Il circuito RLC serieoberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2017/...Il circuito RLC serie • Se si aggiunge un induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie

Il circuito RLC serie• Se si aggiunge un

induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie.

• Sia L l’ induttanza (coefficiente di autoinduzione) dell’ induttore

• Proviamo a risolvere il circuito (cioe’ a trovare la corrente che lo attraversa) quando è eccitato da una sorgente sinusoidale.

R

C

L

)cos( Vo tVV

Il circuito RLC serie• Per la seconda legge di

Kirkhoff:

• Per l’ induttanza abbiamo considerato la forza elettromotrice autoindotta –LdI/dt e l’ abbiamo spostata a secondo membro cambiandola di segno.

• Derivando rispetto a t:

R

C

L

CQRI

dtdILV

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

Il circuito RLC serie

• E’ una eq. differenziale lineare del secondo ordine non omogenea. La soluzione è la somma dell’ integrale generale dell’ omogenea più un integrale particolare della disomogenea.

• Fisicamente la soluzione dell’ omogenea corrisponde al comportamento transitorio iniziale; a regime vale l’ integrale particolare.

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

02

2

CI

dtdIR

dtIdL Omogenea associata


• La soluzione dell’ omogenea è del tipo

• Con I1 e I2 costanti da determinare dalle condizioni iniziali e k1 e k2 soluzioni dell’ equazione caratteristica:

• quindi

02

2

CI

dtdIR

dtIdL

tktk eIeItI 2121)(

LCLR

LRk

CRkLk

142

01

2

2

2,1

2


LCLR

LCLR

LCLR

eIeItI

LCLRb

LRa

tbatba

14

14

14

sia che seconda aaimmaginari o nulla reale, essere può b quantità la

)( trovasi

14

2

ponendo

2

2

2

2

2

2

)(2

)(1

2

2

Caso 1, b reale

Caso 2, b nullo

Caso 3, b immaginario


:atosovrasmorz caso

negativi. ambedue sono esponenti gli 14

se

)(e

14

2

2

2

)(2

)(1

2

2

LCLR

eIeItI

LCLRb

LRa

tbatba

I

t

}{2

)(

a arriva si LC1 ponendo e

2

....2

0 tponendo e 1la derivando quindi, trovasi

0)0(

)0( e)()0(0:)1

0)0(:inizialicondizioni le Imponendo

2

o1

1

21210)(

20)(

1

btbtatoo

o

o

o

oo

o

baba

eeeb

qtI

LCbqI

bIdtdI

Cq

dtdIL

Cq

dtdILRI

qqIIIIeIeItII

I

Quindi nel caso sovrasmorzato si ottiene il seguente andamento

I

t

}{2

)(2

btbtatoo eeeb

qtI

Caso criticamente smorzato

21

21

2

2

2

2

I e I trovanosi iniziali condizioni le imponendo nuovo, Di)()( tipodel e' soluzione la

0 smorzato) tecriticamen (caso 14

se

14

2

atetIItI

bLCL

RLCL

RbL

Ra

I

t

atoo

oo

teqtI

LCqI

LCq

dtdI

II

2

20

1

)(

00)0(


:smorzato iooscillator caso)(

e' soluzione la 14

se

)(e

14

2

)(2

)(1

2

2

)(2

)(1

2

2

tjtj

tbatba

eIeItILCL

R

eIeItI

LCLRb

LRa

I

t

)()(

2)(

41

2

2

2

2

2

tseneqtI

eeeqjtI

LR

LCLR

too

ttjtjoo


I

t

• L’ ampiezza delle oscillazioni diminuisce perchè l’ energia inizialmente disponibile come campo elettrico nel condensatore viene via via dissipata per effetto Joule nella resistenza.

• Le oscillazioni dipendono dal fatto che l’ energia viene rimbalzata continuamente tra condensatore (campo elettrico) e induttore (campo magnetico)


I

t

• Consideriamo il caso oscillatorio smorzato.• Se R fosse nulla avremmo =R/2L=0 e quindi

• Le oscillazioni in tal caso non sarebbero smorzate

)()(

)()(

2

2

tsenqtI

tseneqtI

oo

too

C

L


I

t

• In assenza di fenomeni dissipativi, e trascurando l’ energia irraggiata, l’ energia immagazzinata nel circuito dovrebbe rimanere costante. Vediamo se è vero.

