000011 Vibración Libre

Vibracin Libre Pgina: 3

Facultad de Ciencias y Tecnologa

Ingeniera Mecnica - Vibraciones Mecnicas

VIBRACIN LIBRE

Detalles Pg.

Sistema de un solo grado de libertad........................................................................................ 3

Movimiento armnico.............................................................................................................. 4

Ecuacin del movimiento - frecuencia natural......................................................................... 5

Pndulo simple......................................................................................................................... 11

Pndulo compuesto o pndulo fsico........................................................................................ 13

Combinacin de resortes.......................................................................................................... 16

En paralelo................................................................................................................................ 16

En serie..................................................................................................................................... 18

Mtodo de la energa................................................................................................................ 24

Mtodo Newton........................................................................................................................ 27

Mtodo de Rayleigh................................................................................................................. 28

Vibracin forzada sin amortiguamiento................................................................................... 41

Tipos de amortiguamiento........................................................................................................ 46

Vibracin libre amortiguada..................................................................................................... 47

Sistema con amortiguamiento crtico....................................................................................... 48

Movimiento sub-amortiguado.................................................................................................. 50

Movimiento sobre-amortiguado............................................................................................... 52

Sistema de un solo grado de libertad.

Muchos sistemas pueden vibrar en ms de una manera y direccin. Si un sistema est restringido

a vibrar de una manera o necesita solo una coordenada independiente para determinar por

completo la localizacin geomtrica de las masas del sistema en el espacio, este es un sistema de

un solo grado de libertad.

Por Ej.:




Movimiento armnico.

El movimiento oscilatorio puede repetirse a si mismo regularmente, como es el caso de un

balancn de reloj o desplegar considerable irregularidad, como es el casos de los movimientos

ssmicos.

Cuando el movimiento se repite a intervalos de tiempo t, se le llama PERIDICO donde es

el periodo de oscilacin.

Si se designa el movimiento por x(t), todo movimiento peridico debe satisfacer la relacin:

x(t) = x(t + )

El movimiento peridico ms simple es el MOVIMIENTO ARMNICO. Este movimiento

puede ilustrarse por medio de una masa suspendida de un resorte liviano (Ver Fig.) Si la masa se

desplaza de su posicin de reposo y se la libera, oscilar hacia arriba y abajo; si se coloca una

fuente de luz en la masa, su movimiento puede ser registrado en una tira de pelcula sensible a la

luz que es movida a velocidad constante.

Este movimiento registrado en la pelcula

puede representarse por medio de la ecuacin:

t

Asenx 2

Donde :

A = Amplitud de oscilacin, medida desde

su posicin de equilibrio.

= Periodo y se repite cuando t

m

K c

x F

se

nw

t0

J

K

m

x

K

m

K

t

xA




Ecuacin del movimiento frecuencia natural.

El sistema oscilatorio ms simple consta de una masa y un resorte (Fig.). Se supone despreciable

la masa del resorte cuya rigidez es K (N/m). Note que el sistema tiene un grado de libertad, ya

que su movimiento est descrito por una coordenada x.

Cuando se pone en movimiento, la oscilacin tendr lugar a la frecuencia natural que es una

propiedad del sistema.

La segunda ley de Newton es la primera base para examinar el movimiento del sistema.

La posicin del equilibrio esttico:

mgK (1)

Si se desplaza un x a partir del equilibrio esttico, las fuerzas que actan son:

En el resorte xK

Debido al peso mgW

Si se toma a x como positivo hacia abajo, entonces todas las cantidades, fuerza, velocidad y

aceleracin son tambin positivas por estar dirigidas hacia abajo.

xmxKmg

xmKxKmg

Segn (1) mgK

xmKxKgm

Por tanto: 0Kxxm (2)

m

K

m

m

x

0,7

1

K

mg

mg

K(G + x)

Posicin de

Equilibrio esttico

esforzada

Posicin no

x x




Note que el hecho de haber elegido como referencia la posicin de equilibrio esttico a la medida

x, ha eliminado a la fuerza debida a la gravedad mgW y a la fuerza esttica del resorte

KF de la ecuacin del movimiento (Ver ecuacin (2)) y la fuerza resultante es solamente

debida al desplazamiento x.

0Kxxm m

0xm

Kx (3)

La frecuencia natural circular 2n ser:

m

K2n

La ecuacin (3) queda por tanto:

0xx2

n (4)

El movimiento definido por la ecuacin (4) se llama Movimiento Armnico Simple y se

caracteriza porque la aceleracin es proporcional al desplazamiento y de sentido opuesto.

Note que tcos,tsen satisfacen la ecuacin; por tanto constituyen soluciones particulares.

La solucin a esta ecuacin es de la forma:

stex (5)

Derivando dos veces:

stsex (6)

st2esx (7)

Reemplazando (5) y (7) en (4)

0eesst2st2

0se 22st

is0s22

Como: ti2ti

1 eses son soluciones linealmente independientes

Entonces ti22ti

11 eCseCs tambin son soluciones

Y tambin ser: ti2ti

1 eCeCx (8)




Pero: tsenitcose ti (9)

tsenitcoseti (10)

(9) y (10) en (8)

tsenitcosCtsenitcosCx 21 tsenCtcosCtseniCtcosCx 2211

tcosCCtseniCiCxB

21

A

21

tcosBtsenAx (11)

Donde: A, B son constantes a determinarse por condiciones de contorno.

