Calculo Varias Variables6.3 Longitudes de curvas planas 416 6.4 Momentos y centro de masa 424 6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436 ... 10.6 Gráficas

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THOMAS

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GIORDANO

UNDÉCIMAEDICIÓN

T H O M A SC Á L C U L OVARIAS VARIABLES

UNDÉCIMA EDICIÓN

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Este libro cuenta con una gran cantidad de materiales en línea para alumnos y profe-sores; entre ellos se incluye un curso precargado en CourseCompass con ejercicios deautoevaluación, exámenes, manuales, un libro de texto interactivo, vídeos y otros recur-sos multimedia. Además, con su cuenta de CourseCompass, los profesores podrán ac-ceder a un sinnúmero de recursos en línea creados para apoyarlos en sus clases.

Para obtener más información sobre estos recursos, visite:

www.pearsoneducacion.net/thomas

La undécima edición de este texto no sólo presenta los métodos y las aplicaciones delcálculo, sino también una manera de pensar con un enfoque totalmente matemático. Apartir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos, revela la teoría enun lenguaje legible que se centra en el pensamiento y la comunicación de ideasmatemáticas.

Cambios en la undécima edición

• En el capítulo 11 se han desarrollado de manera más completa los criterios deconvergencia para series.

• En el capítulo 12 se ha combinado el tratamiento de vectores en dos y tresdimensiones.

• Un nuevo apéndice para analizar brevemente la teoría de los números reales ysu aplicación en el cálculo.

C Á L C U L OV A R I A S V A R I A B L E SU N D É C I M A E D I C I Ó N

George B.Thomas, Jr.Massachusetts Institute of Technology

Revisado por:Maurice D.Weir Joel Hass Frank R. Giordano

Naval Postgraduate School University of California, Davis Naval Postgraduate School

Enrique Garibay RuizInstituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey, campus León

Dr. Carlos Bosh Giral Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

César Luis García García Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

Claudia Gómez Wulschner Departamento de Matemáticas Instituto Tecnológico Autónomo de México (ITAM)

Enrique Rodríguez Rodríguez Instituto Tecnológico de Estudios Superiores de Occidente (ITESO)

Abelardo Ernesto Damy Solís Instituto Tecnológico y de Estudios Superiores de Monterrey,campus Guadalajara

Carlos Zea Coordinación de Ciencias FísicoMatemáticas Universidad Iberoamericana campus Torreón

José Botto Universidad Nacional de Rosario,Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniería y Agrimensura Argentina

Emilio Sastre Universidad Nacional de Rosario,Facultad de Ciencias Exactas,Ingeniería y Agrimensura Argentina

Eduardo Estrada Kassir Maestro de Ingeniería de Sistemas Universidad Nacional de Colombia

Vladimir Moreno G.Profesor de tiempo completo Universidad Nacional de Colombia

Bernarda Aldana Escuela Colombiana de Ingeniería “Julio Garavito”

Néstor Raúl Pachón RubianoEscuela Colombiana de Ingeniería “Julio Garavito”

René Piedra Director del Departamento de Matemáticas Pontificia Universidad Católica Madre yMaestraRepública Dominicana

Lida Niño Coordinadora de Cátedra Matemática paraIngeniería Universidad Metropolitana Venezuela

TRADUCCIÓN

REVISIÓN TÉCNICA

Óscar Alfredo Palmas Velasco Víctor Hugo Ibarra MercadoFacultad de Ciencias, Escuela Superior de Física y MatemáticasUniversidad Nacional Autónoma de México Instituto Politécnico Nacional

Authorized translation from the English language edition, entitled Thomas’ calculus 11th ed., George B. Thomas, Jr., published by Pearson Education, Inc.,publishing as Addison Wesley, Copyright © 2005. All rights reserved.ISBN 0-321-185587

Traducción autorizada de la edición en idioma inglés, titulada Thomas’ calculus 11a ed., de George B. Thomas, Jr., publicada por Pearson Education, Inc.,publicada como Addison Wesley, Copyright © 2005. Todos los derechos reservados.

Esta edición en español es la única autorizada.

Edición en españolEditor: Enrique Quintanar Duarte

e-mail: [email protected] de desarrollo: Miguel B. Gutiérrez HernándezSupervisor de producción: José D. Hernández Garduño

Datos de catalogación bibliográfica

THOMAS, JR., GEORGE B.

Cálculo. Varias variables. Undécima edición

PEARSON EDUCACIÓN, México, 2005

ISBN: 970-26-0644-6 Área: Universitarios

Formato: 21 × 27 cm Páginas: 656

Edición en inglés:Publisher: Greg Tobin Acquisitions Editor: Willliam Hoffman Managing Editor: Karen Wernholm Senior Project Editor: Rachel S. Reeve Editorial Assistants: Mary Reynolds, Emily Portwood Production Supervisor: Julie LaChance James Marketing Manager: Phyllis Hubard Marketing Assistant: Heather Peck Senior Manufacturing Buyer: Evelyn Beaton

Senior Prepress Supervisor: Caroline Beaton Associate Media Producer: Sara Anderson Software Editors: David Malone, Bob Carroll Senior Author Suppor/Technology Specialist: Joe Vetere Supplements Production Supervisor: Sheila Spinney Composition and Production Services: Nesbitt Graphics, Inc. Illustrations: Techsetters, Inc. Senior Designer: Geri Davis/The Davis Group, Inc. Cover Design: Barbara T. Atkinson Cover Photograph: © Benjamin Mendlowitz

UNDÉCIMA EDICIÓN, 2005

D.R. © 2005 por Pearson Educación de México, S.A. de C.V. Atlacomulco núm. 500, 5° pisoCol. Industrial Atoto 53519, Naucalpan de Juárez, Edo. de MéxicoE-mail: [email protected]

Cámara Nacional de la Industria Editorial Mexicana. Reg. Núm. 1031

Reservados todos los derechos. Ni la totalidad ni parte de esta publicación pueden reproducirse, registrarse o transmitirse, por un sistema de recuperaciónde información, en ninguna forma ni por ningún medio, sea electrónico, mecánico, fotoquímico, magnético o electroóptico, por fotocopia, grabacióno cualquier otro, sin permiso previo por escrito del editor.

El préstamo, alquiler o cualquier otra forma de cesión de uso de este ejemplar requerirá también la autorización del editor o de sus representantes.

ISBN 970-26-0644-6

Impreso en México. Printed in Mexico.

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 - 08 07 06 05

Dedicado a

Ross Lee Finney III

(1933-2000)

profesor, mentor, autor,

gran persona, y amigo de todos

CONTENIDO

Prefacio ix

Volumen I

1 Preliminares 11.1 Los números reales y la recta real 11.2 Rectas, círculos y parábolas 91.3 Funciones y sus gráficas 191.4 Identificación de funciones: modelos matemáticos 281.5 Combinación de funciones; traslaciones y cambio de escala en gráficas 381.6 Funciones trigonométricas 481.7 Graficación con calculadoras y computadoras 59

PREGUNTAS DE REPASO 68EJERCICIOS DE PRÁCTICA 69EJERCICIOS ADICIONALES Y AVANZADOS 71

2 Límites y continuidad 732.1 Razón de cambio y límites 732.2 Cálculo de límites mediante las leyes de los límites 842.3 La definición formal de límite 912.4 Límites laterales y límites al infinito 1022.5 Límites infinitos y asíntotas verticales 1152.6 Continuidad 1242.7 Tangentes y derivadas 134


3 Derivadas 1473.1 La derivada como una función 1473.2 Reglas de diferenciación 159

iii

3.3 La derivada como razón de cambio 1713.4 Derivadas de funciones trigonométricas 1833.5 Regla de la cadena y ecuaciones paramétricas 1903.6 Diferenciación implícita 2053.7 Razones de cambio o tasas relacionadas 2133.8 Linealización y diferenciales 221


4 Aplicaciones de las derivadas 2444.1 Valores extremos de una ecuación 2444.2 El teorema del valor medio 2554.3 Funciones monótonas y el criterio de la primera derivada 2624.4 Concavidad y trazado de curvas 2674.5 Problemas de optimización aplicados 2784.6 Formas indeterminadas y la regla de L’Hôpital 2924.7 El método de Newton 2994.8 Antiderivadas 307


5 Integración 3255.1 Estimación con sumas finitas 3255.2 Notación sigma y límites de sumas finitas 3355.3 La integral definida 3435.4 El teorema fundamental del cálculo 3565.5 Las integrales indefinidas y la regla de sustitución 3685.6 Sustitución y áreas entre curvas 376


6 Aplicaciones de las integrales definidas 3966.1 Cálculo de volúmenes por secciones transversales y por rotación

alrededor de un eje 3966.2 Cálculo de volúmenes por medio de casquillos cilíndricos 4096.3 Longitudes de curvas planas 4166.4 Momentos y centro de masa 4246.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 4366.6 Trabajo 4476.7 Presiones y fuerzas en fluidos 456

iv Contenido


7 Funciones trascendentes 4667.1 Funciones inversas y sus derivadas 4667.2 Logaritmos naturales 4767.3 La función exponencial 4867.4 y log 4957.5 Crecimiento y decaimiento exponenciales 5027.6 Razones de crecimiento relativas 5117.7 Funciones trigonométricas inversas 5177.8 Funciones hiperbólicas 535


8 Técnicas de integración 5538.1 Fórmulas básicas de integración 5538.2 Integración por partes 5618.3 Integración de funciones racionales por medio de fracciones parciales 5708.4 Integrales trigonométricas 5818.5 Sustituciones trigonométricas 5868.6 Tablas de integrales y sistemas de álgebra por computadora (SAC) 5938.7 Integración numérica 6038.8 Integrales impropias 619


9 Aplicaciones adicionales de integración 6429.1 Campos de pendientes y ecuaciones diferenciables separables 6429.2 Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden 6509.3 Método de Euler 6599.4 Soluciones gráficas de ecuaciones diferenciales autónomas 6659.5 Aplicaciones de ecuaciones diferenciales de primer orden 673


a xax

Contenido v

Volumen II

10 Secciones cónicas y coordenadas polares 68510.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 68510.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 69710.3 Ecuaciones cuadráticas y rotaciones 70210.4 Cónicas y ecuaciones paramétricas; la cicloide 70910.5 Coordenadas polares 71410.6 Gráficas en coordenadas polares 71910.7 Áreas y longitudes en coordenadas polares 72510.8 Secciones cónicas en coordenadas polares 732


11 Sucesiones y series infinitas 74611.1 Sucesiones 74711.2 Series infinitas 76111.3 Criterio de la integral 77211.4 Pruebas de comparación 77711.5 Pruebas de la raíz y de la razón 78111.6 Series alternantes, convergencia absoluta y convergencia condicional 78711.7 Series de potencias 79411.8 Series de Taylor y de Maclaurin 80511.9 Convergencia de series de Taylor; estimación de errores 81111.10 Aplicaciones de las series de potencias 82211.11 Series de Fourier 833


