1

15 CIRCUITO RLC ESTADO TRANSITORIO

OBJETIVOS

Medir la constante de tiempo de un circuito de un circuito RC, tanto

para valores grandes como pequeños.

Medir indirectamente la carga y la energía almacenadas en un

condensador

Encontrar experimentalmente la respuesta de un circuito RC a una

señal cuadrada, por medio de las señales de salida en el condensador.

Medir la frecuencia de oscilación y el tiempo de relajación de un

circuito RLC en serie, y compararlos con los valores teóricos.

Para un circuito RLC en serie, medir la corriente, la derivada de la

corriente respecto del tiempo y la energía máxima en la bobina

Estudiar el comportamiento de la corriente de un circuito RLC en

serie, en condiciones de subamortiguamiento, sobreamortiguamiento y

amortiguamiento crítico.

Medir la resistencia que corresponde a un amortiguamiento crítico y

compararla con el valor teórico.

MATERIALES

Osciloscopio

Generador de funciones

Tablero electrónico para entrenamiento

Voltímetro

Cronómetro

Tester

Cables

PARTE TEÓRICA

2

En los circuitos en estado estacionario, las fuentes de fuerza electromotriz, ya están

conectadas, y las corrientes y diferencias de potencial en cada uno de sus elementos ya han

alcanzado valores constantes en el tiempo. Esta es la condición de la mayoría de los

circuitos que estudiamos.

Al contrario del estado estacionario, en el estado transitorio, las fuentes de fuerza

electromotriz acaban de conectarse al circuito, o de desconectarse del mismo, por ende,

tanto las corrientes, como las diferencias de potencial en los elementos del circuito, varían

con el tiempo. Cuando las fuentes se conectan, las corrientes y potenciales pasan del valor

cero a sus valores estables. Si las fuentes se desconectan estando ya establecidos

potenciales y corrientes, estos pasarán de sus valores de régimen estable, al valor cero.

CIRCUITO RC

CARGA DE UN CONDENSADOR

Considere el circuito en serie de la figura 1. Supongamos que el condensador está

inicialmente descargado, por lo tanto, no hay corriente mientras el interruptor S está abierto

(Fig. 1a). Cuando S se cierra en el tiempo t = 0, la carga fluye, el condensador comienza a

cargarse a través de la resistencia R, y se produce una corriente en el circuito, la cual se

mantiene hasta que el condensador se carga totalmente (Fig.1b). El valor de la carga

máxima que adquiere el condensador, depende de la fem de la fuente.

Fig. 1 (a) Fig. 1(b)

Aplicando las leyes de Kirchhoff al circuito un instante después de cerrar el interruptor

S tenemos;

0C

qIR (1)

donde IR es la caída de potencial en la resistencia y C

q la caída en el condensador. Como

en t = 0 el condensador no tiene carga q = 0 y la ecuación (1) muestra que el valor de la

corriente inicial I0 es

R

I

0 (2)

Para encontrar la expresión matemática de la corriente en el circuito, y de la carga en

el condensador, ambas en función del tiempo, se debe resolver la ecuación diferencial (1).

Derivando la ecuación (1) respecto del tiempo:

3

01

00

dt

dIR

dt

dq

CIR

C

q

dt

d (3)

tomando en cuenta que dt

dqI la ecuación anterior se puede expresar como;

0C

I

dt

dIR dt

RCI

dI 1 (4)

como R y C son constantes, la ecuación 4 puede integrarse por separación de variables, y

utilizando las condiciones iniciales para t = 0, I = I0

tI

I

dtRCI

dI

0

1

0

RC

t

I

I

0

ln (5)

0ItI e-t/RC (6)

R

tI

e-t/RC (7)

Para determinar la carga en el condensador en función del tiempo se pude sustituir:

I = dq/dt en la ecuación 7, e integrar otra vez.

Rdt

dq e-t/RC

R

dq

e-t/RCdt

dteR

dq

t

RC

tq

00

q(t) = C (1- e-t/RC ) (8)

q(t) = QM(1- e-t/RC ) (9)

donde QM = C es la carga máxima en el condensador.

