Ciljno Programiranje

5/7/2018 Ciljno Programiranje - slidepdf.com

http://slidepdf.com/reader/full/ciljno-programiranje 1/61

Ciljno ProgramiranjeGoal Programming

1



Ciljno Programiranje• LP problemi imaju ‘hard constraints’ koja ne

mogu biti narušena i često su veoma restriktivnaza model.

– Postoji 36 radnih sati varioca na raspolaganju – Na raspolaganju je 300000 KM za projekat

• Možemo koristiti tzv. ‘soft constraints’ zaograničenja ili ciljeve koje želimo ostvariti.

2



Ciljno programiranje

• U praksi organizacije često imaju više od jednogcilja koji ne moraju biti vezani za profit ili trošak.

• Preduzeće može imati više ciljeva i više kriterija

(multiple criteria) prilikom donošenja odlukaumjesto samo jednog cilja u funkciji cilja.

• Ciljno programiranje je je jedna od tehnika

kojom razmatramo više od jednog cilja u jednojfunkciji cilja.

3



Ciljno programiranje

• Linearno ciljno programiranje

• Cjelobrojno ciljno programiranje• Nelinearno ciljno programiranje

• Varijable odlučivanja

• Funkcija cilja• Ograničenja

• Ciljevi 4



Primjer

Kompanija proizvodi dva proizvoda: specijalne lustere i plafonske ventilatore.Oba proizvoda zahtijevaju dvo-fazni proizvodni proces koji se sastoji od izrade

armature za lustere i montaže. Za izradu armature za luster treba oko 2 sata,odnosno 3 sata za ventilator. Montaža traje 6 sati za luster, odnosno 5 sati zaventilator. Proizvodni kapaciteti su takvi da je na raspolaganju samo 12 sati zaizradu armature,odnosno 30 sati za montažu. Kompanija ima dobit od $70 zasvaki luster,odnosno $60 za ventilator. Potrebno je koristeći LP model odreditiproizvodni program koji maksimizira profit kompanije.

5

MAX 70X1 + 60 X2

s.t.2X1 + 3 X2 ≤ 12

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1, X2 ≥ 0

X1 – broj proizvedenih lustera

X2 – broj proizvedenihventilatora

LP solution: X1 = 3.75, X2 = 1.5

profit = $352.5



Primjer - nastavak

Pretpostavimo da kompanija seli na novu lokaciju i u cilju održanja kvaliteta želida smanji proizvodnju postavljajući za cilj da profit bude tačno $300.

GP modeld1− , d1+ - varijable devijacije

d1− - ‘underachievement’

d1+ - ‘overachievement’

MIN d1− + d1+

s.t.

70X1 + 60X2 + d1− - d1+ = 300

2X1 + 3 X2 ≤ 12

6X1 + 5X2 ≤ 30

X1, X2, d1−, d1+ ≥ 0

Varijable devijacije predstavljaju:

profit manji od $300 (d1− )

profit veći od $300 (d1+)6



Primjer - nastavak

7



Primjer - nastavak

8



9

Primjer - nastavak



10

Primjer - nastavak



11

Primjer - nastavak



12

Primjer - nastavak



13

Primjer - nastavak



Primjer - nastavak

Pretpostavimo da kompanija umjesto jednog cilja (maksimalnog profita) ima višeciljeva jednakih prioriteta.

1. cilj: poželjno je proizvesti profit što veći od $300

2. cilj: poželjno je da slobodni sati na izradi armatura budu svipotrošeni

3. cilj: poželjno je da se izbjegne prekovremeni rad u

odjeljenju montaže

4. cilj: da bi ispoštovali ugovor o isporuci poželjno je da seproizvede najmanje od 7 ventilatora.

