Chuong 1- Dao Dong Co

HCM – [email protected]

CHƯƠNG 1 – DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA

I. DAO ĐỘNG ĐIỀU HÒA CƠ BẢN = CLLX NẰM NGANG:

1. Chu kì – tần số góc – tần số :

k

mω = ;

1 2 mT 2

f k

π= = = π

ω

⇒ Hàm bậc nhất ở đây : 1 1 1

T ~ ~ ~ m ~f kω

hay 2 1T ~ m ~

k

� Có 1 dạng toán : Cho 1 vật có khối lượng m1 dao động điều hòa với chu kì T1. Khi đổi m1 thành

m2 thì nó dao động điều hòa với chu kì T2. Khỏi khi gắn cả m1 và m2 vào thì vật sẽ dao động với

chu kì bao nhiêu ?

Cách 1: Nhân, chia thêm từ từ:

1 2

1 2 1 2

2 2 21 2

2 2 21 2

m m m

m m m mm

k k k km mm

4 4 4k k k

T T T

= +

+⇔ = = +

⇔ π = π + π

⇔ = +

Cách 2: Nhận dạng ngay là hàm bậc nhất. Bài toán này “k” không đổi. Vậy xem y = T2 là hàm bậc

nhất theo biến x = m.

Áp dụng công thức C0-2 :

m = m1 + m2 2 2 2

1 2T T T⇒ = +

Nếu áp dụng công thức C0-1 :

2 2 2 22 2

1 2 1 2

1 2 1 2

T T T TT T

m m m m m m

+= = ⇔ =

+

Mà m = m1 + m2 , tức ta có mẫu số = mẫu số nên suy ra tử số = tử số. Cũng ra kết quả như trên.

Đối với bài toán giảm khối lượng thì thực hiện tương tự.


2. Bài toán về thời gian dao động :

� Phương trình dao động : ( )0x A cos t= ω + ϕ

( )

( )

( ) ( )

sin cos2

sin cos2

cos cos

+ = + −

− + = + +

− + = + +

t t

t t

t t

πω ϕ ω ϕ

πω ϕ ω ϕ

ω ϕ ω ϕ π


� Xác định tính chất dao động tại thời điểm t, hoặc ngược lại:

Công thức quan trọng nhất: quet

2t t

T

π∆ϕ = ω = (C1-1)

� Xác định quãng đường, thời gian max, min (dạng cũ):

• Max: xé đôi đường tròn theo chiều dọc.

• Min: xé đôi đường tròn theo chiều ngang.

� Công thức độc lập thời gian thông dụng nhất:

2

2 22

vA x= +

ω (C1-2)

� Xuất hiện dạng toán: cho 2 bộ số (x1, v1) và (x2, v2). Tìm A hoặc ω ?

• Tìm A: biến đổi C1-2 thành : 2 2 22

1x v A= − +

ω

Với x2 và v2 là hàm và biến, 1/ ω2 và A2 lần lượt là hằng số “a” và “b” trong hàm bậc nhất dạng

“y= a.x + b”.

⇒ Áp dụng công thức C0-3: 2 2 2 21 2

2 21 2

x A x A

v v

− −= , biến đổi 1 xíu nữa là xong.

• Tìm ω : áp dụng công thức thứ nhất của C0-3:

2 22 21 21 22 2

v vx x+ = +

ω ω, xong.

� Dạng thời gian đặc biệt T

∆t =4

:

Khi đó quet 2

π∆ϕ = , biểu diễn trên đường tròn thì xuất hiện

“vuông pha”.

Lúc này, áp dụng công thức sin-cos: 2 2sin x cos x 1+ =

2 2

1 1 2

2 22 2 1

v A x x

v A x x

= ±ω − = ±ω

= ±ω − = ±ω (C1-3)


� Dạng khoảng thời gian qua vị trí nào đó lần thứ n = 2015 (lẻ) hoặc 2016 (chẵn):

� Có 3 dạng:

• Qua vị trí có li độ x* (xét dấu + / − ) theo chiều xác định

dương hoặc âm:

Biểu diễn trên đường tròn là VT1 (chiều âm) hoặc VT2

(chiều dương). Mỗi chu kì chỉ được 1 lần thỏa. Khi đó:

( )1t t n 1 .T= ∆ + − (C1-4)

• Qua vị trí có li độ x* (xét dấu + / − ) không cần chiều: Tính luôn cả VT1 lẫn VT2. Mỗi chu kì

được 2 lần thỏa. Khi đó:

� n là số lẻ : ( )

1

n 1t t .T

2

−= ∆ + (C1-5)

� n là số chẵn : ( )

1 2

n 2t t t .T

2

−= ∆ + ∆ + (C1-6)

• Qua vị trí cách VTCB 1 đoạn s < A : Tức là qua vị trí có li độ x s= ± , không cần chiều. Mỗi

chu kì được 4 lần thỏa. Khi đó, ta lấy n/4 :

+ Nếu n/4 nguyên (VD, n = 2016) thì :

VT4 VTBD

nt .T t

4 →= − ∆

+ Nếu n/4 lẻ (VD, n = 2015 thì vị trí cuối cùng (VTCC)

là VT3), ta có :

VTCC VTBD

nt 1 .T t

4 →

= + − ∆

n

4

là lấy số trước dấu thập phân. VD : 4,5 ; 4,7 hay 4,3 đều lấy 4.

� Quãng đường đi được trong giây thứ n = 2015 ; 2016 … :

Cách hợp lý nhất là tìm ra vị trí của vật sau khi dao động xong giây thứ ( )n 1− .


1. Khoảng cách – sự gặp nhau của hai dao động :

� 4 dạng cơ bản (thi cũng có cho rồi)

� Hai dao động cùng biên – cùng chu kì :

Dạng này cơ bản nhất, dễ nhất trong 4 loại nên chưa thấy cho thi.

Trước tiên làm quen với tính chất : cùng chu kì thì độ lệch pha không đổi.

Tiếp theo là nhớ cách làm : lấy ∆ϕ thể hiện trên đường tròn, khi cần thiết thì cưa đôi đối xứng :

+ Khoảng cách xa nhất : cưa dọc trục đứng.

+ Khoảng cách ngắn nhất : cưa ngang trục nằm.

� Hai dao động cùng biên – khác chu kì :

Ở đây chỉ xét điều kiện thời gian để chúng gặp nhau :

• Gặp nhau ở trạng thái y như cũ (vị trí, chiều), lúc gặp nhau này chúng lệch nhau 1 góc ∆ϕ . Sau

khi cả 2 thực hiện 1 số nguyên dao động được tìm như sau :

+ Viết : 1 21 1 2 2

2 1

n Tn T n T

n T

α= ⇔ = =

β , với

α

β là phân số tối giản.

+ Khi đó, khoảng thời gian giữa 2 lần liên tiếp chúng gặp nhau ở trạng thái như nhau là :

1 2t . .T . .T2 2

∆ϕ ∆ϕ∆ = α = β

π π

• Gặp nhau ở trạng thái bất kì (thi ĐH rồi) :

Mọi trường hợp giải bằng phương pháp chung : Gọi f1 > f2 .

+ Viết dđ nhanh ( vế trái ) = dđ chậm ( vế phải ) để được nghiệm nhỏ.

+ Gặp nhau cùng chiều : 1 01 2 02t t k2ω + ϕ = ω + ϕ + π

02 01

1 2

k2t

ϕ − ϕ + π=

ω − ω

+ Gặp nhau ngược chiều : ( )1 01 2 02t t k2ω + ϕ = − ω + ϕ + π


02 01

1 2

k2t

−ϕ − ϕ + π=

ω + ω

+ Hỏi thời gian ngắn nhất thì cho k = 0, k = 1, so sánh 2 nghiệm trên.

� Có thể tưởng tượng như thỏ chạy đua với rùa trên vòng tròn.

� Hai dao động khác biên – cùng chu kì – cùng pha :

Thời gian giữa 2 lần liên tiếp chúng gặp nhau luôn luôn là

T/2.

Giải theo tam giác đồng dạng khi cần thiết.

(Chưa thấy cho thi).

� Hai dao động khác biên – cùng chu kì – khác pha :

• Khi đạt khoảng cách xa nhất: MN// Ox.

