Control de La Vibración El Trabajo

7/24/2019 Control de La Vibracin El Trabajo

1/20

CONTROL DE LA VIBRACIN: AISLAMIENTO DE LAVIBRACINChristian Oswaldo Quito Sinchi 11, David Oswaldo lvarez Pineda 22, Marco Leonel Feijoo !ila

"", Mauro #enaro #uz$%n Ca$&overde '', (olando )s$ael Caldas Siavicha* ++

Resumenn este te$a va$os a analizar siste$as

din%$icos lineales en los -ue cada $odelo esuna ecuaci.n di/erencial de se!undo orden concoe/icientes constantes, siendo las condicionesiniciales es&eci/icadas en un tie$&o 0t La le*de 3oo4e jue!a un &a&el i$&ortante, el resorte

&osee una /uerza F o&uesta a la direcci.n de suelon!aci.n * &ro&orcional a la distancia -ue seha estirado el $is$o, se e5&resa con la le* de3oo4e siendo k la constante de

&ro&orcionalidad del resorte * to$ando encuenta la se!unde le* de 6ewton,

relacionando t7r$inos lle!a$os a la ecuaci.nde $asa resorte -ue se analizara acontinuaci.n

Palabras Clave: masa resorte, ley de

Hooke, ley de Newton

Abstract)n this issue we anal*ze nonlinear d*na$ic

s*ste$s in which each $odel is a second orderdi//erential e-uation with constantcoe//icients, the initial conditions s&eci/iedti$e 8t8 3oo4e9s law &la*s an i$&ortant role,the s&rin! has a /orce F o&&osite to thedirection o/ elon!ation, &ro&ortional to thedistance it is stretched it is e5&ressed with3oo4e9s law where 4 is the &ro&ortionalit*constant o/ the s&rin! and ta4in! into accountthe second Order 6ewton9s law, relatin! to theter$s we s&rin! $ass e-uation is anal*zed

:elow

Keywords: $ass s&rin!, law 3oo4e, law6ewton

;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;;

1 Titulo de segundo nivel en Mecnica Automotriz, actualmente cursando la carrera de Ing.Mecnica Automotriz en la U.P.S. Sede Cuenca.

2 Titulo de segundo nivel en Mecnica Automotriz, actualmente cursando la carrera de Ing.Mecnica Automotriz en la U.P.S. Sede Cuenca.

3Titulo de segundo nivel en Mecnica Industrial, actualmente cursando la carrera de Ing.Mecnica Automotriz en la U.P.S. Sede Cuenca.

Titulo de segundo nivel en Mecnica Automotriz, actualmente cursando la carrera de Ing.Mecnica Automotriz en la U.P.S. Sede Cuenca.

! Titulo de segundo nivel Mecnica Automotriz, actualmente cursando la carrera de Ing.Mecnica Automotriz en la U.P.S. Sede Cuenca.


2/20

1. Introducc!nn$ente datan de hace 1?? a@os * &uedenilustrarse con $odelos $u* si$&les de$asaAresorte de$%s, el an%lisis de estos$odelos no re-uiere nada $%s all% de la teor=a

:%sica de las ecuaciones di/erenciales linealesde se!undo orden con coe/icientes constantes-u= investi!a$os una estrate!ia &ara elcontrol de vi:raci.n -ue &uede $odelarseutilizando una solo ecuaci.n n un &ro*ecto

&osterior, usted investi!ara una estrate!iadi/erente -ue se $odela $ediante un siste$ade ecuaciones

