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EXPLORACION DE ALGUNOS CONCEPTOS GEOMETRICOS NO CONVENCIONALES EN EL TRIANGULO CON CABRI: UN PROBLEMA QUE EVOLUCIONA Fernando Falcón Dorado Eugenio Therán Palacio Carmen Toscano Toscano [email protected] [email protected] [email protected] Resumen. En este trabajo se presenta una posibilidad de explorar a partir de una situación problema algunos conceptos no convencionales del triangulo como escintor, mescintor, vescintor, escintriz, mescintriz, vescintriz y medianiz utilizando el software Cabri Geometre que trae incorporado la calculadora graficadora TI 92 Plus. La experiencia se realiza con un grupo de estudiantes del quinto semestre del programa de licenciatura en educación básica con énfasis en matemáticas de la Universidad de Sucre. Se pretende que los alumnos generen conjeturas sobre la base del conocimiento informal con miras a la construcción del concepto geométrico formal. INTRODUCCION. Conceptos Preliminares Conceptos correspondientes a segmentos Escintor de un triángulo: Segmento de recta inscrito en el triángulo que divide el perímetro del mismo en dos partes iguales. Mescintor de un triángulo: Escintor que pasa por el punto medio de uno de los lados del triángulo. Vescintor de un triángulo: Escintor que parte de uno de los vértices del triángulo. Conceptos correspondientes a rectas:

Exploracion de algunos conceptos geometricos no convencionales en el triangulo con cabri

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Una experiencia de aula que evoluciona con el uso del software Cabri

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  • 1. EXPLORACION DE ALGUNOS CONCEPTOS GEOMETRICOS NOCONVENCIONALES EN EL TRIANGULO CON CABRI: UN PROBLEMA QUEEVOLUCIONAFernando Falcn DoradoEugenio Thern PalacioCarmen Toscano [email protected]@[email protected] En este trabajo se presenta una posibilidad de explorar a partir deuna situacin problema algunos conceptos no convencionales del triangulocomo escintor, mescintor, vescintor, escintriz, mescintriz, vescintriz ymedianiz utilizando el software Cabri Geometre que trae incorporado lacalculadora graficadora TI 92 Plus. La experiencia se realiza con un grupo deestudiantes del quinto semestre del programa de licenciatura en educacinbsica con nfasis en matemticas de la Universidad de Sucre. Se pretendeque los alumnos generen conjeturas sobre la base del conocimiento informalcon miras a la construccin del concepto geomtrico formal.INTRODUCCION.Conceptos PreliminaresConceptos correspondientes a segmentosEscintor de un tringulo: Segmento de recta inscrito en el tringulo que divideel permetro del mismo en dos partes iguales.Mescintor de un tringulo: Escintor que pasa por el punto medio de uno delos lados del tringulo.Vescintor de un tringulo: Escintor que parte de uno de los vrtices deltringulo.Conceptos correspondientes a rectas:

2. Escintriz de un tringulo: Recta que corta al tringulo dividiendo el permetrodel mismo en dos partes iguales.Mescintriz de un tringulo: Escintriz que pasa por el punto medio de uno delos lados del tringulo.Vescintriz de un tringulo: Escintriz que pasa por uno de los vrtices deltringulo.Medianiz de un tringulo: Recta que corta al tringulo dividindolo en dospartes de igual rea.Mediana: Medianiz que pasa por un vrtice (o por el punto medio) del tringulo.En proceso de validacin de estos conceptos a travs de la calculadora TI 92plus, una metodologa inicial en la exploracin miras a crear con un Escintor,un Mescintor, un Vescintor, una Escintriz, una Medianiz, y una Vescintriz; lomismo que una Medianiz y una Mediana, se empez trabajando inicialmenteen un tringulo equiltero los conceptos bsicos que nos ayudan a resolver elproblema The Equalizing Line , el cual consiste en el siguiente problema:Un granjero posee un terreno triangular que quiere repartir de la manerams equitativa posible entre sus dos nicos hijos. De tal forma que aldividir el terreno con una cerca (lnea recta), las dos partes tengan igualpermetro e igual rea. Tambin llamado el El problema del granjero.Problema planteado desde Francia por el Dr. Martn Acosta Gempeler, elda 23 de Noviembre del ao 2002, va Internet a los docentes queparticipaban del proyecto Incorporacin de las nuevas tecnologas en elcurrculo de matemticas en la educacin media y bsica Secundaria deColombiaEsta propuesta asume el presupuesto terico desarrollado en el proyecto I. N.T. C. M. (M.E.N. 2000) concentrndose en lo que sea denominado lasituaciones problemitas. El primer elemento terico a considerar es el principiode mediacin instrumental, que platea que todo conocimiento esta mediadopor los instrumentos con que se dispone, puesto que las reflexiones incialesdel proyecto I N. T. C. M. giraron alrededor del cambio en los ambientes deaprendizaje, al disponer de herramientas computacionales con caractersticasde dinamismo, Interactividad y posibilidades de manipulacin diferente a lausadas hasta el momento. 