Capítulo 4. SÍNTESIS DE LAS EDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGGbibing.us.es/proyectos/abreproy/70225/fichero... · Capítulo 4. SÍNTESIS DE LAS REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG Hasta el

Síntesis de las Redes de Difracción de Bragg 107

Capítulo 4. SÍNTESIS DE LAS REDES

DE DIFRACCIÓN DE BRAGG

Hasta el momento se ha hablado de la importancia de las Redes de Difracción de Bragg

en nuestros días, y se ha hecho un completo análisis de los diferentes tipos de redes

que se han desarrollado, observando cómo afecta un cambio en los parámetros a la

característica del dispositivo. Una vez comprendidos los resultados del análisis de las

redes de difracción, se plantea ahora el paso contrario: partir de unas especificaciones,

bien en el dominio temporal o en el dominio frecuencial y llegar a la forma que ha de

tener la perturbación del índice de refracción en el núcleo de la red.

De esta manera, se podrá conseguir diseñar un filtro óptico, mediante los métodos

explicados en el apartado 1.2.1, que se adapte a las necesidades existentes en cada

caso. Por ello, en este capítulo se estudian algunas de las técnicas más importantes de

síntesis de redes de difracción. Finalmente, partiendo de esta base, se desarrollan

nuevos modelos acordes con la herramienta de análisis previamente desarrollada, y se

muestran los resultados obtenidos.

4.1. INTRODUCCIÓN

Con la síntesis de las Redes de Difracción de Bragg, igual que con los procesos de síntesis de cualquier filtro, se pretende averiguar cuál es el diseño o la composición de elementos que hay que conseguir para que al introducirlo en un sistema de comunicaciones, el dispositivo actúe tal y como se espera.

Para ello, es necesario partir de unas especificaciones, que pueden venir dadas bien en el dominio frecuencial (y que comúnmente se corresponden con la función de transferencia que se desea conseguir); o bien en el dominio temporal (y que por tanto se refieren a la respuesta impulsiva relacionada con una función de

Estudio de Redes de Difracción de Bragg en Fibra Óptica

108 Síntesis de las Redes de Difracción de Bragg

transferencia especifica). A partir de estas especificaciones es posible calcular cuál debe ser la forma de la perturbación del índice de refracción que es necesario fotoimprimir en una fibra para conseguir las características de filtrado óptico deseadas. Para ello, se ha elaborado una herramienta de síntesis basada en la aplicación de una de las técnicas de síntesis estudiadas a lo largo del capítulo. De esta manera, volviendo a aplicar el método de análisis visto anteriormente, se puede comprobar si efectivamente el perfil conseguido cumple las especificaciones de partida.

Este es el orden natural para hacer síntesis. Sin embargo, antes de introducirse en las restricciones de las especificaciones de los filtros que se desean conseguir, es necesario desarrollar la herramienta de síntesis mencionada. Una vez implementada, se verificará el correcto funcionamiento de la misma a partir de redes ya conocidas, como las que se han estudiado en el capítulo anterior. De esta forma, conociendo cómo es el perfil de la perturbación que da lugar a una característica determinada, se pretende llegar de nuevo a él partiendo de dicha característica.

A lo largo de la historia se han propuesto varios métodos para la síntesis de redes de difracción, basados en técnicas llamadas de dispersión electromagnética inversa (IS, Inverse Scattering) (Hopcraft, y otros, 1992). Estos métodos se pueden agrupar en tres grandes grupos, en función de los algoritmos que utilizan.

4.1.1. PRIMERA APROXIMACIÓN DE BORN

Se trata del método más simple y a la vez, el más inexacto. En él se relaciona la función de acoplamiento de la red con la transformada de Fourier de la característica espectral.

La primera aproximación de Born solo tiene en cuenta la primera reflexión del campo electromagnético en su propagación por el medio, y tiene un uso bastante limitado en redes de alta reflectividad, ya que acumula el error de forma más acusada.

Esta metodología ha sufrido varias modificaciones que han hecho posible el diseño de redes de difracción en fibra utilizándola en redes de alta reflectividad, pero al tratarse de un método aproximativo, no resulta adecuado para el diseño de filtros de alta complejidad. (Dobrowolsky, 1978)



4.1.2. RESOLUCIÓN EXACTA DE ECUACIONES INTEGRALES

El principal problema de este método es la dificultad que supone resolver las ecuaciones integrales. Varios investigadores encontraron soluciones analíticas en los casos en los que la función de la respuesta espectral estaba expresada en términos de funciones racionales, lo cual fue utilizado para el diseño de filtros corrugados. Sin embargo, la necesidad de aproximar la respuesta espectral deseada mediante funciones racionales puede resultar un proceso bastante tedioso e inexacto. (Gel'fand, 1955), (Hopcraft, y otros, 1992)

4.1.3. MÉTODO DIFERENCIAL O DIRECTO

Este método explota las propiedades físicas y la estructura de los medios que son susceptibles de ser caracterizados en capas por los que se propagan ondas electromagnéticas. Por eso, estos métodos son conocidos como de layer-peeling o métodos de deconvolución dinámica.

