Ciljno Programiranje

1

Ciljno Programiranje

Prof. dr. Mugdim Pašić

Ciljno programiranje

• Nelinearno programiranje

• Linearno programiranje

• Ograničenja

• Varijable odlučivanja

• Funkcija cilja

– Maksimiziranje (profita)

– Minimiziranje (troška)


• MeĎutim u praksi organizacije često imaju više

od jednog cilja koji ne moraju biti vezani za profit

ili trošak.

• Preduzeće može imati više ciljeva i više kriterija

(multiple criteria) prilikom donošenja odluka

umjesto samo jednog cilja u funkciji cilja.

• Ciljno programiranje je je jedna od tehnika

kojom razmatramo više od jednog cilja u jednoj

funkciji cilja.


• Sličan linearnom programiranju

– Funkcija cilja

– Varijable odlučivanja

– Ograničenja

Primjer

• Jedna firma proizvodi glinene zdjele i vrčeve. Dva

glavna resursa firme su zaposlenici vješti u

obavljanju posla i specijalna grnčarska glina.

Proizvod

Radna snaga

(sati/jedinici)

Glina

(kg/jedinici)

Profit

(KM/jedinici)

Zdjela 1 4 40

Vrč 2 3 50

Zahtjevi resursa

Na raspolaganju je 40 radnih sati zaposlenika

dnevno i 120 kg gline dnevno.

Primjer - nastavak

0,

gline kg 12034

dnevno satiradnih 402

:aogranicenj

ih vrcevaproizveden broj

zdjelaih proizveden broj

vrcu jednom poprofit KM 50

zdjeli jednoj poprofit KM 40

je gdje

5040 atimaksimizir

:model LP

21

21

21

2

1

21

xx

xx

xx

x

x

xxZ

Standardni LP model

sa jednim ciljem:

maksimizirati profit

2

Primjer - nastavak

• Pretpostavimo da firma ima više ciljeva i da su oni pobrojani po važnosti:

1. Firma ne želi da koristi manje od 40 radnih sati zaposlenih dnevno (neiskorištenost radne snage) da bi izbjegla slanje radnika na “čekanje”.

2. Firma želi da dostigne zadovoljavajući profit od 1.600 KM dnevno.

3. Zbog toga što se glina mora čuvati na specijalnim mjestima kako ne bi presušila, firma želi da ima dnevnu zalihu ne više od 120 kg .

4. Firma želi da minimizira prekovremeni rad zbog toga što prekovremeni rad rezultira visokim troškovima za firmu.

Cilj: radna snaga

devijacije varijable ,

.)eogranicenj ciljno( 40 2

11

1121

dd

ddxx

Varijable devijacije predstavljaju:

broj radnih sati manji od 40 ( ) – neiskorištenost (radne snage)

broj radnih sati veći od 40 ( ) – prekovremeni rad

1d

1d

Cilj: radna snaga

• Npr. ako je:

tada je broj radnih sati:

Supstituirajući ove vrijednosti u jednačinu

ciljnog organičenja dobije se:

vrceva10 i zdjela 5 21 xx

satiradnih 252 21 xx

4040 4001525 4025

:se dobije 40), od manje 25 jejer rada nogprekovreme bilo nije da je (jasno

sati 0 i sati 15

:je da uvedemo ako Stoga 25).-(40 sati 15 enaneiskorist je snaga radna

i,proizvodnju oiskoristen sati 25 samo je sto razloga Iz

4025

40)10(2)5(

11

11

11

11

dd

dd

dd

dd

Pravilo

• Pravilo:

– Barem jedna ili obje varijable devijacije u ciljnom

programiranju moraju biti nula.

– U našem primjeru:

• Ako se tačno iskoristi 40 sati u proizvodnji tada su obje

varijable devijacije jednake nula.

• Nemoguće je da se istovremeno iskoristi manje od 40 radnih

sati i više od 40 sati. Ili postoji neiskorištenost ili

prekovremeni rad, a nikako obadvoje zajedno. Što znači da

obje varijable devijacije ne mogu u isto vrijeme biti različite

od nule.