3. OBJETIVOSValidar a travs de la calculadora TI 92 Plus los conceptos geomtricos noconvencionales tales como son el ESCINTOR, MESCINTOR, VESCINTOR,ESCINTRIZ, MESCINTRIZ, VESCINTRIZ, Y MEDIANIZ, Los cuales se puedengenerar en un triangulo cualquiera ABC.Esta validacin de estos conceptos nos proporcionara la posibilidad deencontrar una o varias soluciones al problema The Equalizing LineEn el proceso de validar estos conceptos proporciona la posibilidad decomprobar las propiedades de EXISTENCIA, UNICIDAD y GENERALIZACIONde la solucin o soluciones al problema del granjero.Explorar en un tringulo cualquier ABC, mediante cinco tcnicas de graneficacia para hallar resultados ptimos, permite generar CONJETURAS,conformacin de definiciones selectivas o de escogencia del valor la cual seconstituye en condicin necesaria en la validacin de los conceptosgeomtricos no convencionalestales como: ESCINTOR,MESCINTOR,VESCINTOR,ESCINTRIZ, MESCINTRIZ,VESCINTRIZ,MEDIANIZ y MEDIANA; lo mismo que la creacin de una determinada cantidadde TEOREMAS de gran importancia.Proyectar el problema del granjero al contexto de los polgonos regulares eirregulares y an mas all, al contexto de los slidos regulares e irregulares.Cabe la posibilidad de que estas tcnicas de exploracin como estrategiasvlidas con la finalidad de solucionar el problema del granjero, se constituyanen una metodologa exitosa para minimizar material de deshecho en laindustria de la metalrgica, en cortes de planchas metlicas o en la industriadel plstico , una funcin importante se podra presentar al instante de tratarde aprovechar al mximo la distribucin de un fluido sobre una placa o sobreun slido, y en otras facetas de la industria.TECNICAS DE EXPLORACION EN UN TRIANGULO CUALQUIERA.TECNICA N 1: Esta tcnica consiste en crear dos puntos P y Q sobre loslados AC y BC respectivamente. Luego con la herramienta F3-Polgono s se 4. generan dos figuras geomtricas, las cuales son: El tringulo PQC y el trapecioABQP.Con la herramienta F6-Distancia y Longitud o rea, se hace posible hallar elpermetro tanto del tringulo ABC como los permetros del trapecio ABPQ,Llamando a este permetro P1 y P2 al permetro del tringulo PQC. Luegoarrastramos al punto P sobre el lado AC y al punto Q sobre el lado BC, hastalograr que los permetros comparativos sean iguales y en ese instante se validael concepto geomtrico no convencional del ESCINTOR del tringulo dado, deforma similar se hace para validar el concepto no convencional de MEDIANIZ.Presentamos s dos ensayos donde se ha aplicado la tcnica N1 en lavalidacin de los conceptos de ESCINTOR y MEDIANIZ, como se puedeapreciar en las Figuras 1, 2, 3 y 4:FIGURA 1En la Figura 1 se puede leer que el permetro del tringulo PQC tiene un valor5.02cm y el permetro de la figura ABQP es de 5.00cm, el valor de = AP esde 0.37cm y el valor de =BQ es de 0.75cm, de esta lectura nos presenta laprimera muestra de la existencia de un valor positivo que podra constituirseen una pieza importante como condicin necesaria para la existencia de losconceptos ya mencionados con antelacin.Los permetros confrontados poseen un valor diferencial de 0.02cm, el cualpuede ser admitido como aceptable y en consecuencia se valida por primeravez el concepto geomtrico no convencional de ESCINTOR; esto nos induce aestablecer una regla para la escogencia del valor de un ptimo. 5. FIGURA 2Al hacer una lectura del contenido de la Figura 2, observamos con todaclaridad que el concepto de ESCINTOR en el tringulo equiltero quedacompletamente validado y nos sugiere que la ptima a escoger en este casoes de 0.28cm.Como una prueba reina a que someteremos nuestra construccin en estudioa partir de este momento es aplicarle la Ley del Arrastre como se observa enla Figura 3. FIGURA 3 6. Constatamos que verdaderamente la construccin de la Figura 2 pas la Leydel Arrastre, puesto que los permetros mantienen un valor diferencial lobastante pequeo como para que se mantenga la validacin del conceptogeomtrico de ESCINTOR del tringulo Equiltero dado.Ahora explorara remos el concepto geomtrico de MEDIANA en un tringuloEquiltero dado ABC, para este fin se cre la Figura 4.FIGURA 4Al examinar el contenido de la Figura 4, observamos que el concepto deMEDIANA en el tringulo Equiltero dado se valida totalmente, mientras queel de ESCINTOR no es posible declarar su existencia en este caso; donde elvalor del es positivo y es el garante de la existencia de que a los dos nicoshijos del granjero les toque terrenos con iguales reas.Creemos que ya es el momento posible de presentar una o varias soluciones alproblema del granjero, para esta finalidad se construy la Figura 5. 