Självständigt arbete II, 15 hp

Bråk i mellanstadiet

- hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån

delar och helhet i årskurs 4

Författare: Lars Magnusson

Handledare: Oduor Olande

Examinator: Constanta Olteanu

Datum: 2017-05

Kurskod: 4GN04E

Ämne: Matematik

Nivå: Avancerad nivå

1

Svensk titel

Bråk i mellanstadiet - hur lärare och läromedel presenterar bråkbegreppet utifrån delar

och helhet i årskurs 4

Fractions in middle school – how teachers and teaching aids present part-whole

fractions in grade 4

Abstrakt Bråktal visar sig i fler aundersökningar vara ett av de mest problematiska områden för

elever att lära. Flera forskare menar att detta beror på att bråktal inte är lika vanligt

förekommande i vardagssituationer längre. De är dock viktiga och de tidiga

prestationerna inom bråktal korrelerar med allmänna matematiska kunskaper senare i

skolåren. För att förvärva kunskaper inom bråkområdet är förståelse viktig och genom

att arbeta med begreppsförmågan kommer förståelse också att uppstå. Detta görs

inledningsvis genom att låta eleverna möta bråktal genom olika former och

representationsformer för att sedan slussa över dem till symboler. Genom att analysera

hur läraren presenterar bråkbegreppet i mellanstadiet och hur undervisningen planeras

utifrån läromedel och konkreta material kan förståelse skapas för varför bråktal visar sig

problematiskt för så många.

Nyckelord Bråk, del av helhet, helhet, undervisning, variationsteori

Populärvetenskaplig sammanfattning

Studien syftar att synliggöra hur lärare väljer att utforma sin matematikundervisning.

Undervisningen baseras på olika slags läromedel, bland annat lärobok och digitala

läromedel, samt lärarens egna planeringar med hjälp av bland annat konkret material.

För att ge möjlighet att utreda syftet undersöktes presenterade aspekter av bråktal med

inriktning på delar av helhet i undervisningen. Lärare observerades och intervjuades för

att synliggöra deras uppfattningar och läromedlet i form av lärobok analyserades för att

kunna klargöra dessa aspekter. Hur aspekterna presenterades låg även i fokus vid

undersökningen.

Studiens resultat tydliggör att aspekter är avgörande för bråktalens förståelse presenteras

i undervisningen av olika grad. Konkret material och olika former används för att skapa

förståelse för de komplicerade bråktalen speciellt inom delar av helhet. Lärarens

arbetssätt visar sig vara den vital för möjligheten till en god undervisning. Hur läraren

väljer att komplettera den bild av bråktal läromedlet presenterar är grunden för att

eleverna ska skapa goda kunskaper.

På grund av att lärarens centrala roll synliggörs i resultatet är det av yttersta vikt att

läraren undersöker alternativa vägar i sin undervisning, istället för att förlita sig på en

undervisningskälla. Digitala läromedel och konkret material bör ges plats i

undervisningen för att skapa motiverade och kunniga elever.

2

Tack Efter att ha lagt ner mycket tid och energi på studier under dessa fyra år finns det flera

nyckelpersoner att tacka, två av dem har varit viktigare än andra. Först vill jag tacka

min dotter Isa. Du har en förmåga att alltid få mig på bra humör och jag är stolt över att

få kalla mig för din pappa. Jag vill även tacka den person som har ställt upp för mig och

hela tiden fått mig att försöka bli lite bättre. Linn, tack för ditt stöd under dessa fyra år.

Utan dig hade det inte gått så bra som det gjort. Du får mig att prestera ännu bättre och

att ha dig i min närhet kommer att göra mig till en bättre lärare, men framförallt en

bättre person. Vi är en liten bit på vägen och det ska bli väldigt spännande att se vart vi

hamnar. Tack!

3

Innehållsförteckning

1. Inledning 4

2. Syfte 4 2.1 Frågeställning 4

3. Litteraturöversikt 5 3.1 Vad är bråk? 5 3.2. Bråktalens skepnader 5 3.3 Begrepps- och procedurförmåga 6 3.4 Bråktalens komplexitet 7 3.5 Missuppfattningar om det hela 7 3.6 Bråk i undervisning 9 3.7 Bråk i läromedel 10

4. Teoretisk ansats 11 4.1 Variationsteorin 11 4.2 Lärandeobjekt 12 4.3 Kritiska aspekter och kritiska drag 12 4.4 Variationsmönster 12

5. Metod 15 5.1 Metodologisk ansats 15 5.2 Genomförande 16

5.2.1 Läromedelsanalys 17 5.2.2 Intervju 17 5.2.3 Observation 18

5.3 Urval 19 5.4 Validitet och reliabilitet 19 5.6 Etiska principer 19

6. Resultat 20 6.1 Undervisningens utformning 20 6.2 Identifierade aspekter 20

7. Analys av empiri 24 7.1 Helhet 24 7.2 Lika stora delar 25 7.3 Täljare och nämnarens betydelse 26 7.4 Ekvivalenta uttryck 26 7.5 Bråktalens koppling till decimaltal och procent 27

8. Diskussion 27 8.1 Metoddiskussion 27

8.1.1 Läromedelsanalys 27 8.1.2 Intervju 28 8.1.3 Observation 28

8.2 Resultatdiskussion 28 8.3 Slutord och förslag till framtida studier 30 8.4 Slutsats 30

Bilagor 35 Bilaga 1 - Observationsschema 35

4

1. Inledning Idag tar bråktal inte lika stor plats i vardagen till skillnad mot tidigare (Kilborn, 2014).

De förekommer dock i gymnasiematematiken vilken de flesta av dagens elever läser.

Tonas vikten av bråk ner i grundskolan resulterar det därmed i att elevernas möjligheter

till utbildning försämras (Kilborn, 2014). Skolverket (2016:64) skriver i läroplanens

centrala innehåll att eleverna fram till årskurs 6 ska ha arbetat med tal i bråkform och

hur de förekommer i vardagliga situationer, rationella tal och deras egenskaper samt att

jämföra tal i bråkform, decimalform och procent. Bråk är därmed en betydande del i

läroplanens (Skolverket, 2016) centrala innehåll men berörs även i dess syfte i form av

att eleverna ska ”ges förutsättningar att utveckla förtrogenhet med grundläggande

matematiska begrepp och metoder och deras användbarhet” (Skolverket, 2016:62).

Internationella undersökningar som TIMSS (Mullis, 2008) och PISA visar bristande

bråkkunskaper hos svenska elever. Charalambous och Pitta-Pantazi (2007) skriver att

bråktal till och med är ett av de mest problematiska delarna av matematiken, historiskt

sett. Problem visar sig både i grundskolan och gymnasiet vilket indikerar dess

omfattning. Eftersom 90 % av eleverna i de svenska skolorna har en undervisning

vilken baseras på ett läromedel utgör dess presentation av bråkbegreppet en viktig del

till elevernas förståelse (Mullis, 2008).

När jag har talat med matematiklärare om problematiska matematiska begrepp nämner

de flesta bråk. Vid observationer av lärare under deras matematikundervisning har det

även varit tydligt att de baserat stor del av sin undervisning med hjälp av ett eller flera

läromedel, oftast i form av en lärobok. Vissa lärare undersöker sedan vilka aspekter

läromedlen presenterar för att kunna planera sin undervisning utifrån upptäckerna.

Lärarnas medvetenhet kring elevernas svårigheter inom bråk gör att de reflekterar över

sin undervisning för att ge eleverna bästa möjliga förutsättningar att skapa förståelse.

Elevers matematiska bråkprestationer under de tidiga skolåren korrelerar med elevernas

allmänna matematiska prestationer under senare år (Lortie-Forgues, Tian & Siegler,

2015; Torbeyns, Schneider, Xin & Siegler, 2014). Inlärning av algebra försvåras även

om bråkkunskaper saknas vilket är avgörande för att klara av matematik senare under

skolgången. För att kunna förstå ekonomi men även andra viktiga delar i samhället, som

tidningar, behövs grundläggande bråkkunskaper (Lortie-Forgues m.fl., 2015).

Bråktalens betydelse är därmed omfattande, inte bara för möjligheten till god och jämlik

utbildning (Kilborn 2014), det är också en förutsättning för att kunna fatta beslut i

vardagen avgörande för vårt samhälle.

2. Syfte Studiens mål är att synliggöra hur matematikundervisningen utförs i årskurs 4 på en

skola i sydöstra Sverige. Syftet med studien är att undersöka hur lärare väljer att

presentera bråkbegreppet med hjälp av läromedel samt hur lärarens undervisning

stimulerar elevernas förståelse av bråkbegreppet med fokus på delar och helhet.

2.1 Frågeställning

Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras i läromedlet för årskurs 4-

elever?

5

Vilka aspekter av bråkbegreppets delar och helhet presenteras av läraren för elever i

årskurs 4?

Hur presenterar lärare bråkbegreppets delar och helhet för elever i årskurs 4?