12 Los vectores y la geometría del espacio 84812.1 Sistemas de coordenadas tridimensionales 84812.2 Vectores 85312.3 El producto punto 86212.4 El producto cruz 87312.5 Rectas y planos en el espacio 88012.6 Cilindros y superficies cuádricas 889


vi Contenido

13 Funciones con valores vectoriales y movimiento en el espacio 90613.1 Funciones vectoriales 90613.2 Cómo modelar el movimiento de un proyectil 92013.3 Longitud de arco y el vector tangente unitario T 93113.4 Curvatura y el vector unitario normal N 93613.5 Torsión y el vector unitario binormal B 94313.6 Movimiento de planetas y satélites 950


14 Derivadas parciales 96514.1 Funciones de varias variables 96514.2 Límites y continuidad en dimensiones superiores 97614.3 Derivadas parciales 98414.4 Regla de la cadena 99614.5 Derivadas direccionales y vectores gradiente 100514.6 Planos tangentes y diferenciales 101514.7 Valores extremos y puntos de silla 102714.8 Multiplicadores de Lagrange 103814.9 Derivadas parciales con variables restringidas 104914.10 Fórmula de Taylor para dos variables 1054


15 Integrales Múltiples 106715.1 Integrales dobles 106715.2 Área, momentos y centros de masa 108115.3 Integrales dobles en forma polar 109215.4 Integrales triples en coordenadas rectangulares 109815.5 Masas y momentos en tres dimensiones 110915.6 Integrales triples en coordenadas cilíndricas y esféricas 111415.7 Sustitución en integrales múltiples 1128


Contenido vii

16 Integración en Campos Vectoriales 114316.1 Integrales de línea 114316.2 Campos vectoriales, trabajo, circulación y flujo 114916.3 Independencia de la trayectoria, funciones potenciales

y campos conservativos 116016.4 Teorema de Green en el plano 116916.5 Área de superficies e integrales de superficie 118216.6 Superficies parametrizadas 119216.7 Teorema de Stokes 120116.8 El teorema de la divergencia y una teoría unificada 1211


Apéndices AP-1

A.1 Inducción matemática AP-1A.2 Demostración de los teoremas de límites AP-4A.3 Límites que aparecen comúnmente AP-7A.4 Teoría de los números reales AP-9A.5 Números complejos AP-12A.6 La ley distributiva para el producto cruzado de vectores AP-22A.7 El teorema de la derivada mixta y el teorema del incremento AP-23A.8 El área de la proyección de un paralelogramo en un plano AP-28A.9 Fórmulas básicas de álgebra, geometría y trigonometría AP-29

Respuestas R-1

Índice I-1

Breve tabla de integrales T-1

Créditos C-1

viii Contenido

PREFACIO

INTRODUCCIÓN Al preparar la undécima edición de Cálculo de Thomas, hemos queridomantener el estilo de las versiones anteriores y conservar las fortalezas detectadas en ellas.Nuestra meta ha sido, por lo tanto, identificar las mejores características de las edicionesclásicas de la obra y, al mismo tiempo, atender cuidadosamente las sugerencias de nues-tros muchos usuarios y revisores. Con estos altos estándares en mente, hemos reconstruidolos ejercicios y aclarado algunos temas de difícil comprensión. De acuerdo con el autor,George Thomas, “hemos intentado escribir el libro con tanta claridad y precisión como hasido posible”. Además, hemos restablecido los contenidos para que sean más lógicos ycongruentes con los programas de estudio de mayor difusión. Al revisar esta labor en re-trospectiva, nos percatamos de que los muchos conocimientos adquiridos nos han ayudadoa crear un texto de cálculo útil y atractivo para la siguiente generación de ingenieros ycientíficos.

En su undécima edición, el texto no sólo presenta a los estudiantes los métodos y lasaplicaciones del cálculo, sino que plantea también una manera de pensar totalmente mate-mática. A partir de los ejercicios, los ejemplos y el desarrollo de los conceptos que revelala teoría en un lenguaje legible, este libro se centra en el pensamiento y la comunicaciónde ideas matemáticas. El cálculo tiene gran relación con muchos de los paradigmas clave delas matemáticas, y establece los fundamentos reales para la reflexión precisa y lógica entorno de temas físicos y matemáticos. Nuestro propósito se centra en ayudar a los estu-diantes a alcanzar la madurez matemática necesaria para dominar el material y aplicar susconocimientos de manera íntegra. El razonamiento que se deriva de la comprensión de loanalizado en las páginas de esta obra hacen que el esfuerzo que ha implicado su creaciónvalga la pena.

Una vez analizado el contenido de este libro, los estudiantes estarán bien instruidos enel lenguaje matemático que se necesita para aplicar los conceptos de cálculo a numerosassituaciones de ciencias e ingeniería. También estarán preparados para tomar cursos deecuaciones diferenciales, álgebra lineal o cálculo avanzado.

Cambios en la undécima edición

EJERCICIOS Los ejercicios y ejemplos juegan un papel crucial en el aprendizaje delcálculo. En esta edición hemos incluido muchos ejercicios que ya aparecían en versionesanteriores de la obra por considerarlos una de las grandes fortalezas de la misma. Los ejer-cicios se han reorganizado por tema en cada una de las secciones, planteando primero losproblemas computacionales para luego abordar los relativos a la teoría y las aplicaciones.Esta disposición permite que los estudiantes desarrollen habilidades en el uso de los mé-todos del cálculo y adquieran una comprensión más profunda de sus aplicaciones en elmarco de una estructura matemática coherente.

ix

RIGOR En comparación con las ediciones anteriores, en esta versión el contenido del tex-to es más riguroso y consistente. En él se brindan análisis formales e informales, haciendouna clara distinción entre ambos; además, se incluyen definiciones precisas y demostracio-nes accesibles para los estudiantes. Este texto está organizado de manera que el materialpueda ser cubierto informalmente, dando cierta flexibilidad al instructor. Por ejemplo, apesar de que no se prueba que una función continua en un intervalo cerrado y acotado tieneun máximo ahí, el teorema correspondiente se expone con todo cuidado para comprobarvarios resultados subsecuentes. Más aún, el capítulo de límites ha sido reorganizado demanera sustancial, haciendo hincapié tanto en su claridad como en su precisión. Como enlas ediciones anteriores, el concepto de límite se basa en la importante idea de obtener lapendiente de la recta tangente a una curva en un punto de aquella.

CONTENIDO En la preparación de esta edición hemos puesto especial atención a las su-gerencias y comentarios de los usuarios y revisores de las versiones anteriores de Cálculo deThomas. Esto ha dado como resultado extensas modificaciones en varios de los capítulos.

TOMO I• Preliminares Hemos reescrito el capítulo 1, de manera que proporcione una breve

revisión de las funciones elementales. Aunque muchos profesores podrían optar porobviar este capítulo, su estudio permite a alumnos un fácil repaso de conocimientospara que unifiquen notaciones. También contiene material útil que muchos estudian-tes podrían desconocer, como los errores que se producen al confiar totalmente enlas calculadoras o computadoras para construir la gráfica de una función.

• Límites En el capítulo 2 se incluyen las definiciones epsilón-delta, las demostra-ciones de muchos teoremas, así como límites en el infinito y límites infinitos (y susrelaciones con las asíntotas de una gráfica).

• Antiderivadas En los capítulos 3 y 4 presentamos la derivada y sus aplicacionesmás importantes, concluyendo con el concepto de antiderivada, con lo cual se esta-blecen las bases para la integración.

• Integración Después de discutir varios ejemplos de sumas finitas, en el capítulo 5introducimos la integral definida en la forma tradicional del área debajo de la curva.Continuamos con el análisis del teorema fundamental del cálculo, relacionando de-rivadas y antiderivadas, y con la presentación de la integral indefinida, junto con laregla de sustitución para integración. Luego proseguimos con el capítulo tradicionalde aplicaciones de las integrales definidas.

• Técnicas de integración En el capítulo 8 se presentan las principales técnicas deintegración, incluyendo integración numérica. Después se ofrece una introducción alas funciones trascendentes, definiendo el logaritmo natural como la integral y lafunción exponencial como su inversa.

• Ecuaciones diferenciales La mayor parte del material para resolver ecuacionesdiferenciales básicas ahora está organizado solamente en el capítulo 9. Esta disposi-ción permite que los profesores encuentren la flexibilidad idónea para cubrir los te-mas correspondientes.

TOMO II

• Cónicas Atendiendo a la demanda de muchos usuarios, el capítulo 10 ha sido total-mente reescrito. Por otro lado, este capítulo completa el material de ecuaciones paramé-tricas, dando las parametrizaciones para las parábolas, las hipérbolas y las cicloides.

• Series En comparación con ediciones anteriores, en el capítulo 11 hemos desarro-llado de manera más completa los criterios de convergencia para series. También in-cluimos, al final del capítulo, una breve sección para presentar las series de Fourier(cuyo estudio puede omitirse, según convenga).

x Prefacio

• Vectores Para evitar la repetición de los conceptos algebraicos y geométricos fun-damentales, hemos combinado el tratamiento de vectores en dos y tres dimensionesen un solo capítulo, el 12. A esta presentación le sigue el capítulo de funciones devalores vectoriales en el plano y en el espacio.

• Los números reales Hemos escrito un nuevo apéndice para analizar brevementela teoría de los números reales y su aplicación en el cálculo.

ARTE Sabemos que las figuras y las ilustraciones representan un componente de granimportancia en el aprendizaje del cálculo, por lo que hemos mejorado todas las figuras deeste libro, buscando mayor claridad en la relación entre éstas y los conceptos a que hacenreferencia. Esto resulta especialmente evidente en las gráficas tridimensionales, en las quepodemos indicar mejor la profundidad, las capas y la rotación (vea las figuras siguientes).

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(b)

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Prefacio xi

FIGURA 6.13, página 403Las secciones transversalesdel sólido de rotacióngenerado aquí son arandelas,no discos.

FIGURA 6.11, página 402Determinación del volumen del sólidogenerado al hacer girar la región (a)alrededor del eje y.

Otras características

PROYECTOS Y RESUMEN DE FINAL DE CAPÍTULO Además de los problemas que apare-cen después de cada sección, los capítulos terminan con preguntas de repaso, ejerciciosprácticos que cubren todo el contenido analizado, y una serie de ejercicios adicionales yavanzados en donde se plantean problemas sintetizados o que plantean retos de mayorenvergadura. Asimismo, casi todos los capítulos incluyen la descripción de varios proyectospara que los estudiantes trabajen en ellos, ya sea individualmente o en equipo, en periodos máslargos. Estos proyectos requieren el uso de una computadora y de material adicional, dis-ponible en www.pearsoneducacion.net/thomas.

EJERCICIOS DE DESARROLLO TEÓRICO Los ejercicios de desarrollo teórico que aparecena lo largo de todo el libro, solicitan a los alumnos que exploren y expliquen una variedadde conceptos y aplicaciones del cálculo. Además, al final de cada capítulo se halla una lis-ta de preguntas para que los estudiantes repasen y resuman lo que han aprendido. Muchos deestos ejercicios pueden servir para que el profesor asigne tareas de contenido teórico.

RESPUESTAS Se proporcionan todas las respuestas de los ejercicios impares cuando esadecuado; la corrección de tales respuestas ha sido revisada cuidadosamente.

EXACTITUD MATEMÁTICA Como en las ediciones anteriores, hemos tenido gran cuidadoen afirmar solamente aquello que sea correcto desde el punto de vista matemático. Cadadefinición, teorema, corolario y demostración han sido revisados para garantizar su clari-dad y exactitud matemática.

LEGILIBILIDAD Y APLICACIÓN EN PROBLEMAS REALES Como siempre, este texto bus-ca ser fácil de leer, interactivo y matemáticamente rico. Cada tema nuevo ha sido abordadocon claridad, ilustrado con ejemplos de fácil comprensión y reforzado con aplicaciones aproblemas reales que involucran el cálculo en ciencias e ingeniería, y que resultan de inte-rés para los estudiantes. Estos problemas de aplicación se han actualizado, mejorado y am-pliado a lo largo de las últimas ediciones.

TECNOLOGÍA Aunque seguimos proporcionando apoyo para las aplicaciones tecnológicasdel cálculo, a partir de la décima edición esto resulta menos evidente dentro de los capítu-los. Sin embargo, el uso de este texto puede incorporar fácilmente la tecnología según lospropósitos del profesor. Para ello, cada sección contiene ejercicios que requieren el uso dela tecnología, identificados de cualquiera de las siguientes maneras:

• Con una si se requiere una calculadora o computadora para su resolución.• Con el texto EXPLORACIÓN CON COMPUTADORA si se necesita un software

matemático (como Maple o Mathematica) para contestarlos.

Complementos multimedia y soporte en línea (en inglés)

MANUALES DE RECURSOS TECNOLÓGICOSMaple Manual, escrito por Donald Hartig, de la California Polytechnic State UniversityMathematica Manual, preparado por Marie Vanisko, de la California State UniversityStanislaus, y por Lyle Cochran, del Whitworth CollegeTI-Graphing Calculator Manual, por Luz DeAlba, de la Drake University.Estos manuales cubren los programas Maple 9 y Mathematica 5, y las calculadoras TI-83Plus, TI-84 Plus, TI-85/TI-86 y TI-89/TI-92 Plus, respectivamente. Cada uno de ellos ofreceguía detallada para la integración de un paquete de software o una calculadora graficadoraa lo largo del curso, incluyendo sintaxis y comandos.

T

xii Prefacio

COURSECOMPASSCourseCompass es una plataforma para cursos en línea que Pearson Educación ofrece demanera exclusiva como apoyo para sus libros de texto. Este libro cuenta con un curso precar-gado en CourseCompass, que incluye ejercicios y recursos en MyMathLab y en MathXL,el sistema de tutoriales, tareas y evaluación en línea de Addison Wesley. MyMathLab pro-porciona un amplio conjunto de materiales relacionados con el curso, así como ejerciciosgenerados algorítmicamente para repasar tanto como se desee un tema. Los alumnos puedenutilizar también herramientas en línea, como clases en vídeo, animaciones, una versiónelectrónica del libro y proyectos de Maple/Mathematica para mejorar su comprensión ydesempeño. Además, los estudiantes pueden responder exámenes por capítulo y obtenerun plan de estudio personalizado de acuerdo con sus resultados. Por su parte, los profesorespueden emplear los administradores de tareas y exámenes que proporciona CourseCom-pass para seleccionar y asignar ejercicios en línea relacionados directamente con el libro,así como importar exámenes de TestGen para obtener más flexibilidad. El libro de notasde MyMathLab —diseñado específicamente para matemáticas y estadística— lleva unregistro automático de las tareas y los resultados de los exámenes de los alumnos, y dacontrol al profesor para calcular las notas de fin de curso. CourseCompass está disponiblepara quienes adopten el libro. Para obtener más información, visite nuestro sitio Web enwww.coursecompass.com, o pida una demostración del producto al representante de ven-tas de Pearson Educación que lo atiende.

TESTGEN CON QUIZMASTERTestGen permite a los profesores crear, editar, imprimir y administrar exámenes medianteun banco de preguntas computarizado, desarrollado para cubrir todos los objetivos del tex-to. TestGen se basa en algoritmos, gracias a lo cual los profesores pueden crear múltiplesversiones de la misma pregunta o del mismo examen con sólo hacer clic en un botón. Losmaestros pueden también modificar las preguntas del banco de exámenes o agregar nuevosreactivos utilizando además el editor integrado para crear o importar gráficas, insertarnotación matemática, números variables o texto. Los exámenes pueden imprimirse o dis-tribuirse por Internet o en una red local, o pueden ser importados en CourseCompass oBlackboard. TestGen incluye QuizMaster, que permite a los estudiantes realizar las pruebasen una red de área local. El software está disponible en un CD-ROM para las plataformasWindows y Macintosh.

SITIO WEB www. pearsoneducacion.net/thomasEl sitio Web del libro Cálculo de Thomas proporciona al alumno biografías más ampliasde los personajes históricos referidos en el libro, así como artículos relacionados. Asimis-mo, pone a su disposición un conjunto de módulos de Maple y Mathematica que puedeutilizar como proyectos individuales o en grupo. Este sitio también ofrece al profesor unvínculo hacia el sitio de descarga de materiales (en inglés) de este libro.

Agradecimientos

Deseamos expresar nuestra gratitud a quienes hicieron muchas y muy valiosas contribu-ciones durante las distintas etapas de desarrollo de esta edición.

Editores de desarrollo CorrectoresElka Block William ArdisDavid Chelton Karl KattcheeFrank Purcell Douglas B. Meade

Robert PierceFrank PurcellMarie VaniskoThomas Wegleitner

Prefacio xiii

xiv Prefacio

Jefatura de revisiónHarry Allen, Ohio State UniversityRebecca Goldin, George Mason UniversityChristopher Heil, Georgia Institute of TechnologyDominic Naughton, Purdue UniversityMaria Terrell, Cornell UniversityClifford Weil, Michigan State University

Revisión técnicaRobert Anderson, University of Wisconsin–MilwaukeeCharles Ashley, Villanova UniversityDavid Bachman, California Polytechnic State UniversityElizabeth Bator, University of North TexasWilliam Bogley, Oregon State UniversityKaddour Boukaabar, California University of

PennsylvaniaDeborah Brandon, Carnegie Mellon UniversityMark Bridger, Northeastern UniversitySean Cleary, The City College of New YorkEdward Crotty, University of PennsylvaniaMark Davidson, Louisiana State UniversityRichard Davitt, University of LouisvilleElias Deeba, University of Houston, Downtown CampusAnne Dougherty, University of ColoradoRafael Espericueta, Bakersfield CollegeKlaus Fischer, George Mason UniversityWilliam Fitzgibbon, University of HoustonCarol Flakus, Lower Columbia CollegeTim Flood, Pittsburg State UniversityRobert Gardner, East Tennessee State UniversityJohn Gilbert, The University of Texas at AustinMark Hanish, Calvin CollegeZahid Hasan, California State University, San BernardinoJo W. Heath, Auburn UniversityKen Holladay, University of New OrleansHugh Howards, Wake Forest UniversityDwanye Jennings, Union UniversityMatthias Kawaski, Arizona State UniversityBill Kincaid, Wilmington CollegeMark M. Maxwell, Robert Morris UniversityJack Mealy, Austin CollegeRichard Mercer, Wright State UniversityVictor Nestor, Pennsylvania State UniversityMichael O’Leary, Towson UniversityBogdan Oporowski, Louisiana State University

Troy Riggs, Union UniversityFerinand Rivera, San Jose State UniversityMohammed Saleem, San Jose State UniversityTatiana Shubin, San Jose State UniversityAlex Smith, University of Wisconsin-Eau ClaireDonald Solomon, University of Wisconsin-MilwaukeeChia Chi Tung, Minnesota State UniversityWilliam L. VanAlstine, Aiken Technology CollegeBobby Winters, Pittsburg State UniversityDennis Wortman, University of Massachusetts at Boston

Participantes en encuestasOmar Adawi, Parkland CollegeSiham Alfred, Raritan Valley Community CollegeDonna J. Bailey, Truman State UniversityRajesh K. Barnwal, Middle Tennessee State UniversityRobert C. Brigham, University of Central Florida (retired)Thomas A. Carnevale, Valdosta State UniversityLenny Chastkofsky, The University of GeorgiaRichard Dalrymple, Minnesota West Community & Tech-

nical CollegeLloyd Davis, College of San MateoWill-Matthis Dunn III, Montgomery CollegeGeorge F. Feissner, SUNY College at CortlandBruno Harris, Brown UniversityCeleste Hernandez, Richland CollegeWei-Min Huang, Lehigh UniversityHerbert E. Kasube, Bradley UniversityFrederick W. Keene, Pasadena City CollegeMichael Kent, Borough of Manhattan Community Colle-

geRobert Levine, Community College of Allegheny County,

Boyce CampusJohn Martin, Santa Rosa Junior CollegeMichael Scott McClendon, University of Central Okla-

homaChing-Tsuan Pan, Northern Illinois UniversityEmma Previato, Boston UniversityS.S. Ravindran, University of AlabamaDan Rothe, Alpena Community CollegeJohn T. Saccoman, Seton Hall UniversityMansour Samimi, Winston-Salem State UniversityNed W. Schillow, Lehigh Carbon Community CollegeW.R. Schrank, Angelina CollegeMark R. Woodard, Furman University

Agradecemos a todos los profesores que hansido leales usuarios y han impartido la materiade Cálculo en los países de habla hispana conel apoyo del reconocido libro de Thomas. Susvaliosos comentarios han servido para enri-quecer el desarrollo de la actual edición. Espe-ramos que con el uso de este texto cumplan sa-tisfactoriamente los objetivos del programa delcurso y preparen a sus alumnos para enfrentarlos retos actuales dentro del ámbito de las Ma-temáticas. En especial deseamos agradecer elapoyo y retroalimentación que nos han dadolos siguientes profesores:

COLOMBIA

Escuela Colombiana de Ingeniería JulioGaravito

Ana Alicia Guzmán Benjamín Rafael Sarmiento Bernarda Aldana Boris Mauricio Pulido Campo Elías Velosa Carlos Abel ÁlvarezCarlos Enrique Frasser Carmenza Moreno Clara Teresa Triviño Claudia Castro Diego Parada Edgar Obonaga Edith Zoraida Pinzón Eduardo Brieva Ernesto Acosta Gloria Inés Bernal Guiomar Lleras Guiomar Mora Gustavo Erazo Herbert Alonso Dueñas Isabel Carlota López Jaime Alonso Castillo Jaime Arango Jairo Scarpeta Jorge Augusto Pérez Jorge Bateman José Francisco Amador Juan Manuel Bedoya Juan Manuel Cordero Juan Manuel Ospina Juan Manuel Sarmiento Luis Alejandro Fonseca Luis Miguel Acosta Manuel Casabianca Manuel Díaz Margarita Mónica Rey María Consuelo Cortés María Viviana Bernal Néstor Raúl Pachón Olga Maritza Camacho Óscar Antonio Pulido Óscar Darío Zárate

Rafael Guzmán Ricardo Mancipe Ricardo Quintana Sandra Isabel Gutiérrez Víctor Ardila William Estrada

Fundación del Área Andina Mario Duarte Rosario Granados

INPAHU Edgar Borras

Pontificia Universidad JaverianaAbrahan Jiménez Antonio Merchan Diego Guerrero Eddy HerreraEduardo Estrada Fabio Molina Fernando Suárez Francisco Soler Gerardo Tole Guillermo Arias Gustavo Nieto Harold Noriega Héctor Orlando Linares Irina Reyes Ismael García Iván Castro Jesús Fernando Novoa José Humberto Serrano José Severino Niño Juan Carlos Quintero Julio César Melo Lennin Reyes Liliana ÁngelLiliana Barreto Luis Alejandro Bello Luis Alfonso Mejía Luz Marina Moya Luz Mary Ariza María C. Rodríguez Martha Alvarado Martha Moreno Matilde PáezNelson Urrego Nicolás Civetta Rafael Castro Vladimir Moreno

Universidad Antonio NariñoOrlando Vanegas

Universidad AutónomaGladys Villamarín Marco Tulio Millán

Universidad Católica de ColombiaAna Mercedes Márquez Carlos Daza Carlos Hernando Pinzón Felipe Lara Gerardo Ardila Germán Beltrán Javier Manotas Libardo Ortegón Lorenzo Zubieta Miguel Ángel Martínez Régulo Miguel Hernández Rubén Darío Castañeda

Universidad de AméricaEdgar Rodríguez Héctor Lozano Jaime Bolaños Margarita Ruiz

Universidad de la Sabana Héctor López María Lilia Perilla

Universidad de San BuenaventuraElmer VillegasHernán Pineda Patricia Mateus Wilson Soto

Universidad de San Martín Jaime Preciado

Universidad del BosqueLibardo Munevar

Universidad Distrital Francisco José deCaldas

Abrahan Jiménez Adrián Ricardo Gómez Carmen Leonor Pulido Claudia Vela Clemencia Garavito Gloria Neira Ignacio Rodríguez Janeth Galeano José María Pino José Villada Luis Martín María Astrid Cuida María del Pilar BohórquezNayive Nieves Pablo Acosta Rodrigo Javier Herrera Zulima Ortiz

Universidad INCCA de Colombia Jorge Eliécer Rodríguez

Agradecimientos a los profesores

Universidad Militar Nueva Granada Arturo Ramírez Felipe A. Riaño José Farid Patiño Luis Antonio Meza

Universidad Nacional Héctor Useche Herbert Dueñas

Universidad Piloto Carlos Garzón William Arley Rincón

Universidad Santo Tomás Eunice Chara Gloria Torres Marlene Garzón

GUATEMALA

Universidad de San Carlos Arturo Samayoa

MÉXICO

Instituto Tecnológico Autónomo de México(ITAM)

Beatriz Rumbos Pellicer Claudia Gómez Wulschner Lorena Zogaib María del Carmen López Laiseca

Unidad Profesional Interdisciplinaria deIngeniería y Tecnologías Avanzadas

Carlos Cruz Prisciliano Aguilar Viveros

Universidad Anáhuac del Sur Vicente Rivera

Universidad Iberoamericana Humberto Mondragón Suárez

Universidad La Salle Gustavo Velázquez Garduño

Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde Ecatepec

Francisco Javier Vargas Mancilla Gabriel Ramírez Dámaso

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Estado deMéxico

Faustino Yescas Martínez Rubén Darío Santiago Acosta

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Toluca

José Arturo Tar Ortiz Peralta

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus Sinaloa

José Benigno Valdez Torres

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campusGuadalajara

Abel Vázquez Pérez Abelardo Ernesto Damy Solís Guillermo Rodríguez López Humberto Hipólito García Díaz Jesús Cuauhtémoc Ruvalcaba Álvarez Luis Eduardo Falcón Morales Luz María González Ureña María Elisa Barrón García

Instituto Tecnológico y de EstudiosSuperiores de Monterrey, campus León

Enrique Garibay Ruiz

Instituto Tecnológico de Estudios Superioresde Occidente (ITESO), Guadalajara

César Espinosa Abundis Enrique Rodríguez Ruiz Héctor Vidaurri Aguirre Roberto Núñez Malherbe

Centro de Enseñanza Técnica Industrial,Guadalajara

Michael Vollger Zaepfel

Universidad de GuadalajaraFrancisco Javier González Piña Guadalupe Isabel Rodríguez Medina Jorge Mario Arellano Hernández José de Jesús Uribe Madrigal Lucía González Rendón María de Lourdes Martínez Silva María Esther Mejía Marín Tomás Ignacio Villaseñor Saavedra

Universidad Autónoma de Nuevo LeónAlejandro García García Angélica Tovar Gómez Bertha Arellano Silva Gloria Pedroza Cantú María Magdalena de la Rosa Reséndiz Santiago Neyra Rosales Sergio Elizondo Arroyave Yenny Valenzuela Murillo

Universidad Regiomontana Luis Alberto Rodríguez Escamilla Ma. Teresa Narváez Flores Neyda Eliza López Leal

Universidad Autónoma de San Luis Potosí José César Hernández García María Guadalupe Silva Esparza

Universidad Autónoma de TamaulipasRamiro Garza Molina

Instituto Tecnológico de Veracruz Mario Martínez Cano

Universidad Veracruzana Dolores Vera Dector Uriel García Ortiz

PERÚ

Universidad Peruana de Ciencias Aplicadas Agustín Curo

REPÚBLICA DOMINICANA

Instituto Tecnológico de Santo DomingoCoride Pérez Máximo A. Campuzano

Pontificia Universidad Católica Madre yMaestra

Masako Saito

Universidad Autónoma de Santo DomingoCarlos Feliz Sánchez Carlos Mayobanet Cabral David Torrez

Universidad Apec Justo Báez

Universidad Católica Tecnológica del Cibao Cristian Mercedes Cruz

Universidad Iberoamericana Máximo Santana

VENEZUELA

Universidad Central de Venezuela María de Armas Martha Zerpa

Universidad MetropolitanaAntonio Syers Lida Niño

Universidad Simón BolívarMaría Rosa Brito

Universidad del Zulia Daniel Duque

xvi Agradecimientos a los profesores

INTRODUCCIÓN En este capítulo daremos la definición geométrica de las parábolas, laselipses y las hipérbolas y deduciremos la forma canónica de sus ecuaciones. Estas curvasse llaman secciones cónicas, o simplemente cónicas, y modelan, por ejemplo, las trayecto-rias recorridas por los planetas, satélites y otros cuerpos cuyos movimientos están regidospor fuerzas del tipo “cuadrado inverso”. En el capítulo 13 veremos que, una vez que sabe-mos que la trayectoria de un cuerpo en movimiento es una curva cónica, tenemos de inme-diato la información sobre la velocidad del cuerpo y las fuerzas que lo impulsan. El movi-miento planetario se describe mejor con la ayuda de coordenadas polares, por lo quetambién analizaremos curvas, derivadas e integrales en este nuevo sistema de coordenadas.

685

SECCIONES CÓNICAS YCOORDENADAS POLARES

C a p í t u l o

10

Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas

En el capítulo 1 definimos un círculo (o circunferencia) como el conjunto de puntos enun plano cuya distancia (el radio)a un punto fijo, llamado centro, es constante. Si el centroes (h, k) y el radio es a, la forma canónica para la ecuación de la circunferencia es

Éste es un ejemplo de una sección cónica, es decir, de unacurva que se forman al cortar un cono doble con un plano (figura 10.1); de aquí el nombrede sección cónica.

A continuación describimos parábolas, elipses e hipérbolas como las gráficas deecuaciones cuadráticas en el plano coordenado.

Parábolas

sx - hd2 + s y - kd2 = a2 .

10.1

DEFINICIONES Parábola, foco, directrizUn conjunto formado por todos los puntos en un plano que equidistan de unpunto fijo dado y de una recta fija dada en el plano es una parábola. El puntofijo es el foco de la parábola. La recta fija es la directriz.

Si el foco F está en la directriz L, la parábola es la recta que pasa por F y es perpen-dicular a L. Esto se considera un caso degenerado, por lo que de aquí en adelante supon-dremos que F no está en L.

La ecuación más sencilla para una parábola se obtiene cuando su foco se encuentra enuno de los ejes y su directriz es perpendicular a éste. Suponga que el foco está en el puntoF(0, p) en la parte positiva del eje y y que la directriz es la recta (figura 10.2). Eny = -p

un punto P(x, y) está en la parábola si y sólo si PF = PQ. De la fórmula de la distancia,

Cuando igualamos estas expresiones, elevamos al cuadrado y simplificamos, obtenemos

(1)

Estas ecuaciones revelan la simetría de la parábola con respecto al eje y. Al eje y lo llama-mos eje de la parábola (una forma abreviada de “eje de simetría”).

El punto en donde la parábola cruza su eje es el vértice. El vértice de la parábolaestá en el origen (figura 10.2). El número positivo p es la distancia focal de la

parábola.x2 = 4py

y = x2

4p o x2 = 4py .

PQ = 2sx - xd2 + ( y - s -pdd2 = 2s y + pd2 . PF = 2sx - 0d2 + s y - pd2 = 2x2 + s y - pd2

686 Capítulo 10: Secciones cónicas y coordenadas polares

Circunferencia: plano perpendicular al eje del cono

Elipse: plano oblicuo al eje del cono

Punto: el plano pasa sólo por el vértice del cono

Una recta: el plano es tangente al cono

Par de rectas que se intersecan

Parábola: plano paralelo al lado del cono

Hipérbola: el plano corta las dos mitades del cono

(a)

(b)

FIGURA 10.1 Las secciones cónicas estándar (a) son las curvas en las que un plano corta un cono doble. Las hipérbolas constan dedos partes, llamadas ramas. El punto y las rectas que se obtienen al hacer pasar el plano por el vértice del cono (b) son secciones cóni-cas degeneradas.

Directriz: y � –p

El vértice se encuentra a la mitad de la distancia entre la directriz y el foco.

Q(x, –p)

P(x, y)

F(0, p)Foco

p

p

x2 � 4py

L

x

y

FIGURA 10.2 Forma canónica de la pará-bola x2 = 4py, p 7 0.

Forma canónica

Si la parábola abre hacia abajo, con foco en y con directriz la recta en-tonces las ecuaciones correspondientes a (1) son

(figura 10.3). Obtenemos ecuaciones similares para parábolas que abren hacia la derechao hacia la izquierda (figura 10.4 y tabla 10.1).

y = - x2

4p y x2 = -4py

y = p ,s0, -pd

10.1 Secciones cónicas y ecuaciones cuadráticas 687

x

y

Directriz: y � p

Vértice en el origen

Foco (0, –p)x2 � –4py

FIGURA 10.3 La parábolax2 = -4py, p 7 0.

Vértice

Directrizx � –p

0

Foco

F(p, 0)

y2 � 4px

x

y

(a)

Directrizx � p

0

Foco

F(–p, 0)

y2 � –4px

Vértice

x

y

(b)

FIGURA 10.4 La parábola (b) La parábola y2 = -4px .y2 = 4px .

TABLA 10.1 Ecuaciones en forma canónica para parábolas con vértice en el origen

Ecuación Foco Directriz Eje Abre hacia

(0, p) eje y arriba

eje y abajo

( p, 0) eje x derecha

eje x izquierda x = ps -p, 0dy2 = -4pxx = -py2 = 4pxy = ps0, -pdx2 = -4pyy = -px2 = 4py

sp 7 0d

EJEMPLO 1 Determinar el foco y la directriz de la parábola

Solución Determinamos el valor de p en la ecuación estándar

Luego determinamos el foco y la directriz para este valor de p:

Directriz: x = -p o x = - 52

.

Foco: s p, 0d = a52

, 0b

4p = 10, de modo que p = 104

= 52

.

y2 = 4px :

y2 = 10x .

Si los focos están en y (figura 10.7) y se denota por2a, las coordenadas de un punto P en la elipse satisfacen la

Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos alcuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos nuevamente al cuadrado paraobtener,

(2)

Como es mayor que la longitud (la desigualdad del triángulo para eltriángulo ), el número 2a es mayor que 2c. En consecuencia, , y el número

en la ecuación (2) es positivo.Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (2) pueden revertirse para

demostrar que cada punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de esta forma, contambién satisface la ecuación Por lo tanto, un punto está en

la elipse si y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación (2).Sí

(3)

entonces y la ecuación (2) se puede escribir así:

(4)x2

a2+

y2

b2= 1.

a2 - c2 = b2b = 2a2 - c2 ,

PF1 + PF2 = 2a .0 6 c 6 a

a2 - c2a 7 cPF1 F2

F1 F2PF1 + PF2

x2

a2+

y2

a2 - c2= 1.

2sx + cd2 + y2 + 2sx - cd2 + y2 = 2a .PF1 + PF2F2sc, 0dF1s -c, 0d

La manera más rápida de construir una elipse se basa en esta definición. Ponga unacuerda, unida por sus extremos, alrededor de dos tachuelas y tense la cuerda con unlápiz en el punto P y mueva el lápiz para trazar una curva cerrada (figura 10.5). La curvaes una elipse, ya que la suma siendo la longitud de la cuerda menos la dis-tancia entre las tachuelas, permanece constante. Los focos de la elipse están en y F2 .F1

PF1 + PF2 ,

F2 ,F1

F1 F2

P(x, y)


FIGURA 10.5 Una manera de dibujar unaelipse consiste en guiar un lápiz utilizandodos tachuelas y una cuerda atada por susextremos.

DEFINICIONES Eje focal, centro, vérticesLa recta que pasa por los focos de una elipse es su eje focal. El punto que está so-bre el eje a la mitad de la distancia entre los focos es el centro. Los puntos endonde el eje focal y la elipse se cruzan son los vértices de la elipse (figura 10.6).

Las fórmulas para el desplazamiento horizontal y vertical que se comentaron en lasección 1.5 pueden aplicarse a las ecuaciones de la tabla 10.1 para obtener las ecuacionesde diversas parábolas que estén en otras posiciones (vea los ejercicios 39, 40 y 45 a 48).

Ellipses

Vértice VérticeFoco FocoCentro

Eje focal

FIGURA 10.6 Puntos en el eje focal deuna elipse.

x

y

Foco Foco

Centro0F1(–c, 0)F2(c, 0)

P(x, y)

a

b

FIGURA 10.7 La elipse definida por laecuación es la gráfica dela ecuación endonde b2 = a2 - c2.

sx2>a2d + s y2>b2d = 1,PF1 + PF2 = 2a

DEFINICIONES Elipse, FocosUna elipse es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos puntos fi-jos en el plano tienen una suma constante. Los dos puntos fijos son los focos dela elipse.

La ecuación (4) muestra que esta elipse es simétrica con respecto al origen y con res-pecto a ambos ejes coordenados. Está dentro del rectángulo acotado por las rectas y La elipse cruza los ejes en los puntos y Las tangentes en es-tos puntos son perpendiculares a los ejes, ya que

es cero si e infinita si El eje mayor de la elipse en la ecuación (4) es el segmento de recta de longitud 2a

que une los puntos El eje menor es el segmento de recta de longitud 2b que unelos puntos El propio número a es el semieje mayor y el número b es el semiejemenor. El número c, obtenido a partir de la ecuación (3) como

es la distancia entre el centro y el foco de la elipse.

EJEMPLO 2 Eje mayor horizontal

La elipse

(5)

(figura 10.8) tiene

EJEMPLO 3 Eje mayor vertical

La elipse

(6)

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuación (5), tiene su eje mayor vertical en lugarde horizontal (figura 10.9). Con también igual a 16 y igual a 9, tenemos

No hay razón para confundirse al analizar las ecuaciones (5) y (6). Basta con que de-terminemos las intersecciones con los ejes coordenados; de esa manera sabemos cuál es ladirección del eje mayor, ya que es el de mayor longitud de los dos ejes. El centro siempreestá en el origen y los focos y vértices están en el eje mayor.

Centro: s0, 0d .

Vértices: s0, ;ad = s0, ;4d

Focos: s0, ;cd = A0, ;27 BDistancia entre el centro y el foco: c = 216 - 9 = 27Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3b

2a2

x2

9+

y2

16= 1,

Centro: s0, 0d .

Vértices: s ;a, 0d = s ;4, 0d

Focos: s ;c, 0d = A ;27, 0 BDistancia entre el centro y el foco: c = 216 - 9 = 27Semieje mayor: a = 216 = 4, Semieje menor: b = 29 = 3

x2

16+

y2

9= 1

c = 2a2 - b2 ,

s0, ;bd .s ;a, 0d .

y = 0.x = 0

dydx

= - b2x

a2y

s0, ;bd .s ;a, 0dy = ;b .x = ;a


Obtenida de la ecuación (4)por medio de la derivaciónimplícita

x

y

(0, 3)

(0, –3)

Vértice(4, 0)

Vértice(–4, 0)

Foco Foco

Centro

0(–�7, 0) (�7, 0)

x2

16y2

9� � 1

FIGURA 10.8 Una elipse con su eje ma-yor horizontal (ejemplo 2).

x

y

(0, 4) Vértice

(0, –4)Vértice

Foco

Foco

Centro 0

(3, 0)(–3, 0)

(0, –�7)

(0, �7)

x2

9y2

16� � 1

FIGURA 10.9 Una elipse con su eje ma-yor vertical.

Hipérbolas


Si los focos están en y (figura 10.10) y la diferencia constante es2a, un punto (x, y) está en la hipérbola si y sólo si

(7)

Para simplificar esta ecuación, movemos el segundo radical al lado derecho, elevamos alcuadrado, despejamos el radical que queda y elevamos otra vez al cuadrado para obtener

(8)

Hasta aquí, esta ecuación se parece a la de la elipse. Pero ahora es negativo, yaque 2a, siendo la diferencia de dos lados del triángulo es menor que 2c, el tercerlado.

Los pasos algebraicos que conducen a la ecuación (8) se pueden revertir parademostrar que todo punto P cuyas coordenadas satisfacen una ecuación de esta forma, con

también satisfacen la ecuación (7). Por lo tanto, un punto está en la hipérbolasi y sólo si sus coordenadas satisfacen la ecuación (8).

Si denotamos por b a la raíz cuadrada positiva de

(9)

entonces y la ecuación (8) se escribiría en forma compacta así:

(10)x2

a2-

y2

b2= 1.

a2 - c2 = -b2

b = 2c2 - a2 ,c2 - a2 ,

0 6 a 6 c

PF1 F2 ,a2 - c2

x2

a2+

y2

a2 - c2= 1.

2sx + cd2 + y2 - 2sx - cd2 + y2 = ;2a .

F2sc, 0dF1s -c, 0d

x

y

0F1(–c, 0) F2(c, 0)

x � –a x � a

P(x, y)

FIGURA 10.10 Las hipérbolas tienen dosramas. Para puntos en la rama de la derecha de la hipérbola que se muestra,

Para puntos en la ramade la izquierda, Entonces hacemos b = 2c2 - a2.

PF2 - PF1 = 2a .PF1 - PF2 = 2a .

DEFINICIONES Hipérbola, focosUna hipérbola es el conjunto de puntos en un plano cuyas distancias a dos pun-tos fijos del plano tienen diferencia constante. Los dos puntos fijos son los focosde la hipérbola.

Ecuaciones en forma canónica para elipses con centro en el origen

En cada caso, a es el semieje mayor y b es el semieje menor.

Vértices: s0, ;adFocos: s0, ;cdDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 - b2

Focos en el eje x: x2

b2+

y2

a2= 1 sa 7 bd

Vértices: s ;a, 0dFocos: s ;c, 0dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 - b2

Focos en el eje x: x2

a2+

y2

b2= 1 sa 7 bd

Las diferencias entre la ecuación (10) y la ecuación para una elipse (ecuación 4) son elsigno menos y la nueva relación

De la ecuación (9)

Al igual que la elipse, la hipérbola es simétrica con respecto al origen y con respectode los ejes coordenados. Cruza el eje x en los puntos Las tangentes en estos pun-tos son verticales, ya que

es infinita cuando La hipérbola no tiene intercepciones con el eje y; de hecho,ninguna parte de la curva se encuentra entre las rectas y x = a .x = -a

y = 0.

dydx

= b2x

a2y

s ;a, 0d .

c2 = a2 + b2 .


DEFINICIONES Eje focal, centro, vérticesLa recta que pasa por los focos de una hipérbola es el eje focal. El punto que estáen el eje focal a la mitad de la distancia entre los focos es el centro de la hipér-bola. Los puntos en donde el eje focal y la hipérbola se cruzan son los vértices(figura 10.11).

Asíntotas y gráficas de hipérbolas

Si despejamos y en la ecuación (10), obtenemos

o, tomando raíces cuadradas,

Cuando el factor se aproxima a 1, y el factor es domi-nante.Así, las rectas

son las dos asíntotas de la hipérbola definida por la ecuación (10). Las asíntotas propor-cionan la guía que necesitamos para graficar las hipérbolas. La manera más rápida paradeterminar las ecuaciones de las asíntotas consiste en reemplazar el 1 en la ecuación (10)por 0 y despejar y en la nueva ecuación:

x2

a2-

y2

b2= 1 : x

2

a2-

y2

b2= 0 : y = ; ba x.

('')''* ('')''* (')'*

y = ; ba x

; sb>adx21 - a2>x2x : ; q ,y = ; ba x B1 -

a2

x2.

= b2

a2 x2 a1 - a2

x2b

y2 = b2 ax2a2

- 1b

Foco Foco

Centro

Eje focal

Vértices

FIGURA 10.11 Puntos en el eje focal deuna hipérbola.

Obtenida de la ecuación (10)por medio de la derivaciónimplícita

hipérbola 0 por 1 asíntotas

EJEMPLO 4 Focos en el eje x

La ecuación

(11)

es la ecuación (10) con y (figura 10.12). Tenemos

EJEMPLO 5 Focos en el eje y

La hipérbola

que se obtiene al intercambiar x y y en la ecuación (11), tiene sus vértices en el eje y en lu-gar de tenerlos en el eje x (figura 10.13). Con también igual a 4 y igual a 5, tenemos

Centro: (0, 0)

Propiedades reflectoras

Las aplicaciones principales de las parábolas incluyen su uso como reflectores de luz y on-das de radio. Los rayos originados en el foco de la parábola se reflejan hacia afuera de laparábola, en líneas paralelas al eje de la parábola (figura 10.14 y ejercicio 90). Aún más, eltiempo que tarda en llegar cualquier rayo del foco a una recta paralela a la directriz de la

Asíntotas: y2

4- x

2

5 = 0 o y = ;2

25 x .

Focos: s0, ;cd = s0, ;3d, Vértices: s0, ;ad = s0, ;2dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3b2a2

y2

4- x

2

5 = 1,

Asíntotas: x2

4-

y2

5 = 0 o y = ;252

x .

Centro: s0, 0d

Focos: s ;c, 0d = s ;3, 0d, Vértices: s ;a, 0d = s ;2, 0dDistancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2 = 24 + 5 = 3b2 = 5a2 = 4

x2

4-

y2

5 = 1


Ecuaciones en forma canónica para hipérbolas con centro en el origen

Observe la diferencia en las ecuaciones de las asíntotas (en la primera b a, en la segunda a b).>> Asíntotas: x

2

a2-

y2

b2= 0 o y = ; ba x

Vértices: s ;a, 0d Focos: s ;c, 0d Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2Focos en el eje x: x

2

a2-

y2

b2= 1

x

y

F(3, 0)F(–3, 0)

2–2

y � – x�52

y � x�52

x2

4y2

5� � 1

FIGURA 10.12 La hipérbola del ejemplo4 y sus asíntotas.

x

y

F(0, 3)

F(0, –3)

y � – x�52 y � x

�52

y2

4x2

5� � 1

2

–2

FIGURA 10.13 La hipérbola del ejemplo5 y sus asíntotas.

Asíntotas: y2

a2- x

2

b2= 0 o y = ; a

b x

Vértices: s0, ;ad Focos: s0, ;cd Distancia entre el centro y el foco: c = 2a2 + b2Focos en el eje y:

y2

a2- x

2

b2= 1


Filamento (punto fuente) en el foco

Luz reflejada paralela al ejeReflector

parabólico de luz

FANAL

Reflector parabólico de ondas de radio

Las seña

les de rad

io incide

ntes

se concen

tran en e

l foco

RADIOTELESCOPIO

FIGURA 10.14 Reflectores parabólicos pueden generar un rayo de luz paralelo al eje de laparábola desde una fuente situada en el foco, o recibir los rayos paralelos al eje y concentrar-los en el foco.

F1 F2

FIGURA 10.15 Un espejo elíptico (mos-trado de perfil) refleja la luz de un foco ha-cia el otro.

Hipérbola

FH � FP

FE � FH

Elipse

Parábola

Espejo primario

FE

FIGURA 10.16 Dibujo esquemático deun telescopio reflector.

parábola (y por lo tanto perpendicular a su eje) es el mismo para cada uno de los rayos. Es-tas propiedades se utilizan en linternas, faros de automóviles, reflectores de proyectores yen antenas de transmisión de microondas.

Si una elipse se hace girar alrededor de su eje mayor para generar una superficie (de-nominada elipsoide) y el interior es cromado para producir un espejo, la luz de un focoserá reflejada hacia el otro foco (figura 10.15). Los elipsoides reflejan el sonido de lamisma manera y esta propiedad se utiliza para construir galerías de susurros, habitacionesen las que una persona parada en un foco puede escuchar un susurro emitido desde el otrofoco. (El Salón de los Estatutos del Capitolio —sede del Congreso de Estados Unidos, enWashington— es una galería de susurros).

La luz que se dirige hacia uno de los focos de un espejo hiperbólico se refleja hacia elotro foco. Esta propiedad de las hipérbolas se combina con las propiedades reflectoras delas parábolas y las elipses en el diseño de algunos telescopios modernos. En la figura10.16 la luz estelar se refleja en un espejo parabólico primario hacia el foco del espejo Luego se refleja, por medio de un pequeño espejo hiperbólico cuyo foco es ha-cia el segundo foco de la hipérbola Como este foco es compartido por unaelipse, la luz se refleja por el espejo elíptico hacia el segundo foco de la elipse, donde unobservador pueda verla.

FE = FH .FH = FP ,

FP .

EJERCICIOS 10.1

Identificación de gráficasHaga corresponder las parábolas de los ejercicios 1 a 4 con las ecua-ciones siguientes:

Luego determine el foco y la directriz de cada parábola.

1. 2.

x

y

x

y

x2 = 2y, x2 = -6y, y2 = 8x, y2 = -4x .

3. 4.

Haga corresponder cada sección cónica de los ejercicios 5 a 8 con unade estas ecuaciones:

y2

4- x2 = 1, x2

4-

y2

9= 1.

x2

4+

y2

9= 1, x2

2+ y2 = 1,

x

y

x

y


Después determine los focos y vértices de cada sección cónica. Si lasección cónica es una hipérbola, determine también sus asíntotas.

5. 6.

7. 8.

ParábolasEn los ejercicios 9 a 16 se dan ecuaciones de parábolas. Determine elfoco y la directriz de cada parábola. Luego haga un bosquejo de laparábola, incluyendo su foco y directriz.

9. 10. 11.

12. 13. 14.

15. 16.

ElipsesEn los ejercicios 17 a 24 se dan ecuaciones de elipses. Ponga cadaecuación en la forma canónica. Luego haga un bosquejo de la elipse,incluyendo sus focos.

17. 18.

19. 20.

21. 22.

23. 24.

Los ejercicios 25 y 26 proporcionan información acerca de los focos yvértices de elipses con centro en el origen del plano xy. En cada casodetermine la ecuación en la forma canónica a partir de la informacióndada.

25. Focos: 26. Focos:

Vértices: Vértices:

HipérbolasEn los ejercicios 27 a 34 se dan ecuaciones de hipérbolas. Ponga cadaecuación en la forma canónica y determine las asíntotas de las hipér-bolas. Luego haga un bosquejo de la hipérbola, incluyendo sus asínto-tas y focos.

27. 28. 9x2 - 16y2 = 144x2 - y2 = 1

s0, ;5ds ;2, 0ds0, ;4dA ;22, 0 B

169x2 + 25y2 = 42256x2 + 9y2 = 549x2 + 10y2 = 903x2 + 2y2 = 62x2 + y2 = 42x2 + y2 = 27x2 + 16y2 = 11216x2 + 25y2 = 400

x = 2y2x = -3y2y = -8x2y = 4x2y2 = -2xx2 = -8yx2 = 6yy2 = 12x

x

y

x

y

x

y

x

y

29. 30.

31. 32.

33. 34.

En los ejercicios 35 a 38 se proporciona información respecto de losfocos, vértices y asíntotas de hipérbolas con centro en el origen delplano xy. En cada caso, y con base en la información dada, determinela ecuación en forma canónica de la hipérbola.

35. Focos: 36. Focos:

Asíntotas: Asíntotas:

37. Vértices: 38. Vértices:

Asíntotas: Asíntotas:

Desplazamiento de secciones cónicas39. La parábola se desplaza 2 unidades hacia abajo y

1 unidad a la derecha para generar la parábola �

a. Determine el vértice, el foco y la directriz de la nuevaparábola.

b. Trace los nuevos vértice, foco y directriz y bosqueje laparábola.

40. La parábola se desplaza 1 unidad hacia la izquierda y 3unidades hacia arriba para generar la parábola

a. Determine el vértice, foco y directriz de la nueva parábola.

b. Trace los nuevos vértice, foco y directriz y bosqueje laparábola.

41. La elipse se desplaza 4 unidades hacia laderecha y 3 unidades hacia arriba para generar la elipse

a. Determine los focos, los vértices y el centro de la nuevaelipse.

b. Trace los nuevos focos, vértices y bosqueje la elipse.

42. La elipse se desplaza 3 unidades hacia laizquierda y 2 unidades hacia abajo para generar la elipse

a. Determine los focos, los vértices y el centro de la nuevaelipse.

b. Trace los nuevos focos, vértices y centro y bosqueje la elipse.

43. La hipérbola se desplaza 2 unidades haciala derecha para generar la hipérbola

a. Determine el centro, los focos, los vértices y las asíntotas dela nueva hipérbola.

sx - 2d2

16-

y2

9= 1.

sx2>16d - sy2>9d = 1

sx + 3d2

9+

sy + 2d2

25= 1.

sx2>9d + sy2>25d = 1

sx - 4d2

16+

s y - 3d2

9= 1.

sx2>16d + s y2>9d = 1

-4sy - 3d .sx + 1d2 =

x2 = -4y

8sx - 1d .s y + 2d2

y2 = 8x

y = ; 12

xy = ; 43

x

s0, ;2ds ;3, 0d

y = ; 123 xy = ;xs ;2, 0dA0, ;22 B

64x2 - 36y2 = 23048y2 - 2x2 = 16

y2 - 3x2 = 38x2 - 2y2 = 16

y2 - x2 = 4y2 - x2 = 8

b. Trace los nuevos centro, focos, vértices y asíntotas y bosquejela hipérbola.

44. La hipérbola se desplaza 2 unidades haciaabajo para generar la hipérbola

a. Determine el centro, los focos, los vértices y las asíntotas dela nueva hipérbola.

b. Trace los nuevos centro, focos, vértices y asíntotas y bosquejela hipérbola.

Los ejercicios 45 a 48 proporcionan ecuaciones para parábolas, e indi-can cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha ohacia la izquierda se desplaza cada parábola. Determine una ecuaciónpara la nueva parábola y determine los nuevos vértice, foco y direc-triz.

45. izquierda 2, abajo 3 46. derecha 4, arriba 3

47. abajo 7 48. abajo 2

Los ejercicios 49 a 52 proporcionan ecuaciones para elipses, e indicancuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha o haciala izquierda se desplaza cada elipse. Determine una ecuación para lanueva elipse y determine los nuevos focos, vértices y centro.

49. izquierda 2, abajo 1

50. derecha 3, arriba 4

51. derecha 2, abajo 3


Los ejercicios 53 a 56 proporcionan ecuaciones para hipérbolas, e in-dican cuántas unidades hacia arriba o hacia abajo y hacia la derecha ohacia la izquierda se desplaza cada hipérbola. Determine una ecuaciónpara la nueva hipérbola y determine los nuevos centro, focos, vérticesy asíntotas.



55. izquierda1, abajo 1


Determine el centro, los focos, los vértices, las asíntotas y el radio,cuando corresponda, de las secciones cónicas de los ejercicios 57 a 68.

57.

58.

59. 60.

61. 62.

63. x2 + 2y2 - 2x - 4y = -1

9x2 + 6y2 + 36y = 0x2 + 5y2 + 4x = 1

y2 - 4y - 8x - 12 = 0x2 + 2x + 4y - 3 = 0

2x2 + 2y2 - 28x + 12y + 114 = 0

x2 + 4x + y2 = 12

y2

3- x2 = 1,

y2 - x2 = 1,

x2

16-

y2

9= 1,

x2

4-

y2

5= 1,

x2

16+

y2

25= 1,

x2

3+

y2

2= 1,

x2

2+ y2 = 1,

x2

6+

y2

9= 1,

x2 = 6y, izquierda 3 ,x2 = 8y, derecha 1 ,y2 = -12x,y2 = 4x,

sy + 2d2

4- x

2

5= 1.

s y2>4d - sx2>5d = 164.

65. 66.

67. 68.

DesigualdadesEn los ejercicios 69 a 74, bosqueje las regiones en el plano xy cuyascoordenadas satisfacen las desigualdades o pares de desigualdadesdadas.

69.

70.

71.

72.

73. 74.

Teoría y ejemplos75. Fórmula de Arquímedes para calcular el volumen de un sóli-

do parabólico La región acotada por la parábola y la recta se hace girar alrededor del eje y para generar elsólido que se muestra a continuación. Demuestre que el volumendel sólido es 3 2 del volumen del cono correspondiente.

76. Cables de puentes colgantes describen parábolas El cable delpuente colgante que se muestra a continuación soporta una cargauniforme de w libras por pie horizontal. Puede demostrarse que siH es la tensión horizontal del cable en el origen, la curva del cablesatisface la ecuación

Para demostrar que el cable cuelga describiendo una parábola, re-suelva esta ecuación diferencial sujeta a la condición inicial

cuando

x

y

Puente colgante

0

x = 0.y = 0

dy

dx= w

H x .

h

0b2

y � x24hb2

x

y

⎛⎝

⎛⎝

b2

, h

>y = h

y = s4h>b2dx2

ƒ x2 - y2 ƒ … 14y2 - x2 Ú 4sx2 + y2 - 4dsx2 + 9y2 - 9d … 0x2 + 4y2 Ú 4 y 4x2 + 9y2 … 36x2 + y2 Ú 1 y 4x2 + y2 … 49x2 + 16y2 … 144

y2 - 4x2 + 16x = 242x2 - y2 + 6y = 3x2 - y2 + 4x - 6y = 6x2 - y2 - 2x + 4y = 4

4x2 + y2 + 8x - 2y = -1


77. Determine la ecuación para la circunferencia que pasa por lospuntos (1, 0), (0, 1) y (2, 2).

78. Determine la ecuación para la circunferencia que pasa por lospuntos (2, 3), (3, 2) y

79. Determine la ecuación para la circunferencia que tiene centro eny que pasa por el punto (1, 3). ¿El punto (1.1, 2.8) se en-

cuentra dentro, fuera o sobre la circunferencia?

80. Determine ecuaciones para las tangentes a la circunferencia (x �2)2 en los puntos donde la circunferencia cruzalos ejes coordenados. (Sugerencia: Utilice derivación implícita).

81. Si se dibujan rectas paralelas a los ejes coordenados, de maneraque pasen por un punto P en la parábola laparábola divide la región rectangular acotada por estas rectas ylos ejes coordenados en dos regiones más pequeñas, A y B.

a. Si las regiones A y B se hacen girar alrededor del eje y,demuestre que generan sólidos cuyos volúmenes tienen razón4:1.

b. ¿Cuál es la razón de los volúmenes generados al hacer girarlas regiones alrededor del eje x?

82. Demuestre que las tangentes a la curva desde cualquierpunto en la recta son perpendiculares.

83. Determine las dimensiones del rectángulo con mayor área quepuede inscribirse en la elipse si sus lados sonparalelos a los ejes coordenados. ¿Cuál es el área del rectángulo?

84. Determine el volumen del sólido generado al hacer girar la regiónacotada por la elipse alrededor (a) del eje x, (b)del eje y.

85. La región “triangular” en el primer cuadrante, acotada por el ejex, la recta y la hipérbola se hace girar al-rededor del eje x para generar un sólido. Determine el volumendel sólido.

86. La región acotada a la izquierda por el eje y, a la derecha por lahipérbola arriba y abajo por las rectas sehace girar alrededor del eje y para generar un sólido. Determine elvolumen del sólido.

87. Determine el centroide de la región acotada por abajo por el eje xy por arriba por la elipse

88. La curva que es parte de la ramasuperior de la hipérbola se hace girar alrededor deleje x para generar una superficie. Determine el área de la super-ficie.

89. Las ondas circulares de la fotografía siguiente se produjeron al to-car la superficie del agua de un tanque, primero en A y luego enB. Conforme las ondas se expanden, sus puntos de intersección

y2 - x2 = 1,y = 2x2 + 1, 0 … x … 22,

sx2>9d + s y2>16d = 1.

y = ;3x2 - y2 = 1,

9x2 - 4y2 = 36x = 4,

9x2 + 4y2 = 36

x2 + 4y2 = 4

x = -py2 = 4px

0x

y

A

B

P

y2 � kx

y2 = kx, k 7 0,

5+ sy - 1d2 =

s -2, 1d

s -4, 3d .

parecen describir una hipérbola. ¿Realmente es así? Para determi-narlo podemos modelar las ondas con circunferencias con centrosen A y B.

En el instante t, el punto P está a unidades de A y aunidades de B. Como los radios de las circunferencias au-

mentan a razón constante, la velocidad a la que están viajando lasondas es

Concluya de ésta ecuación que tiene un valor constante,de modo que P debe estar en una hipérbola con focos en A y B.

90. Propiedad reflectora de las parábolas La figura siguientemuestra un punto típico en la parábola Larecta L es tangente a la parábola en P. El foco de la parábola estáen F(p, 0). El rayo y , que se extiende a partir de P hacia la de-recha, es paralelo al eje x. Para comprobar que la luz que va de Fa P se reflejará a lo largo de y , demostramos que es igual a

Establezca esta igualdad realizando los pasos siguientes.

a. Demuestre que

b. Demuestre que

c. Utilice la identidad

para demostrar que

Como y son agudos, implica que b = a .tan b = tan abatan a = 2p>y0 .

tan a =tan f - tan b

1 + tan f tan b

tan f = y0>sx0 - pd .tan b = 2p>y0 .

a .bL¿

L¿

y2 = 4px .Psx0 , y0d

rA - rB

drAdt

=drBdt

.

rBstdrA std

A B

rA(t)rB(t)

P(t)


91. Cómo utilizó el astrónomo Kepler una cuerda para dibujarparábolas El método de Kepler para dibujar una parábola (conherramientas más modernas), requiere de una regla T, de unacuerda con la misma longitud de la regla T y una mesa cuyo bordepueda servir como la directriz de la parábola. Fije un extremo dela cuerda en el punto en donde quiere que esté el foco y el otro ex-tremo en la punta superior de la regla T. Después, manteniendotensa la cuerda contra la regla T con un lápiz, deslice la regla T alo largo del borde de la mesa. El lápiz trazará una parábola a me-dida que la regla T se mueva. ¿Por qué?

Cuerda

FFoco

Directriz

A

P

B

x

y

0 F( p, 0)

P(x0, y0)

�

�

�

�

L

L'

y0

y2 � 4px

92. Construcción de una hipérbola Los diagramas siguientes apa-recieron (sin rótulos) en Ernest J. Eckert, “Constructions WithoutWords”, Mathematics Magazine, vol. 66, número 2, abril de 1993,página 113. Explique las construcciones determinando las coor-denadas del punto P.

93. Ancho de una parábola en el foco Demuestre que el número4p es el ancho de la parábola en el foco, com-probando que la recta corta a la parábola en los puntos queestán separados 4p unidades.

94. Asíntotas de Demuestre que la dis-

tancia vertical entre la recta y la mitad superior de

la rama derecha de la hipérbola

tiende a 0, comprobando que

Resultados análogos se cumplen para las partes restantes de la hi-pérbola y las rectas y = ; sb>adx .

límx: q

aba x - ba2x2 - a2b = ba límx: q Ax - 2x2 - a2 B = 0.sx2>a2d - s y2>b2d = 1

sx2>a2dy = sb>ad2x2 - a2y = sb>adx

sx2>a2d - s y2>b2d = 1

y = px2 = 4py s p 7 0d

x

y

x

y

O O

A PA

C P

B

D(1, 0) D(1, 0)

1 1

(a) (b)

10.2 Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad 697

Clasificación de secciones cónicas por su excentricidad

A continuación demostramos cómo asociar a cada sección cónica un número llamado laexcentricidad de la cónica. La excentricidad revela el tipo de sección cónica (circunferen-cia, elipse, parábola o hipérbola) y, en el caso de elipses e hipérbolas, describe las pro-porciónes generales de la sección cónica.

Excentricidad

Aunque la distancia entre el centro y el foco, c, no aparece en la ecuación

de una elipse, aún podemos determinar c a partir de la ecuación Si fija-mos a y variamos c sobre el intervalo las elipses resultantes variarán en forma (figura 10.17). Si , son circunferencias (pues ) y se aplanan cuando caumenta. Si los focos y los vértices se traslapan y la elipse degenera en un segmen-to de recta.

Utilizamos la razón de c a a para describir las diferentes formas que puede tomar laelipse. A esta razón se le llama excentricidad de la elipse.

c = a ,a = bc = 0

0 … c … a ,c = 2a2 - b2 .

x2

a2+

y2

b2= 1, sa 7 bd

10.2

Los planetas del sistema solar giran alrededor del Sol en órbitas (aproximadamente)elípticas, con el Sol en uno de los focos. La mayoría de las órbitas son casi circulares, co-mo señalan las excentricidades listadas en la tabla 10.2. Plutón tiene la órbita más excén-trica, con seguido de Mercurio, con Otros miembros del sistema so-lar tienen órbitas todavía más excéntricas. Ícaro, un asteroide de aproximadamente 1 millade ancho que da una vuelta alrededor del sol cada 409 días terrestres, tiene una órbita conexcentricidad de 0.83 (figura 10.18).

EJEMPLO 1 Cometa Halley

La órbita del cometa Halley es una elipse de 36.18 unidades astronómicas (U.A.) de largopor 9.12 U.A. de ancho. (Una unidad astronómica equivale a 149,597,870 km, el semiejemayor de la órbita terrestre). Su excentricidad es

Mientras que una parábola tiene un foco y una directriz, cada elipse tiene dos focos ydos directrices. Éstas son las rectas perpendiculares al eje mayor a distancias es delcentro. La parábola tiene la propiedad de que

(1)

para cualquier punto P en ella, donde F es el foco y D es el punto más cercano a P en la di-rectriz. Para una elipse, puede demostrarse que las ecuaciones que reemplazan a la ecua-ción (1) son

(2)

Aquí, e es la excentricidad, P es cualquier punto en la elipse, y son los focos, y y son los puntos en las directrices más cercanos a P (figura 10.19).En ambas ecuaciones (2) la directriz y el foco deben corresponder; esto es, si utilizamos ladistancia de P a también debemos usar la distancia de P a la directriz en el mismo ex-tremo de la elipse. La directriz corresponde a to y la directriz

corresponde a

La excentricidad de una hipérbola también es e = c/a, sólo que en este caso c es igual

a en lugar de En contraste con la excentricidad de una elipse, la

excentricidad de una hipérbola siempre es mayor que 1.

2a2 - b2 .2a2 + b2F2sc, 0d .x = a>e

F1s -c, 0d ,x = -a>eF1 ,

D2D1F2F1

PF1 = e # PD1, PF2 = e # PD2 .

PF = 1 # PD

;a>e

e = 2a2 - b2a = 2s36.18>2d2 - s9.12>2d2

s1>2ds36.18d =2s18.09d2 - s4.56d2

18.09L 0.97.

e = 0.21.e = 0.25,


DEFINICIÓN Excentricidad de una elipseLa excentricidad de la elipse es

e = ca =2a2 - b2

a .

sx2>a2d + s y2>b2d = 1 sa 7 bd

TABLA 10.2 Excentricidades delas órbitas plane-tarias

Mercurio 0.21 Saturno 0.06

Venus 0.01 Urano 0.05

Tierra 0.02 Neptuno 0.01

Marte 0.09 Plutón 0.25

Júpiter 0.05

Marte

Tierra

Venus

Sol

Mercurio

Ícaro

FIGURA 10.18 La órbita del asteroideÍcaro es muy excéntrica. La órbita de laTierra es casi circular, a tal grado que susfocos están dentro del Sol.

BIOGRAFÍA HISTÓRICA

Edmund Halley(1656–1742)

c � 0

F1 � F2

e � 0

c � a e � 1

F1

F1 F2

F2

c � 4a5

e � 45

FIGURA 10.17 La elipse cambia de una circunferencia a un segmento de recta cuando caumenta de 0 a a.

En una elipse, los focos están más cercanos entre sí que los vértices y la razón es menorque 1. En una hipérbola, los focos están más alejados entre sí que los vértices y la razón esmayor que 1.

EJEMPLO 2 Determinación de los vértices de una elipse

Localizar los vértices de una elipse de excentricidad 0.8 cuyos focos están en los puntos

Solución Como los vértices son los puntos , donde

o

EJEMPLO 3 Excentricidad de una hipérbola

Determinar la excentricidad de la hipérbola

Solución Dividimos ambos lados de la ecuación de la hipérbola entre 144 para ponerlaen forma canónica, con lo que obtenemos

Con y determinamos que así

Al igual que con la elipse, podemos demostrar que las rectas actúan comodirectrices para la hipérbola, y que

(3)

Aquí P es cualquier punto en la hipérbola, y son los focos y y son los puntosmás cercanos a P en las directrices (figura 10.20).

Para completar el cuadro, definimos la excentricidad de la parábola como En-tonces, las ecuaciones (1) a (3) tienen la forma común PF = e # PD .

e = 1.

D2D1F2F1

PF1 = e # PD1 y PF2 = e # PD2 .x = ;a>e

e = ca =54

.

c = 2a2 + b2 = 216 + 9 = 5,b2 = 9,a2 = 169x2

144-

16y2

144= 1 y x2

16-

y2

9= 1.

9x2 - 16y2 = 144.

s0, ;8.75d .

a = ce =7

0.8= 8.75,

s0, ;ade = c>a ,s0, ;7d .

Tanto en la elipse como en la hipérbola, la excentricidad es la razón de la distancia en-tre los focos y la distancia entre los vértices (ya que ).c>a = 2c>2a


DEFINICIÓN Excentricidad de una hipérbolaLa excentricidad de la hipérbola es

e = ca =2a2 + b2

a .

sx2>a2d - s y2>b2d = 1

Excentricidad = distancia entre los focosdistancia entre los vértices

x

yDirectriz 1x � – ae

Directriz 2x � aeb

–b

0

ac � ae

ae

D1 D2P(x, y)

F1(–c, 0) F2(c, 0)

FIGURA 10.19 Focos y directrices de laelipse La directriz 1 corresponde al foco y la directriz 2 al foco F2 .

F1 ,sx2>a2d + s y2>b2d = 1.

Directriz 1x � – ae

Directriz 2x � ae

a

c � ae

ae

F1(–c, 0) F2(c, 0)

D2D1P(x, y)

x

y

0

FIGURA 10.20 Focos y directrices de lahipérbola Noimporta en donde esté P en la hipérbola,

y PF2 = e # PD2 .PF1 = e # PD1

sx2>a2d - sy2>b2d = 1.

La ecuación “foco-directriz” unifica la parábola, la elipse y la hipérbolaen el siguiente sentido: suponga que la distancia PF entre un punto P y un punto fijo F(el foco) es un múltiplo constante de su distancia a una recta fija (la directriz). Es decir, suponga que

PF = e # PD


DEFINICIÓN Excentricidad de una parábolaLa excentricidad de una parábola es e = 1.

(4)PF = e # PD ,

donde e es la constante de proporcionalidad. Entonces, la trayectoria descrita por P es

(a) una parábola si

(b) una elipse de excentricidad e si y

(c) una hipérbola de excentricidad e si

No hay coordenadas en la ecuación (4), y cuando tratamos de expresarla con coordenadasel resultado varía dependiendo del tamaño de e. Al menos esto es lo que sucede en coorde-nadas cartesianas. Sin embargo, como veremos en la sección 10.8, en coordenadas polaresla ecuación se traduce en una sola ecuación sin importar el valor de e, unaecuación tan sencilla, que es la que han elegido utilizar los astrónomos y científicos espa-ciales durante casi 300 años.

Dado el foco y la directriz correspondiente de una hipérbola con centro en el origen ycon foco en el eje x, podemos utilizar las dimensiones que se muestran en la figura 10.20para determinar e. Al conocer e, podemos deducir la ecuación cartesiana de la hipérbolaa partir de la ecuación como en el ejemplo siguiente. Podemos determinarlas ecuaciones de elipses con centro en el origen y con focos en el eje x de una manera si-milar, por medio de las dimensiones que se muestran en la figura 10.19.

EJEMPLO 4 Ecuación cartesiana para una hipérbola

Determinar una ecuación cartesiana para la hipérbola con centro en el origen, que tiene unfoco en (3, 0) y a la recta como la directriz correspondiente.

Solución Primero utilizamos las dimensiones que se muestran en la figura 10.20 paradeterminar la excentricidad de la hipérbola. El foco es

La directriz es la recta

Cuando los combinamos con la ecuación , que define la excentricidad, estos re-sultados dan

e = ca =3e , de modo que e2 = 3 y e = 23.

e = c>ax = ae = 1, así que a = e .

sc, 0d = s3, 0d por lo que c = 3.

x = 1

PF = e # PD ,

PF = e # PD

e 7 1.e 6 1,

e = 1,

Conocida e, ahora podemos deducir la ecuación que necesitamos con base en la ecua-ción En la notación de la figura 10.21, tenemos

Ecuación (4)

x2

3-

y2

6= 1.

2x2 - y2 = 6

x2 - 6x + 9 + y2 = 3sx2 - 2x + 1d

e = 23 2sx - 3d2 + s y - 0d2 = 23 ƒ x - 1 ƒ PF = e # PD

PF = e # PD .


0 1 F(3, 0)

D(1, y)

P(x, y)

x

x � 1

y

x2

3y2

6� � 1

FIGURA 10.21 Hipérbola y directriz delejemplo 4.

EJERCICIOS 10.2

ElipsesEn los ejercicios 1 a 8, determine la excentricidad de la elipse. Luegodetermine y grafique sus focos y directrices.

1. 2.

3. 4.

5. 6.

7. 8.

En los ejercicios 9 a 12 se dan los focos y las excentricidades de elip-ses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, determine laecuación canónica de la elipse.

9. Focos: 10. Focos:Excentricidad: 0.5 Excentricidad: 0.2

11. Vértices: 12. Vértices:Excentricidad: 0.1 Excentricidad: 0.24

Los ejercicios 13 a 16 dan los focos y las directrices correspondientesde elipses con centro en el origen del plano xy. En cada caso, utilicelas dimensiones en la figura 10.19 para determinar la excentricidad dela elipse. Luego determine la ecuación en forma canónica de la elipse.

13. Foco: 14. Foco: (4, 0)

Directriz: Directriz:

15. Foco: 16. Foco:

Directriz: Directriz:

17. Dibuje una elipse de excentricidad 4 5. Explique el procedimien-to que utilizó.

18. Dibuje a escala la órbita de Plutón (excentricidad 0.25). Expliqueel procedimiento que utilizó.

19. Los puntos extremos de los ejes mayor y menor de una elipse son(1, 1), (3, 4), (1, 7) y Haga un bosquejo de la elipse, pro-porcione su ecuación en forma canónica, y determine sus focos,excentricidad y directrices.

s -1, 4d .

>x = -222x = -16

A -22, 0 Bs -4, 0dx = 16

3x = 925

A25, 0 B

s ;10, 0ds0, ;70d

s ;8, 0ds0, ;3d

169x2 + 25y2 = 42256x2 + 9y2 = 54

9x2 + 10y2 = 903x2 + 2y2 = 6

2x2 + y2 = 42x2 + y2 = 2

7x2 + 16y2 = 11216x2 + 25y2 = 400

20. Determine una ecuación para la elipse de excentricidad 2 3 quetiene la recta como una directriz y el punto (4, 0) como elfoco correspondiente.

21. ¿Qué valores de las constantes a, b y c hacen que la elipse

sea tangente al eje x en el origen y pase por el punto ¿Cuál es la excentricidad de la elipse?

22. Propiedades reflectoras de las elipses Una elipse se hace gi-rar alrededor de su eje mayor para generar un elipsoide. La super-ficie interna del elipsoide se croma para fabricar un espejo. De-muestre que un rayo de luz que sale de un foco se reflejará haciael otro foco. Las ondas de sonido también siguen estas trayecto-rias y esta propiedad se utiliza en la construcción de “galerías desusurros”. (Sugerencia: Coloque la elipse en posición estándar enel plano xy y demuestre que las líneas que van del punto P —en laelipse— a los dos focos, forman ángulos congruentes con la tan-gente a la elipse en P).

HipérbolasEn los ejercicios 23 a 30, determine la excentricidad de la hipérbola.Luego determine y grafique los focos y directrices de la hipérbola.

23. 24.

25. 26.

27. 28.

29. 30.

En los ejercicios 31 a 34 se dan las excentricidades y los vértices o losfocos de hipérbolas con centro en el origen del plano xy. En cada caso,determine la ecuación en forma canónica de la hipérbola.

31. Excentricidad: 3 32. Excentricidad: 2Vértices: Vértices:

33. Excentricidad: 3 34. Excentricidad: 1.25Focos: Focos: s0, ;5ds ;3, 0d

s ;2, 0ds0, ;1d

64x2 - 36y2 = 23048y2 - 2x2 = 16y2 - 3x2 = 38x2 - 2y2 = 16y2 - x2 = 4y2 - x2 = 89x2 - 16y2 = 144x2 - y2 = 1

s -1, 2d?

4x2 + y2 + ax + by + c = 0

x = 9>

En los ejercicios 35 a 38 se dan los focos y las directrices correspon-dientes de hipérbolas con centro en el origen del plano xy. En cada ca-so, determine la excentricidad de la elipse. Luego determine la ecua-ción

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Calculo Varias Variables6.3 Longitudes de curvas planas 416 6.4 Momentos y centro de masa 424 6.5 Áreas de superficies de revolución y el teorema de Pappus 436 ... 10.6 Gráficas