7. FIGURA 5.Afirmamos que existen tres maneras distintas de resolver el problema delgranjero como lo muestra la Figura 5, en la cual se dividi el tringuloequiltero uniendo en el siguiente orden los vrtices A, B y C con los puntosMedios M, M1 y M2 respectivamente; de donde se originan los siguientestringulos comparativos:1 formado por ABM de permetro P1=6.74cm y rea A1= 1.76cm2 comparadocon el 2 formado por AMC de permetro P2 = 6.74cm y rea A2 = 1.76cm2,estos resultados garantizan una solucin al problema original; lo mismo ocurrecon los tringulos ABM1 y el tringulo BM1C de Permetro P3 = 6.74cm yP4 = 6.74cm y de reas A3 = 1.74cm2 y A4 = 1.74cm2 lo cual garantiza unasegunda solucin y existe una tercera solucin similar a las anteriores puestoque el tringulo ABC se dividi en tringulos congruentes. 8. CONSOLIDACION DE RESULTADOSAnalizando todo este proceso exploratorio nos hace pensar en la seleccin deun valor positivo que se constituye en una condicin necesaria para laexistencia del Escintor, Mescintor, Vescintor, Medianiz y Mediana de untringulo Equiltero, es por eso que proponemos una primera definicin:Definicin 1. (Escogencia del ).Para escoger un valor ptimo que permita validar la generacin de unEscintor, Mescintor y un Vescintor en un tringulo cualquiera, se hacenecesario que los porcentajes de error diferencial comparativos (Dados encms) entre los permetros o reas comparadas, estn del orden de 10-2, 10-3,10-4 o exista un cien por ciento de precisin entre estos valores.Otra consecuencia de los resultados obtenidos en las exploraciones realizadaspor los estudiantes de la LEBEM (Licenciatura en educacin Bsica enMatemticas), proponemos el siguiente enunciado:TEOREMA E1 (Escintor de un tringulo Equiltero).En todo tringulo Equiltero ABC, de lado L, debemos escoger un de laforma tal que = L/2 con la condicin de que [0, L/2], esto nospermite generar todos los posibles Escintores del tringulo Equiltero. Un casoparticular ocurre cuando = .Prueba. Consideremos el tringulo ABC Equiltero de lado L (Ver Figura 2).Llamamos a la medida del segmento PQ por t .Como nuestro propsito esvalidar la existencia de un Escintor en dicho tringulo, entonces con base a ladefinicin de Escintor del tringulo debe cumplirse que el permetro de la figuraABQP debe ser congruente con el permetro del tringulo PQC decir: L - + L + t = + L + + t de donde L = 2 + 2 as concluimos que = L/2 bajo la condicin de que[ 0 , L/2].Un caso particular ocurre cuando = , en tal forma que se obtiene que = L/4,en este caso esta ocurriendo que el segmento de recta PQ se vuelve paraleloal lado AB de o cualquier otro lado del tringulo Equiltero ABC. Con estaobservacin finaliza la prueba.Como una consecuencia del teorema E1, se 0btiene el siguiente corolario: 9. COROLARIO E1. Tres Escintores de un tringulo Equiltero ABC de lado L, secortan en tres puntos distintos, los cuales a su vez generan un tringuloEquiltero (Interno) cuyo permetro equivale a la cuarta parte del permetro deltringulo Equiltero ABC.Prueba. Consideramos al tringulo ABC Equiltero de lado L (Ver Figura 6). FIGURA 6En la Figura 6, se observa que los tringulos ANM, RBT son tringulosEquilteros congruentes y semejantes por construccin. Los tringulos PZM,SQT y RNK tambin son tringulos Equilteros congruentes y semejantes porconstruccin, como consecuencia de estos hechos se puede afirmar que eltringulo SZK es Equiltero por tener los ngulos S, Z y K congruentes.Ahora probemos que el permetro del tringulo SZK equivale a la cuarta partedel permetro del tringulo ABC. En efecto, debido a que el tringulo RBT(Hacemos SK = t) es Equiltero, afirmamos: L 2 + = + t + as L - = 2 + t de donde t = L 3 .Pero = L/4, por lo tanto t = L 3(L/4), para concluir que t = L/4.Como el permetro del tringulo SZK equivale a 3 es decir 3L/4 = Pe/4, dondePe es el permetro del tringulo ABC (Pe = 3L).Con esto finaliza la prueba.Observaciones: Al explorar con ms detenimiento la Figura N 6, afirmamosque la suma de los permetros de los cuadriltero ARSP, NBQZ y MKTCequivalen al permetro del tringulo ABC. Adems la suma de los permetrosde los trapecios RNZS, PSKM y ZQKT equivalente a 15L/4 = 5/4(3L) = ( 5/4)Pe. 10. Si por los puntos P y Q trazamos una lnea recta, entonces podemos validar elconcepto de ESCINTRIZ del tringulo ABC siguiendo el procedimiento que sehizo con el ESCINTOR para el tringulo Equiltero ABC.Ahora, nuestro objetivo est dirigido a la exploracin de la existencia deMescintores y Vescintores en un tringulo Equiltero, para iniciar esta accinharemos una exploracin de tipo algebraica, suponiendo que la siguienteFigura 7 presenta a una situacin hipottica e ideal: FIGURA 7Como nuestra intencin es validar en una primera instancia el concepto