• Khi gặp nhau:

(Hình này sưu tầm trên internet)

• Mọi trường hợp chung, thử dùng các công thức :


+ Khoảng cách : 1 2d x x= − , dùng máy tính bấm số phức nếu được.

+ Khi vuông pha (ĐH 2012) thì áp dụng công thức sin-cos.

2. Tổng hợp dao động:

• Tập khả năng biểu diễn hình trên đường tròn.

• Nếu có thể thì áp dụng công thức tổng hợp : 1 2x x x= + .

• Công thức biên độ tổng hợp cơ bản : 2 2 2th 1 2 1 2A A A 2A A cos= + + ∆ϕ

• Định lý hàm sin kèm theo tính chất phân số:

1 2 1A A A AA...

sin sin sin sin sin

+= = = =

α β γ α + β

Nhớ thêm công thức lượng giác:

A B A Bsin A sin B 2sin cos

2 2A B A B

sin A sin B 2cos sin2 2

A B A Bcos A cos B 2cos cos

2 2A B A B

cos A cos B 2sin sin2 2

+ −+ =

+ −− =

+ −+ =

+ −− = −

II. CON LẮC LÒ XO TREO THẲNG ĐỨNG:


( Tập nhìn hình vẽ đứng → nằm ngang để khớp với đường tròn )

� Các dạng bài tập về viết phương trình dao động của CLLX thẳng đứng thì chỉ cần 2 hình vẽ trên

để giải quyết. Không hề khó.

� Mọi vấn đề nâng cao hơn khi con lắc lò xo xuất hiện đoạn nén khi dao động điều hòa.

� Độ giãn của lò xo ở thời điểm bất kì gian 0 x∆ = ∆ +l l

1. Nén – Giãn:

� Góc nén là góc màu xám trên hình vẽ 2. Công thức tính góc:

nén nént 2∆ϕ = ω = α với cosA

∆α =

l

Đừng học thuộc lòng công thức này. Thể hiện trên vòng tròn rồi xét tam giác vuông. Làm quen

dần sẽ giải nhanh hơn việc nhớ công thức. Ở chương Điện xoay chiều và Lượng tử ánh sáng tha

hồ mà nhớ công thức.

� Tỉ số nén/giãn:

nén nén nén

gian nén nén

t tH

t T t 2

∆ϕ= = =

− π − ∆ϕ%

� Có thể nhớ 3 trường hợp chính để áp dụng nhanh:

• Nếu nén

1 TH t

2 3= → = .

• Nếu nén

1 TH t

3 4= → =

• Nếu nén

1 TH t

5 6= → =

2. Lực hồi phục – lực đàn hồi:

� Lực hồi phục : là lực LUÔN có xu h

hpF kx= −

� Lực đàn hồi : là lực LUÔN có xu h

( )dhF k x= − + ∆l

Chia ra làm : lực đàn hồi tác d

Chỉ cần biết lực đàn hồi tác d

� So sánh 2 lực : có 2 cách : dự

• Theo công thức:

A x− ≤ < −∆l x

{hpâm

F k. x 0= − >

hpF k. 0= − −∆ >

( ) ( )dh nén

âm

F k. x 0= − + ∆ >l14243

(dh MinF k.0 0

Cùng dấu Trái d

• Theo hình vẽ đây là lực đàn h

HCM – nitpapu1

1 T

3 4= → = .

1 T

5 6= → =

c LUÔN có xu hướng làm vật quay về VTCB, luôn hướng v

c LUÔN có xu hướng ngược chiều biến dạng.

i tác dụng lên vật (thường gặp) và lực đàn hồi tác d

i tác dụng lên vật. Lực đàn hồi tác dụng lên điểm treo thì xét ng

ựa vào công thức và hình vẽ (dễ nhớ hơn) + (cho thi n

x = −∆l x 0−∆ < <l

( ){

âm

F k. 0= − −∆ >l {hpâm

F k. x 0= − > hpF k. x 0= − <

)dh MinF k.0 0= − =

( ) ( )dh gian

0

F k x 0

>

= − + ∆ <%

l14243

(dh gianF k.x 0%

Trái dấu

Trái dấu

đàn hồi tác dụng lên vật, có hỏi điểm treo thì vẽ các l

[email protected]

ng về VTCB.

i tác dụng lên điểm treo.

m treo thì xét ngược lại.

