Circunferencia

COLEGIO PRIVADO “PETER NORTON” GEOMETRÍA ANALITICA

Lic. Juan Medina Mendoza 1

La circunferencia es el lugar geométrico de los puntos del plano queequidistan de un punto fijo llamado centro(C).Construcción de la circunferencia:

Ecuación de la circunferencia concentro en el origen:Para obtener la ecuación de la circunferenciacon centro en el origen ubicamos un puntocualquiera P (x, y) de la circunferencia concentro C (0; 0) y calculamos su distancia. Esdecir:

2 2C,Pd r x 0 y 0

2 2r x y 2 2 2r x y

Ejemplo:Determinar la ecuación de la circunferencia de C(0; 0) que pasa por el punto P (2; 3)

Calculamos el radio reemplazando P (4; 3) en laecuación ordinaria:

2 2 2r x y r2 = 32 + 42

r 9 16 r = 5 u.Determinamos la ecuación de la circunferencia:

2 2 25 x y 25 = x2 + y2.



Ecuación de la circunferencia con centroen el punto C (h, k):Para obtener la ecuación ordinaria de la ecuación dela circunferencia con centro C (h, k) identificamos unpunto cualquiera P (x, y) de la circunferencia ycalculamos su distancia al centro C. es decir:

2 2C,Pd r x h y k

2 22r x h y k

Ejemplo:1. Dada la ecuación de la circunferencia (x + 2)2 + (y + 5)2

= 49. hallar la coordenada del centro, el radio y lagrafica:Apartir de la ecuación, identificamos las coordenadasdel centro de la circunferencia:h = -2, k = -5 C (-2; -5)Calculamos el radior2 = 49 r = 7 u.

2. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita altriángulo cuyos vértices son P1 (-1; 1), P2 (3; 5) y P3 (5; -3)

La construcción de la circunferenciaque pasa por los tres puntos dados es unproblema conocido de la geometríaelemental (todo triángulo tiene tresmediatrices. Las tres mediatrices seintersectan en un solo punto llamadocircuncentro)Ahora determinaremos las ecuaciones

de las mediatrices:L1:Sea Q punto medio del segmento P1P2,entonces: Q (1; 3) y “m” la pendiente del

segmento P1P2, entonces m = 1; por lo tanto la pendiente la mediatriz L1 es: -1.L1: y – 3 = -1(x – 1) x + y = 4L2 :Sea R punto medio del segmento P2P3, entonces: R (4; 1) y “m” la pendientedel segmento P1P2, entonces m = -4 ; por lo tanto la pendiente la mediatriz L2es: 1/4.L1: y – 1= 1/4(x – 4) x - 4y = 0

La solución común de estas dos ecuaciones es x= 16/5, y = 4/5, de maneraque las coordenadas del centro C son (16/5; 4/5)



El radio de la circunferencia esta dado por:2 2

116 4 1r CP 1 1 4425 5 5

Por lo tanto la ecuación buscada es:2 216 4 442x y

5 5 25

Forma general de la ecuación de la circunferencia.Para hallar la ecuación general de la circunferencia desarrollamos losbinomios de su ecuación ordinaria.

2 22r x h y k

2 2 2 2 2r x 2xh h y 2yk k

2 2 2 2 2x y 2h x 2k y h k r 0

Denotamos por D = -2h, E = -2k y F = h2 + k2 - r2 para obtener la ecuaciónque corresponde a la ecuación general de la circunferencia:

2 2x y Dx Ey F 0 De donde:

2 2 2 2D E D E 4Fx y2 2 4

Hay tres casos para considerar la representación de una ecuación de unacircunferencia o no:

Si D2 + E2 – 4F > 0, la ecuación representa una circunferencia de centro

en el punto (-D/2, -E/2) y radio igual a 2 21 D E 4F2

Si D2 + E2 – 4F = 0, la ecuación representa una circunferencia de radiocero; se dice también que es un círculo punto o un círculo nulo; desdenuestro punto de vista, sin embargo, la ecuación representa un solo puntode coordenadas (-D/2, -E/2)Si D2 + E2 – 4F < 0, la ecuación representa un círculo imaginario

Ejemplo:Hallar el centro y el radio de la circunferencia de: x2 + y2 +10x -8y + 5 = 0.