3. Litteraturöversikt I det här kapitlet presenteras tidigare forskning kring bråktal. Först kommer bråk i

allmänhet presenteras tillsammans med dess bakgrund. Olika skepnader av bråk

kommer att belysas i form av del av helhet, del av antal, bråk som tal, förhållande och

skala. Vanliga missuppfattningar inom bråk kommer att redogöras för samt hur lärare

bör arbeta med bråk för att vägleda elever mot förståelse av de komplicerade bråktalen.

Till sist kommer läromedels uppbyggnad att presenteras eftersom en läromedelsanalys

genomförs i studien.

3.1 Vad är bråk?

Bråktal uttrycker andelar av ett antal eller en mängd och består av en till synes

ofullständig division (utan kvot) av två naturliga tal (McIntosh, 2009). Det övre talet

kallas täljare, det undre nämnare och skiljs åt med ett bråkstreck (1

2). Ordet nämnare

beskriver bråktalets andelars beteckning, vilket kan vara sjättedelar om helheten är

delad i sex delar. Ordet täljare härstammar från ordet tälja och är ett gammalt svenskt

uttryck för berätta eller att räkna antal (McIntosh, 2009). Täljaren beskriver antal delar

av nämnaren. Bråktals fördel mot decimal- och procenttal är att de kan uttrycka exakta

kvoter medan till exempel decimaltal inte alltid kan det (McIntosh, 2009). Dess

samband med procent och decimaltal gör bråktal viktiga trots att bråktal sällan används

i dagens samhälle (McIntosh, 2009).

3.2. Bråktalens skepnader

Karlsson och Kilborn (2015b) skriver att bråktal presenteras genom olika skepnader.

Del av helhet, del av antal, tal på en tallinje, förhållande samt skala nämns som

exempel. Skolans vanligast förekommande skepnader är del av helhet, del av antal samt

relation (Häggblom, 2012). Karlsson och Kilborn (2015a) skriver också att del av helhet

och del av antal är central i undervisningen men att bråk som tal försakas.

Del av helhet

Häggblom (2012) skriver att del av helhet är det vanligast förekommande avsnittet av

bråk i skolans läromedel. För att skapa förståelse för del av helhet ska helheten vara

tydligt avgränsad samt varieras i storlek och form. Häggblom (2012) betonar även att

delarna initialt ska vara av samma storlek när de presenteras för eleverna.

Del av antal

Till skillnad från del av helhet består del av antal av flera indelade objekt (Häggblom,

2012). Svårigheter att skilja mellan del och antal sker ofta och är ett hinder för

förståelse. Om fyra kuber presenteras och tre är färgade, är antalet färgade kuber tre.

Andelen färgade kuber är 3

4. Med del av antal är det viktigt att konkretisera

räkneoperationer på flera olika sätt och uttrycksformer. Del av antal kan också användas

med hjälp av likadelning. När 6 delar delas in i till exempel grupper med 2 eller 3 delar

med lika många i varje del är exempel på likadelning. Häggblom (2012) skriver att när

6

barnen arbetar på detta sätt uppfattar de talens del och kopplas ihop med multiplikation,

vilket förenklar arbetet med svårare bråktal.

Bråk som tal

En position mellan två heltal kan beskrivas genom bråk som tal (McIntosh, 2009).

Karlsson och Kilborn (2015b) betonar att bråk som tal är den viktigaste aspekten av

bråk. För att beskriva bråk som tal kan tallinjen användas. Talen konkretiseras och

underlättar för eleverna att skapa förståelse för talens storlek. Det är avgörande för

många elever som visar på okunskap om att det finns tal mellan exempelvis 1

2 och

1

3

(Karlsson & Kilborn, 2015a).

Förhållande

Lamon (2012) beskriver förhållande som en jämförelse mellan två olika mängder. De

kan jämföras mellan olika delar eller delar och helhet. Om en äggkartong med 12 ägg

innehåller 5 bruna och 7 vita ägg kan förhållandet beskrivas som 5:7 (bruna:vita), vid

jämförelse mellan antal. Vid jämförelse mellan antal och helheten beskrivs det genom

5:12 bruna ägg.

Skala

När en figur återges identiskt i annan storlek används skala (Karlsson & Kilborn, 2014).

Om avbilden är 2 m och orginalet är 1 m är skalan 2:1. När den vänstra siffran är högst

är avbildningen en förstoring och när den är lägst är det en förminskning. Karlsson och

Kilborn (2014) skriver att barn tidigt skaffar sig en förståelse för skala och att de kan

förbättra den genom att initialt avbilda figurer med skala 2:1 på rutat papper.

3.3 Begrepps- och procedurförmåga

Svårigheterna med att lära bråktal kan ske av olika anledningar. Gabriel m.fl (2012)

skriver att undervisning kan delas in i begrepps- och procedurförmåga för att undersöka

vilka kunskaper elever förvärvar i skolan.

I Gabriels m.fl. (2012) studie arbetar en grupp med ordinarie undervisning, även kallad

kontrollgrupp, och den andra med experimentell undervisning genom fem olika

kortspel. Det visar sig att den experimentella gruppen förbättrar sig mer över lag men att

kontrollgruppen förvärvar bättre procedurförmåga. Kontrollgruppen ökade dock inte sin

begreppsförmåga och den förvärvade procedurförmågan var mekaniskt inlärd (Gabriel

m.fl., 2012).

Begreppsförmåga

Med begreppsförmåga innefattas explicit och implicit förståelse av bråktalens

beståndsdelar samt vetskapen om att bråktal kan ha samma värde, förståelse för

täljarens och nämnarens betydelse samt förståelsen för bråktalens storlek (Gabriel m.fl,

2012). Aksu (1997) beskriver begreppsförmågan som förståelsen för hur begreppen är

kopplade till andra matematiska idéer och begrepp.

Procedurförmåga

Procedurförmågan kan däremot ses som i vilken följd matematiska problem löses

(Gabriel m.fl., 2012). Gabriel m.fl. (2012) skriver även att andra forskare tolkar

procedurförmågan som kunskaper om symboler, algoritmer och regler. Att veta att

7

täljarna adderas vid addition med samma nämnare är ett typiskt exempel på

procedurförmåga (Gabriel m.fl., 2012). För att kunna anskaffa en god procedurförmåga

är en god begreppsförmåga avgörande. En studie av Byrnes och Wasik (1991) med

årskurs 5-elever visar att när eleverna får arbeta med sin procedurförmåga så

förbättrades enbart den. När begreppsförmågan fokuserades i undervisningen

resulterade det däremot i att även procedurförmågan förbättrades (Perry, 1991). I vissa

aspekter av bråk behöver dock procedurförmågan inövas för att lösa uppgifter. Vid

addition och subtraktion med olika nämnare, behöver eleverna lära sig mer

metodkunskap för att kunna lösa problemet (Gabriel m.fl., 2012).

3.4 Bråktalens komplexitet

Bråktal uppfattas ofta som komplicerade och svårlärda. Enligt Torbeyns m.fl. (2014) är

bråktalens uppbyggnad ett problem eftersom bråktal kan ses som en division av två

heltal fast utan kvot. Multipliceras 6 med 1/2 är det 3, produkten blir därmed inte större.

En annan komplicerad aspekt är att reglerna skiljer sig vid multiplikation och division

mot naturliga tal. Heltal blir större eller oförändrade vid multiplikation men med bråktal

sker det inte alltid (Torbeyns m.fl., 2014). Ofta missar lärare att få eleverna att skapa

förståelse för vad bråktalen innebär innan de används i beräkningar (Aksu, 1997).

Därmed skriver brister den tidigare nämnda begreppsförmågan (Gabriel m.fl., 2012).

Gabriel, Coche, Szucs, Carette, Rey och Content (2012) skriver att bråktal är ett av de

svåraste matematiska avsnitten i grundskolan. Problematiken kan bland annat bero på

att användandet av tal i bråkform har minskat i vardagslivet (Karlsson & Kilborn,

2015a; Kilborn, 2014; McIntosh, 2009). Eftersom procent utgår ifrån bråktal betonar

Karlsson och Kilborn (2015a) vikten av kunskaper inom tal i bråkform samt att både

proportionalitet och förhållande är viktiga inom vardagslivet. Enligt läroplanen

(Skolverket, 2016) ska eleverna vid ett flertal tillfällen bekanta sig med bråk genom det

centrala innehållet mellan årskurs 1-6. Både delar av helhet samt samband mellan tal i

bråkform, decimalform och procent nämns. Skolverket (2016) betonar även vikten av

att använda matematiken för att samtala, argumentera och diskutera, vilket visar ett

behov av matematiska begrepp.