Suponiendo que:

0t

p

0xx Condiciones de contorno

0t

p 0xx o Condiciones iniciales

Derivando (11)

tsenBtAx cos (12)

Reemplazando las condiciones de contorno en (11) y (12) se obtiene las cts.. A y B

En (11) 00 0cos0 xBBAsenx

En (12)

00 00cosx

AsenBAx

Reemplazando las cts. A y B en (11)

txtsenx

x

cos00

Donde m

K frecuencia natural circular

El periodo natural de oscilacin es:

t

pero: t2

Por tanto:

22 o tambin:

K

m 2

La frecuencia natural: ffn




1f

Estas cantidades pueden expresarse en funcin a la deflexin o deformacin esttica ya que:

mgKmgK

Reemplazando en estas ltimas ecuaciones:

* Frecuencia natural circular:

g

m

mg

* Periodo natural: g

2

2

* Frecuencia natural:

gff

2

11

La solucin general tambin puede obtenerse multiplicando las dos soluciones particulares

ttsen cos por cts.. arbitrarias y sumndolas, es decir:

tBtAsenx cos (a)

tsenBtAx cos (b)

tBtsenAx cos22 (c)

(a) y (c) en (4)

0coscos2

2222 xx

tBtAsentBtsenA

Cumple la igualdad, por tanto es solucin de (4) la ecuacin (a)

Como esta expresin contiene 2 cts. arbitrarias A y B, la solucin obtenida (a) es la solucin

general y A y B dependen de las condiciones iniciales.

m

Kf

2

1

t

Xm

x

t

Xm

wt wt

B

P

A

O




Las expresiones del desplazamiento velocidad y aceleracin obtenidas para una partcula, pueden

escribirse en forma ms compacta si nota que (a) expresa el desplazamiento x = OP como la suma

de las componentes en x de los vectores A y B respectivamente.

Note que la magnitud de OQ es igual a la amplitud mx

El M.A.S. de P a lo largo del eje x puede obtenerse proyectando sobre este eje el movimiento

de un punto Q que describe un crculo de radio mx con una velocidad angular constante .

Representando por el ngulo formado por los vectores OQ y A, se escribe:

tOQsenOP

Que conduce a otras formas de expresin del desplazamiento, velocidad y aceleracin.

tsenxx m

txx m cos

tsenxx m2

Ejm. Una masa de Kg. est suspendida de un resorte, cuya rigidez es 0.1533 N/mm. Determine

su frecuencia natural en ciclos por segundo. Calcule la deflexin esttica y verifique la frecuencia

natural.

m

N3.153

m1

mm1000

mm

N1533.0K

a) Frecuencia natural Kg25.0

mN3.153

2

1

m

K

2

1f

Hz

seg

ciclos94.3f

b) La deflexin esttica mgK 3.153

81.925.0

K

mg m016.0

mm981.15m015981.0

Ejm. Determinar la frecuencia natural de la masa M en el extremo de un voladizo de masa

despreciable.

Primero se encuentra la deformacin de la viga en el extremo (Donde est la carga).




LxPPLPxdx

ydEI

2

2

12

CLx2

P

dx

dyEI

213

CxCLx6

PEIy

Por condiciones de contorno:

0x

P y = 0

2

3

C6

LP0

32 PL

6

1C

0x

P 0

dx

dy 1

2CLP

2

10 21 PL

2

1C

Por tanto la deformacin es: 323 PL6

1xPL

2

1LxP

6

1EIy

La deformacin mxima ocurre en x = L

33PL

6

1PL

2

10EI

EI3

PL3

Como KP siendo la deformacin, entonces la ecuacin (*) se adecua a:

3L

EI3PK

Se sabe que la frecuencia natural circular es: m

K

2

1f

Entonces. m

L

EI3

2

1f

3

3mL

EI3

2

1f

m

y

LM

P

x

M = PL




1. Si la masa de la viga es despreciable comparada con la masa m, derive una expresin para la

frecuencia de la masa.

Segn tablas: La deformacin en el centro de la viga doblemente empotrada (Donde est m)

viene dada por:

EI192

PLy

3

Adecuando a nuestro caso:

y

PK

3L

EI192K

Se sabe que la frecuencia natural est dada por:

m

K

Entonces: m

L

IE192

3

Pndulo simple.

3mL

EI192

seg

Rad

m

y

L

T

mg

mg

Ft

FN

T

m




El pndulo simple se compone de una masa puntual m que cuelga en el extremo inferior de un

hilo resistente de longitud L de peso despreciable.

Desplazada la partcula de la posicin de equilibrio en un ngulo m y luego liberada, el

pndulo oscila en un plano vertical a lo largo del arco de circunferencia de centro O y radio

L, bajo la influencia de la fuerza restauradora tF que es la componente del peso W en la

direccin tangencial.

Para un tiempo cualquiera t, la cuerda forma un ngulo con la vertical y el sistema de

fuerzas que acta sobre la partcula lo constituyen el peso W y la tensin T en la cuerda.

Por la segunda ley de Newton para el movimiento circular se tiene:

tmasenmg

Donde Ra t

2

2

dt

dnangularaceleraci

Radio de la curva R L

Entonces: mLsenmg

Lseng

0sengL

0senL

g

Comparando con la ecuacin del M.A.S.

0x

m

Kx se ve que el movimiento del pndulo no

es M.A.S.; sin embargo, Si la amplitud de oscilacin es pequea:

sen (En radianes)

Luego puede escribirse:

0L

g (Solucin aproximada)

Por comparacin se tiene que la frecuencia natural circular est dada por:




L

g

L

g2

Llegando a la conclusin que el pndulo simple es un M.A.S. para pequeas oscilaciones.

Su periodo est dado (Frmula de HUYHENS):

2

t

g

L2

Ejm. Suponiendo que el pndulo de un reloj sigue la teora del pndulo simple. Cul ser la

longitud si tiene el periodo de un segundo?

Se sabe que el periodo est dado por: g

L2

Despejando: 2

222

4

gL

g

L4

Trabajando en [pies]

Pndulo compuesto o pndulo fsico.

Un cuerpo rgido que puede oscilar libremente

alrededor de un punto en suspensin que es su

centroide, constituye un pndulo compuesto.

