacopladas e o controle do sistema se dá em cada junta isoladamente. Baseado nesta técnica,

os pólos do sistema em malha fechada são alocados de forma a satisfazer as condições

transitórias pré-estabelecidas para que se tenha um preciso acompanhamento de trajetória. Os

autores realizaram um estudo de caso como aplicação, por meio de simulações numéricas,

demonstrando a eficiência desta técnica.

CRAIG et al. (1986) propuseram um controlador adaptativo baseado no método de

controle de torque computado ou calculado. Este procedimento é aplicável aos sistemas

robóticos com elos rígidos e, consiste em linearizar o sistema utilizando-se sua equação de

torque computado e técnicas de regressão linear, em termos de um conjunto de parâmetros

convenientemente selecionados. Baseado nesta linearização e a partir de medidas de posição,

velocidade, aceleração e da inversão da matriz inercial de parâmetros estimados, o controlador

13

adaptativo de torque computado foi proposto. SLOTINI e LI (1987) apresentaram resultados

semelhantes aos obtidos por CRIAG utilizando as medidas de posição e velocidade.

GUO e ANGELES (1989) apresentaram em seu artigo um método de controle

adaptativo aplicável aos manipuladores robóticos múltiarticulados. Esta técnica requer que as

equações dinâmicas não-lineares e acopladas do manipulador sejam linearizadas sobre uma

trajetória pré-escrita. Baseado no modelo linearizado e sob o pressuposto de pequenos desvios

dos valores nominais das variáveis de posição, velocidade e aceleração, os controladores são

projetados e o estimador dos mínimos quadrados recursivo (MQR) é utilizado para estimar on-

line a matriz de ganhos dos controladores, sendo estes ganhos atualizados e ajustados a cada

período de amostragem para obter-se o controle desejado do sistema. Assim, em vez de se

estimar os parâmetros inerciais do robô manipulador, os ganhos dos controladores, variantes

com o tempo, são estimados. Dessa forma, o algoritmo de controle resultante é muito mais

simples e os cálculos exigidos são reduzidos. Resultados de simulações realizadas em um robô

manipulador apresentaram erros de posicionamento na faixa de 5 a 10%.

Em 1990, YUH e TISSUE propuseram uma técnica de controle adaptativo em tempo

discreto sendo o modelo do manipulador obtido a partir da linearização das equações

multivariáveis do sistema, escritas na forma de equações a diferenças, sendo os parâmetros

estimados por algoritmos de identificação paramétricos. Os ganhos de controle são obtidos on-

line através da técnica de alocação de pólos, a partir dos parâmetros estimados do modelo.

Resultados de simulações realizadas em um manipulador com dois graus de liberdade

mostraram a eficiência do método apresentado.

GOURDEAU e SCHWARTZ (1991) desenvolveram uma estratégia de controle a

qual foi aplicada a um manipulador de dois graus de liberdade visando o controle de trajetória.

Trata-se de um sistema de controle adaptativo que emprega o método do torque computado e

neste caso, utiliza apenas a medida de posição de suas juntas. Os dados de saída (posição) e de

entrada do sistema (torque) são aplicados a um filtro, Filtro de Kalman extendido, para estimar

os parâmetros inerciais do modelo não-linear do robô, como também, as posições e

velocidades assumidas pelas juntas. A partir destas estimativas, o controlador adaptativo de

torque computado gera os novos valores de entrada do sistema. Esta estratégia de controle foi

14

implementada considerando-se uma frequência de amostragem de 30 Hz, sendo obtido um

preciso acompanhamento de trajetória por parte do robô manipulador.

PU et al. (1991) realizaram um estudo sobre motores acionados por meio do ar

comprimido e utilizados como atuadores. Este estudo mostra que em termos de

desenvolvimento de um modelo matemático, os motores a ar apresentam uma vantagem sobre

os cilindros pneumáticos pois o volume de ar a ser controlado é relativamente constante,

eliminando uma grande não-linearidade do atuador.

CANUDAS et al. (1991) discutem sobre o uso do controle adaptativo para a

compensação do atrito em robôs manipuladores. Neste estudo, os autores sugerem um modelo

aproximado para o atrito que é geralmente válido para uma faixa de velocidades consideradas.

Para controladores adaptativos operando a baixas velocidades, tal modelo proporciona

resultados superiores aos dos controladores que se utiliza do modelo de atrito de Coulomb.

Em 1992, JOHNSON e LORENZ apresentam resultados experimentais sobre a

identificação e compensação de atrito de mecanismos submetido ao controle de posição. Neste

trabalho, os autores mapeiam o atrito como uma função da velocidade e realizam uma análise

de regressão para identificar os coeficientes de atrito estático, de Coulomb e viscoso,

respectivamente.

WHITCOMB et al. (1993) apresentam uma metodologia de controle adaptativo

baseada em modelo e prova a estabilidade assintótica global do método ao ser aplicado a dois

robôs do tipo ARMS (GMFanuc, Modelo A-500 e o Yale Bügler). A partir de dados

experimentais, os autores mostram a superioridade do método com relação ao

acompanhamento de trajetórias sobre o controle convencional PD, além de comparar e

demonstrar a superior performance desta metodologia sobre outras técnicas semelhantes

(baseadas em modelo) e não adaptativas.

ARMSTRONG-HÉLOUVRY et al. (1994) efetuaram um estudo exaustivo sobre o

atrito, abrangendo os modelos, as ferramentas de análise e técnicas de compensação em

máquinas com atrito. O modelo do atrito utilizado pelos autores é dotado de sete parâmetros

relacionados com o contato deslizante entre as peças de metal duro, lubrificado por óleo ou

graxa, e em muitos casos, este modelo pode ser extrapolado para superfícies não lubrificadas.

15

TSENG e SHIH (1995) apresentaram em seu artigo o modelamento de um sistema

composto por dois cilindros pneumáticos, comandados através de válvulas eletropneumáticas

proporcionais, visando o controle de posição de suas hastes. O modelo matemático do sistema

é obtido em tempo real por meio de técnica de identificação paramétrica sendo utilizado o

algoritmo dos mínimos quadrados recursivo e dados de entrada e saída coletados do sistema.

A partir do modelo obtido, um controlador PID foi projetado empregando-se a técnica de

controle ótimo segundo o critério de otimização ITAE. Devido às incertezas e não-

linearidades apresentadas, os autores do artigo recomendam que a identificação e o controle do

sistema ocorram em tempo real, para que sejam obtidos resultados mais exatos.

ZIAUDDIN e ZALZALA (1995) discutiram a degradação do desempenho dos

manipuladores equipados com os controladores PID, principalmente na ocorrência de grandes

variações de tarefas ou de carga em seu efetuador. Discorrerem também sobre as dificuldades

de se conhecer exatamente os parâmetros do modelo ao se utilizar as técnicas adaptativas de

controle nestas situações, devido ao acoplamento dinâmico e não-linearidades inerentes aos

manipuladores, o que normalmente exigem algoritmos computacionalmente complexos. Para

solução deste problema, sugerem a abordagem de processamento paralelo a qual foi

implementada para o controle de um manipulador com seis graus de liberdade.

REMY e WECK (1995) apresentam um sistema de controle adaptativo projetado por

meio de técnicas baseadas na lógica Fuzzy e Rdes Neurais Artificiais, aplicado para o controle

de velocidade de um servomotor de corrente contínua. Os autores fazem um comparativo entre

as abordagens fuzzy e neural e discutem algumas de suas características no que concerne à

identificação e controle de sistemas. O sistema de controle projetado consiste de uma rede

neural que modela o servomotor e calcula o erro necessário para modificar os parâmetros do

sistema de controle e de um controlador neuro-fuzzy treinado on-line a partir do erro calculado

através do modelo neuronal, que se encarregará de manter o servomotor operando dentro dos

limites especificados para a velocidade. O uso de uma rede neural para modelar o sistema se

deu devido às não-linearidades apresentadas por este servomecanismo.

Em 1996, SILVA et al. utilizaram um controlador adaptativo por modelo de

referência e estrutura variável com o objetivo de controlar a velocidade de um motor de

corrente contínua. Esta estratégia de controle surgiu como uma possível solução para sistemas

16

incertos e, o controlador projetado segundo esta técnica, apresenta insensibilidade a variações

paramétricas e a perturbações, utilizando apenas medições de entrada (tensão aplicada à

armadura) e saída do sistema controlado (velocidade no eixo do motor). Nesta metodologia de

projeto, os autores utilizam duas estratégias distintas: O controle adaptativo por modelo de

referência (MRAC) e o controle a estrutura variável (VSC). O MRAC é projetado para atender

as especificações de desempenho definidas pelo modelo de referência. É constituído de uma

estrutura de controle parametrizada e de um mecanismo de aprendizagem ou adaptação que

utiliza somente medições de entrada e saída do sistema. Já no caso do VSC, as variáveis de

estado definem uma trajetória que deve alcançar e manter-se sobre uma superfície, chamada

de Superfície Deslizante (UTIKIN, 1992). Resultados de simulações comprovam a robustez e

insensibilidade às variações paramétricas do servomecanismo controlado.

POULIN et al. (1996) descrevem em seu artigo o uso de um controlador PID auto-

ajustável aplicável a um sistema SISO. O controlador apresentado pode controlar processos

estáveis ou instáveis, com zeros estáveis e instáveis, com um integrador, processos instáveis e,

processos aperiódicos padrões. Utiliza-se da técnica de identificação paramétrica recursiva

explícita e, os parâmetros são estimados considerando uma estrutura de modelo de segunda

ordem com um atraso de transporte. O controlador aplica a técnica de cancelamento de zeros e

pólos e é sintonizado tomando-se por base o critério de otimização ITAE. A performance do

controlador apresentado é avaliada comparando-o com controladores comerciais do tipo PID

convencionais.

CHEN et al. (1997) exploram em seu artigo um controlador H adaptativo. No

projeto do referido controlador é introduzido um modelo para sinais de distúrbio para

melhorar a capacidade de rejeição de distúrbios quando do acompanhamento de trajetória.

Para isso, o projeto do controlador H adaptativo compõe-se de um algoritmo adaptativo para

atenuação de distúrbios e um outro, para compensação baseado em modelo interno e atuando

de forma que o erro de acompanhamento de trajetória tenda a zero assintoticamente na

presença de distúrbios. A eficiência do controlador apresentado, quanto ao acompanhamento

de trajetória, é avaliada através de simulações realizadas em um manipulador robótico de dois

graus de liberdade.

17

TEIXEIRA et al. (1998) apresentam o projeto de um controlador neural adaptativo

capaz de controlar o posicionamento de um manipulador Puma 560 considerando seus três

primeiros graus de liberdade. Utilizou-se a técnica de Torque Computado para o projeto do

sistema de controle do manipulador o qual foi implementado via redes neurais artificiais. Tal

controlador necessita de uma fase off-line para treinamento prévio da rede e uma fase on-line

para que a rede já treinada se adapte a possíveis alterações no modelo ou distúrbio de carga. O

treinamento da fase on-line é feito a partir de uma variação do algoritmo Back-propagation já

conhecido na literatura. Na implementação do controlador neural tipo torque computado é

utilizada uma rede contendo três camadas, com a função de representar a dinâmica inversa do

manipulador. Para tal, a rede é treinada a partir de pares de entrada e saída de dados gerados a

partir do modelo dinâmico inverso do manipulador. A estratégia proposta para o controle do

manipulador Puma 560 aplicando a técnica descrita possibilitou a obtenção de bons resultados

e apropriada para controlar tais plantas.

LIN e MON (2002) propuseram um controlador hibrido Fuzzy-Adaptativo (HAFC), o

qual é aplicado para o controle de posição de sistemas robóticos. O sistema não-linear é

controlado por um controlador em espaço de estados e um controlador Fuzzy-Adaptativo, para

isso, uma lei adaptativa foi desenvolvida para sintonizar os ganhos de um controlador robusto

de modo deslizante, o Sliding Modes Controller (SMC), como também, lidar com as

incertezas e erros do modelo. O método de controle proposto é aplicado para avaliar a posição

e promover o acompanhamento de trajetória de um robô de dois graus de liberdade. Um

comparativo feito entre a técnica proposta e as metodologias PD convencional, adaptativo e

SMC demonstram que a técnica proposta, promove a melhoria da performance do sistema

quanto ao acompanhamento de trajetória, além de exibir estabilidade e robustez.

KHOH e TAN (2003) apresentaram resultados obtidos com um esquema de controle

adaptativo robusto aplicável a uma classe de sistemas que apresentam características como

incertezas paramétricas e não-linearidades, típicas dos manipuladores robóticos. O sistema de

controle é composto de um controlador MRAC associado a um compensador não-linear

baseado em uma Função de base radial (RBF) (CALLAN, 1999), adaptativa, capaz de auto

ajustar-se apenas com o erro de seguimento de trajetória apresentado pelo sistema. O

compensador RBF é utilizado para neutralizar o efeito das incertezas e de possíveis dinâmicas

18

não-lineares de modo que o sistema equivalente visto pelo MRAC é reduzido a um sistema

sem erros de modelagem significantes. Os autores apresentam uma análise de estabilidade e

mostram a capacidade de rastreamento do método proposto. A metodologia apresentada foi

aplicada para o controle em tempo real de uma plataforma giroscópica objetivando ressaltar

seu uso prático.

MONTENEGRO et al. (2004) apresentaram resultados obtidos por meio de um

controlador adaptativo projetado segundo a técnica de alocação de pólos, com o fim específico

de controlar a posição da haste do cilindro de um sistema eletropneumático. O uso desta

metodologia é justificado pelas limitações apresentadas pelas técnicas convencionais de

controle diante das incertezas paramétricas, dinâmicas não modeladas e não-linearidades

apresentadas por estes sistemas.

RIUL et al. (2004) propuseram em seu artigo o uso do controle adaptativo

descentralizados, visando controlar a posição de uma mesa de coordenadas de dois graus de

liberdade, composta de duas bases e acionadas por motores de corrente contínua. A técnica de

projeto utilizada foi a de alocação de pólos, sendo considerado que as mesas operam

desacopladas dinamicamente. A partir da estrutura de modelo pré-definida para as mesas, seus

parâmetros são estimados em tempo real a cada período de amostragem por meio do algoritmo

dos mínimos quadrados recursivo, os quais são utilizados no projeto de controladores PI

adaptativos via alocação de pólos. Os resultados experimentais obtidos confirmam a eficiência

da metodologia apresentada.