deMescintor, como consecuencia de esta definicin afirmamos que el permetrodel tringulo MPC debe ser equivalente al permetro del polgono ABPM, esdecir:L/2 + L + + t = L/2 + L - + t de donde 2 = 0 as = 0.Esto significaque los posibles Mescintores son a su vez Vescintores y en este caso tanespecial, afirmamos que slo existen tres Mescintores- Vescintores en un 11. tringulo Equiltero (Ver Figura 8). FIGURA 8Todos estos elementos geomtricos son de la categora Mescintores Vescintores, situacin que validaremos mediante un ensayo con la calculadoraT I -92 Plus (Ver Figura 9) FIGURA 9TECNICA N2 : Esta tcnica nos permite crear un Segmento de Control yexplorar en el tringulo Equiltero la existencia de un Escintor o una Escintriz,utilizando la ley del arrastre del punto P sobre el segmento OT, adems estaestrategia facilita la validacin por lo menos de un Escintor o una escintriz atravs de una tabla elemento representativo que posee la calculadora TI-92Plus ,La Figura 9 y Figura 10 representa una muestra de la tcnica delsegmento de control: 12. FIGURA 10En el ensayo de la Figura 11 muestra la tabla de datos, sistema derepresentacin dnde el estudiante puede explorar estos conceptos desde otropunto de vista:FIGURA 11En la Figura 11 Se puede observar que debido a que el objeto de estudio esun tringulo rectngulo, por tanto existen tres formas distintas para la creacinde un Escintor o una Escintriz, pero la solucin como tal es UNICA, as como latabla de datos lo registra.Para utilizar una estrategia exitosa en la bsqueda de Median ices en untringulo Equiltero cualquiera ABC, procedemos de la siguiente forma:1. Creamos un tringulo Equiltero cualquiera ABC2. Luego utilizaremos un segmento de control OT, dnde OP = 3. Arrastrando el punto P sobre el segmento OT, llegamos al instante dndelas reas A1 y ACorrespondiente a las figuras geomtricas de un trapecio llamado ABQP y deun tringulo llamado PQC, son comparativamente bastante aproximadas bajoporcentaje de error del 1% el cual es aceptable en nuestro rango deconfiabilidad dado en la definicin 1, es as como pudimos obtener un =0.6897 cm. y luego nos pusimos en la tarea de calcular una de las subalturasdel tringulo Equiltero llamada h1 la cual arroj un valor en este caso de 13. 1.4322cm y tambin calculamos el permetro del tringulo, obtenindose elvalor de 7.0303 cm.Nuestro siguiente paso consisti en confrontar el valor del conocido con el preconcebido por la frmula = Pe /3 2h1/3 resultando estos alfas iguales,este resultado es muy significativo puesto que nos abre una ventana algebraicaen la consecucin de validar la existencia de una Medianiz para el tringuloEquiltero, cuando dicha Medianiz es horizontal.Todo lo que hemos afirmado bajo el punto de vista de esta estrategia quedacondensado en la Figura 12. FIGURA 12Este resultado obtenido mediante este tipo de exploracin, lo podemosformalizar de la siguiente manera:TEOREMA M1 (Medianiz de un tringulo Equiltero)Se hace posible validar la existencia de una Medianiz en un tringuloEquiltero ABC, siempre que sea posible escoger un bajo la siguientefrmula: = Pe/3 2h1/3 dnde Pe es el permetro del tringulo Equiltero,h1 es una de las subalturas del tringulo y ademsPe >23 h1. 14. Prueba. Sea ABC un tringulo Equiltero cualquiera, de altura H y de lado L(Figura 13).Como el tringulo es Equiltero, entonces H = 3 L/2. Ahora, los tringulosPQC y ABC son semejantes por el criterio de semejanza AAA.Como consecuencia de la propiedad de semejanza se tiene que:AC / BC = PC / PQy AM / MC = PR / RC (Condicin necesaria parala existencia)As tenemos: L / L = (L - ) / Z de dnde Z = L - (1)Por otra parte se tiene: (L/2) / H = (Z/2) / h1 de dnde se deduce que Z = L h1/H (2)De las conclusiones (1) y (2) llegamos a la igualdad:L - = L h1 / H pero H = 3L / 2 y as = L - 2h1 / 3, como Pe = 3L sededuce que = Pe /3 -2h1/3 bajo la condicin de que Pe > 23 h1.FIGURA 13Ahora al relacionar los tringulos ABC y PQC, resultan semejantes debido aque el segmento de recta PQ es paralelo al lado AB del tringulo dado. Adems debemos tener en cuenta algunas consideraciones tales como: 15. MC = H, PQ = t y CR = h.Se debe probar que el valor del rea del tringulo ABC es equivalente al dobledel valor del rea del tringulo PQC, es decir, A = 2 A1.En el tringulo ABC se tiene que la frmula que valida el valor del rea de dichotringulo est dada por:A = LH / 2 (1)Por otra parte tenemos que: H2 + (L/2)2 = L2 de dnde se concluye queH = (4 L2 L2) = 3 L (2). Al reemplazar (2) en (1) se tiene que:A = ( 3 / 4) L2 (3)En el tringulo PQC se tiene que la frmula que valida el valor del rea dedicho tringulo est dada por: A1 = t h / 2 (4)Por otra parte se tiene que h2 + (t/ 2)2 = (L -)2 de dnde se concluye queh = 4(L -)2 t2 (5), debido) a la propiedad de la semejanza de tringulospodemos