Los distintos puntos materiales del rgido,

constituyen otros tantos pndulos simples que si

estn a diferentes distancias del eje de giro

tendran que oscilar con periodos distintos.

Pero como se trata de un pndulo fsico, este se

mueve con un periodo propio de oscilacin

.lgP78.9L L

T

mg

b

Ox




Si el pndulo compuesto es desplazado de su posicin de equilibrio, esta vuelve por efecto del

momento de su peso W respecto al eje.

mgbM

pero senLb

senmgLM

senmgldt

dI

2

2

donde:

Momento de inercia del cuerpo con respecto al eje de rotacin I= 2mr

Radio de giro r

Aceleracin angular

2

2

dt

d

Para oscilaciones pequeas sen [Rad]

Ordenando (1) y teniendo en cuenta lo dicho:

0mglI I

0I

mgl como 2mrI

0r

gL0

mr

mgl22

(2)

Analizando esta frmula (2), se nota que para oscilaciones pequeas, el movimiento oscilatorio

del pndulo fsico es M.A.S. siendo:

2

2

r

gL Frecuencia natural circular

y su periodo de oscilacin es:

Ejm. Una chapa cuadrada homognea de lado L (Pies) y masa m est suspendida del punto

medio de uno de sus lados. Encuentre su frecuencia de oscilacin.

gL

r 22




IM

Isen2

Lmg

Para oscilaciones pequeas:

sen

0mgL2

1I (1)

Donde I = Momento de inercia respecto al eje de giro

De tablas se tiene que:

22x cbm

12

1I

El momento respecto al eje X es:

222x L2m12

1LLm

12

1I

2

x mL6

1I

En este caso la rotacin es respecto al eje X por tanto segn STEINER

2xx mdII

22

x

2

2

x mL4

1mL

6

1I

2

LmmL

6

1I

2

x mL12

5I (2)

Reemplazando (2) en (1)

G

L

L G

mg

L/2x'

G

y

x

x'

c

b




0mgL2

1mL

12

5 2

0gL6

5

0L5

g6

Combinacin de resortes.

Cuando la deformacin de la masa vibratoria implica a ms de un resorte. Para facilitar el clculo

de la frecuencia natural, es necesario determinar la constante del resorte equivalente.

En paralelo.

Las caractersticas son:

- Todos los resortes tienen la misma deformacin

L5

g6

K1 K2 K3

m

P1 P2 P3

P




321 (1)

- La fuerza total es la suma de todas las fuerzas en los resortes 0Fv ; es decir:

.....PPPP 321 (2)

- Se sabe que: KP adecuando a (2) segn (1) se tiene:

.....KKKK 321eq

n

1i

i321eq K.....KKKK

Ahora bien: El sistema mostrado en la sgt. Figura tambin representa un sistema en paralelo.

- Considerando la masa m descompuesta en dos partes 1m y

2m tales que

21 mmm (1)

- Sean las frecuencias naturales de cada una:

1

12

1m

K

2

22

2m

K (2)

Estas frecuencias deben ser iguales, ya que se trata de una sola masa.

Por tanto:

22

2

2

1 (3)

(2) en (3) 2

2

1

1eq

m

K

m

K

m

K

mK

Km

eq

1

1 (4)

mK

Km

eq

2

2 (5)

(4) y (5) en (1) mK

Km

K

Km

eq

2

eq

1

m

K eq

21eq KKK

K2

m

K1

m1

m2




En serie.

El sistema mostrado representa un sistema vibratorio en serie y tiene las sgts. Caractersticas:

- La fuerza o peso es la misma en todos los resortes, ya que se supone despreciable la masa de

los resortes; es decir:

.....PPPP 321 (1)

- El desplazamiento total es la suma de los desplazamientos.

.....321 (2)

Pero: K

PKP

Teniendo en cuenta (1) reemplazamos en (2)

.....K

P

K

P

K

P

K

P

321eq

P

Ejm. Determine la frecuencia natural del vibracin del bloque, si sabe que los resortes estn

inicialmente comprimidos.

n

1i i321eq K

1......

K

1

K

1

K

1

K

1

K1

K2

m

K3

m

K

KK

K




rR

C

R

mg

Por la figura, se puede decir que el sistema est en paralelo, por tanto:

KKKKK eq

K4K eq

Luego la figura se reduce a :

xmKx4

0xm

K4x0Kx4xm

donde: m

K42 pero f2

2

m

K4

2f

Ejercicios:

1. Un disco homogneo semi-circular de radio r y masa m est pivotado en su centro y gira

libremente alrededor de este. Determine su frecuencia natural de oscilacin para desplazamientos

pequeos.

IM

IsenmgR

Para oscilaciones pequeas: sen

m

K1f

m

m

x

Kx

x




K

rxm

mg

G

rrA

To+

0mgRI I

I = Momento de inercia del cuerpo respecto al eje de giro. 0I

mgR

Extrayendo de tablas: 3

r4R 2mr

2

1I

Reemplazando: 0

mr2

13

r4mg

2

0r3

g8

2. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte de constante K [lb/Plg]

y una cuerda inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

D.C.L. para la posicin de equilibrio esttico:

0Fv 0mgTK 0

0MA 0mgrrK2 (1)

r3

g8

seg

Rad




D.C.L. para un desplazamiento x:

AImgrxrK2

2G mrImgrrKx2rK2

Donde: 2G mr2

1I Para un cilindro

Segn (1)

22 mrmr

2

1mgrrKx2rK2

2mr2

3rKx2

Ordenando 0r2rK2mr2

3 2 (2)

0Kr8mr322

0m3

K80K8m3

3. Una varilla rgida de peso despreciable est restringida a oscilar en un plano vertical.

Determine la frecuencia natural de la masa m.