BURKAN e UZMAY (2005) descrevem em seu artigo o uso de um controlador

adaptativo, aplicado ao controle de manipuladores robóticos, cuja lei de controle é definida

para os n-elos do manipulador e baseai-se na teoria de estabilidade de Lyapunov. A lei de

adaptação de parâmetros, é obtida considerando as aproximações de SLOTINE (1987) e

SCIAVICCO e SICILIANO (1996).

PATETE et al. (2008) propõem em seu artigo o uso de um controlador adaptativo

auto-ajustável de variância mínima generalizada (GMV). Neste trabalho o problema de

controle de sistemas de fase mínima ou não mínima com modelos auto-regressivos de

parâmetros constantes e desconhecidos é considerado. Os autores analisam o desempenho do

controlador auto-ajustável em tempo discreto, quando aplicado a um sistema SISO e sujeito a

19

um distúrbio caracterizado como um ruído branco, sendo o critério considerado no projeto, a

minimização de uma variável de controle auxiliar baseada no conceito de controle de modos

deslizantes. O algoritmo de controle auto-ajustável combina um estimador recursivo com o

controlador GMV para o caso onde modelos auto regressivos são utilizados. A convergência

das variáveis auxiliares é comprovada pela teoria de Lyapunov. Esta metodologia foi validada

por meio de simulações computacionais e, baseados nos resultados obtidos os autores

concluíram que: para assegurar a estabilidade do sistema, os parâmetros estimados não

precisam necessariamente convergir para seus valores verdadeiros; esta metodologia de

controle é extensiva aos sistemas MIMO e pode ser formulada de forma similar.

Além dos trabalhos apresentados anteriormente, inúmeras outras pesquisas têm

fornecido subsídios para a compreensão dos fenômenos não-lineares que envolvem os

dispositivos de acionamentos dos manipuladores robóticos tais como os servomecanismos

eletropneumáticos. Os resultados destas pesquisas têm contribuído positivamente no

desenvolvimento de técnicas de modelagem e controle adequados para estes atuadores. Dentre

estes trabalhos pode-se citar CANUDAS et al. (1995), NOURI et al. (2000), ZORLU et al.

(2003), GUENTHER et al. (2006). Nestes artigos, os autores normalmente analisam as

características não-lineares do atrito e emprega-as nos projetos de controladores destinados ao

controle de servoposicionadores pneumáticos.

Resultados de estudos envolvendo o escoamento de fluido compressível são

encontrados RICHARD e SCAVARDA (1996) e CRUZ et al. (2004).

Tratando-se da fundamentação teórica relacionada com os temas identificação,

controle adaptativo e sistemas robóticos, a literatura conta com uma bibliografia muito vasta.

Dentre as encontradas cita-se: ÅSTRÖM e WITTENMARK (1995), AGUIRRE (2000),

AGUIRRE et al. (2007), ROMANO (2002), BEHAR e IRANZO (2003), BOBÁL et al.

(2005), COELHO e COELHO (2004), CRAIG (1986), GROOVER (1988), HERMELY

(1996), ISERMAN (1989a e 1989b), ISERMAN et al. (1992), LANDAU (1990), LJUNG

(1987), PAUL (1981), ROSÁRIO (2005), SPONG (1989), SLOTINE (1991), SÖDERSTRÖM

(1989).

20

1.4 OBJETIVOS E CONTRIBUIÇÕES DA TESE

O objetivo desta tese é desenvolver projetos de controladores empregando técnicas de

controle adaptativo, visando o controle de posição em tempo real de um robô manipulador de

dois graus de liberdade planar.

O trabalho será conduzido teórica e experimentalmente, sendo objetivos específicos

os seguintes:

Desenvolver, instalar, realizar testes e ajustar o sistema no qual será realizado

este trabalho;

Realizar revisão bibliográfica sobre o tema em estudo;

Estudar métodos numéricos e algoritmos aplicáveis à identificação

paramétrica de sistemas dinâmicos;

Aplicar os conhecimentos teóricos adquiridos na etapa anterior para

modelar/identificar parametricamente o manipulador robótico em estudo;

Estudar controladores adaptativos existentes, bem como, métodos numéricos

empregados no projeto de tais controladores;

Projetar e implementar controladores adaptativos de Variância Mínima

Generalizados (GMV) auto ajustáveis e, avaliar o comportamento do sistema

sob a ação de tais controladores ao descrever uma seqüência de degraus como

referência, considerando as seguintes situações:

i. O manipulador operando com seus elos desacoplados e,

ii. O manipulador operando com seus elos acoplados dinamicamente;

Realizar análise comparativa e discutir os resultados obtidos através das duas

configurações utilizadas (desacoplada e acoplada);

Apresentar as conclusões do trabalho proposto.

Normalmente as técnicas convencionais de controle para o seguimento de trajetórias

de robôs manipuladores situam-se em uma das seguintes categorias: técnicas de controle no

espaço de juntas e técnicas de controle no espaço de tarefa.

21

As técnicas de controle no espaço de tarefa operam com medições de quantidades no

espaço de tarefa e o mecanismo de controle encontra-se no espaço de tarefa. No caso de

técnicas de controle no espaço de juntas, os valores das posições das juntas (e possivelmente

suas derivadas), são medidos e o mecanismo de controle encontra-se no espaço de juntas. Isto

requer, entretanto, que a trajetória desejada seja dada no espaço de juntas. Portanto, uma

transformação da trajetória do espaço de tarefa para o espaço de juntas, denominada de

cinemática inversa, tem que ser realizada. O movimento desejado no espaço de juntas é então

a referência para o algoritmo de controle (SLOTINI E LI, 1991; MARTINS, 2001).

A necessidade de realização da cinemática inversa exige normalmente do algoritmo

de controle, um esforço computacional considerável, comprometendo a ação do sistema de

controle.

Face às dificuldades impostas pela necessidade da aplicação da cinemática inversa e

as características dos robôs manipuladores, o emprego das técnicas convencionais de controle

encontra limitações. Portanto, o uso das técnicas de identificação paramétricas e de controle

adaptativo em tempo real para o controle eficiente destes sistemas de forma a reduzir os erros

de seguimento (de trajetória e de velocidade) e de regime permanente, torna-se além de

adequado, necessário. A técnica de controle adaptativo representa uma metodologia

sistemática e flexível que é bem aceita para tratar situações onde ocorrem variações

paramétricas no tempo (sistema variante no tempo): robô realizando tarefas de pick-and-place,

manipulando diferentes peças (diferentes cargas, diferentes centro geométricos, diferentes

momentos de inércia), e onde se exige um alto desempenho do mesmo. Dessa forma, pode-se

dizer que a técnica de controle adaptativo apresenta um imenso potencial de utilização no que

diz respeito ao controle de sistemas complexos, pouco compreendidos e/ou que mude de

características de maneira não previsível.

Cabe a então a realização de uma investigação mais efetiva no sentido de avaliar a

aplicabilidade desta técnica para o controle de robôs manipuladores que apresente

características similares às do manipulador em estudo.

Diante do exposto, a contribuição desta tese para o estado da arte será

essencialmente: a elaboração e implantação de algoritmo de identificação e controle aplicável

aos sistemas robóticos com acionamento híbrido (Elétrico/Pneumático), múltivariáveis, que

22

considere o acoplamento dinâmico entre elos, permita identificar o sistema recursivamente por

meio de um método estimativo otimizável, sem que haja a necessidade de realizar

transformações que envolva a cinemática inversa e, finalmente, que os parâmetros do sistema

de controle sejam projetados em tempo real permitindo assim o controle preciso de trajetória.

1.5 METODOLOGIA

Em uma primeira etapa deste trabalho, será considerado que os elos do robô

manipulador operam de forma desacoplada. Neste caso, os elos do manipulador serão

identificados separadamente um do outro.

Um estudo prévio será realizado objetivando-se definir a estrutura de modelo para o

manipulador, ou seja: números de pólos, zeros e de atrasos. Uma vez conhecida e validada a

estrutura de modelo, os elos do manipulador serão identificados recursivamente por meio do

estimador MQR.

Serão projetados controladores adaptativos de Variância Mínima Generalizados

(GMV) auto ajustáveis, para os elos do manipulador que empregará no cálculo da lei de

controle os parâmetros identificados a cada instante de amostragem, considerando-os como

dois sistemas SISO e como referência uma seqüencia de degraus.

Na etapa seguinte, considerar-se-á que o robô opera dinamicamente acoplado e, a

identificação será realizada considerando o sistema MIMO de duas entradas e duas saídas,

utilizando-se, para cada elo, a estrutura de modelo previamente definida na etapa anterior.

Objetivando o controle do sistema acoplado, em tempo real, para a referência

formada pela seqüencia de degraus, os controladores adaptativos projetados na primeira etapa,

serão utilizados, usando os parâmetros do sistema acoplado identificados a cada instante de

amostragem.

Testes experimentais com o sistema operando sob a ação dos controladores

projetados serão realizados considerando as duas condições operacionais pré-estabelecidas:

acoplada e desacoplada. Os resultados provenientes dos testes experimentais serão

posteriormente confrontados para as devidas conclusões.

23

1.6 ORGANIZAÇÃO DO TRABALHO

Esta tese está organizada em seis capítulos e 3 apêndices. Um breve resumo de cada

capítulo é descrito a seguir:

No capítulo 1 apresenta-se uma introdução ao tema desta tese, além de descrever as

justificativas e a relevância deste trabalho. Faz-se uma descrição do estado da arte

apresentando cronologicamente alguns trabalhos que tratam da modelagem e do controle dos

manipuladores robóticos, além de discorrer sobre os objetivos, contribuições esperadas e sobre

a metodologia aplicada para conduzir e alcançar os objetivos deste trabalho.

No capítulo 2 o sistema experimental “O robô manipulador de dois graus de liberdade

planar” é apresentado. Descrevem-se as principais características técnicas dos subsistemas que

o compõem: o elo translacional e o rotacional.

No capítulo 3 a fundamentação teórica apresentada no apêndice A, é utilizada para a

definição da estrutura de modelo, identificação e validação do modelo matemático do

manipulador em estudo. Em seguida, os resultados da identificação são apresentados.

O capítulo 4 apresenta os controladores adaptativos. Uma breve descrição histórica

sobre os controladores adaptativos é feita, além de discorrer sobre as definições, classificações

e suas representações em forma de diagrama em blocos. Uma maior ênfase é dada ao

controlador GMV auto-ajustável por ser o controlador utilizado para promover o controle de

posição dos elos do manipulador em estudo. O capítulo descreve também, o princípio de

funcionamento dos elos do manipulador em malha fechada sob a ação de controle, além de

apresentar os critérios de desempenho a serem utilizados para a avaliação do desempenho do

sistema. O projeto dos controladores GMV auto-ajustáveis considerando os modelos

acoplados e desacoplados do sistema, respectivamente, também é apresentado neste capítulo,

os quais são implementados experimentalmente para o controle do manipulador em estudo. No

capítulo 5 apresenta-se a comparação dos resultados obtidos experimentalmente com o

manipulador submetido à ação dos controladores GMV auto-ajustáveis, considerando o

sistema desacoplado e acoplado. Descreve-se também neste capítulo, os resultados dos índices

de desempenho (VAR, IAE, ID, Erro percentual, Máximo sobre-sinal e Tempo de

24

acomodação), calculados para avaliar o desempenho global do sistema sob à ação dos

controladores projetados.

No capítulo 6 as conclusões finais desse trabalho são apresentadas. Indicam-se

também propostas para trabalhos futuros.

O apêndice A aborda a teoria sobre as representações lineares de modelos discretos,

sobre os estimadores dos mínimos quadrados (MQ) e mínimos quadrados recursivos (MQR), a

concepção das equações que descrevem a dinâmica dos sistemas múltivariáveis,

especificamente aplicadas ao manipulador em estudo, além de apresentar e discutir o

embasamento teórico relacionado com a modelagem matemática, identificação paramétrica e

validação de modelos de sistemas dinâmicos.

No apêndice B, os controladores adaptativos são apresentados. Descreve-se sobre o

seu surgimento, os tipos, características e diagramas representativos.

CAPÍTULO 2:

DESCRIÇÃO DO SISTEMA EXPERIMENTAL

2.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta uma breve descrição sobre o projeto do sistema experimental

desta pesquisa o “Robô Manipulador de Dois Graus de Liberdade Planar”, composto de dois

subsistemas: um elo translacional e outro rotacional. A seção 2.2 descreve sucintamente o

projeto referente ao robô manipulador em estudo. Na seção 2.3 o robô manipulador é

apresentado, sendo descritos cada um dos elementos que o compõe. A seção 2.3.1 discorre

sobre a bancada de testes, confeccionada para possibilitar a realização dos ensaios e a

comunicação do sistema computacional com o robô manipulador em estudo. Em seguida, é

apresentado na seção 2.3.2 um comentário a respeito do sistema de aquisição de dados

responsável pela conversão, aquisição de sinais e comunicação do robô manipulador com o

sistema computacional no qual está inserido o software de identificação e controle do sistema

em estudo. As seções 2.3.3 e 2.3.4 discorrem sobre os elos que compõem o robô manipulador,

descrevendo seus componentes, suas características e especificações técnicas.

O capítulo é finalizado com as conclusões a respeito da zona-morta presente nos

atuadores utilizados, folgas apresentadas pelo sistema de redução do elo de rotação e da

presença de ruído no sistema de aquisição de sinais.

26

2.2 PROJETO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

PLANAR

Quando comercializados os primeiros robôs industriais, por volta da década de 60,

seu preço era muito alto e somente algumas e poucas empresas, todas localizadas em países

desenvolvidos (principalmente no Japão e nos Estados Unidos), tinham acesso a estes

equipamentos. No entanto, a partir de 1976 os preços começaram a baixar de forma

extremamente acelerada e o grande responsável por tal redução foi o avanço ocorrido na

microeletrônica (ROSÁRIO, 2007). Entretanto, no Brasil, a criação e construção de robôs

manipuladores ainda permanecem dependentes de empresas multinacionais, o que força às

empresas nacionais a importar estes equipamentos.