14



Primjer - nastavakModeliranje prvog cilja

1. cilj: proizvesti profit što veći od $300

70X1 + 60X2 + d1− - d1+ = 300 → minimizirati d1−

2. cilj: poželjno je da slobodni sati na izradi armatura budu svi

potrošeni

2X1 + 3 X2 + d2−

- d2+

= 12 → minimizirati d2−

3. cilj: poželjno je da se izbjegne prekovremeni rad u

odjeljenju montaže

6X1 + 5X2 + d3− - d3+ = 30 → minimizirati d3+

4. cilj: da bi ispoštovali ugovor o isporuci poželjno je da se

proizvede ne manje od 7 ventilatora.X2 + d4− - d4+ = 7 → minimizirati d4− 15



Primjer - nastavak

GP model

MIN d1− + d2− + d3+ + d4−

subject to

70X1 + 60X2 + d1− - d1+ = 300 (ograničenje profita)

2X1 + 3 X2 + d2− - d2+ = 12 (ograničenje armatura)

6X1 + 5X2 + d3− - d3+ = 30 (ograničenje montaže)

X2 + d4− - d4+ = 7 (ograničenje broja ventilatora)

Xi , d

i ≥ 0

16



17

Primjer – (nastavak)



18




19




20




21




GP sa težinskim funkcijama ciljevaPretpostavimo da kompaniji ima sljedeće ciljeve: 1. cilj: proizvesti profit što veći

od $300, 2. cilj: poželjno je da slobdni sati na izradi armatura budu svi potrošeni,3. cilj: poželjno je da se izbjegne prekovremeni rad u odjeljenju montaže, 4. cilj:da bi ispoštovali ugovor o isporuci poželjno je da se proizvede ne manje od 7ventilatora, ali kompaniji nisu svi ciljevi podjednako važni.

Neka je za kompaniju cilj 4 najmanje važan. Menadžment je takođe odlučio da jecilj 3 dva puta važniji od cilja 4, cilj 2 je četiri puta važniji od cilja 4, i cilj 1 je 6puta vežniji od cilja 4.

U ovom slučaju funkcija cilja ima sljedeći oblik:

MIN 6d1−

+ 4d2−

+ 2d3+

+ d4−

22



23

GP sa težinskim funkcijama ciljeva

Svi prioriteti jednaki

Težinske funkcije različite



GP sa prioritetima ciljevaPretpostavimo da kompaniji ima sljedeće ciljeve: 1. cilj: proizvesti profit što veći

od $300, 2. cilj: poželjno je da slobdni sati na izradi armatura budu svi potrošeni,3. cilj: poželjno je da se izbjegne prekovremeni rad u odjeljenju montaže, 4. cilj:da bi ispoštovali ugovor o isporuci poželjno je da se proizvede ne manje od 7ventilatora, ali da kompaniji nisu svi ciljevi podjednako važni.

Neka je za kompaniju cilj 1 beskonačno mnogo važnjii od cilja 2, a cilj 2 jebeskonačno mnogo važniji od cilja3, odnosno cilj 3 je beskonačno mnogo važnijiod cilja 4.

U ovom slučaju funkcija cilja se simbolički piše u obliku:

MIN P1d1− + P2d2− + P3d3+ + P4d4−

Gdje Pi

ne učestvuju u aritmetičkim operacijama već služe samo kao simbol koji

dodjeljuje prioritete pojedinim ciljevima.24



25

GP sa prioritetima ciljeva



Obratiti pažnju na terminologiju

4. cilj: da bi ispoštovali ugovor o isporuci poželjno je da se proizvede ne manjeod 7 ventilatora.

X2 + d4− - d4+ = 7 ‘soft constrain’

U terminologiji na engleskom jeziku riječ ‘at least’ u GP problemu predstavlja‘soft constraint’.

X2 ≥ 7 ‘hard constraint’

26



Primjer

• Jedna firma proizvodi glinene zdjele i vr čeve. Dva

glavna resursa firme su zaposlenici vješti uobavljanju posla i specijalna grnčarska glina.

Proizvod

Radna snaga

(sati/jedinici)

Glina

(kg/jedinici)

Profit

(KM/jedinici)

Zdjela 1 4 40

Vr č 2 3 50

Zahtjevi resursa

Na raspolaganju je 40 radnih sati zaposlenikadnevno i 120 kg gline dnevno. 27



Primjer - nastavak

0,

glinekg12034dnevnosatiradnih402

:aogranicenj

ih vrceva proizveden brojzdjelaih proizveden broj

vrcu jednom po profitKM50

zdjeli jednoj po profitKM40 jegdje

5040atimaksimizir

:modelLP

21

21

21

2

1

21

≥

≤+

≤+

=

=

+=

x x

x x

x x

x

x

x x Z

Standardni LP modelsa jednim ciljem:maksimizirati profit

28



Primjer - nastavak

• Pretpostavimo da firma ima više ciljeva i da suoni pobrojani po važnosti:

1. Firma ne želi da koristi manje od 40 radnih satizaposlenih dnevno (neiskorištenost radne snage)da bi izbjegla slanje radnika na “čekanje”.