Elevernas bråkkunskaper korrelerar med deras allmänna matematiska prestation längre

fram i skolgången (Lortie-Forgues m.fl., 2015; Torbeyns m.fl., 2014). Det beror på att

bråktal kräver en djupare matematisk förståelse än andra matematiska innehåll. Vissa,

annars självklara, matematiska regler gäller inte alltid vid bråkräkning (Torbeyns m.fl.,

2014). Siegler, Givvin och Thompson (2010) skriver att goda kunskaper inom bråktal

för amerikanska årskurs 5-elever även korrelerar med allmänt goda kunskaper i årskurs

10. Bristande kunskaper inom bråktal är även en av två hindrande faktorer vid

algebrainlärning (Lottie-Forgues m.fl., 2015). Betydelsen av bråktal stannar inte bara

inom matematiken utan är också viktig inom ekonomi, ämnen där matematik i

allmänhet inte är en avgörande faktor och för att kunna tolka information i tidningar

(Lortie-Forgues m.fl., 2015).

3.5 Missuppfattningar om det hela

Att regler för heltal inte är direkt överförbara till bråktal är en av anledningarna till

bråktalens komplexitet (Lamon, 2012; Torbeyns m.fl., 2014). När helheten introduceras

i de tidiga skolåren presenteras det hela alltid som 1 vilket resulterar i missuppfattningar

8

längre fram i undervisningen (Lamon, 2012). Det hela kan representeras av både fler, i

form av ett antal sammansatta objekt, eller färre, i form av ett redan delat objekt. Ett 6-

pack med läsk kan både representera det hela, men också 6 stycken burkar läsk. Lamon

(2012) skriver att det avgörande är att det hela klargörs och att delarna av helheten är av

samma storlek eftersom de annars inte är jämförbara. En annan möjlig missuppfattning

vid inlärning av bråk är att en tredjedel av helheten kan vara lika mycket som en halv av

någon annan helhet (Lamon, 2012) (figur 1).

= 1 enhet = 1 enhet

= 1/2 enhet = 1/2 enhet

= 1/3 enhet

Figur 1 – jämförelse av delar av helhet.

Wentworth och Monroe (1995) skriver likt Lamon (2012) om svårigheterna att definiera

begreppet det hela inom bråk. Anledningen till problemen är ofta lärares

representationer av det hela hämmar elevers förståelse. I studien beskrivs tre exempel

på missförstånd. Det första beskrivs genom en studie av Maher och Davis (1990) där en

lärare delar upp två pizzor i tolv delar var och att sju elever tar en del från varje pizza,

alltså två sammanlagt. Läraren kopplar ihop det hela som 12 delar när det hela av två

pizzor är 24 delar. När läraren adderar de ätna delarna blir de 14

12 vilket då anses omöjligt

eftersom mer än allt därmed måste vara uppätet.

Det andra är när en lärare använder äggkartonger för att presentera 1

5. Läraren klipper

först ut en enhet med fem delar av en äggkartong. Sedan klipps en ensam del ut för att

representera 1/5. Denna enhet läggs över enheten med 5 delar (Wentworth & Monroe,

1995). När läraren sedan ombes förklara 1

3 används samma ensamma kartongbit som

tidigare använts för 1

5 och sätts på en kartong med 3 delar. Wentworth och Monroe

(1995) skriver att elevens bild av bråktalen resulterar i att de tror att 1

3 och

1

5 är lika stora.

Det tredje exemplet handlar om multiplikation med bråktal. Eleverna ombads

multiplicera 1

3 med

1

5 och

1

4 med

1

6 på ett rutigt papper. Multiplikationernas helheter är

olika men dess del av helheten blir lika stora på grund av det rutade pappret (Wentworth

& Monroe, 1995). Forskarna (Wentworth & Monroe, 1995) skriver även att antalet fel

på denna uppgift korrelerar med användandet av rutigt papper.

Samtliga exempel visar vikten av att tydliggöra det hela för att kunna skapa en

förståelse för bråk (McIntosh, 2009; Wentworth & Monroe, 1995). Wentworth och

Monroe (1995) betonar att presenterade uppgifter ska vara väl genomtänkta och att

materialen har stor betydelse för elevernas lärande. Genom att inledningsvis ha det hela

9

konstant skriver Wentworth och Monroe (1995) att förståelse skapas och att det sedan

kan varieras när förståelsen infunnit sig.

3.6 Bråk i undervisning

Häggblom (2012) skriver att cirklar och rektanglar ofta representerar helheter på grund

av dess olika fördelar. Cirklar kan tydligt delas in i 1

2,

1

4 och

1

8 men uppger svårigheter

vid indelning av vissa andra bråk. Rektanglar kan fördelaktigt användas vid operationer

av bråktal samt i form av chokladkakemodellen när rektangeln delas upp både på bredd

och längd (Häggblom, 2012). Häggblom (2012) betonar vikten av att variera

representationen av bråktal varav fem sätt nämns:

Symboler kan användas för att skriva tre fjärdedelar (3

4).

Konkret material genom en flanotavla med cirkelform.

Verkligt material i form av till exempel en cirkelformad tårta.

Språk genom ”tre fjärdedelar”.

Rita egna figurer.

Karlsson och Kilborn (2015a) beskriver även likadelning som en metod att förklara del

av helhet. Likadelning innebär att när en helhet delas i två delar blir den ena delen en

halv. Delarna kan med fördel skrivas ut med bokstäver för att signalera att de är enheter

(Karlsson & Kilborn. 2015a).

Clarke, Roche och Mitchell (2006) skriver att australiensiska elever i årskurs sex har

stora problem med att urskilja helheten. När uppgifter visar en bild av exempelvis 2

3 av

helheten och eleverna ska rita den visar det sig vara problematiskt. Studien tydliggör

också elevernas svårigheter att benämna enskilda andelar när helheten är indelad i både

fjärde- och sjättedelar (Clarke m.fl, 2006). Clarke m.fl. (2006) fortsätter att poängtera

vikten av att låta elever möta uppgifter där helheten delas in i olika stora delar och

former. Öppnas elevernas tankar om bråk upp och missförstånd synliggörs sker lärande

(Clarke m.fl., 2006).

McIntosh (2009) beskriver fem avgörande aspekter för att skapa förståelse för bråktal.

Dessa är överförbara till delar av helhet vilket är studiens fokus. Det första är att

samtliga delar ska vara av samma storlek för att beräknas som bråkdelar. Det andra är

att eleverna måste förstå att nämnaren visar antalet delar helheten delats i. Det tredje att

om täljarna är identiska medan nämnaren skiljer sig så är talet mindre om nämnaren är

större. Det fjärde skriver McIntosh (2009) är att täljaren visar antalet delar av helheten.

Till sista nämner McIntosh (2009) ekvivalenta uttryck vilket innebär att flera

bråkuttryck kan representera samma tal. Om elever har förståelse för dessa fem

bråkaspekter har de möjligheten att bemästra bråkbegreppet.

För att ge elever möjligheter att förstå och sedan lösa problem kan uppgifterna med

fördel kontextualiseras (Hodges, Cady & Collins, 2008). Kontextualisera betyder att

problemet bemöts utifrån sitt sammanhang. Genom kontexten kan problemet förstås och

sedan tolkas med hjälp av olika representationsformer. När tolkningen sker från ett

vardagsexempel till andra representationsformer har de en bättre chans att bygga på sin

redan befintliga kunskap med nya tankar skriver Hodges m.fl. (2008). Är eleverna

10

ovana vid tolkningen genom läromedel och undervisning blir problemet komplicerat

och lösningsfrekvensen låg.

Genom att uppmana eleverna att använda och värdera representationsformernas för- och

nackdelar kan läraren hjälpa eleverna till förståelse. Läraren kan vid lektionerna även

uppmana till lösningar baserade på flera olika representationsformer skriver Hodges

m.fl. (2008). En uppgift kan med fördel lösas genom symboler och med ritad figur till

en början. När eleven sedan kommit fram till en lösning kan eleven beskriva med ord

hur den löste uppgiften. Uppgifterna ska utgå utifrån en för eleverna välbekant kontext

för att senare låta eleverna lösa uppgifter längre ifrån deras egna föreställningsvärld.

Laborativa material

Laborativa material hjälper elever att förstå komplicerade och abstrakta objekt (Hodges

m.fl., 2008). När begreppen introduceras bör laborativa material användas. De

laborativa materialen vara inköpta av skolan eller skapas av lärar och elever. De

egengjorda kan till exempel skapas med hjälp av vanligt A4-papper. När bråkförståelsen

infunnit sig kan de sedan gå över till att använda ritade bilder för att till sist förlita sig

på symboler. Cusinaire-stavar och mönstrade block är exempel på laborativa material

lämpade för bråkinlärning (Hodges m.fl., 2008). Cusinaire-stavar är olikfärgade stavar i

varierade längder vilka kan representera bråktal.