O projeto de um robô manipulador é necessariamente interdisciplinar e envolve a

utilização de conhecimentos de várias áreas, como a área da engenharia mecânica que fornece

metodologias para o estudo de estruturas e mecanismos em situações estáticas e dinâmicas,

das engenharias elétrica e eletrônica que fornecem técnicas para o projeto e integração de

sensores, interfaces, atuadores e controladores, da teoria de controle que formula e avalia

algoritmos ou critérios de inteligência artificial que realizam os movimentos desejados e

controlam as interações entre o robô e o ambiente. Finalmente, da ciência da computação que

propiciam ferramentas para programação dos manipuladores robóticos, capacitando-os à

realização das tarefas específicas (ROMANO, 2002).

O robô manipulador proposto para este estudo foi projetado, construído e montado no

Laboratório de Automação e Controle do Centro de Tecnologia da Universidade Federal da

Paraíba – UFPB e para a execução destas atividades, contou com uma equipe de professores e

pesquisadores dotados dos conhecimentos acima descritos.

Na fase de elaboração do projeto do sistema proposto, o compromisso de se empregar

na sua construção materiais mais leves, de baixo custo, atuadores distintos para o acionamento

de suas juntas e tecnologias atuais, além do compromisso destes materiais serem

comercialmente os existentes no mercado nacional, foram assumidos. Sendo assim, na sua

construção, foram utilizados os componentes comerciais tais como: o alumínio, para compor a

parte estrutural do elo rotacional do manipulador, motor de corrente contínua, redutor de

27

velocidade, válvula proporcional eletropneumática, cilindro de dupla ação e haste passante,

placa de aquisição de dados, unidade de lubrificação e filtragem de ar, compressor de ar e

sensores, adquiridos com verbas do Programa de Apoio à Pesquisa, PROAP, do Programa de

Pós Graduação de Engenharia Mecânica. Os demais componentes foram confeccionados nas

dependências do Centro de Tecnologia da UFPB.

2.3 DESCRIÇÃO DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE LIBERDADE

PLANAR

O robô manipulador é composto de um elo rotacional e outro prismático conforme a

figura .

Figura 2.1 - Manipulador Planar

O elo rotacional é um perfil U em alumínio (5) e é acionado por um moto-redutor de

corrente contínua (2). O elo prismático é um cilindro pneumático de dupla ação e haste

passante (6), que fica fixo no interior do perfil U e é acionado por uma válvula

eletropneumática proporcional (8), que serve para direcionar proporcionalmente a vazão da

linha de suprimento para as câmaras do cilindro e destas para a atmosfera, fazendo com que a

28

diferença de pressão no êmbolo do cilindro forneça a força necessária ao movimento de sua

haste e da carga a ela acoplada.

Um potenciômetro (3), acionado pelas engrenagens (4) é utilizado como transdutor de

posição angular do perfil U e uma régua potenciométrica (7) como transdutor linear de posição

da haste do cilindro pneumático. Com esta configuração o movimento do robô ocorre num

plano.

Este sistema é denominado MIMO por ter duas entradas e duas saídas, caracterizado

também como um sistema de dois graus de liberdade.

2.3.1 Bancada de Testes

A figura 2.2 apresenta uma vista geral da bancada de teste a qual é mostrada na forma

de diagrama em blocos na figura 2.3. A bancada de teste é composta do robô manipulador,

uma fonte variável de tensão contínua, um sistema de aquisição de dados e um computador

pessoal (PC), que são usados para gerar os sinais de controle que irão excitar o amplificador

de potência do moto-redutor de corrente contínua e o circuito eletrônico que comanda a

válvula eletropneumática proporcional, além de captar os sinais advindos dos transdutores de

posição do robô em estudo. No computador a identificação do modelo e a implementação da

lei de controle do robô manipulador é realizada através de programas computacionais

desenvolvidos em ambiente LabVIEW

associados a rotinas escritas na linguagem de

programação Matlab

.

Figura 2.2 – Bancada de Testes

29

Figura 2.3 – Diagrama em blocos da bancada de teste

2.3.2 Sistema de Aquisição de Dados

O processo de aquisição e controle do manipulador é realizado por uma placa NI

USB 6008 de fabricação da National Instruments. Esta placa faz a interface dos algoritmos de

identificação e controle com a planta através dos conversores D/A (digital/analógico) e A/D

(analógico/digital), conforme pode ser visto na figura 2.3. Dessa forma, realiza a digitalização

por meio de um conversor A/D dos dados analógicos obtidos nas medições efetuadas na

planta, faz o processamento em um processador de sinais digitais e gera a saída transformando

o sinal de controle digital em analógico por um conversor D/A. Suas especificações são as

seguintes: 4 canais de entradas diferenciais analógicas ou 8 simples e 2 canais de saída,

resolução de 12 bits, taxa de amostragem 10 kS/s, faixa de tensão de entrada ±10 V, faixa de

tensão de saída 0 a 5 V, corrente de saída 5 mA e transferência de dados USB. Na bancada de

teste montada para este estudo, foram utilizados quatro canais analógicos, sendo dois canais de

entrada (AI O e AI 1) e dois canais de saída (AO 0 e AO 1), conforme pode ser visto na figura

2.3.

O PC utilizado continha um processador Pentium Dual-Core de 1,73 GHz com 1014

MB de Memória Ram. Com esta configuração foi possível realizar a identificação e

implementar as ações de controle do manipulador em tempo real. A programação dos

algoritmos de identificação e controle do sistema foi desenvolvida em ambiente LabVIEW

30

associados a rotinas escritas na linguagem de programação Matlab

, sendo utilizada uma taxa

de amostragem de 5 ms.

2.3.3 Componentes do Servoposicionador do Elo de Translação

A Figura 2.4 apresenta uma vista geral do sistema posicionador do elo translacional,

composto dos seguintes elementos:

Válvula eletropneumática proporcional: É utilizada para direcionar

proporcionalmente a vazão da linha de suprimento para as câmaras do cilindro e destas para a

atmosfera, fazendo com que a diferença de pressão nos êmbolos do cilindro forneça a força

necessária ao movimento. Possui um carretel com controlador de abertura o que permite

combinar o controle de direção e velocidade do cilindro. A tabela 2.1, apresenta as principais

características técnicas da válvula proporcional utilizada neste trabalho (FESTO

, 2008a).

Figura 2.4 - Servoposicionador do elo translacional

Válvula

Proporcional

Cilindro

Pneumático

Régua

Potenciométrica

31

Tabela 2.1 – Dados técnicos da válvula eletropneumática proporcional

Modelo/Fabricante MPYE-5-1/8 HF-010B/FESTO

Tipo 5/3 Vias

Pressão absoluta de trabalho 0 a 105 Pa

Vazão nominal 700 l/min (0,012 m3/s) ±10%

Temperatura de trabalho +5 a 40 0C, sem condensado

Temperatura ambiente 0 a 50 0C

Tensão de alimentação 24 V CC ±25%

Tensão de excitação 0 a 10 V CC, posição central em 5 V

Tempo de resposta 4,8 ms(238,1 Hz)

Potência máxima absorvida 20 W

Fonte variável de corrente contínua: Equipamento utilizado para fornecer a

potência necessária à válvula proporcional a uma tensão de 24 V CC, além das tensões

auxiliares de alimentação dos transdutores de posição potenciométricos. Foi utilizada uma

fonte de tensão variável de fabricação MINIPA

, modelo: MPE-3303, com dois canais, faixa

de variação de tensão de 0 a 30 V CC e capacidade de corrente de 3 A por canal.

Cilindro de dupla ação e haste passante: Elemento que realiza o trabalho ao

receber o ar comprimido direcionado pela válvula proporcional em uma de suas duas câmaras.

A tabela 2.2 mostra algumas das especificações técnicas correspondentes ao cilindro utilizado

como elo de translação do manipulador em estudo (FESTO

, 2008b).

Tabela 2.2 – Dados técnicos do cilindro pneumático

Modelo/Fabricante DNG-32-400 PPV/FESTO

Tipo Dupla ação e haste passante

Pressão absoluta de trabalho 0,6 a 10x105 Pa

Faixa de temperatura de trabalho -20 a 80 0C

Meio operacional Ar comprimido seco lubrificado ou não

Amortecimento Pneumático, aos finais do curso

Curso efetivo 400 mm

Diâmetro do êmbolo 32 mm

Força teórica a 6x105 Pa, retorno 415 N

Força teórica a 6x105 Pa, avanço 415 N

32

Transdutor de posição resistivo (Régua potenciométrica): É o componente

que converte a variável mecânica deslocamento linear em uma tensão elétrica, operando como

um divisor de tensão. Comparados a outros tipos de sensores, apresenta boas propriedades tais

como baixo custo, boa precisão e é de fácil instalação. Entretanto, apresentam como

desvantagens possíveis falhas de leitura, excessiva sensibilidade a variações de temperatura e

o sinal de saída é ruidoso devido ao atrito do cursor móvel com relação ao corpo do elemento

resistivo (ROSÁRIO, 2005. Neste elo foi utilizado um transdutor potenciométrico que fornece

um sinal de resposta proporcional ao deslocamento do seu cursor. Sendo este cursor fixado à

haste do cilindro, fornece portanto, a informação referente ao deslocamento desta haste. O

transdutor é de fabricação FESTO

e de especificação NLO-POT-225-TFL. É dotado de três

terminais (a,b,c), sendo os terminais “a” e “b” alimentados com uma tensão fixa de 5 V CC e o

terminal “c” de saída (cursor móvel acoplado à haste do cilindro), que possui sua tensão

variável de acordo com o deslocamento, é ligado ao canal de entrada analógica AI0 da placa

de aquisição. A equação (2.1) representa a função linear que possibilita relacionar os valores

do deslocamento do cursor da régua/haste do cilindro com a tensão, em unidades do SI e

obtida a partir de dados levantados em laboratório.

𝑋 =

66,14544059 ∗ 𝑉𝐶𝑈𝑅𝑆𝑂𝑅 − 12,35715892 (2.1)

onde:

VCURSOR: tensão medida no cursor móvel do transdutor potenciométrico (V);

X: deslocamento do cursor do transdutor/haste do cilindro (mm).

Unidade de suprimento de ar comprimido: Esta unidade é dotada de um

compressor de êmbolo com movimento linear que funciona de forma intermitente de acordo

com a pressão ajustada no pressostato responsável pelo acionamento de sua máquina motriz. É

de fabricação SCHULZ

, modelo MS-2,5 ML e possui uma capacidade de compressão de

147,55 l/min a uma pressão máxima de 8,3x105 Pa, o qual é acoplado a um reservatório

33

(pulmão) que tem a função de armazenar o ar comprimido e equalizar as pressões das linhas de

consumo.

Unidade de conservação: É composta de um filtro de ar que tem a função de

reter as impurezas e reduzir a umidade contida no ar; um elemento lubrificador de ar

comprimido que tem como função aspergir em uma quantidade controlada o óleo lubrificante

que fará a lubrificação das partes internas dos componentes pneumáticos do sistema e, um

regulador de pressão que permite o controle do nível da pressão de utilização em valores

desejáveis.

2.3.4 Componentes do Servoposicionador do Elo de Rotação

A figura 2.5 apresenta uma vista geral do sistema posicionador do elo rotacional. Este

sistema é composto basicamente dos seguintes elementos: amplificador de potência, motor de

corrente contínua, engrenagens e transdutor de posição angular, os quais serão descritos

detalhadamente a seguir:

Motor de corrente contínua: Motor de imã permanente controlado pela

armadura e tensão nominal de alimentação 12 V CC.

Outras vantagens que tornam o uso difundido destes motores na robótica são relativas

às suas características tais como: precisão, confiabilidade, baixo nível de ruído sonoro,

facilidade de instalação e de controle, pois, é possível controlar o torque e a velocidade destes

motores sobre uma grande faixa, apenas controlando a tensão aplicada à armadura. O motor

utilizado no manipulador em estudo possui um redutor acoplado ao seu eixo que além de

reduzir a velocidade de rotação, amplifica o torque a ser fornecido à carga. Sua tensão de

alimentação é de ±12 V CC, corrente nominal de 1,34 A e o sentido de rotação dependerá da

amplitude da tensão de excitação aplicada à entrada do amplificador de potência que o aciona,

conforme será detalhado quando da descrição do amplificador.

34

Figura 2.5– Servoposicionador do elo rotacional

Amplificador de potência: Dadas as características de tensão e capacidade

máxima de corrente da placa de aquisição de dados apresentadas na seção 2.2.2, houve a

necessidade de introdução de um amplificador de potência para servir como fonte de

suprimento ao motor de corrente contínua utilizado. Este amplificador além de fornecer a

potência necessária ao acionamento do motor, fornece a polaridade adequada para que o seu

funcionamento se dê no sentido desejado. A decisão do sentido de rotação depende da tensão

de excitação aplicada em seus terminais de entrada. A tabela 2.3, mostra a relação entre a

tensão de excitação versus a amplitude e polaridade da tensão de saída do amplificador de

potência.

Tabela 2.3 – Tensão de excitação versus tensão de saída do amplificador de potência

Tensão de excitação (V)

(Imáx: 5 mA)

Tensão de saída

(Imáx: 5 A)

Sentido de Rotação do

motor

0 -12 Anti-horário

5 0 Parado

10 12 Horário

Motor DC

Engrenagem Amplificador

de

Potência

Redutor

de

Velocidade

Transdutor

Potenciométrico

35

Transdutor de posição angular: Possui as mesmas características técnicas,

função e princípio de funcionamento do transdutor linear, excetuando o tipo de movimento do

seu cursor que neste caso, é rotacional. Neste elo, o transdutor de posição converte um dado

número de voltas de seu cursor em uma tensão elétrica, que por sua vez, é lido pelo sistema de

aquisição de dados. Neste elo foi utilizado um transdutor potenciométrico que possui variação

angular múltivoltas (dez voltas), que fornece um sinal de resposta proporcional ao número de

voltas de seu cursor. Sendo este cursor acoplado ao eixo do motor que aciona o elo, fornece,

portanto, a informação referente ao deslocamento angular deste elo. O transdutor

potenciométrico é de fabricação TRIMMER

e de especificação WXD3590, resistência

elétrica de 10 k ±10%. Semelhante ao transdutor linear, é dotado de três terminais (a,b,c),

sendo os terminais “a” e “b” alimentados com uma tensão fixa de 5 V CC e o terminal “c” de

saída (cursor móvel acoplado ao eixo do motor por meio de engrenagens), que possui sua

tensão variável de acordo com a rotação do seu cursor que está conectado ao canal de entrada

analógica AI1 da placa de aquisição de dados. A equação (2.2) representa a função linear que

possibilita relacionar os valores do deslocamento angular do eixo do motor com a tensão, em

unidades do SI e obtida a partir de dados levantados em laboratório.

