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CONCEPTOS GEOMETRICOS A TRAVES DE CABRI GEOMETRE II Luis Miguel Rangel Álvarez E-mail: [email protected] Juan Pablo Garcés Toledo E-mail: [email protected] RESUMEN: La propuesta se circunscribe en el campo del uso de las nuevas tecnologías en el aprendizaje de conceptos matemáticos del currículo. Específicamente en el campo de la geometría. Se desarrollan construcciones de objetos geométricos como los siguientes: líneas, planos, figuras como el triángulo, círculos, polígonos; como también el establecimiento de relaciones métricas y atributos medibles

Conceptos Geometricos a Traves de Cabri Geometre II

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CONCEPTOS GEOMETRICOS A TRAVES DE CABRI GEOMETRE II Luis Miguel Rangel lvarez E-mail: [email protected] Juan Pablo Garcs Toledo E-mail: [email protected] RESUMEN:

La propuesta se circunscribe en el campo del uso de las nuevas tecnologas en el aprendizaje de conceptos matemticos del currculo. Especficamente en el campo de la geometra. Se desarrollan construcciones de objetos geomtricos como los siguientes: lneas, planos, figuras como el tringulo, crculos, polgonos; como tambin el establecimiento de relaciones mtricas y atributos medibles de estos objetos.

El programa Cabri-Geometre II fue diseado por Jean Marie Laborde y Franck Bellemain en la Universidad de Joseph Fourrier de Grenoble (Francia) y experimentando en sus aulas. Se trata de un programa para hacer geometra de forma prctica, visual e interactiva, que permite experimentar, analizar situaciones geomtricas de diverso tipo, permite comprobar resultados, inferir, refutar, consultar propiedades, simular, descubrir regularidades y tambin aunque parezca sorprendente demostrar. El programa es fcil de usar y la experiencia ha demostrado que los alumnos se familiarizan rpidamente con l; ste puede ser utilizado en forma gratuita bajndolo de la pgina www.matematicas.net/programateca/windows/cab ri, www.ti.com entre otras.

Introduccin

Este pequeo tutorial ofrece una esquemtica descripcin del programa y propone la realizacin de algunos ejercicios concretos con la finalidad de adquirir habilidad y destreza en su utilizacin. Esperamos que sea de utilidad para todos aquellos que utilicen el programa por primera vez, y que puedan introducirlo en el saln de clase.

CABRI GEOMETRE II PARTES DE LA VENTANA CABRI

Tiene una zona de trabajo que ocupa toda la pantalla, a excepcin que de la parte superior en la que encuentran, por un lado la barra de mens, propia de cualquier programa de Windows y por otro, la barra de herramienta, en la que se despliegan mens con los diferente comandos para realizar las distintas construcciones geomtricas, por ejemplo, puntero, , se utiliza para seleccionar, mover y manipular objetos. La zona de trabajo pretende ser un cuaderno borrador en el que se experimentan las construcciones geomtricas. De hecho su nombre Cabri se forma a partir de las palabras cahier de brouillon.

BARRA DE HERRAMIENTAS

Cada men de la barra de herramienta contiene comandos clasificados del siguiente modo: Primer grupo ("Puntero"):Puntero:

Sirve para seleccionar objetos ya construidos, para cambiarlos de posicin (siempre y cuando no se trate de objetos dependientes). Un objeto seleccionado se puede cambiar de color, etc. Para seleccionar objetos distintos de una sola vez hay que mantener pulsada la tecla SHIFT. Con el puntero tambin podemos seleccionar una zona rectangular, por ejemplo para copiarla y pegarla en otro archivo o bien en un programa de dibujo para incluir posteriormente la imagen geomtrica en un texto. Giro : Sirve para girar un objeto alrededor de un punto: hay que seleccionar el punto y luego el objeto que queremos girar (se puede combinar con "animacin") Semejanza : Aumenta o disminuye un objeto (utiliza el centro de la figura geomtrica). Si se selecciona primero un punto y despus una figura geomtrica, por ejemplo un tringulo, la transformacin utiliza ese punto. (Se puede combinar con "animacin") Giro y semejanza: Permite una accin combinada de las dos opciones anteriores, tambin se puede actuar sobre una figura o bien sobre una figura despus de haber seleccionado un punto.

Segundo grupo ("Puntos"):Punto : Dibuja un punto. Punto sobre objeto : Igual que "punto" pero entiende que el punto debe ir sobre otro objeto Punto de interseccin : Seleccionados dos objetos, crea el punto de interseccin de ambos.

Tercer grupo ("Rectas"): Recta : Dibuja una recta. Si desea la recta horizontal, presione la recta shift, Qu sucede si lo que mueve el Mouse o las teclas direccionales? Segmento : Dibuja segmentos a partir de dos puntos. Semirrecta : Dibuja una semirrecta Vector : Dibuja un vector Tringulo : Dibuja un tringulo Polgono : Dibuja un polgono. Para cerrarlo y acabar hay que volver al primer punto utilizado. Polgono regular : Dibuja un polgono regular: marcamos el centro y si nos movemos en sentido horario dibuja un polgono convexo regular. Si nos movemos en sentido antihorario obtenemos un polgono estrellado

Cuarto grupo ("Curvas"): Circunferencia : Dibuja una circunferencia a partir de su centro y utilizando otro punto Arco : A partir de tres puntos dibuja el arco determinado por el primero y el ltimo sobre la circunferencia determinada por los tres puntos. Cnica : A partir de cinco puntos dibuja la cnica que pasa por ellos.