Identifiquemos en la ecuación general los valores D, E y F y losrelacionamos con las coordenadas del centro y el radio de lacircunferencia.

D = -2h 10 = -2h h = -5C (h, k) = C ( -5; 4)

E = -2k -8 = -2k k = 4F = h2 + k2 - r2 5 = (-5)2 + (4)2 +r2 r = 6El centro de la circunferencia es C (-5; 4) y su radio 6 u.



Ejercicios de reforzamiento:1. Determinar la ecuación de la circunferencia que pasa por P (8; 0) y su

centro se encuentra en el origen de coordenadas

2. Encuentre la ecuación ordinaria de la circunferencia con centro en (-3; 1)y radio 4u.

3. Encuentre la ecuación general de la circunferencia tangente al eje Y ycon centro en (-3; 4)

4. Utiliza los términos de la ecuación general de la circunferencia x2 + y2 -6x -4y -3 = 0 para encontrar las coordenadas del centro y el radio

5. Utiliza la estrategia de completar cuadrados para obtener lascoordenadas del centro y el radio de la circunferencia de ecuación 2x2 +2y2 – 4x + 6y + 3 = 0.

6. Hallar el centro y el radio y su gráfica de la circunferencia 2x2 – 3x +2y2 – 5y + 2 = 0

7. Hallar el centro y el radio y su grafica de la circunferencia x2 + y2 +6x –4y + 11 = 0

8. Encuentra la ecuación general de la circunferencia de radio 2 u,concéntrica con la circunferencia x2 + y2 – 4x + 2y -3 = 0

9. Determinar si la ecuación x2 + 10x +y2 -8y + 42 = 0 es la de unacircunferencia real. Justifica tu respuesta.

10. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntosA(1; -4) y B (5; 2) y que tiene su centro en la recta real L1: x – 2y + 9 = 0.

Ejercicios domiciliarios:Dibujar una figura para cada ejercicio.1. Escribir la ecuación de la circunferencia de centro C (- 3; - 5) y radio 7.2. Los extremos de un diámetro de una circunferencia son los puntos A (2;

3) Y B (- 4; 5). Hallar la ecuación de la curva.3. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto C (7; - 6)

y que pasa por el punto A (2; 2).



4. Hallar la ecuación de la circunferencia de centro C (2; - 4) Y que estangente al eje Y.

5. Una circunferencia tiene su centro en el punto C (0; - 2) y es tangente ala recta 5x - l2y + 2 = 0. Hallar su ecuación.

6. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el punto (-4; -1) yque es tangente a la recta 3x + 2y - 12 = 0.

7. La ecuación de una circunferencia es (x - 3)2 + (y + 4)2 = 36. Demostrarque el punto A (2; - 5) es interior a la circunferencia y que el punto B ( -4; 1) es exterior.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 y cuyo centro es elpunto de intersección de las rectas 3x - 2y - 24 = 0. 2x + 7y + 9 = 0.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7; - 5) ycuyo centro es el punto de intersección de las rectas 7 x - 9y - 10 = 0 Y2x - 5Y + 2 = 0.

10. Una cuerda de la circunferencia x2 + y2 = 25 está sobre la recta cuyaecuación es x - 7y + 25 = 0. Hállese la longitud de la cuerda.

11. Hallar la ecuación de la mediatriz de la cuerda del ejercicio 10. ydemostrar que pasa por el centro de la circunferencia.

Los ejercicios 12 - 16 se refieren al triángulo cuyos vértices son A (-1; 0), B (2; 9/4) y C (5; 0).12. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro es el vértice A y que

es tangente al lado BC.13. Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo.14. Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo.15. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos medios de

los lados del triángulo.16. Demostrar que la circunferencia del ejercicio 15 pasa por "los pies de las

alturas del triángulo.17. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje X y

que pasa por los dos puntos A (1; 3) y B (4; 6).18. Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre el eje Y y

que pasa por los puntos A (2; 2) y B (6; - 4).19. Una circunferencia pasa por los puntos A (- 3; 3) y B (1; 4) Y su centro

está sobre la recta 3x - 2y - 23 = 0. Hállese su ecuación.20.Las ecuaciones de los lados de un triángulo son 9x + 2y + 13 = 0, 3x + 8y -

47 = 0 y x - y - 1 = 0 Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita.21. La ecuación de una circunferencia es x2 + y2 = 50. El punto medio de una

cuerda de esta circunferencia es el punto (- 2; 4). Hallarla ecuación de lacuerda.