En las figuras 2 y 3 se muestran las graficas de la corriente en el circuito y de la carga

en el condensador. Se puede ver que la carga para t = 0 es igual a cero y tiende a su valor

máximo C para t . Al contrario, la corriente tiene su valor máximo R

I

0 para

4

t = 0 y decae exponencialmente hasta cero cuando t . La cantidad RC que aparece en

los exponentes se llama constante de tiempo o tiempo de vida media y se denota con la

letra griega:. Esta constante representa el tiempo que tardaría la corriente en decrecer

hasta e

1 de su valor inicial, en efecto:

0II e-1 =

e

I 0 = 0.37 0I

y, en un tiempo t = la carga aumenta desde cero hasta q( ) = QM(1- e-1 ) = 0.63QM

Fig. 2 Fig. 3

DESCARGA DE UN CONDENSADOR

Fig. 4 Fig.5

Consideremos el circuito mostrado en la figura 4, que consta de un condensador

inicialmente cargado con QM, una resistencia R y un interruptor S. Mientras el interruptor

está abierto, la diferencia de potencial a través del condensador es VC = C

QM , y la caída de

potencial en la resistencia es cero, ya que I = 0. Si el interruptor se sierra en t = 0, el

condensador comienza a descargarse a través de la resistencia.

Aplicando las leyes de Kirchhoff durante la descarga del condensador (Fig. 5) se

tiene:

0 IRC

q (10)

5

La corriente en el circuito es igual a la rapidez de decrecimiento de la carga en el

condensador

dt

dqI (11)

y la ecuación 10 se puede escribir como:

dtRCq

dq 1 (12)

Integrando y tomando en cuenta que para t = 0, q = QM se obtiene:

RC

t

Q

qdt

RCq

dq

M

tq

QM

ln

1

0

MQtq e-t/RC (13)

Como dt

dqtI , al sacar la derivada negativa de la ecuación 13 se obtiene la corriente

como función del tiempo.

RC

QtI M e-t/RC

= 0I e-t/RC

tI 0I e-t/ (14a)

donde la corriente inicial es igual a RC

QI M0 . (14b)

La carga en el condensador (Fig. 6) y la corriente en el circuito (Fig. 2) decaen

exponencialmente a una rapidez caracterizada por la constante de tiempo = RC

Fig. 6

6

CIRCUITO LRC

En un circuito LRC en régimen transitorio (Fig. 7), tanto la corriente, como la carga

en el condensador, tienen un comportamiento oscilatorio amortiguado. Esto es debido a que

tiene dos posibilidades de almacenar energía: energía eléctrica en el capacitor y energía

magnética en el inductor. Estando el capacitor cargado, la energía se encuentra almacenada

en el campo eléctrico del condensador, cuando se cierra el interruptor, la descarga del

condensador produce una corriente, y la energía

comienza a almacenarse en el campo magnético,

que se crea en el inductor como efecto de esta

corriente. A su vez, en el inductor se produce una

fem autoinducida la cual produce una corriente en

sentido contrario a la inicial, que a su vez, vuelve a

cargar el condensador, pero ahora, con diferente

polaridad. El condensador vuelve a descargarse y el

proceso se repite. De esta manera la energía oscila

entre el inductor y el capacitor. Fig. 7

En un circuito LC ideal, sin resistencia alguna, estas oscilaciones se mantendrían

eternamente, pero, debido a la resistencia natural de todo circuito (representada en el

circuito con R), las oscilaciones son amortiguadas y la energía decae exponencialmente.

Para comprobar el comportamiento descrito, aplicaremos las leyes de Kirchhoff al

circuito de la figura 7, en el momento en que se cierra el interruptor S, y el condensador

comienza a perder su carga inicial Q0.

Avanzando en sentido contrario a las manecillas del reloj.

0 IRdt

dIL

C

Q (15)

como: dt

dQtI 0

2

2

dt

Qd

dt

dQ

L

R

LC

Q (16)

Para resolver esta ecuación diferencial1, se usa como solución de prueba:

teQtQ t cos0 (17)

Esta función Q(t) tiene una parte que oscila con el tiempo: tcos y otra de

amortiguamiento exponencial: teQ 0

Sustituyendo en la ecuación diferencial (16) las expresiones de Q(t), dt

dQ y

2

2

dt

Qd y

resolviendo se encuentra como solución:

1 Para más detalles consultar la guía; TEORÍA ESTADO TRANSITORIO CIRCUITO RLC

7

teQtQ

t

10 cos (18)

La constante de tiempo del circuito cumple con la relación:

R

L

L

R2

1

2

(19)

Y, la frecuencia de oscilación del circuito 1 está dada por:

2

22

14

1

L

R

LC (20)

que generalmente se escribe de la forma:

2

2

0

2

1

1

(21)

donde 0 es la frecuencia de oscilación del circuito ideal sin resistencia (R = 0), a esta

frecuencia se la conoce como frecuencia de resonancia del circuito.