afirmar 1 = (L -) / t de dnde t = L - (6)Al reemplazar las frmulas (5) y (6) en (4), obtenemos:A1 = ( (L -) / 4) 4(L -)2 (L -)2 = (L -)2 3 / 4, luego 2 A1 = (L -) 3 / 2(7)Al comparar las frmulas (3) y (7), forzosamente estamos comparando lasexpresiones 2(L -)2 con la expresin L2, es decir 2(L -)2 = L2 de dndese concluye que = (L / 2) (2 - 2). Frmula quellamaremos FMgica la cual nos asegura la existencia de Median ices en untringulo Equiltero, de una forma sencilla y rpida. Al factor (2 - 2)/2Lo llamamos el factor FMgico. Una muestra de esta situacin queda plasmadaen la Figura 14 16. FIGURA 14Estudio de Median ices no paralelas a uno de los lados del tringulo EquilteroABC.Esta exploracin la haremos con base a la Figura14a. FIGURA 14aEn el tringulo ABC, el valor del rea est dada por la frmula A = ( 3 / 4) L2(1)En el tringulo PQC, para obtener el valor del rea debemos recurrir a lafrmula de Hern, dnde el semipermetro del tringulo PQC est dado por S =(2L - - + t) / 2 y por tanto el rea est dada por A1 = S(S L + )(S L + )(S t) (2) 17. Ahora buscamos los valores de las expresiones siguientes:S L + = ( - + t) / 2S L + = ( - + t) / 2 S t = (2L - - - t) / 2Reemplazando estos resultados en (2), se obtiene:A1 = ( - + t) (2L - - + t)( - + t )(2L - - - t)A 1 = ((t - ) + )((t + ) - )((2L - + t) - )((2L - - t) - )A1 = ((t2 - 2) + ((t +) (t -)) - 2) ((2L - )2 - t2) ((2L - - t) + (2L - +t) + 2)A1 = ((t2- 2 + 2 - 2)((2L - )2 t2 + 2t + 2) (3)Debemos tener que A = 2A1, entonces esto nos fuerza a compara las frmulas(1) con (3), es decir:( 3 / 4) L2 = 1 /2 (t2 - 2 +2 - 2)((2L - )2 t2 + 2t + 2)(4)La frmula (4) podra ser el camino correcto en la consecucin del ptimo,para comprobar o refutar esta especie de conjetura realizaremos un ensayoque dejamos registrado en la Figura 12a, dnde se observa que L = 2.16 cm, t= 1.52 cm, = 0.70 cm y = 0.59 cm.Al reemplazar estos valores exceptuando el valor de en la frmula (4) seobtiene: 3 /4 (2.16)2 = (1.84 + 1.4 - 2)(13.18- 2.32 + 3.05 + 2)(2.03)2 = (1.84 + 1.4 - 2)(10.86 + 3.05 + 2)16.48 = 19.98 + 15.2 - 10.862 + 5.61 + 4.272 -3.053 + 1.84 2+ 1.4 3 - 416.48 = 19.98 + 20.81 - 4.75 2 1.65 3 - 4 de dnde se tiene que:4 + 1.65 3 + 4.75 2 -20.81 - 3.5 = 0Utilizando el Derive que posee la calculadora, intentamos factor izar dichaecuacin de la siguiente forma:( - 1.94)( + 0.16)(2 + 3.42 + 11.13) =0 de dnde la nica solucin positivaes = 1.94 cuyo valor est muy alejado del real el cual es 0.59 cm., por tantoconcluimos que este no es el camino ms adecuado para seleccionar un quele de existencia al concepto no convencional del la Medianiz no paralela a unode los lados del tringulo Equiltero dado. 18. Por todo esto se hizo necesario de usar otro tipo de estrategiaEs la validacin de Medianices en dicho tringulo de una manera sencilla yefectiva. Esto nos condujo a descubrir algunas Frmulas experimentales empezando por la que relaciona el valor de la mitaddel lado del tringulo equiltero, un valor conocido y una constante K la cualest dada por la longitud por todo eso que tuvimos que echar mano de otrotipo de estrategia que nos permitiera del segmento de recta MQ, dicha frmulaexperimental proponemos que debe tener la forma: L / 2 - + K / 2 dnde K = MQA continuacin presentamos tres ensayos que quedan registrados en las Figura12b, 12c y 12d. FIGURA 12b 19. FIGURA 12cAnalizando esta estrategia nos conduce a conjeturar lo siguiente: En untringulo Equiltero ABC cualquiera, es posible construir infinitasMedianices como resultado de las infinitas posiciones que puedenalcanzar los puntos P y Q respectivamente, en el segmento de recta BM oAMLa estrategia que gener la Frmula experimental de , surge de observarcon bastante detenimiento el comportamiento comparativo de los valores de lossegmentos de rectas AP con BQ, QM y L/ 2, tomando como puntos dereferencia los puntos medios de los lados y los vrtices del tringulo dado. Elprocedimiento se basa en tomar un punto P sobre el lado AC muy cerca delvrtice A y luego tomamos otro punto sobre el lado BC bastante cerca delpunto medio de este lado. Luego hacemos una distincin especial con laherramienta F3-4, calculamos ahora los valores de los segmentos de rectasAP, BQ, MQ, L, A1, A2 dnde A1 representa el valor del rea del polgono ABQPy A2 representa el valor del rea del tringulo PQC, para luego arrastrar lospuntos P y Q hasta que A1 A2 con un margen de error comparativo del ordende un 10-2 cm.; a partir de este instante empieza el proceso de comparar losvalores en cuestin y despus de muchas pruebas dnde estuvo presente elensayo y error llegamos a la gran conclusin de que :AP L / 2 BQ + MQ / 2 haciendo AP = (Valor desconocido), BQ = y MQ= K, la frmula toma la forma: L / 2 - + K / 2.En el siguiente ensayo descubrimos que existan otro tipo de