MODELO NÃO LINEAR DE UM ROBÔ MANIPULADOR DE ... - … · potenciométrica. No computador utiliza-se o programa computacional LabView para determinação do modelo do robô manipulador

SIMMEC/EMMCOMP 2014

XI Simpósio de Mecânica Computacional

II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional

Juiz De Fora, MG, 28-30 de Maio De 2014

MODELO NÃO LINEAR DE UM ROBÔ MANIPULADOR DE DOIS GRAUS

DE LIBERDADE

José Antonio Riul, Paulo Henrique de Miranda Montenegro, Virgílio Mendonça da Costa e

Silva

[email protected], [email protected], [email protected]

Universidade Federal da Paraíba, Centro de Tecnologia, Departamento de Engenharia Mecânica,

Cidade Universitária, CEP 58.059-900 - João Pessoa - PB

Resumo. O objetivo desse trabalho é a modelagem de dois elos de um robô manipulador de dois

graus de liberdade planar usando técnica não linear. O robô manipulador é composto pelo elo 1

rotacional e pelo elo 2 prismático. O elo 1 rotacional é um perfil U em alumínio acionado por um

motor-redutor de corrente contínua e o elo 2 prismático é um cilindro pneumático de dupla ação e

haste passante fixado no interior do perfil U e é acionado por uma válvula eletropneumática

proporcional. Modelos dinâmicos desses sistemas normalmente são obtidos usando-se as leis da

física, nos elos 1 e 2 do robô, e são não lineares. A escolha de modelos lineares ou não lineares

implica em um aumento considerado na complexidade de um modelo, porém existem regimes

dinâmicos que não podem ser representados por modelos lineares; nesses casos, o uso de modelos

não lineares é o mais recomendado. Neste trabalho, um modelo não linear NARX é obtido,

considerando o acoplamento dinâmico entre os elos do robô; e os parâmetros do robô manipulador

são identificados, através do algoritmo Least Mean Squares (LMS), com base nas excitações e

respostas dos elos do robô. Finalizando, são apresentados resultados obtidos através do modelo

gerado.

Palavras-chave: Robótica, Identificação não linear

mailto:[email protected]

Modelo Não Linear de um Robô Manipulador

SIMMEC/EMMCOMP 2014

XI Simpósio de Mecânica Computacional e II Encontro Mineiro de Modelagem Computacional

ABMEC, Juiz de Fora, MG, 28-30 de maio de 2014

1 INTRODUÇÃO

O presente trabalho tem como objetivo o modelamento de um robô manipulador de dois

graus de liberdade (2 gdl) como mostrado na Fig. 1. O modelo matemático de um sistema

pode ser obtido através das leis da física, conhecido como modelo caixa branca ou por técnica

de modelagem (ou identificação) caixa preta ou modelagem empírica (Aguirre, 2000), que

depende de dados reais do sistema. Na identificação caixa preta, são gerados modelos lineares

e não lineares (Aguirre, 2000; Isermann et al.,1992), que podem ser usados para projeto e

implementação de controladores adaptativos. Os modelos podem ser obtidos em tempo real

ou não, de forma não recursiva (não-iterativa) e recursiva (iterativa) (Coelho e Coelho, 2004)

e os obtidos de forma recursiva, representam de forma satisfatória a dinâmica do sistema,

visto que esta é avaliada para cada instante de tempo, em função do tempo de amostragem

utilizado. Os modelos caixa branca, quando utilizados em projetos de controladores, exigem

uma quantidade elevada de cálculos, por apresentarem funções de transferência de ordens

iguais ou superiores a três, o que torna necessário o uso de máquinas de grande porte, tendo

em vista o esforço computacional requerido (Koivo e Guo, 1983; Shih e Tseng, 1995). Na

utilização de modelos caixa preta, suas estruturas são definidas a priori, e com isto, a escolha

de modelos de primeira ou segunda ordem, que representam bem os sistemas reais, e que

requerem baixo esforço computacional, são empregados (Coelho e Coelho, 2004).

