CS222CS222: Computer Arithmetic : AdderComputer Arithmetic : Adder 

Continued..& Multiplier

Dr.  A. Sahu

Dept of Comp. Sc. & Engg.Dept of Comp. Sc. & Engg.

Indian Institute of Technology Guwahati

1

Outline• Adder Universal Use (N bit addition)

– Ripple Carry Adder, Full Adder, Adder/Substrator,Ripple Carry Adder, Full Adder, Adder/Substrator, – Algorithmic Adder Scheme

• Reducing Adder DelayReducing Adder Delay – Ripple Carry Adder, Manchester Adder– Carry Skip Adder, Carry Select Adder– Carry Look Ahead Adder– Carry Save Adder (Multiple Operand Adder)

• Multiplication Algorithms– Shift and Add, Sequential Algorithms– Array Multiplier with RCA/CSA

2

Adder Universal UseAdder Universal Use• Adder : A = B + C

• Substractor: A = B + (‐C), 2’s complement

• Compare :  C = A> B ? 1 : 0    (A‐B>0) : 1 : 0p ( )– Special case of compare with 0

• MultiplyMultiply

• Divide

d• Mod

• Floating point: Add/sub/mul…

3

NN‐‐Bit RippleBit Ripple‐‐Carry Adder: Series of FA CellsCarry Adder: Series of FA Cellspppp yy• To add two n‐bit numbers

A0 B0A1 B1A2 B2A 1B 1

C0FA

A0 B0

FA

A1 B1

FA

A2 B2

FA

An-1Bn-1

Cn. . .

0FA

S0

FA

S1

FA

S2

FA

Sn-1

n

• Adder delay = Tc * n• Tc = (C to C delay) of a FA

A B• Tc = (Cin to Cout delay) of a FA

FA CinCout

4Sum

Mathematically: Ci & SiMathematically: Ci & Si• C =FunC ( x x y y c )• Ci =FunC ( xi‐1, .., x0,  yi‐1, .., y0,  cin)

• Si =FunS (xi, yi, ci) i i i i

= ( xi + yi + ci) mod 2;

5

Ripple Carry Adder Analysisi 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0xi 1 0 1 0 1 1 1 1 0 0 Cin=0

yi 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0P K P P P G P P P KP K P P P G P P P K

Ci+1 0 0 1 1 1 1 0 0 0 0

Case Xi Yi Xi+Yi Ci+1 Comment

Kill (Ki=1) 0 0 0 0 Kill/Stop Cin/Cout=0

PropagatePi=1

0 1 1 Ci Propagate CinCout=Cin1 0 1 Ci

6

Generate  1 1 2 1 (Gi=1), Generate Cout, Cout=1

Propagate, Generate & KillPropagate, Generate &  Kill• Case 1 (Kill): ki = xi’yi’ = (xi+yi)’i i i i i

• Case 2 (Propagate): pi = xi XOR yiC 3 (G t ) +• Case 3 (Generate): gi = xi + yi

Then

ci+1 = gi + pici = xiyi + (xi XOR yi) ciAlt ti ( i l ) iAlternative (simpler) expression:

ci+1 = gi + aicii+1 gi i i

Since ai = ki’,  we call it "alive" 7

Reducing Adder DelayReducing Adder Delay• Ripple Carry Adder: N(tc)+max(tc,ts)• Reducing Carry Delay tc: Manchester Switch• Changing linear factor to smallerg g

– N/k or logN– Carry Look Ahead, Carry Skip, Carry Select, Conditional Sum Adder

• Including  a competition signal: addition always may not be the worst case.

• Changing number representation: Carry Saved Adder 

8

Switched Carry Ripple (M h ) Add(Manchester) Adder

• Idea: Fast circuit to propagating carry chain

xi+yi Gi Pi Ki Ci+1i yi i i i i+1

0 0 0 1 0

1 0 1 0 Ci

2 1 0 0 1

9

Chain Control Switch ModuleChain Control Switch Module

xi yi

Carry ControlGKP

i yi

giki

1 0 pi

10

CiCi+1

Manchester Adder (MRCA)Manchester Adder (MRCA)

• Delay: t +(n‐1)*tDelay: tsw+(n 1) tp• Here tp < tc, so total delay is less

CC

X0Y0

CC

X1Y1

CC

XiYi

CC

Xn‐1Yn‐1

CC

Cin

CCCCCC

S

Cin

SSS11

S0S1SiSn‐1

Carry Skip AdderCarry Skip Adder• Smaller modification to Ripple Carry Adder

• Reduce worst case delay by reducing the number of FA cell through carry has to Propagate

• Divide n bits in to (n/m) groups of m bits

• If sum of group is 2m‐1 then carry is propagatedIf sum of group is 2 1 then carry is propagated

• Carry is propagated when it propagated by all the bits of the groupsbits of the groups