Su&on!a -ue una $a-uina B&or eje$&lo un$otor de auto$.vil -ue vi:ra en el curso desu o&eraci.n de:e $ontarse so:re al!>n ti&ode :ase Si la $a-uina se $onta r=!ida$enteso:re la :ase, sus vi:raciones se trans$itir%n

hacia * a trav7s de la :ase sto &odr=aocasionar varios &ro:le$as, entre los -ue seinclu*e da@ar la :ase o los so&ortes o unainco$odidad inace&ta:le &ara las &ersonas -ueutilizan el $otor

lti$o no est% unido r=!ida$ente al auto,sino con &artes lla$adas so&ortes de $otorste ti&o de dis&ositivo &rotector, lla$adoaislador de vibracin consiste &or lo co$>nen uno o $%s cojinetes de $aterial el%sticoBhule, corcho o elast.$eros $%s e5.ticos, unconjunto de resorte en es&iral Btales co$o los-ue se encuentran en el interior de u colch.n,una c%$ara sellada -ue contiene aire :ajo

&resi.n Bco$o el re/erido co$>n$ente elresorte de aire o al!una co$:inaci.n de estos

)nde&endiente$ente de los detalles de sudise@o B* han sido otor!adas cientos de

&atentes &ara tales dise@os, un aislador de

vi:raci.n &uede idealizarse $ediante lacon/i!uraci.n -ue se indica en la "#ura 1

Figura 1a Masa, resorte Amortiguador

$. %rocedmentoLa $%-uina se re&resenta $ediante una $asam, la elasticidad del aislador &or un resorte-ue tiene constante de resorte k, * e la$orti!ua$iento del aislador &or $edio de una$orti!uador -ue tiene constante de resorte

ste es el siste$a $asaresorte * la ecuaci.n

-ue !o:ierna el $ovi$iento de la $asa $ esE

md

2x

dt2+

dx

dt+ kx=F

0Senw

Ecuacin 1 Movimiento de la masa m

Donde 5 re&resenta el des&laza$iento de la$asa desde su &osici.n de e-uili:rio, t es eltie$&o, * la vi:raci.n de la $a-uina sere&resenta &or $edio de un t7r$ino /orzado

senoidal de la /or$a F0 sent

Cuanti/icare$os la e/icacia de este arre!lo a&artir de su Transmsb&dad TE

T= fuerzamaximatransmitida a labase a traves deaisl

fuerzamaximaejercida sobrela base por unamaquin

T=Fr

F0

Ecuacin 2 Transmisibilidad


3/20

Puesto -ue los t7r$inos transitorios en lasoluci.n !eneral de la ecuaci.n anteriordecaen e5&onencial$ente con el tie$&o,calculare$os la trans$isi:ilidad con :ase en lasoluci.n de estado esta:le Bl /in de cuentas,

desea$os entender co$o de&ende latrans$isi:ilidad de los &ar%$etros k *

1. (ecuerde -ue una soluci.n de estado&er$anente &uede encontrarse en la/or$aE

xs=c1 cost+c2 sint=A sin (t+ )

Ecuacin 3 Solucin de estado permanente

Donde A=C12+C2

2

, al sustituir la

&ri$era de estas /or$as en B1, de$uestre -ueC1 " C2 satis/acen el siste$a de

ecuacionesE

(km2 ) c2c1=F0

Ecuacin 4

c2+ (km2 )c1=0

Ecuacin 5

Demostrac!n:

Deter$inar la ecuaci.n ' * +

md

2x

dt2+

dx

dt+ kx=F0sint

(esolver $ediante la Soluci.n &articular, verel Ane'o 1 tab&a 1.

p=C1coswt+C2Senwt

lp=C1wSenwt+C2w coswt

l!p=C1w2coswtC2w2 Senwt

Multi&lica$os las constantes &or cada una delas derivadas

m(C1w2coswtC2w2 Senwt)+(C1 wSenwt+

C1m w2 coswtC2m w2 SenwtC1 w Senwt+C2

Ecuacin

Se&ara$os los t7r$inos -ue contienen cosenosde la ecuaci.n E

C1m w2 coswt+ w C2coswt+C1kcoswt=0

coswt(C1m w2

+C2 w+C1k)=0

C1m w2+C2 w+C1k=0

w C2+C1 (kmw2 )=0

Ecuacin ! "gual a la ecuacin 5

Se&ara$os los t7r$inos -ue contienen senosde la ecuaci.n E

C2m w2 Sen wtC1 w Sen wt+C2kSenwt=F0 Sen

Sen wt(C2m w2C1 w+C2k)=F0 Senwt

C2mw2C1 w+C2k=F0

C2 (km w2 ) wC1=F0

Ecuacin # "gual a la ecuacin 4

G -ueE

A= F0

()2+(km2 )2

Ecuacin $ Amplitud

Demostrac!n:

Deter$inar la ecuaci.n H

Des&eja$os C1 de la ecuaci.n I


4/20

C1= w C2

(km w2 )

(e$&laza$os C1 en la ecuaci.n J *des&eja$os C$

C2 (km w2 ) w( w C2( km w2 )

)=F0

w

2C2

C2 (km w2 )+

w

2C2

C2 (km w2 )2+

w

2C2C2 (km w2 )

2+

w

C2 (km w2 )2+

w

(km w2 )2+=F0(km w

2 )C2

w

(km w2 )2+

C2=

F0( km w2 )

(e$&laza$os C$ en la ecuaci.n I *des&eja$os C1.

w

(km w2 )2+

wF0( km w

2 )

w

( kmw2 )2+( kmw2 )

C1= w

F0( kmw2 )

w

(km w2 )2

+

C1=w F0

hora ree$&laza$os las contantes c1 *

c2

A=(C1 )2+(C2 )2

w

w

F0(km2 )

(2+(km2 )2)2

( F0()(2+(km2 )2) )2

+

A=


5/20

w

(2)w

(2( (km2 )2 ))+ ( (km2 )2)2

F0

2 ( )2

A=

w

(2)w

(2( (km2 )2))+ ( (km2 )2)2

+F02 (km2 )

2

w

(2+( km2)2

)

2

F0

2 ( ()2+(km2 )2 )

A=

A= F0

( )2+(km2 )2

Ecuacin 1% "gual a la $

$. La /uerza ejercida so:re la :ase atraves del aislador de vi:raci.n es

dx

dt+ k x s


6/20

D.ndeE wn=km es la /recuencia natural delresorte

c=2mk=2m wn es el valor de

-ue &roduce el a$orti!ua$iento cr=tico en

Bcuaci.n "

dvierta -ue he$os e5&resado K en t7r$inos de

dos cantidades adi$ensionalesE

c *w

wn

s= -ue es &osi:le utilizar esta e5&resi.n &ara

cuanti/icar la de&endencia de K res&ecto a wBesto es la e/icacia del aislador de vi:raci.n conuna /unci.n de la /recuencia de la vi:raci.n dela $a-uina de una $anera -ue no hacere/erencia a una elecci.n ar:itraria de unidades

T=Fr

Fo=

k2+()2

( )2+(km2 )2

cn

2

cn2

n22+2

1

1+2

T=

2mkkm2

2mkkm

2

km22+2

1

1+2

T=

2

k2

2

k2

1w2

mk 2+

1+

T=

2

k2

w

2

k2

k( 2m)

k 2+

k2+

T=


7/20

T= k2+ ( )

2

( )2+(km2 )2

Ecuacin 13 Transmisibilidad sustitu*endo lascondiciones dadas

(. $&lee una herra$ienta de !ra/icaci.n

&ara !ra/icar K co$o /unci.n dew

wn

&ara

c=0,

1

4$1

2$3

4$ %1 todos en

el $is$o conjunto de ejes Bunaventana de o:servaci.n de

0&w

wn&3por 0&T &3

$ostrar% lascaracter=sticas relevantes de estas cinco!ra/icas

Para !ra/icar re$&laza$os

c=' en la

ecuaci.n 1"E

Las !r%/icas 2 Ba,:,c,d,e * " se realizaron en

Matla:, er el Ane'o $ %ro#rama 1

(rafica1con

c=0

T= 1+( 20wwn )

2

(1(wwn )2

)2

+( 20wwn )2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisib

ilidad

+raca 2-. Transmisibilidad con /0/c%

(rafica2con

c

=1/4

T= 1+( 21 /4wwn )