Neste trabalho, será obtido um modelo caixa-preta, não linear, NARX, através do

algoritmo Least Mean Squares (LMS). Na identificação dos parâmetros dos elos 1 e 2 do robô

sob análise, é considerado o acoplamento dinâmico entre os elos. Finalizando, são

apresentados resultados mostrando o desempenho obtido para os dois elos do robô, diante do

modelo obtido.

2 DESCRIÇÃO DO SISTEMA

O robô manipulador sob análise é composto pelo elo 1 rotacional e pelo elo 2 prismático.

O elo 1 rotacional é um perfil U em alumínio (5) e é acionado por um moto-redutor de

corrente contínua (2). O elo 2 prismático é um cilindro pneumático (6), que fica fixo no

interior do perfil U e é acionado por uma válvula eletropneumática proporcional (8),

conforme mostrado em corte na Fig. 1. Um potenciômetro (3), acionado pelas engrenagens

(4) é utilizado para medir a posição angular do perfil U e uma régua potenciométrica (7) para

medir a posição da haste do cilindro pneumático. Um computador PC e uma placa de entrada

e saída de dados são usados para excitar o moto-redutor de corrente contínua e a válvula

eletropneumática proporcional e captar os sinais medidos pelo potenciômetro e pela régua

potenciométrica. No computador utiliza-se o programa computacional LabView para

determinação do modelo do robô manipulador. Com esta configuração o movimento do robô

ocorre num plano; e o sistema tem duas entradas e duas saídas, o que o caracteriza como um

sistema de dois graus de liberdade (2 gdl). A Figura 2 mostra uma fotografia do sistema.

José A. Riul, Paulo H. M. Montenegro, Virgílio M. C. Silva

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Figura 1. Esquema do robô manipulador de 2 gdl

Figura 2. Fotografia do robô manipulador de 2 gdl

3 IDENTIFICAÇÃO NÃO LINEAR DO ROBÔ MANIPULADOR

A identificação de sistemas é uma área do conhecimento que estuda técnicas alternativas

de modelagem matemática (Isermann, 1980; Aström e Wittenmark, 1995; Rúbio e Sanchez,

1996; Behar e Iranzo, 2003; Coelho e Coelho, 2004). Uma das características dessas técnicas

é que pouco ou nenhum conhecimento prévio do sistema é necessário e, consequentemente,

tais métodos são referidos como modelagem (ou identificação) caixa preta ou modelagem

empírica (Aguirre et al., 2007).


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Modelos matemáticos não lineares de sistemas, podem ser obtidos utilizando-se o modelo

NARX (Aguirre, 2000). O modelo paramétrico NARX mostrado na Eq. (1), é apropriado

para estimação de parâmetros tendo como base os sinais de entrada e saída de um sistema

SISO.

1

,

, 1,

0 0 , 1 1

( ) ( ...., ) ( ) ( ) + u

m

n n p ml m

p m p m i i ss

m p n n i i p

k c n n k n u k n c

(1)

onde:

1 1

,

, 1 1

.............u u

m m

n n n n

n n n n

(2)

m – grau de não linearidade do modelo do sistema;

n e nu – ordem do modelo;

css – nível DC (offset).

Expandindo a Eq. (1), com um polinômio de grau de não linearidade m = 2, considerando

css = 0, obtém-se a Eq. (3).

1 1 1 2

1 2 1 2

1,0 1 1 0,1 1 1 2,0 1 2 1 2

1 1

1,1 1 2 1 2 0,2 1 2 1 2

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

+ ( , ) ( ) ( ) ( , ) ( ) ( )

u

u u u

n n n n

n n n n

n n n n

n n n n

k c n y k n c n u k n c n n y k n y k n

c n n y k n u k n c n n u k n u k n

(3)

A Equação (3) desenvolvida para n = 2 , nu= 1 e com os coeficientes ci,j renomeados, é

mostrada conforme a Eq. (4), para um sistema SISO.