Även Cramer, Post och DelMas (2002) skriver om laborativa materials fördelar, även i

sjätte klass. De tycker att elever sällan får koppla laborativt material med bråktal i

undervisningen (Cramer m.fl., 2002). Gabriel m.fl. (2012) och Hodges m.fl. (2008)

skriver i sina studier att bråktal ska introduceras tillsammans med konkret material för

att sedan gå över till mer abstrakta symboler. Det konkreta materialet, i detta fallet

trästavar, synliggjorde helheten. Eleverna utvecklade även en trygghet i att det vid

addition av bråktal kan bli mer än helheten, eller 1. Inte bara att bråktalen konkretiseras,

elevernas motivation att lära stärks också genom att eleverna deltar i läroprocessen

(Gabriel m.fl., 2012).

3.7 Bråk i läromedel

Läromedlets, i de flesta fall i form av en lärobok, upplägg påverkar lärarens

undervisning på flera olika sätt (Alajmi, 2012). Alajmi (2012) nämner att till exempel

att läxor, matematiska avsnitt och lärarens metodik påverkas. Ländernas läroplaner visar

sig i läromedlen skriver Charalambos, Delaney, Hsu och Mesa (2010) och det går även

att se om länderna förespråkar begrepps- eller procedurförmåga. I läromedlen tas bråktal

ofta upp i andra klass genom att storleksordna och namnge bråktal trots att de inte har

någon förståelse för bråktalens innebörd skriver Bezuk och Kramer (1989). För att

skapa förståelse behöver den tidigare nämnda begreppsförmågan stimuleras initialt.

I studien undersöker Alajmi (2012) hög- (Japan), medel- (USA) och lågpresterande

(Kuwait) länders läromedel. Skillnaden i deras prestationer utgår ifrån TIMSS (Mullis,

2008). De analyserade läromedlen är ifrån mellan årskurs 1-5. Alajmi (2012) hänvisar

till undersökningar av bland annat Flanders (1987) där mycket ny matematisk

information presenteras i amerikanska läromedel under de tidiga åldrarna. Mycket

repetition sker därmed för äldre elever. Anledningen till den vanligt förekommande

repetitionen kan vara att bråktal introduceras redan i första klass i USA och Kuwait. För

11

lite fokus ligger på förståelse i läromedlen skriver Alajmi (2012) och fortsätter att

förklara att andelen uppgifter där förklaringar krävs är betydligt färre än symboler.

Bråkkapitlens placering hindrar även inlärningen eftersom de vid flera tillfällen ligger i

läromedlets slut. Det resulterar i att det inte tar samma plats (Alajmi, 2012).

Det finns även stora skillnader mellan ländernas läromedel i uppgiftskonstruktionen

skriver Alajmi (2012). Japanska läromedel skilde sig tydligt ifrån amerikanska och

kuwaitiska läromedel i flera aspekter, framförallt att flera uppgifter baserades på

verkliga händelser. Genom att basera uppgifterna på verkliga scenarion ser eleverna

nyttan med kunskaperna (Alajmi, 2012). Charalambos m.fl. (2010) skriver att även

uppgifterna i cypriotiska, taiwanesiska och irländska textböcker skiljer sig. De

cypriotiska och irländska läromedlen har få kognitivt krävande uppgifter, vilket

stimulerar metodförmågan. De taiwanesiska läromedeln innehåller flera, vilket snarare

stimulerar begreppsförmågan. Av läromedlens matematiska avsnitt var delar av helhet

den mest framträdande aspekten av bråk i de cypriotiska och irländska läromedlen trots

att det tog lite plats i de taiwanesiska läromedlen (Charalambos m.fl., 2010).

Hodges m.fl. (2008) har undersökt hur Häggbloms (2012) fem olika

representationsformer används i tre amerikanska matematiska läromedel. Studien visade

att bråkavsnittet i de tre läromedlen skiljer sig mycket från varandra. Två av läromedlen,

Thematics och Glencoe, använder symboler i fler än åtta fall av tio medan det tredje,

CMP, har en bred variation av representationsformer (Hodges m.fl., 2008). CMP

använder symboler vid hälften av uppgifterna men även textform, bilder och

vardagsexempel i var fjärde uppgift. Thematics och Glencoes, vilka har stor

koncentration vid representationsformen symboler, upplägg gör att undervisningen

behöver kompletteras med ytterligare representationsformer för att ge eleverna

möjlighet att lära (Hodges m.fl., 2008). Hodges m.fl. (2008) antar att anledningen till

den höga koncentrationen symboler kan bero på att läromedlens författare förespråkar

abstrakt tänkande. Elever med redan utvecklad förståelse har god möjlighet att lösa

abstrakta uppgifter medan elever vilka är på väg att bygga en förståelse är i behov

bråktal ur fler aspekter. Hodges m.fl. (2008) fortsätter att poängtera att om lärare enbart

går efter läromedlet skapas elever med skilda kunskaper.

4. Teoretisk ansats I det här kapitlet kommer variationsteorin presenteras, eftersom den ligger till grund för

analysen av studiens empiri. Lärandeobjekt, aspekter och drag samt de olika

variationsmönstren är bärande begrepp och kommer att klargöras nedan.

4.1 Variationsteorin

Variationsteorins grund är att urskilja skillnader inom lärande för att skapa

lärandeförutsättningar (Runesson, 2006). Fenomenet som ska läras undersöks och

presenteras utifrån dess egenskaper och förståelsen skapas genom att egenskaperna

varieras. Genom variationen förstår eleven fenomenet utifrån flera håll, vilket gör att

förståelsen fördjupas (Runesson, 2006). Guo och Pang (2011) skriver att lärande inte

kan ske utan variation. En grundläggande förutsättning för lärande i variationsteorin är

att något alltid lärs in, vilket kallas lärandeobjekt (Lo, 2012; Marton & Booth, 2000;

Marton, 2014). Förståelse för lärandeobjektet sker genom att dess egenskaper

tydliggörs. Lärandeobjektets egenskaper kallas inom variationteorin aspekter. De bör

12

visas ur olika synviklar för att ges möjlighet att förstås (Lo, 2012; Marton, 2014). Dessa

synvinklar kallas för variationsmönster (Lo, 2012; Olteanu, 2016; Olteanu & Fors,

2013; Olteanu & Olteanu, 2012).

4.2 Lärandeobjekt

Lärandeobjektet syftar på det eleverna lär sig i undervisningen (Lo, 2012).

Lärandeobjektet är inte alltid det läraren vill att eleven ska lära sig, utan det skiljer sig

mellan elever. Det är lärarens uppgift att undersöka vilket lärandeobjektet är för varje

elev (Marton & Booth, 1997). Marton (2014) skriver att det kan preciseras i tre

aspekter, i form av innehåll, undervisningens lärandemål och i form av kritiska aspekter.

Lärandeobjekt och lärandemål blandas lätt ihop (Lo, 2012). Lärandemål kan vara att

använda bråktal i problemlösning, medan lärandeobjektet är att eleverna först ska

benämna täljare och nämnare.

Skolors fokus går alltmer mot bedömning till följd av att lärandemål för skolorna uttalas

(Lo, 2012). Lärandemålen kan till exempel utvärderas vid nationella prov. Skiftar fokus

mot lärandemål minskar fokus på skolans uppdrag, lärande (Lo, 2012). Lärandemålen

ska utvärdera undervisningen för att utveckla den, inte för att lärande ska hamna i

perifirin. Lärandeobjektet inriktar sig, till skillnad från lärandemålet, på lärandets start

(Lo, 2012). Om bråktal ska användas vid problemlösning (lärandemål) behöver eleven

först behärska nämnarens innebörd (lärandeobjektet) innan det är möjligt. Under tiden

eleverna arbetar med lärandeobjektet skiftar det form, vilket visar lärandeobjektets

dynamiska karaktär. Om läraren inte håller lärandeobjektet dynamiskt inför sina elever

resulterar det i att eleverna inte ges möjlighet att lära. Både elever och lärare förstärker

sina kunskaper om lärandeobjektet om det diskuteras emellan dem skriver Lo (2012).

4.3 Kritiska aspekter och kritiska drag

Ett lärandeobjekt kan ses utifrån olika synsätt och utifrån medvetandegjord aspekt är

bilden av lärandeobjektet olika (Lo, 2012). Aspekterna delas in i icke-kritiska eller

kritiska, beroende på om de försvårar elevens förståelse för fenomenet eller inte (Guo &

Pang, 2011; Lo, 2012; Marton, 2014). Marton (2014) skriver att aspekter är en

dimension av variation av lärandeobjektet och drag är ett värde av aspekten. Om ett

bråktal är lärandeobjektet kan helhet vara en aspekt av bråktalet och draget 2

2.

Aspekter eleverna inte är medvetna om är därmed kritiska för dem. Sambandet mellan

två aspekter kan även hindra förståelsen för lärandeobjektet (Marton, 2014). För att få

elever att lära sig behöver de urskilja aspekterna med lärarens stöd. För att läraren ska

lyckas med detta är det avgörande att läraren förutser lärandeobjektets potentiella

kritiska aspekter (Marton, 2014). De kritiska aspekterna är olika beroende på

lärandeobjekt och elever på grund av deras olika erfarenheter. Enda sättet att urskilja

dem är att undersöka elevgruppens förståelse (Marton, 2014).

