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COBENGE 2016
XLIV CONGRESSO BRASILEIRO DE EDUCAÇÃO EM ENGENHARIA 27 a 30 de setembro de 2016
UFRN / ABENGE
CÁLCULO DE TENSÕES NORMAIS LONGITUDINAIS EM
EMBARCAÇÕES ATRAVÉS DE PLANILHAS ELETRÔNICAS
Brizamar Muniz de Aguiar Filho– [email protected]
Paulo Vinícius Silva Brilhante – [email protected]
Universidade do Estado do Amazonas – UEA, Coordenação de Engenharia Naval
Av. Darcy Vargas nº 1200, Parque 10, 69065-020 – Manaus – AM, Brasil.
Arlindo Pires Lopes – [email protected]
Portland State University – PSU, Department of Civil & Environmental Engineering
1930 SW 4th Avenue, 97201 – Portland – OR, USA.
Adriana Alencar Santos – [email protected]
Universidade Federal do Amazonas – UFAM, Departamento de Engenharia de Materiais
Av. General Rodrigo Octávio nº 6200, Coroado I, 69077-000 – Manaus – AM, Brasil.
Resumo: Com o intuito de auxiliar no aprendizado acadêmico da teoria de estruturas navais,
busca-se neste trabalho a implementação de planilhas eletrônicas nos cálculos de tensões
normais longitudinais críticas em embarcações. Para solucionar o problema mencionado é
utilizado o programa Microsoft Office Excel® na elaboração das planilhas, pois é uma
ferramenta de grande viabilidade e de fundamental importância em qualquer instituição
educacional. Tais planilhas apresentam metodicamente, formulações que permitem aos
estudantes a comparação de resultados calculados de forma clássica aos valores apresentados
na planilha. Este tipo de metodologia de ensino é mais difícil de se trabalhar com softwares
comerciais, devido a sua maior complexidade, elevados custos e falta descrição dos métodos
empregados no programa. É realizado um estudo de caso com o intuito de ilustrar a
aplicabilidade do programa, auxiliando na compreensão do assunto. Levando em conta esses
aspectos, é possível a obtenção de um grande estímulo no aprendizado do conteúdo, redução
do tempo nas análises de estruturas e o usuário também tem a possibilidade de revisar
formulações e modificar valores dos dados de entrada de forma arbitrária, assim, sendo
possível a verificação das variações de comportamento estrutural.
Palavras-chave: Estruturas navais, Tensões normais, Planilhas eletrônicas
1. INTRODUÇÃO
CARDOSO (1994) argumenta que, a primeira tentativa de aplicação de uma análise
teórica ao projeto de elementos estruturais do navio que se tem registro, foi feita por Thomas
Young, em 1814. Young considerou a flexão longitudinal do casco, definindo para isso um
diagrama de cargas como a diferença entre o diagrama de pesos e o diagrama de flutuação, e
calculando, a partir daí as forças cortantes e os momentos fletores longitudinais. Para o
estabelecimento de um processo racional de cálculo, definiu-se em seguida as estruturas
primária, secundária e terciária do navio. A estrutura primária é a própria viga navio, a estrutura
secundária é formada pelas estruturas que compõem o cavernamento e a estrutura terciária é
constituída pelas unidades de placas dos chapeamentos.
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O surgimento de computadores digitais e seu rápido aperfeiçoamento removeram um
dos principais entraves ao progresso da análise estrutural - o volume de cálculos, além de
possibilitarem uma melhor compreensão do comportamento da estrutura.
Segundo BRITO (1996), em passado não muito distante, antes do florescimento dos
micro-computadores e dos programas sofisticados de cálculo estrutural, o engenheiro lidava
muito mais com aproximações e abstrações. O mesmo tinha que imaginar como cada pequeno
componente da estrutura se comportaria diante das solicitações a ela impostas e, a partir daí,
limitado a um pequeno e simples arsenal de ferramentas de cálculo, projetar e/ou analisar a obra
que lhe encomendavam.
Hoje se torna possível aos alunos à utilização de micro-computadores, desde as
primeiras disciplinas de análise estrutural, para implementar os métodos tradicionais. Os
mesmos podem criar planilhas eletrônicas para executar uma serie de cálculos permitindo que
o trabalho seja interativo, ao contrário dos procedimentos convencionais de programação
(LOPES, 2005).
