Campo Eléctrico - Carlos Alberto Vara · campo creado por una distribución de cargas basta aplicar el principio de superposición, tanto para el campo E r (r) como para el potencial

INTERACCIÓN ELECTROMAGNÉTICA: Campo Eléctrico

1.- Interacción eléctrica: Ley de Coulomb 2.- Campo eléctrico: Intensidad del campo y potencial 3.- Campo eléctrico: Ley de Gauss 4.- Conductor en equilibrio electrostático 5.- Teorema de Gauss: Otras aplicaciones 6.- Campo eléctrico uniforme 7.- Analogías y diferencias entre los campos gravitatorio y eléctrico Actividades desarrolladas

U IV T 13: Campo Magnético

278

1.- INTERACCIÓN ELÉCTRICA: LEY DE COULOMB

La experiencia, desde antiguo, muestra la existencia en la naturaleza de fuerzas de otro tipo que las gravitatorias. Cuerpos materiales, como el vidrio o el ámbar, frotados con un paño seco, son capaces de atraer pequeños trozos de papel, repelerse mutuamente, ... etc.

Como resultado de este frotamiento, estos materiales adquieren una nueva propiedad, que

llamamos electricidad. Los cuerpos electrizados son capaces de interaccionar entre sí con fuer-zas mucho más intensas que las gravitatorias.

Las observaciones y experimentos realizados con cuerpos electrizados, y las mediciones

efectuadas de las fuerzas de interacción, condujeron a Coulomb, en 1785, a formular una serie de conclusiones:

1) Existe en la materia una propiedad: su capacidad de electrización. Caracterizamos el es-

tado de electrización de un cuerpo definiendo su carga eléctrica, que representaremos por q. Así como la masa m caracteriza la inercia y la gravitación de un cuerpo, así ahora la carga q caracte-riza su grado de electrización.

2) Los cuerpos presentan dos posibles estados de electrización; los llamaremos electriza-

ción positiva (como la del vidrio frotado), y electrización negativa (como la del ámbar). Les asig-naremos carga q, positiva o negativa, según su estado. La carga neta de un cuerpo es la suma algebraica de sus cargas positivas y negativas: Un cuerpo que tiene igual carga positiva que nega-tiva se dice que es eléctricamente neutro.

3) Cuerpos con la misma clase de electrización (positiva o negativa) se repelen; pero si tie-

nen diferente clase de electrización (uno positiva y otro negativa), se atraen. 4) En todos los procesos observados, la carga neta de un sistema aislado permanece cons-

tante. 5) La fuerza de interacción entre dos cuerpos cargados eléctricamente, considerados pun-

tuales (es decir, de dimensiones mucho más pequeñas que las distancias entre ellos), es propor-cional a sus cargas ( F : : q y F : : q’) e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa( F : : 1/r2).

De acuerdo con estas conclusiones, podemos expresar la interacción entre dos cuerpos

cargados eléctricamente así:

rr

'qqkF

2=

r (1)

donde:

* q y q’ representan las cargas eléctricas de ambos cuerpos.

* Fr

es la fuerza de interacción ejercida por q sobre q’

+q1 +q2 -q2 -q2 +q1 -q2

r r r


279

* r es la distancia entre los cuerpos cargados, r = OP * k es una constante de proporcionalidad, cuyo valor depende: + del medio en el que se realiza la interacción. + del sistema de unidades elegido para medir cargas eléctricas. * r es el vector unitario o versor radial, que tiene su origen en la carga q.

En el S.I. se toma como unidad de carga eléctrica el culombio (C), que se define así: Un culombio es la carga eléctrica que, situada en el vacío a un

metro de distancia de otra igual, experimenta una repulsión de 9x109 N.

Consecuentemente, el valor de k para el vacío, que llamaremos k0, debe ser, en este siste-

ma de unidades, k0 = 9x109 N.m2.C-2 (2) En los demás medios distintos del vacío, k < k0 .

Por razones puramente prácticas (forma más sencilla y abreviada de las expresiones poste-riores) se prefiere sustituir la constante k por otra ε denominada permitividad dieléctrica (o cons-tante dieléctrica) del medio. La relación entre ambas constantes es:

k = επ 4

1 (3)

Para el vacío (y para el aire, aproximadamente), k0 = 0 4

1

επ = 9x109 N.m2.C-2

⇒ ε0 = 8’85x10-12 C2.N-1.m-2 (4) Para otros medios, ε es mayor que ε0. Se define entonces la constante dieléctrica relativa del medio por εr = ε / ε0. Por ejemplo, para el agua destilada a 20ºC vale εr = 80, y por consiguiente: ε = εr ε0 = 80x8’85x10-12 = 7’08x10-10 C2.N-1.m-2

De acuerdo con ello, y suponiendo en adelante (mientras no se indique explícitamente lo contrario) que el medio dieléctrico en el que estudiaremos los fenómenos eléctricos es el vacío, la expresión (1) se escribe así:

Fr

= επ 4

12r

q' qr

Observamos de inmediato que si q y q' son de igual signo, la fuerza Fr

aplicada en q' está di-rigida según el sentido de r (fuerza repulsiva); mientras que si q y q' son de signo opuesto, la fuer-

za Fr

aplicada en q' está dirigida hacia q (fuerza atractiva).