LC

10 (22)

Como el cuadrado de la frecuencia angular de oscilación 1 es la diferencia de dos

términos, es posible que 2

1 sea positivo, cero o, negativo. Esto depende del valor de

respecto de 0 .

Subamortiguamiento

Si 0 entonces 1 es real, y el circuito oscila con esa frecuencia. En este caso se

dice que el circuito está subamortiguado. Sustituyendo y 0 por las expresiones 24 y 27,

tenemos que la relación 0 es equivalente a:

R C

L2 (23)

8

Sobreamortiguamiento

Si 0 entonces 1 es imaginaria, esto muestra que el circuito no puede efectuar

oscilaciones. En este caso se dice que el circuito está sobreamortiguado. En este caso:

R C

L2 (24)

Amortiguamiento crítico

Ocurre cuando = 0 o lo que es igual, cuando:

R = C

L2 (25)

En este caso 1 = 0 y representa el límite superior de los valores de R, que permiten

oscilaciones en el circuito.

Finalmente; cuando las oscilaciones son permitidas:

teQtQ

t

10 cos (26a)

y el voltaje en el condensador:

teC

QtV

t

C 1

0 cos

teV

t

C 10 cos (26b)

El comportamiento de esta función, así como, las gráficas para los tres grados de

amortiguamiento, se ilustran en las figuras 8 y 9, respectivamente.

Fig. 8

9

Fig. 9

PARTE EXPERIMENTAL

ACTIVIDADES PREVIAS A LA SESIÓN DE PRÁCTICA

1. A partir de la ecuación (13), deducir la expresión del voltaje en el condensador

como función del tiempo, para el proceso de descarga.

2. Explicar las condiciones de subamortiguamiento, sobreamortiguamiento y

amortiguamiento crítico, para el circuito RLC en serie.

ACTIVIDADES A REALIZAR DURANTE LA SESIÓN DE PRÁCTICA

1.- Ensambla el circuito mostrado en la figura 1, en el cual el interruptor, lo simularás conectando y desconectando el cable que conecta el terminal positivo de la fuente.

Fig, 1

En éste circuito el condensador es “electrolítico”, estos condensadores poseen

polaridad, de modo que su terminal positivo debe estar conectado al terminal positivo de la

fuente y el negativo, al negativo de la fuente; de otro modo, puede dañarse

irreversiblemente. R es una resistencia que se elige entre un rango de 1 a 15 K, usa el

valor R = 5 K,. El voltímetro, es un voltímetro analógico de baja resistencia interna, Rv =

9.86 K.

2.- Una vez armado el circuito, pídele a tu profesor que lo revise antes de prender la fuente.

Enciende la fuente, y ajusta el voltaje de manera que el voltímetro marque 10 V

10

Nota: Cada vez que tengas que modificar el circuito, primero debes bajar el voltaje y

apagar la fuente. Esto es con la finalidad de evitar que la fuente se cortocircuite

accidentalmente.

3.- Conectando y desconectando el cable que sale del terminal positivo de la fuente, puedes

inducir la carga y la descarga del condensador.

Para el proceso de descarga, la ecuación (13) muestra que la carga en función del

tiempo está dada por

MQtq e-t/RC (13)

y, por ende, el voltaje en el condensador:

C

QtV M e-t/RC

= MVtV e-t/RC

El tiempo que demora la carga y en consecuencia el voltaje, en llegar a la mitad de su

valor inicial, es conocido por tiempo de semivida t1/2 y está dado por:

RC

t

MM eV

V 2/1

2

RC

t

e2/1

2

1

calculando el logaritmo natural se tiene:

2

1ln

2

1ln 2/12/1 t

RCRC

t

La constante de tiempo del circuito = RC, puedes medirla si conoces el tiempo de

semivida t1/2

2ln

2/1t

Con un cronómetro mide 10 veces el tiempo de semivida y calcula la constante de

tiempo promedio, con su respectivo error estadístico:

Δ 10

3

4.- A partir del valor de , calcula la capacidad del condensador con su error y,

compárala con su valor nominal. Para el valor de la resistencia total R, debes tomar en

cuenta la resistencia del voltímetro RV = 9.86 K y, considerar que la resistencia total está

afectada con un 10% de error.