O projeto estrutural de uma embarcação é de suma responsabilidade, visto que custos
enormes estão associados a construção das mesmas, além do fato mais importante: vidas
humanas são colocadas em risco caso a estrutura não seja adequada. Por outro lado, o peso leve
da embarcação deve ser o menor possível, para que tenhamos um bom desempenho da mesma
nas suas funções: transportar determinada carga (ou passageiros) em uma velocidade
estabelecida, afirma (GUEDES, 1979). Para exemplificar o que é dito por Guedes, PADOVEZI
(2003) menciona o seguinte fato: comboios de chatas com peso excessivo de aço levarão,
durante toda a sua vida útil, peso extra, que significará maior consumo de combustível. Se este
consumo a mais for da ordem de 3%, e o comboio operar por 30 anos, supondo um total de
4.800 horas por ano e potência total de 730 kW, o combustível gasto a mais será da ordem de
700.000 litros; ou 23.000 litros por ano, por um “erro” comum.
2. A VIGA-NAVIO Devido ao fato de existirem diferentes formas de deflexões na estrutura de uma
embarcação, a viga-navio também é conhecida como estrutura primária e é responsável por
gerar as tensões globais. Essas tensões globais são de dois tipos: cisalhamento e normal. Como
na grande maioria das vigas comuns as tensões normais são predominantemente maiores que
as de cisalhamento, a viga-navio funciona de forma semelhante e por esse motivo só será levado
em consideração nesse trabalho as tensões normais.
A diferença entre a distribuição de pesos 𝑤(𝑥), junto com todas as cargas contidas nele
e a flutuação do casco 𝑏(𝑥), produto da pressão hidrostática agindo perpendicularmente,
permite avaliar as forças cortantes 𝑉(𝑥) e os momentos fletores 𝑀(𝑥), agentes no comprimento
do navio, como segue:
𝑓(𝑥) = 𝑏(𝑥) − 𝑤(𝑥) (3)
𝑉(𝑥) = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥𝑥
0 (4)
𝑀(𝑥) = ∫ 𝑉(𝑥)𝑑𝑥𝑥
0 (5)
A figura 2 apresenta a variação das cargas estáticas, força cortante e momento fletor ao
longo do eixo x da viga-navio:
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Figura 2 – Cargas estáticas, momento fletor e força cortante (MANSOUR, 2008).
Podemos notar através da figura 2 que a força cortante e o momento fletor da
embarcação são nulos nas extremidades, essa é considerada uma das grandes diferenças entre
as estruturas flutuantes e as estruturas convencionais civis que necessitam de fundações. O valor
zero nas extremidades é explicado pelo fato da embarcação funcionar como uma viga livre-
livre, ou seja, sem apoios pontuais, a reação contra as cargas estáticas externas de uma
embarcação é dada pelo próprio empuxo da água atuando de forma perpendicular ao corpo
submerso do navio.
Calculando os momentos e conhecendo a rigidez da viga navio, as tensões de flexão
podem ser determinadas basicamente por:
𝜎 =𝑀(𝑥)𝑦
𝐼=
𝑀(𝑥)
𝑊 (6)
Sabendo que Momento de inercia (𝐼) e módulo de resistência (𝑊), são parâmetros
puramente geométricos da seção transversal da embarcação, não dependendo do material que
constitui os elementos. Na norma BUREAU COLOMBO (2008), para participar da resistência
longitudinal deve ser um elemento longitudinal e ter o comprimento mínimo de forma a
contribuir com a resistência a flexão (no mínimo 0.4L centrado a meia-nau). Os elementos que
satisfazem estes requisitos são: chapeamento (fundo, convés e costado), longitudinais (fundo,
costado e convés), longarinas (sicordas) e quilha, além de anteparas longitudinais quando
possuírem o comprimento mínimo já mencionado.
3. TENSÕES NOS REFORÇADORES
Diferentes métodos podem sem empregados para o cálculo de tensões nos perfis leves
e pesados de um painel reforçado, entre eles podemos citar o método da viga simples, chapa
ortrotópica e o método dos elementos finitos. Para este trabalho será utilizado o método de viga
simples devido a praticidade e versatilidade durante a elaboração das planilhas com esse
método.
Para o cálculo por teoria de viga simples podemos considerar o seguinte procedimento
descrito por FREITAS (1979), o cálculo das tensões secundárias, nos perfis leves, supondo que
estes se apoiam sem recalque. Associa-se aos perfis uma certa largura de chapa, para funcionar
como um de seus flanges. Essa porção de chapa como se viu, denomina-se “chapa colaborante”.