4.4 Variationsmönster

Ett nödvändigt villkor för lärande är att ett lärandeobjekts drag varieras för att göra

dragen möjliga att urskilja (Lo, 2012). Det kan vara drag som tidigare tagits för givet

och plötsligt genom variationen blivit synligt eller när en individ bekantar sig med ett

13

nytt lärandeobjekt med nya kritiska drag. Olteanu och Olteanu (2012) skriver att vi

behöver erfara en skillnad från våra tidigare erfarenhet för att den ska tydliggöras. För

att möjliggöra lärande behöver undervisningen tillgängliggöra variationen, samtidigt

som eleverna måste vara mottagliga för den. Både Lo (2012) och Marton (2014) betonar

att lärarens uppdrag att se till att eleverna kan urskilja variationen både genom att de ges

möjlighet att upptäcka den själv, men också genom vägledning av läraren.

Variation i undervisning

Lo (2012) skriver att för mycket undervisning baseras på likheter istället för skillnader.

Studier har visat att undervisning baserad på variation ger mer omfattande effekt på

lärande än den utan variation (Runesson, 2005). Variation bör inte blandas ihop med

varierande undervisningsmetoder skriver Lo (2012). För att lärande ska ske behövs inte

bara variation utan även rätt undervisningsstrategier och metoder (Lo, 2012). En sådan

undervisningsmetod skulle kunna vara att läraren låter eleverna urskilja vad som inte är

det som ska läras in, så att eleverna lär sig var fokus inte är på. För att även kunna

urskilja ett enskilt drag behövs draget urskiljas i en variation skriver Lo (2012). När

aspekten tal undervisas kan draget bråktal visas. Om inte naturliga tal presenteras och

urskiljs kan kan uppfattningen vara att alla tal är bråktal. Visas flera olika bråktal istället

är det inte möjligt att urskilja variationen av tal, utan istället variationen av bråktal (Lo,

2012).

Urskiljning, variation och samtidighet ser Lo (2012) därmed som essentiellt för lärande.

För att lära något måste det kunna urskiljas. För att underlätta den möjligheten bör

variationen av lärandeobjektet presenteras samtidigt. Marton (2014) exemplifierar en

bild av ett soligt sommarlandskap. Visas det soliga landskapet på vintern istället är det

stor sannolikhet att skillnaderna uppfattas. Variation av aspekter och drag kan ske på

olika sätt. Lo (2012) exemplifierar kontrast, separation, generalisering och fusion.

Variationsmönstret similaritet, vilket skulle kunna jämföras med de likheter Lo (2012)

beskriver, är ett ytterligare exempel på variationsmönster (Olteanu, 2016, Olteanu &

Olteanu, 2012; Olteanu & Fors, 2013).

Kontrast

Den minsta formen av variation är när två aspekter varieras respektive lämnas konstant

vilket kan ske genom kontrast (Marton, 2014). Vid kontrast erbjuds en variation av

lärandeobjektets aspekt (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012). När ett drag varieras ställs

dragen i kontrast med varandra (Lo, 2012). Guo och Pang (2011) skriver att en liknelse

sker mellan två värden av aspekten. Marton (2014) ser det som att eleven blir medveten

om en tidigare okänd aspekt. En viktig förutsättning för möjligheten att urskilja

kontrasten mellan dragen är att båda dragen upplevs samtidigt, alltså enligt samtidighet

(Lo, 2012). Lo (2012) jämför kontrastering med ”finn-fem-fel”- bilder där två bilder

med ett antal små skillnader jämförs bredvid varandra. Om de istället inte hade gått att

se samtidigt hade skillnaderna blivit svårare att uppfatta. Bråktal kan till exempel

kontrasteras genom att helheten först visas i form av en cirkel för att sedan visas som en

rektangel. Lo (2012) skriver att ett tecken på skickliga lärare är att de ofta förlitar sig på

kontrastering som metod.

Lo (2012) skriver att kontrastering även kan ske med uppfattningar genom att

kontrastera en individs tidigare uppfattningar mot nya. För att det ska kunna ske måste

den nya faktan jämföras mot den tidigare, annars förträngs de nya kunskaperna (Lo,

14

2012). Vissa elever behöver ingen lärare för att göra det vilket är en anledning till att de

lär sig mer och andra mindre skriver Lo (2012).

Separation

En förutsättning för separation är att kontrast tidigare skett (Lo, 2012). Om ett bråktals

aspekts representationsform varieras genom att visa upp det både som en cirkel och en

rektangel har aspekten form separerats från lärandeobjektet bråktal. Innan

representationsformen varierades genom kontrast var representationsformen inte synlig

eftersom den tidigare ansågs vara en självklarhet för lärandeobjektet (Lo, 2012). När

den separerats ifrån lärandeobjektet genom att flera drag av aspekten tydliggjorts kan

eleven se värdet skilt ifrån lärandeobjektet (Guo & Pang, 2011). Innan detta görs bör

eleverna få se aspekten ur ett flertal dimensioner av variation för att aspekten inte ska

bli ett med helheten igen (Lo, 2012). I undervisningen bör lärandeobjektet som helhet

visas till en början för att sedan separera lärandeobjektets aspekter skriver Lo (2012).

Generalisering

När flera aspekter av ett lärandeobjekt varieras samtidigt som den tidigare separerade

aspekten är konstant har en generalisering genomförts (Lo, 2012). Det kan till exempel

ske genom att visa en färg i olika sammanhang, alltså att generalisera färgen (Marton,

2014). För eleven handlar det inte om att se likheterna mellan objekten med samma

färg, utan att se att många andra objekt kan ha samma färg (Marton, 2014). Det betyder

att de varierande aspekterna separerats ifrån lärandeobjektet (Lo, 2012). Eleven erbjuds

en mer omfattande bild av lärandeobjektet och ökar därmed sin förståelse (Guo & Pang,

2011). Denna variationsform skapar ingen ny mening skriver Marton (2014) men

befäster en eller flera redan kontrasterade aspekter. Det finns dock ingen garanti att

eleverna lär sig att färg är generaliserbar bara för att de ser att färgen grön kan

generaliseras (Marton, 2014).

Fusion

När flera av lärandeobjektets aspekter separerats och sedan varieras simultant kallas

variationsmönstret för fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014). Variationsmönstret

kan användas för att se om eleven uppfattar den separerade aspekten när den inte ensamt

varieras. Lo (2012) skriver att vissa fenomen är nödvändiga att uppleva genom simultan

variation eftersom fenomenet annars inte helt kan förstås. I vissa fall varieras flera

ytterligare aspekter till följd av en aspekts variation (Marton, 2014). Om exempelvis en

kvadrats antal hörn varieras, varieras även dess form. Om först aspekten täljare varieras

av lärandeobjektet bråktals storlek får eleven en förståelse för dess betydelse. Om sedan

endast nämnaren varieras förstår eleven även den aspekten av bråktalet och dess

koppling till talets storlek. När båda dessa aspekter separerats kan de simultant varieras

för att undersöka om elevens förståelse för bråktalets storlek som helhet utvecklats (Guo

& Pang, 2011; Lo, 2012).

Similaritet

Similaritet, vilket är ett underordnat variationsmönster till generalisering, sker när minst

två uttryck ger utlopp för samma innebörd (Olteanu & Olteanu, 2012). Både Olteanu

och Olteanu (2012) och Olteanu och Fors (2013) exemplifierar similaritet genom frågor.

Olteanu och Olteanu (2012) skriver att variationsmönstret similaritet erbjuds genom att

fråga hur mycket något kostar med varierade ordval. Olteanu och Fors (2013) skriver att

läraren frågar efter hur något ska avslutas med varierande ordval.

15

5. Metod I detta kapitel kommer studiens metodologiska teori redogöras för tillsammans med hur

insamlad empiri analyseras. Empirin samlades in i form av läromedelsanalys,

lärarintervjuer och observationer.

5.1 Metodologisk ansats

Denna studie undersökte hur lärare uppfattade läromedel, elevers kunskaper och

metoder för att skapa sin undervisning. Studien grundar sig i en kvalitativ ansats vilket

betyder att orden analyseras i studien. Forskaren har även en central roll och är ett

avgörande mätinstrument skriver Denscombe (2016). Den fenomenografiska ansatsen

som låg till grund för undersökningen intresserar sig för hur människor uppfattar sin

omvärld (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Marton och Booth (2000) använder erfar istället

för uppfattar och nämner även andra tolkningar såsom sätt att förstå, sätt att begripa

eller begreppsbildning. Fenomenografi härstammar från orden fenomen och grafi.

Fenomen betyder att visa sig eller att ta fram i ljuset. Grafi betyder att beskriva något

(Uljens, 1989).