11

R

C

RRR

RR

CCC

2

5.- Ahora, con la ayuda del Excel encuentra el valor de por cálculo estadístico. Para

esto, mide los tiempos “t” que tarda el condensador en descargarse hasta: 8, 7, 6, 5, 4, 3 y 2

voltios. Cada tiempo debes medirlo 3 veces y sacar un tiempo promedio para cada voltaje.

6.- Grafica el voltaje en función del tiempo (V = f(t)). Haz un gráfico de dispersión

con solamente los puntos, luego, colócale su línea de tendencia exponencial con su

ecuación. Obtendrás una función de la forma:

MVtV e-t/τ

7.- De la ecuación, encuentra y compáralo con el valor calculado previamente.

8.- Repite las partes 3 y 4, esta vez, con un condensador de 10 F y usando el

osciloscopio en la modalidad DC para medir el voltaje (el osciloscopio puedes mantenerlo

encendido el resto de la practica), como se muestra en la figura 2. La resistencia del

osciloscopio es de 1 M, lo suficientemente grade como para dar una constante de tiempo,

también, grande. Considera que la resistencia del osciloscopio está afectada con 0.1% de

error. Usa como entrada del osciloscopio el canal 2.

Fig. 2

9.- Prueba repetir las medidas anteriores con un condensador de 0.1 F. ¿Te das

cuenta que el tiempo de descarga del condensador es muy corto para medirlo con un

cronómetro?

Cuando el tiempo de vida media es muy corto, no puedes medirlo con un cronómetro,

necesitas hacer que el fenómeno se repita periódicamente para “detenerlo” con el

osciloscopio, sincronizando el barrido de éste con la periodicidad del fenómeno.

Para que la carga y descarga del condensador se repita periódicamente, se tiene que

alimentar el circuito con una señal cuadrada. Esta señal, que carga y descarga el

condensador periódicamente, es proporcionada por un generador de funciones.

12

Fig. 3

Instala el circuito mostrado en la figura 3, y varía la frecuencia del generador hasta

que la señal del condensador tenga la forma mostrada en la figura 4. Mide el tiempo de

semivida t1/2 (t1/2 = ∆t) en la pantalla del osciloscopio (Fig. 4), determina la constante de

tiempo y compárala con el valor teórico calculado con los valores de los elementos del

circuito.

Fig. 4

10.- Calcula la carga máxima Qo y la energía máxima Uo almacenadas en el

condensador.

00 CVQ 2

002

1CVU

11.- Instala el circuito mostrado en la figura 5, para estudiar las oscilaciones

amortiguadas del voltaje y la carga en el condensador.

12.- Mide la frecuencia de oscilación 1 y la constante de tiempo

Fig. 5

En la parte teórica, se dedujo que para un circuito RLC en estado transitorio, el voltaje en el condensador durante la descarga, está dado por la expresión:

13

teVtV

t

10 cos

Por lo tanto, para dos valores del voltaje V(t1) y V(t2) separados en el tiempo un período de

oscilación: Ttt 12 se tiene:

1101 cos1

teVtV

t

y

2102 cos2

teVtV

t

Y como estos voltajes difieren en un período de oscilación, se tiene que los ángulos de fase

deben ser iguales:

11cos t = 21cos t en consecuencia

T

ett

tV

tV

12

2

1 exp y

2

1lntV

tV

T

En consecuencia, el tiempo de vida media lo puedes medir, midiendo los voltajes máximos

de dos oscilaciones consecutivas, y el período T de oscilación (Fig. 6).

Por medio del periodo T también se puede conocer la frecuencia angular de oscilación 1

1 = T

2

Mide 1 vez tanto como 1 y compáralos con los valores calculados a partir de los

elementos del circuito. No olvides incluir las resistencias de la bobina y del generador

En la parte teórica se demostró que:

1 2

2

4

1

L

R

LC y

R

L2

.

Fig. 6

14

12.- Instala el circuito mostrado en la figura 6.

Variando la resistencia del potenciómetro, encuentra el caso de amortiguamiento

crítico, y mide la resistencia crítica Rc (previamente, tienes que aislarla del circuito, sin

alterar su valor) y compárala con el valor teórico:

C

LRC 2

14.- Vuelve a conectar el potenciómetro y variando su resistencia, desde el valor

mínimo, hasta el valor máximo, observa el sobreamortiguamiento, y el

subamortiguamiento (ver figura 13 de la teoría). Explica el comportamiento de la señal en

cada caso.

Fig. 6

15.- Apaga la fuente, el tester y el osciloscopio, desconecta los cables y colócalos en

el lugar donde los encontraste.

16.-Procesa tus datos e imprime tu informe