Quinto grupo ("Construir"):

Quinto grupo ("Construir"):Recta Perpendicular : Dibuja una recta que pasa por un punto y es perpendicular a otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa). Recta Paralela : Dibuja una recta que pasa por un punto y es paralela a otra recta. Hay que marcar un punto y una recta (el orden no importa). Punto Medio : Dibuja el punto medio de un segmento o de dos puntos. Mediatriz: traza la perpendicular por el punto medio entre dos puntos extremos de un segmento. Bisectriz : Dibuja la bisectriz determinada por tres puntos (extremo, origen, extremo del ngulo) Suma de Vectores : A partir de dos vectores cualesquiera y de un punto, dibuja el vector suma aplicado a ese punto. Comps : Dibuja una circunferencia sealando su centro y un segmento cualquiera para utilizar su longitud como radio.

Transferencia de Medidas : Si hemos obtenido la medida de un segmento, o bien un nmero con "edicin numrica", o bien tenemos un nmero como resultado de un clculo realizado con la "calculadora" de Cabri, se puede transferir esa medida (longitud) a una semirrecta; obtenemos un punto a la distancia indicada del origen de la semirrecta. Se puede transferir una medida a un punto para as dibujar la circunferencia de centro el punto y de radio la medida. Tambin se puede transferir la medida a una circunferencia sealando la circunferencia, un punto de la misma para obtener un nuevo punto a la distancia indicada medida sobre la circunferencia en sentido antihorario.

Lugar Geomtrico: Un ejemplo es ms til que cien palabras: Dibujar un tringulo y construir su baricentro. Supngase que nos interesa dibujar el lugar geomtrico descrito por el baricentro cuando uno de los vrtices del tringulo recorre la circunferencia. Con la herramienta "lugar geomtrico" seleccionar primero el punto que describe el lugar geomtrico y, despus, el punto del que depende la construccin. Inmediatamente podemos ver el lugar geomtrico correspondiente. (Ahora podemos analizar el resultado, medir, etc., y razonar o demostrar el porqu de la solucin). La herramienta "lugar geomtrico" tambin permite dibujar envolventes de familias de curvas. Ejemplo: dibujar una circunferencia, marcar un punto P sobre ella, dibujar una circunferencia cuyo centro C est sobre la primera y que pase por el punto P. Hallar el "lugar geomtrico" descrito por esa circunferencia (la segunda) cuando su centro C se desplaza sobre la primera circunferencia. Redefinir Objeto : Permite redefinir un objeto

Sexto grupo ("Transformar"):Simetra Axial : Permite obtener simetras respecto a un eje. Simetra : Permite obtener simetras respecto a un punto. Traslacin : Utilizando un vector dibuja la imagen de un objeto mediante la traslacin definida por el vector. Rotacin : Se utiliza para rotar objetos. Con la herramienta correspondiente se selecciona el objeto que se desee girar, el centro de rotacin y el ngulo de rotacin (este ngulo se puede escribir con "edicin numrica") Homotecia : Obtiene la figura homottica de una figura dada. Se selecciona el objeto, el centro de homotecia y el factor de homotecia (edicin numrica) Inversin : Permite obtener el inverso de un punto respecto de una circunferencia de inversin. Se seleccionan el punto y la circunferencia de inversin.

Sptimo grupo ("macros"; macro = proceso automtico):

Sptimo grupo ("macros"; macro = proceso automtico):Estas herramientas permiten definir macros que automatizan procesos largos que se van a repetir muchas veces. Por ejemplo, si vamos a dibujar muchos tringulos de los que nos interesa obtener su baricentro no es necesario repetir el mismo proceso cada vez; basta crear una macro. Dibujaramos un tringulo, construiramos su baricentro y a continuacin elegiramos la primera herramienta ("objetos iniciales "), con ella seleccionaramos el tringulo, a continuacin con "objetos finales " sealaramos el baricentro y, por ltimo, con "definir macro " daramos un nombre a la macro, por ejemplo baricentro y tendramos a nuestra disposicin, a partir de ese momento, la macro "baricentro" en este grupo de herramientas. Ahora dado un tringulo cualquiera, utilizando esa macro, obtendramos inmediatamente el baricentro. Esta macro ira asociada al archivo con el que estuviramos trabajando y estara disponible cada vez que se volviera a abrir el archivo. Si nos interesa tener una macro disponible para utilizarla en otros archivos, conviene guardarla como archivo-macro, cosa que se hace en la tercera fase de la creacin de la macro. Solamente hace falta activar la casilla "Guardar archivo". As podemos guardar ese archivo-macro en el directorio que queramos y utilizarlo posteriormente en cualquier archivo (llamando a la macro con: archivo\abrir\"*.mac")

Grupo octavo ("Comprobar propiedades") Estas herramientas permiten comprobar si: tres puntos estn alineados, si dos rectas son paralelas, perpendiculares, si un punto (el primero) es equidistante de otros, dos y si un punto pertenece a un objeto .