ơn) + (cho thi năm 2014).

x 0>

{0

F k. x 0>

= − <

)dh gian0

F k.x 0>

= − + ∆ <%

l123

Cùng dấu

các lực ngược lại:


III. Hệ CLLX 2 vật:

1. Va chạm trong dao động (thi rồi năm 2013- -, các năm sau chưa thấy lặp lại):

a) Va chạm đàn hồi – văng đi :

� Tình huống : CLLX nằm ngang đang đứng yên có khối lượng m, vật m0 va chạm với vận tốc v0 rồi tách ra. (Bỏ qua ma sát).

• Định luật bảo toàn động lượng và năng lượng :

( )0 0 0 0 m VTCBm .v m .v m.v′= +

( )2 2 2

0 0 0 0 m VTCBm .v m v m.v′= + ( )0 0

0 0 0m VTCB0 0

2m m mv v ; v v

m m m m

−′⇒ = =

+ +

• Sau va chạm: vật m sẽ dao động với ( )m VTCB

m

v

k

m

⇒ω =

( ) ( )( )

m VTCB 0 0

m 0 m

v m m .vA

m m

−= =

ω + ω

• Vật m sẽ chuyển động bật ngược lại ( từ trái qua phải ) với 00 0

0

2mv v

m m′ =

+ không đổi.

b) Va chạm mềm – dính lại :

� Tình huống 1 : CLLX nằm ngang đang đứng yên, vật m va chạm vào rồi cùng dao động.

• Lúc va chạm - Định luật bảo toàn động lượng ( do xảy ra “trao đổi” vận tốc ở VTCB nên vận tốc của hệ 2 vật nhận trong quá trình trao đổi cũng là cực đại của hệ 2 vật ):

( ) ( ) ( )0

0 0 0 0Hê VTCB Hê VTCB0

mm v m m v v v

m m= + ⇒ =

+& &

• Sau va chạm, hệ vật dao động với giá trị của các đại lượng đặc trưng :

( )

( )

00Hê VTCB

0 Hê VTCB

HêHê

Hê0

mv v

m m vA

k

m m

= +

⇒ =ωω =

+

&

&

&

&

&

(1)

• Sau khi dao động tới biên (lò xo nén) rồi về lại VTCB lần đầu tiên, vì ngay sau đó

( ) ( )m m VTCB Hê VTCBv v v= =&

sẽ bắt đầu ↓ ngay do vật m bị lực hồi phục kéo lại → vật m0 (không

dính với lò xo) sẽ tách khỏi con lắc do chuyển động thẳng đều .

� Lúc đó, con lắc m vẫn dao động với vận tốc cực đại như cũ, gia tốc góc đổi nên A đổi:


( ) ( )

( )m VTCB Hê VTCB

m VTCB

mmm

v vv

Ak

m

=

⇒ =ωω =

&

(2)

(1) ; (2) ⇒Tỉ số : Hêm

Hê m 0

A m

A m m

ω= =

ω +&

&

� Vật m0 sẽ chuyển động thẳng đều với vận tốc ( )0 0 0Hê VTCBv v ;S v . t′ ′= = ∆&

� Lúc lò xo có độ dài cực đại lần đầu tiên HêTt

4

∆ =

& thì 2 vật cách nhau : m Md S A= −

� Tình huống 2: Khi con lắc có khối lượng m đang dao động với biên độ Am qua VTCB thì gắn vật m0 vào nhẹ nhàng để hệ tiếp tục dao động.