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9

2

2

( 1)

( 2)

( 1)

( 1)

( ) [ c c c c c c c c ] ( 1) ( 2)

( 2)

( 1) ( 1)

( 2) ( 1)

( 1)

k

k

u k

k

k c k k

k

k u k

k u k

u k

(4)

Como o robô manipulador sob análise é de 2 gdl, o acoplamento dinâmico entre seus elos 1 e

2, deve ser considerado, e para tal consideração, a Eq. (4) é reescrita na forma matricial,


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conforme a Eq. (5), em função das excitações dos elos 1 e 2; u1(k) e u2(k) e das respostas;

1 2( ) e ( ) k k ; e do vetor de medidas ( )k . O estimador usa o mesmo vetor de medidas na

obtenção das respostas estimadas dos elos do robô.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 181

2 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

c c c c c c c c c c c c c c c c ( ) .

( ) c c c c c c c c c c c c c c c c

c ck

k c c

1

1

1

2

1

1 1

2

1

1 1

1 1

2

1

2

2

2

2

2

2 2

2

2

2 2

( 1)

( 2)

( 1)

( 1)

( 1) ( 2)

( 2)

( 1) ( 1)

( 2) ( 1)

( 1)

( 1)

( 2)

( 1)

( 1)

( 1) ( 2)

( 2)

( 1) (

k

k

u k

k

k k

k

k u k

k u k

u k

k

k

u k

k

k k

k

k u k

2 2

2

2

1)

( 2) ( 1)

( 1)

k u k

u k

(5)

Da Equação (5) tem-se o vetor de parâmetros dado pela Eq. (6) e o vetor de medidas dado

pela Eq. (7). Na Equação (6) o tempo discreto k dos parâmetros ci foi omitido.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18

19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36

c c c c c c c c c c c c c c c c ( )

c c c c c c c c c c c c c c c c

c ck

c c

(6)

2 2

1 1 1 1 1 1 1

2

1 1 1 1 1 2 2

2 2

2 2 2 2 2 2 2

( ) [ ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2)

( 1) ( 1) ( 2) ( 1) ( 1) ( 1) ( 2)

( 1) ( 1) ( 1) ( 2) ( 2) ( 1)

T k k k u k k k k k

k u k k u k u k k k

u k k k k k k u

2

2 2 2

( 1)

( 2) ( 1) ( 1)]

k

k u k u k

(7)

onde:


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( )k - vetor de parâmetros dos elos 1 e 2 do robô;

( )k - vetor de medidas dos elos 1 e 2 do robô.

Da Equação (3) considerando n = 1 , nu= 1 e com os coeficientes ci,j renomeados, tem-se a

Eq. (8).

2

1 2 3 4 5

2

( 1)

( 1)

( ) [ c c c c ] ( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

k

u k

k c k

k u k

u k

(8)

Como o robô manipulador sob análise é de 2 gdl, o acoplamento dinâmico entre seus elos 1 e

2, deve ser considerado, e para tal consideração, a Eq. (8) é reescrita, também na forma

matricial conforme a Eq. (9), em função das excitações dos elos 1 e 2; u1(k) e u2(k) e das

respostas; 1 2( ) e ( ) k k ; e do vetor de medidas ( )k . O estimador usa o mesmo vetor de

medidas na obtenção das respostas estimadas dos elos do robô.

1

1

2

1

1 1

2

1 2 3 4 5 6 7 8 9 101 1

2 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 2

2

2

2

2 2

2

2

( 1)

( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

c c c c c c c c ( ) ( 1)

( ) c c c c c c c c ( 1)

( 1)

( 1)

( 1) ( 1)

( 1)

k

u k

k

k u k

c ck u k

k c c k

u k

k

k u k

u k

(9)

Da Equação (9) tem-se o vetor de parâmetros dado pela Eq. (10) e o vetor de medidas dado

pela Eq. (11). Na Equação (10) o tempo discreto k dos parâmetros ci foi omitido.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

c c c c c c c c ( )

c c c c c c c c c

c ck

c

(10)

2 2

1 1 1 1 1 1

2 2

2 2 2 2 2 2

( ) [ ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)

( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)]

T k k u k k k u k u k

k u k k k u k u k

(11)


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A identificação tipo caixa preta é utilizada no modelamento não linear dos elos do robô

manipulador sob análise, através do algoritmo Least Mean Squares (LMS), na forma

matricial, dado pela Eq. (12) (Coelho e Coelho, 2004; Aguirre, 2000).