A partir dos dados obtidos, foi ajustada a função linear dada pela equação (2.2), que

relaciona os valores dos ângulos de rotação da junta com a tensão em ambos os sentidos e em

unidades do SI.

𝜃 = 7,435773506 ∗ 𝑉𝐶𝑈𝑅𝑆𝑂𝑅 − 112,2422575 (2.2)

onde:

VCURSOR: tensão medida no cursor móvel do transdutor potenciométrico (V);

θ: deslocamento do transdutor potenciométrico/eixo do motor (graus).

Engrenagens: São os elementos que compatibilizam o número de rotações do

cursor do transdutor com o número de rotações do eixo do motor. Possui uma relação de 10:1,

ou seja, quando cursor do transdutor realiza dez voltas o elo rotacional descreve uma volta ou

36

ângulo de 360 graus. Para possibilitar o uso deste transdutor de forma que ele detectasse o

movimento do elo em ambos os sentidos de rotação, este foi alinhado com a referência “zero

grau” e o transdutor foi centralizado em cinco voltas e neste ponto considerou-se a referência

zero para este transdutor, antes de ser acoplado à engrenagem motora. Dessa forma, quando o

elo descreve um ângulo de 180 graus no sentido horário o transdutor executa 5 voltas e em

sentido contrário, o processo ocorre de forma análoga.

2.4 CONCLUSÃO

Neste capítulo foi apresentado o robô manipulador de dois graus de liberdade planar

objeto deste trabalho, quando foi descrito o seu princípio de funcionamento, dando-se ênfase

aos elementos que o compõem, além de descrever suas especificações técnicas.

Descreveu-se também, os motivos que levaram a projetar e construir o manipulador

para a realização deste estudo.

Foram apresentadas as equações de conversão de unidades de tensão para as unidades

de deslocamento linear (deslocamento do elo prismático) e unidades de deslocamento

rotacional (deslocamento do elo de rotação), representadas pelas equações (2.1) e (2.2),

obtidas através de ensaios realizados em laboratório.

Observou-se também através dos ensaios realizados, a existência de zona-morta na

dinâmica da válvula proporcional eletropneumática, na faixa compreendida entre 4,51 a 5,61

V de tensão de excitação. A região de zona-morta também foi encontrada na dinâmica do

motor de corrente continua, situando-se na faixa compreendida entre -1,88 a 1,62 V de tensão

de armadura. Além da presença de zona-morta detectada, o elo de translação apresenta uma

folga no redutor de velocidade (corôa/sem-fim), que corresponde a uma mobilidade no

respectivo elo de aproximadamente 3 graus.

CAPÍTULO 3:

MODELAGEM DO ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE

LIBERDADE PLANAR

3.1 INTRODUÇÃO

Este capítulo apresenta de forma sistematizada as etapas da identificação de sistemas

e as aplica para definir a estrutura de modelo do robô manipulador em estudo.

Na seção 3.2 o modelo matemático que descreve a dinâmica do manipulador é

apresentado. Na seção 3.3 são definidas as estruturas de modelo do manipulador. A seção

3.3.1 apresenta as características dos sinais de excitação a serem empregados no processo de

identificação paramétrica dos modelos. Já na seção 3.3.2, o tempo de amostragem a ser

considerado nos testes experimentais é definido. Na seção 3.3.3 é determinada a estrutura de

modelo para o manipulador em estudo, além de apresentar os parâmetros de inicialização do

processo estimativo. A seção 3.3.4 apresenta a identificação paramétrica em tempo real do

robô manipulador propriamente dita. Enquanto que na seção 3.3.5, é apresentada a validação

do modelo identificado na seção 3.3.4. A seção é finalizada com as conclusões do capítulo

apresentadas na seção 3.4.

Nesta seção será apresentado o processo de identificação do sistema em estudo o que

corresponde à obtenção dos modelos referentes aos elos de translação e de rotação do

manipulador de dois graus de liberdade planar. Os modelos identificados deverão reproduzir

as características dinâmicas dos subsistemas supracitados, de forma a satisfazer aos critérios

de validação estabelecidos na seção A.4.4.7, do apêndice A.

38

3.2 MODELO MATEMÁTICO DO MANIPULADOR DE DOIS GRAUS DE

LIBERDADE PLANAR

Antes de realizar qualquer processo de identificação paramétrica de um sistema, há a

necessidade de definir a estrutura de modelo a ser utilizada. Conforme foi descrito no apêndice

A, seção A.4.3, por ter uma estrutura muito simples e por permitir o uso de métodos de

estimação paramétrica (o MQR, por exemplo) que fazem uso da técnica de regressão linear, o

modelo ARX tem seu uso bastante difundido.

A complexidade de um modelo depende de sua finalidade e da complexidade do

sistema a ser modelado, porém, no ato de sua escolha é sempre bom que seja considerado o

Princípio da parcimônia e assim, optando por modelos mais simples quanto possível. Não

justifica utilizar-se de um modelo complexo para identificar um sistema, quando outro mais

simples pode descrever de forma satisfatória suas características para o fim que se deseja. Por

estes motivos que neste trabalho será empregado o modelo ARX para sistemas MIMO,

apresentado na seção A.4.3, do apêndice A.

Na seção A5 do apêndice A, foram obtidas as equações a diferenças (3.1)

apresentadas a seguir. Estas equações regem a dinâmica do manipulador planar que se refere

este estudo.

𝑦1 𝑘

𝑦2 𝑘 = −

𝑎11 1 𝑎12

1

𝑎21 1 𝑎22

1 𝑦1 𝑘 − 1

𝑦2 𝑘 − 1 −

𝑎11 2 𝑎12

2

𝑎21 2 𝑎22

2 𝑦1 𝑘 − 2

𝑦2 𝑘 − 2 − ⋯

− 𝑎11 𝑛𝑎 𝑎12

𝑛𝑎

𝑎21 1 𝑎22

𝑛𝑎 𝑦1 𝑘 − 𝑛𝑎

𝑦2 𝑘 − 𝑛𝑎 +

𝑏11 1 𝑏12

1

𝑏21 1 𝑏22

1 𝑢1 𝑘 − 𝑑

𝑢2 𝑘 − 𝑑 +

𝑏11 2 𝑏12

2

𝑏21 2 𝑏22

2 𝑢1 𝑘 − 𝑑 − 1

𝑢2 𝑘 − 𝑑 − 1 + ⋯+

𝑏11 𝑛𝑏 𝑏12

𝑛𝑏

𝑏21 𝑛𝑏 𝑏22

𝑛𝑏 𝑢1 𝑘 − 𝑑 − 𝑛𝑏

𝑢2 𝑘 − 𝑑 − 𝑛𝑏 +

𝑒1 𝑘

𝑒2 𝑘 (3.1)

Como pode ser observado a equação (3.1) trata-se da representação generalizada da

dinâmica do sistema, construída em função dos parâmetros a serem identificados. Dessa

39

forma, uma vez definidos os respectivos valores como o número de pólos, zeros, atrasos de

transporte e o tempo de amostragem, a estrutura do modelo será pré-definida e os parâmetros

serão estimados por meio do MQR e assim, definidas as equações paramétricas que descrevem

a dinâmica dos elos de translação e de rotação do manipulador, respectivamente. Na seção a

seguir, será apresentado o procedimento de definição da estrutura de modelo do manipulador.

3.3 DEFINIÇÃO DA ESTRUTURA DE MODELO DO MANIPULADOR

A equação (4.1) descreve a dinâmica do sistema, no entanto, isso ocorre se a estrutura

do modelo definida pelo número de pólos na, número de zeros nb e atrasos de transporte d,

além das excitações u1(k) e u2(k) e o tempo de amostragem Ta, são definidos. Diante disso, os

parâmetros 𝑎𝑘𝑗𝑛𝑎 e 𝑏𝑘𝑗

𝑛𝑏 serão estimados através do MQR.

Na definição das características do sinal de excitação para modelar um sistema, não

conhecendo a priori o sistema que se quer modelar, é sempre comum a realização de testes

iniciais com o sistema em malha aberta, objetivando obtenção de informações sobre a sua

dinâmica. Tais informações são úteis para definir os parâmetros que comporão o sinal de

excitação tais como: forma de onda, amplitude, tempo de excitação (duração), tempo de

amostragem, entre outros, os quais serão utilizados quando da aquisição de dados para a

identificação. Nesta fase também, é possível se certificar da presença de ruídos oriundos dos

circuitos elétricos e instrumentação. Considerando que no presente trabalho um dos objetivos

específicos é a identificação do sistema, utilizando-se para isso, a modelagem do tipo caixa

preta por não se ter qualquer conhecimento a priori sobre o sistema em estudo, efetuou-se

alguns testes iniciais com o manipulador em malha aberta e a partir dos dados obtidos, definiu-

se os parâmetros empregados na aquisição, identificação e projeto dos controladores dos elos

de translação e rotação, respectivamente, conforme serão apresentados nas seções a seguir.

3.3.1 Definição do Sinal de Excitação dos Elos de Translação e Rotação do Manipulador

A definição do sinal de excitação é uma tarefa de grande importância no processo de

identificação de um sistema dinâmico. Pelos motivos já expostos na seção A.4.4.1 do apêndice

40

A, tipicamente, deseja-se que a média da autocorrelação (equação (A.40)) do sinal de

excitação seja nula para todos os valores de k≠ 0, pois, a ocorrência desta condição é um

indicativo de que os valores que o sinal assume não estão relacionados com os seus valores

anteriores e posteriores. Um sinal aleatório satisfaz, via de regra a esta condição. Por ser um

sinal aleatório não há nenhuma relação entre os valores da série.

Outra questão importante é com relação ao conteúdo espectral do sinal de excitação.

Este conteúdo determina a qualidade do modelo identificado nas freqüências excitadas. Na

prática procura-se normalmente se utilizar de sinais com um espectro de freqüência que excite

o sistema persistentemente de forma a forçá-lo a revelar na saída, as suas características

dinâmicas e com isso, permitir a estimação de todos os parâmetros do modelo.

Os sinais aleatórios ou pseudo-aleatórios caracterizam-se por serem sinais

persistentes e são bastante utilizados nos procedimentos de identificação de sistemas

dinâmicos e isso se justifica por dois motivos: um deles é que previnem a ocorrência de mau

condicionamento numérico e/ou colunas iguais (linearmente dependentes) na matriz de

covariância e o outro, é que excitam os modos do sistema que correspondem ao conteúdo

espectral, por possuir potência espectral numa grande faixa de freqüência. Portanto, um

sistema excitado por um sinal aleatório terá energia suficiente na faixa de freqüência desejada

para que elas se revelem na saída (AGUIRRE, 2000; COELHO e COELHO, 2004).

Após a realização de vários ensaios em malha aberta com o objetivo de definir os

parâmetros referentes aos sinais de excitação dos subsistemas, elos 1 e 2 do manipulador, e,

levando-se em consideração os motivos apresentados nos parágrafos anteriores, foram

definidas as funções responsáveis pelo acionamento dos elos que compõem o manipulador em

estudo. Estes sinais foram compostos basicamente de duas funções degrau e para conferir-lhes

as características de persistência foram acrescidos sinais pseudo-aleatórios do tipo PRBS

(Pseudo Random Binary Signal). As características destas excitações são apresentadas na

tabela 3.1.

41

Tabela 3.1 – Características das excitações dos elos do manipulador.

ELOS AMPLITUDES(Volts) PERÍODOS(s) PRBS(%) N0 DE AMOSTRAS

Translação 5,6 2,8 0,5 560

Rotação 7,2 2,0 0,5 560

A pressão de trabalho do cilindro pneumático que compõe o elo de translação foi

ajustada em 5x105 Pa (5 bar).

Considerando que o objetivo final desta identificação é a obtenção de estrutura

adequada para o modelo do sistema estudado, com fins específicos de projetar controladores

adaptativos e que uma vez definida esta estrutura, o sistema quando em operação sempre será

identificado em tempo real, optou-se em realizar todo o trabalho de modelagem tomando por

base só um dos sentidos de movimento para cada elo do sistema, ou seja, o sentido de avanço

para o elo de translação e o horário para o elo de rotação, respectivamente. O processo de

modelagem para os sentidos opostos aos citados, embora não apresentado nesta tese, se dá de

forma semelhante.

3.3.2 Definição do Tempo de Amostragem

No processo de identificação de modelos em tempo discreto a definição do “tempo”

ou “período” de amostragem é de muita importância, pois, dependendo da taxa de amostragem

escolhida, modelos com características distintas poderão ser obtidos.

O tempo de amostragem influencia na definição da estrutura, no processo de

estimação dos parâmetros e na capacidade do modelo reproduzir de maneira adequada a

dinâmica do sistema modelado. Desta forma, a escolha desta constante não deve ser um valor

muito pequeno e nem muito grande. Se a escolha for por um tempo muito grande, os dados de

entrada-saída serão subamostrados e desta forma, não conterão informação dinâmica

suficiente para que o algoritmo de identificação encontre um modelo que produza o

comportamento dinâmico desejado. Neste caso, existe pouca correlação entre as amostras

sucessivas no conjunto de dados, ou seja, parte da informação foi perdida. Por outro lado, se a

escolha for por um tempo de amostragem muito pequeno comparado com a dinâmica do

sistema, os dados de entrada-saída serão superamostrados e assim, as medidas sucessivas terão

42

muito pouca diferença de forma que a correlação entre as amostras é expressiva, o que pode

provocar um mau condicionamento numérico quando da estimação de parâmetros por parte do

algoritmo de identificação.