• Trước khi gắn vật: ( )m m mm VTCB

k;v A

mω = = ω

• Khi gắn vật vào rồi :

� Tần số góc: Hê0

k

m mω =

+&

Hê

m 0

m

m m

ω= ω +

&

� Lúc gắn vật - Định luật bảo toàn động lượng (do xảy ra biến đổi ở VTCB nên vận tốc của hệ 2 vật nhận trong quá trình trao đổi cũng là cực đại của hệ 2 vật):

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2

Hê0m VTCB Hê VTCB Hê VTCB m VTCB m VTCB

0 m

mm.v m m v v v v

m m

ω = + ⇒ = =

+ ω &

& &

� Biên độ hệ : ( )Hê VTCB

HêHê

vA =

ω&

&

&

� Tỉ số : Hê Hê

m 0 m

A m

A m m

ω= =

+ ω& &

� Chú ý kĩ 2 tỉ số ở 2 tình huống là ngược với nhau. Có thể nhớ bằng cách :

• Dao động do VA CHẠM tách ra thì tỉ số Hêm

Hê m 0

A m

A m m

ω= =

ω +&

&

• Dao động do GẮN VẬT ko tách thì tỉ số Hê Hê

m m 0

A m

A m m

ω= =

ω +& &


2. Nén con lắc lò xo nằm ngang, đặt thêm vật m0 vào trước vật m của con lắc rồi thả cho dao động :

� Tình huống: Nén con lắc lò xo (đang nằm ngang có khối lượng m) 1 đoạn 0l∆ rồi đặt vật m0 trước

mặt nó, thả ra cả hai dao động. Bỏ qua mọi ma sát, tổn thất để bảo toàn năng lượng.

• Gắn vật nhưng chưa dao động :

( )

Hê 0

Hê0

Hê HêHê VTCB

A l

k

m m

v A

= ∆

ω =+

= ω

&

&

& &&

• Thả ra dao động đến khi vật ở VTCB, vì ngay sau đó ( ) ( )m m VTCB Hê VTCBv v v= =&

sẽ ↓ ngay do vật

m bị lực đàn hồi kéo lại → vật m sẽ tách khỏi con lắc và chuyển động thẳng đều.

� Lúc đó, con lắc m vẫn dao động với :

( ) ( )

( )m VTCB Hê VTCB

Hê VTCB

mmm

v vv

Ak

m

=

⇒ =ωω =

&

& ⇒Hêm

Hê m 0

A m

A m m

ω= =

ω +&

&

� Vật m sẽ chuyển động thẳng đều với vận tốc ( ) ( )m mHê VTCB Hê VTCBv v S v .t= ⇒ =& &

� Lúc lò xo có độ dài cực đại lần đầu tiên mTt

4

∆ =

thì 2 vật cách nhau : 0 md S A= −

3. Con lắc treo thẳng đứng rồi gắn thêm vật :

� Tình huống 1 - Gắn vật rồi mới kéo: Con lắc lò xo có khối lượng m (có VTCBm). Gắn thêm vật m0 (hệ vật sẽ có VTCB’ thấp hơn VTCBm) rồi kéo ra 1 đoạn A0. Vật m sau đó bị tách ra.

• Từ lúc chưa dao động cho đến trước khi tách vật:

� Độ giãn của lò xo sau khi treo 2 vật :

Hê m 0∆ = ∆ + ∆&

l l l với 0m 0

m gmg;

k k∆ = ∆ =l l

� Do gắn vật rồi mới kéo tức là đã định vị được gốc tọa độ dao động ( VTCB’ ) trước khi kéo, cho nên đoạn A0 ở đây sẽ là biên

của hệ 2 vật : Hê 0A A=&

� Tần số góc : Hê0 0 m

k g

m mω = =

+ ∆ + ∆& l l


� Vận tốc cực đại ở VTCB’ : ( ) Hê HêHê VTCB'v A= ω& &&

� Vận tốc tại VTCBm sẽ là : ( )m VTCBmv tính theo độc lập thời gian.

• TH1 - Tách vật tại VTCBm: ta xem như bài toán tại VTCBm , truyền cho con lắc m một vận tốc vm(VTCBm) và đây sẽ là vận tốc cực đại của quá trình dao động này từ lúc tách trở về sau.

� Tần số góc : mm

k g

mω = =

∆l

� Biên độ : ( )m VTCBm

mm

vA =

ω

� Vật m0 sẽ rơi tự do với vận tốc 0roiv 2gh= , quãng đường 20roi

1S gt

2=

• TH2 - Tách vật tại VTCB’ : xem như bài toán kéo vật m ra khỏi VTCBm một đoạn 0l∆ rồi

truyền cho nó vận tốc ( )m Hê VTCB'v v=&

(đây không phải là vm(VTCBm) cực đại).