280

2.- CAMPO ELÉCTRICO: INTENSIDAD DEL CAMPO Y POTENCIAL

Las fuerzas de interacción entre dos cargas eléctricas, q y q’, son fuerzas ejercidas a distan-cia. Vimos anteriormente (Cf. Unidad I, tema 3, nº 12) cómo cabe una nueva interpretación de la interacción, en términos de una elemental teoría de campos: la carga q crea un campo en el espa-cio (o en una región de él); este campo actúa sobre la carga q’ situada en su seno: la acción del campo sobre la carga q’ es la fuerza de interacción.

♣ Intensidad del campo eléctrico, Er

(r), creado por una carga puntual q.

La intensidad del campo eléctrico creado por q en un punto P situado a una distancia r viene dada por el valor de la fuerza de Coulomb expresada en (1) al actuar sobre la unidad positi-va de carga ,(q’ = 1) colocada en dicho punto; es decir:

Er

= 'q

Fr

(5)

Por tanto:

Er

(r) = k2r

qr (6)

Como se observa, en un punto dado, Er

sólo de-pende de la carga q creadora del campo; y es función de la distancia r desde ella hasta el punto.

El campo Er

(r), al igual que Fr, se nos presenta

con dos características importantes: c) Es un campo central. En efecto, al ser generado por

una carga q, (que supondremos puntual y situada en un punto del espacio O, que llamamos “centro”), el

campo Er

(r) está en todo punto P dirigido según la recta OP que une el punto con el centro. Toda carga q’, en el seno de dicho campo se ve, pues, sometida a

una fuerza Fr

= q’ Er

dirigida también según la recta OP: es una fuerza central.

d) Es un campo conservativo. (Cf. Unidad I, tema 3,

nº7). En efecto, el trabajo realizado por el campo, al llevar la unidad positiva de carga a recorrer un ciclo cerrado cualquiera, es nulo.

∫c

rd.Err

= k q ∫c r

rd.r2

r

= - k q )r

dr(

A

A

r

r∫ −

2 = - k q

A

A

r

rr

1⎟⎠⎞

⎜⎝⎛

= 0

teniendo en cuenta (ver la figura) que .r d rr

= dr


281

♣ Potencial eléctrico, V(r), creado por la carga q.

Que el campo Er

sea conservativo implica que proviene de un potencial V originado también en el espacio por la carga q. Llamaremos a este potencial potencial eléctrico. Tal y como se vio

en la Unidad I, tema 3, nº 13, la expresión que relaciona el campo Er

y el potencial V es la formu-lada en dicho tema por la ecuación (7), que adquiere en nuestro caso, según (6), la forma:

dV = – Er

d rr

= – (k2r

qr ) . d r

r = – k q

2r

dr

Para obtener la función V(r), potencial eléctrico en un punto cualquiera, aplicamos la expre-sión integral (7) de la Unidad I, tema 3, nº 13:

V(r) =∫dV + C = –∫ Er

.d rr

+ C = – k q ∫ 2r

dr + C = k

r

q + C

La constante de integración C es arbitraria. Su valor depende del convenio que se adopte: en qué punto del espacio consideramos nulo el valor de V. Se acostumbra aceptar que V = 0 cuando r → ∝ , o sea, V(∝) = 0. Por tanto, sustituyendo en la expresión inmediata anterior, resulta:

V(∝) = k∞q

+ C = 0 ⇒ C = 0

Así que, en base a este convenio, podemos escribir el potencial eléctrico en todo punto, así:

V(r) = kr

q (7)

Nótese que, en el caso del campo eléctrico, V(r)

es positivo o negativo según sea positiva o negativa la carga q que lo crea. Véase en la figura la función V(r) para una carga positiva.

La diferencia de potencial, VA – VB, entre dos

puntos A y B en el seno del campo eléctrico viene da-da por:

VA – VB = V(rA) – V(rB) = kAr

q - k

Br

q = k q (

Ar

1 -

Br

1)

VA – VB = k q (Ar

1 -

Br

1) (8)

♣ Energía potencial eléctrica .- Trabajo

La energía potencial eléctrica de una carga q’ situada en el campo creado por q es:

Ep(r) = q’ V(r) (9) Por tanto: Ep(r) = kr

qq' (10)

Esta energía potencial de q’ es positiva o negativa según sean ambas cargas, de igual signo

o de signo contrario, respectivamente. El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde un punto A a otro B puede

escribirse en función de la diferencia de potencial entre ambos puntos, VA – VB, pues WAB = - ∆Ep = Ep(A) – Ep(B) = q’ VA – q’ VB = q’ ( VA –VB )

WAB = q’ ( VA –VB ) (11)

E (x10-5V/m)

r (cm)


282

♣ Significado físico del potencial eléctrico .

¿Cuál es el significado físico de la diferencia de potencial entre dos puntos, VA – VB? De acuerdo con (11):

VA – VB = WAB / q’

⇒ VA – VB representa el trabajo realizado por el campo eléctrico para llevar la unidad positiva de carga desde A hasta B.

¿Y cuál es el significado físico del potencial eléctrico en un punto, V(r)? Si consideramos

que A es un punto cualquiera P, y B es el punto del infinito, r → ∝, entonces, ya que V(∞) = 0:

V(r) – V(∝) = WP∝ / q’ ⇒ V(r) = WP∝ / q’

⇒ V(r) representa el trabajo que el campo eléctrico realizaría para llevar la unidad positiva de carga desde la posición P hasta el infinito.

♣ Superposición de campos y de potenciales eléctricos.

Hasta ahora hemos considerado tanto la intensidad como el potencial del campo eléctrico creado por una sola carga q. Para estudiar ambos, intensidad y potencial eléctricos, debidos al campo creado por una distribución de cargas basta aplicar el principio de superposición, tanto

para el campo Er(r) como para el potencial V(r). En efecto, ambos son aditivos, el primero vecto-

rialmente, el segundo escalarmente, del mismo modo que lo son las fuerzas de interacción eléc-trica y las energías potenciales asociadas a ellas. Así pues, dada una distribución de cargas q1, q2, q3, ..., qi, ..., qn, se verificará:

Er (r) = )r(E ii∑

r Vp(r) = )r(V ii∑

♣ Líneas de campo y superficies equipotenciales.

El campo eléctrico se representa por sus líneas de campo y por sus superficies equipoten-ciales.

* La intensidad del campo Er(r) se representa por las líneas de campo, tangentes en todo

punto al vector Er en él.

* El potencial eléctrico V(r) se representa por las superficies equipotenciales. Todos los pun-tos de una determinada superficie equipotencial poseen el mismo potencial.

Evidentemente, por cada punto de un campo eléctrico pasa una única línea de campo y una sola superficie de potencial, pues el campo y el potencial en cada punto tienen un único valor.

Pues bien, las líneas de campo eléctrico y las superfi-

cies equipotenciales se sitúan de forma que, en cada punto P(x, y, z) del espacio, el vector intensidad de campo y la superficie equipo-tencial correspondiente:

i) son perpendiculares entre sí.

ii) el campo Er

está dirigido hacia potenciales decrecientes.


283

En efecto, consideremos la figura de al lado. Sea P(x, y, z) un punto cuyo potencial es V0. Se han dibujado la superficie equipo-tencial correspondiente, Σ0, y también Σ1, de potencial V0 + dV, y Σ2, de potencial V0 – dV. Los potenciales son, pues, crecientes en el sentido Σ2, Σ0, Σ1. A partir del punto P, desplacémonos sobre la superficie equipotencial Σ0 hasta el

punto Q. La diferencia de potencial entre P y Q es dV = -Er

. d rr

Pero puesto que ambos puntos pertenecen a la misma superficie equipotencial, de valor V0,

entonces ⇒ dV = 0 ⇒ Er

. d rr

= 0 ⇒ Er

⊥ d rr

⇒ la intensidad de campo Er

es perpendicular a la superficie equipotencial V0. A continuación, desde P, desplacémonos perpendicularmente a su superficie equi-potencial V0, hasta el punto R perteneciente a la superficie V0 + dV (potencial creciente).

Entonces, dV = –Er

. d rr

= – E. ds . cos θ > 0 ⇒ cos θ = –1 ⇒ θ = π ⇒ Er

es de sentido contrario a d r

r

⇒ el campo Er

está dirigida hacia potenciales decrecientes. En el caso del campo creado por una sola carga q, según sea ésta, la figuras anteriores se-

ñalan la forma de las líneas de campo (radiales) y de las superficies equipotenciales (esféricas y concéntricas).

Véanse también las líneas de campo y superficies equipotenciales del campo eléctrico debi-

do a dos cargas iguales:


284

Ídem en el caso de dos cargas iguales y opuestas:


285

3.- CAMPO ELÉCTRICO: LEY DE GAUSS

♦ En la Unidad I, tema 3, nº 15, estudiamos el teorema de Gauss, en general, para un cam-

po Cr

= rr

K2

. El campo eléctrico es un caso particular, en el que K = k q. Por lo tanto, su flujo a

través de una superficie cerrada que contiene en su interior la carga q es: Φ = 4 π k q. Y recor-dando (4), para el vacío, k0 = 1 / 4πε0, resulta: Φ = 4 π k0 q = q / ε0

Si el campo eléctrico está creado por una distribución de cargas puntuales q1, q2, q3, ..., qn,

unas interiores y otras exteriores a una superficie cerrada S, entonces el flujo a través de ella es:

Φ = 0

1

ε ∑ qi donde ∑ qi es la carga total interior a la superficie S.

Teorema de Gauss : El flujo del campo eléctrico Er

a través de una superfi-

cie cerrada es Φ = 0

1

ε ∑ qi (12)

donde el sumatorio ∑ qi afecta exclusivamente a las cargas interiores a

dicha superficie.

Este teorema puede explicarse, para una sola carga q, de un modo sencillo, así: • Sea la carga q interior a la superficie cerrada S. Consideremos la superficie esférica S0,

interior a S, de radio r0 y centro en q. Todo el flujo creado por q atraviesa ambas superficies S y S0, siendo por tanto el mismo (ver figura).

Φ = ΦS = Φ0

S = ∫∫0

00

S

SdErr

En todos los puntos de la superficie esférica S0, el campo Er

0 tiene el mismo módulo, E0 = k20r

q; y

está dirigido radialmente.

Por tanto, 00 SdErr

= E0 dS0 = k20r

q dS0.

Sustituyendo este valor en la integral:

Φ = ΦS = Φ0

S = k20r

q ∫∫

0

0

S

dS = 04

1

πε.

20r

q.4π r 2

0 = 0ε

q

pues la integral anterior es igual al área de la superficie

esférica S0 , o sea 4 π r 20 .

→ Así pues, si q es interior a S, Φ =0ε

q .

• Sea la carga q exterior a la superficie cerrada S (ver figura). Una cierta porción de flujo que procede de q alcanza S. El flujo entrante a través de la superficie S1 (flujo negativo) es el mismo que el saliente (flujo positivo) a través de la superficie S2, y de signo contrario; por tan-to, el flujo neto a través de S = S1 + S2 es nulo.

→ Así pues, si q es exterior a S, Φ = 0 .


286

4. – CONDUCTOR EN EQUILIBRIO ELECTROSTÁTICO

•• Un conductor se caracteriza por disponer de cargas eléctricas que pueden moverse li-

bremente por él. En la práctica, estas cargas móviles suelen ser electrones o iones, que confieren al material su carácter conductor.

Un conductor se encuentra en equilibrio electrostático cuando las cargas móviles, en

promedio, están en reposo. Si no ocurre así, habrá desplazamiento neto de carga de unos puntos a otros del conductor, dando lugar a una corriente eléctrica.

En un conductor en equilibrio electrostático, un exceso de electrones significa una carga ne-

ta negativa: el conductor está cargado negativamente. Un defecto de electrones supone una carga neta positiva: el conductor está cargado positivamente.

•• En un conductor en equilibrio electrostático:

♦ el campo eléctrico Er

+ en su interior es nulo. + en su superficie es perpendicular a ella, y vale E = σ / ε0 donde σ = dq/dS es la densidad superficial de carga. ♦ el potencial eléctrico V es constante en todos sus puntos (el conductor es un vo-

lumen equipotencial). ♦ la carga eléctrica + en su interior es nula. + está localizada en su superficie. Probaremos las anteriores afirmaciones:

# En el interior del conductor en equilibrio, Er

= 0,

pues si no fuera así, dicho campo Er

actuaría sobre las cargas libres, desplazándolas, contra la hipótesis de equi-librio.

# En los puntos de la superficie del conductor en

equilibrio, Er

debe ser perpendicular a ella, pues si no fuera así existiría una componente del campo tangente a la superficie que desplazaría las cargas superficiales, contra la hipótesis de equilibrio.

# En cuanto al potencial eléctrico V, se deberá

cumplir para todo punto del conductor: rd.EdVrr

−= .

Para puntos interiores al conductor, rd.EdVrr

−= = 0

porque en todos ellos Er

= 0.

Para puntos de la superficie, rd.EdVrr

−= = 0 por-

que para ellos Er

y rdr

son vectores perpendiculares. superficie, En ambos casos, pues, dV = 0, por lo que el po-

tencial V es constante, y adquiere el mismo valor en to-dos los puntos del conductor.


287

# Para demostrar que la carga neta se localiza en la superficie del conductor, construyamos

una superficie gaussiana SGauss, interior a S, tan próxima a ella como se quiera.

En todo punto de SGauss es Er

= 0; luego el flujo a través de SGauss es nulo: Φ = ∫∫GaussS

Sd.Err

= 0

Pero por la ley de Gauss: Φ = ∫∫GaussS

Sd.Err

= 0

1

ε ∑ iq

Por tanto: ∑ iq = 0, representando el sumatorio la carga interior a SGauss.

Si la carga neta del conductor no se halla en el interior, debe distribuirse sobre su superficie.

Sea σ la densidad superficial de carga eléctrica (carga por unidad de superficie, σ ≡ dS

dq). Ésta

debe ser tal que haga nulo el campo Er

en el interior y perpendicular a la superficie en cada punto de la misma. Por ello, la función σ depende de la forma geométrica del conductor.

# Valor del campo eléctrico en los puntos de la superficie del conductor. Consideremos un elemento de superficie dS en

el conductor en equilibrio (en la figura, la parte raya da). Si es σ la densidad superficial de carga, la carga de este elemento es dq = σ dS.

Construyamos una superficie gaussiana del mo-

do siguiente: una superficie cilíndrica, imaginaria e infinitesimal, con el contorno del elemento de superfi-cie dS y generatrices perpendiculares a la superficie del conductor; la base exterior está inmediatamente próxima a la del conductor, y la interior está formada por puntos interiores.

El flujo total elemental a través de esta superficie gaussiana elemental vale: • por un lado:

dΦ = dΦ(superficie lateral) + dΦ(sup. base interior) + dΦ(sup. base exterior) = = 0 + 0 + E dS ⇒ dΦ = E dS

• por otro lado, aplicando la ley de Gauss: dΦ = 0

dq

ε =

0

dS

εσ

Igualando, resulta: E dS = 0εσ

dS

Y por lo tanto: E = 0εσ

(13)

•• Capacidad de un conductor:

A continuación, podemos preguntarnos: “¿Cuál es el potencial V de un conductor en equili-brio electrostático?”. La respuesta es: “Depende de la carga neta del mismo y de su forma geomé-trica”. En efecto, se puede probar que si se carga un conductor con cargas sucesivas q1, q2, q3, ..., qi, ..., qn, los potenciales adquiridos por el mismo son, respectivamente, V1, V2, V3, ..., Vi, ..., Vn, tales que:

tetanconsV

q...

V

q...

V

q

V

q

V

q

n

n

i

i

3

3

2

21 =======1


288

Llamando C a la constante de proporcionalidad, resulta:

C ≡ V

q (14)

Esta constante se denomina capacidad del conductor, y depende fundamentalmente de su

forma geométrica. Se mide en faradios (F); un faradio es la capacidad de un conductor que ad-quiere un potencial de un voltio al cargarlo con un culombio. El faradio es una unidad de capaci-dad muy grande, poco útil por tanto; se prefiere usar los submúltiplos de dicha unidad: el microfa-radio (µF), el nanofaradio (nF) y el picofaradio (pF).

•• Energía de un conductor cargado. Un conductor en equilibrio que posee una cierta carga q0 y se encuentra a un potencial V0,

posee por ese mismo hecho una energía eléctrica: es el trabajo que ha habido que realizar en contra del campo eléctrico para situar dicha carga en el conductor.