22.La ecuación de una circunferencia es (x - 4)2 + (y - 3)2 = 20. Hallar laecuación de la tangente a este círculo en el punto (6; 7).



23.La ecuación de una circunferencia es (x + 2)2 + (y - 3)2 = 5.Hallar laecuación de la tangente a la circunferencia que pasa por el punto (3; 3).(Dos soluciones.)

24.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (7; -5) yes tangente a la recta x - y - 4 = 0 en el punto B (3; - 1).

25.Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta6x + 7y - 16 = 0 y es tangente a cada una de las rectas 8x + 15y + 7 = 0 y3x - 4y - 18= 0. (Dos soluciones.)

Determinación de una circunferencia sujeta a trescondiciones.En la ecuación ordinaria de la circunferencia (x - h)2 + (y - k)2 = r2, hay tresconstantes arbitrarias independientes, h, k y r. De manera semejante, en laecuación general x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0 hay tres constantes arbitrariasindependientes, D, E y F. Como la ecuación de toda circunferencia puedeescribirse en cualquiera de las dos formas, la ecuación de cualquiercircunferencia particular puede obtenerse determinando los valores de tresconstantes. Esto requiere tres ecuaciones independientes, que puedenobtenerse a partir de tres condiciones independientes. Por tanto,analíticamente, la ecuación de una circunferencia se determinacompletamente por tres condiciones independientes. Geométricamente, una circunferencia queda, también, perfectamente determinada por trescondiciones independientes; así, por ejemplo, queda determinada por trescualesquiera de sus puntos.Ejemplo1. Determinar la ecuación, centro y radio de la circunferencia que pasa porlos tres puntos A (- 1. 1). B (3. 5) y C (5. - 3).Supongamos que la ecuación buscada es. en la forma general:x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0. en donde las constantes D. E Y F deben serdeterminadas.Como los tres puntos dados están sobre la circunferencia, sus coordenadasdeben satisfacer la ecuación. De acuerdo con esto, tenemos las tresecuaciones siguientes correspondiendo a los puntos dados:

(-1,1), 1+1-D+E+F=0.(3, 5), 9 + 25 + 3D + 5E + F = 0.(5, - 3). 25 + 9 + 5D - 3E + F = 0.

que pueden escribirse más abreviadamente así:

D - E - F = 2.3D + 5E + F = - 34.5D - 3E + F = - 34.



La solución de este sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas nos da:Por la regla de Cramer:

1 15 13 1 32D

1 1 1 53 5 15 3 1

23434

,

1 13 15 1 8E1 1 1 53 5 1

23434

5 3 1

y

1 13 55 3 34F1 1 1 53 5 15

23434

3 1

De manera que sustituyendo estos valores en la ecuación, obtenemos:

x2 + y2 - 325

x - 85

y - 345

F = 0, o sea:

5x2 +5 y2 - 32x - 8y - 34 = 0Teorema: La ecuación de la circunferencia que pasa por tres puntos dadosno colineales P1 (x1, y1), P2 (x2, y2) y P3 (x3, y3) viene dada por el determinante:

2 2

2 21 1 1 12 2

2 2 2 22 2

3 3 3 3

x y x y 1x y x y 1

0x y x y 1x y x y 1

Nota: Esta forma es útil para determinar si cuatro puntos dados están o nosobre una circunferencia. Se dice que tales puntos son concíclicos.