2

(1(wwn )2

)2

+( 21/ 4wwn )2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisibilidad

+raca 2b. Transmisibilidad con /0/c104

(rafica3con

c=1 /2

1+(21 /2wwn )2

(1(

w

wn )2

)2

+(21/2w

wn )2


8/20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisib

ilidad

+raca 2c. Transmisibilidad con /0/c102

(rafica4con

c

=3 /4

1+(22/4wwn )

2

(1(wwn )2

)2

+(22/ 4wwn )2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisibilidad

+raca 2d. Transmisibilidad con /0/c304

(rafica5con

c=1

1+( 21ww n )

2

(1( wwn )2

)2

+( 21ww n )2

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisibilidad

+raca 2e. Transmisibilidad con /0/c1

#ra/ica unida co$&leta$enteE


9/20

0 0.5 1 1.5 2 2.5 30

0.5

1

1.5

2

2.5

3

w/wn

Transmisibilidad

+raca 3. ompleta de la Transmisibilidad

). Mucho de lo -ue &uede deducirse deestas !r%/icas, al!unas de las cuales-uiz% no sean intuitiva$ente o:vias *tal vez incluso &arezcancontraintuitivas

a eri/i-ue tanto !ra/ica co$oal!e:raica$ente -ue el &unto2

a&arece so:re cada !ra/icainde&endiente$ente del valor

c

a* Con

c=0

T= 1+(2

cw

wn)2

(1(wwn )2

)2

+(2

cw

wn)2

T=

1+(2(0)2)

2

(1(2 )2 )2

+(2(0)2 )2

T= 1(1222+4)2+(2(0)2)2T=

1

(1 )2

T=1

b* Con

c=1/4

T=

1+

(2

c

w

wn )

2

(1(wwn )2

)2

+(2

cw

wn)2

T= 1+(2(1/ 4)2)

2

(1(2 )2 )2

+(2(1/ 4)2)2


10/20

T= 1+(22)

2

(1222+4)2

+(22)2

T=3

2

3

2

T=1

c* Conc

=1/2

T=

1+(2

cw

wn)2

(1(wwn )

2

)2

+

(2

cw

wn )2

T= 1+(2(1 /2)2 )

2

(1(2 )2 )2

+(2(1/2)2)2

T= 1+ (2 )

2

(1222+4)2

+(2 )2

T= 3

(1 )2+2

T=33

T=1

d* Con

c=3/ 4

T= 1+(2

cw

wn)2

(1(wwn )2

)2

+(2

cw

wn)2

T=

1+(2(3 /4)2)2

(1(2 )2 )2

+(2(3 /4)2)2

T= 1+(322)

2

(1222+4)2

+(32 2)2

T=

112

(1 )2+9

2

T=11

2

11

2

T=1

e* Con

c=1


11/20

T=

1+(2

cw

wn)2

(1(wwn )2

)2

+(2c

w

wn )2

T= 1+(2(1)2)

2

(1(2 )2 )2

+(2(1)2)2

T=

1+ (22 )2

(1222

+4)2

+(22 )2

T= 1+8

(1 )2+8

T=99

T=1

b. Para -u7 valores dew

wn ) el

aislador de vi:raci.n reduce el valor$%5i$o de la /uerza trans$itida a la

:ase (T1 ) N

Sus res&uestas de:en ser

inde&endientes de

c

TT

12>

1+(2 Cn )2

(1(

n )2

)2

+

(2

C

n

)

2

(1(n )2

)2

+(2

C

n)2

>1+(2

C

n)2

12(n )2

+(n )4

>1

(n )4

>2(n )2

(n )2

>2

n>2

Por l.!ica se esta:lece -ue &ara valoresE

T>1

n


12/20

c. eri/i-ue sus res&uestas a :al!e:raica$ente tra:ajando con las

desi!ualdades (T1 )

Co$o o:tuvi$os -ueE

n>2 T1 .