Para hallar el valor de dicha energía, supongamos que, en un determinado instante del pro-

ceso de carga, el conductor ya posee una carga q y un potencial V; se verifica, por tanto, V = q/C. A continuación, y en contra de las fuerzas del campo, vamos a transportar una carga elemental dq desde el infinito (V∝ = 0, sin energía) hasta el conductor.

El trabajo elemental dW’, en contra del campo, es: dW’ = - dWe = - dq (V∝ - V) = V dq donde

por dWe expresamos el trabajo elemental de las fuerzas del campo. Y ya que dWe = - dEp , resulta finalmente: dW’ = dEp = V dq

El trabajo total realizado en el proceso de carga, y por tanto la energía eléctrica acumulada

por el conductor cargado, será:

W’ = Ep = ∫0q

0dq.V = ∫

0q

0dq

C

q =

2

1

C

q20

donde V = q/C, siendo C la capacidad del conductor. Así pues,

Ep = 2

1

C

q2

= 2

1q V =

2

1 C V2 (15)

V∞ = 0 ∞ dq V q


289

5. – TEOREMA DE GAUSS: OTRAS APLICACIONES

A) Esfera conductora, en equilibrio electrostático.-

Sea una esfera conductora, de radio R y carga eléctrica q, en equilibrio electrostático. Vamos a calcu-lar el campo y el potencial creado por ella en todos los puntos del espacio.

a) Para r > R.- Campo eléctrico creado por la esfera. Aplicamos el teorema de Gauss a una superficie

gaussiana concéntrica de radio r (coordenada radial del punto P, exterior)

Por un lado,

Φ = ∫∫GS

Sd.Err

= ∫∫GS

dS.E = ∫∫GS

dSE = E.4πr2

Teniendo en cuenta que + por razón de la simetría, E (módulo) tiene el

mismo valor en todos los puntos de la superficie gaus-siana SG.

+ el vector campo eléctrico Er

, radial, es parale-

lo en todo punto de SG al vector Sdr

. Por otro lado,

Φ = ∑ε int0

q1

= 0

q

ε

Igualando: E 4πr2 = 0

q

ε → E =

20 r

q

4

1

πε = k

2r

q

→ rr

qk)r(E

2=

r

Potencial eléctrico creado por la esfera.

V(r) = Cr

qkC

r

rd.rkqCrd.E

2+=+−=+− ∫ ∫

rrr

El convenio V(∞) = 0 ⇒ C = 0 Por lo que: V(r) = kr

q

Se puede afirmar, pues, que “para puntos exteriores a la esfera, el campo y el potencial

son los mismo que corresponden a una carga puntual colocada el su centro” b) Para r = R.-

Por continuidad, rR

qk)R(E

2=

r y V(R) = k

R

q

c) Para r < R.-

Al ser la esfera un conductor en equilibrio electrostático, 0)r(E =r

y V(r) = kR

q


290

B) Hilo conductor, en equilibrio electrostático.-

Sea un hilo conducto, recto e indefinido, con una densidad lineal de carga eléctrica unifor-me λ ( λ culombios por metro de longitud), en equilibrio electrostático.

Por simetría de la distribución de cargas, el campo eléctrico en cualquier punto tiene la di-

rección radial, dependiendo únicamente de la distancia r del hilo al punto considerado. Para calcular el campo eléctrico debido al hilo, conviene tomar como superficie gaussiana

un cilindro coaxial con el conductor, de longitud L y radio r. Aplicando el teorema de Gauss, por un lado:

Φ = ∫∫GS

Sd.Err

= ΦBases+ ΦLateral = 0 + ∫∫Lateral

dS.E =

= ∫∫Lateral

dSE = E.2πr.L

Por otro lado, Φ = ∑ε int0

q1

= 0

q

ε =

0

L.

ελ

Igualando :

E.2πr.L = 0

L.

ελ

→ E = r2

1

0

λπε

= r

k2λ

Y vectorialmente: rur

k2)r(Eλ

=r

donde ru es el vector unitario radial (coordena-das cilíndricas)

El potencial eléctrico se calcula en la forma acos-

tumbrada:

V(r) = Crln.k2Cr

drk2C

r

rd.uk2Crd.E r +λ−=+λ−=+λ−=+− ∫∫ ∫

rrr

Se acostumbra a tomar como convenio V(1) = 0, con lo que C = 0 Entonces: V(r) = - 2 k λ ln r

C) Placa plana conductora, en equilibrio electrostático.- Sea una placa plana conductora, con densidad de carga eléctrica uniforme σ (σ es la carga

de la unidad de superficie en dicha placa). Vamos a suponer la placa de muy grandes dimensiones (teóricamente indefinida). Enton-

ces, por simetría, el campo eléctrico generado en cualquier punto debe tener dirección perpendi-cular a la placa, y su sentido alejándose de ella si σ >0, o hacia ella si σ < 0.

Para calcular el campo eléctrico debido a esta placa, conviene tomar como superficie gaus-

siana un cilindro con el eje perpendicular a la placa, de altura 2r (ver figura) y siendo S el área de cada base.

Aplicamos el teorema de Gauss a este cilindro gaussiano.