Emprega-se a teoria simples de viga e faz-se adequadas hipóteses sobre as rotações nas
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extremidades de cada tramo da viga constituída do perfil mais sua chapa colaborante. Na figura
3 é possível observar a vista longitudinal de um painel reforçado contendo perfis longitudinais
que são interceptados por elementos transversais e possuindo nas extremidades duas anteparas
que promovem um engastamento sem recalque:
Figura 3 – Viga entre anteparas e ilustração dos deslocamentos.
A análise desta viga pode ser efetuada utilizando-se as equações do método dos
deslocamentos para estruturas indeslocáveis conforme as equações (7) e (8), encontradas em
LOPES e LOPES (2016).
𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑖𝑗𝐸 +
2𝐸𝐼
𝐿(2𝜃𝑖 + 𝜃𝑗) (7)
𝑀𝑗𝑖 = 𝑀𝑗𝑖𝐸 +
2𝐸𝐼
𝐿(𝜃𝑖 + 2𝜃𝑗) (8)
Como em todos os trechos da viga 𝜃 é igual a 0, teremos:
𝑀𝑖𝑗 = 𝑀𝑖𝑗𝐸 (9)
𝑀𝑗𝑖 = 𝑀𝑗𝑖𝐸 (10)
É possível notar com isso que as vigas com essas condições de contorno, possuindo
simetria de carga e espaçamento de apoios iguais se comportam como diversas vigas
engastadas. Por exemplo, a viga da figura 3, possui 3 apoios intermediários, ou seja, ela pode
ser simplificada para resoluções mais rápidas adotando um sistema formado por 4 vigas com
engastamento perfeito.
A determinação da chapa colaborante faz-se de forma gráfica, esse valor é dependente
do comprimento do vão da viga e do espaçamento entre perfis, com isso, chega-se em uma
largura efetiva de chapeamento que deve ser integrada ao perfil estrutural, possibilitando um
maior percentual de resistência do mesmo. O gráfico de determinação da chapa colaborante
pode ser encontrado no tópico 7.3 do estudo de caso, mais adiante.
4. TENSÕES NAS UNIDADES DE CHAPEAMENTO
A reposta terciária descreve a deflexão de uma placa e está associada a tensão individual
no chapeamento individual de um painel reforçado. O carregamento que age sobre o painel é
θ= 0º θ= 0º θ= 0º
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de forma normal, e os seus limites são formados por reforçadores secundários do painel do qual
o chapeamento faz parte (LEWIS, 1988).
As condições de contorno utilizadas para a unidade de chapeamento também são de
engastamento nos quatro lados da placa, devido a rotação nula nos apoios, como podemos ver
na figura 4:
Figura 4 - Rotação nula na unidade de chapeamento.
A tensão atuante em uma placa bi-engastada com essas condições de carregamento,
pode ser solucionada de forma gráfica, assim como será mostrado no tópico 7.4 do estudo de
caso.
Para a solução de forma gráfica devemos seguir a seguinte formulação:
𝜎 = 𝑘𝑝(𝑏
𝑡)2 (11)
Nesta equação, 𝜎 refere-se a tensão normal, 𝑘 é a constante que depende do gráfico, 𝑝
a pressão atuante, 𝑎 o lado curto da unidade de chapeamento e 𝑏 o lado longo da unidade de
chapeamento.
5. ESTUDO DE CASO
Para ilustrar a aplicabilidade do Excel®, é analisada a estrutura de uma embarcação tipo
balsa considerando as propriedades geométricas, de material, condições de contorno em
deslocamento e em cargas descritas abaixo:
7.1 Propriedades geométricas e de material
O material utilizado no estudo de caso é aço ASTM-A131 com um limite de escoamento
igual a 235 MPa, é assumido que o regime de trabalho do aço é linear elástico.
As propriedades geométricas relevantes para os cálculos propostos das tensões normais
críticas no fundo e no convés são as seguintes:
Figura 5 - Seção transversal da embarcação.
Painel Estrutural
Unidade de Chapeamento
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Tabela 1 - Geometria da embarcação
Dimensões da Embarcação
Comprimento 42 m
Boca 10 m
Pontal 2.2 m
Calado de Projeto 2 m
Espaçamentos do Painel Estrutural
Anteparas 10 m
Hastilhas 1.3 m
Longitudinais 0.49 m
Dimensões dos Elementos
Chapeamento 8 mm
Longitudinais 75x75x6.35 mm Secção 'L'
7.2 Condições de contorno em deslocamento e em força
As condições de contorno em deslocamento se referem aos graus de liberdade do
conjunto, logo dependem dos tipos de apoios que a estrutura apresenta, dessa forma, esses
parâmetros já foram estabelecidos nos tópicos 4, 5 e 6 do trabalho.