Para revisar el &ro!ra$a de la !r%/ica erAne'o $ +ro#rama (.

0 0.5 1 1.50

0.5

1

1.5

B/Bc

Transmisibilidad

+raca 4 b.. Transmisibilidad con 0n 2

d. La incor&oraci.n de ciertoa$orti!ua$iento (>0 ) &rote!e la

:ase contra la resonancia -ue ocurrir=a

&ara =0 si de:e,

te$&oral$ente o &or al!>n accidente,

acercarse a n Para valores /ijos de

* n tales -uew

wn esta

dentro del ran!o deter$inado en :, elincre$ento de la constante de

a$orti!ua$iento del aislador de

vi:raci.n B* au$entando ta$:i7n en

consecuencia

c $ejora o

deteriora la e/icaciaNCo$o se de$ostr. en las !r%/icas los valores

de sie$&re van a /avorecer el siste$a *

en ca$:io los valores de wAwn nos a*udaran aver el co$&orta$iento de la constituci.n delresorte

e. (esu$a sus resultados &ara elin!eniero la constante del resorte 4del aislador de vi:raci.n de:e ser!rande Bcorres&ondiendo a resortes0r=!idos o &e-ue@a Bcorres&ondiendoa resortes 0suavesN Cu%l ser=a suconsejo cerca del !rado de

a$orti!ua$iento Bes decir del ta$a@ode N


13/20

nalizado los resultados, veri/icando -uew

wn*1 &or la condici.n -ue nos da -ue

n=

k

m Donde ,-/ de:er=a ser

relativa$ente $a*or a ,m &ara -ue nosa*ude a dis$inuir la /recuencia, no o:stante el

alor de de&ender% directa$ente del ti&o

de resorte B*a sea r=!ido o suave * suconstante ,-.

l $is$o ti&o de aislador de vi:raci.nta$:i7n &uede e$&learse en el sentido o&uestoal -ue se consider. antes, &ara &rote!er uno:jeto $ontado so:re una :ase de lasvi:raciones de las $is$as Por eje$&lo unre&roductor de CD $ontado en un auto$.vilPara $odelar esta situaci.n, re/i7rase a la"#ura 1b

Figura 1b

Donde 5 re&resenta el des&laza$iento verticaldel o:jeto B$asa $ de su &osici.n de

e-uili:rio %=%0 sen wt re&resenta un

$ovi$iento senoidal de la :ase de $anera-ueE

md

2x

dt2=k(x% )

d

dt(x% )

Ecuacin 14 espla)amiento vertical del obeto

(. Resu&tadosLo cual tene$os -ueE

%=%0 sen wt

Deriva$os * con res&ecto al tie$&oE

d%

dt=w(%0 senwt)

+ Sustitu*a la /or$a &ostulada de * en laecuaci.n 1' &ara &roducir una ecuaci.ndi/erencial de 5 de la /or$aE

Muestre entonces -ue una soluci.n de estadouni/or$e de esta >lti$a ecuaci.n &uedeencontrarse en la /or$aE

m+d

2x

d t2+ +

dx

dt+k + x=

0+k2+( + )

2

+sin ( + t+, )

A sen ( wt+-)

Ecuacin 14. 6articular, Alternativa

Para realizar la &articular revisar Ane'o 1tab&a 1

p=A cos (wt+-)+. sin(wt+-)

#p=Aw sin (wt+-)+.w cos (wt+-)

# #p=A w2cos ( wt+-)+. w2 sin (wt+-)

mAw2 cos (wt+-)m.w2 sen (wt+-)Awsin (wt+-)

sin (wt+-)[m.w2Aw+k. ]=0k2+(w )

2si

[m.w2Aw+k. ]=0k2+(w )

2


14/20

. ( kmw2)A(w)=0k2+ (w )

2

cos (wt+-)[mAw2+.w+kA ]=0

mA w2

+.w+kA=0A (mw2+k)+.(w)=0

kmw2

. ( kmw2 )A(w )=0k2+(w )2

A(mw2+k)+. (w )=0(w)