2. Firma želi da dostigne zadovoljavajući profit od1.600 KM dnevno.

3. Zbog toga što se glina mora čuvati na specijalnimmjestima kako ne bi presušila, firma želi da ima

dnevnu zalihu ne više od 120 kg .4. Firma želi da minimizira prekovremeni rad zbogtoga što prekovremeni rad rezultira visokimtroškovima za firmu.

29



Cilj: radna snaga

devijacijevarijable

)cilj( 40

=

=−++

+−

+−

11

1121

,

2

d d

d d x x

Varijable devijacije predstavljaju:broj radnih sati manji od 40 ( ) – neiskorištenost (radne snage)

broj radnih sati veći od 40 ( ) – prekovremeni rad

−

1d +

1d

30



Cilj: radna snaga

• Npr. ako je:

tada je broj radnih sati:Supstituirajući ove vrijednosti u jednačinuciljnog organičenja dobije se:

vrceva10izdjela5 21 == x x

satiradnih252 21=+ x x

4040 4001525 4025

:sedobije40),odmanje25 je jer radanog prekovreme bilonijeda je(jasno

sati0isati15

: jedauvedemoakoStoga25).-(40sati15enaneiskorist jesnagaradna

i, proizvodnjuoiskoristensati25samo jestorazlogaIz

4025

40)10(2)5(

11

11

11

11

=⇒=++⇒=−+

==

=−+

=−++

+−

+−

+−

+−

d d

d d

d d

d d

31



Pravilo

• Pravilo:

– Barem jedna ili obje varijable devijacije u ciljnomprogramiranju moraju biti nula.

– U našem primjeru:• Ako se tačno iskoristi 40 sati u proizvodnji tada su obje

varijable devijacije jednake nula.

• Nemoguće je da se istovremeno iskoristi manje od 40 radnihsati i više od 40 sati. Ili postoji neiskorištenost ili

prekovremeni rad, a nikako obadvoje zajedno. Što znači daobje varijable devijacije ne mogu u isto vrijeme biti različiteod nule.

32



Cilj: radna snaga

33

• Sljedeće što treba uraditi je formulirati navedeni cilj dase ne koristi manje od 40 radnih sati, odnosno definirati

funkciju cilja

• gdje je:

• Cilj nam je da minimiziramo , neiskorištenost radnesnage kao prioritet broj jedan, prije razmatranja bilokojeg drugog cilja.

• Ako je nula, onda nećemo imati iskorištenost radnesnage manju od 40 radnih sati.

−

11timinimizira d P

enostineiskoristdevijacijevarijabla

timinimizira je1Prioritet

=

=

−

−

1

11

d

d P

−

1d

−

1d



Cilj: radna snaga

• Četvrti cilj po prioritetu je takodjer vezan zaradnu snagu.

4. Firma želi da minimizira prekovremeni rad zbog togašto prekovremeni rad rezultira visokim troškovima zafirmu.

• Prekovremeni rad je definiran varijablomdevijacije .

• Dakle, četvrti prioritet je da minimiziramoprekovremeni rad .

+

1d

+

1d

34



Cilj: radna snaga

• Funkcija cilja postaje:

• Ako je jednako nula onda nema

prekovremenog rada.• U rješavanju modela, razmatranje ovog,četvrtog po prioritetu cilja, neće biti urađeno

dok se prethodno ne razmatraju ciljevi broj jedan, dva i tri.

+−

+ 1411 d Pd Ptiminimizira

35



Cilj - Profit

• Drugi cilj u našem modelu programiranja je dase dostigne dnevni profit od 1.600 KM.