Estos algoritmos tienen la ventaja de ser eficientes computacionalmente hablando, ya que permiten un procesado en paralelo. Además, son estables y adecuados para la síntesis con entradas ruidosas o con datos con dispersión limitada en banda. (Bruckstein, y otros, 1995)

Por estas razones, son los métodos diferenciales los que se van a utilizar en el presente proyecto para desarrollar la herramienta de síntesis. Principalmente, se estudiarán dos variaciones sobre este método, uno en el que se trabaja en el dominio del tiempo, partiendo de la respuesta impulsiva del filtro deseado, y otro que opera en el dominio de la frecuencia, y que parte por tanto de la función de transferencia del mismo.

4.2. ALGORITMO DE FECED

El primer algoritmo de síntesis presentado es el desarrollado por Ricardo Feced y sus compañeros investigadores en el año 1999. Este es uno de los anteriormente mencionados algoritmos de layer-peeling diferencial, basado en la respuesta impulsiva de la red. Este algoritmo tiene en cuenta las reflexiones múltiples que se producen dentro de la red, proporcionando una solución bastante exacta al problema de la síntesis.



El algoritmo de Feced consiste en calcular la función de acoplo Å(�) del medio

basándose en la respuesta impulsiva de la característica en reflexión ℎg((). Las ecuaciones de dispersión (Feced, y otros, 1999) están expresadas en términos de dos

ondas propagándose en sentidos opuestos: Æ�(�, �) para la propagación en sentido

opuesto a las � positivas (o backward) y ÆV(�, �) para la propagación en sentido de �

positivas (o forward), donde � es la constante de propagación. Estas ecuaciones

relacionan estos campos con la función de acoplo, Å(�); y a su vez, están relacionados con la respuesta espectral del medio mediante la expresión:

fg(�) = Æ�(0, �)ÆV(0, �) (4.1)

Las ecuaciones de dispersión se trasladan al dominio temporal mediante la

trasformada de Fourier (� → w), y se impone como condición inicial la excitación en � = 0 mediante un impulso:

�V(0, w) = ?(w), �V(�, w) = 0 (4.2)

A partir de aquí, el algoritmo se basa en resolver las ecuaciones de acoplo (ecuaciones (3.5) y (3.6)), que proporcionarán el coeficiente de acoplamiento, mediante la división del medio en capas. De esta forma, se reduce la complejidad computacional del algoritmo en gran medida. La relación entre la función de acoplo y la respuesta impulsiva es:

ℎg(w) = − 12 Å Zw2[ + ℎq(w) (4.3)

donde ℎg(w) es la suma de todos los caminos de propagación posibles (z, w) entre

(0,0) y (0, w); y ℎq(w) es la respuesta impulsiva en el tiempo w correspondiente a un

medio truncado en � = w/2 con función de acoplamiento:

Åq(�) = ÈÅ(�), 0 ≤ � < w 2�0, w 2� ≤ � k (4.4)

Teniendo en cuenta la expresión (4.3), se puede reconstruir la función de acoplo Å(�̃) en un punto �̃ conociendo el valor de la respuesta impulsiva en w = 2�̃ y el

valor de la función de acoplo en � < �̃.

Discretizando el medio en múltiples capas, se va calculando la constante de acoplo de forma iterativa siguiendo este procedimiento, considerando como condición



inicial la excitación del impulso a la entrada de la red. La solución a cada capa se va almacenando en una matriz de transferencia, y la matriz del dispositivo completo se calcula sin más que multiplicar cada una de estas matrices de transferencia

consecutivamente desde � = 0 hasta � = �.

El algoritmo de Feced proporciona unos resultados muy exactos, ya que tiene en cuenta todas las reflexiones internas que se producen en la estructura. Además, el hecho de que se realice una discretización del medio permite trabajar con redes de una complejidad tal que sería muy complicado resolverlas aplicando las ecuaciones de acoplo a la estructura completa. Sin embargo, al igual que ocurría con los métodos estudiados para desarrollar la herramienta de análisis de redes de difracción en fibra, se ha preferido utilizar un método que, siguiendo la misma idea básica de discretización del medio en capas, no utilice ecuaciones de acoplo para llegar a la solución final. En su lugar, se prefiere trabajar con las propiedades físicas del medio, como son los coeficientes de transmisión, reflexión y el comportamiento de los campos electromagnéticos en su propagación por las diferentes capas. De esta forma, se tendrá un algoritmo que sigue los mismos principios que el previamente desarrollado algoritmo para análisis.

4.2.1. MODIFICACIONES AL ALGORITMO DE FECED

El algoritmo empleado para el desarrollo de la herramienta de síntesis basado en la respuesta impulsiva de la red utiliza como base el algoritmo de Feced, en el sentido de que realiza una discretización del medio. Sin embargo, se realizará una modificación a este algoritmo, basándose en el desarrollado por (Capmany, y otros, 2007).

El método de Capmany está basado en la reconstrucción de la impedancia local, Ë(�), ya existe una relación inversa entre Ë(�) y el perfil de índice de refracción, �(�), que permite obtener �(�) directamente, en lugar del coeficiente de acoplo Å(�):

Ë(�) = 120��(�) (4.5)

Este método tiene la ventaja de que permite sintetizar estructuras con defectos locales o discontinuidades del orden del periodo local, lo cual resulta imposible en otros métodos de layer-peeling diferencial.