FrmulasExperimentales, las cuales tendran el mismo patrn de la primera frmulaexperimental con la variante que el tercer trmino podra ser un mltiplo de K /2 o mltiplos de K / 3 o una interpolacin de estos valores, como lo muestranlas Figura 12e y 12f. 20. Figura 12dFIGURA 12e 21. Figura 12fAl descodificar Para concluir con el estudio del tringulo Equiltero , debemosencontrar una solucin nos conduzca a la comparacin simultanea depermetros entre si y reas entre si, luego mediante la herramienta del arrastredel punto P sobre un segmento localizado sobre uno de los lados del tringulo,encontrar las condiciones necesarias para la existencia de dicha solucin, paraeste fin proponemos el siguiente modelo bifuncional al problema que gener el Granjero; para esto modelaremos una estrategia que:1. Crear un tringulo Equiltero ABC cualquiera y calcular su permetro.2. Calcular Pe / 2 y transferir este valor sobre una semirrecta PR a partir delpunto P3. Con centro en B y radio BR crear una circunferencia que corta a el lado BCen el punto T.4. Unir los puntos P y T a travs de un segmento de recta y as el tringulooriginal queda dividido en dos figuras geomtricas a las cuales es posiblecalcularles sus permetros P1 y P2 lo mismo que sus reas A1 y A2; todo esteproceso queda condensado en la Figura 13. 22. Figura 13.Ahora, al mover el punto P hacia el punto M o hacia el punto A se dan lascondiciones esperadas en la solucin del problema del granjero, esta situacinqueda plasmada en la Figura 14.Figura 14Al observar la Figura13, es posible afirmar primera mano que:Cuando el punto P alcanza la posicin del puntos A, T ocupa la posicin delpunto medio del lado BC y cuando esto ocurre se activa una solucin para elproblema propuesto inicialmente y lo mismo ocurre cuando el punto P alcanzala posicin del punto M, el punto T coincide con el punto C y por tanto es 23. tambin condicin necesaria para la existencia de una solucin al problemaoriginal.Concluimos que existen slo tres maneras diferentes para darle una solucin alproblema The Equalizing Line en un tringulo Equiltero y el concepto ideal avalidar que est estrechamente ligado a la solucin del Problema del granjeroes sin duda alguna el concepto geomtrico no convencional de la Mediana.EXPLORACIN EN UN TRINGULO ISSCELESAhora, centraremos nuestro estudio en el tringulo Issceles en dndeutilizaremos estrategias similares a las que se usaron en el estudio del tringuloEquiltero.EN LA BSQUEDA DE ESCINTORESEmpezando la exploracin con un tringulo Rectngulo, utilizando un segmentode control es posible hallar un valor positivo el cual se constituye en unacondicin necesaria para la existencia de un de Escintor en dicho tringulo,luego compararemos el conocido con un que lo llamamos el alfaalgebraico que en este caso est dado por la frmula (2 - 2) L / 4, dichabsqueda qued condensada en la Figura 15.Figura 15Este resultado lo dejamos consignado bajo el siguiente teorema: 24. TEOREMA E2. (Escintor de un tringulo Issceles Rectangular)En un tringulo Issceles Rectangular ABC, se hace posible asegurar laexistencia de un Escintor si el valor del se escoge utilizando la frmula (2 -2) L / 4 dnde L es el lado apropiado a escoger del tringulo ABC.Prueba. Sea ABC un tringulo Issceles Rectangular, de lados L y L1 (Figura16) Hacemos PQ = t .Puesto que el tringulo dado es Issceles Rectangular,podemos afirmar queL2 + L2 = L21 as L1 = 2 L.Como el objetivo es validar la existencia de un Escintor, esto implica que elpermetro del tringulo PQC equivale al permetro del trapecio ABQP, es decir:2 (L - ) + t = 2 + L1 + t de dnde 2L 2 = 2 + L1 por tanto se tieneque: 2L L1 = 4 pero L1 = 2 L por tanto tenemos que 4 = 2L - 2 L, as4 = (2 - 2) L para concluir que: = (2 - 2)( L / 4). Con esto se termina la prueba. Observacin: De nuevo aparece la frmula FMgica en la escogenciadel ptimo, puesto que este valor se puede expresar como ( (2 - 2)/ 2)(L/2)dnde la expresin (2 - 2) / 2 es el ya conocido como factor mgicoFigura 16 25. Siguiendo la lnea de exploracin , continuaremos estudiando Escintores en untringulo Issceles no rectangular, dnde se hace uso de un segmento decontrol, el cual nos facilita encontrar un valor positivo como punto de partidapara la posible existencia del Escintor en dicho tringulo; luego contrastamos elvalor del hallado por procedimiento netamente exploratorio con un valorllamado un alfa algebraico, que en este caso est dado mediante la frmula (2L L1 ) / 4,todo este proceso qued registrado el las Figuras 17 y 18. Figura 17 Figura 18 26. Estos resultados los consignamos de una manera formal, a travs delsiguiente teorema:TEOREMA E3. (Escintor de un tringulo Issceles no rectangular)En un tringulo Issceles no rectangular ABC, de lados L y L1, existe unEscintor siempre que podamos escoger el valor