Pj=   pj0 pj1pj2 ..pjm‐‐1

• Cin,j+1 =  Cout, j . P’j +  Cin,j+Pj12

Carry Skip ExampleCarry Skip Example 

P=0 P=1 P=1 P=0 P=1 P=0

1 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 00 1 0 1 1 0 0 1 1 0 0 1 0 1 0 0 1 0

Ci

P

13CjCj+1

P

CSK ModuleC C• If Pj=1: simply skip the group j, Cin,j+1=Cin,jmm

yjxj

M‐bit RCACM0C

Pjmm

Group JCin

CoutMUX

0

1

Cin,j+1

mmModule n‐1

m

sjModule i

mmModule 1

mmModule 0

CSK Module

mm

CSK 

mm

CSK Module

mm

CSK Module

mm

14

Module

m

Module

m

Module

m

Module

m

Carry Skip PathCarry Skip Path

skipped

15

Carry Select AdderCarry Select AdderFor a group Sum & Carry is already

FA FA FA FA

FA FA FA FA

Carry is already calculated 

Si l l b d FA FA FA FASimply select based on carry 

16

Carry Look Ahead Adder (CLA)Carry Look Ahead Adder (CLA)• Basic Idea: Compute Several Carries Simultaneously and use itSimultaneously and use it 

• As Ripple Carry or MultiLevel CLAA3 B3 A2 B2 A1 B1 A0 B0A3       B3                  A2     B2                 A1     B1                A0     B0

FA FA FA FA

P3 G3 C3 P2 G2 C2 P1 G1 C1 P0 G0

S3 S2 S1 S0

17

P3   G3    C3        P2   G2   C2          P1   G1    C1       P0   G04 Bit  Carry Look Ahead Generator

C4

CLGCLGiii1iiii BAGwhereCPGC ⋅=⋅+=

0121-ii1iii

iii1iiii

CPP ... PP+ ... GPG= BAGwhereCPGC

⋅⋅⋅+⋅++

−

−

4)inputsof(#forAvailableiii PCS

≤⊕=

4)inputsof(#for Available ≤

18

CLG (Carry Lookahead Generator)CLG (Carry Lookahead Generator)C0

P1G1P2

C1

CG2

P3

C2

C3

G3

P4C4

6.19G4

RCA with CLA unitsRCA with CLA units• As Carry are generated with CLG it takes less timetime 

mmModule n‐1

mmModule i

mmModule 1

mmModule 0

CLAModule

CLAModule

CLAModule

CLAModule

m m m m

20

2 Levels of look ahead

a0 3

c0 P0c0

G

c4

0..3b0..3

s0..3 G0

P4i li a4..7b4..7

s4..7 CL

P4G4

no rippling of carry

a8..11b s8 11

c8 Aunit

P8G8b8..11

s8..11

a

c12

8

P12a12..15b12..15

s12..15c16

G12

Group propagate & generateGroup propagate & generate

c1 = p0 c0 + g0c1  p0 c0 + g0c2 = p1 c1 + g1 = p1p0c0+p1g0+g1c = p c + g = p p p c +p p g +p g +gc3 = p2 c2 + g2 = p2p1p0c0+p2p1g0+p2g1+g2c4 = p3 c3 + g3 =

p p p p c +p p p g +p p g +p g +gp3p2p1p0c0+p3p2p1g0+p3p2g1+p3g2+g3P0 = p3p2p1p0G p p p g +p p g +p g +gG0 = p3p2p1g0+p3p2g1+p3g2+g3c4 = P0 c0 + G0

Group propagate & generateGroup propagate & generate

Pi = pi+3 pi+2 pi+1 piPi  pi+3 pi+2 pi+1 piGi = pi+3 pi+2 pi+1 gi + pi+3 pi+2 gi+1 + pi+3 gi+2 + gi+3c = P c + Gc4 = P0 c0 + G0

c8 = P4 P0 c0 + P4 G0 + G4

c = P P P c + P P G + P G + Gc12 = P8 P4 P0 c0 + P8 P4 G0 + P8 G4 + G8

c16 = P12 P8 P4 P0 c0 + P12 P8 P4 G0 + P12 P8 G4 + P12 G8 + G12

Summery: Two operand AdditionsSummery: Two operand Additions

• Speeding up additionp g p–Ripple carry adder (carry propagate): O(n)C l k h d O(l )–Carry look ahead: O(log n)

• What about Multi‐Operand AdderWhat about Multi Operand Adder–A=N0+N1+N2+…..+Nn

• Where we require: possibly in multiply or advance computing placesor advance computing places