El punto de partida del algoritmo es la respuesta impulsiva del filtro que se desea sintetizar. Ésta debe ser muestreada en instantes de tiempo equiespaciados, quedando como una secuencia de impulsos de la siguiente forma:

ℎ(() = ) ℎg(�)?(( − 2�∆()ÌÍoE (4.6)

La distancia de separación ∆( vendrá dada por la reflectividad que se desea conseguir: de ésta, se obtiene la frecuencia máxima que se analiza en la red y haciendo uso de la teoría de Tratamiento Digital de Señales, se tiene que el tiempo entre muestras es igual a:

∆( = (Î = 1OÎ = 12OGHI (4.7)

donde (Î es el tiempo de muestreo, OÎ es la frecuencia de muestreo, y OGHI , la frecuencia máxima de la banda de paso de la reflectividad, que utilizando el teorema

de Nyquist en su caso extremo, es igual a OÎ/2 . Según la ecuación (4.7), cada muestra almacenada de la respuesta impulsiva corresponderá a un instante de muestreo de la red, o lo que es lo mismo, al tiempo de ida y vuelta de una onda electromagnética en cada capa.

Una vez conseguidas las muestras de ℎg((), el algoritmo de síntesis consiste en seguir el procedimiento que se explica a continuación.

A. División de la Red en Capas

En primer lugar, se supone una división del perfil de la perturbación que se va a calcular en capas, cuya longitud depende del tiempo que tarda una onda electromagnética en realizar un viaje de ida y vuelta por ellas. El valor del índice de refracción en cada capa se calculará mediante una muestra de la respuesta impulsiva:

ℎg(( = (G) → �(� = ��G (G) (4.8)

Debido a que este tiempo de ida y vuelta debe permanecer constante a lo largo de toda la estructura (por la propia definición de transformada discreta de Fourier, ya que el algoritmo se procesa en un ordenador), y al hecho de que se supone que cada



capa tendrá un índice de refracción diferente, la anchura de las capas debe variar a lo largo de la red completa, ya que se debe cumplir que:

�G = ��G (G (4.9)

donde �G es la longitud de una capa, � es la velocidad de la luz en el vacío, que

dividida entre el índice de refracción de la capa, �G, resulta la velocidad de la luz en

el interior de la misma; y por último (G es el tiempo de ida y vuelta (o round-trip delay).

Para simplificar la herramienta diseñada y que resulte más sencillo comparar los resultados obtenidos para el índice de refracción con el índice de partida (recuérdese

que se partirá de un �(�), se realizará análisis, y se utilizará el ℎg(() resultante para probar el algoritmo de síntesis), se efectuará un pequeño artificio en el algoritmo. El objetivo es que, además de que el tiempo de ida y vuelta de todas las capas de la red sea uniforme, lo mismo ocurra con el tamaño de todas las capas, ya que los valores del índice de refracción de partida almacenados por el algoritmo estarán equiespaciados. Para ello, la única forma es que el índice de refracción de todas las capas sea también el mismo.

Teniendo en cuenta la ecuación (4.9), si �G y (G deben ser iguales para todo m, �G también debe coincidir en todas las capas. Se utilizará por tanto el índice de refracción medio del perfil sinusoidal para que el error se vaya compensando en cada periodo del mismo. De esta forma, la red completa se modelará con una estructura matricial en la que se alternan matrices relacionadas con capas de índice de refracción constante e igual a �� y matrices que modelan interfaces entre

dieléctricos de distinto índice de refracción (los que corresponda a cada punto de la estructura) tal y como ilustra la siguiente figura:



Ilustración 4.1: Modelado de la red para el algoritmo de síntesis. Artificio insertado al algoritmo

Este artificio conlleva el inconveniente de que, además de cometer un error en el índice de refracción asignado a cada capa, no resulta válido para redes en las que la perturbación crece por encima de n0 (índice de refracción de la fibra sin perturbar), como se explicaba en el apartado 1.2.1, y solo es válido para redes cuya amplitud de �(�) esté centrada en este valor (�� = �E). Esto no es lo natural a la hora de

fabricar redes de difracción, y por tanto más adelante se estudiará la forma de solucionar este inconveniente.

B. Relación entre las Capas y Las Muestras de la respuesta

Impulsiva

Cada muestra de ℎg(() estará relacionada con un número determinado de intervalos

de ∆(, que serán el resultado de la suma del rayo directo más las reflexiones de los rayos en las interfaces de las capas anteriores. Esto es más fácil de comprender analizando la siguiente gráfica:



Ilustración 4.2: Descomposición de la FBG en capas y relación con la respuesta impulsiva

Como se puede ver en la figura, el elemento i-ésimo de la respuesta impulsiva en reflexión es el resultado de la interacción del rayo directo con el medio, más las sucesivas reflexiones que se van produciendo a lo largo de la estructura, debidas a los cambios de índice de refracción entre las diversas capas que la forman.