• Podsjetimo se da je u linearnom programiranjufunkcija cilja bila definirana kao:

• Potrebno je reformulirati funkciju cilja kao ciljnoograničenje:

21 5040 x x Z +=

600.15040 2221 =−+++−

d d x x

1.600odi profit vec jekolikozaKMiznos

1.600odmanji profit jekolikozaKMiznos

2

2

=

=

+

−

d

d

36



Cilj - Profit

• Dakle, treći cilj je da dostignemo profit u iznosuod 1.600 KM odnosno da minimiziramo

• Funkcija cilja postaje

• Potrebno je uočiti da minimiziramo , a ne , jer će firma, naravno, prihvatiti da ima veći

profit od 1.600 KM• Dakle ne želimo da minimiziramo višak profita

i to nam nije ograničenje

−

2d

+−−++ 142211 d Pd Pd Ptiminimizira

−

2d +

2d

+

2d

37



Cilj - materijal

• Treći cilj firme je da izbjegne da na dnevnojzalihi ima više od 120 kg gline.

• Ciljno ograničenje je

postajeciljaFunkcijakg120odzalihuvecuimadaizbjegnedazeliPreduzece

kg120odvecazalihidnevnojnakguglinekolicina

kg120odmanjazalihidnevnojnakguglinekolicina

kg12034

3

3

3321

=

=

=−++

+

−

+−

d

d

d d x x

++−−+++

14332211d Pd Pd Pd Ptiminimizira

38

C



Cilj - materijal

• Član u funkciji cilja pokazuje dapreduzeće želi da izbjegne da ima veću zalihuod 120 kg gline dnevno i da želi da minimizira

odnosno ako je moguće da bude jednak

nula.• označava da je to cilj firme kao prioritet broj

3 (na trećem mjestu).

+

33d P

+

3d

+

3d

3P

39

M d l ilj i j



Model ciljnog programiranja

• Kompletan model ciljnog programiranja je:

uz uvjete:

++−−

+++ 14332211 d Pd Pd Pd Ptiminimizira

0,,,,,,,

12034

600.15040

402

33221121

3321

2221

1121

≥

=−++

=−++

=−++

+−+−+−

+−

+−

+−

d d d d d d x x

d d x x

d d x x

d d x x

40

M d l ilj i j



Model ciljnog programiranja

• Bazična razlika između ovog modela i standardnog LPmodela je u tome što aritmetička operacija sabiranja

članova funkcije cilja kod GP nema mnogo smisla jer:

• Funkcija cilja u ciljnom programiranju specificira samoda devijacija od ciljeva (predstavljenih u funkciji cilja)bude minimizirana individualnoindividualno po prioritetu.

kguglinekolicinua predstavljKMunovaca predstavlj

satea predstavlj,

3

2

11

−

−

−

+

−

+−

d

d

d d

41

G fičk j š j



Grafičko rješenje

• Kompletan model ciljnog programiranja je:

uz uvjete:

++−−

14332211 ,,timinimizira d Pd Pd Pd P

0,,,,,,,

12034

600.15040

402

33221121

3321

2221

1121

≥

=−++

=−++

=−++

+−+−+−

+−

+−

+−

d d d d d d x x

d d x x

d d x x

d d x x

42

G fičk j š j



Grafičko rješenje

Pravilo:

1. Da bismo grafički predstavili GP model,varijable devijacije u svakom ograničenjucilja izjednačimo sa nulom.

2. Zatim nacrtamo graf svake jednačine

43

sateapredstavlj−+−

dd



Ciljna ogranicenja

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1 broj proizvedenih zdjela

x 2

b r o j p r o i z v e d e n i h

v r c e v a

402 21 =+ x x

12034 21 =+ x x

16005040 21 =+ x x

kguglinekolicinua predstavlj

KMunovaca predstavlj

satea predstavlj,

3

2

11

−

−

+

−

d

d

d d

44

sateapredstavlj, 11 −+−

dd



45

Prioritet broj 1

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x 2

+

1d

−

1d

Osjenčena površina kao polje mogućih rješenja.Osjenčena površina kao polje mogućih rješenja. Želimo daŽelimo da

minimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničenminimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničen ja. ja.Polje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena poPolje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena površina)vršina)

−

1d



satea predstavlj,

3

2

11

−

−

+

−

d

d

d d

402 21 =+ x x

sateapredstavlj, 11 −+−

dd



46

Prioritet broj 2

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x 2

+

1d

−

1d


minimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničenminimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničen ja. ja.Polje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena poPolje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena površina)vršina)