Diante do que foi exposto anteriormente verifica-se que a escolha do tempo de

amostragem deve ser por um valor “suficientemente” curto para que a dinâmica do sistema a

ser modelado seja bem representada, muito embora, não seja esta uma escolha muito simples

de ser realizada.

Na literatura que trata sobre o assunto, são apresentados alguns critérios que

normalmente servem como orientação na escolha do tempo de amostragem. No entanto, vale

salientar que nesse processo de escolha, a experiência do projetista e o conhecimento a priori

que se tem sobre o sistema é importante.

ISERMANN citado por MALIK et al. (1991), sugere que o tempo de amostragem Ta

possa ser escolhido segundo um critério que é baseado no tempo de estabelecimento da

resposta à entrada degrau aplicada ao sistema. O valor de Ta pode ser escolhido dentro de um

intervalo como mostra a Eq. (4.2).

𝑡95%

15≤ 𝑇𝑎 ≤

𝑡95%

5 (3.2)

onde:

𝑇𝑎 : tempo ou período de amostragem;

𝑡95%: tempo necessário para que a resposta do sistema à entrada degrau atinja 95% do

seu valor final.

Utilizando-se o critério apresentado através da equação (3.2), garante-se que pelo

menos cinco amostras do sinal de saída ao longo de sua trajetória de subida podem ser

captadas pelo sistema de aquisição de dados. Estas amostras são importantes para que o

algoritmo de identificação produza um modelo que represente adequadamente o regime

transitório do sistema real.

COELHO e COELHO (2004) afirmam que na avaliação de modelos matemáticos

discretos, o tempo de amostragem a ser escolhido depende de cada aplicação particular.

43

MALIK et al. (1991), realizou um estudo experimental voltado para o projeto de controladores

aplicáveis aos sistemas de potência e dentre algumas conclusões apresentadas, afirmaram que

para fins de controle, a seleção do tempo de amostragem tem que satisfazer as exigências do

sistema de controle projetado e que em alguns casos, uma pequena mudança no tempo de

amostragem pode resultar em uma resposta do sistema em malha fechada completamente

diferente. Portanto, a escolha do tempo de amostragem é uma tarefa que exige bastante

cuidado.

No presente trabalho, para definir o tempo de amostragem a ser utilizado no processo

de identificação e projeto de controladores do manipulador, tomou-se como referência o elo

translacional e isso pode ser explicado pelo seguinte motivo: sendo o movimento do elo

rotacional mais lento se comparado com o elo translacional, o tempo de estabelecimento do

elo rotacional é bem maior, o que implica em uma escolha do tempo de amostragem maior,

levando com isso à subamostragem dos dados (par entrada-saída), significando que haveria,

provavelmente, perdas de informações sobre a dinâmica do sistema de translação. Por outro

lado, com a escolha do elo translacional como referência para a definição do tempo de

amostragem, devido ao fato do tempo de estabelecimento desse sistema ser bem menor

comparado ao do sistema rotacional, implica na definição de um tempo de amostragem menor,

levando com isso à superamostragem dos dados e conseqüentemente, a um custo

computacional maior quando da execução dos algoritmos de identificação e controle do robô

manipulador. Neste caso, visando evitar a perda de informações com relação à dinâmica de

ambos os elos, adotou-se as características dinâmicas do elo de translação como referência e o

tempo de amostragem foi escolhido de forma a evitar o problema de superamostragem para

ambos os elos, conforme será apresentado nos parágrafos subseqüentes.

O procedimento para definição do tempo de amostragem se deu da seguinte maneira:

inicialmente a pressão do sistema foi ajustada em 5x105 Pa (5 bar) e o servoatuador

pneumático do elo de translação foi posicionado na referência zero (posição inicial do

movimento) e em seguida aplicado um degrau de amplitude 7 volts associado a um PRBS de

0,5% e período de 0,08s. As figuras 3.1 e 3.2, mostram a excitação aplicada ao

servoposicionador pneumático e a resposta captada pelo transdutor de posição linear.

44

Figura 3.1 – Excitação aplicada ao servoposicionador pneumático

Figura 3.2 – Resposta ao degrau do elo de translação em malha aberta

0 0.5 1 1.5 2 2.54.5

5

5.5

6

6.5

7

7.5

tempo(s)

Degra

u (

volts

)

0 0.5 1 1.5 2 2.50

10

20

30

40

50

60

70

80

90

100

tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

do

elo

de

tra

nsla

çã

o (

mm

)

Saída do elo de translaçãoSaída a 95% do valor finalt95%

y95%=83,47 mmt95%=0,07 s

45

A partir dos dados referentes à curva de resposta do sistema obtida, figura 3.2, foram

extraídos os seguintes valores:

1. Posição correspondente a 95% do valor final da resposta: y95% = 83,47 mm;

2. Tempo que a resposta levou para chegar a 95% do seu valor final: t95% = 0,07s.

De posse destes dados e utilizando a relação (4.2), a faixa para a escolha do tempo de

amostragem foi calculada, ou seja, o tempo de amostragem deverá ser escolhido entre os

valores compreendidos na faixa 4,67𝑚𝑠 ≤ 𝑇𝑎 ≤ 14 𝑚𝑠. Dessa forma, foi adotado para este

estudo, um tempo de amostragem baseado no limite inferior desta faixa, 5ms.

3.3.3 Definição da Estrutura e Identificação Paramétrica do Manipulador

Definir uma estrutura para um modelo dentre tantas possibilidades existentes não é

uma tarefa simples, porém, pode ser encontrado na literatura informações que auxiliam no

direcionamento desta escolha. O trabalho de MALIK et al. (1991), apresenta informações e

recomendações importantes no que se refere a escolha da ordem de um modelo. Afirma que se

o objetivo final de uma identificação é o projeto de estratégias de controle, a escolha da ordem

apropriada deste modelo pode também depender extensamente da estratégia de controle. E que

geralmente, um modelo, de 3a a ordem do sistema é usado em um controlador auto-

sintonizável. Isto é justificado pelo fato de que um sistema de 3a ordem pode normalmente

apresentar um par de pólos complexos, representando assim as freqüências dominantes de

oscilações do sistema e um simples pólo real, representando a resposta do sistema sem

oscilações. Projetos de controladores auto-sintonizáveis, com modelos de sistemas de 3a

ordem tem apresentado bons resultados.

CHENG et al. citado por MALIK et al. (1991), apresentaram resultados

experimentais a respeito de um controlador auto-ajustável para sistemas de potência que

sustenta esta conclusão. Mesmo para um sistema múltimáquinas, que teoricamente é um

sistema de elevada ordem, um simples modelo de 3a ordem permite o trabalho de auto-sintonia

do controlador bem como no caso simples de uma só máquina.

46

O fato mais interessante é que mesmo para sistemas muito complexos um modelo

muito simples é o suficiente para fornecer resultados muito bons (ISERMANN, 1980).

LUNA (2008) realizou a identificação do manipulador planar em estudo, quando da

realização de seu trabalho, de maneira off-line, obtendo como resultado, modelos de 3a ordem

com um número de zeros igual à 2 (dois), para ambos os elos. As informações acima

apresentadas servem apenas como orientação, neste trabalho, o que prevalecerá, é a escolha de

um modelo paramétrico, parcimonioso e que descreva as características essenciais do sistema

estudado de forma que os controladores adaptativos a serem projetados com base neste

modelo, controle seus elos atendendo aos requisitos pré-estabelecidos.

Considerando a ordem, o número de zeros e atrasos de um modelo, verifica-se que o

quantitativo de possíveis configurações estruturais que se pode ter para compor um modelo é

muito grande. Logo, com o objetivo de simplificar o processo de escolha das prováveis

estruturas para o modelo do manipulador, dentre tantas possibilidades, foram consideradas as

seguintes condições:

1. A pesquisa por uma estrutura adequada foi realizada considerando os espaços de

busca em que 𝑛𝑎 𝜖 1,2,… 4 , 𝑛𝑏 𝜖 0, 1,…3 e 𝑑 𝜖 1,… 4 , com 𝑛𝑎 ≥ 𝑛𝑏 ;

2. As estruturas de modelo a serem escolhidas para ambos os elos, a princípio,

deverão na medida do possível, serem consideradas iguais.

Definidas as possíveis combinações de estruturas de modelos a identificação do

sistema em tempo real foi realizada. Para tanto, foram aplicados aos respectivos elos de

translação e rotação, os sinais de excitações definidos e apresentados na seção 3.3.1, tabela

3.1, com ambos os elos operando em malha aberta e de forma acoplada. O programa

computacional utilizado neste processo foi o IdentMANIPMQR. Este programa, escrito em

linguagem Matlab e implementado no ambiente LabVIEW, operacionaliza o algoritmo

MQR.

Na tabela 3.2, são apresentados os valores dos parâmetros de inicialização utilizados

na rotina computacional IdentMANIPMQR.

47

Tabela 3.2 – Parâmetros de inicialização do IdentMANIPMQR

Parâmetros Valores Iniciais

Vetor 𝜃 0 0,0

Matriz P 0 106*I

F. de esquecimento 0,90

Além do programa IdentMANIPMQR, foi escrito um programa em linguagem

Matlab, SimulaMODEL, que utiliza também, o algoritmo MQR como algoritmo estimativo.

Este programa funciona como um simulador de estruturas dos modelos, operando de forma

off-line e utiliza como dados de entrada, os dados amostrados de entrada/saída do sistema real,

captados através do programa IdentMANIPMQR. Através de simulações, o SimulaMODEL,

fornece como dados de saída os parâmetros estimados dos modelos, as curvas reais e

estimadas, evoluções do erro de estimativa, valores de Sn, R2, AIC, entre outros. Este

programa fornece subsídios para uma pré-análise das estruturas de modelos evitando assim,

que se utilize o sistema real exaustivamente para este fim. Assim, quando da definição de uma

estrutura que se considere adequada, suas características são introduzidas no programa

IdentMANIPMQR, e, o modelo escolhido é testado de forma on-line para estimar os

parâmetros do sistema real.

De posse de dados obtidos através do processo de identificação na fase de aquisição

de sinais para definição da estrutura do modelo, tais como: dados de entrada-saída do sistema,

parâmetros e saídas estimados e amostrados a uma taxa de 5ms, foram calculados por meio do

SimulaMODEL, os valores dos critérios de informação de Akaike, AIC1 e AIC2, da soma dos

erros quadráticos de previsão Sn1 e Sn2 e dos coeficientes de correlação múltipla R2

1 e R22,

calculados por meio das equações (A.62), (A.68) e (A.69) do apêndice A, respectivamente,

utilizando-se os dados obtidos ao final do processo estimativo, para o conjunto de modelos

pré-escolhidos.

A fim de captar informações prévias sobre a tendência da ordem do modelo do

sistema e da provável influência do número de zeros e atrasos de transporte, sobre Sn, foram

construídas curvas que retratam a evolução de Sn em função da variação da ordem dos

modelos, contemplando-se as quatro opções de atrasos de transporte. Para que fosse possível

48

confrontar as curvas referentes a modelos de ordens distintas, o número de zeros foi mantido

constante e quatro casos foram considerados: nb = 0, 1, 2 e 3, respectivamente.

As figuras 3.3 à 3.10 ilustram o comportamento de Sn em função da ordem dos

modelos para os quatro valores de nb considerados distintamente, referentes aos elos

translacional e rotacional, respectivamente.

Inicialmente, foi realizada uma análise comparativa para avaliar a influência do

número de atrasos de transporte (retardos) na variação dos valores de Sn. KUNUSCH (2003),

considera que a seleção do número de atrasos na estrutura de modelos é um passo muito

importante para a obtenção de bons resultados e que retardos subestimados conduzem a

pequenos valores nas estimações dos parâmetros bij. Por outro lado, retardos sobreestimados,

produzem uma significativa correlação entre o erro de previsão e a entrada.

No presente estudo, verificou-se através das figuras 3.3 à 3.10, que para ambos os

elos a influência do número de zeros é muito pequena. Vê-se também que para os números de

atrasos considerados, os valores de Sn são muito próximos de tal forma que o ganho a ser

alcançado em se escolher uma ou outra opção é tão pequeno que é permissível que seja optado

por qualquer destes valores. Portanto, considerar-se-á inicialmente o número de atrasos de

transporte para os modelos de ambos os sistemas igual à 1 (um). Uma vez sendo validadas as

estruturas com esta condição, esta escolha será considerada por definitivo. Caso contrário, o

número de atrasos será alterado para o imediatamente superior e novos testes serão realizados.

49

Figura 3.3 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 – Elo de Translação.

Figura 3.4 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Translação

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

0.12

0.13

0.14

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,12938)

(0,08815)

(0,05312)

(0,04361)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.02

0.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,09058)

(0,06304)

(0,03814)

(0,09058)

(0,06304)

(0,03814)

(0,03148)

50

Figura 3.5 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Translação

Figura 3.6 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 – Elo de Translação.

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40.02

0.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,04598)

(0,02861)

(0,02315)

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 40.014

0.015

0.016

0.017

0.018

0.019

0.02

0.021

0.022

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,01947)

(0,01542)

51

Figura 3.7 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=0 - Elo de Rotação.

Figura 3.8 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=1- Elo de Rotação.

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0.14

0.16

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,14657)

(0,10621)

(0,06972)

(0,05392)

1 1.5 2 2.5 3 3.5 40.03

0.04

0.05

0.06

0.07

0.08

0.09

0.1

0.11

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,10667)

(0,07394)

(0,05119)

(0,03966)

52

Figura 3.9 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=2 – Elo de Rotação.

Figura 3.10 – Teste de detecção da ordem do sistema para nb=3 - Elo de Rotação.