Ejercicios de reforzamiento:1. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos:

a. A (-4; 2), B (4; 2) y C (0; -2)b. A (1; 2), B (6; 5) y C (9; 0)c. A (-7; 2), B (1; -2) y C (-2; -3)d. A (-6; 9), B (6; 1) y C (6; -9)

2. Encuentre la ecuación de la recta tangente a la circunferencia en elpunto P.a. x2 + y2 – 2x – 4 = 0, P (2; 2)b. x2 + y2 – 125x – 7y = 314, P (2; -8)c. 7x2 + 7y2 – 54x + 108y = 467, P (-3; 4)

Resuelve:3. A (2; 7) y B (6; 5) son puntos diametralmente opuestos de una

circunferencia. Determinar la ecuación general y el centro de dichacircunferencia.

4. Hallar la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos(-12; -5) y (-7; -6), cuyo centro está ubicado sobre la recta L1: x + 2y + 4= 0.



5. Encuentra la ecuación general de la circunferencia que pasa por el punto(6; 5) y es tangente a las rectas y =3 e y =7.

6. Determina la ecuación general de la circunferencia de centro C(3; 5), quees tangente a la recta: L1: 4x + 3y- 2 =0.

7. Determina el valor de k para que la ecuación x2 + y2 - 10x + 8y + k =0represente una circunferencia de radio 8 u.

8. Halla la ecuación general de la circunferencia que está circunscrita altriángulo limitado por L1: 4x - 27 =7y, L2: x - 5y+ 3 =0 Y L3: 2x + 3y - 7 =0.

9. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas L1: y - 2x- 1 = 0 con L2: x + y - 7 = 0. Si ella pasa por el punto S(6; 2), halla suecuación ordinaria.

10. El centro de una circunferencia es la intersección de las rectas L1: y - 2x- 1 = 0 con L2: x + y - 7 = 0. Si L3: 5x + 2y + 9 = 0 es tangente a ella,determina su ecuación ordinaria.

11. Halla la ecuación general de la circunferencia que pasa por los puntos A(4; 1) Y B(5; -6), y cuyo centro está sobre la recta L1: x + 2y + 5 = 0.

12. Halla la ecuación general de la circunferencia tangente a la recta L1: x +y - 3 = 0, que sea concéntrica con la circunferencia x2 + y2- 6x + 8y + 21= 0.

13. Halla la ecuación ordinaria de la circunferencia de radio 10 u, tangente ala circunferencia x2 + y2 - 25 = 0 en el punto (-3; -4).

Ejercicios domiciliarios:

Dibujar una figura para cada ejercicio.En cada uno de los ejercicios 1-3, reduciendo la ecuación dada a la formaordinaria, determinar si representa o no una circunferencia. Si la respuestaes afirmativa, hallar su centro y su radio.1. 2X2 + 2y2 - 6x + 10y + 7 = 0.2. 4X2 + 4y2 +28x - 8y + 53 = 0.3. 16x2 + 16y2 - 64x + 8y + 177 = 0.4. Hallar el área del círculo cuya ecuación es 9x2 + 9y2 + 72x - 12y + 103 =

0.5. Hallar la longitud de la circunferencia cuya ecuación es 25x2 + 25y2 +

30x - 20y - 62 = 0.6. Demostrar que las circunferencias 4x2 + 4y2 - l6x + 12y + 13 = 0 Y 12x2 +

12y2 - 48x + 36y + 55 = 0 son concéntricas.7. Demostrar que las circunferencias x2+y2+4x+6y-23 = 0 y x2 + y2 - 8x -

10y + 25 = 0 son tangentes.



8. Demostrar, que las circunferencias x2 + y2 + 2x - 8y + 13 = 0 y 4x2 + 4y2 -40x + 8y + 79 = 0 no se cortan,

En cada uno de los ejercicios 9-11, determinar la ecuación, centro y radio dela circunferencia que pasa por los tres puntos dados, usando el método del9. (0; 0), (3; 6), (7; 0).10. (2; - 2), (-1; 4). (4; 6).11. (4; -1). (0; -7), (-2; -3).12. Demostrar que los cuatro puntos (-1; -1), (2; 8), (5; 7), (7; 3) son

concíclicos.13. Las ecuaciones de dos circunferencias diferentes son x2 + y2 + D1 x + E1 y

+ F1 =0 y x2 + y2 + D2x + E2y + F2 = 0. Hallar las condiciones que debensatisfacer los coeficientes para que sean concéntricas.