ˆ ˆ(k 1) (k) (k 1) (k 1) (k 1) (12)

onde:

T(k 1)

1

1 (k 1) (k 1)

(13)

(k 1) - ganho do estimador;

ˆ(k 1) (k 1) (k 1) - erro de previsão;

ˆ(k 1) - vetor de saída estimado

A qualidade do modelo recursivo estimado pode ser verificada utilizando várias técnicas,

dentre elas para se investigar a magnitude do índice de desempenho tem-se o somatório do

erro quadrático (SEQ), dado pela Eq. (14), e o coeficiente de correlação múltipla (R²), dado

pela Eq. (15) (Coelho e Coelho, 2004). Quanto menor for o valor do somatório do erro

quadrático (SEQ), melhor é o modelo e se coeficiente de correlação múltipla (R²) pertencer ao

intervalo; 20,9 R 1,0 indica que o modelo estimado é satisfatório.

N

2

k 1i i i

ˆSEQ (k) (k)

(14)

N2

i i

k 1

N2

i i

k 1

2i

R 1

ˆ(k) (k)

(k)

(15)

onde:

ˆ (k) - saída estimada do sistema;

N – número de amostras da experimentação;

- média das N amostras da experimentação;

i = 1, 2 – elos 1 e 2 do robô.

Quando o valor de R² é igual a unidade, indica uma exata adequação do modelo para os dados

medidos do processo e para R² entre 0,9 e 1,0; o modelo pode ser considerado suficiente para

muitas aplicações práticas. Quanto mais baixo o valor do SEQ para o conjunto de dados,

melhor o modelo.

Os modelos matemáticos não lineares dos elos do robô manipulador em estudo são

obtidos através da identificação paramétrica. Os dados que compõem o vetor de medidas, são

as excitações enviadas do computador para o motor CC e para a válvula eletropneumática


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proporcional; 1 2u ( ), u ( )k i k i , e as respostas obtidas, que são a posição angular do perfil

U (elo 1) e a posição linear da haste do cilindro pneumático (elo 2);

1 2( ) ( ), ( ) x( )k i k i k i k i , onde i representa instantes anteriores a k. Tais dados,

excitação (entrada) no elo 1 e excitação (entrada) no elo 2, são gerados no computador e

enviados ao motor CC e à válvula eletropneumática proporcional, através da placa de entrada

e saída de dados; a saída real (resposta) do elo 1 medida pelo potenciômetro e a saída real

(resposta) do elo 2 medida pela régua potenciométrica, são captadas pela placa de entrada e

saída de dados. Na experimentação foram usadas 1349 amostras para cada entrada (excitação)

e para cada saída (resposta real). Com a solução da Eq. (12), obtêm-se os parâmetros

estimados ˆ( )k do robô manipulador, com os quais são obtidas as respostas estimadas.

Na solução da Eq. (12), considerou-se: ν un = 2 , n 1 , para os dois elos, conforme Eq. (5) e

ν un = 1 , n 1 , conforme Eq. (9), que representam modelos de grau de não linearidade m = 2,

com atrasos de transporte d para os dois elos variando de 0 à 2, conforme Tabela 1.