C. Obtención del Índice de Refracción de cada Capa

Para obtener el índice de refracción de cada capa, se ha de seguir el siguiente algoritmo (Capmany, y otros, 2007):

1. En primer lugar, se parte de la primera muestra de la respuesta impulsiva ℎg(0), y de este valor sale directamente el índice de refracción de la primera

capa. En el instante ( = 0, aún no ha ocurrido ninguna reflexión interna que

haya que tener en cuenta, y por lo tanto el primer coeficiente de ℎg(() contiene información únicamente de esta primera reflexión (recordar que se está suponiendo una respuesta impulsa causal), a través de la siguiente expresión:



ℎg(0) = ÏE� = �E − ��E + ��

(4.10)

donde ÏIÐ representa el coeficiente de reflexión cuando se produce una

incidencia normal de la onda electromagnética, para la reflexión entre el

dieléctrico & y el dieléctrico '. En este caso, entre la capa 0 (el exterior de la estructura) y la primera capa. De forma general, el coeficiente de refracción entre dos capas se relaciona con los índices de refracción de éstas siguiendo esta relación (Reina, y otros, 2005):

ÏIÐ = �I − �Ð�E + �Ð

(4.11)

De la expresión (4.10) todo es conocido excepto ��, luego despejando, se tiene el coeficiente de reflexión de la primera capa:

�� = �E ~1 − ℎg(0)1 + ℎg(0)�

(4.12)

2. A continuación, se procede a obtener el índice de refracción en la segunda

capa de la estructura. El segundo elemento de la respuesta impulsiva

corresponde con el instante de tiempo ∆(, en el que aún no se han producido reflexiones internas más allá de la propagación del rayo directo, como muestra la siguiente figura:



Ilustración 4.3: Reflexión en la segunda capa de la red

En este caso, se tiene que:

ℎg(1) = (E� Ï�� (�E

(4.13)

donde (IÐ representa el coeficiente de transmisión en campo cuando se

produce una incidencia normal de la onda electromagnética, para la

transmisión entre el dieléctrico & y el dieléctrico ' . Los coeficientes de transmisión muestran la siguiente relación (Reina, y otros, 2005):

(IÐ = 2�I �Ð �I + �Ð

(4.14)

por lo que los presentes en la expresión (4.13) son conocidos. La información sobre la segunda capa se obtiene del coeficiente de reflexión, que despejándolo de (4.13) y utilizando la relación (4.14), se calcula de la siguiente forma:

Ï�� = ℎg(1) (E� (�E = (�E + ��)�ℎg(1) 4�E��

(4.15)



Por último, se evalúa el índice de refracción de la segunda capa sin más que utilizar la expresión (4.11) y despejar:

�� = �� ~1 − Ï�� 1 + Ï��

(4.16)

3. El tercer paso ilustra el proceso de obtención del resto de coeficientes de la

estructura, y se sigue iterativamente hasta llegar al final de la misma. A partir de aquí es necesario tener en cuenta, además de la propagación del rayo directo, las sucesivas reflexiones que se van produciendo al ir atravesando las distintas capas.

Ilustración 4.4: Estructura para el cálculo del índice de refracción en la tercera capa

Gráficamente, en la Ilustración 4.4 (a) se puede ver cómo la propagación hasta la tercera capa genera una reflexión interna en el paso del rayo de la capa 1 a la 2. Esta circunstancia se divide, por motivos de cálculo, en dos partes diferenciadas. En primer lugar, el tratamiento de la contribución recursiva (Ilustración 4.4 (b)) y en segundo lugar, el tratamiento de la no recursiva o rayo directo (Ilustración 4.4 (c)).

De la contribución no recursiva, se calcula el coeficiente de reflexión Ï�¸ usando el mismo procedimiento utilizado en el paso anterior:



ℎg̀x(2) = (E� (��Ï�¸ (�� (�E = Ï�¸ · Ñ X 4�T�T+�(�T + �T+�)�Y�ToE

(4.17)

Para obtener el índice de refracción en la tercera capa bastaría con despejar r�¸ , que es el único parámetro desconocido y utilizando de nuevo la expresión (4.11) se tendría que:

�¸ = �� ~1 − Ï�¸ 1 + Ï�¸ �

(4.18)

Sin embargo, el valor de ℎg̀x(2) no se obtiene directamente, sino que es necesario realizar un paso intermedio. Observando la Ilustración 4.4, se concluye que:

ℎg̀x(2) = ℎg(2) − ℎgx (2) (4.19)

De aquí, el dato del que se dispone a través de las especificaciones de partida

es el valor de ℎg(2). No obstante, ℎgx (2) es fácil de obtener a partir de los índices de refracción de las capas previamente calculados. Suponiendo una perturbación que termina en la segunda capa, considerando que esta última capa es de duración infinita y aplicando los métodos de análisis estudiados en el apartado 3.2, se puede obtener la respuesta impulsiva correspondiente a una estructura como la mostrada en la Ilustración 4.4 (b), y de ahí, resolver ℎgx (2). De esta manera, se tiene que:

Ï�¸ = ℎg̀x(2)∏ X 4�T�T+�(�T + �T+�)�Y�ToE = ℎg(2) − ℎgx (2)∏ X 4�T�T+�(�T + �T+�)�Y�ToE

(4.20)

y �¸ se obtiene a través de la ecuación (4.18).

A partir de aquí, para el cálculo del índice de refracción en la capa s, �Î, no hay más que repetir este último paso de forma iterativa.



4.2.2. SIMULACIONES

La primera implementación de la herramienta desarrollada contenía el pequeño error que se ha comentado en el apartado anterior. Una vez verificado el correcto

funcionamiento de la misma, tras comprobar que los valores de �(�) obtenidos con la herramienta coinciden exactamente con los valores del índice de refracción de partida, se procede a subsanar dicho error para conseguir un algoritmo exacto de síntesis. La presencia de este error provoca una limitación a la hora de trabajar con una red de difracción genérica, ya que exige que el índice de refracción de perturbación esté centrado en el índice de refracción de la fibra sin perturbar.