14. La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 - 16x + 20y + 25 = 0.Hallar la ecuación de la circunferencia concéntrica que es tangente a larecta 5x - 12y = 1.

15. Hallar la ecuación de la tangente a la circunferencia x2 + y2 + 2x - 2y -39 = 0, en e! punto (4; 5).

16. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto (11; 4) y es tangentea la circunferencia x2 + y2 - 8x - 6y = 0. (Dos soluciones.)

17. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-1; -4),(2; - 1) y cuyo centro está sobre la recta 4x +7y + 5 = 0.

18. Una circunferencia de radio 5 es tangente a la recta 3x - 4y - 1 = 0 en elpunto (3; 2). Hallar su ecuación. (Dos soluciones)

19. Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y2

- 4x + 2y - 47 = 0 en el punto (6; 5). Hallar su ecuación. (Dos soluciones.)20.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (1; 4) y es

tangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 2y + 5 = 0 en el punto (- 2; 1).21. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5; 9) y es

tangente a la recta x + 2y - 3 = 0 en el punto (1; 1).22.Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0; 2). (7; 3). Hállese

su ecuación. (Dos soluciones)23.Demostrar, analíticamente, que cualquier recta que pasa por el punto

(-1; 5) no puede ser tangente a la circunferencia x2 + y2 + 4x - 6y + 6 = 0.Interpretar el resultado geométricamente.

24.Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está sobre la recta7x - 2y - 1 = 0 y que es tangente a cada una de las rectas 5x - 12y + 5 = 0y 4x + 3y - 3 = 0. (Dos soluciones.)

25.Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita en el triángulo cuyoslados son 4x - 3y = 0. 4x + 3y - 8 = 0. y = 0.

26.Una circunferencia que es tangente a un lado de un triángulo y a lasprolongaciones de los otros dos lados se llama exinscrita al triángulo.



Hallar las ecuaciones de las tres circunferencias exinscritas al triángulodel ejercicio 25.

27.Determinar e! valor de la constante k para que la recta 2x + 3y + 1= 0 seatangente a la circunferencia x2 + y2 + 6x + 4y = 0.

28.Hallar las ecuaciones de las rectas que tienen de pendiente 5 y sontangentes a 1a circunferencia x2 + Y2 - 8x + 2y - 9 = 0.

29.Desde el punto A (- 2; - 1) se traza una tangente a la circunferencia x2 +y2 - 6x - 4y - 3 = 0. Si B es el punto de contacto, hallar la longitud de!segmento AB.

30.Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6; 1) y estangente a cada una de las rectas 4x - 3y + 6 = 0. 12x + 5y - 2 = 0. (Dossoluciones)

31. Hallar la ecuación de la circunferencia que p a s a por los puntos (- 3; -1)y (5; 3) y es tangente a la recta x + 2y – 13 = 0. (Dos soluciones)

Familia de circunferencias.La ecuación de una circunferencia que satisface solamente a doscondiciones, contiene una constante arbitraria llamada parámetro. Se diceentonces que tal ecuación representa una familia de circunferencias de unparámetro. Por ejemplo, la familia de todas las circunferencias concéntricascuyo centro común es el punto (1, 2) tiene por ecuación:

(x -1)2 + (y-2)2 = k2

en donde el parámetro k es cualquier número positivoConsideremos ahora el caso importante de la familia de curvas que pasanpor las intersecciones de dos circunferencias dadas. Sean C1 y C2 doscircunferencias diferentes dadas cualesquiera, cuyas ecuaciones son:C1: x2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 = 0, ………………………………………….. (1)C2: x2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 …………………………………………. (2)De (1) y (2) se deduce la ecuaciónx2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 + k(x2 + y2 + D2 x + E2 y + F2) = 0 (3)La ecuación (3) representa una familia de circunferencias todas las cualestienen sus centros en la recta de los centros de C1 y C2.

La cual se satisface por las coordenadas

1 2 1 2D kD E kE,2 k 1 2 k 1

del centro

de cualquier circunferencia definida por (3). Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, la ecuación representa,

para todos los valores de k diferentes de - 1, todas las circunferenciasque pasan por los dos puntos de intersección C1 y C2, con la únicaexcepción de C2 misma.