Cilj: radna snaga

• Sljedeće što treba uraditi je formulirati navedeni cilj da

se ne koristi manje od 40 radnih sati, odnosno definirati

funkciju cilja

• gdje je:

• Cilj nam je da minimiziramo , neiskorištenost radne

snage kao prioritet broj jedan, prije razmatranja bilo

kojeg drugog cilja.

• Ako je nula, onda nećemo imati iskorištenost radne

snage manju od 40 radnih sati.

11 timinimizira dP

enostineiskorist devijacije varijabla

timinimizira je 1Prioritet

1

11

d

dP

1d

1d

Cilj: radna snaga

• Četvrti cilj po prioritetu je takodjer vezan za

radnu snagu.

4. Firma želi da minimizira prekovremeni rad zbog toga

što prekovremeni rad rezultira visokim troškovima za

firmu.

• Prekovremeni rad je definiran varijablom

devijacije .

• Dakle, četvrti prioritet je da minimiziramo

prekovremeni rad .

1d

1d

3

Cilj: radna snaga

• Funkcija cilja postaje:

• Ako je jednako nula onda nema prekovremenog rada.

• U rješavanju modela, razmatranje ovog, četvrtog po prioritetu cilja, neće biti uraĎeno dok se prethodno ne razmatraju ciljevi broj jedan, dva i tri.

1411 , timinimizira dPdP

Cilj - Profit

• Drugi cilj u našem modelu programiranja je da

se dostigne dnevni profit od 1.600 KM.

• Podsjetimo se da je u linearnom programiranju

funkcija cilja bila definirana kao:

• Potrebno je reformulirati funkciju cilja kao ciljno

ograničenje:

21 5040 xxZ

600.15040 2221 ddxx

1.600 od iprofit vec je koliko za KM iznos

1.600 od manjiprofit je koliko za KM iznos

2

2

d

d

Cilj - Profit

• Dakle, drugi cilj je da dostignemo profit u iznosu od 1.600 KM odnosno da minimiziramo

• Funkcija cilja postaje

• Potrebno je uočiti da minimiziramo , a ne , jer će firma, naravno, prihvatiti da ima veći profit od 1.600 KM

• Dakle ne želimo da minimiziramo višak profita i to nam nije ograničenje

2d

142211 ,, timinimizira dPdPdP

2d

2d

2d

Cilj - materijal

• Treći cilj firme je da izbjegne da na dnevnoj

zalihi ima više od 120 kg gline.

• Ciljno ograničenje je

postaje cilja Funkcija

kg 120 odzalihu vecu ima da izbjegne da zeli Preduzece

kg 120 od vecazalihi dnevnoj na kgu gline kolicina

kg 120 od manja zalihi dnevnoj na kgu gline kolicina

kg 12034

3

3

3321

d

d

ddxx

14332211 ,, timinimizira dPdPdPdP

Cilj - materijal

• Član u funkciji cilja pokazuje da

preduzeće želi da izbjegne da ima veću zalihu

od 120 kg gline dnevno i da želi da minimizira

odnosno ako je moguće da bude jednak

nula.

• označava da je to cilj firme kao prioritet broj

3 (na trećem mjestu).

33dP

3d

3d

3P

Model ciljnog programiranja

• Kompletan model ciljnog programiranja je:

uz uvjete:


0,,,,,,,

12034

600.15040

402

33221121

3321

2221

1121

ddddddxx

ddxx

ddxx

ddxx

4

Model ciljnog programiranja

• Bazična razlika izmeĎu ovog modela i standardnog LP

modela je u tome što se članovi funkcije cilja kod CP

ne mogu sabirati jer:

• Funkcija cilja u ciljnom programiranju specificira samo

da devijacija od ciljeva (predstavljenih u funkciji cilja)

bude minimizirana individualno po prioritetu.

kgu glinekolicinu apredstavlj

KMu novac apredstavlj

sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

Grafičko rješenje

• Kompletan model ciljnog programiranja je:

uz uvjete:


0,,,,,,,

12034

600.15040

402

33221121

3321

2221

1121

ddddddxx

ddxx

ddxx

ddxx

Grafičko rješenje

Pravilo:

1. Da bismo grafički predstavili CP model,

varijable devijacije u svakom ograničenju

cilja izjednačimo sa nulom.