−

2d



p j,

3

2

11

−

−

+

−

d

d

dd

16005040 21 =+ x x

+

2

d −

2d

P i it t b j 3

satea predstavlj, 11 −+−

d d



47

Prioritet broj 3

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x 2

+

1d

−

1d


minimiziramo pa eliminiramo površinu iznad linije ograničenminimiziramo pa eliminiramo površinu iznad linije ograničen ja. ja.Polje mogućih rješenja je ispod linije ograničenja (osjenčena poPolje mogućih rješenja je ispod linije ograničenja (osjenčena površina)vršina)

+

3d

+

2

d −

2d



p j,

3

2

11

−

−

+

−

d

d

+

3d −

3d

12034 21 =+ x x

Cilj i jsatea predstavlj, 11 −

+−d d



Ciljna ogranicenja

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45


x 2


v r c e v a

402 21 =+ x x

12034 21 =+ x x

16005040 21 =+ x x+

1d

−

1d

+

2d

−

2d

+

3d −

3d

B

CC

A



p j

3

2

11

−

−

+

−

d

d

48

Nakon razmatranja tri cilja po prioritetima, zajedničko polje jeNakon razmatranja tri cilja po prioritetima, zajedničko polje je osjenčenaosjenčena

površina crvenom bojom, odnosno površina između segmenata linijapovršina crvenom bojom, odnosno površina između segmenata linijaAC i BC, što predstavljaAC i BC, što predstavlja polje mogućih rješenja za prva tri ciljapolje mogućih rješenja za prva tri cilja..

P i it t b j 4satea predstavlj, 11 −

+−d d



49

Prioritet broj 4

0

5

10

15

20

2530

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45


x 2


v r c e v a 12034 21 =+ x x

16005040 21 =+ x x+

1d

+

2d

−

2d

+

3d −

3d

B

CC

A

Prioritet broj 4 je da minimiziramo (što manje prekovremenog rada, po

mogućnosti da bude nula. U cilju postizanja ovog cilja moramo eliminiratipovršinu iznad prave .



3

2

−

−

+

−

d

d

+

1d +

1d 402 21 =+ x x

402 21 =+ x x

−

1d

Rješenje



Rješenje

• Međutim ne možemo minimizirati u potpunostibez da narušimo ciljeve jedan i dva.

• Drugim riječima želimo da pronađemo rješenje koježe zadovoljiti cilj broj 1, cilj broj 2, cilj broj 3 i dapostignemo što više od cilja 4, a da ne narušimo

prethodne ciljeve po prioritetima.• Tačka C (15,20)C (15,20) predstavlja rješenje koje zadovoljava

gornje uvjete.

• Daljnje minimiziranje bilo bi na račun prethodnihciljeva koji su poredani po prioritetu.

+

1d

50

Rješenje



j j

51

• Koordinate tačke C se mogu odreditirješavanjem dvije jednačine sa dvije nepoznatekoje se sijeku u tački C. 12034 21 =+ x x

154

203120

20

40020

160050301200

160050)4

3120(40

4

3120

16005040

1

2

2

22

22

21

21

=×−=

=

=

=+−

=+−

−=

=+

x

x

x

x x

x x

x x

x x

Rješenje



Rješenje

15i 0 12000)20(3)15(4

0i 0 160000)20(50)15(40

15i 0 40150)20(215

12034

600.15040

402

33

22

11

3321

2221

1121

==⇒=+++

==⇒=+++

==⇒=−++

=−++

=−++

=−++

+−

+−

+−

+−

+−

+−

d d

d d

d d

d d x x

d d x x

d d x x

52

Rješenje



Rješenje

• Varijable devijacije su jednake nula iprva tri cilja su postignuta.

• Varijabla devijacije (prekovremenovrijeme)

• Stoga četvrti cilj nije postignut.• Zato se ovo rješenje naziva najviše

zadovoljavajuće rješenje jer zadovoljavapostavljene ciljeve najbolje što je moguće.