En la posicin que se ve en la fig. note que el resorte ya tiene deformacin 0x , por tanto en su

equilibrio esttico:

m3

K8

mg

K

G

r

+

rA

FRx

KO

m

3/4L 1/4L




0M0

LKx4

1mgL

4

30 (1)

Cuando se desplaza un x, la sumatoria de momentos ser:

IM0

IL4

1xxKL

4

3mg 0

Pero 2mrI

Donde L4

3r

2

0 L4

3mKLx

4

1KLx

4

1mgL

4

3

(2)

Segn (1) queda:

2mL16

9KLx

4

1 (3)

Pero rx donde en este caso L4

1xL

4

1r

(4) en (3)

2mL16

9L

4

1KL

4

1

0KL16

1mL

16

9 22

2L

16

0Km9

0m9

K

3/4L 1/4L

mgK (xo + x)

O




seg

rad

4. Una varilla delgada tiene una masa despreciable y soporta una masa de 5 Kg. En su extremo.

Determine el periodo natural de vibracin.

Inicialmente para estar en esa posicin, el resorte debe estar comprimido.

Equilibrio esttico:

0M 2.0mgK1.0 (1)

Si se desplaza un cierto ngulo o distancia x

IM I1.0xK2.0mg

2mL1.0Kx1.0K2.0mg

Segn (1)

0Kx1.04002.0m 2

Pero 1.0x

01.04001.052.0 2

042.0 2.0

m9

K

200 mm.

10

0 m

m.

K = 400 N/m.

5 Kg.

C

A

B

mg

0.2 m.

0.1 m.

0.2 m.

mg

0.1 m.

KK( + x)




2

2

seg

rad20020

22

20

2

Mtodo de la energa.

El movimiento armnico simple de un cuerpo es generado solo por las fuerzas gravitacionales y

elsticas de restauracin que actan sobre el cuerpo. Estas fuerzas son del tipo conservativos.

Entonces la conservacin de la energa puede usarse para determinar la ecuacin diferencial de

movimiento y a partir de esta hallar la frecuencia natural o el periodo de vibracin del cuerpo.

Para vibraciones libres sin amortiguamiento, la energa total es parte cintica y parte potencial.

La energa cintica T es almacenada en la masa en virtud de la velocidad, mientras que la

energa potencial V es almacenada en forma de energa elstica de deformacin o de trabajo

realizado en un campo de fuerza gravitacional.

Coma la energa total se mantiene constante, su rata de cambio es cero, es decir:

.ctteVT

0VTdt

d

Como el inters se limita a la frecuencia natural del sistema, se puede plantear:

2211 VTVT

Donde (1) es el instante en que la masa est pasando por su posicin de equilibrio esttico(por

seg4.1




tanto 0V1 ) (Ya que el N. R. Est ah).

Sea (2) el instante en que ocurre el mximo desplazamiento de la masa 0T2

21 V00T

Sin embargo, si el sistema est experimentando un movimiento armnico, 1T y 2V son valores

mximos y por tanto:

maxmax VT

que conduce de inmediato a la frecuencia natural.

Ejm. Considerando el bloque y el resorte (fig.). Hallar la frecuencia natural, cuando el bloque se

desplaza una cantidad arbitraria x desde su posicin de equilibrio.

La energa cintica es: 2xm2

1T

La energa potencial es: 2Kx2

1V

Segn la conservacin de la energa .ctteVT

.ctteKx2

1xm

2

1 22

El movimiento del bloque puede obtenerse diferenciando esta ecuacin respecto a t:

0xKxxxm Factorizando x

0Kxxmx

0Kxxm

0xm

Kx

m

K2

Km




Si se escribe la ecuacin de energa para Un sistema de cuerpos conectados, tambin puede

determinarse la frecuencia natural o ecuacin del movimiento por medio de la derivacin.

(Este mtodo permite determinar Directamente la frecuencia circular )

Procedimiento para el anlisis.

1. Trazar un dibujo del cuerpo cuando se desplaza una pequea distancia x desde la posicin

de equilibrio esttico. (L. R.)

2. Formule la ecuacin de energa para el cuerpo .ctteVT , recordando que la energa

cintica es para traslacin y rotacin, es decir: 2G2

G I2

1xm

2

1T y la energa potencial es:

eg VVV (Gravitacional y elstica).

3. Se procede a la derivacin y se factoriza los trminos comunes.

4. La ecuacin resultante representa la ecuacin del movimiento para el sistema.

Ejm. Un cilindro slido homogneo de masa m se sujeta por medio de un resorte de constante

K lb/plg y reposa sobre un plano inclinado. Si el cilindro rueda sin deslizar; demostrar que la

frecuencia es: m3

K2

seg

rad.

Por el mtodo energtico

2

G

2

G I2

1mV

2

1T

Pero rVG ; 2

G mr2

1I ;

Kx

mr




Por tanto: 222 mr2

1

2

1rm

2

1T

2222mr

4

1mr

2

1T (1)

La energa potencial

2

e Kx2

1V Pero: rx

22

e Kr2

1V (2)

0VTdt

d

0Krmr2

1mr

222

0Km2

1m

0Km2

3

m

2

3

0m3

K2

Mtodo Newton:

ESTTICA DINMICA

m3

K2

mg

A

K+

+K ( + x)

A

mg




Esttica:

0MA 0rKrsenmg (1)

Dinmica:

AA IM

22 mrmr

2

1rxKrsenmg

2mr2

3KxrrKrsenmg (2)

Reemplazando (1) en (2) y ordenando

0Kxrmr2

3 2

Como no existe deslizamiento

rx

0Krmr2

3 22

m3

2

0m3

K2

Mtodo de Rayleigh:

El mtodo de energa, puede ser usado para sistemas con masas concentradas o distribuidas,

siempre que el movimiento de cada punto del sistema sea conocido.

