Calculul limitelor unor iruri cu

Calculul limitelor unor iruri cu

ajutorul integralei definiteFUNCII INTEGRABILE

Definiie 1. Fie . Se numete diviziune a intervalului i se noteaz cu un sistem de puncte asfel alese nct .

Vom nota diviziunea .

Numrul se numete norma diviziunii .

Obs 1:

i) Diviziunea se numete echidistant dac , adic i are loc .

ii) Vom nota cu mulimea tuturor diviziunilor intervalului .

Def iniie 2. Fixm o diviziune .Se numete mulime de puncte intermediare asociat lui notat cu o familie de elemente din cu

OBS. 2.Vom nota cu = familia tuturor mulimilor de puncte intermediare asociat lui .

Definiia3.Dac i vom spune c 1 este mai fin dect 2 sau c 2 este mai fin dect 1.

Definiia 4. Considerm urmtoarele obiecte :

i) un interval compact

ii) o funcie

iii) o diviziune , .iv) un sistem de n puncte intermediare cu .

Atunci numrul real se numete suma Riemann asociat tripletului .

Definiie 5: vom spune c f este integrabil Riemann pe dac exist un numr real I cu proprietatea c are loc .Numrul real I se numete integrala definit a funciei f pe intervalul i se noteaz cu .

Obs 3: au loc urmtoarele rezultate :

i) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita .

ii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita .

1)

2)

3)

4)

5)

6)

7)

8)

9)

10)

Solutie :

Voi folosi inegalitatea generala care scrisa pentru devine :

Avem utilizand aceasta inegalitate pentru numerele .

Din ultima inegalitate prin trecere la limita cand avem

11)

12)

13)

14) .

Solutie : notez cu .

Avem

15)

Solutie : fie . Voi logaritma sirul dat deci voi calcula .

Notam cu . Pentru a calcula aceasta primitiva vom atasa acesteia primitiva

.

Avem

Calculez acum I-J .

Deci

15)

16)

17)

18) .

19)

20) S se calculeze limita irului : .

21)

22)

23)

24)

25) Fie a fixat.S se calculeze limita irului dat de : .

26) Fie o funcie real monoton ntr-un interval .Notnd :

s se arate c .

27)

28)

29) S se calculeze limitele irurilor :

a)

EMBED Equation.3 b) Artai c au loc inegalitile :

c) Folosind eventual inegalitile de mai sus calculai

30) a) Artai c au loc inegalitile : .

b) Calculai :

c) Calculai

d) Artai c dac g este continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci:

31) a) Artai c au loc inegalitile : .

b) Calculai :.

c) Calculai :

d) Calculai :

e) Artai c dac g continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci :

32) a) Artai c au loc inegalitile : .

b) Calculai : .

c) Artai c dac g este continu pe iar f este continu i pstreaz semn constant pe atunci :

33) a) Artai c au loc inegalitile : .

b) Calculai : . c) Artai c dac g este integrabil pe i pstreaz semn constant pe atunci :

.34)

35)

36) a) Artai c au loc inegalitile:

b) Calculai:

c) Artai c dac f este integrabil pe i pstreaz semn constant pe atunci :

37)

38) Dac este o funcie continu care pstreaz semn constant pe [0,1] i p este un numr real pozitiv , atunci are loc :

39) Se consider fixat i irul , (1).

a) S se verifice c

b) s se deduc relaia

c) S se arate c

d) S se arate c

e) S se arate c

f) S se arate c

g) S se arate c

40)

41)

42) .43)

a>0,p natural.

Soluie : voi folosi faptul c i apoi definiia limitei unei funcii ntr-un punct : a.. dac

avem :

Pt. fiecare avem dac .

Atunci i avem :

de unde prin trecere la limit i innd seama c se obine :

De aici , dac facem obinem .

44) Dac funcia f ndeplinete condiiile :

i) f pstreaz semn constant pe intervalul ;ii) f este integrabil Riemann pe ;atnci are loc : .

Soluie : voi folosi faptul c i apoi definiia limitei unei funcii ntr-un punct : a.. dac

avem : .Deoarece funcia feste integrabil Riemann pe rezult c f este mrginit pe deci exist .Pt. fiecare avem dac .

Atunci i avem prin nmulirea relaiilor cu n ipoteza (i) avem :

de unde prin trecere la limit i innd seama c se obine :

Cum a fost arbitrar ales , dac facem obinem .45) Fie o funcie integrabil .Fie irurile (xn) i (yn)

; . S se calculeze :

a)

b) dac f e integrabil cu derivata integrabil calculai :

c) dac f e integrabil cu derivata integrabil i

EMBED Equation.3 calculai : .

46) Fie i .

a) S se calculeze I0i I1

b)S se arate c

c) S se arate c irul este monoton i mrginit.

d) S se calculeze

e) S se arate c

f) S se arate c g) S se calculeze Integrala Riemann-Stieltjes.Fie f i g dou funcii reale definite pe intervalul compact . Fie

un sistem de puncte asfel alese nct .

Vom nota diviziunea a intervalului .

Numrul se numete norma diviziunii .

Obs 1:

iii) Diviziunea se numete echidistant dac , adic i are loc .

iv) Vom nota cu mulimea tuturor diviziunilor intervalului .

Def iniie 2. Fixm o diviziune .Se numete mulime de puncte intermediare asociat lui notat cu o familie de elemente din cu

OBS. 2.Vom nota cu = familia tuturor mulimilor de puncte intermediare asociat lui .

Definiia 3. Considerm urmtoarele obiecte :

v) un interval compact

vi) dou funcii i

vii) o diviziune , .

viii) un sistem de n puncte intermediare cu .

Atunci numrul real se numete suma Riemann-Stieltjes asociat cuadruplului .

Definiie 4: vom spune c f este integrabil Riemann-Stieltjes n raport cu funcia g pe dac exist un numr real I cu proprietatea c are loc .

Numrul real I se numete integrala Riemann-Stieltjes a funciei f n raport cu g pe intervalul i se noteaz cu .

Obs 3: au loc urmtoarele rezultate :

i) integrala Riemann este un caz particular al integralei Riemann-Stieltjes adic cnd g este funcia identic a intervalului .

ii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita.

iii) dac f este o funcie integrabil pe atunci irul este convergent i are limita.Teorema 1 ( formula de reducere a integralei Riemann Stieltjes la o integral Riemann). Dac f este continu pe iar g este derivabil pe cu derivata continu pe atunci f este integrabil Riemann-Stieltjes n raport cu funcia g pe i avem .47) 48) 49)

50) GM5/1988.

51) Artai c

52) GM5/1988.

53) S se calculeze limita :

54) . 55) Se consider funcia continu . Calculai

EMBED Equation.DSMT4

PAGE 15

_1256373041.unknown

_1256395860.unknown

_1256976860.unknown

_1431324019.unknown

_1431403754.unknown

_1431406715.unknown

_1431407771.unknown

_1431408044.unknown

_1431408043.unknown

_1431406760.unknown

_1431407315.unknown

_1431406451.unknown

_1431406461.unknown

_1431403991.unknown

_1431324511.unknown

_1431403682.unknown

_1431403739.unknown

_1431403659.unknown

_1431324169.unknown

_1431324473.unknown

_1431324033.unknown

_1256981468.unknown

_1431269818.unknown

_1431323816.unknown

_1431323942.unknown

_1431269957.unknown

_1431270334.unknown

_1431269927.unknown

_1257399536.unknown

_1259069234.unknown

_1261285754.unknown

_1257399572.unknown

_1256993721.unknown

_1257399530.unknown

_1256981557.unknown

_1256980596.unknown

_1256980789.unknown

_1256980976.unknown

_1256981235.unknown

_1256981227.unknown

_1256980869.unknown

_1256980685.unknown

_1256980338.unknown

_1256980554.unknown

_1256978940.unknown

_1256980218.unknown

_1256978371.unknown

_1256974592.unknown

_1256976099.unknown

_1256976315.unknown

_1256976485.unknown

_1256976523.unknown

_1256976574.unknown

_1256976492.unknown

_1256976390.unknown

_1256976221.unknown

_1256976275.unknown

_1256976116.unknown

_1256974850.unknown

_1256976014.unknown

_1256976078.unknown

_1256975935.unknown

_1256974644.unknown

_1256396259.unknown

_1256974499.unknown

_1256974547.unknown

_1256565461.unknown

_1256485251.unknown

_1256396240.unknown

_1256396100.unknown

_1256396229.unknown

_1256395925.unknown

_1256396080.unknown

_1256373100.unknown

_1256395751.unknown

_1256395796.unknown

_1256395851.unknown

_1256373149.unknown

_1256392423.unknown

_1256392755.unknown

_1256395316.unknown

_1256392473.unknown

_1256390177.unknown

_1256390942.unknown

_1256374914.unknown

_1256373123.unknown

_1256373139.unknown

_1256373116.unknown

_1256373110.unknown

_1256373076.unknown

_1256373088.unknown

_1256373093.unknown

_1256373081.unknown

_1256373064.unknown

_1256373070.unknown

_1256373056.unknown

_1232729737.unknown

_1249226627.unknown

_1256368375.unknown

_1256369615.unknown

_1256371775.unknown

_1256372037.unknown

_1256372673.unknown

_1256372855.unknown

_1256371836.unknown

_1256371882.unknown

_1256371667.unknown

_1256371719.unknown

_1256371609.unknown

_1256369537.unknown

_1256369552.unknown

_1256368485.unknown

_1249226994.unknown

_1249227020.unknown

_1249227212.unknown

_1249226672.unknown

_1249226725.unknown

_1249226859.unknown

_1249226239.unknown

_1249226372.unknown

_1249226463.unknown

_1249226568.unknown

_1249226497.unknown

_1249226436.unknown

_1249226087.unknown

_1249226134.unknown

_1249226203.unknown

_1249226069.unknown

_1249226027.unknown

_1216515387.unknown

_1232470453.unknown

_1232728323.unknown

_1232728544.unknown

_1232728822.unknown

_1232728879.unknown

_1232728750.unknown

_1232728428.unknown

_1232727952.unknown

_1232728267.unknown

_1232470631.unknown

_1232470706.unknown

_1232727916.unknown

_1232470662.unknown

_1232470564.unknown

_1217719492.unknown

_1217748483.unknown

_1232470408.unknown

_1217719629.unknown

_1217719654.unknown

_1217719556.unknown

_1217719401.unknown

_1217719448.unknown

_1217719325.unknown

_1214691604.unknown

_1215970526.unknown

_1215970907.unknown

_1215970956.unknown

_1215971123.unknown

_1216231054.unknown

_1215971086.unknown

_1215970707.unknown

_1215970793.unknown

_1215970869.unknown

_1215970264.unknown

_1215970512.unknown

_1215970463.unknown

_1215970484.unknown

_1215970357.unknown

_1215970010.unknown

_1215970150.unknown

_1215970254.unknown

_1215970089.unknown

_1215924672.unknown

_1206715452.unknown

_1206817339.unknown

_1214275173.unknown

_1214418041.unknown

_1214275054.unknown

_1206795851.unknown

_1206796376.unknown

_1206807414.unknown

_1206724903.unknown

_1206710528.unknown

_1206710697.unknown

_1196513673.unknown

_1204818928.unknown

_1206710508.unknown

_1204811525.unknown

_1196513528.unknown