Grupo noveno ("Medir")Distancia y Longitud : Sirve para medir segmentos, longitudes entre dos puntos, permetros de tringulos, medir longitudes de circunferencias y de arcos. rea : Permite calcular reas de tringulos, polgonos (construidos con la herramienta "polgono"), de circunferencias y de cnicas. Pendiente : Calcula la pendiente de rectas, segmentos, vectores y semirrectas. ngulo : Sirve para medir ngulos: 1) extremo, origen, extremo, 2) ngulo de una marca de ngulo

Ecuacin y Coordenadas : Muestra la ecuacin de una recta, circunferencia o de una cnica obtenida con "cnica". Tambin permite ver las coordenadas de un punto. Calcular: Abre una calculadora que permite operar con nmeros introducidos directamente, pero tambin con medidas de segmentos, ngulos, reas, nmeros escritos con "edicin numrica". Dispone de las funciones ms habituales. Al pulsar en el smbolo "=" se obtiene el resultado que se puede arrastrar manteniendo el ratn pulsado a cualquier lugar de la pantalla. (Ese resultado se puede transferir o volver a utilizar para otras construcciones o clculos). Tabular : Permite obtener una tabla cuyo tamao se ajusta con el ratn (esquina inferior derecha). Los datos de la primera fila se aaden pinchando directamente sobre ellos. Para obtener una segunda fila despus de modificar la construccin, se utiliza la tecla "tabulador" y los nuevos datos se aaden automticamente. Para eliminar filas o columnas basta seleccionarlas y utilizar la tecla "supr".

Grupo dcimo ("VER"):

Grupo dcimo ("VER"): Etiqueta : Sirve para etiquetar objetos (puntos, etc.) Comentarios: Se utiliza para aadir texto, generalmente explicaciones. El tamao de la ventana de texto se puede se puede modificar con el ratn (actuando sobre el borde). Si quisiramos modificar el tamao ms tarde basta pulsar dos veces con la herramienta puntero y despus modificar el tamao. Para modificar las propiedades de la fuente, se selecciona el texto y se utiliza en la barra de mens: "Opciones/Fuente/.....". Edicin Numrica : Sirve para aadir nmeros. Posteriormente se puede modificar su valor pinchando con la herramienta puntero dos veces seguidas sobre el nmero. Marca de ngulos : Permite aadir marca de ngulos sealando extremo, vrtice, extremo. Fijar/liberar: Sirve para fijar o liberar la posicin de un punto.

Traza Activada/Desactivada: Al activar la traza de un punto u otro objeto, ste marca su rastro al ser movido. Para desactivar la traza se selecciona el objeto por segunda vez con la misma herramienta. Una traza se borra al modificar el tamao de la ventana o al pinchar sobre las barras de desplazamiento vertical u horizontal. Animacin: Hace que un punto u objeto se desplace independientemente del resto de la escena. Se pincha sobre el punto y se aade un muelle en la direccin contraria a la de la fuerza instantnea que queremos que acte sobre el objeto. La longitud del muelle es proporcional a la de la fuerza. Para aumentar o disminuir la velocidad se utilizan las teclas "+" o "-". La animacin se interrumpe pinchando en cualquier lugar. Animacin Mltiple: Igual que la anterior pero permite actuar en varios lugares y comienza la animacin cuando pulsamos "Enter"

Grupo undcimo ("Dibujo"):

Grupo undcimo ("Dibujo"): Ocultar/Mostrar : Permite ocultar objetos. Generalmente se utiliza para ocultar elementos que han servido para realizar la construccin y que, por ello, no pueden ser eliminados. Color : Seleccionamos un color y despus el objeto cuyo color queremos cambiar (tambin un "comentario").Rellenar : Seleccionada la herramienta elegimos color y seleccionamos el objeto. Para anular la accin se repite la accin con el mismo color. Grosor : Permite cambiar el grosor del contorno de un objeto. Punteado : Se selecciona un modelo de punteado y despus el objeto que queramos modificar.

Modificar Apariencia: Permite modificar la apariencia de: puntos, marcas de ngulo, segmentos, ejes de coordenadas (cartesianos y polares) y comentarios. Ocultar Ejes/Mostrar Ejes : Permite aadir unos ejes de coordenadas. Se pueden trasladar moviendo el origen, girar en conjunto girando el eje de abcisas, y el eje de ordenadas se puede girar independientemente. La escala se puede cambiar arrastrando la unidad y cambindola de lugar (En algunas prcticas que involucran transferencias de medidas a los ejes he tenido algn problema por el hecho de haber cambiado la escala). La herramienta "transferencia de medidas" se puede utilizar para transferir medidas a los ejes. Nuevos Ejes : Permiten aadir otros ejes de coordenadas Definir Cuadrcula : Se selecciona el sistema de ejes coordenados y muestra la cuadrcula. Para volver a ocultarla basta seleccionar uno de sus puntos y pulsar "Supr"

ACTIVIDADES ELEMENTALES1.- Rectas. Posicin de dos rectas en el plano: Secantes, perpendiculares y paralelas. ACTIVIDAD 1: Dibuja un punto. Ponlo mas gordo. Dibjale en color verde. Muvelo por la pantalla. ACTIVIDAD 2: Dibuja una lnea recta. Muestra la pgina entera. Dnde acaba la recta? Colorala de rojo. Ponla con trazo discontinuo(------) ACTIVIDAD 3: Traza la recta paralela a la anterior que pase por el punto verde. Colorala de azul. Traza la recta perpendicular a la rojas por el punto verde. Colorala de amarillo. Cmo son entre si las rectas amarilla y azul? Cuntas rectas puedes trazar que sean paralelas a la recta roja?