. (kmw2)A (w )(kmw2 )=0k2+(

. (w)2+A ( kmw2 ) (w )=0

. [(kmw 2 )2+ (w )2 ]=0k2+(w )2 (k

.=0k

2+(w )2 (kmw2)

[ (kmw2 )2+ (w )2 ]A (mw2+k)+.(w)=0

A(mw2+k)+0k

2+ (w )2 ( kmw2)

[(kmw2 )2+ (w )2 ] (

[A (km w2 )3+(w )2 ]+0k2+(w )2 (km

A(kmw2 )3=(w )20k

2+(w )2 (k

A=(w )

2

0k

2+(w )2 (km w2 )(w )

(km w2 )3


15/20

[(w )20k

2+(w )2 (kmw2 )(w )

(kmw2)3 ]

2

+[ k2+

[(k

0[(w )2+k2+(w )

2 (km w2 )(w )(km w2 )

3 ]2

+[ k2+(

[( k

Y0(w )

2 [( k2+ (w )2 (k-mw2 )(w ) -(w)2 ]2

+ (

[ (k-mw2 )3+ (w )

Y0(w )2{[k2+ (w )2 (k-mw2 ) (w ) ]2-2 [k2+ (

[(k-mw2 )3+ (

Y0

(w )2 [k2+ (w )2 ](k-mw2 )2 (w )2

(k-mw 2)3+ (w )2 -2 (w )2 [k

0k2 (w )2+(w )4

(kmw2)

2 [k2+(w )2 (w ) ](kmw2 )

2 +

(w )

(km


16/20

Donde w n=km , es la /recuencianatural del resorte,

c=2mk=2mw es el /actor de

-ue &roduce el a$orti!ua$iento cr=ticoenE

T=

1+(2 cw

wn )2

(1(w

wn )2

)2

+(2 cw

wn )2

xs=T 0 sen (wt+,+ )

Ecuacin 15 Solucin de estado uni(orme

De este $odo la trans$isi:ilidad K es ta$:i7nuna $edida de la e/icacia de un aislador devi:raci.n desde este &unto de vista alternativo,

&ero en re/erencia a la a$&litud del$ovi$iento trans$itido desde una :ase hastaun o:jeto $ontado en vez de la a$&litud de la/uerza trans$itida desde la $%-uina $ontada auna :ase

). Conc&usones

l control de la vi:raci.n, es una de lasa&licaciones de $a*or i$&ortancia en todo elca$&o de $a-uinaria, &uesto -ue lasvi:raciones a/ectan directa$ente en da@os$ec%nicos dando lu!ar a conta$inaci.n

a$:iental

Las /recuencias ori!inadas &or dichos$ovi$ientos son &roducidos &or una /uerzae5terna, en tanto la /alta de aisla$iento,lle!ara a un &unto en -ue las /recuencias dedicha $a-uinaria sea i!ual al $ovi$iento!enerado, cola&sando as= la $%-uina

La raz.n &or la cual, se da i$&ortancia alsiste$a $asa resorte es &or la a*uda -ue

nos o/rece , la $is$a directa$ente

controla dichas /recuencias, siendo la /uerzade $a*or i$&ortancia en la ecuaci.n Kodoesto de&ender% de la constante 04 -ue &oseael resorte

Kodas las varia:les de&ender%n del ta$a@o dela $asa

0. Bb&o#ra"a

MKMK)CS 6DS P()6#6)()R 'ta dici.n utorE Dennis #2&&aarren S 3r#4t


17/20

5. Ane'os#.

6. Ane'o 1

7. Tab&a 118.

11.

1$.


18/20

1(. Ane'o $

1). %ro#rama 1

15. % Control de vibraciones: Aislamiento de las vibraciones16.

17. %%%%Matematicas Avanzada%%%%18.

19. %%%%Grupo%%%%!.

1. % !1.

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