• Najviše zadovoljavajuće vs. Optimalno rješenje

+−−

321 ,, d d d

151 =+

d

53

Rješenje - Zaključak



Rješenje - Zaključak

• Rješenja ciljnog programiranja uvijek ne

zadovolje sve ciljeve.• Tada ta rješenja ne nazivamo optimalnaveć najviše zadovoljavajuća rješenja, jer unajvećoj mogućoj mjeri zadovoljavajupostavljene ciljeve po prioritetima.

54

Uputstvo u formiranju GP modela




1. Identifikuj varijable odlučivanja u modelu.2. Identifikuj ‘hard constraints’ u problemu i formuliši ih

na uobičajen način.

3. Definiši ciljeve i njihove vrijednosti.4. Formiraj ograničenja pomoću varijabli odlučivanja

tako da ciljevi budu tačno ispunjeni.

5. Transformiši ograničenja iz tačke 4 u ciljna

ograničenja dodajući varijable devijacije.

55





6. Utvrdi koje varijabla devijacije predstavljaju

nepoželjne devijacije u odnosu na cilj.7. Formuliši funkciju cilja koja minimizira devijacije.

8. Identificiraj odgovarajuće prioritete i težinske

funkcije cilja.9. Riješi problem.

10. Kontroliši rezultat. Ako je rezultat neprihvatljiv

koriguj prioritete i težisnke funkcije, to jest vrati sena tačku 8 i ponovi proračun.

56

Terminologija



Terminologija

• Cjelobrojno programiranje

• 0-1 ili binarno programiranje

• Međusobno isključiva ograničenja

• Međusobno ovisne varijable u IP modelu

• Funkcija sa N mogućih varijabli u IP modelu

• Problem fiksnih troškova u IP modelu

• Ciljno programiranje

• Varijable devijacije• GP problem sa prioritetima ciljeva

• GP model sa težinskim funkcijama ciljeva

57

Zadatak 1



Zadatak 1

Direktor za marketing jedne kompanije treba da počne kampanjuoglašavanja za za novi proizvod svoje firme. U cilju da optimizirakorištenje TV i novina oglašavanja kao medija koje će koristiti, on je

postavio sljedeće ciljeve (ciljevi su poredani po važnosti)1) Ukupni budžet za oglašavanje ne smije preći 120.000 KM2) Treba da bude mix TV i novina sa najmanje 10 TV spotova i

najmanje 20 novinskih oglasa.

Jedan TV spot košta 5.000 KM, dok jedan novinski oglas košta 2.000KM.3) Ukupan broj ljudi koji će pročitati (novinske oglase) ili vidjeti (i čuti)

TV spotove treba da bude najmanje 9 miliona.

Svaki TV spot vidi oko 30.000 ljudi. Svaki oglas u novinama pročitaoko 150.000 ljudi.

Pronađi optimal broj oglašavanja na TV i novinama prema postavljenim

ciljevima. 58

Zadatak 2



Zadatak 2

59

Jedna firma proizvodi tri proizvoda: A, B i C. Proizvodnja proizvoda Atraje 1,5 sati, proizvoda B 2 sata i proizvoda C 2,5 sati. Profit popojedinim proizvoda je sljedeći: profit po proizvodu A je 28 KM, poproizvodu B 32 KM i po proizvodu C 35 KM. Sedmično je naraspolaganju 240 radnih sati za proizvodnju. Potražnja za svakimproizvodom je 60 komada sedmično. Menadžment je postavio sljedećiset ciljeva po prioritetima:

1) Iskoristiti TAČNO svih 240 radnih sati

2) Proizvesti najmanje (poželjno je) 60 komada proizvoda A

3) Proizvesti najmanje (poželjno je) 60 komada proizvoda B

4) Proizvesti najmanje (poželjno je) 60 komada proizvoda C

5) Generirati najmanje (poželjno je) 3.500 KM profita sedmično

Pronađi optimalan mix proizvodnje u skladu sa postavljenim ciljevima poprioritetima.

Zadatak 3



Zadatak 3

Pretpostavimo da je prvi cilj u zadatku 2 dva puta važniji od ciljeva 2,3 i 4, i da je prvi cilj tri puta važniji nego cilj broj pet. Pronađi optimalan broj svakog

proizvoda koji treba da se proizvede u skladu sa postavljenim ciljevima považnosti.

60

Zadaća



Zadaća

Uraditi zadatke 1 ,2 i 3.

61

Documents

Ciljno Programiranje