ACTIVIDAD 4: Traza dos rectas que sean secantes. Mide el ngulo que forman. Mueve una de ellas hasta que se conviertan en paralelas. Qu ha pasado con el ngulo? Mueve una de ellas hasta que sean perpendiculares. Lo consigues? Dile a tu profesor que te explique lo que ocurre. 2.- Segmento. Punto medio y Mediatriz. ACTIVIDAD 5: (Ocultar herramienta mediatriz) Dibuja un segmento y nombra AB los extremos del mismo. Halla su punto medio. Ponlo en color negro. Dibjalo en trazo gordo. Halla la mediatriz del segmento. Mide el ngulo que forma el segmento con su mediatriz. 3.- ngulos. Tipos de ngulos. Bisectriz. Medida de ngulos con el transportador. ngulos adyacentes y opuestos por el vrtice. ACTIVIDAD 6: Dibuja un ngulo cualquiera. Marca tu ngulo y mdelo. Muvelo hasta conseguir todos los tipos de ngulos que conozcas.

ACTIVIDAD 7: Traza la bisectriz del ngulo anterior. Mide los dos ngulos en que ha quedado dividido. Mueve uno de los lados del ngulo cmo vara la bisectriz? ACTIVIDAD 8: Traza un segmento cualquiera. Traza otro segmento con uno de sus extremos encima del segmento anterior. cmo se llaman los ngulos que forman? Mdelos. Con la calculadora suma los ngulos. Has una tabla con las medidas obtenidas as como con el resultado de la suma. Mueve el lado comn y pasa los datos a la tabla qu ocurre? ACTIVIDAD 9: Dibuja dos rectas secantes. Aqu hay cuatro ngulos. Halla su valor. Qu observas? Cmo se llaman estos ngulos?

4.- Polgonos. Diagonales de un polgono.

ACTIVIDAD 10: Dibuja polgonos irregulares de diferentes formas. Rellnalos de colores. Dibuja un mueco con diferentes figuras geomtricas. Coloralo. ACTIVIDAD 11: Dibuja los polgonos regulares: cuadrado, pentgono. hexgono, Cuntos puedes dibujar? Qu ocurre al llegar al nmero 17? Estos polgonos se llaman estrellados. Dibuja la estrella de Belem. Coloralos. ACTIVIDAD 12: Traza las diagonales de un cuadrado cmo son? Mide los ngulos que forman qu posicin tienen las diagonales? ACTIVIDAD 13: Dibuja un pentgono. Traza sus diagonales. cuntas tiene? Qu figura forman las diagonales? Traza las diagonales de la nueva figura. qu observas?

5.-Tringulos. Tipos de tringulos. Base y altura. Medida de los ngulos. Suma de los ngulos. ACTIVIDAD 14: Dibuja un tringulo cualquiera ABC. de que tipo es? Cul es la base? Traza su altura. ACTIVIDAD 15: Dibuja un tringulo rectngulo ABC Calcula cuanto miden los dos ngulos no rectos. Dibuja un rbol de Navidad. Coloralo. 6.- Cuadrilteros. Trapezoides, trapecios, paralelogramos: cuadrado, rectngulo, rombo y romboide. Propiedades del cuadrado: lados, ngulos, diagonales. Idem de los dems. ACTIVIDAD 16: Dibuja 6 o 7 cuadrilteros. Clasifcalos. te falta alguno? Dibjalo. Coloralos de diferentes colores. Muvelos todos por la pantalla. ACTIVIDAD 17: Dibuja los cuatro tipos de paralelogramos. Dibuja sus diagonales. cmo son?, qu ngulos forman?

ACTIVIDAD 18: Dibuja un cuadriltero cualquiera. Calcula el valor de sus ngulos. Con la calculadora suma las medidas de los 4 ngulos. Mueve uno de los vrtices qu observas?. Suma de nuevo los valores de los 4 ngulos. 7.- Representacin en una cuadrcula. Coordenadas cartesianas (solo en positivo). ACTIVIDAD 19: Representa en una cuadrcula los puntos siguientes: A(1,1); B(3,1); C(3,3); D(1,3). nelos. qu figura forman? E(0,1), B(1,2); C(2,7). nelos. qu figura forman? 8.- Circunferencia y crculo. Cuerda, radio, dimetro. Arco, semicircunferencia. Medida de ngulos en una circunferencia. rea y permetro. ACTIVIDAD 20: Dibuja una circunferencia Dibuja uno de sus radios. Dibuja uno de sus dimetros. Dibuja una cuerda.

ACTIVIDAD 21: Dibuja arcos de diferentes tamaos. Intenta dibujar un arco que sea una semicircunferencia. ACTIVIDAD 22: Dibuja una circunferencia. Dibuja dos de sus radios. Calcula el ngulo que forman. ACTIVIDAD 23: Dibuja una circunferencia. Calcula su permetro. Calcula el rea del crculo. En que unidades estn dadas cada una de ellas?, por qu? 9.- Simetra respecto a una recta. Eje de simetra. ACTIVIDAD 24: Dibuja una recta. Dibuja ahora la figura geomtrica que quieras. Calcula la figura simtrica de la anterior con respecto a la recta.

ACTIVIDAD 25: Dibuja un cuadrado Dibuja sus ejes de simetra. Coloralos. Has lo mismo con las diferentes figuras geomtricas que conozcas: cuadrilteros, tringulos, circunferencias. 10.- reas: tringulo, rombo y romboide. ACTIVIDAD 26: Dibuja un tringulo. Calcula su rea. Mueve uno de sus vrtices. Qu observas? ACTIVIDAD 27: Muestra los ejes Muestra la cuadrcula. Dibuja un rombo. Calcula su rea. Dibuja un tringulo que sea la mitad del rombo (puedes hacerlo encima) Calcula su rea. Qu observas?