del ptimo de siguientemanera: (2L L1) / 4, dnde L >L1 / 2.Prueba. Sea ABC un tringulo Issceles no rectangular, de lados L y L1 (Figura19).Llamamos al segmento PQ por t y como nuestro compromiso es garantizar laexistencia de un Escintor en dicho tringulo, se hace necesario que lospermetros del tringulo PQC sea equivalente al permetro del trapecio ABPQ,es decir:L - + L - + t = 2 + L1 + t de dnde 2L 2 = 2 + L1 as 2L L1 = 4 para concluir que = (2L L1) / 4 bajo la condicin de que L > L1 / 2. Con estose termina la prueba.EN LA BSQUEDA DE MESCINTORESNuestra misin ahora, consistir en la bsqueda de posibles Mescintores enun tringulo Issceles, para concretar dicha bsqueda exploraremos en dichotringulo, la posibilidad de la existencia de un valor positivo llamado el cual seconstituye como una condicin necesaria para la existencia de Mescintores enel tringulo Issceles, agotemos todos los posibles casos que se pueden dar ennuestra actividad exploratoria. 27. Analicemos el primer caso, el cual queda condensado en la Figura 20. Figura 20Al observar detenidamente la Figura 19, podemos concluir que el permetro deltringulo MBP es equivalente al permetro del polgono AMPC, es decir:L + L 1/2 + + r = L1/2 + L - + r de dnde concluimos que = 0.Este resultado nos hace pensar que el punto P debe alcanzar la posicin delpunto C y el concepto de Merscintor estara ligado a otro concepto geomtricollamado Vescintor.En un segundo caso, colocaremos el punto P sobre el lado L1 del tringuloIssceles y dicho ensayo queda formalizado bajo la Figura 21. 28. Figura 21El obtenido en la Figura 21 a travs de la exploracin por va de la ley delarrastre del punto P sobre el lado AB, lo confrontaremos con el llamado alfaalgebraico el cual se calcula mediante la expresin (L1 L) / 2, este ensayoqueda condensado en la Figura 22.Figura 22Formalizando los resultados obtenidos en los ensayos anteriores, afirmamosque:TEOREMA M2 (Mescintor de un tringulo Issceles) 29. En todo tringulo Issceles de lados L y L1, existe un Mescintor en dichotringulo si es posible escoger un de la forma (L1 L) / 2.Prueba. Sea ABC un tringulo Issceles de lados L y L1 (Figura 23).Como nuestro inters se basa en la validacin la existencia de un Mescintor enel tringulo dado, esto implica que los permetros del tringulo PBM debe serequivalente al permetro del polgono APMC, es decir:;L1 - + L/2 + r = + L + L/2 + r de dnde L1 - = + L as L1 L = 2 por tanto podemos concluir que = (L1 L) / 2. Con esto se termina laprueba. Figura 23Explorando Mescintores en un tringulo Issceles Rectangular, utilizando unsegmento de control para generar una condicin necesaria la cual quedacondensada en un valor positivo llamado , para garantizar la existencia deun Mescintor en dicho tringulo ,as como se presenta en la Figura 24 30. Figura 24Haciendo un nuevo ensayo en la calculadora voyage 200 y comparando el hallado por medios totalmente exploratorios con un llamado algebraico elcual se calcula mediante la frmula (2 1)( L / 2), observamos una pequeadiferencia la cual se encuentra dentro del rango de aceptacin dado en ladefinicin 1, es por eso que dicha experiencia la presentamos en la Figura 25. Figura 25Estos dos resultados los registramos mediante el siguiente teorema;TEOREMA M3 (Mescintor de un tringulo Issceles Rectangular) 31. En todo tringulo Issceles Rectangular ABC, de lados L y L1, se presenta laposibilidad de validar la existencia de un Mescintor en dicho tringulo, siemprey cuando se seleccione el ptimo como = (2 1)( L / 2).Prueba. Sea ABC un tringulo Issceles Rectangular de lados L y L1 (Figura26).Debido a que el tringulo ABC es rectngular, se tiene que L1 = 2 L.Hacemos AP = entonces PB = 2 L - , y PM = r.Como estamos en va de validar la existencia de un mescintor en el tringuloABC, esto implica que el permetro del tringulo PBM debe coincidir con elpermetro del polgono APMC, es decir: 2 - + L/2 + r = + L + L/2 + r de dnde se tiene que 2 L L = 2 as(2 1) L =2 para concluir que = (2 1)( L / 2). Con esto se termina laprueba. Figura 26Al explorar en un tringulo Issceles la validacin de conceptos tales comoMedianiz-Vescintriz , en dicho proceso se presenta una observacin muyimportante la cual se constituye en la clave para garantizar la existencia deconceptos del tipo Medianiz-Vescintriz; dicha clave est relacionada con laspropiedades de la semejanza de tringulos ,las cuales en este caso seconstituyen en una condicin necesaria para que estos conceptos tengan vidaeste contexto, as que un primer ensayo siguiendo la estrategia utilizada ensituaciones similares con anterioridad en donde se hace una comparacin entreel obtenido por medios puramente exploratorios con un llamado algebraico 32. nacido de una frmula experimental, situacin que queda plasmada en laFigura 27.Figura 27Estos