Ilustración 4.5: Imposición para n(z) con respecto a neff debido al error cometido en el algoritmo de

síntesis

Para subsanar este problema, hay que admitir que la estructura multicapa en la que se divide la red de difracción tiene capas de distinta longitud, en función del índice de refracción de cada una de ellas. Esto ocurre porque es necesario considerar que el tiempo de propagación de la onda por cada capa es uniforme. Una vez que ya está desarrollado y probado el algoritmo de síntesis, ya no es deseable que los índices de refracción de las capas obtenidos en la síntesis correspondan con los índices de las capas con los que se hizo el análisis. Por lo tanto, se prefiere perfilar el algoritmo, con el fin de trabajar con una herramienta exacta que permita utilizar cualquier tipo de perfil de índice de refracción de la red.



El algoritmo basado en (Capmany, y otros, 2007) consiste en un bucle principal, en el que se repiten los mismos pasos a medida que se avanza en la estructura. La única modificación que es necesario hacer a este método, es que, en cada paso, se utilice una longitud de las capas calculado en ese instante, y que se corresponde con:

�Î = (G2 · ��Î

(4.21)

donde (G es el tiempo de muestreo de la función de transferencia, que corresponde

con el tiempo de ida y vuelta de la onda electromagnética en una capa, � es la

velocidad de la luz en el vacío y �Î el índice de refracción de la última capa calculada. El procedimiento a seguir consiste en que tras obtener este valor, se calcula la longitud de la última capa, y se van utilizando estas longitudes en el análisis que hay que realizar de la subestructura resultante a añadir la última capa calculada.

El resultado de esta modificación conlleva el perfeccionamiento del algoritmo de síntesis, y lo hace apto para perfiles genéricos de perturbación de la red.

A. Red Uniforme

El primer ejemplo corresponde a una red uniforme. El punto de partida es el índice de refracción, correspondiente a una función sinusoidal tal y como se indica en la Ilustración 4.6. El valor numérico de cada unos de sus parámetros se encuentra en la siguiente tabla:

Parámetro Valor �� 1,452 �� 1·103 �� 535 nm L 1 mm

Tabla 4.1: Parámetros del índice de refracción de la red de partida



Ilustración 4.6: Perfil del índice de refracción de partida

En primer lugar, se introduce este perfil en la herramienta de análisis desarrollada en

el Capítulo 3. De esta manera, se obtiene la respuesta impulsiva en reflexión ℎg((), la cual se utilizará como especificaciones para la herramienta de síntesis. A partir de este dato, tras realizar la síntesis mediante el método de Feced modificado, se obtienen los resultados mostrados en las siguientes ilustraciones.



Ilustración 4.7: Comparación entre el índice de refracción original y el sintetizado

La Ilustración 4.7 muestra una comparación entre el índice de refracción original y el sintetizado. En ella, se puede apreciar en azul el índice de refracción de partida. En rojo se muestran los puntos utilizados para realizar el análisis, es decir, son los

valores de �(�) que obtiene cada capa una vez muestreada la red. Por último, en

verde se representa los valores de �(�) obtenidos como resultado de la realización de la síntesis. Como se puede ver en la figura, estos puntos no corresponden exactamente con los puntos en rojo. Lo harían si se hubiese mantenido el pequeño error que se comentó anteriormente. Sin embargo, al tener en cuenta que las capas no tienen la misma longitud (si se supone que el tiempo de propagación de la luz en

una capa es constante), los valores de �(�) no coincidirán con los originales, pero la forma de la perturbación es exactamente la misma, como se puede apreciar en la ampliación de la figura.

Debido a que el resultado de la simulación es un vector de Matlab® cuya representación corresponde a esta imagen, para obtener el periodo y la longitud de la red obtenida es necesario crear un script que devuelva estos valores. Tras aplicarlo



a esta simulación, se comprueba cómo efectivamente se trata de una red de 1mm de longitud, con un periodo de la misma de 535nm.

A continuación, la Ilustración 4.8 muestra una comparación entre la respuesta impulsiva original (en rojo) y la que se va sintetizando en cada paso del algoritmo (en verde). Al observar la figura, se puede ver como los puntos rojos quedan totalmente ocultos bajo los verdes, ya que la respuesta impulsiva que se va sintetizando es exactamente igual que la de la red de partida.

Ilustración 4.8: Comparación entre la respuesta impulsiva calculada a partid del índice de partida y el

sintetizado

B. Red con función de apodizado y de chirp

En segundo lugar, se realiza una simulación de una red con un perfil sinusoidal, con alteraciones tanto en su amplitud como en su fase. En este caso, se trata de una red muy corta, con objeto de que se pueda apreciar a golpe de vista como efectivamente



la herramienta sintetizada funciona con cualquier tipo de perturbación. El perfil de partida tiene los siguientes parámetros:

Parámetro Valor Observaciones �� 1,452 �� 1·103 L 1 mm

A(z) © (ª�ℎ X2azL Y , 0 ≤ z ≤ L 2�

(ª�ℎ X2a(L − z)L Y, L 2� ≤ z ≤ L k

Función de apodizado

�() Λ(� = 0) + ∆Λ� � Función de chirp

a 4 Parámetro de la

tangente hiperbólica �( = �) 53,52 µm �� 30,04 µm Incremento de la red a lo

largo de su longitud Tabla 4.2: Valores de los parámetros para una red de difracción uniforme

La forma de esta perturbación es la siguiente:

Ilustración 4.9: Índice de refracción con función de apodizado y chirp

De nuevo, tras aplicar el algoritmo de análisis a esta red, se obtiene una respuesta impulsiva en reflexión que servirá de punto de partida para el algoritmo de síntesis.



Tras realizar la simulación oportuna, se obtienen los siguientes resultados para �(�)

y ℎg(():


La leyenda para estas figuras es exactamente la misma que la de las figuras anteriores. En rojo aparecen los puntos que dan valor a los índices de refracción de la estructura multicapa original, y en verde se muestran los puntos del índice de refracción obtenidos de la simulación. Como se puede comprobar, aunque estos puntos no se superponen, el perfil resultante sigue con exactitud el perfil original, y la diferencia entre los puntos rojos y verdes se va compensando en los distintos periodos de la estructura.

La siguiente figura muestra la comparación entre la respuesta impulsiva obtenida del perfil original y la generada por la herramienta de síntesis. De nuevo, ambas figuras se superponen perfectamente, demostrando así la validez del modelo propuesto.



Ilustración 4.11: Comparación entre la respuesta impulsiva real y la sintetizada

Por lo tanto, se puede concluir que el algoritmo funciona correctamente, y es válido para redes completamente genéricas cuya amplitud no está centrada en el índice de refracción de la fibra sin perturbar.

4.3. ALGORITMO DE POLADIAN

En el año 2000, el investigador australiano L. Poladian presentó un nuevo método de síntesis de redes de difracción de Bragg, que obtiene el perfil de la perturbación del índice de refracción a partir de la función de transferencia del filtro en reflexión, fg (�), es decir, es un método basado en la característica frecuencial. Este método fue propuesto para demostrar que los algoritmos de síntesis no tenían por qué ser más complejos o engorrosos que los de análisis, como se pensaba hasta la fecha. Los algoritmos de síntesis propuestos hasta entonces bien requerían un representación



particular del espectro, o bien sus implementaciones requerían un conocimiento matemático y físico muy especializado, cuyos formalismos oscurecían el entendimiento del proceso (Poladian, 2000).

El método de Poladian tiene como principal ventaja que utiliza las mismas ecuaciones de acoplo que se utilizan en el análisis de las redes, lo que conlleva una descripción totalmente transparente. Se basa en resolver el par de ecuaciones diferenciales que ya se mostraron en el apartado 3.1.1: 55� 6(�, ?) = �?6(�, ?) + �Å(�):(�, ?)

(4.22)

55� :(�, ?) = −�?:(�, ?) − �Å∗(�)6(�, ?)

(4.23)

donde ? es un factor proporcional la diferencia entre la frecuencia incidente y la de

Bragg. Por su parte, el coeficiente de acoplo Å(�) contiene toda la información sobre el apodizado y el chirp de la red.

El perfil de los campos 6(�, ?) y :(�, ?) se obtiene, según (Poladian, 2000), tomando como punto de partida que la excitación es un impulso y se inyecta por el

extremo � = �, es decir, en el extremo opuesto al caso anterior. De esta forma, las

condiciones de contorno aplicadas a las ecuaciones de acoplo serían 6(�, ?) = 1 y :(�, ?) = 0. La solución a las ecuaciones de acoplo en la dirección de � decreciente

se obtiene para � = 0, donde se calcula el espectro complejo en reflexión:

fg(?) = 6(0, ?):(0, ?)

(4.24)

También resulta útil definir el espectro de reflexión parcial, calculado como:

fg(�, ?) = 6(�, ?):(�, ?)

(4.25)

El algoritmo de síntesis propuesto por (Poladian, 2000) consiste en seguir los siguientes pasos:

1. Se especifican las condiciones de contorno en el extremo � = 0 de la red. De

esta manera, se tiene que 6(0, ?) = 1 y :(0, ?) = fg(?).



2. Se resuelve el sistema de modos acoplados de las ecuaciones (4.22) y (4.23)

en dirección de � crecientes, para obtener los coeficientes de reflexión

parcial, fg(�, ?). Simultáneamente, se va evaluando Å(�) para cada valor de �, de acuerdo a la integral:

Å(�) = M fg∗(�, ?)5?Ì2Ì

(4.26)

4.3.1. MODIFICACIONES AL ALGORITMO DE POLADIAN

A lo largo del proyecto, se han utilizado los métodos basados en matrices de transferencia en lugar de los basados en las ecuaciones de acoplo. Por lo tanto, para implementar el algoritmo de síntesis en base a unas especificaciones en el dominio frecuencial, se partirá en primera instancia del anteriormente descrito algoritmo de Poladian, pero sufrirá algunas modificaciones para adaptarse al resto de algoritmos implementados en este trabajo.

Dichas modificaciones atienden al hecho de que en lugar de trabajar con el sistema de ecuaciones de modos acoplados, se trabajará con una estructura multicapa y las matrices de transferencia asociadas a cada capa. Se mantendrá sin embargo la idea de trabajar directamente con el espectro complejo en reflexión y con el cálculo del

llamado espectro en reflexión parcial, fg(�, ?).

Antes de continuar con la descripción de este algoritmo conviene recordar la notación de los campos utilizada a la entrada y a la salida de la red:

Ilustración 4.12: Estructura multicapa de la red de difracción

donde "+(�, O) corresponde a la propagación del campo en el sentido de �

positivo, es decir, al campo 6(�, ?) anteriormente descrito, y "2(�, O) es el campo

que se propaga en el sentido negativo de �, equivalente a :(�, ?) (recuérdese lo comentado en el apartado 3.1.1).



La notación matricial de la estructura completa, teniendo en cuenta el método de matrices de transferencia, relaciona estos campos a través de la siguiente expresión:

X"+(� = 0, O)"2(� = 0, O)Y = XSVW�� SVW��SVW�� SVW��Y X"+(� = �, O)"2(� = �, O)Y= SVW X"+(� = �, O)"2(� = �, O)Y

(4.27)

Aplicando como condiciones de contorno las mismas que se emplearon en la modificación al algoritmo de Capmany -para continuar con la misma línea de

trabajo- se considera la inyección de un impulso en � = 0, es decir, "+(� = 0, O) =1 y "2(� = �, O) = 0. Se tendrá por tanto que, según la ecuación (4.24):

fg(O) = "2(0, O)"+(0, O) = "2(0, O)

(4.28)

De esta forma, se puede reescribir la ecuación (4.27) como:

X 1fg(O)Y = XSVW�� SVW��SVW�� SVW��Y X"+(� = �, O)"2(� = �, O)Y (4.29)

Esta ecuación resultará de gran utilidad a lo largo de la aplicación algoritmo. A continuación, se describe paso a paso la metodología a seguir.

1. En primer lugar, hay que calcular el índice de refracción de la primera capa de la estructura.

Ilustración 4.13: Estructura multicapa



Como ya se explicó anteriormente, la información de la primera reflexión

está contenida enteramente en el coeficiente ℎg(( = 0) . Sin embargo, interesa utilizar únicamente la característica frecuencial, por lo que se realiza el siguiente desarrollo matemático:

ℎg(( = 0) = 12� M fg(�)k.,3%*%oEÌ

2Ì 5� = 12� M fg(�)Ì2Ì 5� (4.30)

A continuación se divide fg(�) en su parte real y su parte imaginaria.

Como ℎg(() ha de ser una función real, causal y estable, por las propiedades

de la transformada de Fourier se tiene que la parte real de fg(�) es una función par, mientras que la parte imaginaria es impar. Al estar integrando en todo el intervalo de frecuencias, la parte imaginaria se anula, por lo que puede escribirse que:

ℎg(( = 0) = 12� M ℜ[fg(�)]Ì2Ì 5� = 22� M ℜ[fg(�)]Ì

E 5� (4.31)

Debido a que está diseñando un algoritmo que se implementará en un ordenador, se está trabajando inherentemente en el dominio digital. En ese caso, la integral pasa a convertirse en un sumatorio que queda de la siguiente forma:

ℎg(( = 0) = 2 ) ℜ[fg(�)]Õ`oE (4.32)

Por lo tanto, se tiene que la información necesaria para el cálculo del índice de refracción en la primera capa se puede obtener del sumatorio de los coeficientes del espectro:

�� = �E ~1 − ℎg(0)1 + ℎg(0)�

(4.33)

2. Para el cálculo del segundo y sucesivos índices de refracción de las capas, se lleva a cabo el siguiente cálculo matemático:



a. Se realiza el análisis de las capas calculadas hasta el momento (en esta ocasión, solo se tendrá en cuenta una capa de dieléctrico de n constante):

Ilustración 4.14: Subestructura formada por las capas cuyo índice de refracción es conocido, en este

caso, solo la primera

La matriz de la subestructura completa se denominará SÖ , y como siempre, corresponderá a la multiplicación sucesiva de las matrices correspondientes a medio dieléctrico de n contaste y las matrices correspondientes a la interfaz entre dos medios de n diferente, para las capas calculadas previamente.

b. A continuación, es necesario acudir a la ecuación (4.29), considerando la subestructura de la Ilustración 4.14. Por tanto, se considera la

matriz de transferencia SÖ calculada en el punto anterior, y el campo eléctrico correspondiente al final de la estructura considerada, en este

caso, � = ��. Se despeja el vector de campo eléctrico:

X"+(� = ��, O)"2(� = ��, O)Y = XSÖ�� SÖ��SÖ�� SÖ��Y2� X 1fg(O)Y (4.34)

c. Se calcula la inversa de la matriz SÖ , obteniendo la siguiente ecuación:

X"+(� = ��, O)"2(� = ��, O)Y = X SÖ�� −SÖ��−SÖ�� SÖ�� Y X 1fg(O)Y (4.35)



d. De la expresión anterior, es posible obtener el espectro en reflexión

parcial a través del cociente entre la amplitud compleja del campo

eléctrico en el sentido negativo de � y la amplitud del campo en el

sentido positivo de �:

Ï(� = ��, O) = "2(� = ��, O)"+(� = ��, O) = −SÖ�� + SÖ��fg(O)SÖ��−SÖ��fg(O) (4.36)

e. Utilizando este valor se calcula el coeficiente de reflexión en la

siguiente capa:

�� = �� ×1 − Ï(� = ��, O) 1 + Ï(� = ��, O) Ø

(4.37)