CONSTRUCCIONES GEOMTRICAS

Para empezar a utilizar el programa se proponen los siguientes ejercicios. Una vez elegida la herramienta adecuada, presionando la tecla F1, se activa la ayuda que ofrece el programa. Actividad N 1: Aproximacin del nmero (pi) El nmero (pi) se obtiene como la razn entre la longitud de la circunferencia y su dimetro. Uno de los procedimientos que se utilizaban en la antigedad para dar una aproximacin de la longitud de la circunferencia, consista en construir dos polgono regulares: uno inscrito y otro circunscrito, y calcular sus permetros. De esta forma, se obtienen la longitud de la circunferencia como un nmero comprendido entre los permetros de los polgonos inscrito y circunscrito. Est claro que en cuanto mayor sea el nmero de lados de los polgonos utilizados la aproximacin ser mejor. Veamos como se realiza esto con cabri.

1. dibuja un circunferencia con centro 0 2. construye un dimetro AB: activa recta, seala el punto 0. Cuando aparezca por este punto, has clic con el Mouse, mueve el Mouse hasta pasar por la circunferencia. Cuando aparezca en esta circunferencia has clic con el Mouse. Activa Punto(s) de Interseccin, seala recta. Cuando aparezca esta recta clic con el Mouse, luego seala la circunferencia, y cuando aparezca esta circunferencia has clic con el Mouse. Nombre A y B a los puntos extremos del dimetro con el comando Etiqueta. Activa Segmento, y seala los puntos A y B. para ocultar la recta, activa Ocultar/Mostrar y selala. Activa de nuevo Puntero 3. construye un octgono inscrito en dicha circunferencia. Activa Polgono Regular has clic con el Mouse en el punto 0, cuando el radio de la circunferencia coincida con la dibujada, pulsa de nuevo con el Mouse. Por ltimo, movindote en el sentido de las manecillas del reloj has clic en cuanto aparezca el octgono (8 lados).

construye el octgono circunscrito a dicha circunferencia. Con Segmento, traza desde el centro 0 dos radio de vrtice consecutivos. Activa Recta Perpendicular para dibujar las rectas perpendiculares a dichos radios en los respectivos vrtices. Elige Punto(s) de interseccin y marca el punto de corte de estas dos rectas. Llama a este punto C. 0C es el radio del octgono circunscrito. Oculta las dos rectas y los dos radios, seleccionando Ocultar/mostrar y sealando dichos elementos. Activa polgono regular, has clic en 0, marca el punto C, para determinar el radio y por ltimo desplzate en el sentido de las agujas del reloj hasta que aparezca octgono, entonces has clic. Con Color, cambia el color del octgono circunscrito para distinguirlo del inscrito. Aparecer una paleto de colores y el puntero de transformar en un pincel al sealar con l el polgono.4.

y Longitud y seala el octgono inscrito, cuando aparezca permetro de este polgona, has clic con el Mouse, y cuando an est parpadeando escribe octgono inscrito =. Repite los mismos pasos para medir el octgono circunscrito.

5. mide los permetros de los polgonos. Activa Distancia

6. mide la longitud del dimetro. Activa Distancia y Longitud y seala el segmento AB, cuando aparezca la longitud de este segmento has clic con el Mouse y cuando an est parpadeando escribe dimetro = 7. cambia la precisin de las medidas a ocho decimales. Activa Puntero y seala con el Mouse los nmeros obtenidos anteriormente. Pulsa sucesivamente la tecla + para aumentar la precisin de las medidas. La tecla sirve para disminuir la precisin de las mediadas. 8. aproximacin del nmero (pi). Activa Calcular, seala el nmero que da la medida del octgono inscrito, la tecla /, la longitud del dimetro y la tecla =. El resultado arrstralo con el Mouse a un lugar libre de la ventana de dibujo y has clic. Desactiva la calculadora, tecla off. Aumenta la precisin a ocho decimales. Activa comentario, seala el resultado y cuando aparezca este texto has clic y en el lugar de resultado escribe octgono inscrito/Dimetro =. Repite los mismos pasos pero con el octgono circunscrito.

9. modifica el radio de la circunferencia, Qu observas?

Actividad N 2: Triangulo equilteroComo Cabri no dispone de una herramienta directa que dibuje un triangulo equiltero conociendo el lado, tendrs que construirlo siguiendo los siguientes pasos. 1. dibuja un segmento de extremos AB 2. para encontrar la posicin del vrtice C, activa Circunferencia, construye una circunferencia con centro en A y radio AB, luego otra con centro en B y radio BA. Elige punto(s) de interseccin y has clic en las dos circunferencias. Etiqueta uno de los puntos de interseccin como C. activa Tringulo, has clic en A, B y C, aparecer el tringulo equiltero deseado. 3. Comprueba que es equiltero. Mide la longitud de cada uno de los lados. Elige Distancia y longitud has clic en A y luego en B, despus en B y C y por ltimo en C y en A. para determinar la amplitud de los ngulo interno, elige ngulo y has clic en B, A y C para medir el ngulo A, y as sucesivamente para los dems ngulos B y C.