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, la ecuación representa, para todos losvalores de k diferentes de - 1, todas las circunferencias que son



tangentes a C1 y C2 en su punto común, con la única excepción de C2

misma. Si C1 y C2 no tienen ningún punto común la ecuación representa una

circunferencia para cada valor de k diferente de - 1, siempre que laecuación resultante tenga coeficientes que satisfagan las condicionesespecificadas (D2 + E2 – 4F > 0). Ningún par de circunferencias de lafamilia tiene un punto común con ninguna de las dos circunferencias C1 yC2.

Ejemplo:Las ecuaciones de dos circunferencias son:C1: x2 + y2 + 7x - 10y + 31 = 0,C2: x2 + y2 - x - 6y + 3 = 0Hallar la ecuación C3 que pasa por las intersecciones de C1 y C2 y tiene sucentro sobre la recta l : x –y -2 = 0Solución:x2 + y2 + 7x - 10y + 31 + k(x2 + y2 - x - 6y + 3) = 0 ……………….. ( )(k + 1)x2 + (k+1)y2 + (7 - k)x - (10 + 6k)y + (31 + 3k) = 0

2 2 7-k 10+6k 31+3kx +y + x- y+ =0k+1 k+1 k+1

En donde el parámetro k debedeterminarse por la condición deque el centro de C3 está sobre larecta l. El centro de cualquiercircunferencia de la familia ( ) sehalla fácilmente y sus coordenadas

son k 7 3k 5,

2 k 1 k 1

. Como estas

coordenadas deben satisfacer laecuación de l, tenemos

k 7 3k 5 2 0

2 k 1 k 1

De donde 7k3

sustituyendo

este valor de k en ( ) y simplificando, obtenemos para la ecuación C3:x2 + y2 - 7x - 3y - 18 = 0

Eje radical.En el artículo precedente hemos considerado dos circunferenciasdiferentes, C1 y C2, de ecuacionesC1: x2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 = 0, ………………………………………….. (1)C2: x2 + y2 + D2 x + E2 y + F2 = 0 …………………………………………… (2)



A partir de estas ecuaciones formamos la ecuaciónx2+ y2 + D1 x + E1 y + F1 + k(x2 + y2 + D2 x + E2 y + F2) = 0 (3)y la discutimos como ecuación de una familia de circunferencias para todoslos valores de k, excepto - 1. Si k = - 1, la ecuación (3) toma la forma(D1 - D2) x + (E1 - E2) y + F1 - F2 = 0……………………. (4)Si C1 y C2, no son concéntricas, se verificará D1 D2 o E1 E2 o ambas, demanera que por lo menos uno de los coeficientes de x e y en (4) serádiferente de cero, y la ecuación (4) representa entonces una línea rectallamada eje radical de C1 y C2. Si C1 y C2 se cortan en dos puntos diferentes, se sigue, de la discusión

de la familia de circunferencia, que el eje radical pasa por estos dospuntos y, por tanto, coincide con su cuerda común.

Si C1 y C2 son tangentes entre sí, su eje radical es la tangente común aambas circunferencias.

Si C1 y C2 no tienen ningún punto común y no son concéntricas, su ejeradical no tiene ningún punto común con ninguna de las doscircunferencias.

El eje radical de dos circunferencias cualesquiera es perpendicular a surecta de los centros.

Ejemplo:Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias:C1: 2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 = 0,C2: x2 + y2 - 8x - 12y + 43 = 0Y demostrar que es perpendicular a su recta de los centros.Solución:

2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 +k(x2 + y2 - 8x - 12y+ 43) = 0;Sea k = -2 2x2 + 2y2 + 10x - 6y + 9 -2(x2 + y2 - 8x - 12y + 43) = 0L: 26x +18y -77 = 0 (ecuación del ejeradical con pendiente: -13/9)Las coordenadas de los centros C1 y C2 se

encuentran fácilmente y son 5 3;2 2

y,

(4; 6) respectivamente, de manera que la

pendiente de la recta de los centros es:36 925 342

, que es negativamente

recíproca de la pendiente del eje radical. Por lo tanto, el eje radical esperpendicular a la recta de los centros.