För att få en klar förståelse av en individ räcker det inte att bara veta hur individen

upplevs utifrån skriver Larsson (1986). Genom att istället försöka ta reda på hur

indivder förstår något kan förståelse för indivden utvecklas. Marton och Booth (2000)

skriver att fenomenografin intresserar sig för hur människor hanterar omvärlden och

därför måste förståelse för hur människor erfar den också tydliggöras. Marton och

Booths (1997) skriver att fenomenografin delvis förväxlas med psykologi eftersom båda

intresserar sig för vad som erfars och hur det erfars men det skiljer sig eftersom i

fenomenografin är det centralt men underordnat i psykologin. Fenomenografin

förväxlas även med fenomenologi men i fenomenologin är det självupplevda i och

fokus i fenomenografin står någon annans upplevelser i centrum (Marton & Booth,

2000).

I denna studie var andra ordningens perspektiv i fokus till skillnad från andra kvalitativa

forskningsmetoder vilka fokuserar på första ordningens perspektiv (Larsson, 1986). De

intervjuade personerna i denna studie beskrev hur bråkbegreppet framstog för dem efter

sina erfarenheter och tänkande, inte hur det nödvändigtvis var. Det betyder även att

olika individer har olika uppfattningar, vilket tydligt skiljer sig mot första ordningens

perspektiv vilket ska baseras på fakta. Även intervjuarens uppfattningar är viktiga

eftersom det påverkar hur denne tolkar empirin (Uljens, 1989). Uljens (1989) skriver att

intervjuaren ska sätta ord på sina egna uppfattningar innan empirins samlas in för att

öka empirins validitet.

Larsson (1986) beskriver fenomenografin i fyra steg:

1. Undersöka andra ordningens perspektiv, alltså hur en individ uppfattar

omvärlden.

2. Detta görs genom att samla in empiri genom intervjuer

3. Variation inom uppfattningar av fenomenet synliggörs i empirin

4. Beskrivningskategorierna binds till de specifika uppfattningarna.

Uppfattningsnivån representerar tydligt skillnader i uppfattning av fenomenet.

16

Första och andra ordningens perspektiv

Inom fenomenografin är det speciellt viktigt att skilja på hur fenomenet är och hur ett

fenomen uppfattas (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Fenomenografin benämner det som

kan styrkas av fakta för första ordningens perspektiv och individers uppfattningar för

andra ordningens perspektiv. Till skillnad mot Larsson (1986) förklarar Uljens (1989)

första ordningens perspektiv som aspekter forskaren själv beskriver utifrån

verkligheten. Andra ordningens perspektiv används däremot för att beskriva andras

uppfattningar utifrån verkligheten (Uljens, 1989). Marton och Booth (1997) går än

längre och skriver att andra ordningens perspektiv även beskriver fysiska, biologiska

och sociala erfaranden av omvärlden.

Den andra ordningens perspektiv är avgörande för fenomenografen (Marton & Booth,

1997). För fysiker är därmed första ordningens perspektiv vital skriver (Marton &

Booth, 1997). Fokus ligger inte på att benämna uppfattningen efter rätt och fel utan om

det är första eller andra ordningens perspektiv (Larsson, 1986). Larsson (1986) skriver

också att åsikter inte ska blandas ihop med uppfattningar eftersom åsikter betyder att det

går att välja mellan åsikter, uppfattningar är snarare det vi baserar våra åsikter efter.

Uljens (1989) benämner det som ”den för givet tagna verkligheten” (Uljens, 1989:19).

Kontextualisering

Två bärande begrepp inom fenomenografin är kontextualisering och dekontextualisering

av uppfattningarna (Uljens, 1989). De uppfattningar fenomenografin intresserar sig för

delas in i tankeakter och tankeprodukter (Uljens, 1989). Det uppfattade ses likt en

aktivitet för mening när uppfattningar ses som tankeakter och när uppfattningar ses som

tankeprodukter syftar det till objektets innehåll.

När uppfattningarna kontextualiseras tolkas de tillsammans med den omvärld de

härstammar ifrån (Uljens, 1989). De tolkas alltså inte för sig själva utan i sin kontext.

Kontextualiseringen kan därmed ses som en helhet eftersom uppfattningen behandlas

efter vem som uppfattar det (Uljens, 1989). En lärares uppfattning om ett matematiskt

avsnitt uppfattas efter sammanhanget. Bråktal uppfattas till exempel olika beroende på

om läraren är en låg- eller högstadielärare. Lärarens syn på avsnittet kan därmed skilja

sig beroende på kontext. När uppfattningen kontextualiseras är behovet stort att

definiera kontexten för att uppfattningen ska kunna förstås (Uljens, 1989).

När lärarna i studien beskrev sina egna uppfattningar om ett fenomen behövde de

reflektera över sina uppfattningar. Uppfattningen separerades därmed ifrån helheten och

uppfattningen dekontextualiseras (Uljens, 1989). Uppfattningen togs ifrån sitt

sammanhang och den analyserades fristående, vilket gjorde att den kunde jämföras med

andra uppfattningar från skilda kontexter (Uljens, 1989).

5.2 Genomförande

Studiens metod omfattade tre moment. En läromedelsanalys av elevernas

matematikläromedel, lärarintervjuer med två lärare samt observationer av deras

lektioner. Intervjun av lärarna genomfördes efter observationstillfället, den 25 april

2017. Empirin sammanställdes inledningsvis i en tabell och presenterades sedan en i

taget.

17

Beskrivningarna av lärarnas uppfattningar om undervisningen exemplifierades genom

citat från de intervjuade vilket fenomenografiska studier vanligtvis gör (Svensson,

1986). Svensson (1986) anser även att citat bör användas sparsamt vilket togs i

beaktande genom att endast de mest betydande citaten presenterades. När aspekterna var

frånvarande i läromedelsanalys, intervju eller observation redovisades de inte i

resultatet.

5.2.1 Läromedelsanalys

Det mest frekvent använda läromedlet i klasserna var Matteborgen vilket var uppdelat i

två läroböcker. Matteborgen 4B var det andra av två läromedel i årskurs 4. Matteborgen

4A vilken används först bestod av kapitel 1-5 och Matteborgen 4B bestod av kapitel 6-

10. I kapitel 9, vilket var 27 sidor, behandlades bråktal. Delar av helhet hade en

betydande roll i kapitlet. Bråkkapitlet hade även fyra mål. Målen var att eleverna ska

kunna läsa och skriva bråk, avläsa bilder av bråk, avläsa hur många delar det gick på en

hel och att storleksordna bråk med samma täljare eller nämnare. Varje delområde

inleddes med en presentation av området i en informationsruta och sedan presenterades

uppgifter till innehållet därefter. Först presenterades samtliga aspekter av bråk med en

efterföljande diagnos. Beroende på resultat fanns det ett enklare respektive svårare

avsnitt.

I läromedlet analyserades aspekter av bråk för att undersöka vilken bild eleverna fick av

bråktal. Aspekterna analysen utgick för det första ifrån hade sin grund i vad tidigare

forskning skriver påverkar lärande. Andra aspekter som gavs omfattande utrymme i

läromedlet analyserades även.

Frågor vilka läromedelsanalysen av Matteborgen 4B baserades på är följande:

1. Vilka aspekter av delar av helhet presenteras i läromedlet?

2. Hur presenteras helheten, delars storlek, täljaren och nämnarens betydelse och

ekvivalenta uttryck?

3. Hur mycket begrepps- respektive procedurförmågor presenteras?

5.2.2 Intervju

Två lärare intervjuades i studien. Intervjufrågornas syfte var att urskilja lärarnas

planering utifrån bråkområdet i allmänhet och delar av helhet i synnerhet. Frågorna

valdes efter läromedlets upplägg, samt efter vilka aspekter av delar av helhet litteraturen

ansåg vitala för förståelsen.

1. Vad anser du eleverna har svårigheter för inom delar av helhet?

2. Hur gör du för att skapa förståelse för helhet, delars storlek, täljaren och

nämnarens betydelse och ekvivalenta uttryck?

3. Vilka representationsformer föredrar du i sin undervisning inom delar av helhet?

4. Hur arbetar du med begrepps- respektive precedurförmågan?

5. Hur tycker du att läromedlet förhåller sig till bråk med fokus på delar av helhet?

För att få möjlighet att undersöka frågeställningarna valdes intervju som en av tre

metoder. När intervjuobjekt valdes ut behövde flera förutsättningar beaktas, val av

intervjuform var en av dessa. När en intervju genomförs reflekterar den intervjuade

medvetet om sitt medvetande (Marton & Booth, 2000). Intervjun i studien var

18

semistrukturerad vilket menas med att intervjuaren har vissa förberedda frågor men att

ordning av dessa kan ändras samt att nya frågor kan tillkomma (Denscombe, 2016).

Istället för semistrukturerad intervju beskriver Johannson och Svedner (2010)

intervjuformen som kvalitativ intervju. Johansson och Svedner (2010) skriver att de

kvalitativa intervjuerna ofta ger intressanta resultat om exempelvis lärares undervisning.