Actividad N 3: Construccin de un cuadrado a partir del lado1. Dibujo un segmento de extremos P y Q. 2. traza las perpendiculares a dicho segmento en P y en Q respectivamente. 3. Traza la circunferencia de centro P y radio PQ y la circunferencia de centro Q y radio QP. Los otros dos vrtices del cuadrado R y S son los puntos de interseccin de las rectas perpendiculares y las circunferencias. 4. Oculta todos los elementos de la construccin excepto los puntos P, Q, R y S. 5. Activa Polgono, y has clic en cada uno de los puntos P, Q, R, S y P. comprueba que es un cuadrado midiendo la longitud de cada uno de los lados.

Actividad N 4: MacrosSi deseamos realizar un nuevo triangulo equiltero o un cuadrado, la herramienta Macro nos permite agilizar el proceso de la construccin de estas figuras as. Si deseas dibujar un tringulo equiltero como el realizado en la Actividad N 2. Procedemos as: 1. retome la actividad N 2. Activa la herramienta Macro, seala como elementos iniciales de la macro los puntos A y B (es importante el orden en que se sealen estos puntos) del tringulo equiltero y como Elementos Finales el tringulo equiltero. Llama tringulo equiltero a la macro as definida, as como al elemento final de la macro y gurdala con el nombre de tringulo.Mac

2. realiza una macro con el nombre de tringulo equiltero a partir de dos puntos. Has varias pruebas y comprueba que la macro funciona correctamente. Hexgono regular: realiza una macro que construya un hexgono regular a partir de dos puntos que sern dos vrtices contiguos del hexgono, llmala hexgono y gurdala en el archivo Hexgono.Mac Actividad N 5: Teorema de Pitgoras Comprobacin de un teorema. Vamos a probar con Cabri, la relacin que existe entre los lados de un tringulo rectngulo conocida como el teorema de Pitgoras .

En primer lugar debes construir un triangulo rectngulo del siguiente modo: 1. dibuja un segmento AC 2. construye un tringulo rectngulo con el ngulo recto en C 3. construye, apoyndote de la macro Cuadrado .Mac un cuadrado sobre cada uno de los catetos AC y CB y otro sobre la hipotenusa AB 4. mide la superficie de cada cuadrado y suma (con la calculadora) el rea de los cuadrados construidos sobre cada uno de los catetos. 5. comprueba que se verifica el teorema de Pitgoras aunque se modifique el tringulo rectngulo.

Actividad N 6: Pitgoras Generalizado

Actividad N 6: Pitgoras GeneralizadoEn esta actividad vamos a probar que el teorema se cumple tambin para polgonos irregulares semejantes construidos sobre los lados de un tringulo rectngulo. 1. construye un tringulo rectngulo, con el ngulo recto en A. 2. dibuja un polgono P irregular sobre el cateto AC. 3. mide la longitud de los lados del tringulo AC, AB y BC. 4. calcula los cocientes: AB/AC y BC/AC 5. dibuja el vector CA 6. traslada el polgono P, segn el vector CA: elige la herramienta Traslacin, has clic sobre polgono P y luego sobre el vector CA. 7. mide el ngulo CAB (90). 8. rota el polgono P trasladado con centro en A y ngulo CAB (90): elige la Rotacin, has clic en el polgono, luego en el vrtice A y por ltimo en el ngulo CAB (90). 9. realiza una Homotecia del polgono anterior con centro en A y razn AB/AC: elige Homotecia, has clic en polgono, en A y luego en el nmero de la razn AB/AC.

10. realice una Simetra de centro en A del polgono trasladado en el numeral 6.: elige Simetra, has clic en el polgono y en A. 11. mide el ngulo BCA. 12. rota el polgono anterior concentro en C y ngulo BCA: elige la Rotacin, has clic en el polgono, luego en el vrtice C y por ltimo en el ngulo BCA. 13. realiza una Homotecia del polgono anterior con centro en C y razn BC/AC: elige Homotecia, has clic en polgono, en C y luego en el nmero de la razn BC/AC. 14. mide las reas de los polgonos sobre los lados y comprueba la relacin pitagrica. Ejercicio: 1. Pruebas el teorema para tringulos sobre los lados, polgonos regulares sobre los lados, semicrculos como se indican en las siguientes construcciones: 2. aplicando sucesivamente el teorema de Pitgoras se consigue representar segmentos cuyas longitudes son, como lo indica la figura.

3. Reproduce con cabri la figura anterior e indica la longitud de los segmentos que aparecen en la espiral.

Actividad N 7: El baricentro1. construye un tringulo cualquiera ABC. 2. construye las tres medianas del tringulo y determina su punto de interseccin G: activa punto medio, y has clic en cada uno de los lados del tringulo, aparecern los puntos medio de cada uno de los lados y etiqutalos como A, B y C. 3. construye las medianas correspondientes a los vrtices del tringulo. 4. activa Punto(s) de interseccin y determina el baricentro. 5. desplaza los vrtices del tringulo para deformarlo. Qu propiedades se conservan en la figura? 6. mida los segmentos GB y BB. Halla la razn GB/ BB. Has lo mismo con las otras medianas. Qu propiedad cumplen estas razones? 7. define una macro que trace el baricentro de cualquier tringulo.

Actividad N 8: El circuncentro1. dibuja un tringulo cualquiera ABC. 2. construye las mediatrices y determina su punto de interseccin O: activa mediatriz y has clic sobre cada uno de los lados del tringulo. 3. con Punto(s) de interseccin halla O. 4. dibuja los segmentos OA, OB y OC. Mide sus longitudes. 5. desplaza arbitrariamente los vrtices Qu observas de las tres longitudes anteriores? 6. dibuja la circunferencia circunscrita al tringulo ABC. 7. define una macro que trace el circuncentro de cualquier tringulo.