Teorema: Si t es la longitud de la tangentetrazada del punto exterior P1(x1; y1) a lacircunferencia (x – h)2 + (y – k)2 = r2, entonces:

2 2 21 1t x h y k r

NOTA: evidentemente se pueden trazar dostangentes del punto P1 al círculo, pero suslongitudes son iguales.Ejemplo:Hallar la longitud de la tangentte trazada del

punto (-3, 2) a la circunferencia 9x2 + 9y2 – 30x – 18y – 2 = 0.Solución:Para aplicar la fórmula de la longitud de la circunferencia, es necesariohacer que los los coeficientes de x2 e y2 sea iguales a la unidad. Para ellodividimos por 9, resulta:

x2 + y2 – (10/3)x – 2y – (2/9) = 0sustituyendo x por -3 e y por 2 en primer miembro de esta ecuación,obtenemos:

t2 = (-3)2 + (2)2 – (10/3)(-3) – 2(2) – (2/9)t2 = 169/9

de donde se deduce que la longitud de la tangente es t = 13/3.

Ejercicios domiciliarios:

Dibujar una figura para cada ejercicio.1. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A (-8; 5) y

por las intersecciones de las circunferencias x2 + y2 - 8x – 6y + 17 = 0 yx2 + y2 - 18x - 4y + 67 = 0.

2. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre el eje Xy pasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en elejercicio 1.

3. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro en el eje Y ypasa por las intersecciones de las dos circunferencias dadas en elejercicio 6.

4. Hallar la ecuación de la circunferencia que tiene su centro sobre la recta2x + y - 14 = O y que pasa por las intersecciones de las circunferenciasx2 + y2 - 8x - 4y + 11 = 0 y x2 + y2 - 4x + 4y - 8 = 0.



5. Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 5 22

y que pasa por las

intersecciones de las circunferencias x2 + y2 + 2x - 6y - 16 = 0 y x2 + y2 -6x + 2y = 0. (Dos soluciones.)

6. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por las intersecciones delas circunferencias x2 + y2 - 6x + 4 = 0. x2 + y2 - 2 = 0, y que es tangentea la recta x + 3y - 14 = 0. (Dos soluciones.)

7. Demostrar que las circunferencias C1: x2 + y2 - 3x - 6y + 10 = 0 yC2: x2 + y2 - 5 = 0, son tangentes. Hallar la ecuación de la circunferenciatangente a C1 y C2 en su punto común y que pasa por el punto A (7; 2).Demostrar que el centro de esta circunferencia está sobre la recta delos centros de C1 y C2.

8. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 7en su punto común y cuyo centro está sobre la recta 3x + y + 5 = 0.

9. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 7

en su punto común y cuyo radio es igual a 3 52

(Dos soluciones.)

10. Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a C1 y C2 del ejercicio 7en su punto común y que es tangente a la recta x - 2y - 1 = 0. (Dossoluciones.)

11. Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto A(-10;, -2) ypor las intersecciones de la circunferencia x2 + y2 + 2x - 2y - 32 = 0 y larecta x – y + 4 = 0.

12. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias x2 + y2 - 2x - 10y+ 10 = 0. 4x2 + 4y2 - 32x - 12y + 37 = 0, y demostrar que es perpendiculara su recta de los centros.

13. Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias 9x2 + 9y2 - 54x -48y + 64 = 0, x2 + y2 + 8x - 10y + 37 = 0; y demostrar que esperpendicular a su recta de los centros.

14. Hallar la ecuación y la longitud de la cuerda común de las circunferenciasx2 + y2 - 8y + 6 = 0 y x2 + y2 - 14x - 6y + 38 = 0.

15. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (3; 4) a lacircunferencia 3x2 + 3y2 + 12x + 4y - 35 = 0.

16. Hallar la longitud de la tangente trazada del punto P (- l. 3) a lacircunferencia 3x2 + 3y2 - 14x - 15y + 23 = 0.

17. Hallar las coordenadas del centro radical de las tres circunferenciasx2 + y2 + 2x - 4y - 6 = 0. x2 + y2 - 4x - 2y = 0 y x2 + y2 + 2x + 12y + 36 = 0.

Documents

Circunferencia