Objetivando facilitar a análise e a obtenção de conclusões quanto à ordem e

influência do número de zeros sobre o valor Sn referentes aos modelos de cada elo do sistema,

2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 3.4 3.6 3.8 40.025

0.03

0.035

0.04

0.045

0.05

0.055

0.06

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,05661)

(0,03753)

(0,02869)

3 3.1 3.2 3.3 3.4 3.5 3.6 3.7 3.8 3.9 40.018

0.02

0.022

0.024

0.026

0.028

0.03

Ordem

So

ma

do

Err

o Q

ua

drá

tico

(S

n)

d=1d=2d=3d=4

(0,02659)

(0,02015)

53

as tabelas 3.3 e 3.4 foram elaboradas de maneira que estão inclusas as informações sobre os

valores mínimos de Sn e das inclinações Sn/na, para cada opção de nb disponível. O número

de atrasos de transporte foi considerado igual a um, conforme fixado previamente.

Tabela 3.3 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Translacional

Elo Translacional

Inclinações Sn/na

Ordem

na

N0 de

Zeros Sn

Sn/na(1→2)

(x10-3

)

Sn/na(2→3)

(x10-3

)

Sn/na(3→4)

(x10-3

)

1

2

3

4

0

0,12938

41,23

35,03 9,51 0,08815

0,05312

0,04361

1

2

3

4

1

0,09058

27,54 24,90 6,66 0,06304

0,03814

0,03148

1*

2

3

4

2

*

- 17,37 5,46 0,04598

0,02861

0,02315

1*

2*

3

4

3

*

- - 4,05 *

0,01947

0,01542

* condição imprópria

54

Tabela 3.4 – Inclinações Sn/na referentes ao elo Rotacional

Elo Rotacional

Inclinações Sn/na

Ordem

na

N0 de

Zeros Sn

Sn/na(1→2)

(x10-3

)

Sn/na(2→3)

(x10-3

)

Sn/na(3→4)

(x10-3

)

1

2

3

4

0

0,14657

40,36 36,49 15,80 0,10621

0,06972

0,05392

1

2

3

4

1

0,10667

32,73 22,75 11,53 0,07394

0,05119

0,03966

1*

2

3

4

2

*

- 19,08 8,84 0,05661

0,03753

0,02869

1*

2*

3

4

3

*

- - 5,40 *

0,02659

0,02015

* condição imprópria

Observando as figuras 3.3 à 3.10 e comparando-se os resultados apresentados nas

tabelas 3.3 e 3.4, pode ser concluído que:

a. para ambos os elos as menores inclinações Sn/na são observadas quando os

modelos passam de 3a para 4

a ordens, denotando com isso, que a utilização de um

modelo de 4a ordem não reduzirá significativamente o valor de Sn. Mesmo

sabendo que provavelmente este modelo venha a descrever a dinâmica do sistema

de forma mais exata, não convém utilizá-lo por se tratar de um modelo mais

complexo dada à quantidade de parâmetros utilizados na sua representação. Por

outro lado, pode ser observado através das tabelas 3.3 e 3.4 que os valores de Sn

apresentados, que se referem aos modelos de 2a e 3

a ordens e nb=0, 1 e 2, são

muito próximos. Em média, a diferença entre estes valores fica em torno de

0,029;

b. a partir das figuras 3.3, 3.4, 3.7 e 3.8, pode ser observado que para o modelo de 3a

ordem especificamente, a inclinação Sn/na é íngreme para na< 3 e tende a ser

55

mais suave para na > 3, como pode ser confirmado através dos dados mostrados

nas tabelas 3.3 e 3.4. Entretanto, a partir dessas informações ainda não é possível

afirmar categoricamente que os modelos de 3a ordem sejam de fato modelos

representativos para os elos do sistema estudado. Por enquanto é prudente afirmar

que a ordem a ser escolhida para tais modelos está entre 2a e 3

a ordens;

c. tratando-se da influência do números de zeros sobre os valores de Sn,,verifica-se

através das tabelas 3.3 e 3.4 que numericamente o ganho alcançado com a

introdução de zeros além de nb=2 na estrutura dos modelos, provavelmente não

surtirá (pelo menos nos casos avaliados), efeitos significativos que justifique esta

inclusão.

Avaliada a tendência de estrutura e face as dificuldades enfrentadas durante o

confronto de dados referentes a estas estruturas de modelos, ocasionadas pelo quantitativo de

combinações de estruturas originadas, houve a necessidade de se estabelecer outras condições

que permitissem uma maior restrição no número de estruturas disponíveis. Sendo assim,

convencionou-se o seguinte: no espaço de busca inicialmente composto, serão consideradas

para a avaliação quanto à capacidade de representação do sistema em estudo, as estruturas

cujos modelos conduzam aos menores valores Sn e aos maiores coeficientes de correlação

múltipla R2. Com isso, ao ser impostas estas condições, o espaço de busca foi reduzido a 26

estruturas distintas para o confronto de dados (13 estruturas por elo).

A escolha dos modelos se deu levando-se em consideração o critério de informação

de Akaike (AIC), dado pela equação (A.62), seção A.4.4.6 do apêndice A. Nesta etapa foi

observado que os valores dos AIC‟s resultantes das simulações realizadas foram negativos o

que é justificável, ou seja, como pode ser visto por meio da equação (A.62), (𝑁𝑙𝑛 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜2 𝑝 +

2𝑛𝑝), a medida em que um dado modelo passa a descrever a dinâmica do sistema de forma

mais exata a variância do erro de modelagem 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜2 𝑛𝑝 atinge valores muito baixos (o que é

bastante natural ocorrer ao final do processo de identificação) e assim, a parcela

𝑁𝑙𝑛 𝜎𝑒𝑟𝑟𝑜2 𝑛𝑝 passa a assumir um valor negativamente grande em comparação com a

parcela 2𝑛𝑝 da mesma equação. Visando facilitar a análise dos valores do AIC, calculados

56

para cada modelo, realizou-se a normalização destes índices por meio da equação (3.3). Essa

normalização não interfere no processo de análise e escolha dos modelos dado ao fato de que a

análise ser realizada levando-se em conta a ordem de grandeza dos valores dos AIC‟s.

𝐴𝐼𝐶 𝑖 = 1

𝑚𝑖𝑛 𝐴𝐼𝐶 (3.3)

onde:

𝐴𝐼𝐶 𝑖 : valor normalizado do critério de Akaike no intervalo [0,1], calculado

para o i-ésimo modelo;

𝑚𝑖𝑛 𝐴𝐼𝐶 : menor valor do AIC dentre os valores apresentados pelos modelos

pré-selecionados.

A partir da normalização apresentada acima, foram traçadas os histogramas referentes

aos valores normalizados do AIC, para cada modelo pré-selecionado, conforme pode ser visto

nas figuras 3.11 e 3.12. Com a normalização, quando da análise por meio da visualização

destes histogramas ao invés de avaliar e selecionar os modelos que fornecem o valor mínimo

do AIC, deverão ser selecionados preferencialmente, os modelos que apresentam os valores

máximos deste índice.

57

Figura 3.11 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Translação.

Figura 3.12 – Modelos Pré-selecionados - Elo de Rotação.

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Modelos Pré-selecionados

Primeira ordem

Segunda ordem

Terceira ordem

Quarta ordem

Modelos

Crite

rios d

e Info

rmação d

e A

kaik

e (

AIC

)

0.00 4.00 8.00 12.00 16.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Modelos Pré-selecionados

Primeira ordem

Segunda ordem

Terceira ordem

Quarta ordem

Modelos

Crité

rios d

e Info

rmação d

e A

kaik

e (

AIC

)

58

As tabelas 3.5 e 3.6 apresentam os valores numéricos dos parâmetros R2, Sn, p e AIC,

em que a variável p representa o número de parâmetros (por elo), de cada uma das estruturas

selecionadas, referentes aos elos translacional e rotacional, respectivamente.

Tabela 3.5 – Parâmetros dos modelos do Sistema de translação

Modelo na nb d R2 Sn AIC 𝒏𝒑

*01 1 1 1 0.9999096 0,09058 -4827,586 6

02 1 0 2 0.9998690 0,13120 -4626,379 4

03 2 1 2 0,9999294 0,07037 -4963,986 8

*04 2 1 1 0,9999371 0,06304 -5025,037 8

05 2 2 1 0.9999539 0,04598 -5196,173 10

06 3 1 2 0.9999583 0,04157 -5252,108 10

07 3 1 3 0.9999604 0,03925 -5283,952 10

*08 3 2 1 0.9999713 0,02862 -5455,321 12

09 3 0 4 0.9999463 0,05327 -5118,456 8

10 4 1 2 0.9999658 0,03398 -5360,092 12

11 4 2 3 0.9999772 0,02249 -5585,021 14

12 4 3 2 0.9999834 0,01636 -5757,667 16

*13 4 3 1 0.9999844 0,01542 -5790,445 16

*Modelos selecionados

Tabela 3.6 – Parâmetros dos modelos do Sistema de rotação

Modelo na nb d R2 Sn AIC 𝒏𝒑

*01 1 1 1 0.9999096 0,10668 -4737,083 6

02 1 0 2 0.9998690 0,14818 -4558,720 4

03 2 0 3 0.9999071 0,10779 -4731,308 6

04 2 2 1 0,9995727 0,05661 -5080,660 10

*05 2 1 1 0.9999294 0,07394 -4883,536 8

*06 3 1 1 0.9999617 0,05120 -5136,536 10

07 3 1 3 0.9999604 0,05185 -5129,515 10

08 3 2 2 0.9999712 0,03706 -5311,816 12

09 3 0 4 0.9999463 0,06810 -4982,205 8

10 4 1 1 0.9999683 0,03966 -5274,194 12

*11 4 1 4 0.9999691 0,03966 -5286,065 12

12 4 2 3 0.9999772 0,02912 -5441,624 14

13 4 3 2 0.9999834 0,02063 -5628,890 16

*Modelos selecionados

59

Analisando as tabelas 3.5 e 3.6, observa-se que com o aumento do número de

parâmetros do modelo a soma do erro quadrático e o AIC diminuíram como era de se esperar.

Se considerado o elo de translação e fazendo uma análise comparativa entre as duas situações

extremas, estrutura de modelo 01 (modelo de 1a ordem com 6 parâmetros) com a estrutura de

número 13 (modelo de 4a ordem com 16 parâmetros), por exemplo, a redução de Sn foi de

82,98% enquanto que para o AIC foi de 16,63%. Observa-se também que o mesmo ocorre

com o elo de rotação, sendo a redução de 80,66% para Sn e de 15,84% para o AIC. Isso é

explicado pelo aumento do número de parâmetros, ou seja, aumentando-se o número de

parâmetros do modelo, aumenta a capacidade do modelo de se ajustar aos dados e

conseqüentemente, ele passa a descrever a dinâmica do sistema de forma mais exata.

Além das reduções acima citadas, verifica-se também que todos os modelos

apresentaram um coeficiente de correlação múltipla que se situa entre 0,9 e 1, o que credencia

quaisquer das configurações acima como aptas para serem utilizadas na representação do

sistema com fins específicos de projeto de sistemas de controle conforme previsto na literatura

(COELHO e COELHO, 2004). Ainda com relação ao R2, vê-se claramente que o aumento do

número de parâmetros da estrutura de modelo não surtiu um aumento considerável no seu

valor final, o que permite concluir que provavelmente nestes casos estudados, talvez não seja

necessário se utilizar modelos com um número elevado de parâmetros e portanto mais

complexos para a representação dos elos. Observa-se que modelos mais simples

provavelmente serão satisfatórios aos objetivos que se destinam.

No sentido de localizar modelos com estruturas mais simples dentre os apresentados

nas figuras 3.11 e 3.12, foi calculada a menor diferença do AIC (menor taxa de variação) entre

modelos e selecionados os mais simples, ou seja: para o elo de translação foram escolhidos os

modelos 01, 04, 08 e 13, enquanto que para o elo de rotação, selecionou-se os modelos 01, 05,

06 e 11. As figuras 3.13 e 3.14 representam o AIC para os modelos escolhidos.

60

Figura 3.13 – Modelos selecionados - Elo de Translação.

Figura 3.14 – Modelos selecionados - Elo de Rotação.

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Modelos Selecionados

Primeira ordem

Segunda ordem

Terceira ordem

Quarta ordem

Modelos

Crité

rio

de I

nfo

rmaçã

o d

e A

kaik

e (

AIC

)

8 parâmetros

10 parâmetros

14 parâmetros

6 parâmetros8 parâmetros

12 parâmetros

16 parâmetros

0.00 1.00 2.00 3.00 4.00 5.00

0.00

0.20

0.40

0.60

0.80

1.00

Modelos

Crité

rio d

e Info

rmação

de A

kaik

e (

AIC

)

Modelos Selecionados

Primeira ordem

Segunda ordem

Terceira ordem

Quarta ordem



61

Observando as figuras 3.13 e 3.14, pode ser visto que a menor taxa de variação entre

os valores do AIC se dá entre os modelos de 1a

e 2a ordens, seguido da taxa entre os modelos

de 3a

e 4a ordens, para os elos de translação e rotação respectivamente. As tabelas 3.7 e 3.8

mostram os valores numéricos do AIC e das taxas de variações, bem como, de R2 e Sn,

referentes aos mesmos elos, obtidos através dos oito modelos selecionados.