24

Adding multiple operandsAdding multiple operandsb0a0b1a1b2a2b3a3

+ + + +E FBA

Traditional adderTraditional 

e0e1e2e3

++++

Traditional adder

Traditional adder

Adder

Traditional 

f0f1f2f3

++++ Traditional adder

Traditional adder

Adder

Traditional 

+ + + ++S

Traditional adderAdder

s5 s0s1s2s3s4

Carry save additionCarry save addition

f0e0b0f1e1b1f2e2b2f3e3b3 E FBAf0e0b0f1e1b1f2e2b2f3e3b3

Carry saveadder

E FBA

+ + + + Carry Save Adder

a0a1a2a3

y

Carrysave adder

+ + + + Adder

Carry Save 

c'3 s'3s'4 c'2 s'2 c'1 s'1 c'0 s'0

Carrysave adder

C' S'+ + + + Adder

TraditionalTraditional adder

++ ++ ++ ++Traditional Adder

s4 s3 s2 s1 s0s5

S

Multiplication: paper ‐ pencil methodMultiplication: paper  pencil method

A 0 1 1B 1 0 1B 1 0 1

0 1 1 0 0 0 0 00 0 0 x

0 1 1 x x0 0 0 1 10 0 0 1 10 1 1 x x

AxB 0 1 1 1 10 0 0 1 10 1 1 1 1

Multiply: Shift & Add

• Decimal number : 15x20=300, 10x20+5x20 =300

• Binary number: 1111 X 10100• Binary number: 1111 X 10100– 1000X10100 + 100X10100 + 10X10100 + 1X10100

Sft3(10100) + ft2(10100) + ft1(10100)+ ft0(10100)– Sft3(10100) + sft2(10100) + sft1(10100)+sft0(10100)

– 1111X10000 + 1111X100

Sf 5(1111) f 2(1111)– Sft5(1111)+sft2(1111)

• Multiplication of N bit number, N shift, N Add, if bit is zero don’t add 

• Special addition

28

Shift add multiplierA

shift 0

B0

0

hift 1

B1

+

shft 2

1

B

+i

1n

i 2BABA ×⋅=× ∑−

shi

t 3

B2+

0i∑=

shift B3

+

A x B

Shift add multiplier (sequential)Shift add multiplier (sequential)

i1n

2BABA ×⋅=× ∑−

step1: i=0; s=0 step1: i=0; s=00i

i 2BABA ×⋅=× ∑=

step1: i=0; s=0p ;

do {

step2:

p ;

do {

step2:

p ;

do {

step2:step2:

s += A⋅Bi x 2i 

i ++

step2:

if (Bi) s += A

A = 2xA

step2:

if (B0) s += A

A = 2xAi ++

} while (i < n)

A   2xA

i ++

} while (i < n)

A = 2xA

B = B/2; i ++

} while (i < n)} while (i < n) } while (i < n)

Sequential shift add multiplier 1Sequential shift add multiplier 1

step1: i=0; s=0

do {A

2{

step2:

if (B ) s + A+

2n2n

Bif (B0) s += A

A = 2xAcontrol

B0

B = B/2; i ++

} while (i < n)

controls2n } ( )

Sequential shift add multiplier 2Sequential shift add multiplier 2

step1: i=0; s=0step1: i=0; s=0

do {

2

AA

n step2:

if (B0)sH += A+ BB

nn

step3: s = s/2

B = B/2; i ++t lt l

B0

B = B/2; i ++

} while (i < n)s controlcontrol

n

Sequential shift add multiplier 3Sequential shift add multiplier 3

A step1: i=0; s=0|B

do {

Ann

step2:

if (s ) s += A+

if (s0) sH += A

step3: 

/s controlcontrol

s = s/2; i ++

} while (i < n)

s controlcontroln

Simple Speeding up11

02

−

×⋅=× ∑ in

iiBABA

11

11

00

0

2...2.2. −−

=

×++×+×= nn

i

BABABA• N Addition can be done in parallel in Log(N) steps using N Adder

110 n

steps using N Adder

A.B0.20 A.B1.21 A.B2.22 A.B3.23

++ ++34

++

Shift add multiplierA

shift 0

B0

0

hift 1

B1

+

shft 2

1

B

+i

1n

i 2BABA ×⋅=× ∑−

shi

t 3

B2+

0i∑=

shift B3

+

A x B

Array mult with carry propagateArray mult with carry propagatep00p01p02p03 p10p11p12p13 0

pij = ai . bj

0+ + ++p20p21p22p23

+ + ++

p30p31p32p33

0+ + ++

0++ ++ ++++s6 s5 s4 s3 s2s7 s1 s0

Array multiplier with carry saveArray multiplier with carry save

p00p01p02p03p10p11p12p13 p20p21p22p23

00

p00p01p02p030

pij = ai . bj

+ + ++p30p31p32p33 0

+ + ++

+ + ++

0++ ++ ++++s6 s5 s4 s3 s2s7 s1 s0

SummarySummary

• Speeding up addition• Speeding up addition–Ripple carry adder (carry propagate): O(n)

–Carry look ahead: O(log n)

• Speeding up array multiplierp g p y p–Using carry propagate adders: ~ 3 n d

Using carr sa e adders ~ 2 n d–Using carry save adders: ~ 2 n d

(here d = delay of 1 bit adder)

39