Intervjufrågorna i studien var av öppen karaktär eftersom lärarnas tankar synliggörs

bäst. Det är viktigt eftersom intervjuaren vill att reflektionerna av den intervjuade skulle

återges så grundligt som möjligt (Marton & Booth, 2000).

När intervjun genomfördes mellan forskare och informant, vilket genomfördes i denna

intervju kallas den för personlig. Fördelen är att de är relativt enkla att ordna och

enklare att transkribera med enbart två röster (Denscombe, 2016). Denscombe (2016)

betonar vikten av att inte lita på intervjuarens minne. Intervjuerna i studien spelades

därmed in för att underlätta för författaren om något skulle förbises.

Deltagande lärare hade olika erfarenhet av matematikundervisning. Den ena läraren

(Lärare 1) hade undervisat i matematik i 20 år. Läraren hade bedrivit

matematikundervisning på både låg- och mellanstadiet och undervisat i årskurs 4 vid ett

flertal tillfällen. Den andra läraren (Lärare 2) hade undervisat i matematik i snart ett

läsår och det är därmed första gången läraren undervisar i matematik i årskurs 4. 5.2.3 Observation

För att se hur lärarna verkställde sina pedagogiska tankar var det avgörande att verifiera

hur dessa tankar presenterades i undervisningen. Observationerna genomfördes med

hjälp av ett observationsschema vilket Johansson och Svedner (2010) benämner

observationsmanual. Observationsmanualen bör vara välplanerad för att få en lyckad

observation och Johansson och Svedner (2010) nämner fem punkter vilka bör finnas

med vid en observation:

Observatörens namn, tidpunkt och plats för observation.

Om obervatören arbetar själv, placering i klassrummet och om den gör det

stillaståendes eller rörligt.

Noga definierad vad som ska observeras och vem som ska observeras.

Hur tiden används vid observationen vad gäller när observationen registreras

och pauser mellan de olika observationerna.

Vilka hjälpmedel observatören har, exempelvis papper och penna eller till och

med inspelningsutrustning.

Observationsmallen (bilaga 1) i denna studie var inspirerad av Los (2012)

observationsmall ämnad för variationsteorin. Konstanta och varierande värden skrevs

ner samt vad eleverna urskiljer vilket fanns med i Los (2012) original. Studiens mall

omfattade även fyra variationsmönster utskriva för att förenkla observationen.

Observationerna genomfördes genom att författaren satt längst ner i klassrummet, en bit

ifrån eleverna med observationsmanual och förde anteckningar med penna och

radergummi. Observationen av Lärare 1 var 50 minuter, och observationen av Lärare 2

var 40 minuter. Båda observationerna genomfördes under eftermiddagen den 25 april

2017 med en rast emellan och lektionerna omfattade enbart bråkbegreppet.

19

5.3 Urval

Vid denna studie var syftet att undersöka hur bråk med inriktning på delar av helhet

presenterades i mellanstadiet. Därav innefattade undersökningen lärare vilka

undervisade i mellanstadiet och helst lärare i årskurs 4 eftersom de undervisade dessa

elever vid studiens genomförande. Vid ett icke-sannolikhetsurval kan forskaren välja att

styra urvalet på grund av undersökningens karaktär (Denscombe, 2016).

Flera lärare i årskurs 4 tillfrågades varav två visade intresse för att delta i

undersökningen. Lärarna hade varsin årskurs 4-klass ibland annat matematik i sydöstra

Sverige. De fick frågan dels för att de båda hade årskurs 4:a i matematik men också för

att de arbetar på VFU-skolor. De hade även ett uttalat intresse för undervisning.

Anledningen till att undersökningen gjordes med bekanta lärare indikerar även på vad

Denscombe (2016) kallar bekvämlighetsurval. Att undersökningen innefattade en

erfaren lärare och en ny lärare beror på att snedvridning av resultatet ville undvikas.

5.4 Validitet och reliabilitet

Uljens (1989) skriver att en studie är valid om den mäter eller undersöker studiens

avsikt, dess frågeställningar. Uljens (1989) skriver att undersökningen lätt svarar på

närliggande frågor till frågeställningarna vilket minskar studiens validitet. Jag hade

därmed valt att tydligt koppla studiens resultat till frågeställningarna för att stärka

studiens validitet.

Om en annan forskare hade använt samma metod och fått samma svar har studien en

hög reabilitet (Uljens, 1989). Både Uljens (1989) och Larsson (1986) ser dock

kvalitativa undersökningar som problematiska på grund av tolkningarna av empirin.

Eftersom det inte tolkas mekaniskt är det viktigt att tolkningen är trovärdig och inte

innehåller forskarens egna värderingar (Larsson, 1986). Larsson (1986) skriver att

kategoriseringen av empirin ska granskas kritiskt för att svarens dimensioner ska

urskiljas tydligt. Genom att låta reflektioner och insamlad empiri ställas mot varandra

flertalet gånger fördjupas förståelsen för indelade kategorier så att de blir korrekta

(Larsson, 1986). I resultatet hade jag i största mån ansträngt mig för att inte lägga in

några personliga värderingar eller åsikter. Både intervjuer och observationer

genomfördes för att bringa klarhet i både lärarnas tankar och utförande av undervisning.

Läromedlets omfattande plats i många lärares matematikundervisning gjorde att även en

analys av läroboken verkställdes.

5.6 Etiska principer

Vetenskapsrådet (2002) skriver att samhället har ett behov av forskning och att krav

därmed ska ställas på forskning som bedrivs. Vid studier likt denna finns därför vissa

forskningsvetenskapliga principer forskaren bör följa. För att forskningsdeltagare inte

ska bli kränka ska en rad skydd för individen uppfyllas. Dessa krav består av fyra delar

och presenteras nedan med koppling till studien.

Informationskravet – Detta krav syftar på att studiens deltagare i förväg ska få

studiens innehåll och syfte vilket de två deltagande eleverna tidigt blev

medvetande om. Kravet är speciellt viktigt när deltagare under 18 år är

20

inblandade och i den här studien låg fokus på lärare och läromedel vilket gjorde

det mindre komplicerat.

Samtyckeskravet – Deltagare i studien måste inte bara vara medvetna om

studiens innehåll, forskaren behöver också ha ett godkännande från deltagarna

för att kunna intervjua dem. Samtyckeskravet kräver också att deltagarna är

medvetna om att de när de så önskar kan avböja att vara med i studien.

Konfidentialitetskravet – Genom att inte skriva ut namn, personuppgifter eller

annan information vilket skulle kunna röja deltagarnas identitet följs

konfidentialitetskravet. Deltagande lärare benämndes som Lärare 1 och Lärare 2

i studien för en neutral benämning.

Nyttjandekravet –Nyttjandekravet syftar på att information inte sprids vidare till

intressenter utanför studien. Den insamlade informationen bearbetades till

resultatet och inspelade intervjuer raderades.

6. Resultat Insamlad empiri ifrån läromedelsanalys, intervjuer och observationer presenteras i detta

kapitel. Läromedelsanalysen är genomförd på Matteborgen 4B vilket är det använda

läromedlet i båda klasserna. De berörda aspekterna presenteras i en tabell vilket ger en

överblick för hur de förekommer i läromedel, intervju och observation. I presentationen

av resultatet redovisas i första stycket läromedlet, sedan intervjun och sist

observationen.

6.1 Undervisningens utformning

Vid intervjuerna tydliggjorde Lärare 1 att undervisningen koncentreras kring

begreppsförståelsen till skillnad från Lärare 2 som lägger störst fokus på

procedurförmågan genom läromedlet. Lärare 1:s elever övar på procedurförmågan med

läromedlet främst genom läxor på grund av dess ”mekaniska uppgifter” och att det är

för koncentrerat kring ett matematiskt avsnitt i taget:

Man får inte fastna för mycket i läromedlet eftersom det tar upp ett

arbetsområde i taget. Det kan vara lätt att glömma det gamla

(Lärare 1).

Lärare 2 påpekar att bråkkapitlet tar upp bilder, symboler och text för att presentera

bråktal. Lärare 1 arbetar oftast i grupper och par samt presenterar lösningar i helklass

medan Lärare 2 mestadels låter eleverna arbeta i boken. Lärare 1 betonar vikten av att

ge avsnitten gott om tid och digitala läromedels fördelar. Ofta presenteras

missuppfattningar i klassrummet genom elevers lösningar och att klassen tillsammans

undersöker felsvaret. Eleverna uppmuntras även att reflektera över strategier både

genom att se på varandra samt att spela in sig själva för att se på i efterhand.

6.2 Identifierade aspekter

De aspekter läromedlet, intervjuerna och observationerna presenterar redovisas i Figur

1. Läromedlet, intervjuerna och observationerna redovisas på x-axeln och de

identifierade aspekterna presenteras på y-axeln. Lärare 1 betecknas i tabellen som L1

och Lärare 2 betecknas som L2.