Tabela 1. Pré-estruturas dos elos 1 e 2 do robô

Elo Ordem do

Modelo

( n )

Ordem do

Modelo

(nu)

Atraso de

Transporte

(d)

1 2 1 0

2 2 1 0

1 2 1 1

2 2 1 1

1 2 1 2

2 2 1 2

1 1 1 0

2 1 1 0

1 1 1 1

2 1 1 1

1 1 1 2

2 1 1 2

Com a adequação da Eq. (5) e da Eq. (9), para atender a Tabela 1, que leva em consideração o

atraso de transporte d para cada elo do robô, os parâmetros dos elos 1 e 2, são obtidos através

da solução da Eq. (12) e as saídas estimadas 1 2ˆˆ ˆ ˆ(k) (k) e (k) x(k) são obtidas pela

Eq. (16).

ˆˆ (k) (k) (k) (16)

onde:

1ˆˆ (k) (k) - posição angular estimada do elo 1 do robô;

2ˆ ˆ(k) x(k) - posição linear estimada do elo 2 do robô;


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4 RESULTADOS OBTIDOS PARA OS ELOS DO ROBÔ

Os resultados apresentados nas Figuras 3 à 6 e na Tabela 2, são parte dos testes

realizados. A Figura 3 mostra a entrada, a saída real e a saída estimada do elo 1 do robô,

considerando o modelo não linear de grau de não linearidade m = 2. O modelo que originou a

saída estimada do elo 1 desta figura é o melhor modelo deste elo conforme mostra os índices

de desempenho em negritos na Tab. 2.

0 200 400 600 800 1000 1200 14000

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

4

Amostras do elo 1

Entr

ada e

saíd

as r

eal e e

stim

ada d

o e

lo 1

(V

olts)

Entrada no elo 1

Saída real do elo 1

Saída estimada do elo 1

Figura 3. Entrada e saídas real e estimada do elo 1 do robô (modelo não linear NARX, de grau de não

linearidade m = 2, com 1 1 ν1 u1 1 ν2 u2 2n = 2, n , d = 1, n = 2, n e d = 0 ).

A Figura 4 mostra a entrada, a saída real e a saída estimada do elo 1 do robô, considerando o

modelo não linear de grau de não linearidade m = 2, para o conjunto de amostras variando de

50 à 500. Esta figura é uma ampliação da Fig. (3), no intervalo de 50 à 500 amostras.

Observa-se que a saída estimada está bem próxima da saída real, o que confirma que o

modelo obtido para o elo 1 o representa satisfatoriamente.


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50 100 150 200 250 300 350 400 450 500

0.5

1

1.5

2

2.5

3

Amostras do elo 1

Entr

ada e

saíd

as r

eal e e

stim

ada d

o e

lo 1

(V

olts)

Entrada no elo 1




linearidade m = 2, com 1 1 ν1 u1 1 ν2 u2 2n = 2, n , d = 1, n = 2, n e d = 0 ), para o intervalo de 50 à

500 amostras

Na Figura 5 são mostradas a entrada, a saída real e a saída estimada do elo 2 do robô,

considerando o modelo não linear de grau de não linearidade m = 2. O modelo que originou a

saída estimada do elo 2 desta figura é o melhor modelo deste elo conforme mostra os índices

de desempenho em negritos na Tab. 2.


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0 200 400 600 800 1000 1200 1400-3

-2

-1

0

1

2

3

4

Amostras do elo 2

Entr

ada e

saíd

as r

eal e e

stim

ada d

o e

lo 2

(V

olts)

Entrada no elo 2




linearidade m = 2, com 1 1 ν1 u1 1 ν2 u2 2n = 2, n , d = 1, n = 2, n e d = 0 )

A Figura 6 mostra a entrada, a saída real e a saída estimada do elo 2 do robô, considerando o

modelo não linear de grau de não linearidade m = 2, para o conjunto de amostras variando de

60 à 150. Esta figura é uma ampliação da Fig. (5), no intervalo de 60 à 150 amostras.

Observa-se que a saída estimada está bem próxima da saída real, o que confirma que o

modelo obtido para o elo 2 o representa satisfatoriamente.


