CIRCUNFERENCIA

TEORAPROPIEDADES PROBLEMAS RESUELTOS

CIRCUNFERENCIA.- Es un lugar geomtrico de un conjunto de infinitos puntos que equidistan de un punto situado en el centro.

ELEMENTOS DE UNA CIRCUNFERENCIA

A B

M

N

Rectatangente

Rectasecante

Flecha o sagita

DimetroAB( )

Centro

T

Punto de tangencia

Q

P

Radio

Arco BQ

Cuerda PQ

PROPIEDADES BSICAS EN LA CIRCUNFERENCIA

01.-Radio trazado al punto de tangencia es perpendicular a la recta tangente.

R L

02.- Radio o dimetro perpendicular a una cuerda la biseca (divide en dos segmentos congruentes).

P

Q

M

N

R

03.-Cuerdas paralelas determinan arcos congruentes entre las paralelas.

A B

C D

04.- A cuerdas congruentes en una misma circunferencia les corresponden arcos congruentes.

A

B

C

D

Cuerdas congruentesArcos congruentes

Las cuerdas equidistan del

centro

POSICIONES RELATIVAS DE DOS CIRCUNFERENCIAS

01.- CIRCUNFERENCIAS CONCENTRICAS.- Tienen el mismo centro.

r

R

d = Cero ; d : distancia

Rr

Distancia entrelos centros (d)

02.- CIRCUNFERENCIAS EXTERIORES.- No tienen punto en comn.

d > R + r

R r

d = R + r

03.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES EXTERIORES.- Tienen Un punto comn que es la de tangencia.

rR

R r

Punto de tangencia

Distancia entrelos centros (d)

dR

d = R - r

04.- CIRCUNFERENCIAS TANGENTES INTERIORES.- Tienen un punto en comn que es la de tangencia.

d: Distancia entre los centros

R

r

Punto de tangencia

05.- CIRCUNFERENCIAS SECANTES.- Tienen dos puntos comunes que son las intersecciones.

R r

( R r ) < d < ( R + r )

Distancia entrelos centros (d)

06.- CIRCUNFERENCIAS ORTOGONALES.- Los radios son perpendiculares en el punto de interseccin.

d2 = R2 + r2

Distancia entrelos centros (d)

rR

06.- CIRCUNFERENCIAS INTERIORES.- No tienen puntos comunes.

R

r

d

d < R - r d: Distancia entre los centros

1.- Desde un punto exterior a una circunferencia se puede trazar dos rayos tangentes que determinan dos segmentos congruentes.

PROPIEDADES DE LAS TANGENTES

AP = PB

A

B

P

R

R

2.- TANGENTES COMUNES EXTERIORES.- Son congruentes

AB = CD

A

B

C

D

R

Rr

r

3.- TANGENTES COMUNES INTERIORES.- Son congruentes.

AB = CD

A

BC

DR

R

r

r

TEOREMA DE PONCELET.- En todo tringulo rectngulo, la suma de longitudes de catetos es igual a la longitud de la hipotenusa mas el doble del inradio.

a + b = c + 2r a + b = 2 ( R + r )

ab

c

r

R R

Inradio

Circunradio

TEOREMA DE PITOT.- En todo cuadriltero circunscrito a una circunferencia, se cumple que la suma de longitudes de los lados opuestos son iguales.

a + c = b + d

d

a

b

c

Cuadriltero circunscrito

1.- MEDIDA DEL NGULO CENTRAL.- Es igual a la medida del arco que se opone.

A

B

C

r

r

= mAB

A

C

B

D

2.- MEDIDA DEL NGULO INTERIOR.- Es igual a la semisuma de las medidas de los arcos opuestos

A

B

C

3.- MEDIDA DEL NGULO INSCRITO.- Es la mitad de la medida del arco opuesto.

4.- MEDIDA DEL NGULO SEMI-INSRITO.- Es igual al medida del arco opuesto.

A

B

C

A

BC

1.- MEDIDA DEL NGULO EX-INSCRITO.- Es igual a la mitad de la medida del arco ABC.

A

B

C O

6.-NGULOS EXTERIORES.- Son tres casos:

a.- Medida del ngulo formado por dos rectas tangentes.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.

+ mAB = 180

A

B

C

O

D

b.- ngulo formado por dos rectas secantes.- Es igual a la semidiferencia de la medida de los arcos opuestos.

A

B

C

O

c.- Medida del ngulo formado por una recta tangente y otra secante.- Es igual a la semidiferencia de las medidas de los arcos opuestos.