Actividad N 9: El incentrodibuja un tringulo cualquiera ABC. 1. construye las bisectrices y determina su punto de interseccin I: activa bisectriz y has clic sobre cada uno de los lados del tringulo. Para trazar la bisectriz del ngulo A, elige Bisectriz y has clic en B, A y C. As mismo con los otros dos ngulo 2. con Punto(s) de interseccin halla I. 3. traza las perpendiculares a cada uno de los lados que pasan por I. 5. mide las distancias desde I hasta el punto de interseccin de las perpendiculares a cada uno de sus lados. Mueve el tringulo. Qu observas? 6. dibuja la circunferencia inscrita al tringulo ABC. 7. define una macro que trace el incentro de cualquier tringulo

Actividad N 9: El ortocentro1. dibuja un tringulo cualquiera ABC.2. traza las tres alturas. 3. con Punto(s) de interseccin halla O. 4. mueve el tringulo. Cundo el ortocentro esta dentro o fuera del tringulo? 5. define una macro que trace el ortocentro de cualquier tringulo.

Ejercicios 1. comprueba que el baricentro, ortocentro y circuncentro de cualquier tringulo estn alineados. La recta que pasa por estos tres puntos se denomina Recta De Euler. 2. si desde un punto Pde la circunferencia circunscrita a un tringulo ABC, distinto de los vrtices, trazamos las perpendiculares a los lados, los puntos de interseccin con los lados o sus prolongaciones, T, S y R, estn alineados. La recta que los contiene se denomina recta de Simson.

Ejercicio 1.

Ejercicio 2.

Actividad N 10: Construccin de tringulosEl nmero mnimo de elementos conocidos para que un tringulo quede definido es tres, siempre que no sean los tres ngulos. Sin embargo, es siempre posible realizar la construccin?. Se ver que segn el tipo de elementos conocidos existirn dos, uno o ningn tringulo. Una vez construido un tringulo con Cabri, aprovechando la capacidad dinmica del programa, se pueden modificar los valores de los datos iniciales para observar si la construccin realizada sigue siendo vlida, o bien si existe mas de una solucin. Conocidos un lado y dos ngulos cualesquiera. Datos iniciales: lado C, ngulos A y B: 1. Activa Comentarios para crear un cuadro de texto como el que sigue 2. Escribe el valor del lado c, en el cuadro anterior. Para ello, dibuja un segmento, mide su longitud y arrastra este valor al cuadro de texto. Introduce con edicin numrica los valores de los dos ngulos A y B 3. dibuja una semirrecta de origen A, y con la herramienta Transferencia de Medidas, sealando la semirrecta y despus la longitud del segmento, transfiere la longitud del lado c sobre dicha semirrecta. El punto obtenido es el vrtice B.

4. gira la semirrecta de origen A, el valor del ngulo A 5. dibuja una semirrecta de origen B, que pase por A. gira esta semirrecta alrededor del punto de B un ngulo igual al opuesto de B (B). Llama C al punto de interseccin de las dos semirrectas giradas y construye el triangulo ABC. 6. Modifica los datos iniciales y comprueba que siempre (A + B) < 180, hay solucin y adems es nica.

Conocidos dos lados y el ngulo comprendido. Lados: b y c ngulo: A.1. Dibuja dos segmentos y mide sus longitudes. Sus valores representan las longitudes de los lados b y c. 2. Introduce el valor del ngulo A con edicin numrica. 3. Crea con comentarios un cuadro de texto en el que aparezcan destacados estos datos. 4. Construye el ABC de forma similar al ejercicio anterior y comprueba que en este caso siempre hay solucin (A < 180) y adems es nica.

Conocidos los tres lados: Lados: a, b y c.1. La introduccin de los datos iniciales se realiza de forma anloga a los casos anteriores. 2. Dibuja una semirrecta de origen A, y con la herramienta transferencia de medidas transfiere la medida de la longitud del segmento c sobre dicha semirrecta, para obtener el vrtice B. 3. El tercer vrtice del tringulo se determina como el punto de interseccin de dos circunferencia de centros A y B y radios b y a, respectivamente. Para dibujar dichas circunferencias, es necesaria la herramienta comps. Esta funciona de forma similar al de un comps de dibujo, y se emplea cuando se quiere dibujar una circunferencia de radio un segmento y centro un punto distinto a los extremos del mismo. Para dibujar la circunferencia, una vez activado comps, se sealan, en primer lugar el segmento y a continuacin el punto, centro de la circunferencia. 4. Dibuja el tringulo ABC. 5. Modifica los datos iniciales haciendo clic sobre los datos iniciales y observa que en algunos casos no hay solucin

Conocidos dos lados y el ngulo opuesto a uno de ellos. Lados a y b ngulo A.1. Construye dos segmentos, mide sus longitudes y nmbralos a y b. 2. Activa comentarios y organiza el cuadro de datos iniciales en el que se incluyen los valores numricos correspondientes a las longitudes de los lados y la medida del ngulo A. 3. Crea una semirrecta de origen A, y transfiere sobre ella la longitud b, para obtener el vrtice C. 4. Con rotacin, gira esta semirrecta alrededor del punto A, siendo el ngulo de giro el valor de A. 5. Utiliza comps para dibujar una circunferencia de centro C y radio la longitud del segmento a. 6. Determina el punto B como la interseccin de la circunferencia y la semirrecta girada. 7. Dibuja el tringulo ABC. 8. Modifica los datos iniciales y comprueba que hay varios tipos de soluciones.