� Tần số góc : mm

k g

mω = =

∆l

� Biên độ : ( ) ( )2 2m VTCB' Hê VTCB'2 2

m m2 2m m

v vA x= + = ∆ +

ω ω&l (Độc lập thời gian).

� Vận tốc cực đại ở VTCBm : ( ) m mm VTCBmv A= ω

• TH3 - Tách vật tại vị trí lực đàn hồi cực đại (lò xo giãn nhiều nhất): tại đây v = 0, vậy ta xem

như bài toán kéo vật m ra khỏi VTCBm một đoạn cũng là biên độ m m 0 0A A= ∆ + ∆ +l l rồi thả

cho dao động.

� Tần số góc: mm

k g

mω = =

∆l

� Vận tốc cực đại: ( ) m mm VTCBmv A= ω

� Tình huống 2 - Kéo rồi mới gắn vật : Con lắc lò xo có khối lượng m (có VTCBm). Kéo m ra 1

đoạn 0A , sau đó gắn thêm vật m0 (hệ vật sẽ có VTCB’ thấp hơn VTCBm). Thả ra cho dao động

rồi sau đó vật m0 bị tách ra : vẽ hình phân tích tương tự.

IV. NĂNG LƯỢNG DAO ĐỘNG:

1. Biến đổi cơ bản:


� ( )2 2d

1W k A x

2= − : Wd là hàm bậc nhất dạng 1 theo biến ( )2 2A x−

� 2t

1W kx

2= : Wt là hàm bậc nhất dạng 1 theo biến x2

2. Tỉ số giữa động năng và thế năng:

� Luôn luôn biến đổi về tỉ số Wd = n.Wt để có 1 cơ sở thống nhất dễ nhớ công thức.

� d t max

max

1x A

n 1

nW nW v v

n 11

a an 1

= ± × +

= ⇒ = ± ×+

= ± ×

+

(Không cần thuộc lòng).

� Thường áp dụng : 2

d

t

W An 1

W x = = −

3. Tỉ số giữa động năng - cơ năng ; thế năng - cơ năng:

� d

1W W n

1= δ ⇔ =

δ −

� tW W n 1= τ ⇔ = τ −

V. CON LẮC ĐƠN (Các năm gần đây hầu như là câu cơ bản) :

Đại lượng 10 0,174518

o πα > = ≈

10 0,1745

18o π

α < = ≈

Biên độ cung ( )0 0S 2 1 cos= − αl 0 0S = αl

Li độ cung ( )0S 2 cos cos= α − αl S = αl

Tần số góc, chu kì g

;ω =l

T 2g

= πl

0

0

g

S

αω = 0

0

S; T 2

g= π

α

Vận tốc ( )0v 2g cos cos= α − αl ( )2 20v g= α − αl


Lưu ý : Hàm bậc nhất

2 1T ~ ~

gl

, do đó bài toán thay đổi

l được giải quyết dễ dàng hơn.

Vận tốc cực đại ( )max 0 0v S 2g 1 cos= ω = − αl max 0v g= α l

Gia tốc ( )2max 0 0a S g 2 cos cos= ω = α − α a g= α

Gia tốc cực đại ( )2max 0 0a S g 2 1 cos= ω = − α max 0a g= α

Lực căng dây ( )0T mg 3cos 2cos= α − α 2 20

3T mg 1

2

= + α − α

Lực căng VTCB ( )max 0T mg 3 2cos= − α ( )2max 0T mg 1= + α

Lực căng Biên min 0T mg cos= α ( )2min 0T mg 1= − α

Động năng ( )2 2 2 2d 0

1 1W mv m S S

2 2= = ω − ( )2 2

d 0

1W mg

2= α − αl

Động năng cực đại 2 2 2d max max 0

1 1W mv m S

2 2= = ω 2

d max 0

1W mg

2= αl

Thế năng ( )tW mgh mg 1 cos= = − αl 2t

1W mg

2= αl

Thế năng cực đại ( )t max 0W mg 1 cos= − αl 2t max 0

1W mg

2= αl

Cơ năng ( )2 20 0

1W m S mg 1 cos

2= ω = − αl 2

0

1W mg

2= αl

Documents

Chuong 1- Dao Dong Co