?)0(21

21)()()(

2/1

2/2/121)0(

22

2

22

2

ELICVtEtEtE

LIILdIWdtE

CVCQqdqC

E

CqEE

LCCL

L

c

o

221

22212

21

22212222

212

21

2

sin

coscos

cos0

)(

oLC

ooL

oooocC

CoooCC

oooo

LIEE

tLILIE

tLItICLCVE

VtLIVdtdILV

dtdILRI

tsenItsenqtI

o

CL CL

Massima corrente Massima tensione

B E

Costante !


• Cosa succede a regime (se V è sinusoidale) ?• Si cerca un integrale particolare:

CI

dtdIR

dtIdL

dtdV

2

2

oj

o

tjo

tjo

tjo

tjo

IC

LjReV

eIC

RjLeVj

eII

eVV

IV

IV

I

V

1

1

)(

)(2)(

)(

)(

A questa equazionesi poteva arrivare subito dalla leggedi Ohm generalizzata.

RC

L

CLR

VZVI

ZIeV

CLjRZ

IC

LjReV

ooo

oj

o

IV

oj

oIV

1

arctan

1

ottiene si

1

)(ponendo

1

22

)(

risonanza. di condizione 0. a vasfasamento lo e R) a pari (e

reale diventa impedenza l' /1 se

1

arctan

1 22

LC

RC

L

CLR

VZVI

ZIeV

o

ooo

oj

o

1

/

1

:riscrivere può si e /)/1(/

circuito delqualitàdifattore il definisce si

2222

22

o

oo

oo

ooo

oo

Q

RVI

CLR

VZVI

CLRRLQ


oj

o IC

LjReV IV

1)(

R

C

L

qualità di fattore il è / dove

1

/

1

2222

22

RLQ

Q

RVC

LR

VZVI

oo

o

oo

o

ooo


• Il circuito presenta un massimo di risposta (corrente massima) per o.0 1 o

I

LC1 o

1

/222

2

o

oo

ooo

Q

RVZVI


• A seconda di Qo (fattore di qualità) la curva di risposta è più o meno piccata.

0 1 o

I

1

/222

2

o

oo

ooo

Q

RVZVI

/ RLQ oo

LC1 o

Qo altoQo basso


R

C

L

Vgen

Vout=RI

• In questa configurazione il circuito agisce come un filtro passa banda.

• Solo le frequenze intorno ad oproducono un segnale in uscita.

• Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.

• Viene utilizzato ad es. per sintonizzare una radio su una frequenza ben precisa, eliminando le altre.

Il circuito RLC serie• La larghezza di

banda del filtro è la distanza tra i due punti della risposta in frequenza in cui la risposta è 1/sqrt(2) del massimo.

• E’ strettamente legata a Qo.

0 1 o

I

/ RLQ oo

LC1 o

0.707

1


0 1

1

quando 2/1 vale

1

1/

2222

2222

2222

oo

o

oo

o

o

oo

o

oo

gen

o

QQ

Q

QRV

I


LR

Q

QQ

QQ

QQ

o

o

o

oooo

o

oooo

oooo

12

222

1,2

222

22

cui da2

4

sono positive soluzioni due le e2

4

è soluzione la0

La larghezza di banda è inversamente proporzionale al fattore di qualità Qo . Il filtro è tanto più selettivo quanto più alto è Qo.

CL

RRLQ oo

1

1 LCo

• La resistenza minima del circuito è quella dell’ avvolgimento con cui si realizza l’ induttanza.

• Con induttanze commerciali di ottima qualità si ottengono fattori di qualità dell’ ordine di 100, e quindi bande passanti dell’ ordine di 1/100 della frequenza centrale.

• Solo usando superconduttori si possono ottenere Q>>100.


CL

RRLQ oo

1

1 LCo

LR

Qo

o 12

ff

RLQ oo

oo

Nota: Misura di Qo• Il Qo che abbiamo definito si riferisce all’

espressione della corrente nel circuito.• La R che compare nell’ espressione di Qo è la

resistenza totale del circuito, somma di– Resistenza interna del generatore– Resistenza interna dell’ induttore– Resistenza reale

• La corrente che scorre nel circuito può essere valutata misurando V ai capi della resistenza reale e dividendo per il valore della resistenza reale.