Tabela 3.7 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Translação

Modelo/

Ordem R

2 Sn AIC

Incremento da ordem Taxa de variação

do AIC de para

01 / 1a 0.9999096 0,09058 -4827,586 1

a 2

a 197,451

04 / 2a 0,9999371 0,06304 -5025,037 2

a 3

a 430,000

08 / 3a 0.9999713 0,02862 -5455,321 3

a 4

a 335,124

13 / 4a 0.9999844 0,01542 -5790,445 - - -

Tabela 3.8 – Parâmetros R2, Sn, AIC e taxa de variação do AIC - Sistema de Rotação

Modelo/

Ordem R

2 Sn AIC

Incremento da ordem Taxa de variação

do AIC de para

01 / 1a 0.9999096 0,10668 -4737,083 1

a 2

a 146,453

05 / 2a 0.9999294 0,07394 -4883,536 2

a 3

a 253,000

06 / 3a 0.9999617 0,05120 -5136,536 3

a 4

a 149,529

11 / 4a 0.9999691 0,03966 -5286,065 - - -

Através das tabelas 3.7 e 3.8, verifica-se para ambos os elos que seus modelos ideais

encontram-se na fronteira entre os modelos sub e sobre-parametrizados. Considerando o

princípio da parcimônia, os modelos de 1a ordem (modelos 01) constituem-se as estruturas

mais simples, seguido dos modelos de 2a ordem (modelos 04 e 05). Por outro lado, conforme

pode ser observado nas tabelas 3.7 e 3.8, os valores de R2 referentes aos modelos de 2

a ordem

para ambos os elos são superiores aos apresentados pelos modelos de 1a ordem denotando com

isso, que provavelmente o modelo de 2a ordem se ajusta melhor aos dados experimentais de

entrada/saída do sistema, possibilitando assim, uma descrição mais exata da dinâmica do

mesmo, o que é confirmado ao comparar-se os valores de Sn e AIC, referentes aos modelos de

1a e 2

a ordens de cada elo que compõem o sistema. Comparando-se os valores da soma do erro

62

quadrático (Sn) referentes a estes modelos, vê-se que os valores apresentados por este

parâmetro são menores, para os modelos de 2a ordem. Considerando-se os valores do AIC,

pode ser observado que o modelo de 2a ordem é o modelo que permite obter-se o maior

mínimo para ambos os elos.

Observa-se também através das tabelas 3.7 e 3.8 que os coeficientes de correlação

múltipla R2 referentes aos modelos de 3

a e 4

a ordens (modelos 08, 13, 06 e 11), possuem

praticamente a mesma ordem de grandeza que os valores de R2 referentes aos modelos de 2

a

ordem (modelos 04 e 05), para ambos os elos estudados. Em média, as diferenças entre os

valores de R2 são 4,1x10

-5 e 3,6x10

-5 para os elos de translação e rotação, respectivamente.

Este resultado indica que ao fazer-se uso de estruturas mais simples (estrutura de 2a ordem),

para representação do sistema estudado, obtém-se qualitativamente um ajuste da curva de

saída do modelo aos dados reais de entrada/saídas colhidos do sistema, tão bom o quanto se

teria ao empregar-se modelos mais complexos como os de 3a e 4

a ordens.

Pelos resultados obtidos e considerando as observações expostas anteriormente, serão

escolhidos os modelos de 2a ordem (modelos 04 e 05, definidos por na=2, nb=1 e d=1), para

representar os elos de translação e rotação, respectivamente, quando do projeto de

controladores adaptativos.

Uma vez definidas as estruturas de modelos para ambos os elos que compõem o

manipulador robótico em estudo, a equação a diferenças (3.1) que descreve a dinâmica do

sistema assume a forma da equação (3.4):

𝑦1 𝑘

𝑦2 𝑘 = −

𝑎11 1 𝑎12

1

𝑎21 1 𝑎22

1 𝑦1 𝑘 − 1

𝑦2 𝑘 − 1 −

𝑎11 2 𝑎12

2

𝑎21 2 𝑎22

2 𝑦1 𝑘 − 2

𝑦2 𝑘 − 2 +

𝑏11 1 𝑏12

1

𝑏21 1 𝑏22

1 ×

× 𝑢1 𝑘 − 1

𝑢2 𝑘 − 1 +

𝑏11 2 𝑏12

2

𝑏21 2 𝑏22

2 𝑢1 𝑘 − 2

𝑢2 𝑘 − 2 +

𝑒1 𝑘

𝑒2 𝑘 (3.4)

Para reduzir a quantidade de índices e sub-índices e facilitar a escrita, a equação (3.4)

será reescrita e assumirá a forma da equação (3.5).

63

𝑦1 𝑘

𝑦2 𝑘 = −

𝑎1 𝑎2

𝑎5 𝑎6 𝑦1 𝑘 − 1

𝑦2 𝑘 − 1 −

𝑎3 𝑎4

𝑎7 𝑎8 𝑦1 𝑘 − 2

𝑦2 𝑘 − 2 +

+ 𝑏1 𝑏2

𝑏5 𝑏6 𝑢1 𝑘 − 1

𝑢2 𝑘 − 1 +

𝑏3 𝑏4

𝑏7 𝑏8 𝑢1 𝑘 − 2

𝑢2 𝑘 − 2 +

𝑒1 𝑘

𝑒2 𝑘 (3.5)

onde:

𝑎2, 𝑎4, 𝑎5 e 𝑎7: parâmetros que contemplam o acoplamento entre os elos de

translação e rotação;

Em termos dos vetores de entrada, saída, parâmetros e de perturbações, a equação

(3.5) pode ser escrita na forma da equação (3.6)

𝑦1 𝑘

𝑦2 𝑘 =

𝑎1

𝑎5 𝑎2

𝑎6 𝑎3

𝑎7 𝑎4

𝑎8 𝑏1

𝑏5 𝑏2

𝑏6 𝑏3

𝑏7 𝑏4

𝑏8

−𝑦1 𝑘 − 1

−𝑦2 𝑘 − 1

−𝑦1 𝑘 − 2

−𝑦2 𝑘 − 2

𝑢1 𝑘 − 1

𝑢2 𝑘 − 1

𝑢1 𝑘 − 2

𝑢2 𝑘 − 2

+ 𝑒1 𝑘

𝑒2 𝑘 (3.6)

onde:

𝑌𝑀 = 𝑦1 𝑘 𝑦2 𝑘 𝑇;

𝑈𝑀 = 𝑢1 𝑘 𝑢2 𝑘 𝑇;

𝐸𝑀 = 𝑒1 𝑘 𝑒2 𝑘 𝑇 ;

Θ = 𝑎1

𝑎5 𝑎2

𝑎6 𝑎3

𝑎7 𝑎4

𝑎8 𝑏1

𝑏5 𝑏2

𝑏6 𝑏3

𝑏7 𝑏4

𝑏8 ;

ψm k = -y1 k-1 -y2 k-1 -y1 k-2 -y2 k-2 u1 k-1 u2 k-1 u1 k-2 u2 k-2 T

A equação (3.6) representa o modelo múltivariável auto-regressivo com entradas

externas, definido para o manipulador em estudo. Os parâmetros 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 serão estimados em

tempo real por meio do estimador MQR, conforme apresentado na seção seguinte que trata da

estimação paramétrica dos modelos definidos pelas equações a diferenças (3.6).

64

3.3.4 Identificação em Tempo Real do Manipulador (Resultados Preliminares)

O processo de identificação em tempo real do manipulador em estudo se deu através

do programa computacional IdentMANIPMQR que foi executado considerando os parâmetros

definidos anteriormente nas seções 3.3.1 à 3.3.3 como: o tempo de amostragem de 5 ms, os

parâmetros de inicialização 𝜃(0) = 0 e P(0) = 106I (I-matriz identidade com dimensões 8x8), o

fator de esquecimento, λ = 0,90. Para excitação dos elos do manipulador foram utilizados os

sinais de excitação já definidas e apresentadas na seção 3.3.1 (tabela 3.1). As figuras 3.15 e

3.16 mostram estes sinais, de amplitudes médias de 5,6 e 7,2 volts os quais foram aplicados

aos elos de translação e rotação, respectivamente, com o fim específico de avaliar a eficácia da

estrutura de modelo definida para representar esse sistema. Também, adicionou-se às

excitações,

Pode-se observar também nas Fig. (4.15) e (4.16), a presença de um sinal PRBS

adicionado aos sinais das excitações utilizadas em cada elo do manipulador, cuja amplitude

corresponde a 0,5% das amplitudes médias empregadas (5,6 e 7,2 volts). De acordo com a

literatura, o percentual da amplitude do PRBS deve ser de até 10% do valor da amplitude do

sinal utilizado na excitação do sistema a ser identificado, porém, ao se utilizar no sistema em

estudo um percentual superior a 0,5% das amplitudes referentes às excitações aplicadas a cada

elo, foram observadas fortes vibrações na válvula eletropneumática proporcional destinada ao

acionamento do elo de translação, e por isso, prefixou-se para ambos os elos, o percentual de

0,5% para a amplitude do PRBS.

65

Figura 3.15 – Sinal de excitação aplicado ao elo de translação.

Figura 3.16 – Sinal de excitação aplicado ao elo de rotação.

As figuras 3.17 à 3.20, mostram a evolução dos parâmetros 𝑎𝑖 e 𝑏𝑗 estimados em

tempo real através do programa IdentMANIPMQR, referentes aos elos do manipulador.

0 0.5 1 1.5 2 2.5 35.57

5.58

5.59

5.6

5.61

5.62

5.63

Tempo (s)

Te

nsã

o d

e e

xcita

çã

o (

vo

lts)

0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 1.8 27.16

7.17

7.18

7.19

7.2

7.21

7.22

7.23

7.24

7.25

Tempo (s)

Te

nsã

o d

e e

xcita

çã

o (

vo

lts)

66

Figura 3.17 – Parâmetros ai estimados - Elo de translação.

Figura 3.18 – Parâmetros bj estimados - Elo de translação.

0 1 2 3-2

-1

0

1

2a1

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-2

-1

0

1

2a2

0 1 2 3-1.5

-1

-0.5

0

0.5

1a3

Tempo (s)

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1a4

Tempo (s)

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1b1

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4b2

0 1 2 3-0.5

0

0.5b3

Tempo (s)

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4b4

Tempo (s)

67

Figura 3.19 – Parâmetros ai estimados - Elo de rotação

Figura 3.20 – Parâmetros bj estimados - Elo de rotação.

O modelo matemático do sistema em termos de equações a diferenças é representado

pelas equações (3.7) e (3.8). Através destas equações, as posições assumidas em cada instante

0 1 2 3-1

0

1

2

3a5

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-3

-2

-1

0

1a6

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1a7

Tempo (s)

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1a8

Tempo (s)

0 1 2 3-1

-0.5

0

0.5

1b5

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6b6

0 1 2 3-0.5

0

0.5b7

Tempo (s)

Evo

luçã

o d

os p

arâ

me

tro

s

0 1 2 3-0.5

0

0.5b8

Tempo (s)

68

de tempo k pelos elos de translação e de rotação, são determinadas, usando-se os parâmetros ai

e bj identificados.

Nestas equações, observa-se que as posições dos elos em um dado instante de tempo

k, são calculadas a partir: dos valores destas posições e das excitações aplicadas aos elos em

malha aberta, em instantes passados e, dos valores dos parâmetros ai e bj estimados em tempo

real para cada um dos elos e a cada instante de tempo k. No caso dos erros e1(k) e e2(k), se os

parâmetros estimados em cada instante de tempo são iguais ou próximos aos valores dos

parâmetros verdadeiros do sistema, como se espera que sejam, estes erros são muito pequenos

ou nulos e assim os resíduos também o são.

𝑦1 𝑘 = −𝑎1𝑦1 𝑘 − 1 − 𝑎2𝑦2 𝑘 − 1 − 𝑎3𝑦1 𝑘 − 2 − 𝑎4𝑦2 𝑘 − 2 +

+𝑏1𝑢1 𝑘 − 1 + 𝑏2𝑢2 𝑘 − 1 + 𝑏3𝑢1 𝑘 − 2 + 𝑏4𝑢2 𝑘 − 2 + 𝑒1 𝑘 (3.7)

𝑦2 𝑘 = −𝑎5 𝑘 − 1 − 𝑎6𝑦2 𝑘 − 1 − 𝑎7𝑦1 𝑘 − 2 − 𝑎8𝑦2 𝑘 − 2 +

+𝑏5𝑢1 𝑘 − 1 + 𝑏6𝑢2 𝑘 − 1 + 𝑏7𝑢1 𝑘 − 2 + 𝑏8𝑢2 𝑘 − 2 + 𝑒2 𝑘 (3.8)

Nas figuras 3.2 à 3.24 são apresentadas para cada elo do manipulador, as curvas das

respostas experimentais e estimadas, além dos erros de estimativas ocorridos durante o

processo estimativo, oriundas do processo de identificação, utilizando-se o programa

IdentMANIPMQR.

69

Figura 3.21 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de translação

Figura 3.22 – Erro de estimativa referente ao elo de translação

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

20

40

60

80

100

120

140

160

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

(m

m)

Resposta experimental(y1)Resposta estimada(y1est)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-6

-4

-2

0

2

4

6

8

Tempo (s)

Err

o d

e e

stim

ativa

(m

m)

70

Figura 3.23 – Respostas experimental e estimada referentes ao elo de rotação

Figura 3.24 – Erro de estimativa referente ao elo de rotação

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

20

40

60

80

100

120

Tempo (s)

De

slo

ca

me

nto

(g

rau

s)

Resposta experimental(y2)Resposta estimada(y2est)

0 0.5 1 1.5 2 2.5 3-30

-25

-20

-15

-10

-5

0

5

10

Tempo (s)

Err

o d

e e

stim

ativa

(g

rau

s)

71

3.3.5 Validação dos Modelos Estimados para os Elos de Translação e Rotação do

Manipulador

Para avaliar e possivelmente aceitar ou rejeitar os modelos escolhidos, foram

aplicados os critérios de validação os quais foram apresentados e discutidos na seção A.4.4.7

do apêndice A.

Analisando as figuras. 3.21 à 3.24 pode-se visualizar que o desempenho dos modelos

é satisfatório, pois produzem respostas estimadas que praticamente sobrepõem-se às saídas

medidas do sistema, o que é confirmado através das curvas de erros de estimativas e pelos

coeficientes de correlação múltipla calculados para cada um dos ajustes por meio da equação

(A.69) do apêndice A. Dessa forma, para o modelo referente ao elo de translação obteve-se

𝑅𝑀12 = 0,9999369, enquanto que para o elo de rotação, foi obtido 𝑅𝑀2

2 = 0,9993960.

Considerando que um dado modelo deve descrever as principais características

dinâmicas do sistema que se deseja modelar e sendo assim, produzir um erro de estimativas

com características de um ruído branco, a função de autocorrelação deste erro deve se

comportar de modo similar à função de autocorrelação teórica de um ruído branco. Sob este

aspecto, na avaliação dos resultados a serem apresentados subseqüentemente serão

considerados os critérios de validação estatística, já apresentados no apêndice A, seção A.4.4 7

(equação (A.67)).