3. Para una capa genérica, s, basta con repetir el paso 2:

a. Cálculo de la matriz SÖ correspondiente a la subestructura formada

por las capas de la 1 a la � − 1:

Ilustración 4.15: Estructura de capas para el cálculo de n en la capa s

b. Considerando

�y = ) �TÎ2�To� (4.38)

se tiene que:



a"+]� = �y, O^"2]� = �y, O^b = XSÖ�� SÖ��SÖ�� SÖ��Y2� X 1fg(O)Y (4.39)

c. Desarrollando la expresión anterior y calculando el espectro en reflexión parcial:

Ï]� = �y, O^ = "2]� = �y, O^"+]� = �y, O^ = −SÖ�� + SÖ��fg(O)SÖ��−SÖ��fg(O) (4.40)

d. De ahí, se obtiene el índice de refracción para la capa �:

�Î = �Î2� ×1 − Ï]� = �y , O^ 1 + Ï]� = �y , O^ Ø

(4.41)

En este caso, también se comenzó cometiendo el error que se explicó en el apartado 4.2.1, relacionado con la longitud de las capas. Tanto en el análisis de la red de difracción origen de la que se obtendrá la función de transferencia para la síntesis,

como en el propio algoritmo de síntesis, se consideraron capas de longitud �T constante, e índice de refracción igual en todas las capas. En el único paso en el que se considerarán los índices de cada capa calculados será al introducirlos en la matriz correspondiente a la interfaz entre capas de dieléctrico.

Sin embargo, y al igual que en el caso anterior, tras la verificación del algoritmo este error se subsanó, quedando una herramienta de síntesis exacta a partir del método de Poladian. A continuación se muestran algunos ejemplos:

4.3.2. SIMULACIONES

Las simulaciones que se van a exponer a continuación parten del mismo perfil que las simulaciones realizadas en el apartado anterior. Sin embargo, en este caso, los valores de interés son el índice de refracción y la función de transferencia de la red fg(O).



A. Red Uniforme

Los valores de los parámetros del índice de refracción son los mismos que se presentaron en la Tabla 4.1:

Ilustración 4.16: Índice de refracción de partida: perfil uniforme

Tras la realización de un análisis a partir de este perfil de la perturbación, se utiliza ahora la función de trasferencia para introducirla como especificación de la herramienta de análisis. De esta forma, se obtienen los siguientes resultados:



Ilustración 4.17: Comparación entre el índice de refracción de partida y el sintetizado

La Ilustración 4.17 representa el índice de refracción sintetizado (en verde), en comparación con el índice de refracción de partida (en rojo). Ambos dibujan exactamente el mismo perfil (en azul), aunque los puntos no están superpuestos. Al igual que ocurría con el método de Feced, esto es debido a que al considerar el tiempo de propagación del rayo en una capa constante, y cada capa tiene un índice de refracción distinto, las capas tienen distinta longitud. Sin embargo, al hacer el muestreo para el análisis, las capas se toman de igual longitud, lo que implica esta diferencia.



Ilustración 4.18: Comparación entre la función de transferencia calculada a partid del índice original y

la sintetizada

La Ilustración 4.18 muestra en este caso la función de transferencia sintetizada (en verde) sobre la función de transferencia resultante del análisis de la perturbación original (en rojo). Es imposible apreciar esta última puesto que ambas están totalmente superpuestas, lo que refleja la exactitud del método implementado.

B. Red con función de apodizado y función de chirp

Por último, se realizará la simulación de la red con función de apodizado y chirp que ya se utilizó en el apartado anterior para la comprobación del método de Feced. De nuevo, los parámetros de esta red son los que se encuentran en la tabla Tabla 4.2 y que dan como resultado el perfil que aparece en la siguiente ilustración:



Ilustración 4.19: Índice de refracción de partida

Se repite el proceso de analizar esta red y utilizar la función de transferencia fg(O) para su utilización en la herramienta de síntesis. Usando el método de Poladian explicado, se puede demostrar cómo resulta válido para cualquier tipo de perturbación genérica, a la vista de los resultados obtenidos en este caso.




Esta figura representa la comparación entre el índice de refracción sintetizado, cuyos puntos se representan en verde, y el original, en rojo. Se puede apreciar la diferencia en la localización longitudinal entre ambos puntos, cuya explicación se ha comentado anteriormente. Sin embargo, en la gráfica completa, se comprueba que el índice de refracción sintetizado tiene exactamente la misma forma que el original.



Ilustración 4.21: Comparación entre la función de transferencia original y la resultante de aplicar el

proceso de síntesis

En esta imagen se muestra la función de transferencia en amplitud sintetizada (en verde) frente a la original, en rojo. De nuevo ambas gráficas están superpuestas, lo que imposibilita la visualización de los puntos en rojo. Con esto se comprueba que la herramienta de síntesis está funcionando correctamente.

Una vez que se ha conseguido llegar a una herramienta que proporciona unos resultados tan exactos, es posible utilizarla partiendo de las especificaciones cualquiera, de filtros ópticos cuyo perfil de índice de refracción de la red no sea conocido a priori.

Documents

Capítulo 4. SÍNTESIS DE LAS EDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGGbibing.us.es/proyectos/abreproy/70225/fichero... · Capítulo 4. SÍNTESIS DE LAS REDES DE DIFRACCIÓN DE BRAGG Hasta el