resultados son registrados en el siguiente teorema:TEOREMA ME1 (Medianiz-Vescintriz de un tringulo Issceles)En todo tringulo Issceles ABC de lados L y L1 de altura H, Existe unaMedianiz Vescintriz en dicho tringulo, si se selecciona el ptimo de laforma: = (1 2h1 / 4L2 L12) L con la condicin de que L > L1 / 2.Prueba. Sea el tringulo ABC Issceles de lados L y L1 y altura H = MC(Figura 28). Hacemos PQ = Z.Debido a que el segmento PQ es paralelo al lado AB, podemos asegurar conseguridad de que los tringulos AMC y ABC son semejantes, lo mismo ocurrecon los tringulos AMC y PRC aseveracin que es garantizada por lapropiedad Angulo-Angulo-Angulo de la semejanza de tringulos. Por todo loanterior afirmamos que:PC / PQ = AC / AB (1) y AM / MC = PR / RC(2) 33. En este caso (1) y (2) se constituyen las condiciones necesarias para laexistencia del ptimo. Tambin podemos afirmar que de (1) y (2) sedesprende:(L -) / Z = L / L1 de dnde se tiene que (L -) / L = Z / L1 (3)Tambin podemos afirmar que (L1/2) / H = (Z/2) / h1 de dnde Z / L1 = h1 / H(4) Por tanto de (3) y (4) concluimos que (L -) / L = h1 / H de dnde se tienequeL (h1 L) / H = , para luego concluir que (1 h1/H) = (5)Por otra parte el tringulo MBC es recto en M y por tanto afirmamos que:H2 + L12 / 4 = L2 de dnde se concluye que H = 4 L2 L12(6)Reemplazando (6) en (5), tenemos: = (1 2h1 / (4 L2 L12)) L con la condicin de que L > L1 / 2. Con esto setermina esta prueba. Figura 28Podemos afirmar con toda certeza que los casos referentes a la bsqueda seMedianiz-Vescintriz tanto en un tringulo Equiltero como en el tringuloIssceles se constituyen en los casos ms evidentes que le dan solucin alproblema de granjero, donde se supone en estos casos que los terrenosestn conformados como tringulos Equilteros e Issceles, situacionesmostradas en las Figuras 29 y 30. 34. Figura 30Figura 29La observacin uno-a consiste en haber descubierto por decirlo as laspropiedades de la semejanza de tringulo como la condicin de mayorimportancia que garantiza la existencia de algunos conceptos geomtricos noconvencionales tales como la Medianiz y de la Vescintriz en este caso.CONCLUSIONESLa experiencia denota una riqueza conceptual, en la medida que losconocimientos involucrados posibilitan la valides de conjeturas y la modelacin 35. de una situacin problema que desencadena otras situaciones problemas. Hayque anotar tambin que la intermediacin de la herramienta tecnolgica mostrnovedosas norma de validar los conceptos de Escintor, Mescintor yVescintor. Esta situacin presenta varios matices: inicialmente se presenta unproblema de existencia, luego el de la unicidad y posteriormente el de lageneralizacin mediante modelos algebraicos.La exploracin libre posibilit encontrar soluciones insospechadas, por ejemplo,la existencia de infinitos Escintores para el triangulo equiltero. De igual formase hizo una exploracin libre para los tringulos issceles y escaleno,encontrndose algunos resultados que estn en la fase de anlisis einterpretacin.En esta primera fase de exploracin nos permiti generar una definicin muyimportante, la cual nos da los parmetros en la seleccin adecuada de un valorpositivo la cual es la condicin necesaria para la existencia de los conceptosgeomtricos no convencionales; al igual que generacin de varios teoremas yun corolario del primer teorema.Otra fortaleza que posee esta investigacin es la gran visualidad conceptualesta accin se refiere a la posibilidad de leer , analizar y conjeturar a partir deuna imagen compactada en su respectiva Figura sealada en cada seccin deestudio del tringulo ABC.La investigacin propicia la creacin de muchas estrategias de exploracin quegeneraron contextos especiales dnde se daban algunos resultados muyespecficos, tales como relaciones, propiedades, conjeturas y generalizaciones,tambin nos obliga a crear modelos geomtricos los cuales se constituyen encontextos muy especiales que aceleran la consecucin de una solucin tananhelada a un problema preestablecido con antelacin.Esta investigacin arroj como uno de los resultados contundente a afirmar queel problema del granjero posee ms de una solucin en el contexto deltringulo Escaleno. 36. BIBLIOGRAFIAMEN (1998). Matemtica. Lineamientos Curriculares. Bogota, EditorialMagisterio.MEN (1999). Nueva Tecnologas y Currculo de Matemtica: Apoyo a losLineamientos Curriculares. Bogota, Enlace Editores Ltda...MEN (2004).Pensamientos GeomtricosTecnologa Computacionales.Bogota, Enlace Editores Ltda.MEN (2002). Seminario Nacional de Formacin de Docentes: Uso deNuevas Tecnologa en el Aula de Matemtica. Serie Memorias. Bogota,Enlace Editores Ltda.MEN (2004). Tecnologa Informtica: Innovacin en el Currculo deMatemticas de la Educacin Bsica Secundaria y Media. Series Estadios.Bogota, Enlace Editores Ltda.