En sistemas donde las masas estn unidas por conectores rgidos, palancas o engranajes, el

movimiento de las diferentes masas puede expresarse en trminos del movimiento x de algn

punto especfico y el sistema es simplemente de un solo grado de libertad.

La energa cintica puede escribirse como:

2

ef xm2

1T

m3

K2




m

K

x

dy

y

L

Masa efectiva o equivalente, concentrada en un punto especfico.= efm

Ahora bien, si la rigidez K de este punto es tambin conocida, la frecuencia natural puede

calcularse por:

efm

K

En sistemas con masas distribuidas, como resortes y vigas, es necesario primero conocer la

distribucin de la amplitud de vibracin antes de calcular la energa cintica RAYLEIGH.

1. Determinar el efecto de la masa del resorte en la frecuencia natural del sistema.

Sea x la velocidad de la masa M

Se supone que la velocidad de cualquier punto del resorte en y vara linealmente.

V

dt x

L

yy

y

x

y

L

La energa cintica del sistema puede ser ahora:

dyyL

m

2

1T

2

Masa por unidad de longitud= L

m

L

0

2

3

22L

0

dyyL

xm

2

1Tdyx

L

y

L

m

2

1T




23

3

2

x3

m

2

1TL

3

1

L

xm

2

1T

Se concluye que el efecto de la masa del resorte sobre la masa M es 1/3m; es decir:

m3

1mef

Aadiendo esto a la masa concentrada M, la frecuencia natural ser:

2. Una viga simplemente apoyada de masa m tiene una masa concentrada M en el centro de

la luz. Determine la masa efectiva del sistema en el centro de la luz y halle su frecuencia.

Primero se halla la variacin de la amplitud (Deformacin) con respecto a x segn tablas:

La ecuacin de la elstica y la flecha mxima estn dadas por:

22 xL

4

3

12

PxEIy Para

2

Lx0

EI48

PLy

3

mx

Operando en la ecuacin de la elstica se tiene:

2222

x4L3EI48

Pxy

4

x4L3

EI12

Pxy

m3

1M

K

y

Mm




33

3

332

L

x4

L

x3

EI48

PLy

L

Lx4

L

LxL3

EI48

Py

Por tanto:

3

mxL

x4

L

x3yy

La energa cintica ser:

dxL

x4

L

x3y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

2

L

m

2

1T

2

3

3

mx

2L

0

2

3

3

mx

2L

0

6

6

4

4

2

22

mx

22L

0

3

32

mx dxL

x16

L

x24

L

x9y

L

m2

2

1Tdx

L

x4

L

x3y

L

m2

2

1T

128

L

L7

16

32

L

L5

24

8

L

L

3ym2

2

1T

7

7

5

5

3

3

2

mx

2mx2

mx ym4857.02

1T

896

16

160

24

8

3ym2

2

1T

De donde la masa efectiva es:

Por tanto la frecuencia es:

efmM

K

Pero se sabe que:

P

KKP

33L

EI48K

EI48

PL

PK

2L

0

6

7

4

5

2

32

mxL

x

7

16

L

x

5

24

L

x3y

L

m2

2

1T

m4857.0mef

m4857.0MLEI48

3




O

LK

h

x

a

3. La masa de la varilla delgada de seccin uniforme es pequea comparada con la masa que

tiene colocada en su extremo. Calcule la frecuencia natural de oscilacin de la masa, suponiendo

que la oscilacin es pequea.

La energa potencial es la gravitacional y la elstica:

mghVg Pero: cosLLh

cos1mgLVg (1)

2

e Kx2

1V Pero: atagx Para oscilaciones pequeas tag

22e2

e Ka2

1VaK

2

1V (2)

La energa cintica es de traslacin:

2mV

2

1T Pero: LLV

222 mL2

1TLm

2

1T (3)

La derivada temporal 0VVT eg

0mLKasenmgL 22

0KamgLmL 22

0mL

KamgL2

2

2

2

mL

KamgL




4. Una esfera homognea de radio r y masa m puede rodar libremente sin deslizar sobre una

superficie esfrica de radio R. Si el movimiento de la esfera se restringe al plano vertical.

Determine la frecuencia natural de oscilacin de la esfera.

La energa potencial es: mghV

cos1rRmgVcosrRrRmgV

La energa cintica es de traslacin y rotacin

2G

2

G I2

1mV

2

1T

2

G1 mV2

1T donde: rRVG (Respecto del punto O)

2212

1 rRm2

1TrRm

2

1T

2

G2 I2

1T Pero: 2G mr

5

2I (Considerando A centro instantneo)

r

rR

r

VG

22

2

2

2

2

2

2r

rRrm

5

1T

r

rRmr

5

2

2

1T

222 rRm5

1T

hr

RR - r

A

BVG




10

K K

Por tanto: 0TTVdt

d21

0rRm5

2rRmsenrRmg

2

0senrRmgrRm5

2rRm

22

Pero: sen

0rRmgrR5

7rRm

0

rR5

7

g

5. Un disco homogneo circular tiene un momento de inercia alrededor de su centro igual a 10 lb-

plg-seg2. En la posicin de equilibrio esttico ambos resortes estn estirados 1 plg.. Encuentre la

frecuencia natural angular de oscilacin del disco, cuando se le da un pequeo desplazamiento

angular y se le deja en libertad. K=10 lb/plg.

rR7g5




La energa cintica:

2I

2

1T

2

GI2

1T (1)

La energa potencia elstica:

2K

2

1V

21 VVV

1xK2

11xK

2

1V

22

222KxK

2

1Kx

2

1K

2

1Kx

2

1V

Como: 222 KrVrKVrx (2)

Pero: 0VTdt

d

0KrI2

1

dt

d 222

0Kr2I2

0Kr2I2 I

0I

Kr22

Reemplazando valores:

0

10

101022

20002002

6. Un cilindro homogneo de masa m est suspendido por un resorte K y una cuerda

inextensible. Encuentre la frecuencia natural de vibracin del cilindro.

seg

rad14.14




Energa cintica:

21

2

G

2

G TTTI2

1mV

2

1T

rVG

2221 mr2

1rm

2

1T

2222

2 mr4

1mr

2

1

2

1T

Por tanto: 222222 mr4

3Tmr

4

1mr

2

1T

Energa potencial:

2Kx

2

1V Pero: r2x

222 Kr2r2K2

1V

0VTdt

d 0Kr2mr

4

3

dt

d 2222

0rK4rm2

3 22

0K4m2

3

2

m3

0m3

K8

K

xm

rVG

A




7. El disco tiene una masa de 8 Kg. Determine su frecuencia natural de vibracin f si los

resortes estn originalmente no estirados.