Divisin de un segmento segn la proporcin urea.1. Dibuja un segmento AB y seala su punto medio M. 2. Llama D al punto de interseccin de la circunferencia de centro B y radio BM con la recta perpendicular al segmento que pasa por B. 3. une con un segmento los puntos A y D y encuentra el punto E de este segmento que est a la misma distancia del punto D que el punto B. para ello dibuja la circunferencia de centro D y radio DB. 4. el punto C interseccin del segmento AB con la circunferencia de centro A y radio AE, es el punto que define la seccin urea de AB. Comprubalo

AB/AC = AC/BC = 1,618033989 =

Ejercicios:1. demuestra que la progresin geomtrica cumple que: 1 , J , J 2 , J 3 , J 4 ,... Observa que cada trmino de la progresin se obtiene como la suma de los dos anteriores. Dicha progresin es conocida como la seria de Fibonacci. 0 1 2 3 4

J ! 1, J ! J , J ! 1 J , J ! 1 2J , J ! 2 3J

construye la espiral urea

construya las siguientes figuras

Lugares GeomtricosSe llama lugar geomtrico a un conjunto de puntos del plano que cumplen una determinada propiedad. Actividades Bisectriz como lugar geomtrico. Se entiende por bisectriz de un ngulo al lugar geomtrico a los puntos del plano que estn a igual distancia de las rectas que forman el ngulo. Para construir la bisectriz del ngulo formado por dos semirrectas como lugar geomtrico has lo siguiente: 1. dibuja dos semirrectas L1 y L2con punto de origen B. 2. activa punto Sobre Objeto y construye un punto P sobre la semirrecta L1. 3. dibuja una circunferencia de centro en B y radio BP. Llama C al punto de contre con la semirrecta L2 4. Traza las rectas perpendiculares a L1 y L2 que pasan por P yC respectivamente. El punto de interseccin de estas dos rectas Q, es un punto de la bisectriz. 5. activa Lugar Geomtrico has clic en Q y luego en P

Parbola. 1. traza una recta D (directriz) 2. elige punto sobre objeto y has clic sobre la recta, llmalo A. 3. traza una recta perpendicular a D por A. 4. ubica un punto F (foco) en el plano que no pertenezca a D. 5. traza la mediatriz del segmento FA. 6. determina el punto de corte de la perpendicular con la mediatriz, llmalo P 7. elige Lugar Geomtrico, has clic en P y luego en A

Lugar geomtrico del incentro:Halle el lugar geomtrico descrito por el incentro de un tringulo ABC inscrito en una circunferencia cuando uno de sus vrtices, por ejemplo C, recorre la circunferencia. Dibuje una circunferencia (herramienta "circunferencia", 4 grupo de herramientas), dibuje un tringulo cuyos vrtices estn sobre la circunferencia (herramienta "tringulo", tercer grupo de herramientas), etiquete los vrtices como A, B y C ("etiqueta", penltimo grupo). Dibuje dos bisectrices sealando el extremo, origen y extremo de los ngulos, por ejemplo: A, C, B, y, a continuacin: A, B y C (herramienta "bisectriz", quinto grupo). Compruebe que todo funciona bien: mueva con la herramienta puntero sucesivamente los tres vrtices y compruebe que la construccin se modifica correctamente (primer grupo)

Coloque un punto en la interseccin de las dos bisectrices (herramienta "punto") y etiqutelo como I. Oculte las bisectrices: . Utilice ahora la herramienta lugar geomtrico (quinto grupo: ), seale primero el punto que va a dibujar el lugar, es decir el incentro I, y, a continuacin, el punto del que depende el lugar geomtrico, es decir C. Inmediatamente aparecer el lugar geomtrico buscado: dos arcos con extremos en A y en B (los extremos no pertenecen al lugar). Utilice ahora la herramienta "grosor" () en el ltimo grupo y seleccione el lugar geomtrico obtenido. A continuacin seleccione la herramienta "color", tambin en el ltimo grupo, seleccione el color verde y marque el lugar geomtrico. El resultado obtenido ser parecido al de la siguiente imagen: (Ahora, si lo desea, puede plantearse dnde estn los centros de los arcos de forma experimental con Cabri. Despus puede tratar de demostrar formalmente el resultado obtenido con Cabri)

Ejercicio: Halle el lugar geomtrico descrito por el baricentro de un tringulo inscrito en una circunferencia cuando se mueve uno de sus vrtices sobre la circunferencia. Se realiza de forma parecida al ejercicio anterior. Cardioide: Dibuje una curva podara siguiendo las siguientes instrucciones. Se considera una circunferencia y sobre ella un punto fijo O. Se pide dibujar el lugar geomtrico descrito por las proyecciones de O sobre las rectas tangentes a la circunferencia. (Se debe situar otro punto P sobre la circunferencia, dibujar el radio correspondiente a P, obtener la recta tangente a la circunferencia en P como recta perpendicular al radio y que pasa por P; grupo cuarto. Trace, a continuacin la recta que pasa por O y es perpendicular a la tangente. El punto de corte lo llamaremos H. Utilice la herramienta "lugar geomtrico" y seale primero el punto que dibuja el lugar, es decir H, y, despus, el punto del que depende la construccin, P.)Las curvas obtenidas de esta forma se llaman podarias y en este caso concreto la podaria obtenida es una cardioide: