CAPITOLUL 2 FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR Studenti/Note de curs/Ionescu Gh/3... · CAPITOLUL 2 FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR 2.1. Indicatori de fiabilitate Pentru caracterizarea fiabilitii

CAPITOLUL 2

FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR

2.1. Indicatori de fiabilitate Pentru caracterizarea fiabilit��ii unui echipament se poate utiliza limbajul teoriei probabilit��ilor. Durata de func�ionare pân� la defectare a unui echipament (T – figura 1.4) este o variabil� aleatoare continu� a c�rei func�ie de reparti�ie o not�m cu F(t), [3]. În conformitate cu defini�ia unei func�ii de reparti�ie a unei variabile aleatoare, F(t) reprezint� probabilitatea ca durata T s� fie mai mic� decât valoarea t, adic� reprezint� probabilitatea ca echipamentul s� se defecteze în intervalul de timp (0, t).

Probabilitatea ca în intervalul (0,t) s� nu se produc� defectarea echipamentului reprezint� func�ia de fiabilitate R(t) �i este complementara probabilit��ii de defectare F(t). Cele dou� func�ii F(t) �i R(t) se refer� la evenimente care se produc sau nu în intervalul de timp scurs de la punerea în func�iune a echipamentului la momentul t=0 �i pân� în momentul curent t, �i nu la evenimente care au loc la momentul t, a�a cum ar reie�i din nota�ii. De fapt nota�iile F(t) �i R(t) reprezint� o form� simplificat� pentru func�iile F(0, t) �i R(0, t).

Pentru un interval de timp oarecare, asociat unei misiuni de durat� x ini�ializat� la momentul t, probabilitatea de defectare a unui echipament poate fi determinat� utilizând rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( ) ( )tFxtFxtTtPxt,tF −+=+<≤=+ (2.1)

În rela�ia (2.1) apare o probabilitate total�, care îns� nu reflect� în totalitate realitatea. Echipamentul, considerat f�r� reînnoire (prima defectare înseamn� �i sfâr�itul ”vie�ii” echipamentului), se poate defecta în intervalul (t, t+x) numai dac� nu s-a defectat în intervalul (0, t). Rezult� c� probabilitatea de defectare F(t, t+x) în intervalul (t, t+x) �i func�ia de fiabilitate R(t, t+x) sunt probabilit��i condi�ionate de buna func�ionare a echipamentului în intervalul (0, t). Astfel, se poate scrie:

Cap. 2. Fiabilitatea echipamentelor

16

( ) ( )( )

( ) ( )( )tR

tFxtFtTP

xtTtPxt,tF

−+=≥

+<≤=+ (2.2)

( ) ( )( )

( )( )tR

xtRtTP

xtTPxt,tR

+=≥

+≥=+ (2.3)

Comportarea local� a echipamentului în jurul unui moment dat, poate fi descris� cu ajutorul densit��ii de probabilitate a variabilei aleatoare T, definit� astfel:

( ) ( ) ( ) ( )dt

tdFt

tFttFlimtft

=−+=→ ∆

∆∆ 0

(2.4)

Densitatea de probabilitate f(t) reprezint� limita raportului dintre probabilitatea total� de defectare în intervalul ( )tt,t ∆+ �i m�rimea acestui interval când aceasta tinde c�tre zero. Densitatea de probabilitate f(t) este numit� �i lege de reparti�ie a timpului de func�ionare pân� la defectare a echipamentului �i are semnifica�ia unei probabilit��i totale de defectare în jurul momentului t, indiferent de comportarea anterioar� a echipamentului.

Pentru a descrie pericolul de defectare în jurul unui moment dat al unui echipament aflat în bun� stare pân� la acel moment, se define�te un alt indicator care descrie comportarea local� a echipamentului din punct de vedere al fiabilit��ii. Acest indicator, numit rat� de defectare, este o probabilitate condi�ionat� analog� ratei mortalit��ii din studiile demografice �i se define�te ca probabilitatea de defectare în jurul unui moment dat, condi�ionat� de buna func�ionare a echipamentului pân� în acel moment.

( ) ( ) ( )( )

( )( )tRtf

ttRtFttF

limtzt

=⋅

−+=→ ∆

∆∆ 0

(2.5)

Din rela�iile (2.4) �i (2.5) se ob�ine:

( ) ( )( )

dttdR

tR1

tz ⋅−= (2.6)

iar prin integrarea ecua�iei diferen�iale (2.6) în condi�ia ini�ial� R(0)=1 se ob�ine:

( )( )�−

=

t

0duuz

etR �i F(t)=1-R(t) (2.7)


17

În afara indicatorilor prezenta�i, fiabilitatea unui echipament poate fi descris� �i prin caracteristicile numerice ale variabilei aleatoare care a stat la baza caracteriz�rii acestuia �i anume timpul de func�ionare pân� la defectare, T. Aceste caracteristici sunt: media, abaterea medie p�tratic�, dispersia �i cuantila timpului de func�ionare.

Media timpului de bun� func�ionare se define�te utilizând rela�ia:

( ) ( )∞∈⋅= �∞

,0t,dttftm0

(2.8)

sau: ( )�∞

=0

dttRm (2.9)

În lucr�rile de specialitate se folosesc nota�iile urm�toare: � MTBF – Mean Time Between Failures (media timpului de func�ionare

între defect�ri); � MTTF – Mean Time To Failures (media timpului de func�ionare pân�

la defectare, pentru echipamente f�r� reînnoire ); � MTTFF – Mean Time To First Failures (media timpului de func�ionare

pân� la prima defectare).

Abaterea medie p�tratic� �i dispersia timpului de func�ionare se definesc cu ajutorul rela�iilor urm�toare:

( ) ( )dttfmt02

�∞ ⋅−=∆ (2.10)

∆σ = (2.11)

M�rimile � �i � caracterizeaz� gradul de uniformitate al performan�elor individuale ale unor echipamente de acela�i tip din punct de vedere al fiabilit��ii. Dac� procesul tehnologic de realizare a echipamentelor este bine controlat, valorile indicatorilor � �i � vor fi mici. De asemenea, cre�terea valorilor indicatorilor � �i �, determina�i în timpul derul�rii procesului de fabrica�ie, reprezint� un indiciu în evaluarea gradului de uzur� a liniei de fabrica�ie.

Un alt indicator, independent de timp, este cuantila timpului de func�ionare αt , definit� ca r�d�cin� a ecua�iei:

( ) αα =tF (2.12)


18

Din ultima rela�ie se poate observa c� αt poate fi interpretat ca un timp de garan�ie, adic� timpul în care propor�ia de echipamente defectate dintr-o anumit� colectivitate nu dep��e�te valoarea prestabilit� �.

2.2. Modelarea uzurii echipamentelor În teoria fiabilit��ii, no�iunea de uzur� are un sens mai larg decât în limbajul obi�nuit. În fiabilitate prin uzur� se în�elege orice alterare în timp a caracteristicilor de fiabilitate, în sensul înr�ut��irii sau amelior�rii acestora. La baza acestei interpret�ri st� constatarea empiric� conform c�reia, în general, orice echipament parcurge trei perioade în evolu�ia sa:

� o perioad� a defect�rilor timpurii, când caracteristicile de fiabilitate se îmbun�t��esc în timp;

� o perioad� a duratei utile de via��, când performan�ele echipamentului r�mân constante;

� perioad� a uzurii propriu-zise, când are loc o înr�ut��ire rapid� a caracteristicilor de fiabilitate.

Pentru a putea caracteriza uzura echipamentelor este necesar s� se prezinte defini�iile urm�toare [3]:

Defini�ia 1. Se consider� func�ia de fiabilitate a unui echipament pentru o misiune de durat� x, ini�ializat� la momentul t:

( ) ( )( )

( )( )tR

xtRtTP

xtTPxt,tR

+=≥

+≥=+ (2.13)

Echipamentul este caracterizat de uzur� pozitiv� dac� func�ia de fiabilitate ( )xt,tR + este descresc�toare în intervalul ),0[t ∞∈ pentru orice valoare a

lui 0x ≥ . Uzura pozitiv� implic� faptul c� pentru orice misiune a echipamentului, fiabilitatea acestuia scade odat� cu vârsta.

Echipamentul este caracterizat de uzur� negativ� dac� func�ia de fiabilitate ( )xt,tR + cre�te cu t, oricare ar fi 0x ≥ , adic� pentru orice misiune a

echipamentului, fiabilitatea acestuia cre�te odat� cu vârsta sa.

Din punct de vedere matematic, uzura se poate exprima �i prin rata de defectare a unui echipament. Din rela�ia de definire a ratei de defectare se ob�ine:


19

( ) ( ) ( )( )

( )x

xt,tRlim

tRxxtRtR

limtz0x0x

+=⋅

+−=→→

(2.14)

Rata de defectare a unui echipament cu uzur� pozitiv� este cresc�toare, iar rata de defectare a unui echipament cu uzur� negativ� este descresc�toare în timp. Aceast� dependen�� este ilustrat� �i de rela�ia:

( ) ( )�+−

=+xt

t duuzext,tR (2.15)

din care se observ� c� pentru z(u) cresc�toare argumentul exponen�ialei rezult� cresc�tor în valoare absolut� �i deci func�ia ( )xt,tR + este descresc�toare cu t, iar pentru rata de defectare descresc�toare rezult� argumentul descresc�tor pentru exponen�ial� (în valoare absolut�) �i deci func�ia ( )xt,tR + cre�te cu t.

Defini�ia 2. Se nume�te echipament cu uzur� medie pozitiv�, echipamentul

la care func�ia R1

lnt1 ⋅ este cresc�toare în timp, iar un echipament cu uzur�

medie negativ� are func�ia R1

lnt1 ⋅ descresc�toare în timp.

Aceast� defini�ie este mai pu�in restrictiv� decât prima, astfel încât un echipament care este cu uzur� negativ� este �i cu uzur� medie negativ�, iar dac� este cu uzur� pozitiv� este �i cu uzur� medie pozitiv�, reciprocele acestor afirma�ii nu sunt adev�rate întotdeauna.

Defini�ia 3. Un echipament este degradabil dac� func�ia de fiabilitate asociat� unei misiuni de durat� x, ini�ializat� la vârsta t a echipamentului, este mai mic� decât func�ia de fiabilitate în intervalul (0, t), oricare ar fi vârsta t a acestuia �i durata misiunii x. Matematic, echipamentul degradabil poate fi definit prin rela�ia:

( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥<+ (2.16)

Din defini�ia anterioar� rezult� c� un echipament degradabil care a fost folosit este inferior unui echipament nou. No�iunea de echipament degradabil este mai pu�in restrictiv� decât aceea de echipament cu uzur� pozitiv�, care presupunea caracterul descresc�tor al func�iei ( )xt,tR + cu vârsta t a echipamentului. Echipamentele nedegradabile se definesc prin rela�ia:


20

( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥>+ (2.17)

Conform acestei rela�ii, echipamentele nedegradabile î�i îmbun�t��esc performan�ele de fiabilitate în timpul func�ion�rii, astfel încât un echipament care a fost folosit este mai bun decât unul nou.

Defini�ia 4. Un echipament este în medie degradabil dac� media timpului de func�ionare r�mas este mai mic� decât media timpului de func�ionare a echipamentului:

m(t)<m (2.18)

sau ( ) ( )��∞∞ <+ 00 dxxRdxxt,tR (2.19)

Rela�ia (2.19) reprezint� de fapt integrarea rela�iei (2.16) de definire a echipamentelor degradabile.

Un echipament este în medie nedegradabil dac� media timpului de func�ionare r�mas este mai mare decât media de func�ionare a echipamentului:

( ) ( )��∞∞ >+ 00 dxxRdxxt,tR (2.20)

Recapitulând cele patru defini�ii, care sunt din ce în ce mai pu�in restrictive, se poate afirma c� dac� un echipament este cu uzur� pozitiv�, atunci el este �i cu uzur� medie pozitiv�, este degradabil �i degradabil în medie. De asemenea, dac� un echipament este cu uzur� negativ�, atunci el este �i cu uzur� medie negativ�, este nedegradabil �i nedegradabil în medie.

Exist� îns� �i echipamente care nu se încadreaz� în nici unul din tipurile prezentate, �i anume echipamentele f�r� uzur�. Lipsa uzurii se define�te cu rela�ia: ( ) ( ) 0x,t;tRxt,tR ≥=+ (2.21)

Exist� o singur� lege de reparti�ie a timpului de func�ionare pân� la defectare care verific� rela�ia (2.21), anume legea de reparti�ie exponen�ial�, pentru care func�ia de fiabilitate este:

( ) tetR ⋅−= λ (2.22)

Ceilal�i indicatori de fiabilitate sunt da�i de rela�iile urm�toare:

Probabilitatea de defectare: ( ) te1tF ⋅−−= λ Densitatea de probabilitate: ( ) tetf ⋅−⋅= λλ Rata de defectare: ( ) λ=tz


21

Media timpului de func�ionare: ( )λ1

mtm == (2.23)

Dispersia: 22 1

Dλ

σ ==

Cuantila timpului de func�ionare: αλα −

⋅=1

1ln

1t

Reprezentarea grafic� a acestor indicatori este dat� în figura 2.1.

Fig. 2.1. Indicatori de fiabilitate pentru un echipament f�r� uzur�

Se constat� c� media timpului de func�ionare este aceea�i, indiferent de vârsta echipamentului, fiind egal� cu inversul ratei de defectare. Astfel de echipamente, caracterizate de o distribu�ie exponen�ial� a timpului de func�ionare sunt numite echipamente f�r� memorie.

În practic�, distribu�ia exponen�ial� este folosit� pentru modelarea echipamentelor în perioada util� de func�ionare, în care rata de defectare este stabil�. Aceast� perioad� este mai mare în cazul echipamentelor care nu con�in piese în mi�care, exemplu: echipamentele electronice, la care uzura este practic inexistent� în toat� perioada utiliz�rii lor. Lipsa uzurii nu trebuie s� conduc� la ideea c� procesul tehnologic de fabrica�ie ar fi deosebit de bine pus la punct. Exist� în acest caz o dispersie mare a timpului de func�ionare, care indic� o diversitate mare a echipamentelor individuale, caracteristic� echipamentelor electronice, la care procesele tehnologice, utilajele �i materialele folosite sunt mai complexe. O dispersie mic� ar ar�ta c� avem un proces tehnologic foarte bine controlat, caracteristic echipamentelor mecanice de mic� complexitate.

Echipamentele f�r� memorie, caracterizate de legea de distribu�ie exponen�ial�, sunt destinate de regul� unor misiuni repetate, ele fiind caracterizate de performan�e medii superioare, chiar dac� pe anumite intervale de timp comportarea lor las� de dorit.


22

O problem� deosebit� const� în identificarea tipului de uzur� pentru un echipament. Se consider� func�ia urm�toare:

( ) ( )�= FtS dttRFt 0 (2.24)

unde tF este cuantila de ordinul F a timpului de func�ionare. Ordinul cuantilei F reprezint� probabilitatea de defectare a echipamentului, având valori între 0 �i 1.

Pentru: ( ) 000 =�=�= FttF SF Pentru: ( ) mFttF SF =�∞→�=1 (2.25)

Func�ia ( )FtS poate fi normat� prin împ�r�ire la media timpului de func�ionare a echipamentului. Rezult�:

( ) ( )( )

( )( )

( )��

� ⋅=== ∞Ft

Ft

S

SS dttR

mdttR

dttR

tFt

FT 00

0 11

(2.26)

Aceast� func�ie are graficul înscris într-un p�trat de latur� 1, din primul cadran. Func�ia ( )FTS este:

� concav� pentru echipamente cu uzur� pozitiv�; � convex� pentru echipamente cu uzur� negativ�; � prima bisectoare pentru echipamente caracterizate de lipsa uzurii.

Verificarea experimental� a tipului de uzur� ce caracterizeaz� un echipament se efectueaz� prin estimarea func�iei ( )FTS pe baza rezultatelor ob�inute în urma încerc�rilor de fiabilitate sau a rezultatelor ob�inute în exploatare. Func�ia ( )FTS se reprezint� grafic (figura 2.2), concluziile tr�gându-se pe baza caracterului ei concav, convex sau liniar.

Fig. 2.2. Reprezentarea grafic�

a func�iei ( )FTS


23

Rezultatele experimentale, fie c� sunt ob�inute prin încerc�ri de laborator, fie c� sunt ob�inute în exploatare, constau din momentele de defectare ale unui e�antion de echipamente de acela�i tip, urm�rite în func�ionare în condi�ii bine precizate, pân� la defectarea tuturor. Momentele de defectare { }n,...,3,2,1i,ti = , ordonate cresc�tor, formeaz� o serie varia�ional�. La

momentul fiec�rei defect�ri, se poate estima probabilitatea de defectare F prin raportul dintre num�rul de ordine al defect�rii �i volumul e�antionului. Între dou� momente de defectare consecutive, probabilitatea de defectare F estimat� r�mâne constant�. Se ob�ine:

( )

��

�

��

�

�

≥

<≤−

<≤

<≤

<

=

−

+

∧

n

n1n

1ii

21

1

tt1

tttn

1n

.

.

tttni

.

.

tttn1

tt0

tF (2.27)

Probabilitatea de defectare estimat� se mai nume�te func�ie de reparti�ie empiric� a timpului de func�ionare. În continuare se poate ob�ine estima�ia func�iei de fiabilitate:

( )

��

�

��

�

�

≥

<≤−−

<≤−

<≤−

<

=

−

+

∧

n

n1n

1ii

21

1

tt0

tttn

1n1

.

.

tttni

1

.

.

tttn1

1

tt1

tR (2.28)


24

Aceast� func�ie se poate reprezenta grafic ca în figura 2.3. Se poate estima

apoi func�ia ( )FTS la un moment de defectare oarecare, it , la care ni

F =�

.

Se poate scrie: ( )�⋅=��

�

� itS dttR

mni

T 01 ��

� (2.29)

Estima�ia mediei timpului de func�ionare se ob�ine ca medie aritmetic� a duratei de func�ionare pân� la defectare a echipamentelor urm�rite:

=

⋅=n

1iitn

1m� (2.30)

Fig.2.3. Func�ia de fiabilitate estimat�

Pornind de la rela�iile (2.28), (2.29) �i (2.30) se poate construi, pe baza rezultatelor experimentale, func�ia ( )FTS , din reprezentarea ei grafic� deducându-se caracterul uzurii echipamentului analizat. Procesul de verificare poate fi înso�it de erori ce pot apare datorit� caracterului aleator al rezultatelor experimentale.

De exemplu, pentru un echipament f�r� uzur�, din rezultatele experimentale se poate ob�ine o estima�ie neliniar� a lui ( )FTS

�, care oscileaz� în

jurul primei bisectoare ca în figura 2.4.

Ipoteza privind caracterul f�r� uzur� al echipamentului considerat este acceptat� dac� num�rul de intersec�ii dintre

Fig.2.4. Func�ia ( )FTS

� pentru un

echipament f�r� uzur�


25

func�ia ( )FTS estimat� �i prima bisectoare dep��e�te o anumit� limit�, impus� de riscul de ordinul I, adic� de probabilitatea de respingere a ipotezei când acesta este adev�rat�.

2.3. Legi de reparti�ie asociate mecanismelor de defectare

Exprimarea analitic� a func�iei de fiabilitate, constituie o problem� central� în teoria fiabilit��ii. Legile de reparti�ie utilizate de statistica matematic� sau de alte domenii cum ar fi statistica descriptiv�, economia, demografia, nu pot fi folosite în fiabilitate decât atunci când se cunosc foarte bine bazele fizice ale fenomenului de defectare, astfel încât domeniul de aplicare al legii respective s� poat� fi delimitat cât mai exact.

Utilizând ra�ionamente de ordin fizic �i în urma prelucr�rii unui volum foarte mare de date experimentale, s-au elaborat unele legi de reparti�ie specifice aplica�iilor legate de teoria fiabilit��ii: legea Birnbaum-Saunders, legea valorii extreme (Gumbel), Weibull, alfa etc. În acela�i timp au fost elaborate interpret�ri fizice intuitive pentru unele legi de reparti�ie clasice: legea normal�, gama, Rayleigh etc., precizându-se care sunt domeniile în care se pot aplica aceste legi de reparti�ie.

Asocierea dintre o lege de reparti�ie teoretic� �i un echipament concret se face printr-un ra�ionament care combin� interpretarea fizic� �i verificarea experimental�, cel mai important argument fiind cel dat de confruntarea cu rezultatele experimentale. Construc�ia unei legi de reparti�ie unice, specific� unui anumit mecanism de defectare este practic imposibil�, de aceea, în mod obi�nuit se recurge la selec�ia unei legi de reparti�ie dintre cele uzuale, lege care s� fie adecvat� mecanismului de defectare respectiv.

Criteriul fundamental în adoptarea legii de reparti�ie este coresponden�a dintre legea teoretic� �i rezultatele ob�inute pe cale experimental�. Procedeul de verificare este bazat pe teoria general� a verific�rii ipotezelor statistice. Astfel, se formuleaz� ipoteza nul� Ho privind natura legii de reparti�ie a timpului de func�ionare �i ipoteza alternativ� H1, care exclude valabilitatea tipului de lege propus.

Decizia între ipotezele formulate se face pe baza rezultatelor experimentale ob�inute prin urm�rirea unui e�antion din echipamentele care urmeaz� s� fie caracterizate, adic� prin efectuarea unui test statistic de concordan��.

Decizia care se ia poate fi afectat� de cele dou� riscuri de eroare:


26

� riscul de ordinul I, �: probabilitatea de respingere a ipotezei nule când aceasta este adev�rat�;

� riscul de ordinul II, �: probabilitatea accept�rii ipotezei nule, când aceasta este fals�.

Criteriul de decizie trebuie ales astfel încât riscurile � �i � s� nu dep��easc� anumite valori impuse ini�ial.

Criteriul utilizat cel mai frecvent este Kolmogorov-Smirnov, care presupune cunoa�terea momentelor de defectare ale tuturor echipamentelor din e�antion supus analizei. Cu ajutorul acestor momente, { }n,...,3,2,1i,ti = ordonate cresc�tor, se poate estima func�ia de reparti�ie

( )tF�

. Dac� F(t) este func�ia de reparti�ie teoretic�, propus� pentru caracterizarea fiabilit��ii echipamentului respectiv, teorema Kolmogorov-Smirnov arat� c� ecartul maxim ( ) ( )tFtFsup

t

�− , dintre func�ia de reparti�ie

teoretic� �i estima�ia ei este o variabil� aleatoare a c�rei lege de reparti�ie depinde numai de volumul e�antionului, nu �i de natura legii care se verific�. Criteriul de decizie pentru acceptarea sau respingerea ipotezei formulate este dat de cuantila de ordinul α−1 a distribu�iei Kolmogorov-Smirnov, care este tabelat�. Ipoteza este acceptat� dac� ecartul maxim dintre func�ia de reparti�ie estimat� �i cea teoretic� nu dep��e�te valoarea cuantilei. Testul Kolmogorov-Smirnov are dezavantajul c� presupune o încercare de fiabilitate prelungit� pân� la defectarea tuturor elementelor e�antionului. Testul Kolmogorov-Smirnov se poate aplica �i la încerc�ri trunchiate �i cenzurate. Prin mic�orarea cantit��ii de informa�ie, rezultat� din trunchiere �i cenzurare, puterea testului de concordan�� scade, astfel încât de multe ori testul las� s� se accepte mai multe ipoteze privind caracterul reparti�iei timpului de func�ionare (ex. Weibull, normal� �i exponen�ial�).

Pe lâng� faptul c� au o putere redus�, testele de concordan�� bazate pe încerc�ri trunchiate mai pot fi afectate de o eroare. Se face ipoteza c� legea adoptat� �i acceptat� de test este valabil� �i dincolo de intervalul de timp în care s-a efectuat testul de concordan��. Se poate întâmpla îns� ca, în timp, legea de distribu�ie s�-�i schimbe caracterul într-un mod care nu poate fi prev�zut pe baza încerc�rilor trunchiate efectuate.

O alt� modalitate de verificare a concordan�ei dintre o lege teoretic� �i datele experimentale este dat� de statistica informa�ional�. Astfel, dac� se consider� dou� legi de reparti�ie discrete T �i S, care asociaz� unei acelea�i


27

variabile aleatoare sistemele de probabilit��i n321 p,...,p,p,p �i respectiv

n321 q,...,q,q,q , astfel încât:

1qpn

1ji

n

1ii

==== (2.31)

Se define�te corela�ia informa�ional� între cele dou� distribu�ii S �i T prin:

=

⋅=n

1iiiT,S qpC (2.32)

Corela�ia dintre distribu�ie �i ea îns��i se nume�te energie informa�ional�:

=

=

==

==

n

1i

2iTT,T

n

1i

2iSS,S

qEC

pEC (2.33)

Coeficientul de corela�ie informa�ional� între reparti�iile S �i T rezult� prin normarea rela�iei (2.32):

TS

T,ST,S EE

CE

⋅= (2.34)

Din ultima rela�ie rezult� c� valoarea coeficientului de corela�ie informa�ional� între dou� legi identice de reparti�ie este maxim� �i egal� cu unitatea.

S� presupunem c� S este o lege de reparti�ie empiric�, estimat� pe baza unui e�antion de date experimentale, iar T este legea de reparti�ie teoretic� ce caracterizeaz� echipamentul analizat. Cu cât volumul de date experimentale cre�te, cu atât reparti�ia empiric� se apropie de cea teoretic�, iar coeficientul de corela�ie informa�ional� tinde c�tre unitate. Pentru un anumit volum de date experimentale, coeficientul va fi cu atât mai aproape de unitate cu cât legea de reparti�ie teoretic� adoptat� este mai aproape de realitate.

O alternativ� fa�� de alegerea unei legi de reparti�ie anumite dintr-o mul�ime de posibilit��i este construc�ia unei legi de reparti�ie generale, valabil� pentru toate echipamentele �i care se particularizeaz� prin precizarea valorilor numerice ale parametrilor care intervin în expresia ei analitic�. O astfel de lege de reparti�ie atât de flexibil�, încât s� includ� toate legile particulare posibile – dac� ar exista – ar avea un num�r foarte


28

mare de parametri astfel încât dificultatea ar fi translatat� de la problema stabilirii naturii legii, la evaluarea parametrilor s�i. Solu�ia const� în utilizarea legii de reparti�ie exponen�ial�, care poate aproxima orice lege de reparti�ie printr-o combina�ie sau printr-o succesiune de legi de reparti�ie exponen�iale.

Aceast� aproximare prin combina�ii de exponen�iale se mai nume�te �i aproximare continu�. Modelele fundamentale ale aproxim�rii continue sunt de tip serie, paralel sau triunghi.

În primul caz, aproximarea de tip serie se ob�ine printr-o combina�ie liniar� de reparti�ii exponen�iale. Astfel, o reparti�ie oarecare ( )tf poate fi scris�:

( ) ==

⋅− =⋅⋅=n

1ii

n

1i

ti 1cu;etf i ωλω λ (2.35)

Exemplu: Se consider� un echipament (o diod� semiconductoare) cu dou� moduri de defectare incompatibile: scurtcircuit �i întrerupere. Se presupune c� fiec�rui mod de defectare i se asociaz� o reparti�ie exponen�ial� de parametru iλ , iar iω este probabilitatea ca defectarea s� se produc� prin modul particular i, rezultând o reparti�ie a timpului de func�ionare dat� de rela�ia (2.35).

Conform modelului paralel, timpul de func�ionare pân� la defectare este o sum� a unor durate aleatoare repartizate dup� legi exponen�iale de parametri diferi�i. Echipamentul trece deci prin st�ri intermediare, de la starea ini�ial� de bun� func�ionare pân� la starea de defectare. Aceste st�ri intermediare pot reprezenta uzura pozitiv� a echipamentului.

Al treilea model elementar al aproxim�rii continue este modelul triunghi. Conform acestui model, echipamentul poate trece prin mai multe st�ri intermediare, ca în cazul modelului paralel, dar nu trebuie neap�rat s� le parcurg� pe toate pentru a atinge starea de defectare, aceasta fiind accesibil� din orice stare intermediar�.

Reprezentând prin nodurile unui graf st�rile echipamentului �i prin arce posibilit��ile de tranzi�ie, se ob�ine modelul din figura 2.5, în care starea ini�ial� este notat� cu “0”, iar starea de defectare este notat� cu “k”. Starea de defectare “k” este accesibil� din toate celelalte st�ri, cu probabilit��ile de tranzi�ie respective t,...,t,t 1k1kk ∆λ∆λ∆λ ⋅⋅⋅ −+ . Probabilit��ile de tranzi�ie între st�rile de bun� func�ionare sunt: t,...,t,t 1k21 ∆λ∆λ∆λ ⋅⋅⋅ − .


29

Analiza cantitativ� a acestui model se poate efectua prin metoda lan�urilor Markov.

Modelele elementare de tip serie, paralel �i triunghi pot fi combinate între ele, rezultând o multitudine de legi de reparti�ie exprimate sub forma unei combina�ii de exponen�iale �i de reparti�ii gama de diferite ordine.

Figura 2.5. Modelul triunghi al aproxim�rii continui

De�i nu înl�tur� dificult��ile asociate testelor de concordan��, modelul aproxim�rii continue a reparti�iilor, este deosebit de elegant �i util prin aceea c� ofer� o modalitate general� �i comod� de exprimare a legilor de reparti�ie, care poate fi utilizat� cu succes în analiza echipamentelor cu uzur� prin metoda lan�urilor Markov.

2.4. Reînnoirea echipamentelor 2.4.1. Procese de reînnoire

Analiza fiabilit��ii echipamentelor trebuie s� �in� seama �i de faptul c� asupra acestora se exercit� interven�ii exterioare care se opun degrad�rii prin recondi�ionarea total� sau par�ial� a echipamentului. Aceste interven�ii sunt posibile în cazul echipamentelor reparabile, acestea putând fi aduse, prin interven�ii exterioare, în starea de func�ionare “ca noi” sau într-o stare de bun� func�ionare, caracterizat� îns� de o anumit� uzur�, pornind din starea de “defectare”. Sunt îns� �i echipamente a c�ror evolu�ie se termin� odat� cu prima defectare, cum este cazul componentelor �i echipamentelor nereparabile.

În cazul echipamentelor cu posibilit��i de reînnoire, eficien�a lor în exploatare este determinat� atât de caracteristicile lor intrinseci, cât �i de


30

cele ale interven�iilor exterioare. În acest sens, se l�rge�te sensul no�iunii de fiabilitate ca fiind capacitatea echipamentului de a-�i îndeplini misiunea. Este esen�ial faptul c� la asigurarea fiabilit��ii unui echipament reparabil concur� capacitatea echipamentului de a-�i men�ine performan�ele în timp (fiabilitatea în sens restrâns) �i capacitatea de restabilire a acestor performan�e. Aceasta din urm�, numit� mentenabilitate, �ine atât de echipament, în m�sura în care arhitectura acestuia u�ureaz� activit��ile de diagnoz� tehnic� �i depanare, cât �i de modul de organizare a între�inerii echipamentului: aprovizionarea cu piese de schimb, volumul �i calificarea personalului de între�inere etc. Mentenan�a poate fi definit� ca ansamblul tuturor ac�iunilor efectuate în scopul men�inerii sau restabilirii unui echipament în stare normal� de func�ionare. Mentenan�a poate fi preventiv� sau corectiv�. Mentenan�a preventiv� reprezint� interven�iile sistematice care au loc de regul� dup� un plan, în vederea asigur�rii corecte a echipamentului. Mentenan�a corectiv� reprezint� interven�iile, necesare în urma unor defect�ri accidentale, care au drept scop restabilirea capacit��ii de func�ionare a echipamentului la parametri nominali.

În scopul analizei proceselor de reînnoire se admite faptul c� orice interven�ie exterioar� asupra unui echipament în vederea restabilirii performan�elor acestuia are loc la momentul unei defect�ri a echipamentului �i este efectuat� într-un timp neglijabil.

O asemenea interven�ie, capabil� s� pun� echipamentul în stare de func�ionare, va fi numit� reînnoire, indiferent de amploarea influen�ei sale asupra echipamentului. Evolu�ia unui echipament va fi reprezentat� deci de succesiunea unor momente de reînnoire nt,...,t,t 21 , �i a intervalelor dintre acestea: ...x,...,x,x n21 (figura 2.6).

Fig. 2.6. Evolu�ia unui echipament cu reînnoire

Dac� se consider� un interval de timp oarecare (0, t), num�rul de reînnoiri tN , efectuate în acest interval, este un proces aleator discret, numit proces

de reînnoire. Dac� acest proces este complet cunoscut se pot face previziuni asupra comport�rii echipamentului cu reînnoire, utilizate în elaborarea programului de mentenan��.

Cunoa�terea procesului aleator de reînnoire presupune calculul func�iei de reparti�ie ( ) ,r,t;rNP t ∀∀= sau cel pu�in al unor valori medii ale


31

procesului aleator tN . Pentru aceasta se consider� anumite ipoteze asupra reînnoirilor, legate atât de caracteristicile opera�iei de interven�ie cât �i de cele ale echipamentului.

Prima ipotez� prive�te caracterul independent al variabilelor aleatoare ...x,...,x,x n21 care reprezint� duratele de func�ionare ale echipamentului.

Se presupune deci c� modul de comportare a echipamentului între dou� reînnoiri succesive nu este corelat cu comportarea sa în intervalul dintre alte dou� reînnoiri. În cazul cel mai general, prin opera�ia de reînnoire echipamentul este complet transformat astfel încât, dup� fiecare reînnoire avem de-a face cu un echipament nou din punct de vedere al fiabilit��ii. În aceste condi�ii, echipamentul va fi caracterizat în fiecare interval de func�ionare ...x,...,x,x n21 de indicatorii generali de fiabilitate.

În realitate, reînnoirea nu schimb� cu totul caracteristicile echipamentului prin trecerea sa din starea de defectare în starea de bun� func�ionare. Influen�a reînnoirii asupra echipamentului este orientat� fie în sensul îmbun�t��irii, fi în sensul înr�ut��irii fiabilit��ii acestuia, în func�ie de performan�ele activit��ii de interven�ie asupra echipamentului. Peste aceast� influen�� se suprapune efectul uzurii acumulate în timp, uzur� care poate fi pozitiv� sau negativ�. Din combina�ia dintre propriet��ile intrinseci ale echipamentului cu cele ale opera�iilor de interven�ie rezult� modul de varia�ie al func�iei de fiabilitate.

Not�m cu ( )xRi func�ia de fiabilitate a echipamentului în intervalul dintre reînnoirea ( )1−i �i reînnoirea i. �inând seama de ordonarea func�iilor

( )xRi , se poate face o clasificare a reînnoirilor.

Se numesc reînnoiri propriu-zise acele reînnoiri care aduc echipamentul mereu în aceea�i stare, eliminându-se uzura acumulat� de la reînnoirea precedent�. În acest caz este valabil� rela�ia:

( ) ( ) ( ) ( ) ( )xRxR......xRxRxR n ==== 321 (2.36)

iar procesul de reînnoire se nume�te simplu.

Atunci când în urma efectu�rii unei reînnoiri echipamentul este adus într-o stare diferit� de starea sa la momentul 0=t , rela�ia (2.36) se poate scrie:

( ) ( ) ( )( ) ( )xRxR

xR......xRxR

≠===

1

32 (2.37)

În acest caz procesul de reînnoire se nume�te general.


32

În procesele simple, to�i indicatorii de fiabilitate sunt identici în toate intervalele dintre reînnoiri succesive. În cazul proceselor generale exist� dou� tipuri de indicatori: cei defini�i pe primul interval de func�ionare (pân� la prima defectare – MTTF) �i cei defini�i pentru intervale dintre dou� defect�ri succesive (MTBF).

Procesele de reînnoire propriu-zise sunt caracteristice echipamentelor formate din elemente f�r� uzur�, la care reînnoirea const� din înlocuirea sau repararea elementelor defecte.

Se definesc reînnoirile pozitive prin:

( ) ( ) ( ) ( ) ......xR......xRxRxR n >>>>> 321 (2.38)

În cazul unui echipament f�r� uzur� sau cu uzur� negativ� reînnoirile pozitive sunt datorate unei calit��i necorespunz�toare a opera�iilor de interven�ie, în timp ce, în cazul echipamentelor cu uzur� pozitiv�, reînnoirile pot fi pozitive, chiar dac� ele contribuie la ameliorarea fiabilit��ii echipamentului, ac�iunea lor fiind contracarat� de efectul uzurii acestuia.

Reînnoirile negative se definesc prin rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( ) ( ) ......xR......xRxRxR n <<<<< 321 (2.39)

Pentru echipamentele cu uzur� pozitiv�, reînnoirile negative se datoreaz� unei calit��i deosebite ale opera�iilor de între�inere. Reînnoirile pot fi negative chiar dac� ele contribuie la înr�ut��irea caracteristicilor de fiabilitate ale echipamentului, acest lucru putându-se întâmpla datorit� efectului de ameliorare al uzurii negative.

Încadrarea reînnoirilor într-una dintre cele trei categorii este oarecum restrictiv�, întrucât nu toate reînnoirile efectuate asupra unui echipament pot fi de acela�i tip, chiar dac� sunt efectuate de c�tre aceea�i echip� de mentenan��.

Pentru a lua în considerare posibilit��ile ca printre reînnoiri pozitive s� se includ� �i unele reînnoiri negative sau invers, se consider� reînnoirile stohastic pozitive, respectiv stohastic negative, definite prin rela�iile:

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ......xR......xRxR

......xR......xRxRst

nststst

stn

ststst

<<<<

>>>>

21

21 (2.40)


33

Consider�m un echipament f�r� uzur�, asupra c�ruia se aplic� o reînnoire propriu-zis�, procesul de reînnoire fiind simplu [3]. Ne intereseaz� caracteristicile procesului aleator tN , definit ca num�rul de reînnoiri în intervalul ( )t,0 . Pentru aceasta se consider� un interval mic ( )tt,t ∆+ �i se evalueaz� probabilitatea ca pân� la momentul t+�t s� se produc� r reînnoiri:

( ) ( )rNPttP ttr =⋅=+ +∆∆ (2.41)

În intervalul ( )tt, ∆+0 , cele r reînnoiri se pot produce astfel: - r reînnoiri în ( )t,0 �i nici o reînnoire în ( )tt,t ∆+ ; - r - 1 reînnoiri în ( )t,0 �i o reînnoire în ( )tt,t ∆+ ; - r - 2 reînnoiri în ( )t,0 �i 2 reînnoiri în ( )tt,t ∆+ ; - �i a�a mai departe.

Probabilitatea defect�rii unui echipament f�r� uzur� într-un interval de timp ( )tt,t ∆+ este dat� de ( )tt ∆ε∆λ + , unde ( )t∆ε este un infinit mic superior lui t∆ , iar probabilit��ile asociate defect�rilor repetate în acest interval sunt infini�i mici superiori lui t∆ . Se poate scrie urm�toarea rela�ie de recuren��:

( ) ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]tttPtttPttP rrr ∆ε∆λε∆λ∆ +⋅−⋅++⋅⋅=+ − 11 (2.42)

Prin diferen�ierea rela�iei (2.42) se ob�ine:

( ) ( ) ( )tPtPdt

tdPrr

r1−⋅+⋅−= λλ (2.43)

Pentru a rezolva ecua�ia (2.43) se adopt� forma urm�toare pentru probabilitatea ( )tPr :

( ) ( ) trr etvtP ⋅−⋅= λ (2.44)

Înlocuind rela�ia (2.44) în rela�ia (2.43) se ob�ine:

( ) ( )tvdt

tdvr

r1−⋅= λ (2.45)

Rezolvând ecua�ia (2.45) în condi�iile ini�iale:

( )( )

...,,r

v

tv

r32

00

10

===

se ob�ine: ( ) ( ) !r/ttv rr λ= (2.46)


34

astfel încât procesul aleator este dat de:

( ) ( ) tr

r e!r

ttP λλ −⋅= (2.47)

Rela�ia (2.47) reprezint� un proces aleator de tip Poisson, cel mai simplu proces de reînnoire. Procesul de reînnoire poate fi caracterizat în mod sintetic prin media �i dispersia num�rului de reînnoiri în intervalul ( )t,0 . Media num�rului de reînnoiri în intervalul ( )t,0 se nume�te func�ie de reînnoire �i are expresia urm�toare:

( ) ( ) tNMtH t λ∆

== (2.48)

Rela�ia (2.48) arat� faptul c� num�rul mediu de reînnoiri propriu-zise ale unui echipament f�r� uzur� este propor�ional cu m�rimea intervalului de timp considerat.

Prin derivarea func�iei de reînnoire se ob�ine densitatea de reînnoire ( )th , interpretat� ca probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul momentului t, indiferent de ordinul acesteia:

( ) ( ) λ∆

==dt

tdHth (2.49)

Rezult� în acest caz o valoarea constant� �i egal� cu rata de defectare a echipamentului.

Considerând acum un echipament cu uzur�, negativ� sau pozitiv�, asupra c�ruia se efectueaz� reînnoiri care nu modific� gradul de uzur� al echipamentului, se pot ob�ine func�ia �i densitatea de reînnoire prin generalizarea rela�iilor (2.48) �i (2.49):

( ) ( ) ( ) ( )tzth,tztHt

== �0

(2.50)

Se observ� c� func�ia de reînnoire este egal� cu logaritmul inversului func�iei de fiabilitate. Determinarea tipului reînnoirilor se poate face pe baza unei metode care analizeaz� primele trei durate de func�ionare

,x,x,x 321 înregistrate la un e�antion de n elemente. Pentru a alege între reînnoirile propriu-zise �i cele pozitive, se formuleaz� ipotezele nul� (H0) �i alternativ� (H1):

( ) ( ) ( )( ) ( ) ( )xRxRxR:H

xRxRxR:H

3211

3210

>>==

(2.51)


35

Se noteaz� cu ,x,x,x iii 321 duratele de func�ionare pân� la a treia reînnoire, corespunz�toare echipamentului i din e�antion ( )n,...,,,i 321= . Se define�te variabila aleatoare iz , pentru fiecare element al e�antionului:

( )n,...,,,i

contrarcaz în,

xxxpentru,z iiii

321

0

1 321

=�� <<

= (2.52)

Valorile 1=iz reprezint� argumentele împotriva caracterului pozitiv al reînnoirilor, astfel încât dac� în e�antion exist� numeroase valori iz egale cu unitatea, se accept� ipoteza 0H �i se infirm� ipoteza 1H .

În vederea adopt�rii unei decizii se consider� variabila =

=n

iizS

1 �i se

accept� ipoteza 1H dac� kS ≤ , în caz contrar acceptându-se ipoteza 0H . Valoarea limitei de acceptare k se determin� pe baza riscului α de respingere a ipotezei 0H atunci când ea este adev�rat�.

Se presupune c� în urma verific�rii s-a stabilit c� reînnoirile efectuate sunt reînnoiri propriu-zise, adic� prin reînnoire echipamentul este adus mereu în aceea�i stare, starea de la momentul 0=t . Se ob�ine astfel un proces simplu de reînnoire descris de rela�ia:

( ) ( )tTPrNP rt <=≥ (2.53)

rela�ie ilustrat� în figura 2.7:

Fig. 2.7. Proces de reînnoire simplu

Num�rul de reînnoiri produse în intervalul ( )t,0 este mai mare decât r dac� �i numai dac� durata scurs� pân� la reînnoirea cu num�rul de ordine r este mai mic� decât t. Fie ( )tKr func�ia de reparti�ie a variabilei aleatoare rT �i

( )tkr densitatea de probabilitate. Se observ� distribu�ia discret� la un moment dat a procesului aleator tN , care poate fi exprimat� cu ajutorul func�iei de reparti�ie continu� a variabilei rT .


36

( ) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 121

1

0

1==

−=+≥−≥== +tK,...,,r

tKtKrNPrNPrNP rrttt (2.54)

Procesul de reînnoire este complet caracterizat dac� func�ia de reparti�ie ( )tKr poate fi exprimat� cunoscând indicatorii de fiabilitate ai

echipamentului. Întrucât toate intervalele de func�ionare între reînnoiri consecutive sunt identic distribuite, cu densitatea de probabilitate ( )xf , se poate scrie conform teoremei privind distribu�ia sumei de variabile aleatoare independente:

( ) ( ) ( ) ( )��

rr

rrtf...tftftk

x...xxT

⊗⊗⊗=+++= 21

(2.55)

unde ⊗ reprezint� produsul de convolu�ie.

Pornind de la rela�ia (2.55) se poate calcula densitatea de probabilitate a duratei scurse pân� la reînnoirea r, prin integrarea c�reia se ob�ine func�ia de reparti�ie utilizat� în rela�ia (2.54).

Folosind transformata Laplace:

( ) ( ) ( ) dtetgtLgsg ts* ⋅−∞

⋅== �0

(2.56)

se ob�ine: ( ) ( )[ ]r**r sfsk = (2.57)

�i ( ) ( )[ ]r**r sf

ssK

1= (2.58)

Cu aceasta procesul simplu de reînnoire este complet caracterizat. Dac� procesul de reînnoire este general, atunci trebuie f�cut� distinc�ie între densitatea de probabilitate corespunz�toare primului interval ( )xf1 �i densitatea f(x) corespunz�toare tuturor celorlalte intervale. În acest caz func�ia de reparti�ie trebuie calculat� cu ajutorul rela�iilor:

( ) ( ) ( )[ ] 11

−⋅=

r***r sfsfsk (2.59)

( ) ( ) ( )[ ] 11

1 −⋅⋅=

r***r sfsf

ssK (2.60)


37

Un proces general de reînnoire poate fi interpretat ca un proces simplu care începe s� fie observat de la un moment oarecare al evolu�iei sale (figura 2.8). Indiferent de tipul procesului, rela�ia fundamental� (2.54) r�mâne valabil�, distinc�ia între procesul simplu �i cel general f�cându-se prin modul de calcul al func�iei de reparti�ie ( )tKr .

Fig. 2.8. Reprezentarea unui proces de reînnoire

Utilizarea practic� a rela�iei (2.54) nu este îns� prea comod�, de aceea se prefer� caracterizarea procesului de reînnoire cu ajutorul func�iei de reînnoire H(t), care reprezint� num�rul mediu de reînnoiri produse în intervalul ( )t,0 . Pornind de la defini�ia mediei se ob�ine:

( ) ( ) ( ) ( )( )

( ) ( )( ) ( )( ) ( )

( ) ( ) ( )

∞

=

∞

=+

∞

=

=++=

+⋅−⋅++⋅−⋅+

+−=

=−===

121

43

32

21

11

1

33

22

rr

rrr

rt

tK......tKtK

....................................................

tKtK

tKtK

tKtK

tKtKrrNrPtH

(2.61)

Prin derivare se ob�ine densitatea de reînnoire:

( ) ( ) ( ) ∞

===

1rr tk

dttdH

th (2.62)

Aceast� rela�ie reprezint� probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul unui moment dat, indiferent de ordinul acesteia. Aplicând transformata Laplace rela�iilor (2.57) – (2.62) se ob�ine densitatea �i func�ia de reînnoire pentru procesul de reînnoire simplu:

( ) ( )[ ] ( )( )

∞

= −==

1 1r*

*r**

sf

sfsfsh (2.63)


38

( ) ( )

��

�� −⋅

=)s(fs

sfsH

*

**

1 (2.64)

În cazul unui proces general de reînnoire rela�iile (2.63) �i (2.64) devin:

( ) ( ) ( ) ( )( )

∞

=

−

−=��

��⋅=

1

11

11r

*

*r***

sf

sfsfsfsh (2.65)

( ) ( )( )��

�� −⋅

=sfs

sfsH

*

**

1

1 (2.66)

Se analizeaz� în continuare cazul unui proces general. Trecând în domeniul timp se ob�ine pentru densitatea de reînnoire:

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )� −⋅+=⊗+=t

dtfhtftfthtfth0

11 τττ (2.67)

Ecua�ia (2.67) se nume�te ecua�ia reînnoirii.

Fig. 2.9. Explicativ� la ecua�ia reînnoirii

În jurul momentului t se poate produce prima reînnoire, probabilitatea acestui eveniment fiind ( )tf1 . Fie acum o reînnoire de ordin oarecare produs� în jurul momentului t �i fie τ momentul reînnoirii precedente (figura 2.9). Produsul ( ) ( )ττ −⋅ tfh reprezint� probabilitatea ca în jurul momentului τ s� fi avut loc o reînnoire oarecare, iar proxima reînnoire s� se produc� în jurul momentului t. Însumând aceste probabilit��i pentru toate valorile ( )t,0∈τ �i ad�ugând pe ( )tf1 se ob�ine probabilitatea unei reînnoiri în jurul momentului t, indiferent de ordinul acesteia, adic� se ob�ine densitatea de reînnoire.

Exemplu de mod de calcul al densit��ii �i func�iei de reînnoire [3]:

Se consider� un echipament format dintr-un element de baz� �i o rezerv� pasiv� care preia func�ionarea în caz de defectare a elementului de baz�. Se


39

presupune c� elementele echipamentului sunt f�r� uzur�. Rezult� c� durata de func�ionare pân� la defectare a echipamentului se ob�ine însumând duratele de func�ionare ale celor dou� elemente.

Reparti�ia timpului de func�ionare va fi convolu�ia a dou� reparti�ii exponen�iale identice:

( )

( )( )2

2

λλ

λλ λλ

+=

⋅⊗⋅=⋅−⋅−

ssf

eetf

*

tt

(2.68)

Trecând în domeniul timp, rezult� reparti�ia timpului de func�ionare a echipamentului de tip gama, cu parametrii 2=α �i λβ = :

( ) ( ) tettf

⋅−⋅⋅⋅=

λλλ (2.69)

Media timpului de func�ionare este egal� cu dublul mediei timpului de

func�ionare a unui element, adic� va fi λ2 . Dac� echipamentul este urm�rit

de la punerea în func�iune, procesul de reînnoire este simplu, iar func�ia �i densitatea de reînnoire se ob�in din:

( ) ( )( ) ( )λ

λ⋅+⋅

=−

=21

2

sssf

sfsh

*

**

(2.70)

( )( )λ

λ

⋅+⋅==

22

2

sssH

* (2.71)

Aplicând transformata invers� Laplace, se ob�ine :

( ) ��

�� −⋅=

⋅⋅− teth

λλ 21

2 (2.72)

( ) ��

�� −⋅−⋅=

⋅⋅− te

ttH

λλ 21

41

2 (2.73)

Se observ� c� densitatea de reînnoire tinde asimptotic c�tre o valoare constant�, care este inversul mediei timpului de func�ionare, iar func�ia de reînnoire are ca asimptot� o dreapt� cu panta egal� cu inversul mediei timpului de func�ionare. Aceasta arat� c�, dup� trecerea unui timp suficient


40

de îndelungat, probabilitatea producerii unei reînnoiri în jurul unui moment dat este constant� iar num�rul mediu de reînnoiri într-un interval de timp este propor�ional cu lungimea acestuia, aspecte reflectate în figura 2.10.

Fig. 2.10. Evolu�ia densit��ii �i a func�iei de reînnoire

2.4.2. Strategii de reînnoire

O metod� de cre�tere a eficien�ei echipamentelor în exploatare este planificarea unor revizii care s� asigure reînnoirea echipamentelor înainte de defectarea acestora. Momentele efectu�rii acestor revizii, numite �i reînnoiri profilactice sau preventive, constituie o strategie de reînnoire. Ca �i reînnoirile propriu-zise (efectuate în cazul defect�rilor accidentale), reînnoirile preventive elimin� complet uzura echipamentului, aducându-l în starea ini�ial�.

Dac� reînnoirile analizate pân� acum erau evenimente aleatoare, generate de defect�rile echipamentului, reînnoirile preventive pot fi evenimente aleatoare sau deterministe, dup� modelul în care sunt concepute strategiile de reînnoire. Astfel, peste procesul aleator al reînnoirilor propriu-zise se suprapune strategia aleatoare sau determinist� a reînnoirilor preventive. Strategiile de reînnoire pot fi clasificate în dou� categorii [3]:

� periodice; � neperiodice.

Strategiile neperiodice pot fi elaborate �inând seama de vârsta echipamentului, de uzura acestuia sau de alte m�rimi ce evolueaz� aleator. Ele sunt deci strategii ce au un caracter aleator.

Strategiile de reînnoire periodice sunt caracterizate de o durat� constant� între dou� reînnoiri preventive consecutive. Aceast� durat� fiind cunoscut�, rezult� c� aceste strategii au un caracter determinist.

Proiectarea strategiilor de reînnoire se poate face pe baza unor criterii diferite. Indiferent de criteriul adoptat în elaborarea strategiei, este


41

important s� se evalueze pentru fiecare strategie, costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp. În acest scop se consider� costul unei reînnoiri propriu-zise egal cu unitatea �i se exprim� costurile reînnoirilor preventive cu frac�iuni din costul reînnoirii propriu-zise.

Trebuie precizat faptul c� abordarea strategiilor prin prisma costului mediu nu implic� neap�rat o viziune pur economic�, deoarece costurile individuale reprezint� în general expresii numerice ale dificult��ii, de orice natur� ar fi, întâmpinate în efectuarea unei reînnoiri.

Cea mai simpl� strategie de reînnoire periodic� const� în reînnoirea echipamentului fie la defectarea sa, fie la momentele de timp egal distan�ate { }...,,k,kT 21= . Aceast� strategie este cunoscut� în literatur� sub numele de BRP (Block Replacement Policy).

Un prim criteriu de proiectare a acestei strategii, respectiv de calcul al perioadei T, const� în impunerea unui anumit nivel minim al func�iei de fiabilitate în intervalul dintre dou� reînnoiri succesive:

( ) 0RTR ≥ (2.74)

Costul mediu de între�inere a echipamentului într-o perioad� de timp T este format din costul unei reînnoiri preventive b, �i costul mediu al reînnoirilor efectuate la defectarea echipamentului, numeric egal cu num�rul mediu al acestor reînnoiri.

Dac� se neglijeaz� duratele de reînnoire, num�rul mediu al reînnoirilor neprev�zute dintr-o perioad� este dat de func�ia de reînnoire H(T), astfel încât costul mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp prin strategia BRP este dat de rela�ia urm�toare:

( )T

bTHCBRP

+⋅= 1 (2.75)

Costul dat de rela�ia (2.75) trebuie comparat cu costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp în absen�a reînnoirilor preventive. Situa�ia în care nu se execut� reînnoiri preventive este numit� strategie FRP (Failure Replacement Policy). În acest caz o reînnoire se execut� în medie la un interval de timp egal cu media timpului de func�ionare m, astfel încât costul mediu în unitatea de timp va fi:

mCFRP

1= (2.76)


42

Expresia (2.76) se ob�ine din (2.75) pentru o perioad� T tinzând spre infinit.

Exemplu: Se consider� un echipament având func�ia de fiabilitate urm�toare [3]:

( )14

2

10

2−−

⋅⋅−⋅−

=

−⋅=

ore

eetRtt

λ

λλ (2.77)

Un astfel de echipament este cu redundan�� activ�, care se defecteaz� atunci când se defecteaz� ambele elemente care îl compun. Strategia de reînnoire periodic� trebuie calculat� din condi�ia ca func�ia de fiabilitate în intervalul dintre dou� reînnoiri preventive consecutive s� nu scad� sub nivelul impus, 9900 ,R = . Din rela�iile (2.74) �i (2.77) se ob�ine:

ore6,10539,0

1ln

1T099,0e2e TT2 =≤�≤+⋅− ⋅−⋅⋅−

λλλ (2.78)

Pentru a calcula costul mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp se evalueaz� func�ia de reînnoire a echipamentului pornind de la expresia func�iei de fiabilitate (2.77). Se ob�ine succesiv:

( ) ( )

( ) ( ) ( )

( ) ( )( ) ( )

( )

�

��

�

��

�

�

��

�� +⋅=

⋅+⋅⋅=

−=

⋅+⋅+⋅=

⋅+⋅−

+⋅=

⋅⋅−⋅⋅=−=

⋅⋅−

⋅−⋅−

t

*

**

*

tt

eth

sssf

sfsh

sssssf

eedt

tdRtf

λ

λλ

λ

λλ

λλλ

λλ

λλ

λλ

3

2

2

2

13

2

32

1

22

222

22

( ) ( )92

92

32 3

0−⋅+⋅⋅==�

⋅⋅−�

tte

tdtthtH

λλ (2.79)

Dac� se adopt� un cost b al reînnoirii preventive periodice egal cu 20% din costul unei reînnoiri propriu-zise (b=0.2), folosind rela�ia (2.75) se ob�ine costul mediu în unitatea de timp al strategiei BRP, cu perioada T dat� de condi�ia (2.78):


43

143

1008320

92

92

32

−−⋅⋅−

⋅=+−⋅+⋅⋅

= ore,T

,eT

C

T

BRP

λλ

(2.80)

În absen�a reînnoirilor preventive, costul mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp poate fi calculat utilizând rela�ia (2.76):

( )

14

0

106603

2

23

−−

∞

⋅=⋅=

⋅== �

ore,C

dttRm

FRPλ

λ (2.81)

Analizând rezultatele ob�inute în rela�iile (2.80) �i (2.81) rezult� c� între�inerea echipamentului prin strategia BRP este mai costisitoare dar are avantajul asigur�rii unei fiabilit��i mai ridicate. Dac� analiza se limiteaz� la un punct de vedere pur economic, atunci este clar c� în perioada sta�ionar� a procesului de reînnoire, adoptarea unei strategii de reînnoire de tip BRP nu poate prezenta avantaje. În cazul unui proces de reînnoire sta�ionarizat

avem ( )mT

TH = , astfel încât:

( )FRPBRP C

mTb

mTbTH

C =>+=+⋅= 111 (2.82)

Din ultima rela�ie rezult� c� strategia de reînnoire periodic� poate prezenta avantaje economice numai în perioada tranzitorie a procesului de reînnoire, respectiv în perioada incipient� a între�inerii echipamentului în exploatare. În proiectarea strategiilor de reînnoire se urm�re�te minimizarea costului mediu de între�inere a echipamentului în unitatea de timp, astfel încât punând condi�ia de minim expresiei (2.75) se ob�ine:

bTHThT*** =��

��−�

�

��⋅ (2.83)

O condi�ie suficient� de existen�� a solu�iei *

T pentru ecua�ia (2.83) este caracterul cresc�tor al densit��ii de reînnoire h(t), sau, cu alte cuvinte

caracterul pozitiv al uzurii echipamentului. Înlocuind valoarea *

T , în rela�ia (2.74), se ob�ine costul mediu minim al între�inerii echipamentului în unitatea de timp atunci când se aplic� strategia BRP.

��

��= **

BRP ThC (2.84)


44

unde *BRPC este o func�ie cresc�toare de b, prin intermediul lui *T .

Pentru echipamentul cu func�ia de fiabilitate dat� de rela�ia (2.77) perioada optim� se ob�ine introducând expresia lui H(T) dat� de rela�ia (2.79) în ecua�ia (2.83):

***yTy;yeb

*

⋅⋅=+=⋅��

�

� ⋅− λ3129

1 (2.85)

Ultima ecua�ie fiind transcendent�, se rezolv� grafic. Condi�ia de existen��

a perioadei optime de reînnoire este 92<b . Cum s-a presupus b=0.2 aceast�

condi�ie este îndeplinit�. Valoarea minim� a costului strategiei BRP se ob�ine introducând solu�ia ecua�iei (2.85) în expresia (2.84) �i �inând seama de rela�iile (2.79):

��

�

�−⋅⋅= ⋅⋅− *T*

BRP eC λλ 313

2 (2.86)

A�a cum se observ� din exemplul anterior, elaborarea strategiei periodice optime din punct de vedere al costului mediu în unitatea de timp nu este dificil�, dac� este posibil calculul func�iei �i densit��ii de reînnoire. Acest calcul este uneori dificil datorit� imposibilit��ii ob�inerii analitice a transformatei Laplace pentru anumite legi de reparti�ie a tipului de func�ionare (ex. legea Weibull).

Strategia periodic� descris� (BRP) are inconvenientul planific�rii inflexibile, astfel încât este posibil ca, la scurt timp dup� efectuarea unei reînnoiri propriu-zise a echipamentului, s� urmeze o reînnoire preventiv� planificat�. Pentru evitarea unor asemenea situa�ii, s-a recurs la modificarea strategiei periodice. Reînnoirile preventive se execut� la momentele de timp { }...,,k,Tk 21=⋅ . Dup� orice defectare ap�rut� în intervalele ( ){ }...,,k,Tk,TTk D 21=⋅−⋅ , echipamentul nu este reînnoit, a�teptându-se momentul proximei reînnoiri preventive. Defect�rile ap�rute în intervalele ( )[ ]{ }...,,k,TTk,Tk D 211 =−⋅⋅− se remediaz� în mod obi�nuit, rezultând reînnoiri propriu-zise. Strategia de reînnoire se nume�te DRP ( Delayed Replacement Policy).

Pentru evaluarea costului mediu al între�inerii echipamentului în unitatea de timp este necesar s� se considere al�turi de costul b al reînnoirii preventive �i costul d al stagn�rii echipamentului ( sau al func�ion�rii sale incorecte ) în unitatea de timp. Costul mediu într-o perioad� T este format din:


45

a) costul reînnoirii preventive b; b) costul reînnoirii propriu-zise (al repar�rilor în caz de defectare).

( )DTTH −⋅1 c) costul duratei medii de stagnare:

( )� −⋅⋅⋅DT

dxxThxd0

Se ob�ine costul mediu în unitatea de timp:

( ) ( ) ( )��

�

��

�−⋅⋅⋅+−⋅+⋅= �

DT

DDDRP dxxThxdTTHbT

T,TC0

1 (2.87)

Prin minimizarea expresiei (2.87) dup� DT , se ob�ine valoarea optim�:

dT

*D

1= (2.88)

Înlocuind expresia (2.88) în (2.87), pentru TT*D << se ob�ine:

( ) ( )dtTh

TCT,TC BRP*DDRP ⋅

−=��

��

2 (2.89)

Considerând acum perioada optim� a reînnoirilor preventive, dat� de

rela�ia (2.83) bTHThT*** =��

��−�

�

��⋅ , se poate ob�ine costul minim al

strategiei DRP utilizând rela�ia (2.89):

��

�

�

�

⋅−⋅�

�

��=�

�

��

�

⋅⋅−⋅�

�

��=

=⋅⋅

��

��

−��

��=�

�

��=

*

*D*

**

*

**

BRP*D

*DRP

*DRP

T

TTh

TdTh

Td

ThTCT,TCC

21

2

11

2 (2.90)

Trecând la analiza strategiilor neperiodice de reînnoire vom considera cea mai simpl� strategie, la care reînnoirea preventiv� este determinat� de atingerea de c�tre echipament a unei anumite vârste, x. Aceast� strategie este cunoscut� în literatur� sub denumirea ARP (Age Replacement Policy).

Datorit� caracterului neperiodic al reînnoirilor preventive, realizarea efectiv� a strategiei este mai dificil�, fapt care se exprim� printr-un cost asociat unei reînnoiri preventive de tip ARP mai mare decât cel corespunz�tor reînnoirii preventive periodice (a>b).

În vederea determin�rii vârstei echipamentului la care trebuie efectuat� reînnoirea preventiv� se pot utiliza diverse criterii:


46

� asigurarea unui anumit nivel de fiabilitate; � condi�ia de extrem pentru o m�rime dependent� de x; � minimizarea costului mediu al între�inerii echipamentului în

unitatea de timp.

În continuare se va utiliza criteriul de minimizare a costului mediu de între�inere. Pentru stabilirea acestui cost se neglijeaz� duratele în care se efectueaz� reînnoirea echipamentului. Costul între�inerii echipamentului în toat� durata vie�ii sale va fi egal cu unitatea dac� echipamentul se defecteaz� în intervalul ( )x,0 �i cu costul a al reînnoirii preventive dac� echipamentul nu se defecteaz� în acest interval. Rezult� costul mediu al între�inerii echipamentului F(x)+a*R(x). Împ�r�ind expresia costului mediu la durata medie de via�� a echipamentului rezult� costul mediu în unitatea de timp dat de rela�ia urm�toare:

( ) ( ) ( )

( )�

⋅+=xARP

dttR

xRaxFxC

0

(2.91)

Minimizând rela�ia (2.91), rezult� ecua�ia vârstei optime la care trebuie s� se execute reînnoirea preventiv� a echipamentului:

( ) ( )a

xRtdtRxzx

xC *x*ARP*

−=��

��+⋅�

�

��=

∂∂

� 11

00

(2.92)

Condi�ia suficient� de existen�� a valorii optime *x este ca rata de defectare s� fie cresc�toare (echipamentul s� fie caracterizat de uzur� pozitiv�). Valoarea medie minim� a costului se ob�ine înlocuind solu�ia *x a ecua�iei (2.92) în rela�ia (2.91):

( ) ��

��⋅−=�

�

��= **

ARP*ARP xzaxCC 1 (2.93)

Costul mediu minim dat de rela�ia (2.93) este o func�ie cresc�toare de costul a al unei reînnoiri preventive.

Exemplu: Se consider� acela�i echipament descris de ecua�ia (2.77):

( ) t2t ee2tR ⋅⋅−⋅− −⋅= λλ

Înlocuind indicatorii de fiabilitate ai acestui echipament în expresia (2.92) se ob�ine:


47

( ) ( )*

x*

**

eR

aRaRa

⋅−=

=⋅−+⋅⋅−−⋅−

λ

0313212

(2.94)

Ecua�ia (2.94) are solu�ii reale pentru orice [ ]10,a ∈ . Solu�iile sunt pozitive

pentru 31

a < �i în acest caz cea mai mic� este subunitar�, deci acceptabil�.

Ca urmare, vârsta optim� a reînnoirii preventive se ob�ine din rela�iile:

( )( )

( )( )aaaa

lnR

lnx

aaaa

R

**

*

⋅−⋅−⋅−−⋅==

−⋅⋅−⋅−⋅−

=

343212111

123432

λλ

(2.95)

Condi�ia de existen�� a strategiei optime ARP este deci 31

a < . Dac� aceast�

condi�ie este îndeplinit�, costul mediu minim rezult� conform rela�iei (2.93):

( ) ( ) ( ) ( )( )aaa

aaaaxaC **

ARP ⋅−⋅+−⋅−⋅+

−⋅⋅=⋅⋅−=342

341271 λ (2.96)

Pentru a=25% �i 14

10−−= oreλ se ob�in valorile numerice:

141065071341133

2

14552135

61

−−⋅=++⋅⋅⋅=

=−

=

ore,C

orelnx

*ARP

*

λ

λ (2.97)

Dac� nu s-ar efectua reînnoiri preventive, costul mediu de între�inere în unitatea de timp ar fi 14 ore1066,0 −−⋅ . Strategia optim� ARP este deci avantajoas� fa�� de absenta oric�rei strategii de reînnoire.

Alegerea între diferite strategii de reînnoire trebuie f�cut� prin prisma unui criteriu unitar �i având în vedere variantele optime ale diverselor strategii. Astfel, se consider� strategiile ARP, BRP �i FRP, [3]. Criteriul de compara�ie între aceste strategii este costul mediu minim al între�inerii echipamentului în unitatea de timp. Pentru a ar�ta procedeul de decizie trebuie reamintit faptul c� expresiile costurilor ARPC �i BRPC sunt func�ii cresc�toare de costul individual al reînnoirilor preventive. Exist� deci dou�


48

valori unice 00 b,a de la care începând, sunt adev�rate inegalit��ile urm�toare:

( )( ) 0

0

bbCbC

aaCaC

FRP*BRP

FRP*ARP

>>

>> (2.98)

Din aceste inegalit��i rezult� c� pentru 0aa > �i 0bb > trebuie adoptat� strategia FRP, pentru 0aa > �i 0bb < trebuie adoptat� strategia BRP, iar pentru 0aa < �i 0bb > trebuie adoptat� strategia ARP. R�mâne cazul

0aa < �i 0bb < când trebuie f�cut� o alegere între strategiile ARP �i BRP. Întrucât func�iile costurilor ARPC �i BRPC sunt cresc�toare, exist� o

valoare unic� ( )ab* pentru care ( )aCbC *ARP

**BRP =�

�

�� . Cunoscând func�ia

( )ab* se poate decide u�or asupra strategiei de adoptat, �inând seama de

monotonia func�iei ( )bC*BRP . Dac� *bb > se adopt� strategia ARP �i dac�

*bb < se adopt� strategia BRP. Algoritmul de alegere a strategiei optime este prezentat în figura 2.11:

Fig. 2.11. Alegerea strategiei optime de reînnoire

În literatura de specialitate mai sunt prezentate �i alte strategii utilizate în reînnoirea echipamentelor. În cadrul capitolului 6 se va prezenta o strategie evolutiv� de reînnoire care face parte din categoria strategiilor de tip CRP (Continuous Replacement Policy). Implementarea strategiei tip CRP necesit� o supraveghere continu� a echipamentului prin intermediul m�rimilor m�surate, iar determinarea momentului proximei reînnoiri preventive se face în func�ie de evolu�ia parametrilor echipamentului, determina�i prin tehnici de diagnoz�.

Documents

CAPITOLUL 2 FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR Studenti/Note de curs/Ionescu Gh/3... · CAPITOLUL 2 FIABILITATEA ECHIPAMENTELOR 2.1. Indicatori de fiabilitate Pentru caracterizarea fiabilitii