Energa cintica:

2

G

2

G I2

1I

2

1T

Pero: 2G mr2

1I

2222mr

4

1Tmr

2

1

2

1T

(1)

Energa potencial (Elstica solamente):

2Kx

2

1V 21 VVV

22Kx

2

1Kx

2

1V pero: rx

222KrVKxV (2)

0TVdt

d 0mr

4

1Kr

dt

d 2222

0rm2

1rK2

22

m3

K8

K = 400 N/m

m100 mm.

x

x

K = 400 N/m




0K2m2

1

2

m

m

K2

m

K40

m

K4 2

Se sabe que: 2

m

K2

2ff2

8

4001

m

K1f

8. Determine La ecuacin diferencial de movimiento del carrete de 3 Kg., suponiendo que no se

desliza en la superficie de contacto a medida que oscila. El radio de giro del carrete en torno de

su centro de masa es .mm125KG

R = 100 mm. = 0.1 m.

R = 200 mm. = 0.2 m.

GK = 125 mm. = 0.125 m.

Energa cintica (Traslacin y rotacin):

2Gt mV

2

1T Pero: 22tG mr

2

1TrV (1)

2Gr I

2

1T pero: 22Gr

2

GG mK2

1TmKI (2)

Hz25.2f

K = 400 N/m

200 mm.

100 mm.

VG

x

G




r 3r

rr

r

K1

K2

Energa potencial (Elstica solamente):

2Kx

2

1V Pero: 22RrK

2

1VRrx (3)

0RrK2

1mK

2

1mr

2

1

dt

d 2222G

22

0RrKmKmr 22G2

0RrKmKmr 22G2

Reemplazando valores:

02.01.0400125.0301.3 222

036077.0 077.0

9. Para ngulos pequeos de oscilacin, encuentre la frecuencia de oscilacin del sistema.

Por el mtodo de la Energa

2

G

2

G

2

G I2

1TI

2

1Vm

2

1T

2

22

2

11

2xK

2

1xK

2

1VhmgKx

2

1V

Pero rx1

r4r3rx2

0468




2

G mr2

1I

Reemplazando

0r4K2

1rK

2

1mr

2

1

2

1 22

2

1

22

0r16K2

1rK

2

1mr

4

1 222

22

1

22

Derivando

0rK16rKmr2

1 22

2

1

2 2r

0K16Km2

121

0m

K32K2 21

10. Hallar la ecuacin del movimiento de un pndulo invertido que est restringido por un

resorte, cuya constante es K. Se supone que la masa del pndulo est concentrada a una

distancia L del punto de apoyo y que el resorte es lo suficientemente rgido para que el pndulo

sea estable.

m

K32K2 21

m

K

m x

1

2

a

L




2mV

2

1T Pero Lx = velocidad

222 mL2

1Lm

2

1T

2E K

2

1V Pero a

Ka2

1aK

2

1V

222

E

mghVG

1cosmglmgLcosmgLVG

1cosmgLKa

2

1mL

2

1

dt

d0VVT

dt

d 2222GE

0senmglKamL22 Pero sen

0mgLKamL 22 2mL

Vibracin forzada sin amortiguamiento.

Para este caso la ecuacin diferencial tiene la forma siguiente:

tsenPKxxm o (1)

Este tipo de ecuaciones tiene dos soluciones: pc xxx

a) Solucin a-transitoria complementaria: Cuando la ecuacin es homognea, es decir:

0Kxxm

La cual tiene como solucin:

tcosBtsenAx

0L

g

mL

Ka2

2




b) Solucin estacionaria o particular: Cuando la ecuacin es:

tsenPKxxm o

Su solucin es del tipo:

tsenGtx (2)

Derivando dos veces:

tcosGtx

tsenGtx 2 (3)

Reemplazando (2) y (3) en (1)

tsenPtsenGKtsenGm o2

tsenPtsenKGtsenmG o2 tsen

o

2PKGmG K

K

PG

K

mG o2

Factorizando G y ordenando

K

PG

K

m1 o

2

Pero:

m

K2

K

PG1 o

2

2

Sea:

2

2

K

PG1 o

2

2o

1K

PG

(4)

Reemplazando (4) en (2)

tsen1K

Ptx

2

o

p

(Solucin particular)

Como la solucin general es del tipo:

pc xxtx

Entonces:

tsen1K

PtcosBtsenAtx

2

o

(5)




Las constantes A y B se determinan por las condiciones de contorno

Si 00x0t (a)

Si 00x0t (b)

Reemplazando (a) en (5)

o

2

ooo 0sen1K

P0cosB0senA0

0B

Derivando (5)

tcos1K

PtsenBtcosAtx

2

o

(6)

Reemplazando (b) en (6)

o

2

ooo 0cos1K

P0senB0cosA0

2

o

2

o

1K

PA

1K

PA0

Pero 2

o

2

2

1K

PA

Reemplazando las constantes A y B en (5)

tsen1K

Ptsen

1K

Ptx

2

o

2

o

(7)

Donde:

oP Amplitud de la fuerza externa

K Rigidez del resorte

Frecuencia circular del movimiento

Frecuencia circular de carga

Si se analiza la ecuacin (7), se nota que:

tsentsen1K

Ptx

2

o




2

3

4

5

6

21 3

Si 1 , es decir; entonces el factor 01 2 lo que implica que al estar en el denominador se hace infinita la expresin. Esta situacin se llama RESONANCIA.

La solucin particular para el caso tiene la forma:

tsentGtx 1p

Donde : m2

PG o1

Esta expresin muestra que la amplitud crece ilimitadamente con el tiempo.

Ejm. Un bloque de masa m est soportado por un resorte de ctte. K el cual est montado

sobre una base de peso despreciable que tiene un movimiento armnico tsenAo hacia arriba y

hacia abajo. Determine el movimiento del bloque.

tsentm2

Ptx op

20

1 K

P

2

2

2

K

P0

t




xmyxK

xmKyKx

tsenKAKxxm o

Solucin complementaria tcosBtsenAxc

Solucin particular:

Por uno de los mtodos abreviados, se tiene que la solucin es de la forma:

baxsen

aF

1baxsen

DF

1y

22

: 0aF 2

Por tanto en este caso, la ecuacin diferencial ser:

Sea xDx 2

tsenKAxKmD o2

tsenKAKmD

1x o2p

tsenKAKm

1x o2p

tsenKA

m

Km

1

x o2

p

Pero m

K2

A

se

nw

t0

x

K

K (x - y)

m




tsen

m

KAx

22

o

p

tsen

Ax

2

2

222

o

p

tsen

1

Ax

2

2

o

p

Por tanto la solucin general es:

Tipos de amortiguamiento.

a) Amortiguamiento viscoso. Para cuerpos que se mueven con velocidad moderada a

travs de fluidos.

cVF c Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

b) Amortiguamiento turbulento. Ocurre cuando la rapidez con que se mueve un cuerpo

dentro un fluido es alta.

2bVF b Ctte. De proporcionalidad

V Velocidad

c) Amortiguamiento Coulombiano. Cuando una superficie seca se desliza sobre otra

superficie.

NF Coeficiente de roce cintico

N Fuerza normal

tsen

1

AtcosBtsenAx

2

2

o




m

K

c

x

K( + x)

mg

mg

FR Fa

cxx

Vibracin libre amortiguada.

En la situacin de equilibrio esttico (caso b) no acta todava la amortiguacin

mgK (1)

En la situacin (c) se tiene:

xmF

xmmgxcxK

xmmgxcKxK Segn (1)

xmxcKx

Ordenando: 0Kxxcxm (2)

Si Dxdt

dx y xD

dt

xd 22

2

0KxcDxxmD2 (3)

Dividiendo entre m la ecuacin (3)

0m

KD

m

cD

2 (4)

Resolviendo cual si fuese una ecuacin de segundo grado.

2

m

K4

m

c

m

c

D2

2

Como m

K2




2

4m4

c4

m

c

D

2

2

2

2

2

m2

c

m2

cD

Analizando el discriminante, se ve tres situaciones posibles:

Si

0

m2

c 22

El sistema tiene amortiguamiento CRITICO

Si

0

m2

c 22

El sistema es SUB-AMORTIGUADO

Si

0

m2

c 22

El sistema est SOBRE-AMORTIGUADO

Sistema con amortiguamiento crtico.

Como

m2

c

m2

c0

m2

c 22

2

2

De ah m2Cc cC Amortiguamiento crtico

Por tanto la raz de la ecuacin (4) son iguales y sern:

m2

m2

m2

CD

2

4m

c

m

c

D c

0

2

2

2

Por tanto la solucin de la ecuacin (4) tendr la forma:

Dt2Dt

1 teGeGtx Donde 21 G,G Ctts. a determinar

Factorizando Dt21 etGGtx

Como D t21 etGGtx (5)

D




t

m2

c

21 etGGtx

(5)

Conforme t se tiene que 0et

m2

c

ms rpidamente que t se aproxima a ; el movimiento

se disipa exponencialmente.

De hecho, el caso de amortiguamiento crtico es el caso lmite de sobre-amortiguamiento.

El amortiguamiento crtico, representa una condicin en la que e tiene el valor mnimo necesario

para hacer que el sistema sea NO VIBRATORIO

Para hallar las constantes 21 G,G de la ecuacin (5) se realiza segn condiciones de contorno.

Se sabe que: tsenhtcoshe t (6)

(6) en (5)

tsenhtcoshtGGtx 21

tsenhtGtcoshtGtsenhGtcoshGtx 2211 (7)

0xtx0t

P Reemplazando en (7)

o2o

2

o

1

o

1 0senh0G0cosh0G0senhG0coshG0x

0xG1

Derivando (7)

tsenhGtcoshtGtcoshGtsentGtcoshGtsenhGtx 222211

0xtx0t

P

o2o

2

o

2

o

2

o

1

o

1 0senhG0cosh0G0coshG0sen0G0coshG0senhG0x

21 GG0x

0x0xGG0xG 212

Reemplazando las constantes 1G y 2G en (5)




tet0x0x0xtx

Ordenando:

Movimiento sub-amortiguado.

Esta situacin ocurre cuando:

0m2

c 22

Que implica tener un discriminante negativo, por tanto tendr soluciones imaginarias.