2. Zatim nacrtamo graf svake jednačine

Ciljna ogranicenja

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1 broj proizvedenih zdjela

x2 b

roj

pro

izved

en

ih

vrc

eva

402 21 xx

12034 21 xx

16005040 21 xx



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

Prioritet broj 1

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x2

1d

1d

Osjenčena površina kao polje mogućih rješenja. Želimo da

minimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničenja.

Polje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena površina)

1d



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

402 21 xx

Prioritet broj 2

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x2

1d

1d


minimiziramo pa eliminiramo površinu ispod linije ograničenja.

Polje mogućih rješenja je iznad linije ograničenja (osjenčena površina)

2d



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

16005040 21 xx

2d

2d

5

Prioritet broj 3

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45

x1

x2

1d

1d


minimiziramo pa eliminiramo površinu iznad linije ograničenja.

Polje mogućih rješenja je ispod linije ograničenja (osjenčena površina)

3d

2d

2d



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

3d

3d 12034 21 xx

Ciljna ogranicenja

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45


x2 b

roj

pro

izved

en

ih

vrc

eva

402 21 xx

12034 21 xx

16005040 21 xx

1d

1d

3d

3d

2d

2d

B

C

A

Nakon razmatranja tri cilja po prioritetima, zajedničko polje je osjenčena

površina crvenom bojom, odnosno površina između segmenata linija

AC i BC, što predstavlja polje mogućih rješenja za prva tri cilja.



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

Prioritet broj 4

0

5

10

15

20

25

30

35

40

45

0 5 10 15 20 25 30 35 40 45


x2 b

roj

pro

izved

en

ih

vrc

eva

12034 21 xx

16005040 21 xx

1d

2d

2d

3d

3d

B

C

A

Prioritet broj 4 je da minimiziramo (što manje prekovremenog rada, po

mogućnosti da bude nula. U cilju postizanja ovog cilja moramo eliminirati

površinu iznad prave .



sate apredstavlj ,

3

2

11

d

d

dd

1d

1d402 21 xx

402 21 xx

1d

Rješenje

• MeĎutim ne možemo minimizirati cilj 4 u potpunosti

bez da narušimo ciljeve jedan i dva.

• Drugim riječima želimo da pronaĎemo rješenje koje

že zadovoljiti cilj broj 1, cilj broj 2, cilj broj 3 i da

postignemo što više od cilja 4, a da ne narušimo

prethodne ciljeve po prioritetima.

• Tačka C (15,20) predstavlja rješenje koje zadovoljava

gornje uvjete.

• Daljnje minimiziranje bilo bi na račun prethodnih

ciljeva koji su poredani po prioritetu.

1d

Rješenje• Koordinate tačke C se mogu odrediti

rješavanjem dvije jednačine sa dvije nepoznate

koje se sijeku u tački C. 12034 21 xx

154

203120

20

40020

160050301200

160050)4

3120(40

4

3120

16005040

1

2

2

22

22

21

21

x

x

x

xx

xx

xx

xx

Rješenje

1 2 1 1

1 2 2 2

1 2 3 3

1 1

2 2

3 3

2 40

40 50 1.600

4 3 120

15 2(20) 0 15 40 0 i 15

40(15) 50(20) 0 0 1600 0 i 0

4(15) 3(20) 0 0 120 0 i 0

x x d d

x x d d

x x d d

d d

d d

d d

6

Rješenje

• Varijable devijacije su jednake nula i

prva tri cilja su postignuta.

• Varijabla devijacije (prekovremeno

vrijeme)

• Stoga četvrti cilj nije postignut.

• Zato se ovo rješenje naziva najviše

zadovoljavajuće rješenje jer zadovoljava

postavljene ciljeve najbolje što je moguće.

• Najviše zadovoljavajuće vs. Optimalno rješenje

321 ,, ddd

151 d

Rješenje - Zaključak

• Rješenja ciljnog programiranja uvijek ne

zadovolje sve ciljeve.

• Tada ta rješenja ne nazivamo optimalna

već najviše zadovoljavajuća rješenja, jer u

najvećoj mogućoj mjeri zadovoljavaju

postavljene ciljeve po prioritetima.

Excel

Excel rješenje

Documents

Ciljno Programiranje