Por un lado, y teniendo en cuenta las direcciones de los vectores SdyErr

en cada superfi-cie de las que componen el cilindro:


291

Φ = ∫∫GS

Sd.Err

= ΦBases+ ΦLateral =

= 2 ΦBase + ΦLateral = 2 ∫∫Base

Sd.Err

+ 0 = 2 E S

Por otro lado, Φ = ∑ε int0

q1

= 0

q

ε =

0

S

εσ

Igualando, E = 02 ε

σ

Se observa que este campo es constante, no depen-diendo de la distancia de cada punto a la placa.

D) Dos placas planas conductoras, paralelas: campo eléctrico.-

Como conclusión, consideremos dos placas

planas, paralelas, teóricamente indefinidas, carga-das eléctricamente con igual carga pero de signo contrario: densidades superficiales de carga +σ y -σ. A este sistema se le suele denominar “conden-sador plano”.

Para puntos A del exterior al recinto limitado

por las placas, el campo eléctrico es nulo. En efec-to, el campo creado por cada placa, σ/2ε0 , es in-dependiente de la posición del punto → el campo creado por la placa positiva se encuentra neutrali-zado por el que crea la placa negativa.

En cambio, en el interior limitado por las placas, ambos campos se superponen aditivamen-

te (ver sus sentidos). Por ello, su valor es:

0

Eεσ

=


292

6. – CAMPO ELÉCTRICO UNIFORME

Se dice que un campo eléctrico es uniforme, en una región del espacio, cuando su intensi-

dad Er presenta el mismo valor en todos sus puntos. Este valor puede variar de un instante a otro,

pudiendo ser función del tiempo (campo uniforme, no estacionario); o puede mantenerse constan-te a lo largo del tiempo (estacionario y uniforme ≡ campo constante)

Que Er sea constante, significa poseer en todo punto el mismo módulo, dirección y sentido.

Por consiguiente: + Las líneas de campo son rectas paralelas, igualmente espaciadas. + Las superficies equipotenciales son planos perpendiculares a dichas rectas. Tomando un sistema de coordenadas en el que

el eje OX coincida con la dirección del campo eléctrico, podemos calcular la diferencia de potencial (ddp) entre dos puntos A y B, siguiendo una línea de campo, como señala la figura:

+ por un lado se tiene: WAB = q' (VA - VB) = - q.∆V

+ por otro lado:

WAB = Fr

. xr

∆ = q' Er

. xr

∆ = = q'. E ∆x = q' E (xB - xA) Por tanto, VA - VB = E (xB - xA) = E . ∆x (16) O bien,

E = AB

BA

xx

VV

x

V

−−

=∆∆

− (17)

Observemos cómo el signo negativo expresa que el campo Er

se orienta hacia potenciales decrecientes. Notemos, además, que si expresamos la ddp en voltios, el campo eléctrico puede expresar-se en voltios por metro (V/m); en efecto:

AB

BA

xx

VV E

−−

= → V/m =metro

voltios =

metro

culombio / julios =

metrox culombios

metro x newtons =

culombio

newtons= N/C

Son pues dos formas diferentes de expresar la intensidad de campo eléctrico en el S.I.: en N/C o en V/m. Esta segunda forma es la de uso más corriente. Un caso concreto, de interés, en el que se dispone de un campo uniforme es el espacio interior entre dos láminas planas paralelas conectadas a una batería, pila, o generador de corriente continua (conden-sador plano); su ddp es la misma que la de los bornes de dichas fuentes. En el interior (figura) se sitúa un campo constante, E = VAB/d, siendo d la separación de las láminas.


293

El trabajo realizado por el campo para llevar la carga q’ desde una posición A a otra B, que-

dó dicho, es WAB = q’ (VA – VB) = q’. VAB. Pues bien, si la carga eléctrica es la carga elemental, q’ = e = 1’6x10-19 C y la diferencia de

potencial es un voltio, VAB = 1 voltio, el trabajo del campo es: WAB = q’. VAB = 1’6x10-19 culombios x1 voltio = 1’6x10-19 julios Este trabajo es igual a la variación de energía potencial experimentada por la carga elemen-

tal, (por ejemplo, un electrón) bajo la ddp de un voltio. Recibe el nombre de electronvoltio (eV). 1 eV = 1’6x10-19 J El electronvoltio es una unidad de energía apropiada cuando se estudian los movimientos de

las partículas fundamentales (protones, electrones, partículas α, iones...). Aunque hemos definido esta unidad a partir de la energía potencial eléctrica, se utiliza para

cualquier otro tipo de energía.


294

7. – ANALOGÍAS Y DIFERENCIAS ENTRE LOS CAMPOS GRAVITATORIO Y ELÉCTRICO

Analogías 1.- Son campos centrales y conservativos. Por tanto llevan asociados una función escalar, llamada Potencial 2.- Los campos creados en un punto por una masa o una carga puntual disminuyen con el cuadrado de las distancias a ese punto desde la masa o carga (proporcionalidad con 1/r2) 3.- Se representan gráficamente por sus líneas de campo y sus superficies equipotenciales.

Diferencias CAMPO GRAVITATORIO CAMPO ELÉCTRICO

1.- Es una perturbación del medio generada por masas

1.- Es una perturbación del medio generada por cargas eléctricas

2.- Su intensidad en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de masa situada en él.

2.- Su intensidad en un punto es la fuerza que actúa sobre la unidad de carga eléctri-ca positiva situada en él.

3.- Las fuerzas gravitatorias son siempre atractivas

3.- Las fuerzas eléctricas pueden ser atrac-tivas o repulsivas, dependiendo del signo de las cargas que interaccionan

4.- Para masas puntuales, las líneas de campo son radiales y dirigidas hacia ellas,

4.- Para cargas puntuales, las líneas de campo son radiales y salen de las cargas positivas y se dirigen hacia las negativas.

5.- La constante G es una constante uni-versal. No depende del medio.

5.- La constante k depende del medio, siendo su máximo valor en el vacío.

6.- El potencial gravitatorio en un punto es siempre negativo.

6.- El signo del potencial eléctrico en un punto es el de la carga eléctrica que lo ori-gina.

7.- El campo gravitatorio no es uniforme (sólo a veces se toma como tal, por aproximación).

7.- El campo eléctrico puede ser uniforme en regiones pequeñas del espacio: entre dos láminas paralelas cargadas, en el inter-ior de conductores en equilibrio electrostá-tico.


295

8.- El campo gravitatorio solo se anula en el infinito.

8.- Hay regiones en las que la intensidad del campo es nula: en el interior de conduc-tores en equilibrio electrostático, y en el infinito.


296

ACTIVIDADES DESARROLLADAS

1.- Dadas las dos cargas de la figura, calcular la intensi-dad del campo eléctrico en A. Hallar el trabajo que reali-za el campo para desplazar una carga q’ = - 3 nC. desde A hasta B. Campo eléctrico en A,

AEr

= 1AEr

+ 2AEr

1AEr

= k jr

q

OA2

1 = 9x109 j9

106−

= 1000 j (N/C)

EA2 = k2

2

MAr

q = 9x109

25

1026−x

= 720 N/C

EA2x = EA2.cos α = 720x0,8 = 576 N/C EA2y = EA2.sen α = 720x0,6 = 432 N/C

=2AEr

EA2x i + EA2y j = 576 i – 432 j (N/C)

El campo en A es: AEr

= 1AEr

+ 2AEr

= 576 i + 568 j (N/C) o bien: EA = 809 N/C

β = arc tg(576

568) = 44º 36’

Trabajo realizado por el campo : WAB = q’ (VA – VB)

VA = VA1 + VA2 = kOAr

q1 + kMAr

q2 = 9x109 3

106−

- 9x109 5

1026−x

= 3000 – 3600 = - 600 voltios

VB = VB1 + VB2 = kOBr

q1 + kMBr

q2 = 9x109 5

106−

- 9x109 3

1026−x

= 1800 – 6000 = - 4200 voltios

WAB = q’ (VA – VB) = - 3x10-9 (-600 + 4200) = -1’08x10-5 julios < 0 ⇒ el trabajo ha de realizarse en contra del campo eléctrico.

2.- Dos pequeñas bolas, de 12 g de masa cada una de ellas, están sujetas por hilos de 1’3 m de longitud, suspendidas de un punto común. Si ambas bolitas tienen la misma carga eléctrica y los hilos forman un ángulo de 15º, calcula el valor de la carga eléctrica. ¿Puedes determinar el tipo de carga?

Equilibrio de fuerzas: 0=++ FgmTrrr

⇒ ⎩⎨⎧

=α=α

Fsen.T

mgcos.T ⇒ F = mg tgα

Por otro lado, F = k2

2

2

21

2 )sen.L.(

qk

r

qq

α=

Igualando y despejando q, resulta:


297

q = ± 2.L.senα k

tg.mg α= ± 2x1’3xsen(7,5º)

9109

578190120

x

)º,(xtg'x'

q = ± 4’45x10-7 C = ± 445 nanoculombios 3.- Dos cargas positivas e iguales, de 2 µC. cada una, están situadas a 4 cm. de distancia en reposo. Desde una distancia muy grande (teóricamente, desde el infinito), y a lo largo de la recta OP, se lanza una tercera carga de 15 nC de carga eléctrica y de 0’2 g de masa, con una velocidad suficiente para que quede en reposo en el punto P situado en medio de las otras dos cargas. ¿Cuánto vale esa velocidad? En el punto O (infinito): Ep(O) = 0

Ec(O) = ½ m 20v = 10-4 2

0v

⇒ Em(O) = 10-4 20v

En el punto P:

Ep(P) = 2.Ep1(P) = 2 k r

'qq= 2 k

2/d

'qq= 4 k

d

'qq= 4x9x109

040

101510296

'

xxx −−

= 0’027 julios

Ec(P) = 0 ⇒ Em(P) = 0’027 julios No hay más fuerzas que las eléctricas, conservativas. Por tanto, Em(O) = Em(P)

⇒ 10-4 20v = 0’027 ⇒ v0 = 16’43 m/s

Otro método: Por un lado, WOP = q’ (VO – VP)

donde VO = 0 y VP = 2 VP1 = 2 k r

q = 2 k

2/d

q = 4 k

d

q = 4x9x109

040

1026

'

x −

= 1’8x106 voltios

por tanto, WOP = q’ (VO – VP) = 15x10-9 (0 – 1’8x106) = - 0’027 julios

Por otro lado, WOP = ∆Ec = Ec(P) – Ec(O) = 0 – ½ m 20v = – ½ m 2

0v = - 10-4 20v

Igualando las expresiones de WOP, resulta 10-4 20v = 0’027 ⇒ v0 = 16’43 m/s

4.- Considerando que el átomo de hidrógeno está constituido por un protón y un electrón que gira en una órbita en torno al protón y despreciando la contribución de la fuerza gravi-tatoria, calcular la relación entre el radio de la órbita del electrón y su velocidad.

La energía de ionización del átomo de hidrógeno es 13’6 eV. Hallar el valor del radio de dicha órbita (radio de Bohr), el de la velocidad orbital así como el periodo y la frecuencia del movimiento orbital. ¿Qué intensidad de corriente eléctrica constituye el electrón en su movimiento en torno al núcleo? Datos: carga elemental, e = 1’6x10-19 C.- Masa del electrón, m = 9’1x10-31kg.- k = 9x109N.m2.C-2

De modo análogo al estudio del movimiento orbital de un satélite, en este caso aplicamos la 2ª ley de Newton al movimiento del electrón bajo la acción de la fuerza central de atracción cu-

lombiana: F = m.an donde F = k20r

'qq= k

20

2

r

e , y donde m.an = m.

0

20

r

v, resultando las relaciones:


298

v0 = m

ke221

0/r − = 15’91 21

0/r − (m/s) ⇔ r0 =

m

ke22

0−v = 253’2 2

0−v (m)

La energía de ionización es la que hay que comunicar al electrón para extraerlo del pozo de po-tencial en el que se encuentra (electrón ligado).

Eionización = - Eligadura = -(Ec(orbital) + Ep(orbital)) = - (½ m 20v + k

0r

'qq) = - ( ½ m )

r

ek

mr

ke

0

2

0

2

− = ½ k0

2

r

e

Eion. = ½ k0

2

r

e ⇒ r0 =

.ionE.

e.k

2

2

= 19

2199

10616132

1061109−

−

x'x'x

)x'(xx = 5’29x10-11 m = 0’53 Å que

coincide con el valor del radio de Bohr (véanse tablas de constantes), a0 = 5’2917x10-11 m.

La velocidad v0 puede calcularse también de la relación Eion. = ½ m 20v .

v0 = =m

E. .ion231

19

1019

10616132−

−

x'

x'x'x= 2’187x106 m/s

El periodo y la frecuencia del movimiento valen:

T = 0

02

v

rπ = 1’52x10-16 s f =

T

1= 6’57x1015 Hz.

Intensidad de corriente constituida por el electrón en su órbita: En el tiempo ∆t = T pasa por un punto de la órbita una carga eléctrica ∆q = e. Por tanto:

I = 316

19

10x05'1amperios10x52'1

10x6'1

T

e

t

q −−

−

===∆∆

amperios = 1’05 miliamperios

5.- Entre dos placas conductoras existe un campo eléctrico producido por una diferencia de potencial de 50 voltios. Un electrón en reposo (qe= - 1’6x10-19 C; m = 9’1x10-31 kg) parte de una de las placas. a) Hallar la velocidad con la que llega a la otra placa. b) Si la distancia entre las placas es de 2 cm y el campo es uniforme, determinar el tiempo que tarda en dicho desplazamiento.

Sea el campo uniforme Er

= - E j = - jd

V∆.

Entonces la fuerza que actúa sobre el elec-trón es:

−−== )(e(EqF e

rrj

d

V∆) = j.

d

V.e ∆

así que el electrón se mueve aceleradamente según el eje Y, desde la placa A a la placa B. El trabajo del campo es: WAB = F. d = e ∆V Este trabajo es igual a la variación de la ener-gía cinética: WAB = ∆Ec = ½ m v2 Por lo tanto: ½ m v2 = e ∆V

⇒ v = m

V.e. ∆2 = 4’19x106 m/s

Para calcular el tiempo que tarda el electrón en llegar a la placa B, apliquemos la relación:

F.∆t = ∆(mv) → F.t = m.v → t = =∆

=∆

==V.e

mvd

d/V.e

v.m

E.e

v.m

F

v.m9’54x10-9 s = 9’54 ns


299

6.- La diferencia de potencial entre dos placas planas, paralelas, separadas d = 10 cm, es VA-VB = 10 V. Un electrón penetra paralelamente a las placas con una velocidad vo = 107 m/s. Hallar la desviación vertical experimentada por el elec-trón, y el ángulo de salida, si la longitud de las placas es l = 20 cm. Dato: para el electrón, e/m = 1’7588x1011 C/kg. Sea el campo uniforme (figura):

Er

= - E j = - jd

V∆= - j.J

,100

10

10−=

La fuerza que actúa sobre el electrón es:

jx'j.xx')j.E)(e(EqF e1719

10611001061−− ==−−==

rr

El electrón, que penetra en la región del campo perpendicularmente a él, se mueve con un MRU según el eje X y con un MRUA según el eje Y ⇒ trayectoria parabólica en el plano OXY. Eje X: ax = 0 vx = v0 = 107 x = v0 t = 107.t

Eje Y: at = m

F= 13

31

17

1075811019

1061x'

x'

x'=

−

−

vy = ayt = 1’758x1013. t y = ½ ayt2 = 8’791x1012.t2

Ecuación de la trayectoria del electrón (despejando t en la ecuación de x y sustituirla en la de y); resulta: y = 8’791x10-2 x2

Desviación vertical del electrón: calculemos el valor de y para x = 0,2 m: y = 3’52x10-3 m = 3’52 mm Para calcular el ángulo α de salida (desviación angular), partimos de las componentes de la velo-cidad, para x = 20 cm.

t = 8

77102

10

20

10

−== x,x

vx = 107 vy = 1,758x1013. t =1,758x1013x2x10-8 = 3,516x105

tg α = 2

7

5

10516310

105163 −== x'x'

v

v

x

y ⇒ α =2’01397º = 2º 0’ 50’’

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Campo Eléctrico - Carlos Alberto Vara · campo creado por una distribución de cargas basta aplicar el principio de superposición, tanto para el campo E r (r) como para el potencial