As figuras 3.22 e 3.24 indicam que para ambos os elos os erros de previsão são sinais

aleatórios e que oscilam em torno da média nula durante todo o tempo da identificação, o que

é comprovado pelos valores das médias e variâncias destes sinais calculados e apresentados na

tabela 3.9. Dessa forma, satisfazem a condição de que se trata de resíduos com características

de ruído branco e, portanto, não havendo mais no conjunto de dados informações que possam

ser utilizadas para descrição da dinâmica do sistema.

Tabela 3.9 – Médias e variâncias referentes aos erros de estimativa

Elos do Manipulador Média

(x10-17

) Variância

Elo de translação -0,9601929 1,0

Elo de rotação 1.6903395 1,0

72

As figuras 3.25 e 3.26 mostram as funções de autocorrelação dos erros de estimativas

𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 , referentes aos elos de translação e rotação, respectivamente. Já as figuras 3.27 e

3.28 representam as funções de correlação cruzada entre os sinais de entrada e saída para cada

modelo distintamente, considerando-se nestes casos um intervalo de confiança de 95%.

Figura 3.25 – Autocorrelação do erro de estimativa e1(k) - Elo de translação

Figura 3.26 – Autocorrelação do erro de estimativa e2(k) - Elo de rotação

0 50 100 150 200 250 300-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

atrasos

Au

toco

rre

laçã

o r

(e1

,e1

)

0 50 100 150 200 250 300-0.4

-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

atrasos

Au

toco

rre

laçã

o r

(e2

,e2

)

73

Figura 3.27 – Correlação cruzada entre a excitação u1(k) e a saída y1(k) - Elo de translação

Figura 3.28 – Correlação cruzada entre a excitação u2(k) e a saída y2(k) - Elo de rotação

0 50 100 150 200 250 300-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(u

1,y

1)

0 50 100 150 200 250 300-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(u

2,y

2)

74

Analisando as figuras 3.25 e 3.26, verifica-se que estas funções (em seus valores

normalizados), se assemelham com a função impulso. Para o atraso de tempo igual à zero

(equação (A.67), apêndice A), a função é unitária e fora deste, a função se caracteriza como

um sinal aleatório e atinge valores próximos de zero. Verifica-se também que para alguns

valores de atraso de tempo , estas funções assumem magnitudes que estão fora do intervalo

de confiança o que significa dizer que houve momentaneamente alguma dinâmica do sistema

que os modelos utilizados não conseguiram representar, a partir do conjunto de dados

utilizados. Fato este que ainda não permite concluir que o modelo escolhido já tenha que ser

substituído por um modelo alternativo. BLONDEL et al., citados por LARA (2005), ressalta

que um modelo para controle não necessariamente deve ser uma descrição precisa do sistema

verdadeiro, para se obter um alto desempenho no controlador, mas sim, que ele descreva com

grande precisão as características dinâmicas essenciais para o projeto do controlador. Um

modelo será considerado “bom” neste sentido, se: o controlador derivado do modelo estabiliza

a planta e além disso, a planta apresente um desempenho dinâmico que satisfaça aos critérios

estabelecidos na fase de projeto deste controlador.

É muito comum no conjunto de dados a existência de alguma correlação que não

possa ser descrita pelo modelo que está sendo utilizado e a exemplo disso pode-se citar

algumas não-linearidades presentes no sistema. O fato de “apenas” a função de autocorrelação

estar significativamente fora do intervalo de confiança não quer dizer que o problema tenha

sido uma especificação errônea da estrutura de modelo. Um modelo deve explicar tudo aquilo

que for explicável nos dados e se isso ocorre, o erro de previsão conterá apenas aquilo que não

é explicável e conseqüentemente será um sinal aleatório branco. Logo, se ao testar o sinal de

erro de previsão for verificado que se trata de uma variável aleatória branca (ruído branco) e

ainda, y(k) e u(k) são estatisticamente independentes deste sinal de erro, significa dizer que

não há mais informações úteis no resíduo, ou melhor, o modelo explicou tudo o que era

possível explicar. Mas isso não quer dizer que a predição para vários passos à frente

empregando-se este modelo seja boa, mas que a predição de um passo à frente será boa

(AGUIRRE, 2000; COELHO e COELHO, 2004). Sendo assim, posteriormente será

apresentada uma planilha com os valores das médias e variâncias das funções de

autocorrelação e correlação cruzada mostradas nesta seção, para que se possa avaliar o quão

75

brancos são estes sinais e conseqüentemente concluir se estas funções estão atingindo os seus

valores esperados.

As figuras 3.27 e 3.28 indicam que os modelos utilizados provavelmente explicam de

forma satisfatória tudo o que é possível explicar no conjunto de dados utilizados. Observando-

se estas figuras, vê-se que as funções de correlações cruzadas entre a entrada e saída de cada

modelo têm características de sinais aleatórios e encontra-se dentro do intervalo de confiança

estabelecido. Este fato corrobora tudo o que foi afirmado anteriormente quando da análise das

figuras 3.25 e 3.26. As figuras 3.29 e 3.30, mostram as funções de correlações cruzadas entre

os erros de estimativas 𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 e as excitações 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘 para ambos os elos,

respectivamente.


translação

0 50 100 150 200 250 300-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(e

1,u

1)

76


rotação

Tratando-se da correlação cruzada entre os sinais de erros de previsão e os sinais de

entradas, pode ser observado por meio das figuras 3.29 e 3.30, que estas funções atingem

valores muito próximos de zero e se mantém dentro do intervalo de confiança. Com isso, pode

ser afirmado que em ambas as situações, os erros de previsão não dependem dos sinais de

entrada utilizados para obtenção dos modelos, ou seja, são descorrelacionados e dessa forma

as predições de um passo à frente destes modelos terão características semelhantes se

calculadas utilizando-se outro conjunto de dados, conforme afirmou AGUIRRE (2000).

Para verificar o quão são aleatórios e não correlacionados os sinais de entradas dos

elos, condição esta, necessária para evitar um posto deficiente para matriz 𝜓𝑚𝑇 𝜓𝑚 , ou seja, o

mau condicionamento numérico desta matriz, foram calculadas as funções de autocorrelação

para as entradas dos dois elos. As figuras 3.31 e 3.32 mostram estas funções e pode ser

verificado que se trata de sinais aleatórios, descorrelacionados e apresentam características de

uma função impulso unitário. Esta condição está normalmente associada com o termo

suficientemente excitado. Além de calcular as funções de autocorrelação dos sinais de

excitação 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘 para avaliar a condição de suficiência da excitação ou quão ativo é o

sinal de excitação para provocar mudanças tais que garantam que as dinâmicas dos elos sejam

0 50 100 150 200 250 300-0.05

-0.04

-0.03

-0.02

-0.01

0

0.01

0.02

0.03

0.04

0.05

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(e

2,u

2)

77

determinadas, foram calculados o determinante da matriz 𝜓𝑚𝑇 𝜓𝑚 e o seu posto ao final do

processo estimativo, sendo encontrados os valores de 1,412691x102 e 8,0, respectivamente, o

que satisfaz as condições de persistência das excitações.

Figura 3.31 – Autocorrelação da excitação u1(k) - Elo de translação

Figura 3.32 – Autocorrelação da excitação u2(k) - Elo de rotação

0 50 100 150 200 250 300-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

atrasos

Au

toco

rre

laçã

o r

(u1

,u1

)

0 50 100 150 200 250 300-0.2

0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

atrasos

Au

toco

rre

laçã

o r

(u2

,u2

)

78

Além dos resultados apresentados acima, foi investigado também a existência de

correlação entre os erros de estimativas 𝑒1 𝑘 e 𝑒2 𝑘 , bem como, entre os sinais de excitação.

AGUIRRE (2000), afirma que quando se trata de sistemas MIMO é fundamental que os erros

de estimativas referentes a cada equação do modelo, sejam aleatórios e os sinais usados para

excitar o sistema não estejam correlacionados. Se há correlação entre os sinais de excitação, o

algoritmo de identificação não “saberá” atribuir a que excitação, um determinado efeito foi

observado numa determinada saída.

A figura 3.33 evidencia que apesar de haver correlação entre as grandezas 𝑒1 𝑘 e

𝑒2 𝑘 em alguns atrasos de tempo, de um modo geral, esta função apresenta-se com

características de um sinal aleatório. Já com relação à figura 3.34, pode ser observado que pela

característica do sinal de correlação cruzada, pode-se afirmar que as excitações 𝑢1 𝑘 e 𝑢2 𝑘

são de fato descorrelacionadas.

Figura 3.33 – Correlação cruzada entre os erros de estimativas e1(k) e e2(k) - Elos de

translação e rotação

0 50 100 150 200 250 300-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(e

1,e

2)

79

Figura 3.34 – Correlação cruzada entre as excitações u1(k) e u2(k) - Elos de translação e

rotação

Objetivando investigar o quão brancos são os sinais das funções de auto-correlação e

correlação cruzada apresentados nas figuras 3.25 à 3.34, a tabela 3.10 foi elaborada. Conforme

pode ser visto, pelos valores das médias e variâncias apresentados nesta tabela, todos os sinais

considerados apresentam suas características muito próximas às características de um ruído

branco aleatório.

Tabela 3.10 – Médias e variância das funções de autocorrelação e correlação cruzada

Funções Médias

(x10-17

) Variâncias

∅𝒆𝟏𝒆𝟏 1,042087 1,0

∅𝒆𝟐𝒆𝟐 0,400802 1,0

∅𝒖𝟏𝒚𝟏 3,847704 1,0

∅𝒖𝟐𝒚𝟐 -1,442800 1,0

∅𝒆𝟏𝒖𝟏 -0,561123 1,0

∅𝒆𝟐𝒖𝟐 -1,082167 1,0

∅𝒖𝟏𝒖𝟏 1.022046 1,0

∅𝒖𝟐𝒖𝟐 3,236480 1,0

∅𝒆𝟏𝒆𝟐 1,763531 1,0

∅𝒖𝟏𝒖𝟐 5,861737 1,0

0 50 100 150 200 250 300-0.2

-0.1

0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

0.6

0.7

atrasos

Co

rre

laçã

o c

ruza

da

r(u

1,u

2)

80

3.4 CONCLUSÕES

Nesta seção foi apresentada a fundamentação teórica referente à identificação de

sistemas dinâmicos lineares. Foram apresentados inicialmente alguns conceitos, classificações

e definições, básicos e necessários para compreensão e aplicação prática deste tema. Os

aspectos gerais sobre o modelo ARX para sistemas MIMO e a modelagem matemática do

manipulador foram discutidos. Abordou-se também o estimador dos mínimos quadrados

recursivo MQR e seu algoritmo, bem como, discutiu-se sobre a aplicação deste estimador aos

sistemas MIMO, sobretudo, ao manipulador em estudo. A seção foi finalizada com a aplicação

da teoria apresentada à identificação paramétrica do manipulador robótico em estudo.

Na fase de modelagem matemática, as equações a diferenças que descrevem a

dinâmica do manipulador em estudo foram expressas considerando os acoplamentos existentes

e tomando-se por base a estrutura de modelo do tipo ARX, sendo escrita genericamente em

função dos parâmetros estruturais tais como: número de pólos, de zeros, atrasos de transporte.

Posteriormente as equações a diferenças foram escritas em função dos parâmetros estimados

em tempo real por meio do MQR.

No processo de identificação do sistema, antes da realização de qualquer

identificação paramétrica em tempo real, os dados de entrada e saída com o sistema operando

em malha aberta e de forma acoplada foram captados e por meio do programa computacional

SimulaMODEL, foram realizados os estudos preliminares para definição da estrutura de

modelo do manipulador. Definida a estrutura, os dados foram repassados para o programa

IdentMANIPMQR, que estimou em tempo real os parâmetros dos modelos referentes aos elos

de translação e rotação do manipulador. Vale salientar que por não se conhecer o sistema

suficientemente, se fez necessário a realização de inúmeros testes com o sistema em malha

aberta, antes de definir a estrutura do modelo de fato. Estes testes foram realizados com o

objetivo de definir as características das excitações, tempo de amostragem, amplitude do sinal

PRBS a ser adicionado às excitações, entre outros. Assim estabeleceu-se um tempo de

amostragem de 5ms, excitações do tipo degrau com amplitudes de 5,6volts x 2,8 s e 7,2volts x

2,0 s, respectivamente aos elos de translação e rotação, sendo adicionado um sinal PRBS de

81

0,5% das amplitudes definidas para as excitações e, a pressão de trabalho do elo de translação

fixada em 5x105 Pa (5 bar).

O MQR foi implementado por meio do programa IdentMANIPMQR e o processo

estimativo em tempo real dos parâmetros se deu utilizando-se como dados de inicialização, um

vetor de parâmetros nulo, matriz de covariância igual à 106I e um fator de esquecimento de

0,90, visando dar uma maior importância às últimas medidas.

Foi constatado o bom desempenho do MQR na estimação de parâmetros em tempo

real. A partir dos resultados obtidos, verifica-se através das curvas de identificação,

representadas pelas figuras 3.21 e 3.23, referentes aos elos de translação e rotação do

manipulador robótico, que os parâmetros estimados representam de forma satisfatória os

parâmetros reais dos elos, o que pode ser ratificado pelos erros de estimativa que se referem

aos dois elos apresentados nas figuras 3.22 e 3.24 e pelos critérios de validação utilizados, tais

como o de validação estatística através da análise do erro de estimativa, cujos resultados são

mostrados nas figuras 3.25 à 3.34 e na tabela 3.10, além dos coeficientes de correlação

múltipla que apresentaram valores muito próximos da unidade, 𝑅𝑀12 = 0,9999369 e 𝑅𝑀2

2 =

0,9993960, referentes aos elos de translação e rotação, respectivamente.

Conclusivamente, tomando-se por base os resultados obtidos no processo de

validação, pode-se afirmar que o modelo determinado a partir da equação (3.6) pode ser

utilizado em aplicações práticas tais como no projeto de controladores adaptativos.

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CONTROLE ADAPTATIVO APLICADO EM UM ROBÔ … · 2018-09-06 · modelo matemático representativo do robô manipulador cujos parâmetros são estimados em tempo real pelo método dos