Sea Razn de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD

22

m2

m2

m2

m2D

1DD2222

21iD

tet0xt10xtx

t

X(0)

X(0)>0

X(0)=0

X(0)




Sea: 20 1 Velocidad angular amortiguado

Frecuencia de oscilaciones amortiguadas

0iD (a)

La solucin a la ecuacin diferencial tendr la forma:

tD2tD

121 eGeGtx (b)

Reemplazando (a) en (b)

ti2ti

100 eGeGtx

tit2tit

100 eeGeeGtx

ti2ti1t 00 eGeGetx (c)

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando en (c)

tsenitcosGtsenitcosGetx 002001t

tseniGtcosGtseniGtcosGetx 02020101t

tsenGGitcosGGetx 0B

210

A

21

t

tsenBtcosAetx 00t (d)

Para 0xtx0t

0xA0senB0cosAe0x oo0 Derivando (d):

tsenBtcosAetcosBtsenAetx 00t

0000

t

Para 0xtx0t

oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAe0x

AB0x 00 Pero 0xA




0

0

00

0x0xB0xB0x

Movimiento sobre-amortiguado.

Esto ocurre cuando:

0m2

c 22

Razn de amortiguamiento

m2CCCC

Cc

c

Reemplazando en: 22

m2

c

m2

cD

1D2

1D 2 (a) La solucin a la ecuacin diferencial es del tipo:

tDtD 21 BeAetx (b)

tsen

0x0xtcos0xetx 0

0

0

0

t

x sen

x

wt

txe




Reemplazando (a) en (b)

t1t1 22

BeAetx

(c)

Derivando (c)

t12t1222

e1Be1Atx

(d)

Las condiciones de contorno son:

Para: 0t ; 0xtx ; 0xtx

Reemplazando en (c)

B0xABeAe0x 00 (*)

Reemplazando en (d)

0202 e1Be1A0x (**) Reemplazando (*) en (**)

B1B1B0x0x 22 B1BB1B0x10x0x 222

0x0x0x1B12 22

12

0x0x1B

2

2

Reemplazando en (*)

12

0x0x10xA

2

2

12

0x0x0x10x12A

2

22

12

0x10xA

2

2

*****

t1

2

2t1

2

2 22

e12

0x0x1e

12

0x10xtx




m

cK

x

L.R.t = 0

h

El movimiento es una funcin exponencialmente decreciente con el tiempo y se la clasifica como

APERIODICA.

Ejm. Si el sistema mostrado en la figura, se suelta desde una altura h sobre una superficie dura.

Cul ser el movimiento resultante de la masa m?

La ecuacin diferencial para este sistema es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx (1)

La expresin se puede escribir como:

0m

KD

m

cD

2

wt

A

O

B

tAe

12




La solucin de esta ecuacin es:

2

2

m2

c

m2

cD

(2)

Como CC

c y m2cm2CC

Reemplazando en (2)

22

m2

m2

m2

m2D

1DD2222

Cambiando el orden del discriminante; este se hace negativo, por tanto imaginario:

21iD

Sea: 20 1

0iD

La solucin a la ecuacin (1) es de la forma:

tD2tD

121 eGeGtx

ti2ti

100 eGeGtx

ti2ti1t 00 eGeGetx

Como: tsenitcose 00ti 0

tsenitcose 00ti 0

Reemplazando y simplificando:

tsenBtcosAetx 00t (3)

Derivando (3)


0000

t (4)

Considerando el nivel de referencia (L.R) del grfico, se tiene las consideraciones de contorno

0tP ; 0x ; gh2x

Reemplazando en (3) y (4) Se determina las constantes.




K

x

m

c

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0

En (3)

0A0senB0cosAe0 oo0 En (4)

oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAegh2

0

0

gh2BBgh2

Reemplazando en (3)

tsen

gh2tcos0etx 0

0

0

t

tsenegh2

tx 0t

0

Pero

m2

c

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0

1. Una masa de 50 lb. Reposa sobre un resorte de 35 lb/Plg.y un amortiguador de 075 lb-seg/Plg..

Si se aplica una velocidad de 4 Plg/seg a la masa en su posicin de reposo. Cul ser el

desplazamiento al final del primer segundo?.

tsenegh2

tx 0t

m2

c

0




La ecuacin diferencial para este caso es:

0Kxxcxm m

0xm

Kx

m

cx

La solucin o primitiva de esta ecuacin es:

tsenBtcosAetx 00t (a)

2

0 1

m2

c

0tP ; 0tx ; 40x [Plg/seg] (b)

Reemplazando en (a)

0A0senB0cosAe0 oo0

Derivando (a)


0000

t

oo0o0o00 0senB0cosAe0cosB0senAe4

AB4 0 Pero 0

4B0A

Reemplazando en (a)

tsene4txtsen4etx 0t

0

0

0

t

(c)

Pero

seg

rad86.13

seg

lgp384

lb

lgp/lb

50

25

m

K2

2

21.0

86.13502

288

m2

c

seg

lgp384

lgp

seglb75.0c

2

seg

rad55.1321.0186.131 0

22

0

Por tanto estos valores reemplazado en (c)




155.13sene55.13

41x

186.1321.0

2. Un pndulo simple est pivotado en 0. Si la masa de la varilla es despreciable y las

oscilaciones pequeas; encuentre la frecuencia natural amortiguada del pndulo.

IM donde 22 mLMmLI

22211 mLsenmgLLxcLKx (1)

pero 11 Lx

2222 LxLx

Reemplazando en (1)

2222

1 mLmgLcLKL

Ordenando

0mgLKLcLmL 21222 (2)

0mL

mgLKL

mL

cL2

2

1

2

2

2

La solucin de esta ecuacin de segundo grado es:

2

2

1

2

2

2

22

2

2

mL

mgLKL14

mL

cL

2

1

2

mL

cL

D

lgp0013.01x

K

m

L

L2

L1

c

O




2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

mL

mgLKL4

mL2

cL2

2

1

mL2

cLD

2

2

1

2

2

2

2

2

2

2

mL

mgLKL

mL2

cL

mL2

cLD

De aqu, la frecuencia circular amortiguada es la raz, pero cambiando los trminos:

2

2

2

2

2

2

1

mL2

cL

mL

mgLKL

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000011 Vibración Libre