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60 70 80 90 100 110 120 130 140 150

-1

-0.5

0

0.5

1

1.5

2

2.5

3

3.5

Amostras do elo 2

Entr

ada e

saíd

as r

eal e e

stim

ada d

o e

lo 2

(V

olts)

Entrada no elo 2




linearidade m = 2, com 1 1 ν1 u1 1 ν2 u2 2n = 2, n , d = 1, n = 2, n e d = 0 ), para o intervalo de 60 à

150 amostras

Na Tabela 2, são mostrados os índices de desempenho de um conjunto de modelos

NARX, para cada elo do robô, de grau de não linearidade m = 2. Esses índices de

desempenho são usados para validação de modelos obtidos por algoritmos recursivos. A

análise dos resultados na tabela é realizada para cada par de elos, tendo em vista que os

modelos foram obtidos considerando-se o acoplamento dinâmico entre os elos 1 e 2 do robô.

Observa-se que os melhores modelos foram os não lineares NARX, determinados usando-se

ν1 u1 1 ν2 u2 2n = 2, n 1, d = 1, n = 2, n 1 e d = 0 , destacados em negrito, dado os valores dos

índices de desempenho obtidos para esse conjunto. Os resultados mostram para esses

modelos, os melhores valores dos coeficientes de correlação múltipla e o menor valor do erro

quadrático para o elo 1, o que os tornam os melhores modelos, apesar do valor do erro

quadrático do elo 2 não ser o menor.


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Tabela 2. Índices de desempenho dos elos 1 e 2 do robô manipulador

Elo Ordem do

Modelo

( n )

Ordem do

Modelo

(nu)

Atraso de

Transporte

(d)

Coeficiente

de

correlação

múltipla

(R²)

Somatório

do erro

quadrático

(SEQ)

1 2 1 0 0,97 16,2

2 2 1 0 0,98 56,7

1 2 1 1 0,97 14,8

2 2 1 1 0,98 59,4

1 2 1 2 0,97 17,5

2 2 1 2 0,98 59,4

1 2 1 1 0,98 10,8

2 2 1 0 0,98 58,0

1 1 1 0 0,95 31,1

2 1 1 0 0,98 54,0

1 1 1 1 0,95 28,3

2 1 1 1 0,98 59,4

1 1 1 2 0,94 32,4

2 1 1 2 0,98 63,4

5 CONCLUSÃO

Este trabalho apresentou a técnica de identificação não linear NARX, para dois elos de

um robô manipulador de dois graus de liberdade. A identificação foi realizada utilizando-se o

algoritmo LMS, considerando-se a dinâmica dos elos do robô acoplada. Vários modelos não

lineares foram testados, variando-se a ordem e o atraso de transporte para os dois elos e dos

resultados obtidos, os modelos não lineares de grau de não linearidade dois, que apresentaram

os melhores índices de desempenho, que validam modelos recursivos, foram os que

consideraram 1 1 1 2 2 22, 1, 1, 2, 1 0u un n d n n e d ; o que os tornam os mais

indicados para implementação em controladores adaptativos não lineares.

6 REFERÊNCIAS

Aguirre, L. A., 2000. Introdução à Identificação de Sistemas: Técnicas lineares e não-

lineares aplicadas a sistemas reais. Belo Horizonte, MG, Ed. UFMG.

Aguirre et al., L. A., Silva, A. P. A., Campos, M. F. M., AMARAL, W. C. A., 2007.

Enciclopédia de Automática. 1a ed. Vols. 1, 2 e 3. São Paulo: Ed. Blucher.

Åstrom, K. J., Wittenmark, B.,1995. Adaptative Control. 2ª ed., New York: Ed. Addison

Wesley Publishing Company, Inc.

Behar, A.A.; Iranzo, M.M., 2003. Identificacíon y Control Adaptativo. 1ª ed. Madri: Ed.

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MODELO NÃO LINEAR DE UM ROBÔ MANIPULADOR DE ... - … · potenciométrica. No computador utiliza-se o programa computacional LabView para determinação do modelo do robô manipulador