Cap´ıtulo 4 Teor´ıa del equilibrio generalpareto.uab.cat/xmg/Docencia/MicroAv1/Curs0607/EqGen.pdf · Cap´ıtulo 4 Teor´ıa del equilibrio general 4.1 Introduccion´ La idea

Capıtulo 4

Teorıa del equilibrio general

4.1 Introduccion

La idea deequilibrio conlleva implıcita una situacion en el que las fuerzas queoperan sobre el mercado se compensan de manera que los agentes que intervienenno tienen incentivos para desviarse de las decisiones que les han conducido a estasituacion.

Hasta ahora hemos estudiado demanda y oferta en un solo mercado, sin ten-er en cuenta que en una economıa, (i) hay tantos mercados como bienes, (ii) losbienes estan relacionados entre si, ya sea porque son sustitutivos o complementar-ios, ya sea porque variaciones de los precios afectan a la renta disponible de losconsumidores y por lo tanto a sus decisiones de demanda. En una palabra, hastaahora hemos desarrollado modelos deequilibrio parcial.

Cuando introducimos estas interacciones entre los diferentes mercados de laeconomıa en el analisis planteamos modelos deequilibrio general. Estudiaremospues, la forma como las condiciones de demanda y oferta de los diversos mer-cados determinansimultaneamentelos precios de equilibrio en cada uno de losmercados.

Los modelos de equilibrio general pueden clasificarse de acuerdo con el poderde mercado de los agentes en modelos deequilibrio general competitivoy enmodelos deequilibrio general con oligopolios. Tambien podemos distinguir entremodelos deequilibrio general de intercambio purosi las dotaciones de bienes enla economıa son exogenas, y modelos deequilibrio general con produccionsi losbienes disponibles son el resultado de la actividad productiva de las empresas.

En este capıtulo estudiaremos el modelo de equilibrio general competitivo,tanto de intercambio puro como la version con produccion.

El primer ensayo de estudio de la interaccion entre los mercados se encuentraenElements of Pure Economicsque Walras publico en 1874. Fundamentalmente,

114 4.1 Introduccion

la idea de Walras consistio en verificar que el numero de ecuaciones e incognitasera igual. Si las ecuaciones fueran lineales e independientes, esto es una condicionsuficiente para la existencia de una solucion. Naturalmente, cuando las ecuacionesson no lineales, como tıpicamente sera el caso, y hay restricciones adicionales enel sistema como la no-negatividad de las cantidades, este metodo no asegura unasolucion y por lo tanto no asegura la existencia de equilibrio. En los anos cincuen-ta Arrow, Debreu y McKenzie independientemente al principio y en colaboracionmas tarde utilizaron el enfoque del teorema de punto fijo para demostrar la ex-istencia de un equilibrio walrasiano. Esta aproximacion al problema se conocecomo el modelo de equilibrio walrasiano de Arrow y Debreu (1954).

Edgeworth en suMathematical Physicspublicado en 1881 introdujo nuevasherramientas de analisis y nuevos conceptos de negociacion. La elaboracion mod-erna de estas ideas se debe a Debreu y Scarf (1963) a partir del concepto del nucleode la economıa.

4.1.1 Descripcion de la economıa.

La economıa estacompuesta per tres elementos: mercancıas, consumidores y pro-ductores.

• Lasmercancıas las identificamos pork = 1, 2, . . . , l y las suponemos per-fectamente divisibles.

• El conjunto deconsumidoreslo denotamos porI. Los consumidores losidentificamos pori = 1, 2, . . . , m. Un consumidori esta descrito por unatripleta (wi, �i, Xi) dondewi ∈ IRl

+ representa la dotacion inicial de re-cursos del consumidor;�i representa una relacion de preferencias sobre elconjunto de mercancıas; yXi ⊂ IRl

+ representa el conjunto de consumo.Un plan de consumo para el consumidori lo representamos comoxi ∈ Xi.Supondremos para simplificarX i = X,∀i ∈ I.

• El conjunto deempresaslo denotamos porF . Les empresas las identifi-camos porj = 1, 2, . . . , n. Una empresaj esta descrita por una tecnologıa,i.e. por un conjunto de produccionYj ⊂ IRl

+.

• Unaeconomıa se describe por un vector

[IRl

+,(Xi, �i, wi

)i∈I

,(Yj

)j∈F

].

Notemos que consideramos una economıa sin dinero ni sistema financiero.

Teorıa del equilibrio general 115

4.2 Economıas de intercambio puro

Definicion 4.1 (Economıa de intercambio). Una economıa de intercambioE,es una proyeccion del conjunto de consumidores sobre el espacio de caracterısti-cas de los agentes, es decir,

E :I −→ Υ × IRl+

i −→ [�i, wi]

El problema al que se enfrentan los agentes de una economıa es como re-distribuir los recursos inicialesw = (w1, . . . , wm) de la mejor forma posible.Suponemos pues que no hay ninguna actividad productiva en esta economıa perola naturaleza dota de unos ciertos recursos iniciales como “mana caıdo del cielo”.La decision de los consumidores es pues o bien consumir sus dotaciones iniciales,o bien involucrarse en un proceso de intercambio de sus recursos iniciales paradisenar una cesta de consumo mejor. Este intercambio puede concebirse bajo dosperspectivas diferentes. Por una parte podemos imaginar una economıa de truequeen la que un mecanismo de negociacion determina el resultado final del intercam-bio. Hablaremos en este contexto de asignaciones en elnucleo de la economıa.Por otra parte, podemos imaginar un subastador anunciando precios y un mecan-ismo de mercado para determinar las cestas finales de consumo. En este escenariohablaremos deequilibrio walrasiano.

Definicion 4.2 (Asignacion de recursos).Una asignacion para una economıa Ees una funcion

f :I −→ IRl+

i −→ xi

Definicion 4.3 (Asignacion factible). Una asignacion factible para una economıaEes una asignacionf paraE que satisface

∑i∈I

xi =∑i∈I

wi.

Definicion 4.4 (Asignacion eficiente). Una asignacion factible para una economıaEes eficiente (Pareto-optima) si no hay una asignacion factible alternativa que per-mite mejorar a cada agente sin que otro agente empeore. Formalmente, una asig-nacion

x ≡ (x1, . . . , xm)

116 4.2 Economıas de intercambio puro

es eficiente si satisface

(i)∑i∈I

xi =∑i∈I

wi

(ii) � ∃ xi t.q.∑i∈I

xi =∑i∈I

wi y xi �i xi, ∀i ∈ I.

Notemos que el criterio de eficiencia paretiana no contiene elementos distribu-tivos. Ası, por ejemplo, una asignacion que otorgue todos los bienes a un consum-idor y nada a los demas es eficiente aunque puede resultar poco satisfactoria bajootros criterios (equidad, justicia distributiva, etc). Para evitar este tipo de asig-naciones eficientes, a menudo limitamos el conjunto de asignaciones eficientes aaquellas que satisfacen una propiedad de “racionalidad individual”.

Definicion 4.5 (Racionalidad individual). Una asignacion xi ∈ IRl+, satisface

la propiedad de racionalidad individual si

xi �i wi ∀i ∈ I.

Esta propiedad contiene un supuesto implıcito consistente en la propiedad porparte de los agentes de sus recursos iniciales.

Definicion 4.6 (Coalicion). Una coalicionS es un subconjunto deI. El conjuntode todas las coaliciones lo denotamos comoΘ.

Definicion 4.7 (Mejor asignacion para una coalicion). Una coalicion S ∈ Θpuede mejorar sobre una asignacion (bloquear)x para una economıa E, si existeuna asignacion alternativay paraE tal que,

(i)yi �i xi, ∀i ∈ S

y

(ii)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi.

Definicion 4.8 (Nucleo de la economıa). El nucleo de una economıa E, C(E),es el conjunto de las asignaciones factibles paraE sobre las que ninguna coali-cionS ∈ Θ puede mejorar.

Senalemos que una coalicion solo puede evitar (bloquear) asignaciones sobrelas quesus miembrospueden mejorar, pero no impone externalidades sobre losotros agentes de la economıa que no pertenecen a la coalicion. Un analisis de-tallado del nucleo y de sus propiedades se encuentra en Hildenbrand y Kirman(1986, cap. 3).


El nucleo como concepto de solucion alternativo al concepto de equilibriogeneral competitivo (que definiremos a continuacion), tiene para una economıadadaE algunas ventajas. En particular permite obtener soluciones interpreta-bles en contextos donde la solucion competitiva no tiene mucho sentido. Ası porejemplo, (i) en mercados con un numero pequeno de agentes conscientes de sucapacidad para manipular el funcionamiento del mercado,estos se comportaranestrategicamente; (ii) en mercados donde la tecnologıa y/o las preferencias no sonconvexas; (iii) en mercados donde los bienes no son perfectamente divisibles.

En contraste con estas situaciones, la justificacion del concepto de equilib-rio general competitivo radica en el supuesto de un numero grande de agentes(consumidores y productores) que reconocen su incapacidad para afectar el fun-cionamiento del mercado y por lo tanto la imposibilidad de comportarse estrategi-camente. Ası pues el estudio de este concepto de solucion solo tiene verdaderosentido en economıas grandes.

Para ilustrar todos estos conceptos y el funcionamiento del modelo de equi-librio general competitivo presentaremos primero una economıa con dos agentesy dos bienes. A continuacion supondremos que en nuestra economıa de inter-cambioE hay un numero arbitrariamente grande de consumidores, definiremos elconcepto de equilibrio y estudiaremos sus propiedades.

4.2.1 Una ilustracion: la economıa de la caja de Edgeworth

Consideremos una economıa con dos (tipos de) consumidores y dos mercancıas.1

Los dos consumidores consideran los precios como dados. Cada consumidorposee una dotacion inicial de bieneswi = (wi1, wi2), i = 1, 2, de manera quela dotacion total de cada bien en la economıa eswk = w1k + w2k > 0, k = 1, 2.

Unaasignacion factiblees un vector no negativo de consumox = (x1, x2) =((x11, x12), (x21, x22)) tal quex1k + x2k ≤ wk, k = 1, 2

Podemos representar el conjunto de asignaciones factibles graficamente me-diante unacaja de Edgeworthcomo ilustra la figura4.1. La altura de la cajarepresenta la dotacion total de bien 2,w2, mientras que la anchura representa ladotacion total de bien 1,w1. El vector de dotaciones inicialesw es un punto eneste espacio. Las dotaciones iniciales del consumidor 1 se describen por las co-ordenadas cartesianas tomando como origen la esquina inferior izquierda. Por suparte las dotaciones iniciales del consumidor 2 se describen por las coordenadascartesianas tomando como origen la esquina superior derecha. Ambas dotacionesiniciales son compatibles en ununico punto porque las dimensiones de la caja rep-resentan las dotaciones totales de bienes en la economıa. El mismo razonamientodescribe una asignacion factible para ambos individuos como un puntox. For-

1Esta seccion se basa fundamentalmente en Mas Colell et al. (1995, Cap. 15B)

w11

w12

w21 w

22

x11

x12

x21

x22

x

w

02

01 w

1

__

w2

__


malmente, la caja de Edgeworth es pues el conjunto de asignaciones factibles

EB = {x ∈ IR2+ : x1k + x2k ≤ wk, k = 1, 2}.

La riqueza inicial del individuo viene dada por el valor, al sistema de preciosdado, de sus dotaciones iniciales. Dado un sistema de preciosp = (p1, p2), larentadel consumidori es puesmi ≡ pwi = p1wi1+p2wi2. Esta renta define el conjuntode asignaciones factibles del consumidor,Bi(p) = {xi ∈ IR2

+ : pxi ≤ pwi}.

Figura 4.1: Lacaja de Edgeworth.

La figura 4.2 representa los conjuntos presupuestarios de los dos consumi-dores. Ambos conjuntos tienen la recta presupuestaria en comun. Esta es la rectaque pasa por el puntow de las dotaciones iniciales y tiene pendiente−(p1/p2). Esimportante observar que solo las cestas situadas sobre la recta presupuestaria sonfactibles para ambos consumidores simultaneamente dado el sistema de preciosp.

A continuacion, la figura4.3muestra las preferencias de los consumidores enla caja de Edgeworth. Suponiendo preferencias estrictamente convexas, continuasy fuertemente monotonas,estas estan representadas por los respectivos mapas decurvas de indiferencia.

La derivacion grafica de la decision optima del consumidor 1, dados un sis-tema de preciosp y una rentam1, semuestra en la figura4.4 tal como estudiamosen el capıtulo sobre teorıa de la demanda. El resultado de esta decision es unafuncion de demanda del consumidor 1 que expresamos comox1(p, pw1).

02

01

B (p)1

B (p)2

α

tg( )= -p /pα1 2

w.

02

01

u1

u1

u2

u2


Figura 4.2: Los conjuntos presupuestarios.

Figura 4.3: Mapas de indiferencia.

02

01

B (p)1w.

u1

w11

w12

p

x (p, pw)1


Figura 4.4: Lademanda del consumidor 1.

Por ultimo, la figura4.5 muestra lacurva de ofertadel consumidor 1,CO1,es decir el conjunto de cestasoptimas para diferentes sistemas de precios. Ob-servemos que la recta presupuestaria pivota alrededor del punto de las dotacionesiniciales w conforme varıa el sistema de precios. Es importante senalar quepara cualquier sistema de precios la dotacion inicial del consumidor 1 siemprees factible (puesto que ya la tiene), de manera que cualquier punto sobre su curvade oferta debe ser al menos tan deseable como su dotacion inicial. En otras pal-abras, la curva de oferta es tangente a la curva de indiferencia asociada a la cestade dotaciones iniciales.

Una vez recordado el analisis grafico del proceso de decision del consum-idor, podemos combinar los procesos de decision de ambos consumidores si-multaneamente. Este proceso de decision simultaneo consiste en determinar dadoun sistema de preciosp, el intercambio que estan dispuestos a implementar cadauno de los consumidores. La figura4.6 representa las demandas de ambos in-dividuos dado un vector de precios arbitrariop. Fijemonos que estas demandasson incompatibles. En terminos del bien 2, el consumidor 1 tiene una dotacioninicial w12 mientras que quiere consumir una cantidadx12, de manera que su de-manda neta de bien 2 esx12−w12. Por su parte, el consumidor 2 tiene una dotacioninicial w22 y solo quiere consumirx22 de manera que su oferta neta de bien 2 esw22−x22, pero la oferta neta de bien 2 por parte del consumidor 2 no es suficientepara satisfacer la demanda neta del consumidor 1. En resumen, a los preciosp,hay un exceso de demanda de bien 2. De forma similar podemos verificar que

02

01

w.

u1

CO1u1


Figura 4.5: Lacurva de oferta del consumidor 1.

existe un exceso de oferta de bien 1.La nocion de equilibrio general competitivo nos dice que los consumidores

deben poder satisfacer sus demandas y ofertas netas de bienes a los precios queprevalecen en cada mercado. Formalmente,

Definicion 4.9. Un equilibrio walrasiano para la economıa de la caja de Edge-worth es un sistema de preciosp∗ y una asignacion x∗ = (x∗

1, x∗2) en la caja de

Edgeworth tal que

∀xi ∈ Bi(p∗), x∗

i �i xi, i = 1, 2.

La figura4.7 muestra una situacion de equilibrio en la que la demanda netade cada bien coincide con su oferta neta. La figura4.8presenta la caracterizacioncompleta del equilibrio. Muestra las curvas de indiferencia tangentes en la asig-nacion x∗ de equilibrio, las curvas de indiferencia que pasan por las dotacionesinicialesw, y las curvas de oferta.

El conjunto de equilibrios walrasianos es pues

W (w, p) = {x∗ ∈ EB : ∀xi ∈ Bi(p), x∗i �i xi, i = 1, 2.}

En el equilibriox∗ las curvas de ofertaCO1 y CO2 se intersectan. De hechocualquier punto de interseccion de las curvas de oferta en una asignacion diferentedew corresponde a un equilibrio porque en ese punto de interseccion las cestas de

.

02

01

w

p

x (p, pw )1 1

x (p, pw )2 2

u 1

u 2

Bien 1

Bien 2

w - x2222

w - x1212

x*21

x*22

.

02

01

w

p*

u 1

u 2

x*

x*11

x*12


Figura 4.6: Intercambio incompatible.

Figura 4.7: Equilibrio walrasiano.

.

02

01

w

p*

u 1

u 2

x*

CO1

CO2


Figura 4.8: Caracterizacion del equilibrio walrasiano.

consumo correspondientes para cada consumidor sonoptimas dado que la rectapresupuestaria pasa porw y es un plano tangente enx∗.

Tanto la figura4.7como la figura4.8muestran un equilibrio walrasiano en elinterior de la caja de Edgeworth. Podemos tener tambien equilibrios en el lımitede la caja de Edgeworth. La figura4.9 muestra un ejemplo de esta situacion. Alos preciosp∗, las demandas netas de ambos consumidores son compatibles.

Recordemos que las funciones de demanda de los consumidores son homoge-neas de grado cero en precios. Ello quiere decir que sip∗ es un equilibrio wal-rasiano, un sistema de preciosαp∗, α > 0 tambien es equilibrio. Por lo tanto, enequilibrio solo los precios relativosp1/p2 quedan determinados.

El analisis realizado hasta ahora ha servido para identificar un equilibrio wal-rasiano. La caja de Edgeworth resulta tambien util para estudiar la multiplicidady la existencia de equilibrio.

La figura4.10muestra una situacion de multiplicidad de equilibrios compet-itivos. En este ejemplo, las preferencias de los consumidores son tales que lascurvas de oferta se cruzan varias veces, de manera que cada sistema de precios alque ocurre una interseccion es un equilibrio walrasiano.

Finalmente, la figura4.11muestra una primera situacion de no existencia deequilibrio. Enesta la dotacion inicial de recursos se encuentra en el lımite de lacaja de Edgeworth. El consumidor 2 tiene toda la dotacion de bien 1 y solo quiereconsumir bien 1. El consumidor 1 tiene toda la dotacion de bien 2 y su mapa deindiferencia muestra curvas con pendiente infinita enw. Supongamos un sistema

02

01

.w

p*

u 1

u 2

x*

CO1 02

01

w.CO2


Figura 4.9: Un equilibrio en el lımite de la caja de Edgeworth.

Figura 4.10: Multiplicidad de equilibrios walrasianos.

02

01

u 1

Bien 1

w

Bien 2

u 2


de precios arbitrariop tal quep2/p1 > 0. La demandaoptima del consumidor 2es consumir precisamente su dotacion inicial w2. El consumidor 1 por su partedesea comprar bien 2 puesto que la recta de precios no es tangente enw1 a lacurva de indiferencia (cuya pendiente en ese punto es infinita). Si por el contrario,nuestro sistema de precios arbitrario es tal quep2/p1 = 0, la demanda de bien 2por parte del consumidor 1 es infinita. El problema que provoca la no existenciade equilibrio en este ejemplo es la no monotonicidad fuerte de las preferencias delconsumidor 2.

Figura 4.11: No existencia de equilibrio walrasiano (1).

La no convexidad de las preferencias tambien puede provocar la no existenciade equilibrio. La figura4.12 ilustra el argumento. El consumidor 1 tiene pref-erencia no convexas, de manera que su curva de oferta es discontinua y launicainterseccion con la curva de oferta del consumidor 2 ocurre enw.

Analisis de Bienestar

Presentamos a continuacion el analisis normativo del modelo de equilibrio gener-al competitivo de intercambio puro estudiando sus propiedades de bienestar. Elconcepto que utilizamos es el de optimalidad de Pareto.

Definicion 4.10. Decimos que una asignacionx en la caja de Edgeworth esoptimade Pareto si no existe otra asignacion alternativax factible tal quexi �i xi parai = 1, 2 y xi �i xi para algun i.

.

02

01

w

u 1

u 2

CO1

CO2


Figura 4.12: No existencia de equilibrio walrasiano (2).

La figura4.13(a) presenta un ejemplo de asignacion x que no esoptima dePareto. Cualquier asignacion dentro delarea coloreada, la interseccion de losrespectivos conjuntos de planes de consumono peoresquexi, es una asignacionfactible que mejora la satisfaccion de ambos consumidores simultaneamente.

Las asignaciones en los paneles (b) y (c) de la figura4.13sonoptimas de Pare-to. En el panel (b) la asignacionx es launica de la interseccion de los respectivosconjuntos de planes de consumono peoresquexi. Senalemos que cuando unaasignacion optima de Pareto se encuentra en el interior de la caja de Edgeworth,esta caracterizada por la tangencia de las dos curvas de indiferencia que pasanpor x. El panel (c) muestra una asignacion optima de Pareto situada en el lımitede la caja de Edgeworth. En tal situacion la tangencia entre las curvas de in-diferencia puede no aparecer. Podemos pues, definir el conjunto de asignacionesoptimas de Pareto como

PO = {x ∈ EB :� ∃x ∈ EB, ∀ixi �i xi, y ∃i xi �i xi}.

El conjunto de todas las asignacionesoptimas de Pareto se denominaconjuntode Pareto. El subconjunto de asignacionesoptimas de Pareto que se encuentranentre las dos curvas de indiferencia que pasan por la dotacion inicial de bieneswse denominacurva de contrato. La figura4.14presenta un ejemplo de conjuntode Pareto y de la curva de contrato asociada. En otras palabras, la curva de contra-to son aquellas asignacionesoptimas de Pareto con las que ambos consumidoresobtienen por lo menos el mismo nivel de satisfaccion que con sus dotaciones ini-

01

02

x

u1

u2

01

02

x

u1

u2

01

x u1

u2

(a) (b)

(c)

02


Figura 4.13: Optimalidad de Pareto.

.

02

01

w


ciales. Este es el conjunto de asignaciones candidatas a aparecer como resultadodel intercambio entre ambos consumidores. Formalmente, la curva de contrato esel conjunto de asignaciones de equilibrio

PC = {x ∈ PO : xi i wi, i = 1, 2}.

Tambien, como veremos mas adelante, estas asignaciones son candidatas aser la solucion de un proceso de negociacion entre los consumidores, es decir aformar parte delnucleo de la economıa.

Figura 4.14: El conjunto de Pareto y la curva de contrato.

Que relacion podemos determinar entre las asignaciones de equilibrio wal-rasiano y las asignacionesoptimas de Pareto? La respuesta a esta pregunta seconcreta en los denominadosteoremas fundamentales del bienestar.

Teorema 4.1 (Primer teorema del bienestar).Las asignaciones de equilibrio wal-rasiano sonoptimas de Pareto.

La definicion de equilibrio walrasiano identifica asignaciones sobre la rectapresupuestaria para las que dos curvas de indiferencia son tangentes. Por lo tantoen una asignacion como esta no podemos encontrar otra asignacion factible quepermita mejorar a ambos consumidores simultaneamente. Ası pues, cualquierasignacion de equilibrio de Walras necesariamente es una asignacion optima dePareto. Ademas, dado que en una asignacion de equilibrio cada consumidor debeobtener por lo menos el nivel de utilidad que le proporciona su dotacion inicial,necesariamente tal asignacion debe encontrarse en la curva de contrato.

01

02

x*

(a)

w.p*

01

02

x*

(b)

w.p*

w

..w~


Teorema 4.2 (Segundo teorema del bienestar).Cuando las preferencias de am-bos consumidores son convexas, continuas y fuertemente monotonas, cualquierasignacion optima de Pareto puede soportarse como equilibrio walrasiano conlas adecuadas transferencias entre los consumidores.

La figura4.15ilustra el contenido del teorema considerando dos tipos de trans-ferencias entre ambos consumidores. El panel (a) considera una transferencia deriqueza a traves de impuestos; el panel (b) considera una transferencia de dota-ciones iniciales.

Figura 4.15: El segundo teorema del bienestar.

Supongamos una situacion inicial con una dotacion inicial de bienesw. Supong-amos tambien que por razones distributivas, socialmente es deseable alcanzar laasignacion optima de Paretox∗. Una posibilidad, ilustrada en la figura4.15(a), estransferir a traves de impuestos (de tipo lump-sum) riqueza entre ambos consum-idores. Ello desplaza la recta presupuestaria paralelamente de manera que corteal conjunto de Pareto enx∗. Ası pues dado el sistema de preciosp∗, la asignacionoptimax∗ vacıa los mercados y puede implementarse como equilibrio walrasiano.

Alternativamente, como muestra la figura4.15(b), tal asignacion x∗ puedealcanzarse transfiriendo, por ejemplo, una parte de la dotacion de bien 1 del con-sumidor 1 al consumidor 2 de manera que la nueva dotacion inicial de recursoses w. A partir de esta nueva dotacion inicial y dado el sistema de preciosp∗,la asignacion x∗ emerge como equilibrio walrasiano. El mismo resultado podrıaobtenerse transfiriendo bien 2 del consumidor 1 al consumidor 2 de manera quela nueva dotacion inicial serıa w. Finalmente, tambien podrıamos implementaruna transferencia de bienes desdew directamente ax∗ con lo que obtendrıamosla asignacion deseada sin intercambio entre los consumidores. El problema coneste tipo de razonamiento es que no siempre es facil transferir dotaciones inicialesespecialmente cuando entreestas consideramos e.g. el capital humano.


Analisis formal del intercambio

Supongamos que las demandas del consumidori, i = 1, 2 vienen dadas porxi1(p), xi2(p). Para que estas demandas puedan ser de equilibrio han de satis-facer que para el sistema de preciosp, xik(p) + xjk(p) = wk, i, j = 1, 2, i �=j; k = 1, 2. Reescribiendo estas expresiones en terminos de las demandas netasobtenemos

(x11(p) − w11) + (x21(p) − w21) = 0,

(x12(p) − w12) + (x22(p) − w22) = 0.

de manera que la suma de demandas netas de cada bien ha de ser nula. Definamosahora, para simplificar la notacion lafuncion de exceso de demandadel bienk parael consumidori comoeik(p) = xik(p) − wik, de manera que podemos reescribirel anterior sistema de demandas netas en terminos de las funciones de exceso dedemanda,

e11(p) + e21(p) = 0,

e12(p) + e22(p) = 0.

Podemos finalmente definir lafuncion de exceso de demanda agregadadel bienkcomozk(p) = e1k(p) + e2k(p), lo que nos permite definir el equilibrio walrasianocomo un vector de preciosp∗ tal quezk(p∗) = 0, k = 1, 2.

Una propiedad de estas funciones agregadas de exceso de demanda es la de-nominadaLey de Walrasque dice que la suma del valor de las funciones de excesode demanda agregada es identicamente igual a cero.

Lema 4.1 (Ley de Walras).∀p, p1z1(p) + p2z2(p) = 0

Demostracion. Consideremos el consumidor 1. Cualquier cesta de consumo, da-do un sistema de precios arbitrario, ha de ser factible, es decir∀p, p1x11(p) +p2x12(p) = p1w11 + p2w12 lo que podemos expresar comop1e11(p) + p2e12 = 0.

Paralelamente, la decision de consumo del individuo 2 podemos expresarlacomop1e21(p) + p2e22 = 0.

Sumando ambas expresiones obtenemosp1(e11(p)+e21(p))+p2(e12+e22(p)) =0 que es el contenido de la ley de Walras.

Corolario 4.1. Si la demanda se iguala a la oferta en cada uno de losl − 1mercados de la economıa, en el mercadol tambien se verifica la igualdad entreoferta y demanda.


Demostracion. Dado que la ley de Walras se verifica para un sistema arbitrariode precios, tambien se debe verificar para el sistema de precios que hace queel exceso de demanda agregada de un bien es cero. Sea puesp∗ el sistema deprecios para el quez1(p∗) = 0. De acuerdo con la ley de Walras, debe verificarsequez1(p∗) + z2(p∗) = 0. De estas dos igualdades se deduce quez2(p∗) = 0tambien.

Ası pues el sistema del ecuaciones que caracteriza el equilibrio de Walras enuna economıa conl bienes, solo tenemosl − 1 ecuaciones linealmente indepen-dientes, de manera que en el equilibrio solo obtenemosl − 1 precios independi-entes. La normalizacion del sistema de precios (ya sea definiendo un bien comonumerario, ya sea definiendo el sistema de precios en un simplex) completa lacaracterizacion de los precios.

Una vez obtenido el sistema de precios de equilibrio, derivamos las demandasde equilibrio y caracterizamos el intercambio entre los consumidores. La preguntaque nos hacemos ahora es si el intercambio conduce a una asignacion optima dePareto.

Consideremos pues una asignacionx que sea equilibrio walrasiano y supong-amos que no esoptima de Pareto. Esto quiere decir que existe una asignacionfactiblex preferida para ambos consumidores simultaneamente, es decir∃x ∈ EB

tal quexi �i xi. Ahora bien, six es una asignacion de equilibrio, por la propiadefinicion de equilibrio, quiere decir que cada consumidor ha escogido la mejorcesta de consumo dentro de su conjunto factible. Necesariamente pues, sixi �i xi

debe implicar quex �∈ Bi(p), es decir

p1x11 + p2x12 > p1w11 + p2w12

p1x21 + p2x22 > p1w21 + p2w22.

Sumando ambas expresiones obtenemos

p1(x11 + x21) + p2(x12 + x22) > p1(w11 + w21) + p2(w12 + w22). (4.1)

Comox es factible, es decir

x11 + x21 = w11 + w21

x12 + x22 = w12 + w22,

podemos reescribir (4.1) como

p1(w11 + w21) + p2(w12 + w22) > p1(w11 + w21) + p2(w12 + w22),

que es una contradiccion. Este argumento es el contenido del primer teorema delbienestar.

02

01

x*x~..x

u*B p


Teorema 4.3 (Primer teorema del bienestar).Todas las asignaciones de equi-librio walrasiano sonoptimas de Pareto.

Este teorema nos dice que cuando las preferencias son regulares, en equilibriolos agentes de la economıa obtienen todas las posibles ganancias del intercambio.Es oportuno recordar ahora que el criterio de la optimalidad de Pareto no contieneninguna consideracion normativa sobre la distribucion de los recursos entre losagentes de la economıa en equilibrio.

El teorema exige que las preferencias sean regulares. Esto quiere decir, enparticular, que deben satisfacer la no saciabilidad local y la convexidad. Veamosqueocurre cuando se viola alguno de estos supuestos.

La figura 4.16 ilustra el caso de preferencias no saciables localmente. Eneste caso las curvas de indiferencia pueden ser “anchas”. Todas las cestas deconsumo enu∗

2 estan saturadas (mayor cantidad no proporciona mas satisfaccion).La asignacion x es una asignacion de equilibrio competitivo pero no esoptima dePareto porque tantox comox∗ son asignaciones preferidas para el consumidor 1sin que empeore la situacion del consumidor 2.

Figura 4.16: Curvas de indiferencia “anchas”.

La figura4.17 ilustra una situacion en la que los bienes no son perfectamentedivisibles (las preferencias no son convexas). Dada una dotacion inicial W =(0, 2; 4, 0), consideremos las asignacionesx∗ = (3, 0; 1, 2), x = (1, 1; 3, 1), x =(2, 1; 2, 1) y un sistema de preciosp∗. Supongamos las preferencias siguientes

02

01

.x

p*

. . ... . . ..x~

x*

0 1 2 3 4

4 3 2 1 0

2

1

0

0

1

2

W


Consumidor 1 x∗ �1 W �1 x y todas las demas asignaciones por debajo de lalınea de precios.

x �1 x∗

Consumidor 2 x∗ �2 x

x∗ �2 W y todas las demas asignaciones (exceptox) por debajo de la lıneade precios (respecto a02)

En este escenario podemos concluir quex∗ es una asignacion de equilibrio wal-rasiano yp∗ es el sistema de precios que permite implementarx∗. Ahora bien,x∗

no esoptima de Pareto porquex �1 x∗ y x ∼2 x∗.

Figura 4.17: Bienes no divisibles.

Consideremos a continuacion la proposicion inversa. Consideremos una asig-nacion optima de Pareto. Podemos encontrar un sistema de precios que soporteesta asignacion como equilibrio walrasiano? La respuesta es no siempre.

La figura 4.18 ilustra el caso en el que la respuesta es afirmativa. Cuandolas preferencias de los consumidores son regulares, podemos identificar una asig-nacion optima de Pareto como la tangencia de dos curvas de indiferencia. Lapregunta es pues si podemos dibujar un (hiper)plano tangente a ambas curvas deindiferencia que represente el sistema de precios. Como vemos en el grafico dela izquierda de la figura4.18podemos efectivamente hacer pasar una recta por laasignacionx, demanera que el sistema de preciosp∗ permite implementarx comoasignacion de equilibrio competitivo.

La figura4.19 ilustra una situacion en la que la asignacion optima de Pare-to no es implementable como equilibrio walrasiano. La razon de ello es la noconvexidad de las preferencias del consumidor 1. En particular, la asignacion x

p*

xx

x

x~


Figura 4.18: El segundo teorema del bienestar (1).

es eficiente en el sentido de Pareto pero no hay ningun vector de precios que lasoporte. Dado un sistema de preciosp, el consumidor 1 prefiere la cestax a lacestax mientras que el consumidor 2 prefiere la cestax a lacestax.

Figura 4.19: El segundo teorema del bienestar (2).

Estos argumentos permiten ilustrar el segundo teorema del bienestar.

Teorema 4.4 (Segundo teorema del bienestar).Si las preferencias de los agentesson convexas, para cualquier asignacion optima de Pareto podemos encontrar unsistema de precios que la soporte como equilibrio competitivo.

El segundo teorema del bienestar permite separar los problemas de distribu-cion de los problemas de eficiencia. El mecanismo competitivo nos permite im-plementar la asignacion optima de Pareto que deseemos con independencia decriterios distributivos. Es decir, podemos identificar la asignacion que genera unadistribucion de recursos “justa” y sabemos que podemos encontrar un sistema deprecios que la soporte.

4.2.2 El modelo walrasiano de equilibrio general competitivo

Una vez introducidos todos los elementos podemos ofrecer la descripcion com-pleta del modelo competitivo para una economıa de intercambio. Esta contiene


los siguientes elementos:

(i) el espacio de mercancıas: IRl+,

(ii) el conjunto de consumidoresI, dondei ∈ I estadescrito por

• un conjunto de consumo:Xi = X ⊂ IRl+,

• unas preferencias:�i∈ Υ,

• una dotacion inicial de recursos:wi ∈ IRl+,

(iii) un sistema de precios:p ∈ IRl+,

(iv) un conjunto presupuestario:Bi(p, wi), ∀i ∈ I,

(v) un conjunto de demanda:Φi(�i, wi, p), ∀i ∈ I.

4.2.3 Equilibrio de Walras

Dado un sistema de precios, los agentes demandan la mejor cesta de consumodentro de sus conjuntos presupuestarios. Si la demanda total se iguala a la ofertatotal para todos los bienes, decimos que la economıa se encuentra en un equilib-rio de Walras. En este equilibrio, el sistema de precios permite descentralizar elproblema de la asignacion de recursos. Formalmente,

Definicion 4.11 (Equilibrio de Walras). Un equilibrio de Walras para una eco-nomıa E es una asignacion x ∈ IRl

+, y un sistema de preciosp ∈ IRl+ tal que,

xi ∈ Φi(�i, wi, p), ∀i ∈ I,∑i∈I

xi =∑i∈I

wi,

l∑k=1

∑i∈I

xik =l∑

k=1

∑i∈I

wik.

Definicion 4.12 (Asignacion de Walras). Una asignacionx para una economıaEpara la que existe un sistema de preciosp tal que(x, p) es un equilibrio de Walras,se denomina una asignacion de Walras. El conjunto de asignaciones de Walras lodenotamos comoW (E).

Definicion 4.13 (Sistema de precios de Walras).Un sistema de preciosp parauna economıaE para la que existe una asignacion x tal que(x, p) es un equilibriode Walras, se denomina un sistema de precios de equilibrio. El conjunto de estossistemas de precios lo denotamos comoΠ(E).


4.2.4 Existencia de equilibrio de Walras

Implıcitamente hemos definido una economıa sin tener en cuenta el dinero ni lasinstituciones financieras. La consecuencia inmediata de esto es que launica in-formacion relevante son los precios relativos y no sus valores absolutos. Por lotanto podemos escoger una representacion del espacio de precios que nos resulteconveniente. Esta representacion consiste en imponer una normalizacion de losprecios. Esta normalizacion puede realizarse fundamentalmente de dos maneras.Podemos fijar el precio de una mercancıak en la unidad,pk = 1, demanera que elintercambio en esta economıa se realiza en terminos de este bien cuyo precio estanormalizado que denominamos elnumerario de la economıa. Alternativamentepodemos fijar en la unidad la suma de todos los precios de todas las mercancıas dela economıa,

∑lk=1 pk = 1. En este caso, cada precio esta relativizado con respec-

to a la suma de los precios, y el espacio en el que representamos estos precios sedenomina elsimplex unitarioy lo denotamos como∆l−1 puesto que estadefinidoen el espacio de dimension l − 1 correspondiente a losl − 1 precios linealmenteindependientes. Formalmente,

∆l−1 = {p : p ∈ IRl+,

l∑k=1

pk = 1}

Adoptaremos esta normalizacion en nuestro analisis.Geometricamente el simplex unitario es un triangulo generalizado en el espa-

cio l − 1-dimensional. Para el caso del = 2, el simplex unitario es un segmentodesde el punto(1, 0) al punto(0, 1). Para l = 3 es un triangulo con vertices en(1, 0, 0), (0, 1, 0) y (0, 0, 1). Lafigura4.16representa ambos casos.

La demandade un consumidor es un vector en el espacio IRl+. Para cada

consumidori ∈ I definimos su demandaxi(p) en funcion del sistema de preciosp ∈ ∆l−1, es decir,

xi : ∆l−1 −→ IRl+

p −→ xi

En esta version de la economıa, la oferta individual de bienes estadescrita porlas dotaciones inicialeswi ∈ IRl

+ de bienes. Agregando las funciones individ-uales de demanda y de oferta obtenemos la funcion deexceso de demanda, z(p)que representa demandas no satisfechas (como coordenadas positivas) y ofertasinnecesarias (como coordenadas negativas). Formalmente,

z : ∆l−1 −→ IRl

z(p) =∑i∈I

xi(p) −∑i∈I

wi

1

10

p1

p2

p1

p2

p3

1

1

1


Figura 4.20: El simplex unitario en IR2 y en IR3.

es decir,z(p) = (z1(p), z2(p), . . . , zl(p)) ∈ IRl dondezk(p) representa el excesode demanda del bienk a los preciosp.

Estudiamos a continuacion las propiedades de la funcion de exceso de deman-da agregada. Estas son tres:

Proposicion 4.1. Si para cada consumidori ∈ I, la funcion de utilidadui escontinua, estrictamente creciente y estrictamente cuasiconcava en IRl+, entoncespara cualquier sistema de precios estrictamente positivos, la funcion de exceso dedemanda agregada satisface,

1. Continuidad.z(p) es una funcion continua (y por lo tanto la RMS es decre-ciente).

2. Homogeneidad de grado cero.

∀p ∈ ∆l−1, λ > 0, z(λp) = z(p).

3. Ley de Walras

∀p ∈ ∆l−1, pz(p) =l∑

k=1

pkzk(p) = 0.

Demostracion. La continuidad se deriva de la continuidad de las funciones deexceso de demanda individuales.

La homogeneidad de grado cero se deriva de la homogeneidad de grado ceroen precios de las funciones de exceso de demanda individuales.


La ley de Walras nos dice que el valor del exceso agregado de demanda siem-pre es cero para cualquier sistema de precios positivos. La ley de Walras se verifi-ca porque cuando las funciones de utilidad de los consumidores son estrictamentecrecientes, la restriccion presupuestaria de cada consumidor se satisface con igual-dad. (Veremos que debemos ser mas cuidadosos en la formulacion de la ley deWalras en las economıas con produccion). En este caso pues, podemos escribir larestriccion presupuestaria del individuoi como

m∑k=1

pk

(xik(p, pwi) − wik

)= 0.

Sumando sobre el conjunto de consumidores obtenemos,

∑i∈I

m∑k=1

pk


)= 0.

Dado que la suma es conmutativa, podemos reescribir la expresion anterior como,

m∑k=1

∑i∈I

pk


)= 0.

A su vez, dado quepk no esta afectado por la suma sobre el conjunto de consum-idores, podemos escribir,

m∑k=1

pk

(∑i∈I

xik(p, pwi) −∑i∈I

wik

)= 0.

La expresion entre parentesis es precisamente la definicion del exceso de demandaagregado del bienk, demanera que podemos escribir,

m∑k=1

pkzk(p) = 0.

Concluimos pues que dado un sistema de preciosp, cualquier exceso de de-manda en el sistema de mercados debe compensarse exactamente con un excesode oferta de igual valor. A su vez, si para un sistema de preciosl − 1 merca-dos estan en equilibrio, la ley de Walras asegura que ell-esimo mercado tambienestara en equilibrio. Como hemos comentado en el caso de dos bienes y dos con-sumidores, el sistema del ecuaciones que caracteriza el equilibrio de Walras enuna economıa conl bienes, solo tenemosl− 1 ecuaciones linealmente independi-entes, de manera que en el equilibrio solo obtenemosl−1 precios independientes.La normalizacion del sistema de precios completa la caracterizacion del equilib-rio.


Ahora podemos redefinir el equilibrio de Walras a partir de la funcion de ex-ceso de demanda.

Definicion 4.14 (Equilibrio de Walras). Decimos que un vectorp∗ ∈ ∆l−1 es unvector de precios de equilibrio siz(p∗) ≤ 0, conp∗k = 0 para aquellos bienesktales quezk(p

∗) < 0.En otras palabras,p∗ es un vector de precios de equilibrio si oferta y demanda

se igualan en todos los mercados (con posible exceso de oferta de bienes libres).

Cuando en una economıa existen bienes de libre disposicion (el agua de lalluvia, el aire, el acceso al mar para navegar, ...) seguramente no tiene sentidohablar de la propiedad de estos bienes. Esto plantea una indefinicion sobre ladiferencia entre un precio igual a cero o la ausencia de ese precio. Esta es unacuestion mas alla del objetivo de estas notas, de manera que cuando la cuestionsurja, supondremos que los bienes libres que puedan existir en la economıa seobtienen a precio cero y se (pueden encontrar) encuentran en exceso de oferta.

Teorema 4.5 (Existencia de equilibrio de Walras).Supongamosz : ∆l−1 →IRl

+ es continua y satisfacepz(p) = 0. entonces, existe un vector de preciosp∗ ∈ ∆l−1 tal quez(p∗) = 0, es decir p∗ es un equilibrio (en el sentido de ladefinicion anterior).

Demostracion. Las condiciones del teorema estan garantizadas a partir de la proposi-cion 4.1.

Imaginemos que un “subastador” anuncia precios. Tras cada anuncio,p ∈∆l−1, el mercado reacciona con un vector de exceso de demandaz(p). Este vectorde demandas netas nos dira que algunos bienes se encuentran en exceso de ofertay otros en exceso de demanda. Con esta informacion el subastador confeccionaun nuevo vector de precios aumentando el precio de aquellos bienes en exceso dedemanda y rebajando el precio de los bienes en exceso de oferta. Tras este nuevoanunciop′ ∈ ∆l−1, el mercado vuelve a reaccionar con un nuevo vector de excesode demandaz(p′), y ası sucesivamente. Este mecanismo de ajuste de precios enel simplex lo podemos formalizar con una funcion T : ∆l−1 −→ ∆l−1 dondeT (p) = T1(p), T2(p), . . . , Tl(p)) y Tk(p) representa el proceso de ajuste del preciodel bienk. Este proceso de ajuste esta descrito por

Tk(p) =max[0, pk + zk(p)]

1 +∑l

h=1 max[0, zh(p)].

Por lo tanto, el numerador garantiza queTk(p) ≥ 0 ya que el denominadorno puede ser cero. Tambien

∑k Tk(p) = 1 lo que garantiza queT (p) es una

proyeccion del simplex en si mismo.


Para verificar∑

k Tk(p) = 1 consideremos el siguiente cambio de variable:zk(p) ≡ max{0, zk(p)}. Entonces,

Tk(p) =pk + zk(p)

1 +∑l

h=1 zh(p).

Sumando sobre lask mercancıas,

l∑k=1

Tk(p) =l∑

k=1

pk + zk(p)

1 +∑l

h=1 zh(p)

=

∑lk=1

(pk + zk(p)

)

1 +∑l

h=1 zh(p)

=

∑lk=1 pk +

∑lk=1 zk(p)

1 +∑l

h=1 zh(p)

=1 +

∑lk=1 zk(p)

1 +∑l

h=1 zh(p)= 1.

Notemos que la funcion Tk(p) hace aumentar el precio del bienk cuando seencuentra en situacion de exceso de demanda y lo hacen disminuir en caso deexceso de oferta. La expresion deT en forma de fraccion nos dice que despuesde cada ajuste del precio del bienk, todos los precios se reajustan proporcional-mente para mantenerse dentro del simplex∆l−1. La ley de Walras asegura que eldenominador de la fraccion nunca es cero. Para que el denominador fuera ceroo negativo todos los bienes deberıan encontrarse en situacion de exceso de ofertasimultaneamente, lo que es contradictorio con la ley de Walras.

Dado quez(p) es continua,T (p) es tambien una funcion continua que proyec-ta el simplex sobre si mismo. Aplicando el teorema de punto fijo de Brower,podemos afirmar que existe un sistema de preciosp∗ ∈ ∆l−1 tal queT (p∗) = p∗.Esto representa que el mecanismo de ajuste de precios deja los precios inalterados,o de forma mas prosaica, el subastador detiene el proceso de ajuste.

Por ultimo debemos demostrar que que la decision del subastador de detenerel proceso de ajuste de precios enp∗ es la decision adecuada porquep∗ representaun sistema de precios de equilibrio para la economıa. En otras palabras, tenemosque demostrar que a los preciosp∗ todos los mercados se vacıan (excepto quizaslos bienes libres que pueden presentar exceso de oferta).

La situacionT (p∗) = p∗ quiere decir queTk(p∗) = p∗k, y por lo tanto,

p∗k =max[0, p∗k + zk(p

∗)]

1 +∑l

h=1 max[0, zh(p∗)], k = 1, 2, . . . , l.


El numerador de esta expresion nos dice que la ecuacion se satisface en dosescenarios diferentes. Estos son,

p∗k =

0 Caso 1p∗k + zk(p

∗)

1 +∑l

h=1 max[0, zh(p∗)]> 0, Caso 2

Caso 1: En este casop∗k = 0 = max[0, zk(p∗)]. Por lo tanto,zk(p

∗) ≤ 0. Estees el caso de los bienes libres que en equilibrio pueden vaciar el mercado opresentar exceso de oferta.

Caso 2: Simplifiquemos la notacion definiendo

λ ≡ 1

1 +∑l

h=1 max[0, zh(p∗)]> 0,

de manera que

Tk(p∗) = p∗k = λ(p∗k + zk(p

∗)) > 0. (4.2)

Dado queλ es igual para todos los bienesk, la expresion anterior se satis-face para todos los bienesh tales quep∗h > 0.

Agrupando terminos en (4.2) podemos escribir

(1 − λ)p∗h = λzh(p∗),

multiplicando porzh(p∗),

(1 − λ)p∗hzh(p∗) = λ(zh(p

∗))2,

y sumando sobre losh bienes del caso 2

(1 − λ)∑

h

p∗hzh(p∗) = λ

∑h

(zh(p∗))2. (4.3)

La ley de Walras nos dice

l∑k=1

p∗kzk(p∗) = 0,


de manera que podemos expresarla como

l∑k∈Caso 1

p∗kzk(p∗) +

l∑k∈Caso 2

p∗kzk(p∗) = 0.

Para los bienes que se encuentran en el caso 1 ya sabemos quep∗kzk(p∗) = 0,

de manera que la ley de Walras se reduce a

l∑k∈Caso 2

p∗kzk(p∗) = 0.

Aplicando esta expresion de la ley de Walras en (4.3) podemos escribir

(1 − λ)∑

h

p∗hzh(p∗) = λ

∑h

(zh(p∗))2 = 0.

Ası pues, a partir de la ley de Walras, obtenemos que la expresion de laizquierda de (4.3) es igual a cero. Pero la expresion de la derecha solopuede ser cero sizh(p

∗) = 0 para los bienesh que se encuentran en elcaso 2, de manera quep∗ es un equilibrio.

Esta demostracion permite ver la interaccion entre los elementos economicosy matematicos que confluyen en la existencia del equilibrio general competitivo.Estos elementos son el teorema de punto fijo de Brower, la ley de Walras y lacontinuidad de las funciones de exceso de demanda. Si la economıa satisface lacontinuidad y la ley de Walras, el teorema de punto fijo asegura la existencia deequilibrio.

4.2.5 El nucleo y el equilibrio walrasiano

Hemos definido dos conceptos de equilibrio en el marco del modelo de equilibriogeneral competitivo, el nucleo y el equilibrio walrasiano. Veamos pues la relacionentre ellos.

Proposicion 4.2. Consideremos una economıa de intercambio en la que la fun-cion de utilidad de cada consumidor,ui, es continua y estrictamente creciente enIRl

+. Entonces, todas las asignaciones walrasianas se encuentran en el nucleo, esdecir

W (E) ⊂ C(E).


Demostracion. Procederemos por contradiccion. Supongamos pues que dado unvector de precios de equilibriop∗, la asignacion x(p∗) es una asignacion de equi-librio de Walras. Supongamos tambien quex(p∗) �∈ C(E). Ello quiere decir quepodemos encontrar una coalicionS ∈ Θ y una asignacion alternativay paraS talque

yi �i xi ∀i ∈ S (4.4)∑i∈S

yi =∑i∈S

wi. (4.5)

Dado quex(p∗) es una asignacion de Walras, (4.4) implica que para el vectorde precios de equilibriop∗, asociado ax(p∗) debe verificarse quep∗yi > p∗wi

para todoi ∈ S. Es decir,p∗zi(p∗) > 0, demanera que

p∗∑i∈S

yi =∑i∈S

p∗yi >∑i∈S

p∗wi = p∗∑i∈S

wi

lo que es contradictorio con (4.5).

Para obtener un resultado con la implicacion contraria (y por lo tanto un teo-rema de equivalencia) necesitamos ser muy precisos en la forma de obtener unaeconomıa grande a partir de una economıa pequena en la que hemos identificadouna asignacion que se encuentra en su nucleo. Una vez tenemos esta economıagrande, podemos mirar las condiciones que nos permiten asegurar que una asig-nacion en el nucleo puede implementarse descentralizadamente mediante un vec-tor de precios de equilibrio.

Hay dos maneras de obtener una economıa grande a partir de una economıapequena. Una primera posibilidad se conoce como la version del “teorema lımite”.Este consiste en replicar la economıa un numero grande de veces. Ası lo que en laeconomıa pequena son los consumidoresi ∈ I, en laeconomıa grande pasan a serlos “tipos de consumidores”i ∈ I, donde de cada tipo de consumidor hay tantoscomo replicas hemos hecho de la economıa. En este contexto el objetivo es poderdemostrar que como mas grande es la economıa, mas pequena es la “distancia”entre la solucion competitiva y el nucleo de la economıa.

La segunda posibilidad consiste en considerar directamente el caso de unaeconomıa ideal en la que hay un continuo de agentes. Una economıa de este tipocaptura la idea de la competencia perfecta. Con esta economıa ideal podremosdemostrar queW (E) = C(E). Este resultado, aunque muy elegante, no dejade ser un caso especial si no demostramos que la distancia entreW (E) y C(E)disminuye conforme la economıa se hace mas y mas grande.

Adoptaremos la primera forma de multiplicar una economıa.Definiremos pues en primer lugar la distancia entre el conjunto de soluciones

walrasianas,W (E) y el conjunto de asignaciones en el nucleo de la economıa,


C(E). Si W (E) contuviera ununico elemento, definirıamos la distanciaδ comoel numero mas pequeno tal que todas las asignaciones en el nucleo estuviesen auna distancia inferior aδ deW (E). Sin embargo, en general hemos de consideraruna asignacion en el nucleo y verificar si hay una asignacion walrasiana cerca.Ası pues diremos queC(E) se encuentra a una distanciaδ deW (E) si para cadaasignacion en el nucleo hay una asignacion enW (E) a una distancia no superiora δ. Formalmente,

Definicion 4.15 (Distancia entreC(E) y W (E)). Seaδ(ε) el numero mas pe-queno δ que satisface la propiedad siguiente

∀x ∈ C(E), ∃x ∈ W (E) t.q.∣∣xi − xi

∣∣ ≤ δ ∀i ∈ I.

Por lo tanto siδ(ε) es pequeno, desde el punto de vista de cada consumidori ∈ I, cualquier asignacion en el nucleo es una asignacion competitiva.

Consideremos pues una economıaE y repliquemoslar veces para obtener unaeconomıaEr como la original en la que cada consumidori aparecer veces. Cada“copia” del agentei ∈ I tiene las mismas preferencias y dotaciones iniciales quetenıa el agentei en la economıa originalE. Formalmente, una economıa

E : I −→ Υ × IRl+

la replicamosr veces

Er : I × {1, 2, . . . , r} −→ Υ × IRl+

donde en lak-esima replica las dotaciones iniciales y las preferencias de cadaagente(i, k) son,

wki = wi y �i,k=�i, i ∈ I; k = 1, 2, . . . , r.

Tambien queremos replicarr veces las asignaciones de la economıa E y enparticular, las asignaciones que se encuentran en el nucleo. Ası, para una asig-nacionx ∈ C(E), definimos el resultado de replicarlar veces como,

xr : I × {1, 2, . . . , r} −→ IRl+

donde, como antes, para un agentei ∈ I, en lak-esima replica le corresponde

xki = xi i ∈ I; k = 1, 2, . . . , r.

Con este instrumental ya podemos abordar la conexion entre asignaciones enel nucleo y asignaciones walrasianas. El resultado que queremos obtener es que


una asignacion es competitiva si y solo si esa asignacion replicadar veces seencuentra en el nucleo deEr para todor.

Este resultado hay que interpretarlo con cuidado. No dice que el nucleo de laeconomıa se reduce conforme hacemos replicas hasta que queden las asignacionescompetitivas. Tampoco dice que cada asignacion en el nucleo de una economıagrande puede aproximarse de forma descentralizada con un sistema de precios.Estas afirmaciones pueden demostrarse, pero lo haremos mas adelante.

De momento solo estamos caracterizando el equilibrio competitivo de la econo-mıa. En este sentido, el contenido de la primera afirmacion dice que si independi-entemente de cuantas veces replicamos la economıaE no aparece ninguna coali-cion que permita mejorar sobre la replica de una asignacionx, entonces existe unsistema de preciosp tal que(x, p) es un equilibrio competitivo.

Naturalmente, si una asignacion es competitiva, la asignacion que resulta trasreplicarlar veces tambien sera competitiva y por lo tanto, de acuerdo con laproposicion 4.2 se encontrara en el nucleo.

Ahora ya podemos enunciar el resultado fundamental que queremos demostrar.

Teorema 4.6.SeaE : I −→ Υ × IRl+ una economıa en la que los consumidores

tienen preferencias monotonas y estrictamente convexas, y seaEr esta economıareplicadar veces. La diferencia entre el conjunto de asignaciones competitivas iel nucleo tiende a cero conforme el numero de replicas tiende a infinito, es decirlimr→∞ δ(Er) = 0.

Este resultado es muy importante. Nos dice que si replicamos la economıasuficientes veces, el nucleo de la economıa ası obtenida no es mucho mayor que elconjunto de asignaciones competitivas. Esto implica que todas las asignaciones enel nucleo se pueden (aproximadamente) descentralizar con un sistema adecuadode precios.

Demostracion. Para demostrar el teorema procederemos en dos etapas. Primerodemostraremos, proposicion 4.3, que en una asignacion que se encuentra en elnucleo de una economıa replicadar veces, todos los consumidores de un mismotipo obtienen la misma cesta de consumo.

La segunda etapa, proposicion 4.4, consiste en caracterizar las asignacioneswalrasianas, es decir en demostrar que solamente las asignaciones que se mantienenen el nucleo de cada replica de la economıa son las asignaciones walrasianas dela economıa original.

Proposicion 4.3 (Tratamiento igual). SeaE : I −→ Υ × IRl+ una economıa en

la que los consumidores tienen preferencias monotonas y estrictamente convexas,y seaEr esta economıa replicadar veces. Six ∈ C(Er) entonces los agentes delmismo tipo obtienen la misma cesta de consumo, es decir,

xki = xj

i ∀i ∈ I, j, k = {1, 2, . . . , r}


Demostracion. Consideremos una asignacion enEr

x = (x11, x

21, . . . , x

r1, x

12, x

22, . . . , x

r2, . . . , x

1i , x

2i , . . . , x

ri , . . . , x

1n, x2

n, . . . , xrn)

y supongamos quex ∈ C(Er) pero no satisface la propiedad de tratamiento igual,es decir, podemos encostrar al menos un tipo de consumidori ∈ I tal que parak �= j xk

i= xj

i, k, j �= {1, 2, . . . , r}. supongamos, sin perdida de generalidad

que el tipo de consumidor 1 es el que sufre el trato desigual, es decir

x1+ �= xj1. (4.6)

Para daca tipo de consumidori ∈ I, podemos afirmar que hay uno que no estamejor tratado que los demas. supongamos, tambien sin perdida dew generalidad,queeste es el primer consumidor de cada tipo. Por lo tanto,

xki �i x1

i , k = {1, 2, . . . , r}.

Ademas ya sabemos, a partir de(4.6) que

xk1 � x1

1.

Calculemos ahora la asignacion media para cada tipo de consumidor. Esta es,

xi =1

r

r∑k=1

xki .

Dado que las preferencias son estrictamente convexas podemos estar seguros que

xi �i x1i , (4.7)

i tambien, dado que los consumidores de tipo 1 no estan igualmente tratados y queel primer consumidor de tipo 1 es el peor tratado entre los consumidores de tipo 1podemos afirmar que

x1 �1 x11. (4.8)

Consideremos ahora una coalicionS formada por losn consumidores, uno decada tipo, peor tratados, es decir,

S = {(1, 1), (2, 1), . . . , (n, 1)}

donde(i, 1) denota el primer consumidor de tipoi.Podemos demostrar que esta coalicion S puede conseguir una asignacion al-

ternativa que mejora sobre la asignacion inicial x, lo que es contradictorio con elsupuestox ∈ C(Er).


Esta asignacion alternativa consiste en otorgar a cada miembro de la coalicionel consumo medio de su tipo, es decir, la asignacion alternativa es

y = (x1, x2, . . . , xn)

A partir de (4.7) y (4.8)esta es una asignacion estrictamente mejor para elconsumidor de tipo 1 y no espeor para el resto de miembros de la coalicion. Porlo tanto. los miembros de la coalicion prefieren la asignaciony a laasignacionx.

Ahora nos queda demostrar que la asignaciony es factible para la coalicionS.Los recursos que representa la asignaciony son

n∑i=1

xi =n∑

i=1

1

n

r∑k=1

xri =

1

n

n∑i=1

r∑k=1

xri (4.9)

Dado quex es factiblen∑

i=1

r∑k=1

xri =

n∑i=1

r∑k=1

wri =

n∑i=1

rwi = rn∑

i=1

wi (4.10)

donde la penultima igualdad se deriva del hecho de que, por construccion,wki =

whi , k �= h.

Combinando (4.9) y (4.10) obtenemos,n∑

i=1

xi =1

nn

n∑i=1

wi =n∑

i=1

wi

de manera qua la asignacion y es factible y permite mejorar a los miembros de lacoalicionS por ellos mismos con respecto a la asignacionx. Ello es contradictoriocon el supuestox ∈ C(Er).

La importancia de la propiedad de tratamiento igual es que el nucleo estacom-pletamente descrito por las asignaciones que obtiene un representante de cada tipode consumidor. Recordemos que una asignacion en el nucleo deEr se encuentraen el espacio Euclıdeo de dimension l × n × r. Por lo tanto el nucleo es un sub-conjunto de este espacio,C(Er) ⊂ IRlnr. Conformer aumenta la dimension delespacio aumenta. Ahora bien, con la propiedad de tratamiento igual solo necesi-tamos considerar la parte de nucleo consistente en la asignacion correspondientea un representante de cada tipo de agente. Denotemos a este nucleo reducido co-mo Cr ⊂ IRln. El hecho de que la dimension deCr sea independiente der esfundamental para el resultado de economıas replicadas y lo utilizaremos mas ade-lante, en la ilustracion del caso de dos tipos de consumidores utilizando la caja deEdgeworth.

La segunda parte de la demostracion del teorema 4.6 consiste en demostrarqueW (E) = ∩∞

r=1cr. Este es el contenido de la siguiente proposicion 4.4.

02

01

.w

W(E)C(E)


Proposicion 4.4 (Caracterizacion de las asignaciones de Walras).SeaE : I −→Υ× IRl

+ una economıa en la que los consumidores tienen preferencias monotonas,y w > 0. Entoncesx ∈ W (E) si y solo si xr ∈ C(Er), r = 1, 2, . . . , dondexr

representa la asignacionx replicadar veces.

Demostracion. La demostracion tiene dos partes.La primera implicacion, Six ∈ W (E) entoncesxr ∈ C(Er) es facil.Consideremos una asignacion walrasianax ∈ W (E). La asignacion corre-

spondiente replicadak veces, como ya hemos argumentado anteriormente tam-bien sera walrasiana en la economıa Er replicadar veces,xr ∈ W (Er). Por lotanto a partir de la proposicion 4.2 dada la inclusion, W (Er) ⊂ C(Er) tenemosquexr ∈ C(Er).

La demostracion de la segunda implicacion es mucho mas compleja y la di-vidiremos en cuatro apartados. En primer lugar presentaremos un analisis graficopara argumentar que en economıas pequenas, replicando la economıa podemosseleccionar asignaciones que no son factibles en la economıa original. A contin-uacion replicaremos la economıa; luego supondremos que hemos identificado elsistema de precios y demostraremos quex ∈ W (E). Por ultimo identificaremosel sistema de precios.

Parte 1Consideremos una economıa con dos consumidores y dos bienes como la que

se muestra en la figura4.21.

Figura 4.21: W (Er) y C(Er) en una economıa2 × 2.

02

01

.w

x

x~2

x~1..


En esta economıa pequena, todas las asignaciones sobre la curva de contratopertenecen al nucleo, pero solo una de ellas es una equilibrio de Walras.

Parte 2 Ası pues, para obtener el resultadox ∈ C(Er) ⇒ x ∈ W (Er),necesitamos que haya muchos consumidores. La intuicion podemos desarrollarlacon la ayuda de la figura4.22.

Figura 4.22: x ∈ C(Er) ⇒ x ∈ W (Er).

Consideremos una asignacionx que trata mas favorablemente al consumidor 1que al consumidor 2. Esteultimo no puede hacer nada al respecto en el sentidoque no puede mejorar su asignacion porel mismo.

Supongamos ahora que las preferencias y las dotaciones iniciales no repre-sentan consumidores individuales sino tipos de consumidores, y que la economıacontiene cuatro consumidores, dos de tipo 1 y dosmas de tipo 2 (es decir, hemosreplicado la economıa una vez). Consideremos de nuevo la asignacion x =(x1

1, x12, x

21, x

22) a la que damos la interpretacion siguiente: cada consumidor de

tipo 1 obtienex1 y cada consumidor de tipo 2 obtienex2. Ahora aparecen nuevasposibilidades para formar coaliciones. En particular los dos consumidores detipo 2 pueden formar una coalicion con uno de los consumidores de tipo 1. Enla figura 4.22 vemos que la asignacion x puede ser mejorada por la coalicionotorgandox1 al consumidor de tipo 1 dentro de la coalicion y x2 a los dos con-sumidores de tipo 2.

Verifiquemos la factibilidad de esta asignacion que bloqueax. SeaS ={x1

1, x21, x

22}. Ladotacion inicial agregada de esta coalicion esw1 + 2w2. Laasig-

nacion propuesta requiere de unos recursosx1+2x2, demanera que la factibilidad


exige quew1+2w2 = x1+2x2, esdecir,x1−w1 = −2(x2−w2) lo que se satisfacetrivialmente.

Esta asignacion (x1, x2) depende, naturalmente, de la forma de las curvas deindiferencia. Ahora bien, como veremos inmediatamente, siempre hay manerade formar una coalicion que mejore sobre la asignacion inicialx cuando tenemosun numero suficiente de consumidores. Para comenzar pues representemos elconjunto de tipos de consumidores porI = {1, 2, . . . , m} donde cada tipoi ∈I tiene preferencias�i y una dotacion inicial wi. Replicamos la economıa rveces de manera que tenemosr consumidores de cada tipo con un total der × mconsumidores.

Denominamos a aquellas asignaciones que otorgan la misma cesta de consumoa los consumidores del mismo tipo como “asignaciones de tratamiento igual”.

Consideremos una asignacion x para la economıa E. Seaxr la asignacionasociada tras replicar la economıar veces. Por hipotesis,xr ∈ C(Er) para todor.Tenemos que demostrar que existe un sistema de preciosp tal que(p, x) es unequilibrio competitivo, es decir

(i) pxi = pwi (4.11)

(ii) y �i xi ⇒ py > pwi, ∀i ∈ I. (4.12)

Definamos para cadai el conjunto de intercambios netos de la dotacion inicialque dan lugar a una asignacion preferida axi como

Ψx(i) = {z ∈ IRl : z + wi �i xi} = {z ∈ IRl : z �i (xi − wi)}.

Geometricamente, la propiedad (ii) quiere decir que para cada consumidori elconjuntoΨx(i) se encuentra por encima del hiperplano

L(p) = {x ∈ IRl : px = 0}

es decir,pz > 0 ∀z ∈ Ψx(i). La figura 4.23 ilustra este argumento y tambiennos indica como podemos utilizar un teorema de separacion para obtener el sis-tema de preciosp deseado. Para visualizar como podemos aplicar este teorema,supongamos, de momento, que ya hemos encontrado el sistema de preciosp.

Parte 3Recordemos (4.12). Si esta expresion se verifica parap ∈ IRl

+, p �= 0 en-tonces,x ∈ W (E).

Para ver que esto es verdad, observemos en primer lugar que sixi se encuentraen el conjunto presupuestario, i.e. sipxi = pwi ∀i ∈ I, por monotonicidad de laspreferencias, para cualquierε > 0 podemos asegurar quexi + (ε, ε, . . . , ε) �i xi.Por lo tanto, a partir de (4.12) tenemos que

pxi + p(ε, ε, . . . , ε) ≥ pwi.

.x - w i i

p

L(p)

Ψx(i)


Figura 4.23: El hiperplanoL(p) y el conjuntoΨx(i).

Cuandoε → 0 obtenemospxi ≥ pwi, es decir,p(xi − wi) ≥ 0.Consideremos ahora

∑i∈I

p(xi − wi) = p∑i∈I

(xi − wi) = 0,

dado quex es una redistribucion dew y por lo tanto el valor monetario de laasignacionxi es el mismo que el dewi para todoi ∈ I.

Observemos en segundo lugar quep > 0. En otro caso no se verificarıa (4.12)(si un elemento dexi tuviera un precio negativo, podrıamos aumentar la cantidadde ese bien mejorando la utilidad de la cesta disminuyendo su valor).

Dado quew � 0, por lo menos un consumidor debe tener renta estrictamentepositiva,pwi > 0. Para este consumidorxi ha de ser el mejor elemento en suconjunto presupuestario. En otro caso querrıa decir que existe una cestay �i xi

conpy ≤ pwi y podrıamos encontrar otra cestay �i xi conpy < pwi que serıacontradictorio con (4.12). Ahora bien, sixi es un elemento mejor en el conjuntopresupuestario dei ∈ I, necesariamentep � 0. En este caso,xi es un elementomejor en el conjunto presupuestario dei ∈ I incluso sipwi = 0, de manera queobtendrıamos un equilibrio competitivo y la demostracion estarıa completa. Enotras palabras, nos queda demostrar la existencia de un sistema de preciosp �= 0para el que se satisfaga (4.12).

Como encontramos este sistema de precios?


Parte 4Comencemos enunciando el lema siguiente,

Lema 4.2. La union de los conjuntosΨx(i) convexificados tiene una interseccionvacıa con el interior del ortante negativo, formalmente

co ∪i∈I Ψx(i) ∩ int(IRl−) = ∅

Demostracion. Consideremos, a senso contrario, una asignacion z � 0, z ∈co ∪i∈I Ψx(i).

(a) Repliquemos la economıaE r veces para obtenerEr. En esta economıaxr

representa el resultado de replicarr veces la asignacion x. Por hipotesis,xr ∈C(Er).

En la economıaEr, denotemos porik el conjunto de consumidores de tipok, k =1, 2, . . . , m). Seazk la asignacion que corresponde a los consumidores de tipok,es decirzk ∈ Ψx(ik). Busquemos ahora un numeroαk > 0 tal que

∑k = 1mαk =

1 y∑

k = 1mαkzk = z, demanera que∑

k = 1mαkzk � 0.Supongamos queαk son numeros racionales. Entonces podemos encontrarm+

1 numeros(β1, . . . , βm, r) que nos permiten expresarαk =βk

r.

(b) Formemos una coalicion conβk consumidores de tipoik. Esta coalicionpuede mejorar sobrexr. Para comprobarlo, notemos que los recursos de los quedispone la coalicion son

m∑k=1

βkwik.

A continuacion construyamos una asignacion que otorga a cada miembro de lacoalicion el vector de consumozk + wi

k. Dado quezk ∈ Ψx(ik), se verifica quezk + wi

k �ik xik. Debemos verificar que esta asignacion es factible. Los recursos

necesarios para implementar la asignacion son

m∑k=1

βk(zk + wik) = r

m∑k=1

αk(zk + wik) =

r( m∑

k=1

αkzk +m∑

k=1

αkwik

)� r

m∑k=1

αkwik =

m∑k=1

βkwik.

Es decir, la coalicion puede mejorar sobrexr con menos recursos de los de ladotacion inicial. Podemos, pues, asignar el resto de recursos no utilizados a unindividuo quien, por monotonicidad, preferiraesta nueva asignacion a la cesta quele corresponde enxr. Por lo tanto, la coalicion mejora sobrexr. Sin embargo estoes contradictorio con el supuestoxr ∈ C(Er).


Dado que los conjuntos convexosco∪i∈I Ψx(i) y IRl− son disjuntos, aplicando

el teorema de separacion de conjuntos convexos de Minkowski sabemos que existeun hiperplanoL(p) con normalp que separa ambos conjuntos. El primer conjunto,co ∪i∈I Ψx(i), se encuentra por encima deL(p) y el segundo conjunto, IRl−, seencuentra por debajo deL(p).

En consecuencia,p > 0 y pz ≥ 0 ∀z ∈ Ψx(i) ∀i ∈ I. Esto implica

y �i xi ⇒ py ≥ pwi. (4.13)

Finalmente debemos demostrar quexi satisface (4.11) y (4.12) para todoi ∈ I.Demostremos primero quexi se encuentra en el conjunto presupuestario, es

decirpxi = pwi ∀i ∈ I.Consideremos un vector(ε, ε, . . . , ε) dondeε > 0 es arbitrariamente pequeno.

Dada la monotonıa de las preferencias,

xi + (ε, ε, . . . , ε) �i xi.

Utilizando (4.13) sabemos que

pxi + p(ε, ε, . . . , ε) ≥ pwi.

Hagamos ahoraε → 0 de manera que

pxi ≥ pwi es decir p(xi − wi) ≥ 0. (4.14)

Ahora bien, dado quex es una redistribucion de las dotaciones inicialesw,∑i∈I

p(xi − wi) = p∑i∈I

(xi − wi) = 0. (4.15)

Combinando (4.14) y (4.15) obtenemosp(xi − wi) = 0 ∀i ∈ I.Notemos ademas quep > 0 porque de otra manera (4.11) no se satisfarıa.

Imaginemos que el componenteph dep es negativo,ph < 0. Entonces podemosconstruir una asignacion alternativa aumentando el componenteh de la cesta deconsumo del individuoi. Ello genera una cesta mejor a un coste menor.

Porultimo demostraremos que (4.13) implica (4.12).La propia definicion de una economıa nos dice quew > 0. Por lo tanto debe

haber por lo menos un consumidor con renta estrictamente positiva,pwi > 0. Paraeste consumidori xi debe ser un elemento mejor en su conjunto presupuestario.Si no fuera ası querrıa decir que hay una asignacion y �i xi con py ≤ pwi, demanera que podemos encontrary �i xi tal quepy < pwi lo que es contradictoriocon (4.13).

Ahora bien, sixi es un elemento mejor en el conjunto presupuestario del con-sumidori, entoncesp > 0. Por lo tanto, sip > 0, xi es el mejor elemento en elconjunto presupuestario para todos los consumidoresi ∈ I, incluso sipwi = 0 ytenemos un equilibrio competitivo.


Una vez demostradas las proposiciones 4.3 y 4.4, podemos proceder a de-mostrar el teorema 4.6.

Dada la definicion deδ(E) y la propiedad de tratamiento igual, solo nece-sitamos demostrar que la distancia entreC(Er) y W (E) converge a zero con-former aumenta. En otras palabras, debemos demostrar que para toda secuencia{xr}, xr ∈ C(Er) hay una subsecuencia convergente en IRl×m tal que su lımitex ∈ W (E). Esta propiedad implica quelimr→∞ δ(Er) = 0.

Sea pues{xr} una secuencia conxr ∈ C(Er). Recordemos que el conjuntoC(E1) es compacto y contiene toda la secuencia. Por lo tanto hay una subse-cuencia convergente que (abusando de notacion) denotamos tambien como{xr}.Denotemos su lımite comox.

Escojamos un numero enteroq. Dado que la secuenciaC(Er) es decreciente,podemos afirmar quexq ∈ C(Eq). Recordemos queC(Eq) es cerrado y por lotantox ∈ C(Eq). Pero esto es cierto para todoq. En consecuencia,

x ∈ ∩∞q=1C(Eq).

Porultimo, la proposicion 4.4 nos permite concluir quex ∈ W (E).

Si adoptamos la segunda manera de conseguir economıas grandes, i.e. intro-ducir directamente un continuo de agentes, podemos tambien obtener este resul-tado. Ver Hildenbrand y Kirman (1976 pp. 105-113) y (1991 pp. 178-185).

4.2.6 Teoremas del bienestar

Hasta ahora hemos jugado con dos maneras de visualizar una economıa de equi-librio general de intercambio puro. Por una parte, a partir del concepto de equi-librio walrasiano, cada consumidor actua independientemente de los demas. Esdecir, dado un sistema de precios calcula su renta disponible y demanda la cestade consumo que le proporciona el maximo nivel de satisfaccion. En este procesode decision un consumidor no se preocupa de cuales puedan ser las decisiones delos demas consumidores, o la disponibilidad total de cada bien en la economıa.

Por otra parte tambien hemos defendido la interpretacion de la economıa co-mo un conjunto de consumidores que, conscientes de las disponibilidad total decada bien, intercambian sus dotaciones iniciales en un esquema de trueque. Paraello cada consumidor debe ser capaz de evaluar que tipo de intercambio puederealizar con cada uno de los consumidores en la economıa. En otras palabras,esta vision de la conducta de los agentes de la economıa puede replantearse comoun problema de coordinacion que requiere la ayuda de una autoridad central queactue de intermediario entre ofertas y demandas.

El teorema 4.2 demuestra que es posible obtener asignaciones en el nucleo dela economıa sin la ayuda de un planificador central. En otras palabras, el teorema


nos dice que nadie en la economıa necesita consejo o ayuda de nadie. La sim-ple observacion de los precios permite a cada consumidor proponer sus ofertas ydemandas en el mercado conducentes a una cesta de consumo maximizadora deutilidad. En este sentido decimos que en una economıa de intercambio el mecan-ismo de mercado esdescentralizado.

Recordemos que todas las asignaciones en el nucleo de la economıa son efi-cientes en el sentido de Pareto. La proposicion 4.2 nos asegura que las asigna-ciones de Walras tambien han de serlo. Pero no cualquier asignacion eficiente enel sentido de Pareto es una asignacion de Walras. Recordemos que la definicion deasignacion de Walras nos dice que cada consumidor satisface la racionalidad indi-vidual, es decir en la asignacion de equilibrio cada consumidor tiene que obtenerpor lo menos el nivel de satisfaccion que le proporciona el consumo de su dotacioninicial. Este es precisamente el contenido delprimer teorema del bienestar

Teorema 4.7 (Primer teorema del bienestar).Six∗(p) es una asignacion de Wal-ras, entonces es eficiente en el sentido de Pareto.

Demostracion. Procederemos por contradiccion. Supongamos quex∗(p) es unaasignacion de Walras pero no es eficiente en el sentido de Pareto. Ello quieredecir que podemos encontrar otra cestax factible y preferida para todos los con-sumidores. Quex sea factible quiere decir que tanto individual como agregada-mente los agentes tienen suficiente renta para adquirirla. Es decir,pxi = pwi yp∑

i∈I xi ≤ p∑

i∈I wi. Ahora bien, dado quex∗ es una asignacion de Walras,por definicion (y dado que suponemos que la utilidad es continua y estrictamentecreciente) six �i x∗ entoncespxi > pwi. Es decir, para cada individuoi unaasignacion preferida a una asignacion walrasiana es mas cara. Agregando sobreel conjunto de consumidores obtenemosp

∑i∈I xi > p

∑i∈I wi lo que es contra-

dictorio con la desigualdad anterior.

Teorema 4.8 (Segundo teorema del bienestar).Consideremos una economıa deintercambioE en la que la funcion de utilidad de cada consumidor es continua,estrictamente creciente y estrictamente cuasiconcava y la dotacion agregada derecursos es estrictamente positiva,w � 0. Supongamos que la asignacion x eseficiente en el sentido de Pareto. Supongamos tambien que podemos implementarun mecanismo de redistribucion de las dotaciones iniciales de manera que el nue-vo vector de dotaciones iniciales es precisamentex. Entoncesx es una asignacionde Walras para la economıa E.

Demostracion. Dado quex es una asignacion de Pareto, necesariamente es factible,es decir

∑i∈I xi =

∑i∈I wi � 0. Por lo tanto podemos aplicar el teorema 4.5 y

concluir que la economıa E tiene un equilibrio competitivo, es decir un sistemade preciosp y una asignacion x tales que(p, x) es un equilibrio de Walras.


A continuacion debemos demostrar quex = x.En el equilibrio competitivo, por definicion, la demanda de cada consumidor

es una cesta de consumo factible maximizadora de utilidad. Dado que la dotacioninicial (redistribuida) de cada consumidor esxi necesariamente debe verificarse

ui(xi) ≥ ui(xi) ∀i ∈ I. (4.16)

Tambien, dado quex es una asignacion de Walras, tiene que ser factible parala economıa transformada por la redistribucion de las dotaciones iniciales. Asıpues, ∑

i∈I

xi =∑i∈I

xi

∑i∈I

wi

de manera que la asignacion x es tambien factible para la economıa originalE.Ademas (4.16) nos dice que la asignacion x no empeora la situacion de ningunconsumidor con respecto a la asignacion x (que recordemos es eficiente en elsentido de Pareto para la economıa E). Ello implica quex tampoco puede mejo-rar la situacion de ningun consumidor dado quex es una asignacion de Pare-to. Concluimos pues que la expresion (4.16) debe verificarse como igualdadui(xi) = ui(xi) ∀i ∈ I.

Para verificar quexi = xi para cadai ∈ I supongamos que existe un consum-idor j para el que esta igualdad no se verifica. En tal caso en el equilibrio compet-itivo de la economıa transformada este consumidor podrıa obtener una asignacion(factible) definida como la media dexi y xi. Dado que su funcion de utilidad esestrictamente cuasiconcava, esta nueva asignacion de proporcionarıa mayor utili-dad. Ello sin embargo es contradictorio con el hecho de quexi es maximizadorade utilidad en el equilibrio competitivo.

En el enunciado o la demostracion del segundo teorema del bienestar no hemosmencionado los precios. Sin embargo el sistema de precios esta implıcito. El teo-rema nos dice que hay un sistema de precio walrasianop tal que cuando cuando laasignacion inicial de recursos esx, cada consumidori maximiza su utilidadui(xi)bajo la restriccion presupuestariapxi ≤ pxi escogiendo el plan de consumoxi.Por lo tanto(p, x) es un equilibrio walrasiano,x es una asignacion de Walras ypes un sistema de precios de Walras.

Senalemos tambien que hemos enunciado el teorema imponiendo una redis-tribucion de la dotacion inicial w � 0 de forma que la nueva asignacion trans-formada inicial de recursos fuera precisamentex. La figura4.20muestra que dehecho cualquier transformacion de la asignacion inicial en una asignacion en el(hiper)plano de precios que pasa porx, como por ejemplow permite obtener laasignacion x como asignacion de Walras.

Por lo tanto podemos enunciar el siguiente corolario al segundo teorema delbienestar:

02

01

.w

p~

x~

w~


Figura 4.24: El segundo teorema del bienestar.

Corolario 4.2. Bajo los supuestos del segundo teorema del bienestar, six es efi-ciente en el sentido de Pareto entonces podemos encontrar un sistema de preciospque soporta ax como asignacion de Walras imponiendo una redistribucion de ladotacion inicialw que la transforme en una asignacionw que satisfagapwi = pxi

para todoi ∈ I.

4.2.7 Unicidad del equilibrio walrasiano

Cuando hablamos de las condiciones que garantizan la unicidad del equilibrio enun modelo de equilibrio general competitivo lo hacemos teniendo bajo la consid-eracion de que esta unicidad se verifica dada la normalizacion de precios utilizadaen el planteamiento del modelo.

En esta seccion estudiamos las condiciones que garantizan la unicidad de lasolucion. Un problema diferente, pero igualmente importante, es encontrar unainterpretacion economica a estas condiciones.

Consideremos pues, una funcion de exceso de demandaz(p) para una economıaE.SeaΠ(E) el conjunto de precios de equilibrio en el simplex∆. Recordemos quedado quez(p)p = 0, lamatriz jacobiana

Dz(p) =

∂z1(p)∂p1

∂z1(p)∂p2

. . . ∂z1(p)∂pl

......

......

∂zl(p)∂p1

∂zl(p)∂p2

. . . ∂zl(p)∂pl


es singular. Esto es consecuencia de la homogeneidad de grado cero dez(p).Es decir, dado quez(λp) = z(p), diferenciando con respecto aλ obtenemosDz(λp)p = 0. Paraλ = 1 obtenemos la propiedad deseada.

En los argumentos que presentaremos a continuacion utilizaremos extensiva-mente el rango de la matriz jacobiana. De las observaciones anteriores sabemosque como maximo el rango puede serl − 1. La clase de economıas para las queel rango de la matriz jacobianaDz(p) es maximo jugara un papel importante.Definamos pues,

Definicion 4.16 (Precios regulares).Un vector de preciosp = (p1, . . . , pl) ∈Π(E) para una economıa E es regular si la funcion de exceso de demandaz(p)es continuamente diferenciable y la matriz jacobianaDz(p) tiene rango maximo.

Definicion 4.17 (Economıa regular). Una economıa E se denomina regular sitodos sus precios de equilibriop ∈ Π(E) son regulares.

Para ilustrar esta definicion consideremos algunos ejemplos de economıas condos bienes en las que utilizamos la normalizacionp2 = 1.

Las figuras4.24(a) y (b) muestran ejemplos de economıas regulares porque entodos sus equilibrios los precios son regulares, es decir la pendiente de la funcion

de exceso de demanda satisface∂z1(p1, 1)

∂p1

�= 0 en todas las soluciones. Sin

embargo, las figuras4.24(c) y (d) muestran ejemplos de economıas no regulares.En el caso (c) la pendiente de la funcion de exceso de demanda en la solucion escero; en el caso (d) la pendiente de la funcion de exceso de demanda en alguna delas soluciones es cero.

En economıas de intercambio como la que nos ocupan, la cuestion de la unici-dad se concreta en la propiedad de la substituibilidad bruta de la funcion de excesode demandaz(p). Para motivar el concepto, que definiremos a continuacion, con-sideremos la funcion de demanda de un consumidor en una economıa con dosbienes. Dado un vector de precios, la matriz de Slutsky tiene componentes nega-tivos en la diagonal principal y componentes positivos fuera de la diagonal prin-cipal. Esto nos dice que si el precio de un bien aumenta, la demanda compensadade otro bien aumenta. Sin embargo, si consideramos el efecto sobre la demandabruta, es decir incorporando el efecto riqueza, es posible que el incremento delprecio de un bien provoque una disminucion de la demanda de ambos bienes. Enotras palabras, en terminos brutos ambos bienes pueden ser complementarios.

Definicion 4.18 (Sustitutivos brutos).Consideremos una economıa E con l bi-enes. Decimos que los bienes son sustitutivos brutos si cuando aumenta el preciosde uno de los bienes, su demanda disminuye y la demanda de cada uno de los otrosbienes aumenta.

z (p )1

z (p , 1)1 1

1p

(a)

z (p )1

z (p , 1)1 1

1p

(b)

z (p )1

z (p , 1)1 1

1p

(c)

z (p )1

z (p , 1)1 1

1p

(d)


Figura 4.25: Economıas regulares y no regulares.


Definicion 4.19 (Funcion de exceso de demanda y sustitutivos brutos).Decimosque la funcion de exceso de demandaz(p) posee la propiedad de la sustitu-cion bruta si para un par de sistemas de preciosp y p para los que podemosencontrar algun bien h tal que ph > ph y pk = pk, k �= h tenemos quezk(p) > zk(p), ∀k �= h.

De hecho, dada la homogeneidad de grado cero dez(p), con substituibil-idad bruta tambien se verifica quezh(p) < zh(p). Para verlo consideremosp = αp dondeα = ph/ph. Notemos queph = ph y pk > pk parak �= h.La homogeneidad de grado cero dez(·) nos dice que0 = zh(p) − zh(p) =zh(p) − zh(p) + zh(p) − zh(p). Ahora bien, la substituibilidad bruta implicazh(p) − zh(p) > 0, (cambiamos secuencialmente cada preciopk k �= h por pk

aplicando la propiedad de substituibilidad bruta en cada etapa) de manera quenecesariamente debe verificarsezh(p) − zh(p) < 0.

La version diferencial de la substituibilidad bruta nos dice∂zk(p)

∂ph

> 0, h �= k.

Ademas, la homogeneidad de grado cero implica queDz(p)p = 0 de manera que∂zh(p)

∂ph

< 0, ∀h = 1, 2, . . . , l. En otras palabras, la matriz jacobianaDz(p)

tiene los elementos de la diagonal principal negativos y los elementos fuera de ladiagonal principal positivos.

La interpretacion economica de la substituibilidad bruta nos dice que las cur-vas de demanda son decrecientes en el propio precio y todas las complemen-tariedades a nivel agregado estan excluidas.

Teorema 4.9 (Unicidad).SeaE una economıa de intercambio en la que las pref-erencias de los consumidores son monotonas y estrictamente convexas. Una fun-cion de demanda que satisface la propiedad de la substituibilidad bruta tienecomo maximo un equilibrio. Es decir, la ecuacion z(p) = 0 tiene como maximouna solucion.

Demostracion. Necesitamos demostrar que no puede ocurrir quez(p) = z(p)cuandop y p son dos vectores de precios no colineales.

A partir de la homogeneidad de grado cero, podemos suponer quep ≥ p yph = ph para algunh. Modifiquemos ahora el vector de preciosp para obtener elvector de preciosp en una sucesion del−1 etapas disminuyendo (o manteniendo)el precio de cada bienk �= h secuencialmente, uno en cada etapa.

Dada la substituibilidad bruta, el exceso de demanda del bienh no puede dis-minuir en ninguna etapa y comop �= p, en realidad aumentara en al menos una delas etapas. Por lo tantozh(p) > zh(p).


4.2.8 Estabilidad del equilibrio de Walras

La idea de la estabilidad de un equilibrio consiste en examinar si las fuerzas queoperan sobre esta situacion de equilibrio restauran a la economıa a su situacionoriginal tras sufrir una perturbacion que la desplaza de la situacion de equilibrio.

En nuestro contexto, una perturbacion representa una situacion en la que elprecio presente no coincide con el precio de equilibrio.

Definicion 4.20 (Equilibrio estable). Decimos que un equilibrio es estable si lasfuerzas que operan sobre la oferta y la demanda permiten recuperar el equilibriodespues de haber estado sometidas a una perturbacion.

Distinguiremos dos tipos de estabilidad. La estabilidadestatica y la estabili-daddinamica.

Estabilidad estatica

La estabilidad estatica (o estabilidad de Walras) del modelo de equilibrio generalcompetitivo se conoce tambien como laley de la oferta y la demanda. Hemos yadefinido la funcion de exceso de demanda del bienk para el consumidori comoeik(p) = xik(p)−wik. Tambien hemos definido la funcion de exceso de demandaagregada del bienk comozk(p) =

∑i∈I eik(p). Finalmente, el equilibrio compet-

itivo es un vector de preciosp∗ tal quezk(p∗) = 0, ∀k.

Imaginemos ahora un shock que disminuye el precio del mercadok. Comoconsecuencia se genera un exceso de demanda positivo en el mercado del bienk.Ante esta situacion si el preciopk tiende a aumentar de forma que disminuya el ex-ceso de demanda y reencontremos el precio de equilibriop∗k nos encontraremos enuna situacion estable. De forma paralela, tambien debe ocurrir que ante un shockque provoca un aumento del precio del bienk debe ocurrir que el preciopk tiendaa disminuir de forma que aumente el exceso de demanda negativo (disminuya elexceso de oferta) y reencontremos el precio de equilibriop∗k.

Cuando este comportamiento se verifica en todos los mercados de la economıaestamos en presencia de un equilibrio estable.

Para abordar el analisis formal de este argumento consideremos el mercadodel bienk y un preciopk. A este precio habra consumidores (de acuerdo con susdotaciones iniciales y sus preferencias) que estaran dispuestos a adquirir unidadesadicionales del bienk. Estos consumidores los denominamosdemandantesdebien k. La cantidad que agregadamente estan dispuestos a comprar la denota-mos comoDk(p). Tambien encontraremos consumidores que estaran dispuestosa vender parte de su dotacion inicial del bienk. Estos consumidores los denom-inamosoferentesde bienk. La cantidad que agregadamente estan dispuestos a

D (p)k

S (p)k

p*k

z (p)k

pk

pk

p*k

0

k

zk


vender la denotamos comoSk(p). Con esta notacion podemos reescribir la fun-cion de exceso de demanda agregada del bienk como

zk(p) = Dk(p) − Sk(p),

La estabilidad del equilibrio competitivo simplemente nos dice que para todoslos mercadosk

dzk(p)

dpk

< 0,

es decirdDk(p)

dpk

<dSk(p)

dpk

.

Por lo tanto, el equilibrio competitivo es estable en el sentido de Walras cuandoen todos los mercados, la curva de oferta tiene mas pendiente que la curva dedemanda. Notemos que esto siempre se verifica cuando la demanda es decrecientey laoferta es creciente en el precio. La figura4.26ilustra este argumento.

Figura 4.26: Estabilidad estatica.

Estabilidad dinamica

Aunque el modelo de equilibrio general competitivo es estatico podemos imaginaruna historia que nos ayude a comprender como los mercados alcanzan el equilibrioy la estabilidad deeste. Esta historia se desarrolla en una secuencia de periodosficticios de acontecimientos.

Consideremos un mercado arbitrario (en todos los mercados ocurre lo mismo).En el primer periodo se selecciona aleatoriamente un consumidor quien hace unaoferta inicial. Esta oferta es publica de manera que todos los agentes tienen laoportunidad de reaccionar y realizar intercambios a un cierto precio.


Pasado este primer periodo se se selecciona aleatoriamente otro consumidorquien hace una oferta. Ante esta segunda oferta de nuevo se producen intercam-bios a un nuevo precio. El proceso se repite una y otra vez hasta que el precioal cual se realiza el intercambio se repite periodo tras periodo. Entonces hemosalcanzado el equilibrio del mercado.

Formalmente, estamos planteando un proceso de formacion de precios del tipo(obviamos el subındice correspondiente al mercado para aligerar la notacion)

pt − pt−1 = kz(pt−1), (4.17)

dondek es una constante positiva.

Ejemplo 4.1. Consideremos a efectos ilustrativos el ejemplo siguiente. Demanday oferta en el periodo (ficticio)t vienen dadas por

Dt(pt) = apt + b (4.18)

St(pt) = Apt + B. (4.19)

La funcion de exceso de demanda agregada es pues

z(pt−1) = (a − A)pt−1 + (b − B). (4.20)

Sustituyendo(4.20)en(4.17)obtenemos,

pt − pt−1 = k[(a − A)pt−1 + (b − B)],

es decir,pt = pt−1[1 + k(a − A)] + k(b − B).

Esta ecuacion en diferencias, dada una condicion inicial p0 ent = 0, tiene comosolucion2

pt =[p0 −

b − B

A − a

](1 + k(a − A)

)t+

b − B

A − a. (4.21)

En el equilibrio el exceso de demanda es cero,z(pt) = 0. El precio de equi-librio lo obtenemos a partir de(4.18)y (4.19)haciendoDt − St = 0, esdecir

apt + b − (Apt + B) = 0

pt =b − B

A − a= p∗t

2Ver Gandolfo (1976) para el estudio de las soluciones de las ecuaciones en diferencias.

pt-1

p*

k z( )pt-1

f( )pt-1

p~p

pp~ p*

kz( )p kz( )p~

p*k z( )p

t-1

p pt-1

f( )pt-1

p~

(a) (b)


de manera que el termino constante de(4.21)representa el precio de equilibrio.El termino [

p0 −b − B

A − a

]

representa la diferencia entre el primer precio y el precio de equilibrio. El termino(1 + k(a − A)

)t

representa el proceso de ajuste desdep0 hastap∗. Finalmentek representa el gra-do del ajuste. Una valor grande dek quiere decir que los ajustes sobreestimaranel exceso de demanda. Vemos pues que la estabilidad dinamica tambien depende,como la estabilidad estatica, de las pendientes de las curvas de demanda y deoferta.

Analisis grafico de la estabilidad dinamica Recordemos que el proceso deformacion de precios que consideramos esta representado por (4.17). Por lo tan-to, graficamentept no es mas que la suma de la funcion kz(pt−1) y el lugar ge-ometrico de puntospt = pt−1. El resultado de esta suma, que denotamos comof(pt−1) puede ser una funcion creciente o decreciente. La figura4.27muestra laderivacion def(pt−1) en ambos casos.

Figura 4.27: Estabilidad dinamica (1).

Consideremos la situacion de la figura4.27(a) y veamos la estabilidad delequilibrio p∗. Para ello observemos la figura4.28. Supongamos que el precio

pt-1

p*

f( )pt-1

(a)

pt

KM

p0

p1

p2

q0

p2

p1

p0

pt

p2

p1

p0

t1 2 3

p*

0q

(b)


inicial esp0 que nos situa en el puntoK de la figura. En el periodo siguienteel precio vendra dado porp1 = f(p0) que nos situa en el puntoM de la figura.En el periodo siguiente obtendremos un preciop2 = f(p1) y ası sucesivamente.Vemos que este proceso converge al preciop∗ que se encuentra en la interseccionde la funcion f(pt−1) con la recta de 45 grados. Un argumento paralelo puededesarrollarse si el precio inicial fueseq0. La figura4.28(a) muestra el proceso deajuste mientras que la figura4.28(b) muestra la trayectoria del precio a lo largo delos periodos (ficticios) de tiempo. Finalmente la figura4.29muestra la estabilidaddel equilibriop∗ en el caso de la figura4.27(b).


Las figuras4.28 y 4.29 muestran dos situaciones de equilibrio estable en elque la trayectoria de los precios muestra un acercamiento progresivo al precio deequilibrio ya sea desde arriba o desde abajo o bien un comportamiento “cıclico” enel que el acercamiento se realiza dando saltos alrededor del precio de equilibrio.

Podemos tambien ilustrar situaciones en el que el equilibrio no es estable, yasea porque el proceso de ajuste de los precios es explosivo como en las figuras4.30y 4.31 o porque los saltos alrededor del precio de equilibrio son de oscilacionconstante como en la figura4.32.

Fijemonos que la estabilidad o inestabilidad del equilibrio depende de que lapendiente de la funcion f(pt−1) sea (en valor absoluto) inferior a 1 (estabilidad)o bien superior o igual a 1 (inestabilidad). Este fenomeno esta relacionado conla pendiente de la funcion de exceso de demanda agregada y por lo tanto con las

pt-1

f( )pt-1

(a)

pt

p0

p1

p2

p2

p1

p0

pt

t1 2 3

p*

(b)

p3

p2

p1

p0

p3

pt-1

p*

f( )pt-1

(a)

pt

p0

p1

p2

q0

p2

p1

p0

pt

t1 2 3

p*0

q

(b)

p1

p2

p0



Figura 4.30: Inestabilidad dinamica (1).

pt-1

f( )pt-1

(a)

pt

p0

p1

p2

p2

p1

p0

pt

t1 2 3

p*

(b)

p2

p1

p0

pt-1

f( )pt-1

(a)

pt

p0

p1

p2

p1

p0

pt

t1 2 3

p*

(b)

p1

p0




168 4.3 Economıas con produccion

pendientes de las funciones de oferta y demanda como en el caso de la estabilidadestatica.

4.2.9 Estatica comparativa

4.3 Economıas con produccion

Hasta ahora hemos supuesto que los consumidores solo podıan intercambiar susdotaciones iniciales de bienes. Vamos a ampliar la perspectiva del modelo deequilibrio general competitivo suponiendo que es posible producir nuevos bienesen la economıa utilizando como inputs algunos de los bienes que reciben los con-sumidores como dotaciones iniciales. En consecuencia pues, las cantidades debienes ya no estaran fijadas por las dotaciones iniciales sino que se determinaranendogenamente a partir de los precios de los mercados de inputs y outputs.

4.3.1 Un modelo sencillo: La economıa de Robinson-Crusoe

La manera mas sencilla de visualizar un modelo de equilibrio general competitivocon produccion es pensar en un agente que se comporta simultaneamente comoconsumidor y como productor. A este agente se le suele denominar Robinson-Crusoe. Exposiciones brillantes de este modelo pueden encontrarse en Koopmans(1980), Mas-Colell et al. (1995) o Starr (1997) por ejemplo.

Esta economıa sencilla permite caracterizar un proceso centralizado de deci-siones que permiten obtener una asignacion eficiente. Tambien permite, aunquede manera artificial, descomponer las decisiones de produccion y de consumo atraves de un mecanismo de mercado.

El objetivo de este ejercicio es pues ilustrar los conceptos de asignacion efi-ciente, de equilibrio general y de descentralizacion via el mecanismo del mercado.En esta economıa resulta trivial caracterizar las asignaciones eficientes. Cualquierasignacion que maximice la utilidad de Robinson sujeta a los recursos disponiblesy a latecnologıa sera eficiente. Sin embargo, y por construccion, en esta economıano aparecen problemas de distribucion entre individuos.

Con esta economıa identificaremos, en primer lugar, las asignaciones eficientes.En otras palabras, caracterizaremos un plan de consumo y un plan de produc-cion que maximice la utilidad de Robinson bajo las restricciones impuestas porla tecnologıa y la disponibilidad de recursos. A continuacion estudiaremos estaeconomıa desde unaoptica diferente. Plantearemos el problema de caracterizaruna economıa competitiva con una empresa, un propietario de la empresa (Robin-son), un consumidor (Robinson), y un trabajador (Robinson). Todos estos agentesse comportan de forma competitiva, es decir, consideran los precios como dados.


Resumiendo, en esta economıa competitiva tendremos una empresa que, a la vistade los precios de los inputs y de los outputs, decide contratar una cierta cantidadde horas de trabajo con el objetivo de producir un bien de consumo y maximizarsu beneficio; un Robinson trabajador que vende horas de su ocio a la empresa enforma de trabajo y recibe un salario; un Robinson empresario que recibe el ben-eficio; y un Robinson consumidor que decide comprar una cesta de bienes (ocio,bien de consumo) a la empresa con el objetivo de maximizar su satisfaccion.

Para completar la descripcion de la economıa senalemos que el Robinson con-sumidor tiene preferencias continuas, convexas y fuertemente monotonas definidassobre el consumo de ocio y un bien de consumo producido por la empresa. Tieneuna dotacion inicial deL horas de ocio (e.g. 24 horas al dıa) y no tiene dotacion deningun bien de consumo. El bien de consumo lo denotamos porc y el ocio comoR. El tiempo de ocio esta determinado porR = L − L. La funcion de utilidad esu(c, R), dondeu una funcion de utilidad estrictamente concava que representa laspreferencias. En particular,

∂u

∂R> 0,

∂u

∂c> 0,

∂2u

∂R2< 0,

∂2u

∂c2< 0,

∂2u

∂R∂c> 0.

En la economıa hay unaunica actividad productiva consistente en la produc-cion de un bien de consumo (e.g. recoleccion de cocos). Esta actividad requierede ununico input que es trabajo. Formalmente, la tecnologıa de recoleccion decocos esq = F (L), dondeq representa el output de cocos,L las horas de traba-jo, y F es estrictamente concava y creciente. En particular,F ′(·) > 0, F ′(0) =+∞, F ′′(·) < 0.

El enfoque centralizado

El problema que queremos resolver es la identificacion de(L, q) consistente conla dotacion inicial deL horas de ocio y la tecnologıa F , que maximiceu(c, R)dondec = q = F (L) y R = L − L. Formalmente,

maxc,R

u(c, R) s.ac = q = F (L) y R = L − L,

es decir,maxq,L

u(q, L − L) s.aq = F (L),

es decir,

maxL

u(F (L), L − L). (4.22)

La solucion de este problema es,

∂u(F (L), L − L)

∂L= 0, (4.23)


es decir,∂u

∂F

∂F

∂L+

∂u

∂(L − L)

∂(L − L)

∂L= 0,

es decir, dado que∂u

∂F=

∂u

∂q=

∂u

∂c,

∂u

∂cF ′ − ∂u

∂R= 0. (4.24)

Por lo tanto,

∂u

∂R∂u

∂c

= F ′ = − dq

dR(4.25)

puesto queq = F (L − L). Los supuestos de concavidad sobreu(·) y F (·) juntocon (4.25) aseguran que la solucion es un maximizador de la utilidad.

La condicion (4.25) caracteriza la solucion y nos dice que la pendiente de lacurva de indiferencia y de la frontera de posibilidades de produccion (i.e. la fun-cion de produccion) se igualan en la solucion. Esta solucion tiene la propiedadde ser (por construccion) eficiente en el sentido de Pareto. La eficiencia de Paretoen este contexto significa dos cosas. Por una parte que la solucion contiene la de-manda de trabajo tecnicamenteoptima para la recoleccion de cocos realizada, enotras palabras, la combinacion (L, q) se encuentra sobre la frontera del conjuntode posibilidades de produccion. Por otra parte, la combinacion de cocos y ocio(c, R) es la que permite conseguir la maxima satisfaccion al Robinson consumi-dor.

Fijemonos que el lado izquierdo de (4.25) es la tasa marginal de sustitucionde ocio por cocos,TMSR,c. El lado derecho es el producto marginal del trabajoen la recoleccion de cocos. Dado que trabajo y ocio se convierten uno en otro ala tasa constante uno a uno, el producto marginal del trabajo en la recoleccion decocos tambien representa la tasa marginal de transformacion. Ası pues, podemosreescribir (4.25) como

TMSR,c = TMTL,q.

Podemos acabar de clarificar la caracterizacion de la solucion (4.25) con laayuda de la figura4.33. Utilizando la convencion de inputs negativos, en or-denadas medimos la produccion y el consumo de cocos y en abscisas medimoshoras de ocio de izquierda a derecha y horas de trabajo de derecha a izquierda.

La curva concava representa la frontera del conjunto de posibilidades de pro-duccion. Las curvas convexas representan curvas de indiferencia. La solucion

L_

c

R

M

q

- L0L0R


Figura 4.33: Asignacion eficiente en la economıa de RobinsonCrusoe.

eficiente esta representada por el puntoM donde la frontera del conjunto de pro-duccion permite alcanzar el maximo nivel de utilidad (sujeto a la restriccion adi-cional de lasL horas) y las pendientes de ambas funciones se igualan.

El enfoque descentralizado

Nos planteamos a continuacion la posibilidad de conseguir la asignacion M deforma descentralizada a traves del mecanismo de mercado, en lugar del programade optimizacion que acabamos de estudiar.

La actividad productiva consiste en la compra de tiempo de ocio (del consum-idor) para utilizarlo en forma de trabajo que permite producir el bien de consumo(cocos) cuya venta (al consumidor) genera los ingresos de la empresa. Seaw elprecio de una hora de ocio (trabajo) yp el precio de una unidad del bien de con-sumo. Estos precios estan dados. La empresa pues debe decidir la cantidad detrabajo que utiliza para maximizar los beneficios dados(p, w), esdecir

maxL

pF (L) − wL.

El resultado de este problema es una demandaoptima de trabajo,L(p, w), unnivel optimo de produccion de cocos,q(p, w), y unos beneficiosoptimos,π(p, w).La figura4.34ilustra la situacion.

0

q

-L-L_

π(p,w)______p

- L(p,w)

q(p,w)

(p,w)q=F(L)


Figura 4.34: El problema de la empresa.

El propietario de la empresa es Robinson. Por lo tanto la renta del Robinsonconsumidor procede de dos vıas: de los beneficios de la empresa y de la venta detiempo de ocio en forma de trabajo (a la tasa de conversion uno a uno). Represen-tando la renta comoY , esta se define como

Y = w(L − R) + π(p, w).

El problema del Robinson consumidor es pues decidir un plan de consumo(R, c)que maximice su utilidad dados los precios(p, w) y la rentaY, es decir

maxR,c

u(R, c) s.apc ≤ w(L − R) + π(p, w).

Las demandasoptimas resultantes de ocio y del bien de consumo las denotamoscomoR(p, w) y c(p, w) respectivamente.

La figura4.35 ilustra este problema de decision. En el eje de abscisas med-imos trabajo y ocio. El conjunto presupuestario refleja las dos fuentes de renta.Cada unidad de ocio que vende le genera una rentaw que le permite adquirirw/punidades del bien de consumo. Ademas, cada unidad de ocio que vende haceobtener beneficios a la empresa que se incorporan a su renta. Por ello, la rectapresupuestaria no corta al eje de abscisas en0L sino que en ese punto Robinsondispone de una rentaπ(p, w)/p.

Es importante darse cuenta de que la recta isobeneficio de la figura4.34aso-ciada al problema de la maximizacion del beneficio, coincide con la recta pre-supuestaria de la figura4.35.

q

π(p,w)______p

[q(p,w), - L(p,w)] c

R-L

c(p,w)

R(p,w)

L_

0L0R

α

αtgw__p

=


Figura 4.35: El problema del consumidor.

Un equilibrio walrasiano en esta economıa se caracteriza por un vector deprecios(p∗, w∗) al que tanto el mercado de trabajo como el del bien de consumoestan equilibrados, es decir

q(p∗, w∗) = c(p∗, w∗)

L − R(p∗, w∗) = L(p∗, w∗).

Los precios(p, w) de la figura4.35no son de equilibrio walrasiano. Por elcontrario, a esos precios obtenemos un exceso de demanda de trabajo y un ex-ceso de oferta de bien de consumo. Una situacion de equilibrio se muestra en lafigura4.36en la que a los precios(p∗, w∗) ambos mercados se vacıan.

La figura4.36 nos ilustra sobre un fenomeno muy importante. Una combi-nacion de consumo y ocio puede surgir como equilibrio competitivo si y solo simaximiza la utilidad del consumidor sujeta a las restricciones impuestas por latecnologıa y la disponibilidad de recursos. En otras palabras, una asignacion wal-rasiana es la misma asignacion que hubieramos obtenido si un planificador centralgestionara la economıa con el objetivo de maximizar el bienestar del consumidor.

El analisis grafico que hemos desarrollado tiene su traduccion formal en lossiguientes terminos.

El problema de la empresa, como hemos descrito, consiste en determinar una

qc

R-L

L_

0L0R

(p*,w*)

c(p*,w*) q(p*,w*)

R(p*,w*) L(p*,w*)


Figura 4.36: El equilibrio walrasiano.

demanda de trabajo maximizadora de beneficios, es decir,

maxL

pF (L) − wL

La condicion de primer orden nos dice

dπ

dL= pF ′ − w = 0,

es decir,F ′ =

w

p.

Esta condicion nos dice que el salario real se iguala al producto marginal deltrabajo. Por lo tanto, dado que para la empresa los precios son parametricos,las decisionesoptimas de la empresa son una demanda de trabajoL(p, w) y unaoferta de bien de consumoq(p, w) que maximiza los beneficios dada su tecnologıacaracterizada por la funcion de produccion F (L). Estas decisiones generan unnivel de beneficiosπ(p, w) que la empresa transfiere a su propietario.

El problema del consumidor es determinar una cesta de consumo(c, R), cuyovalor de mercado espc+wR, que le permita obtener la maxima satisfaccion dadoslos precios(p, w) y su rentaY . Formalmente,

maxc,R

u(c, R) s.aY = wR + pc,


que podemos reformular como

maxc

u(c,

Y − pc

w

).

La condicion de primer orden nos dice

du

dc=

∂u

∂c+

∂u

∂R

∂R

∂c= 0

∂u

∂c+

∂u

∂R

(− p

w

)= 0,

es decir,∂u

∂R∂u

∂c

=w

p.

Es decir, el consumidor a la vista de(p, w) y π(p, w) determina una cesta deocio y consumo caracterizada por la igualdad entre la tasa marginal de sustitucionde ocio por el bien de consumo (cocos),TMSR,c y el salario real.

Para cualquier sistema de precios(p, w) podemos tambien demostrar la coin-cidencia entre la recta presupuestaria del consumidor y la recta isobeneficio es-cogida por la empresa (es decir la asociada al maximo beneficio). La ecuacion deesa recta isobeneficio es

q =π(p, w) + wL

p(4.26)

con pendiente−w/p.Por otra parte, la renta del consumidor, recordemoslo, estadefinida por

Y = w(L − R) + π(p, w).

Esta renta debe permitir la compra del bien de consumo decidido por el consumi-dor. Por lo tanto,

pc = w(L − R) + π(p, w), (4.27)

que podemos reescribir como

c =w(L − R) + π(p, w)

p. (4.28)


que es la ecuacion de la recta presupuestaria del consumidor con pendiente−w/p.Dado queL = L − R, las ecuaciones (4.26) y (4.28) representan la misma

recta.Como ya hemos mencionado, este es un argumento general para cualquier

sistema de precios. Para verlo, notemos que la ecuacion (4.27) es una identidadcontable. Nos dice que el valor de la produccion de la empresa al precio del mer-cado se utiliza para retribuir a los factores de produccion (las horas de trabajo deRobinson) y al propietario de la empresa (Robinson). Por lo tanto, la renta de quedispone el Robinson consumidor es precisamente la justa para comprar la produc-cion de la empresa. Ello se verifica para cualquier sistema de precios porque losbeneficios de la empresa se computan como parte de la renta del consumidor.

En equilibrio el papel de los precios es conseguir que oferta y demanda seigualen en los dos mercados. Las decisiones de la empresa y del consumidor sehan tomado independientemente pero, naturalmente estan relacionadas entre si.Precisamente, los precios proporcionan los incentivos para que estas decisionesindependientes sean consistentes. en otras palabras, la seleccion de(p∗, w∗) nospermite descentralizar las decisiones de la empresa y del consumidor.

Podemos finalmente obtener laLey de Walras. esta nos dice que para cualquiersistema de precios, la suma del valor de los excesos de demanda es cero. A partirde (4.27) y utilizando la definicion de beneficios podemos escribir,

pc = w(L − R) + [pF (L) − wL],

que podemos simplificar para obtener,

p[c − F (L)] = 0 (4.29)

que es precisamente la ley de Walras dado queq = F (L) representa la ofertade bien de consumo yc representa la demanda. Una vez mas podemos observaraquı la descentralizacion de las decisiones. La empresa determina un par(L, q);el consumidor determina un par(c, R). Solo en equilibrio estas decisiones sonconsistentes, i.e.c = q y R = L − L.

Existencia y optimalidad del equilibrio

Consideremos la normalizacion del precio del bien de consumop = 1. Ladefinicion del equilibrio general competitivo se reduce a una asignacion y a unsalariow∗ tal queq(w∗) = c(w∗) y L(w∗) = L − R(w∗).

Sea pues,L(w) la demanda de trabajo y seaR(w) la demanda de ocio. Dadoslos supuestos sobre la tecnologıa y las preferencias sabemos que

• L(w) y R(w) son continuas;


• Paraw = 0, la demanda de trabajo es positiva pero la oferta de trabajo esnula, es decirL(0) > 0 y R(0) = L;

• Paraw > w obtenemosR(w) < L y L(w) → 0, es decir, si el salario essuficientemente alto, la oferta de trabajo es sustancial, pero la demanda esnegligible.

Seaz(w) = R(w) + L(w) − L la funcion de exceso de demanda de traba-jo/ocio. Dadas las propiedades deL(w) y deR(w), sabemos quez(w) es continuay z(0) > 0 y z(w) < 0.

Aplicando el teorema del valor intermedio, sabemos que ha de existir unsalariow∗ ∈ (0, w) tal quez(w∗) = 0. Estableciendo ası la existencia del equilib-rio. La ley de Walras implicaraque enw∗ dado queL(w∗) = L−R(w∗) tambienq(w∗) = c(w∗).

Para estudiar la optimalidad de Pareto de este equilibrio, recordemos que lacondicion de primer orden de la maximizacion del beneficio nos dice

w∗ = F ′(L(w∗)),

y lacondicion de primer orden de la maximizacion de la utilidad nos dice

w∗ =

∂u(c(w∗), R(w∗))

∂R∂u(c(w∗), R(w∗))

∂c

de manera que

F ′(L(w∗)) = TMSR,c(w∗).

que es la condicion de primer orden que caracteriza la optimalidad de Pareto deacuerdo con (4.25). Por lo tanto el salario de equilibrio general competitivo poseela propiedad de la optimalidad de Pareto.

Este resultado nos dice que podemos alcanzar una asignacion eficiente de for-ma descentralizada utilizando los precios como mecanismo de coordinacion entrelos agentes. Los precios, en este caso el salario, conllevan toda la informacionrelevante para proveer los incentivos adecuados a lo agentes de manera que lasofertas y demandas en los dos mercados se equilibren. En otras palabras, el prob-lema de Robinson (obtener la maxima satisfaccion a partir de las posibilidadesproductivas) puede descomponerse y descentralizarse en dos problemas indepen-dientes pero relacionados: la maximizacion del beneficio para la empresa y lamaximizacion sujeta a la restriccion presupuestaria para el consumidor.


4.3.2 El modelo generalizado: Robinson y Viernes

Vamos a proponer a continuacion una generalizacion de la economıa de RobinsonCrusoe considerando dos factores de produccion y dos bienes de consumo quepermitira capturar todos los aspectos relevantes del modelo conm consumidoresy L mercancıas.

Supongamos pues que Robinson encuentra a Viernes y ello modifica la econo-mıa introduciendo dos actividades productivas (recoleccion de cocos y pesca) quese realizan con dos inputs (trabajo cualificado de Robinson y trabajo no cualificadode Viernes). Estas dos actividades productivas se realizan por dos empresas in-dependientes cuyos propietarios son Robinson y Viernes. Robinson tiene inicial-mente toda la dotacion de trabajo cualificadoz1, y Viernes tiene inicialmente todala dotacion de trabajo no cualificadoz2. Asimismo tienen preferencias definidassobre los dos bienes de consumo representables mediante funciones de utilidadui(xi) estrictamente cuasiconcavas, dondexi = (xi1, xi2) representa un plan deconsumo del consumidori.

Denotaremos un plan de produccion de la economıa como(q1, q2), dondeqj

es la produccion del bien de consumo correspondiente a la empresaj. Deno-taremos a los inputs utilizados por la empresaj, j = 1, 2 comozj = (zj1, zj2);finalmente las tecnologıas de las respectivas empresas las representaremos medi-ante las funciones de produccionfj(zj). Supondremos que ambas tecnologıas sonestrictamente cuasiconcavas y crecientes en los dos inputs.

Podemos representar una asignacion de factores de produccion para las empre-sas mediante una caja de Edgeworth donde la base de la caja representa la dotaciontotal de trabajo cualificadoz1 y laaltura representa la dotacion total de trabajo nocualificadoz2. Los factores utilizados por la empresa 1 los medimos desde laesquina inferior izquierda y los inputs utilizados por la empresa 2 los medimosdesde la esquina superior derecha. Una asignacion de factores de produccion espues un vectorz = (z11, z12, z21, z22) que representamos como un punto en la cajade Edgeworth. La figura4.37ilustra esta descripcion.

Empezaremos el analisis con el estudio de la determinacion de las asigna-ciones de factores de produccion eficientes en el sentido de Pareto.

Recordemos que el conjunto de isocuantas de la empresaj es

{(zj1, zj2) ∈ IR2+ : fj(zj1, zj2) = v}

dondev es una constante arbitraria. Podemos dibujar los mapas de curvas isocuan-tas de ambas empresas en el espacio definido por la caja de Edgeworth de la figu-ra 4.37de la misma manera como dibujamos los mapas de curvas de indiferenciade los consumidores en la figura4.3.

Definicion 4.21 (Asignacion eficiente de factores de produccion). Decimos queuna asignacion de factores de produccion z es eficiente en el sentido de Pareto si

z

02

01 z

11

z2

_

z1

_

z21 z

22

z12


Figura 4.37: Asignaciones de factores de produccion.

no existe otra combinacion de inputs alternativa que permita aumentar la produc-cion de alguna empresa sin disminuir la produccion de alguna otra.

La figura4.38 ilustra esta definicion. La parte (a) de la figura muestra unaasignacion que no es eficiente porque cualquier asignacion en el interior de la zonacoloreada permite aumentar la produccion de las dos empresas simultaneamente.

Por lo tanto, una asignacion eficiente de factores estara caracterizada por latangencia entre dos isocuantas. La parte (b) de la figura4.38 ilustra el conjuntode asignaciones eficientes de factores. Este conjunto es especialmente relevanteporque genera las combinaciones de outputs(q1, q2) en la frontera del conjunto deposibilidades de produccion de la economıa de Robinson y Viernes.

El enfoque centralizado

Un planificador central se enfrenta al problema de determinar una asignacion efi-ciente de inputsz = (z11, z12, z21, z22) que generaran unos volumenes de pro-duccion qj = qj(zj1, zj2), j = 1, 2. A su vez, y dada esta disponibilidad debienes de consumo, debe determinar un plan de consumo para Robinson y paraViernesx = (x11, x12, x21, x22) que maximicen sus utilidades respectivas y agotenel producto, es decirx1j +x2j = qj, j = 1, 2. Formalmente, el problema del plan-

01

02

(a)01

02

(b)

z


Figura 4.38: Asignaciones eficientes de factores.

ificador central podemos formularlo como

maxz

∑j

[pjfj(zj1, zj2) − w1zj1 − w2zj2

]s.a

z11 + z21 = z1

z12 + z22 = z2

f1(z1) = x11 + x21

f2(z2) = x12 + x22

(xi1, xi2) = arg maxxiui(xi1, xi2) s.a(xi1, xi2) ∈ Bi(p) ∀i

(4.30)

Graficamente, el punto(q1, q2) determina las dimensiones de la caja de Edge-worth para los consumidores Robinson y Viernes. Enesta, la asignacion de con-sumox debe satisfacer la optimalidad de Pareto, es decir debe ser una asignacionen la que las curvas de indiferencia respectivas son tangentes, o en otras palabraslas tasas marginales de sustitucion se igualen.

Por ultimo, y para que las decisiones de produccion y consumo sean consis-tentes debe ocurrir que, como en el caso sencillo de la economıa de Robinson,las tasas marginales de sustitucion iguales entre si se igualen tambien a la tasamarginal de transformacion.

Ası pues, una asignacion (z∗, x∗) de equilibrio se caracteriza por

TMS1x1,x2

= TMS2x1,x2

= TMTq1,q2 .

La figura4.39ilustra el argumento.

x*x*

21

x*22

x*12

x*11

q2

_(z*)

q_

(z*)q1

_(z*)

bien 2

bien1


Figura 4.39: Equilibrio centralizado.

El enfoque descentralizado

Como en el caso de la economıa sencilla de Robinson, podemos preguntarnostambien si existe un sistema de precios(p, w) = (p1, p2; w1, w2) que permita deforma descentralizada via el mecanismo del mercado implementar una asignacion(z∗, x∗) de equilibrio walrasiano.

El problema para la empresaj es comprar inputs(zj1, zj2) y producir outputqj que, dados los precios(p, w) maximice el beneficio. Formalmente,

max(zj1,zj2)

pjfj(zj1, zj2) − w1zj1 − w2zj2, j = 1, 2

Las cuatro condiciones de primer orden

pj∂fj

∂zjk

= wk paraj = 1, 2 y k = 1, 2

junto con la condicion

∑j

zjk = zk parak = 1, 2


determinan la demandaoptima de inputszj1(p, w) y zj2(p, w), que a su vez, vıa lafuncion de produccion identifican un volumen de produccion qj(p, w). Los ingre-sos generados por la venda de esta produccion netos de los costes de producciondefinen el nivel de beneficiosπj(p, w).

Alternativamente podemos caracterizar las condiciones de equilibrio de lasempresas a partir de las funciones de costecj(w, qj). Las condiciones de primerorden

pj =∂cj(w, qj)

∂qj

j = 1, 2

nos dicen que el nivel de produccion de cada empresa es el que maximiza losbeneficios. Entonces, podemos aplicar el lema de Shephard para determinar lademandaoptima de inputs de la empresaj. Esta viene dada por

zjk =∂cj(w, qj)

∂wk

.

Porultimo, la condicion ∑j

zjk = zk

asegura que el mercado de factores se vacıa.Profundicemos un poco mas en la determinacion del equilibrio en el mercado

de factores. Para ello vamos a denotar comoaj(w) = (aj1(w), aj2(w)) la com-binacion de inputs minimizadora del coste de la empresaj. Supongamos que laproduccion del bien 1 es relativamente mas intensiva en el factor 1 que la produc-cion del bien 2, es decir

a11(w)

a12(w)>

a21(w)

a22(w)∀w = (w1, w2).

Supongamos que tenemos un equilibrio interior en el que los niveles de pro-duccion de ambos bienes es estrictamente positivo. Para determinar los precios delos factores de equilibrio(w∗

1, w∗2) una condicion necesaria es quew∗ satisfaga el

sistema de ecuaciones

p1 =∂c1(w)

∂q1

, p2 =∂c2(w)

∂q2

. (4.31)

Es decir, en un equilibrio interior los precios de los bienes de consumo debenigualarse al coste unitario de produccion. Este sistema de dos ecuaciones determi-na los precios de los factores(w∗

1, w∗2). Graficamente, este sistema de ecuaciones

nos dice que las curvas de coste unitario deben cruzarse en(w∗1, w

∗2) como muestra

la figura4.40.

w1

w2

w*1

w*2 c (w) = p

2 2

c (w) = p1 1

a ( )]12

[a ( ),11

a ( )]22

[a ( ),21

´

´

w* w*

w* w*


Figura 4.40: Equilibrio en el mercado de factores.

Ademas, el supuesto sobre la intensidad de los factores implica que en la inter-seccion de las curvas de coste unitario, la correspondiente a la empresa 2 es masplana que la de la empresa 1.

Una vez determinados los precios de los factores, podemos identificar los nive-les de produccion determinando el punto(z∗1 , z

∗2) en la caja de Edgeworth de asig-

naciones de factores para el que las intensidades asociadas de factores se corre-sponden con las encontradas para los preciosw∗, es decir, el vectorz∗ es aquelpunto en la caja de Edgeworth que verifica

z∗11z∗12

=a11(w

∗)

a12(w∗)

z∗21z∗22

=a21(w

∗)

a22(w∗)

tal como se muestra en la figura4.41Veamos a continuacion el problema de Robinson y Viernes como consumi-

dores.La renta de cada consumidor procede, como en el caso de la economıa sencilla

de Robinson, de dos fuentes. Las renta salarial como oferente de trabajo y la rentano salarial como propietario de las empresas. Denotemos comoθij la participacion

02

01

a (w*)12

z*

a (w*)11

a (w*)21

a (w*)22


Figura 4.41: Niveles de produccion de equilibrio.

del consumidori en la propiedad de la empresaj, de manera que∑

i θij = 1 ∀j.Recordemos que suponemos que solo Robinson posee trabajo cualificado(z1) ysolo Viernes posee trabajo no cualificado(z2). Ası pues, la renta disponible deRobinson es

Y1 = w1(z11 + z21) + θ11π1(p, w) + θ12π2(p, w).

De forma similar la renta de Viernes es

Y2 = w2(z12 + z22) + θ21π1(p, w) + θ22π2(p, w).

Por lo tanto el objetivo de Robinson y Viernes como consumidores es definirun plan de consumoxi = (xi1, xi2) i = 1, 2 que maximice sus utilidades respec-tivas sujeto a sus restricciones presupuestarias,

maxx1

u1(x1) s.ap1x11 + p2x12 = w1(z11 + z21) + θ11π1(p, w) + θ12π2(p, w)

maxx2

u2(x2) s.ap1x21 + p2x22 = w2(z12 + z22) + θ21π1(p, w) + θ22π2(p, w)

Los planes de consumo resultantes deben permitir el equilibrio de los merca-dos de bienes de consumo, es decir

q1 = x11 + x21 y q2 = x12 + x22.


Resumiendo pues, un equilibrio walrasiano en la economıa de Robinson yViernes es un sistema de precios(p∗, w∗) y una asignacion

[q1(z∗11(w

∗), z∗12(w∗)), q2(z

∗21(w

∗), z∗22(w∗)); x11(p

∗), x12(p∗), x21(p

∗), x22(p∗)]

tal que las empresas maximizan beneficios, los consumidores maximizan utilidady los mercados se vacıan. Esta asignacion se caracteriza porque las relacionesmarginales de sustitucion de los dos consumidores son iguales entre si, igualesa la relacion marginal de transformacion de la economıa, e iguales a los preciosrelativos de los bienes de consumo. formalmente,

TMSx11,x12 = TMSx21,x22 = TMTq1,q2 =p2

p1

Naturalmente en esta economıa tambien se verifica la Ley de Walras. La de-mostracion de la existencia del equilibrio sigue las mismas lıneas de razonamientoque el caso de la economıa de intercambio. Ver Starr (1997, cap. 11).

La figura4.42 resume la discusion. En ella podemos observar que la ofertaoptima de bienes de consumo de la economıa viene dada por el vectorq(z∗) =(q1(z

∗), q2(z∗), ) como resultado de la seleccion de inputsz∗ = (z∗11, z

∗12, z

∗21, z

∗22)

maximizadora de beneficios para cada una de las empresas. Esta ofertaoptimade bienes de consumo satisface la propiedad que la tasa marginal de transforma-cion se iguala a la relacion de preciosp2/p1 = tan(α). Dadas las preferencias delos consumidores Robinson y Viernes y dados los preciosp2 y p1, buscamos susdemandasoptimas (maximizadoras de utilidad) dadas sus respectivas rentas salar-iales y no salariales. Ello nos selecciona un plan de consumox∗

i = (x∗i1, x

∗i2) en

el que las relaciones marginales de sustitucion se igualan entre si y a la relacionde precios. Como consecuencia las demandas de los consumidores son consis-tentes entre si y las demandas agregadas son iguales a las ofertas agregadas. Laasignacion descrita junto con el sistema de precios asociado(p∗, w∗), espues nue-stro equilibrio general competitivo con produccion en la economıa de Robinson yViernes.

Estudiado el enfoque positivo del modelo de equilibrio general competitivocon produccion podemos pasar ahora a estudiar el enfoque normativo.

Los teoremas del bienestar

Como ya hemos visto en el modelo sin produccion, elprimer teorema del bienes-tar dice que cualquier equilibrio competitivo esoptimo de Pareto. En esta seccionextenderemos el teorema al modelo con produccion y lo demostraremos. Esteteorema es importante porque requiere muy pocos supuestos sobre la estructuraformal del modelo mas alla de alguna version del supuesto de monotonicidad de

x*x*

21

x*22

x*12

x*11

q2

_(z*)

q_

(z*)q1

_(z*)

bien 2

bien1

α α


Figura 4.42: Laasignacion de equilibrio.

las preferencias. En particular no necesita de ningun supuesto de convexidad delas preferencias o de la tecnologıa.

Proponemos a continuacion una formulacion general del teorema para unaeconomıa con l mercancıas (k = 1, 2, . . . , l), un conjuntoI de consumidores(i = 1, 2, . . . m) y un conjuntoJ de empresas(j = 1, 2, . . . , n). Recuperamosla convencion de inputs negativos, de manera que un sistema de precios en estaeconomıa lo denotamos como un vectorl-dimensionalp ∈ IRl

+. Por ultimo paraevitar confusion en la notacion, denominaremos a la renta de un consumidoridado un sistema de preciosp, Mi(p).

Teorema 4.10 (Primer teorema del bienestar).Supongamos que las preferen-cias de los consumidores son continuas y fuertemente monotonas (ver cap. 2).Seap0 ∈ IRl

+ un sistema de precios competitivo de la economıa. Seanx0i , i ∈ I y

q0j , j ∈ J el plan de consumo individual y el plan de produccion de la empresaj

asociados. Entonces,x0i es eficiente en el sentido de Pareto.

Demostracion. (i) Dado quex0i es una asignacion de equilibrio debe satisfacer

x0i �i xi, ∀xi ∈ Xi, demanera quep0xi ≤ Mi(p

0), ∀i ∈ I.Consideremos ahora un plan de consumoxi que para el consumidori es


preferido ax0i . En este caso, la asignacion xi debe ser tambien mas cara, es decir

xi �i x0i implica p0xi > p0x0

i .

(ii) De forma parecida, la maximizacion del beneficio en equilibrio implicaque planes de produccion que generan mayor beneficio queq0

j a los preciosp0 noforman parte de su conjunto de produccionYj. Es decir,

p0qj > p0q0j implica qj �∈ Yj.

(iii) Dado que en equilibrio los mercados se vacıan debe ocurrir∑i∈I

x0i ≤

∑j∈J

q0j +

∑i∈I

wi

dondewi representa la dotacion inicial de recursos del consumidori.

(iv) Dado que las preferencias satisfacen la monotonicidad fuerte, en equilibriocada consumidor seleccionara un plan de consumo que agotara su renta, es decir

p0x0i = Mi(p

0), donde Mi(p0) = p0wi +

∑j∈J

θijπ0j , (4.32)

donde, dada la convencion de inputs negativosπ0j = p0q0

j .Sumando (4.32) sobre el conjunto de consumidores obtenemos,

∑i∈I

p0x0i =

∑i∈I

[p0wi +

∑j∈J

θij(p0q0

j )]

=p0∑i∈I

wi + p0∑i∈I

∑j∈J

θijq0j

=p0∑i∈I

wi + p0∑j∈J

∑i∈I

θijq0j

=p0∑i∈I

wi + p0∑j∈J

q0j ,

puesto que para cada empresaj se verifica que∑

i θij = 1.

(v) Supongamos ahora, contrariamente al teorema, que hay una asignacionfactiblevi, i ∈ I que verificavi �i x0

i para todoi ∈ I y para algunos consumi-doresh ∈ I esta preferencia es estricta,vh �h x0

h. La asignacion vi debe ser mas


cara quex0i para aquellos consumidores que mejoran su nivel de satisfaccion y no

debe ser mas barata para el resto. Por lo tanto,

∑i∈I

p0vi >∑i∈I

p0x0i =

∑i∈I

Mi(p0) = p0

∑i∈I

wi + p0∑j∈J

q0j .

Pero sivi es factible significa que debe existir un plan de produccion qj ∈ Yj

para cadaj ∈ J tal que

∑i∈I

vi ≤∑j∈J

qj +∑i∈I

wi.

Ahora bien, si evaluamos este nuevo plan de produccion a los preciosp0 obten-emos,

p0∑i∈I

wi + p0∑j∈J

q0j < p0

∑i∈I

vi ≤ p0∑j∈J

qj + p0∑i∈I

wi,

de manera que concluimos que

p0∑j∈J

q0j < p0

∑j∈J

qj.

Por lo tanto, para alguna empresaj ∈ J debe ocurrirp0q0j < p0qj. Ahora bi-

en, hemos supuesto queq0j maximizaba el beneficio de la empresaj dados los

preciosp0, de manera que no puede existir un plan de produccion alternativo quegenere mayor beneficio. Por lo tanto el plan de produccion qj no puede ser factiblepara la empresa. Esta contradiccion a su vez demuestra que la asignacion vi nopuede ser factible y la demostracion estacompleta.

El primer teorema de bienestar representa la formalizacion de la mano in-visible de Adam Smith. Un equilibrio competitivo descentraliza el proceso dedecision que conduce a una asignacion eficiente. Los precios contienen toda lainformacion necesaria para proveer los incentivos adecuados a productores y con-sumidores para que actuando de forma independiente, tomen decisionesoptimas(maximizadoras de las respectivas funciones objetivo), eficientes y consistentesentre si.

El segundo teorema del bienestardice que para toda asignacion eficiente enel sentido de Pareto de una economıa en la que los consumidores tienen prefer-encias convexas y las empresas utilizan tecnologıas convexas, puede encontrarseun sistema de precios que permite implementarla como un equilibrio competitivosiempre y cuando podamos disenar un sistema de redistribucion de las dotacionesiniciales y de la propiedad de las empresas.


La demostracion de este resultado (ver Starr (1997, pp. 146-151) es mas com-pleja y menos general. En particular, veremos que la convexidad de las prefer-encias y de la tecnologıa es crucial. La estrategia de la demostracion consiste endemostrar dos resultados previos. Finalmente, el segundo teorema del bienestarapareceracomo un corolario de estos resultados.

Lema 4.3. Consideremos una economıa en la que los conjuntos de consumoXi ⊂IRl

∗, i ∈ I son cerrados, no vacıos y convexos, las preferencias de los consumi-dores son fuertemente monotonas, continuas y convexas. Seax0 ∈ Xi. Entoncespodemos identificarxν ∈ Xi, ν = 1, 2, . . . tal quexν �i x0 y limν→∞ xν = x0.

Demostracion. Definamos la secuenciaxν = x0 +(1/ν, 1/ν, . . . , 1/ν, ) Dadas laspropiedades deXi y lamonotonıa fuerte de las preferencias sabemos quexν ∈ Xi

y tambienxν �i x0. Finalmente es trivial verificar quexν → x0.

Recordemos que en el capıtulo 2 definimos el conjunto cerrado y convexo delos planes de consumono peoresquex0

i como

MIi(x0i ) ≡ {x ∈ Xi : x �i x0

i }.

A partir de la asignacion x0i , i ∈ I podemos sumar estos conjuntos para

obtener un conjunto convexo

MI =∑i∈I

MIi(x0i )

que representa el conjunto de consumos agregados no peores quex0i . Considere-

mos ahora el subconjunto de consumos agregados estrictamente preferidos ax0i .

Este sera tambien un conjunto convexo que denotaremos porM . Un punto enMes un plan de consumo agregado que puede generar una asignacion preferida enel sentido de Pareto ax0

i , i ∈ I.SeaY = ∪j∈JYj y denotemosw =

∑i∈I wi. Entonces el conjunto de

asignaciones agregadas factibles se define como los elementos no negativos de(Y + {w}). Este sera el conjunto convexo que definimos como

B = (Y + {w}) ∩ IRl+.

A partir de una asignacion Paretooptima,x0i , i ∈ I y dada la monotonicidad

de las preferencias, los conjuntosM y B han de ser disjuntos. En otro casopodrıamos encontrar una asignacion factible preferida ax0

i . Por lo tanto podemosaplicar el teorema del hiperplano separador y afirmar que existe un hiperplanoque separa ambos conjuntos. La normal a este hiperplano es precisamente elsistema de precios que descentraliza la asignacion eficiente. La figura4.43ilustrael teorema del hiperplano separador.

El teorema siguiente caracteriza el sistema de precios.

bien 2

bien1

x*

p.x = p.x*

p


Figura 4.43: El soporte de una asignacion de equilibrio.

Teorema 4.11.Supongamos una economıa productiva en la que los conjuntos deproduccion de las empresas son convexos, cerrados, contemplan la posibilidadde suspender la actividad(0 ∈ Yj) y satisfacen el postulado de que sin input nose obtiene output. Supongamos que los conjuntos de consumo son cerrados, novacıos y convexos, y que las preferencias de los consumidores son fuertementemonotonas, continuas y convexas. Sea(x∗

i , q∗j ), i ∈ I, j ∈ J una asignacion

eficiente en el sentido de Pareto. Entonces existe un sistema de preciosp ∈ IRl+

tal que

(i) x∗i minimizap · x enMIi(x

∗i ), i ∈ I y

(ii) q∗j maximizap · q enYj, j ∈ J

Este teorema nos dice que podemos utilizar el teorema del hiperplano sepa-rador para identificar un sistema de precios que soporte una asignacion eficiente.

Demostracion. Denotemos comox∗ =∑

i∈I x∗i y comoq∗ =

∑j∈J q∗j . Notemos

que para cada coordenada se verifica quex∗ ≤ q∗ +w. SeaMI =∑

i∈I MIi(x∗i ).

SeaB = Y +{w}. Ambos conjuntos son convexos cerrados y tienen en comun lospuntosx∗, q∗ + w. SeaM =

∑i∈I{x ∈ Xi : x �i x∗

i } un conjunto convexo cuyaclausura esMI (por el lema 4.3). El conjuntoM representa planes de consumo


agregados que pueden generar una asignacion que represente una mejora de Paretosobrex∗

i , i ∈ I. Senalemos que dado quex∗i es una asignacion eficiente, el

supuesto de monotonicidad fuerte de las preferencias implica queM y B sonconjuntos disjuntos. Ası puesx∗ es un elemento deMI y deB perox∗ no es unelemento en el interior deMI ni deB. En consecuencia, a partir del teorema delhiperplano separador hay una normalp tal que

p · x ≥ p · v ∀x ∈ M, ∀v ∈ B.

La continuidad de las preferencias tambien nos permite afirmar que

p · x ≥ p · v ∀x ∈ MI, ∀v ∈ B.

Por lo tanto aquellos puntos comunes aMI y B que tienen coordenadasx∗, (q∗ +w) ∈ A ∩ B verifican que

• x∗ minimizap · x enMI y

• (q∗ + w) maximizap · x enB

La monotonicidad fuerte de las preferencias asegura quep es un vector nonegativo,p ∈ ∆l−1. Dado quex∗, (q∗ + w) ∈ A ∩ B tenemos que

• x∗ minimizap · x enMI y

• (q∗ + w) maximizap · v enB,

es decir el valor del productop·x∗ es el mayor de entre los productos con cualquierelemento deB y es el menor con respecto a cualquier elemento deMI. Sinembargox∗ es la suma de un elemento de cadaMIi(x

∗i ), i ∈ I y q∗ es la suma de

un elemento de cadaYj, j ∈ J . Laestructura aditiva deMI y deB implica que

• x∗i minimizap · x enMIi(x

∗i ) y

• q∗j maximizap · q enYj.

Es decir

p · x∗ = minx∈MI

p · x = minxi∈MIi(x∗

i )p ·

∑i∈I

xi =∑i∈I

(min

xi∈MIi(x∗i )

p · x),

y

p · (w + q∗) = maxv∈B

p · v = p · w +∑j∈J

(maxqj∈Yj

p · qj

).

Por lo tantox∗i minimizap · x para todox ∈ MIi(x

∗i ) y q∗j maximizap · q para

todoq ∈ Yj.


El corolario que presentamos a continuacion constituye el segundo teoremadel bienestar. Nos dice que el sistema de precios que soportan una asignacioneficiente identificado en el teorema 4.11 puede utilizarse junto con una adecua-da redistribucion de las dotaciones iniciales para soportar cualquier asignacioneficiente como equilibrio competitivo.

Corolario 4.3 (Segundo teorema del bienestar).Supongamos una economıa pro-ductiva en la que los conjuntos de produccion de las empresas son convexos,cerrados, contemplan la posibilidad de suspender la actividad(0 ∈ Yj) y satis-facen el postulado de que sin input no se obtiene output. Supongamos que losconjuntos de consumo son cerrados, no vacıos y convexos, y que las preferen-cias de los consumidores son fuertemente monotonas, continuas y convexas. Sea(x∗

i , q∗j ), i ∈ I, j ∈ J una asignacion eficiente en el sentido de Pareto. Entonces

existe un sistema de preciosp ∈ IRl+, unas dotaciones iniciales de recursoswi ≥ 0

y una estructura de propiedad de las empresasθij ≥ 0 tal que∑i∈I

wi = w

∑i∈I

θij = 1 ∀j

p · q∗j maximizap · qj para qj ∈ Yj

p · x∗i = p · wi +

∑j∈J

θij(p · q∗j ).

Ademas, para cada consumidori ∈ I se satisface la propiedad siguiente:

(p · x∗i > min

x∈Xi

p · x) : x∗i �i x ∀x ∈ Xi

de manera quep · x ≤ p · wi +

∑j∈J

θij(p · q∗j ).

El segundo teorema del bienestar nos dice que, bajo algunos supuestos, cual-quier asignacion eficiente puede descentralizarse a traves del mecanismo de losprecios. La propiedad final referida a los consumidores nos dice que cada uno deellos es un maximizador de utilidad sujeto a su restriccion presupuestaria.

Demostracion. A partir del teorema 4.11 tenemosp ∈ ∆l−1 de manera quex∗i

minimizap · x para todox ∈ MIi(x∗i ) y q∗j maximizap · q para todoq ∈ Yj.

Tenemos que demostrar dos propiedades: (i) que podemos encontrarwi, θij

que satisfagan las condiciones del corolario y (ii) que el comportamiento del con-sumidor puede caracterizarse como la maximizacion de la utilidad sujeta a la re-striccion presupuestaria.


(i) Dado que la asignacionx∗i es factible, sabemos

∑I∈I

x∗i ≤

∑j∈J

q∗j + w.

Dado que la asignacion es eficiente en el sentido de Pareto, sabemos que ladesigualdad sera estricta solo para aquellos bienes redundantesk que no son de-seables para ningun consumidor de manera quepk = 0. Ademas dada la mono-tonicidad fuerte hay por lo menos un bien que es deseable y por lo tanto su precioes positivo. Evaluando la ecuacion anterior a los preciosp obtenemos

∑I∈I

px∗i =

∑j∈J

pq∗j + pw.

Ahora ya es pura aritmetica identificarwi y θij adecuados. Por ejemplo, defi-namos

λi =px∗

i∑h∈I px∗

h

,

de manera quewi = λiw, θij = λi, i ∈ I, j ∈ J .(ii) Por parte del consumidor queremos demostrar que la minimizacion del

coste sujeta a la la restriccion de la utilidad es equivalente a la maximizacion dela utilidad sujeta a la restriccion presupuestaria. Esto se sigue de la continuidadde las preferencias. Supongamos, a senso contrario, que existexi que satisfacepxi = px∗

i y xi �i x∗y derivemos una contradiccion.La continuidad de las preferencias implica que existe un entornoε alrededor

de xi en el que todos sus puntos son preferidos o indiferentes ax∗i . Pero entonces

el valor de algunos de estos puntos (evaluados enp) es inferior que el valor dex∗i ,

de manera quex∗i ya no minimiza el coste enMIi(x

∗i ). Esto es una contradiccion.

Por lo tanto no puede existir una asignacion comoxi.

4.4 Ejercicios

1. Considere una economıa de intercambio con dos bienes y dos consumi-dores. La dotacion agregada esw = (20, 10). La utilidad del agente1 esu1(x11, x12) = 2x11 + x12.

Encuentre elconjunto de asignaciones Paretooptimasde cuando la utilidaddel agente2 es,

(a) u2(x21, x22) = 4x221x22;

(b) u2(x21, x22) = 2x221x22;

194 4.4 Ejercicios

(c) u2(x21, x22) = x21 + 2x22;

(d) u2(x21, x22) = min{x21, x22}.

2. En una economıa de intercambio con dos bienes y dos consumidores conlas siguientesfunciones de de utilidad indirecta:

v1(p1, p2, m) = log m1 − α log p1 − (1 − α) log p2,

v2(p1, p2, m) = log m2 − β log p1 − (1 − β) log p2.

(donde0 < α < 1 y 0 < β < 1), las dotaciones iniciales de los bienes sonw1 = (1, 1) y w2 = (1, 1) respectivamente. Calcule la funcion de excesode demanda agregada para cada uno de los bienes. Demuestre que dichasfunciones son homogeneas de grado cero y satisfacen laLey de Walras.Calcule el equilibrio Walrasiano de la economıa.

3. Considere una economıa de intercambio con2 bienes yn consumidoresen la que todos los agentes tienen las mismas preferencias Cobb-Douglas,ui(xi1, xi2) = xα

i1xi2 (α > 0), y las dotaciones iniciales sonwi = (wi1, wi2)(i = 1, 2, ..., n).

(a) Calcule la funcion de demanda agregada de cada bien.

(b) Calcule la asignacion y los precios de equilibrio.

(c) Demuestre que los precios de equilibrio no dependen de la distribucioninicial de los bienes.

(d) Describa el conjunto deoptimos paretianos de la economıa.

4. Considere una economıa de intercambio con dos bienes y dos consumi-dores. Las preferencias y las dotaciones iniciales de los agentes son (re-spectivamente)

u1(x11, x12) = xα11x

1−α12 , α ∈ (0, 1), w1 = (0, 1);

u2(x21, x22) = min{x21, x22}, w2 = (1, 0).

(a) Encuentre el conjunto de asignaciones Paretooptimas de esta economıa.

(b) Calcule el equilibrio Walrasiano.

[Nota: Se puede calcular el equilibrio sin calcular las funciones de deman-da.]

5. Considere la siguiente economıa de intercambio:

u1(x11, x12) = x11x12, w1 = (4, 6);

u2(x21, x22) = log x21 + log x22, w2 = (6, 4).


(a) Calcule el conjunto de asignaciones Paretooptimas y lacurva de con-trato.

(b) Calcule el equilibrio Walrasiano.

(c) Compruebe que laLey de Walrasse cumple para cualquier sistema deprecios, sean o no precios de equilibrio.

6. Considere una economıa de intercambio con dos consumidores y dos bi-enes en la cual las preferencias sonu1(x11, x12) = x3

11x12, u2(x21, x22) =x21x22, y las dotacion agregada esw = (16, 16).

(a) Determine si las siguientes asignaciones son Paretooptimas:

(i) (x11, x12) = (8, 8), (x21, x22) = (8, 8);

(ii) (x11, x12) = (8, 4), (x21, x22) = (8, 12);

(iii) (x11, x12) = (12, 8), (x21, x22) = (4, 8);

(iv) (x11, x12) = (12, 4), (x21, x22) = (4, 12).

(b) En cada caso diga si la asignacion es una asignacion de equilibriocuando la dotaciones iniciales de los agentes son (respectivamente)(w11, w12) = (0, 16) y (w21, w22) = (16, 0). En caso afirmativo cal-cule los precios de equilibrio.

(c) Si alguna de las asignaciones no es unoptimo paretiano, describa quetipo de intercambio darıa lugar a una mejora para ambos consumi-dores.

7. Discutir las siguientes afirmaciones:

(a) Si en una economıa de intercambio todos los consumidores poseenidenticas dotaciones de recursos (wi = w para todoi = 1, 2, ..., I),entonces no se producira intercambio alguno.

(b) Si en una economıa de intercambio todos los consumidores tienen lasmismas preferencias (ui(xi) = u(xi) para todoi = 1, 2, ..., I), en-tonces no se producira intercambio alguno.

(c) En una economıa de intercambio no se producira intercambio algunosi y solo si tanto las dotaciones iniciales como las preferencias de todoslos consumidores son identicas.

8. Considere una economıa de produccion con tres mercancıas (un bien deconsumox, trabajoL, y capitalK), tres consumidores (A, R, T ) y una em-presa. Los consumidores demandanx y ofrecenL y K. Las funciones

196 4.4 Ejercicios

individuales de demanda del bien de consumo son

xA(p, w) =24w + MA

3p; xR(p, w) =

24w + MR

3p; xT (p, w) =

24w + MT

3p.

Las funciones individuales de oferta de trabajo son

LA(w) = 8 − 2MA

3w; LR(w) = 8 − 2MR

3w; LT (w) = 8 − 2MT

3w,

dondep, w, r son los precios del bien de consumo, del trabajo y del capitalrespectivamente, yMA, MR, MT son las rentas no salariales de cada unode los consumidores.

El consumidorA es el propietario de la empresa yMA son los beneficiosdeesta. El consumidorR es el propietario del capital, los servicios del cualvende a la empresa.MR son las rentas del capital. La cantidad de capital enmanos del consumidorR esK = 24/49. El consumidorT solo tiene rentassalariales, es decirMT = 0.

La empresa utiliza capital y trabajo como inputs para producir el bien deconsumo. Su funcion de oferta de bien de consumo es

Sx(p, w, r) =p2

9wr.

Las funciones de demanda de capital y trabajo son

DL(p, w, r) =p3

27w2r; DK(p, w, r) =

p3

27wr2.

(a) Teniendo en cuenta como se determinanMA y MR, expreselas enfuncion de los precios y verifique su homogeneidad de grado 1 conrespecto a esos precios.

(b) Calcule la demanda agregada de consumo y la oferta agregada de tra-bajo en funcion de los precios, es decir teniendo en cuenta la depen-dencia deMA y MR deestos.

(c) Calcular las funciones de exceso de demanda de consumo, trabajo ycapital de la economıa. Verificar que satisfacen la homogeneidad degrado cero con respecto a los precios i la ley de Walras. (La ofertaagregada de servicios de capital esK = 24/49.)

(d) Calcular los precios y cantidades del equilibrio general competitivo.


(e) Verificar que el comportamiento competitivo de los tres consumidoresresulta de unas preferencia identicas representables poru = xl2 dondel es el numero de horas de ocio y el numero de horas a repartir entretrabajo y ocio es de 24.

(f) Verificar que la funcion de produccion de la empresa esx = L1/3K1/3.

9. Describir la curva de transformacion entre dos outputs 1 y 2cuando la fun-cion de produccion del output 1 esy1 = min{l1, k1}, la funcion de produc-cion de output 2 esy2 = lα2 k

1/22 , l1+l2 = k1+k2 = 100. Calcular la relacion

de transformacion entre los outputs en el puntoy1 = 50. Como debe serαpara que el conjunto de posibilidades de produccion sea convexo?

10. Considere una economıa de produccion con tres bienes, un consumidor ydos empresas. La funcion de utilidad del consumidor esu(x1, x2) = x1x2

y su dotacion inicial esw = (0, 0, 32). El bien3 es un input de produccionpara las dos empresas. La empresa1 utiliza dicho input para producir elbien1 con la tecnologıa q1 = l1

1/3. Laempresa2 lo utiliza para producir elbien2 con la tecnologıa q2 = l2. (Nota: l1 y l2 son por tanto las cantidadesdel bien3 utilizadas en los respectivos procesos de produccion).

(a) Describa la curva de transformacion entre las mercancıas 1 y 2 sitodoslos recursos iniciales de la mercancıa 3 se utilizan en la produccion.

(b) Calcule la asignacion Paretooptima y encuentre los precios que de-scentralizan dicha asignacion, ası como los planes productivos corre-spondientes. (Normalizar haciendop3 = 1).

(c) Calcule la renta del consumidor y los beneficios de la empresas enequilibrio.

11. Considere una economıa de produccion con tres bienes, un consumidor ydos empresas. La funcion de utilidad del consumidor esu(x1, x2) = x3

1x2

y su dotacion inicial esw = (0, 0, 32). El bien3 es un input de produccionpara las dos empresas. La empresa1 utiliza dicho input para producir elbien1 con la tecnologıa q1 = l1

1/2. Laempresa2 lo utiliza para producir elbien2 con la tecnologıa q2 = l2. (Nota: l1 y l2 son por tanto las cantidadesdel bien3 utilizadas en los respectivos procesos de produccion).

(a) Dibuje la frontera de posibilidades de produccion de esta economıa.

(b) Calcule la asignacion Paretooptima y encuentre los precios que de-scentralizan dicha asignacion, ası como los planes productivos corre-spondientes.

198 4.4 Ejercicios

(c) Calcule la renta del consumidor y los beneficios de la empresas enequilibrio.

12. Considere un economıa de produccion con tres bienes, un consumidor y dosempresas. La funcion de utilidad del consumidor esu(x1, x2) = x

1/31 x

2/32

y su dotacion inicial esw = (0, 0, 18). Ademas, el consumidor es propi-etario de las dos empresas. El bien3 es un input de produccion para lasdos empresas. La empresa1 utiliza dicho input para producir el bien1 conla tecnologıa q1 = 1/2l1. La empresa2 lo utiliza junto con el bien1 paraproducir el bien2 con la tecnologıa q2 = z

1/221 l

1/22 (z21 es la cantidad del

bien1 que es utilizado en la produccion).

Calcule el equilibrio Walrasiano. Es decir,

(i) la asignacion de equilibrio del consumidor(x∗1, x

∗2),

(ii) los planes de produccion de equilibrio de las empresasy∗1 = (q∗1, 0,−l∗1),

y∗2 = (q∗2,−z∗21,−l∗2), y

(iii) el vector de precios de equilibriop∗ = (p∗1, p∗2, p

∗3).

[Sugerencia: utilice la normalizacionp3 = 1.]

13. Considere una economıa productiva de rendimientos constantes a escala contres mercancıas. La mercancıa 1 es el output de un proceso productivo queutiliza la mercancıa 3 como input de acuerdo con la funcion de producciony1 = 1

2l1. La mercancıa 2 es el output de un proceso productivo que utiliza

las mercancıas 1 y 3 comoinputs de acuerdo con la funcion de produc-cion y2 = l

1/22 z

1/212 , dondez12 es la cantidad de mercancıa 1 que se utiliza

como input en la produccion de la mercancıa 2. Cada uno de estos proce-sos de produccion estacontrolado por una empresa competitiva. Losunicosrecursos que existen inicialmente en la economıa son 18 unidades de la mer-cancıa 3. Existe ununico consumidor que es el propietario de los recursosy de las dos empresas. Las funciones de demanda de este consumidor son

x1 =m

3p1

, x2 =2m

3p2

,

dondem es su renta.

Calcular los precios y cantidades de equilibrio.

[Sugerencia: utilice la normalizacion p3 = 1. Calcule las funciones decoste de las empresas y encuentre los precios. A partir deestos calcule lascantidades.]

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