• Da una curva di I in funzione della frequenza si valuta Qo=fo/f

Nota: Misura di Qo

• In un circuito reale solo Vin e Vout sono misurabili, Vgen non lo è (almeno non direttamente).

R

C

L

Vgen

Vout=RI

RLRG

Vin

GENERATORE INDUTTORE

R

C

L

Vgen

Vout=RI

RLRG

Vin

CLjRR

RVV

CLjRRR

VI

RV

Lin

out

LG

geno

out

1

1Qo si valutada questa

non da questa !

GENERATORE

INDUTTORE

Nota2: se si vuole misurare RL

• Dalle misure di I si valuta Qo=fo/f e da questo la somma di RL+RG+R, da cui per sottrazione RL (sapendo le altre due)

• Oppure, meglio• Dalle misure di Vout/Vin alla risonanza:

1

RISout

inL

LRISin

out

VVRR

RRR

VV

Lo sfasamento)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:

• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale e’ la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.

• I tre vettori sono lunghi rispettivamente

• IoR, IoL, Io/CRIo

LIo

C)Io

Im

Re

to=-

Il circuito RLC serie)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo le tensioni ai capi di ciascun componente:

• I tre termini nell’ equazione sopra sono delle tensioni, la cui parte reale è la proiezione del fasore rappresentativo sull’ asse reale del piano complesso.

• I tre vettori sono lunghi rispettivamente

• IoR, IoL, Io/C• Al passare del tempo ruotano

mantenendo le stesse fasi relative

RIoLIo

C)Io

)( It

Im

Re

t generico


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• La composizione dei vettori si può fare sommando prima i contributi di L e C:

RIoLIoC)Io )( It

Im

Re

t generico


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• E poi trovando la risultante, che deve essere proprio la tensione (complessa) del generatore.

• Se L>C) , la corrente è in ritardo rispetto alla tensione del generatore

RIo

LIoC)Io

)(, Vt Im

Re

)( It

Vo


otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• E poi trovando la risultante, cioè la tensione (complessa) del generatore.

• Se L<C) , la corrente è in anticipo rispetto alla tensione

RIo

LIoC)Io

)(, Vt

Im

Re

)( It

Vo

circuito RLC serie

0 1 o

I

0 1

V-I

RC

LIV

1

arctan

tensionealla rispetto ritardoin corrente

001 tensionealla rispetto anticipoin corrente

001

IVo

IVo

CL

CL

Sfasamento tra tensione e corrente:

Extratensioni)(1 Itj

otj

o eIC

LjReV

R

C

L

• Vediamo i moduli delle tensioni ai capi di ciascun componente reattivo:

CLjR

VLjIZV

CLjR

VCjIZV

oLL

o

CC

1

1

1

22

22

1

1

1

CLR

LVV

CLR

CVV

o

L

o

C

Il circuito RLC serieR

C

L

22

22

1

1

1

CLR

LVV

CLR

CVV

o

L

o

C

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

Extratensioni

oo

o

L

o

L

ooo

C

o

C

QCL

RRL

VV

CLR

LVV

QCL

RCRVV

CLR

CVV

1

1

11

1

1

22

22

• Notare che, alla risonanza :

cioè la tensione ai capi di C e L è maggiore di quella di ingresso, di un fattore pari a Qo.

• Va anche notato che, seppure le due tensioni su L e su C siano grandi, hanno fase opposta, e quindi si elidono istante per istante, e non fanno scorrere alcuna corrente, né nel resistore né nel generatore.


C

L

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

EXTRATENSIONI:La tensione massima, però, si ha per una frequenza leggermente diversa da quella di risonanza.


C

L

1 1

1 1 oo0 000

VC/Vo

VL/Vo

Q2>1/2 Q2<1/2

VC/Vo VL/Vo

Si può dimostrare che nei due casi

oC

oL

LR

LCV

RCLC

V

2

max

2max

211)(

2

1)(

Documents

Il circuito RLC serieoberon.roma1.infn.it/laboratorioelettromagnetismo/2017/...Il circuito RLC serie • Se si aggiunge un induttore al circuito RC si ottiene un circuito RLC serie