As cargas estáticas implementadas no estudo de caso são:
Tabela 2 - Condições de Carregamento
Carga Localização Magnitude (Mpa)
Pressão Hidrostática Fundo (0.1 – 41.6 m) 0.0200
Carga no Convés Convés (6.5 – 35.2 m) 0.0226
7.3 Resultado da tensão primária
O cálculo do momento fletor da viga navio foi realizado por integração numérica na
planilha, seguindo as formulações teóricas 3,4 e 5:
Figura 6 - Planilha de cálculo do momento fletor e força cortante.
A coluna B, foi elaborada retirando-se os valores das áreas seccionais molhadas do casco,
por exemplo, na célula B7 temos 5.323 m² de área da seção transversal a 2 m do início do casco,
com os valores de área obtemos a flutuação da coluna F que apresenta o empuxo por
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comprimento, como densidade da água doce equivale a 1 t/m³, os valores da coluna F são iguais
ao negativo da coluna B e são negativos devido a conversão de sentido.
O peso do casco foi dividido uniformemente em todo o comprimento e as cargas
aplicadas seguem a tabela 2. Para se obter os valores de carregamento da coluna G faz-se a
diferença entre o peso total e a flutuação. Por exemplo, a célula G7 é dada por = (E7+F7), onde
E7 vale = (C7+D7). A coluna I da figura 6 fornece os valores de momento em função do
comprimento, nela foi feito um contador que registra a integral a força cortante, por exemplo,
a célula I9 é dada por =I8+H9*(A9-A8). Observe que em cada interação é contabilizado o valor
anterior de momento, dessa forma, estamos calculando as áreas do gráfico de força cortante e
somando com a área calculada nas células anteriores. O mesmo procedimento explica os valores
encontrados de força cortante, só que neste caso faz-se a área sob a curva de carregamento f(x).
Figura 7 - Cálculo do módulo de seção e tensões primárias.
Em seguida, extraímos o valor máximo de momento fletor (no meio da viga-navio) e
calculamos o módulo de seção (Figura 7), que foi obtido a partir da determinação do conjunto
de inercias próprias e de transferência. Mais detalhes para o total entendimento podem ser
visualizados na figura que é inclusa de explicações das variáveis a serem preenchidas, com essa
tabela chega-se a inercia do conjunto e a partir disso observa-se que o módulo de seção no fundo
e no convés que são os mais críticos.
Com o cálculo das propriedades inerciais da seção transversal do sistema e obedecendo
a equação 6, temos nas células O18 (=98.0665*(O15/O12)) e O19 (=98.0665*(O15/O13)) os
valores de tensão primária longitudinal crítica no fundo e no convés, sendo que 98.0665 é o
fator de conversão de t.cm² para MPa.
7.4 Resultado de tensões secundárias
O resultado obtido no estudo de caso para os valores de tensão secundária nos elementos
longitudinais é mostrado na figura 8. Nela foi determinado o momento fletor (Mf), a chapa
colaborante (c), a linha neutra (Ln) e inercia da seção transversal (I Ln) do perfil considerando
a alma, aba e chapa colaborante.
Para a determinação da chapa colaborante deve ser digitado a equação polinomial
dependente de x (l1/B) que está escrita no gráfico anexado a figura 8 e multiplicar por B, por
exemplo, a célula I7 equivale ao polinómio dependente de E7 vezes a célula D7.
Com esses valores e através da equação (6) chegou-se nas tensões normais no fundo e
no convés, por exemplo, a célula M22 é dada por =H6/Q11 e assim foi determinado a tensão
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normal secundária na aba do perfil, sendo H6 igual ao momento máximo de engastamento
perfeito com a carga distribuída devido à pressão de carga do convés = (G6*(C6^2)) /12 e Q11
igual a = M11/ ((M6+M8) -M12). Mais informações das variáveis podem ser vistas da figura
8:
Figura 8 - Planilha de Cálculo da tensão nos elementos longitudinais.
7.5 Resultado da tensão terciária
Seguindo o que é mencionado no tópico 5 e com a equação 11 foi elaborada a planilha
de cálculo de tensões terciárias:
Figura 8 - Planilha de tensão terciária.
Os valores de a e b das colunas B e C são obtidos na tabela 1, sendo que a é o
espaçamento das hastilhas e o valor de b refere-se ao espaçamento dos perfis leves, dessa forma
foram delimitadas as medidas da unidade de chapeamento. Os valores de pressão da coluna E
são mostrados na tabela 2 das condições de carregamento. Para os valores de k da coluna G é
utilizado o gráfico anexado a imagem 8, que depende da razão a/b da coluna D.
7.5 Composição de tensões
Após a obtenção de todos os resultados acima é necessário realizar a composição de
tensões do sistema e assim é obtido os resultados mostrados na figura 9 que fornece a
distribuição de tensões de flexão em cada local e seus respectivos resultados máximos.
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Figura 9 - Composição de Tensões
Podemos notar que quando analisamos o chapeamento é realizado uma soma entre todas
as tensões calculadas, mas quando estamos afim de obter o valor total na aba de uma longarina
só somamos os valores da tensão primária e a secundária, isso se explica pela delimitação dada
a cada elemento, como foi dito antes a unidade de chapeamento é limitada pelas vigas e por
esse motivo seus resultados de tensão e deflexão não são adicionados as vigas.
6. CONSIDERAÇÕES FINAIS
Através do emprego de planilhas eletrônicas é possível demonstrar aos alunos como
encontrar as tensões longitudinais em estruturas navais, empregando formulações analíticas em
células do Excel ®. As vantagens de se utilizar estas ferramentas em relação aos procedimentos
manuais, incluem a redução de erros matemáticos, execução rápida de cálculos repetitivos e a
modificação dos dados de entrada de forma arbitrária, possibilitando a verificação das variações
de comportamento estrutural.
Acredita-se que com este trabalho, qualquer estudante de engenharia, principalmente os
alunos de Engenharia Naval da Universidade do Estado do Amazonas – U.E.A., serão capazes
de replicar as técnicas descritas no artigo em seus estudos de resistência estrutural, além disso
possibilitará uma noção mais aprimorada e como se comportam a estrutura global e as estruturas
locais de uma embarcação levando em conta técnicas básicas de mecânica dos sólidos.
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS
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Otimizado e Automatizado da Estrutura de Embarcações, 1996. 102p, il. Tese (Livre
Docência).
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CARDOSO, Ademar; UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO, Escola Politécnica. Síntese
Racional Automatizada de Cavernas de Embarcações, 1994. 102p, il. Dissertação
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GUEDES, Patrice London. Resistência Estrutural de Embarcações Fluviais. FATEC – JH,
2001.
FREITAS, Elcio de Sá. Análise Estrutural do Navio Vol. 2. São Paulo, 1979.
LEWIS, Edward V. Stability and Strength. Jersey U.S.A. 1988.
LOPES, A.P. Utilização de Planilhas Eletrônicas no Ensino do Método de Cross. Anais:
XXXIII – Congresso Brasileiro de Ensino de Engenharia. CAMPINA GRANDE: UFCG-
UFPE, 2005.
LOPES, R, C.; LOPES, A. P. Análise Estrutural – Método dos Deslocamentos. Manaus –
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MANSOUR, Alaa. Strength of Ships and Ocean Structures. Jersey U.S.A. 2008.
PADOVEZI, Carlos; UNIVERSIDADE DE SÃO PAULO, Escola Politécnica. Conceito de
embarcações adaptadas à via aplicado à navegação fluvial no Brasil. 2003. 215 p. Tese
(Doutorado).
CALCULATION OF THE LONGITUDINAL NORMAL TENSIONS ON
VESSELS USING SPREADSHEETS
Abstract: In order to assist the learning process of the theory of naval structures, the aim of
this article was the implementation of spreadsheets in the calculations of normal critical
longitudinal stresses on vessels. To solve the problem mentioned is used Microsoft Office
Excel® program in the preparation of spreadsheets that is a tool of great viability and of
fundamental importance in any educational institution. Such spreadsheets methodically
feature, formulations that allow students to compare results calculated of classic form with the
values shown in the spreadsheet. This type of teaching methodology is more difficult to work
with commercial software, due to its complexity, high costs and lack description of the methods
employed in the program. It carried out a case study in order to illustrate the applicability of
the program, assisting in the understanding of the subject. Considering these aspects, can be
obtained a great encouragement in learning content, time reduction in structural analysis and
the user also has the possibility to revise formulations and modify values of the input data in
an arbitrary manner, thus being possible verification of the structural behavior changes.
Key-words: Naval Structures, Normal Stresses, Spreadsheets