21

För att visa aspekternas omfattning används additionssymbol (+), addition och

subtraktionssymbol (+/-) samt subtraktionssymbol (-). Additionssymbol innebär att

aspekten berörs omfattande, addition- och subtraktionssymbol innebär att aspekten

berörs, men inte omfattande. Vid enbart en subtraktionssymbol saknas aspekten.

Läromedel Intervju

L1 L2

Observation

L1 L2

Helhet

+

+/-

+/-

+/-

+/-

Lika stora

delar

+

+

+/-

+/-

+/-

Täljare och

nämnare

+/-

+/-

+/-

+

+/-

Ekvivalent

a uttryck

+/-

+

+/-

+/-

-

Bråktal,

decimaltal,

procent

-

+

+/-

-

-

Figur 1. Tydliggjorda aspekter i empirin.

De identifierade aspekterna som uppdagats efter insamling av empirin av bråktal med

fokus på delar av helhet är följande:

Helheten – Vilken är helheten och hur den ger möjlighet till att urskiljas i

undervisningen.

Lika stora delar – Hur delarna presenteras och jämförs vid indelningen av delar

och att delarna ska vara lika stora.

Täljaren och nämnarens betydelse – På vilka sätt ger undervisningen möjlighet

att urskilja täljarens och nämnarens betydelse.

Ekvivalenta uttryck – Hur ger undervisningen möjlighet att urskilja att samma

värde kan skrivas på olika sätt genom bråktal.

Bråktals koppling till decimaltal och procent – För att kunna skapa förståelse för

bråktals storlek jämförs de med decimaltal och procent.

Lärarnas identifierade aspekter

Elever har svårt att skilja mellan delarna och helheten nämner Lärare 1. Ekvivalenta

uttryck är även komplicerade:

Ibland är det svårt att förstå att en halv kan skrivas på olika sätt och

det krävs mycket för att de ska kunna jämföra en halv i halvor och

fjärdedelar (Lärare 1).

22

Lärare 2 påpekar att elever har problem med vad nämnaren står för och att olika stora

helheter inte kan jämföras:

Har eleverna två kvadrater som är olika stora tror en del att de kan

jämföras med varandra. Att de måsta vara lika stora tar lång tid att

förstå (Lärare 2).

Helhet

Helheten har ett eget avsnitt i läromedlet och presenteras genom en cirkelformad

brödkaka och delas in i en, två, fyra och åtta delar. Helheten presenteras genom

linjerade rektanglar i tredje- och sjättedelar, genom en röd rektangel indelad i

tredjedelar och en blå rektangel indelad i femtedelar. De presenteras i text och

symboler. Rektanglar och cirklar används som helheter där de identifieras och skrivs om

från text till siffror. Helheter i form av symboler identifieras även med synliga täljare

mellan 1-10 och nämnare 3-10 tomma.

Mycket konkret material används för att eleverna ska förstå helheten nämner Lärare 1

och 2. Lärare 1 använder använder pizzor och flanobilder att lägga på varandra för att

tydliggöra vilka delar som skapar en helhet. Båda lärarna använder cirklar initialt för att

beskriva jämna bråktal som 1

2 och

1

4. Båda lärarna anser däremot att rektanglar är viktiga

för mer avancerade bråkkunskaper:

Jag föredrar rektanglar eftersom de är enklare att dela exakt när den

ska delas i många delar. Det är också bra när de ska multiplicera

bråk senare (Lärare 1).

Eleverna får även själva rita och fundera vad det är som är lättast enligt Lärare 1.

Cirklar används av Lärare 1 och 2 för att presentera helheten under observationerna.

Lärare 1 målade den på tavlan, genom datorn och en flanocirkel. Lärare 2 använde ett

äpple. Båda lärarna delade cirkeln i två delar. Lärare 2 ritade även två rektanglar med

olika storlekar på tavlan. Eleverna skulle se rektanglarna som något annat de gillar och

sedan får läraren den stora och en elev den lilla. Läraren hävdar att det var rättvist

eftersom de båda fått lika mycket.

Lika stora delar

Avsnittet om lika stora delar introduceras med två rektanglar. Den ena rektangeln är

delad i tre lika stora delar och den andra tre olika stora, med ordet olika kursiverat. Den

första bildens lika stora delar skrivs med symboler och tydliggörs som 1

3. Eftersom den

andra bilden inte har lika stora delar kan den inte beräknas i tredjedelar skriver boken.

Bråktal paras ihop med bilder i form av rektanglar och andra polygoner vilka är

indelade i tredje-, fjärde-, femte- och sjättedelar. Bilderna delas sedan in i delar vilka

både går och inte går att identifiera som bråktal. Rektanglar ska även målas och tilldelas

bråktal mellan en tredjedel och en tiondel. Vid ett tillfälle ska en halva av en streckad

rektangel målas och sedan ska en lika stor avbildas för att fylla i en fjärdedel.

Både Lärare 1 och 2 tydliggör att enbart lika stora delar av helheten kan räknas som

bråkdelar i intervjuerna:

Jag frågar dem om de vill dela en halv chokladkaka med sina

syskon på lördagen eller om de vill dela på en ruta av

chokladkakan (Lärare 1).

23

Eleverna ser tydligt att det inte går att jämföra helheter om de inte är lika stora. Lärare 2

jämför olika vikta A4-papper för att eleverna ska urskilja delarna och att de inte kan

jämföras om de inte är lika stora.

Under observationen använder Lärare 1 flanobilder i form av en cirkel och Lärare 2

använde rektanglar. Lärare 1 gav grupperna tre delar var, två tredjedelar och en

fjärdedel. Eleverna ska bilda en cirkel med delarna. De märker att det inte går och får

därefter diskutera vilka delar som kan skapa en hel. Lärare 2 använder två rektanglar av

samma storlek och delar in den ena i lika stora fjärdedelar och den andra i fyra olika

stora delar. Eleverna ombads benämna delarna först. Sedan väljs en av rektanglarna i

gruppen för att dela upp mellan varandra. Eleverna fick sedan själva dela in ritade

rektanglar och dela upp dem i både lika delar och inte lika delar och sedan byta dem

med varandra inom gruppen.

Täljare och nämnarens betydelse

Varken täljare, nämnare eller kvot omnämns i läromedlet. En cirkel indelad i sex lika

stora delar presenteras med fem av delarna ifyllda. Varje del benämns som 1

6 och att 5

delar är ifyllda. Därmed är 5

6 av cirkeln ifylld. Detta genomförs även i uppgifter med

cirklar och kvadrater målade i fjärde- och femtedelar, där eleverna ska genomföra

samma procedur. Figurer med olika form och delar benämns även efter bråktal i de

kommande uppgifterna. Bråktal som symboler med olika täljare och nämnare ska också

läsas upp. Figurer med bestämd storlek ritas och delas in i lika stora delar för att måla

bråktal. Figuren benämnas sedan efter hur stor den målade delen är. Tre rektanglar

indelade i fjärdedelar med en, två och tre delar målade storleksordnas bredvid varandra.

Detta görs även med åttondelar i form av en cirkel samt med symboler. På nästa sida

används samma metoder men med olika nämnare.

Lärare 1 benämner bråktalens delar och använder dessa i undervisningen för att de ska

känna sig säkra medan Lärare 2 låter eleverna säga och skriva bråkuttrycken, para ihop

dem med bilder och storleksordna dem. Lärare 1:s elever pratar och visar när de delar

för att skapa medvetenhet kring täljare och nämnarens innebörd.

Båda lärarna varierar täljare och nämnare under observationen. Lärare 1 delar en cirkel

med en ifylld del i andradelar till sjättedelar med hjälp av digitala läromedel. Lärare 2

använder ett äpple som delas i andradelar och sedan fjärdedelar samtidigt som de skrivs

på tavlan med symboler och ord. Båda lärarna använder täljaren som 1 eller samma som

nämnaren. Lärare 1 adderar även täljaren ett steg i taget tills den är 6

6 för att tydliggöra

täljarens funktion.

Ekvivalenta uttryck

Läromedlet presenterar helheter som ekvivalenta uttryck. Täljaren är mellan 2-10 och

nämnaren fylls i. Någon av täljare, nämnare eller kvot fylls i för att utgöra en helhet.

Helheter översätts från bild till symbol och från symbol till skrift. Helheterna

presenteras från halvor, till tiondelar samt i form av cirklar och rektanglar.

Enligt Lärare 1 har elever ofta problem med ekvivalenta uttryck vilket inte Lärare 2

anser. Båda lärarna föredrar konkreta material för att undervisa ekvivalenta uttryck.

Lärare 1 använder pizzabitar och Lärare 2 A4-papper. Om två pizzahalvor placeras på

24

den hela eller om två A4, vikta på mitten två gånger, läggs på ett vikt A4 demonstrerar

det att 2

2 är lika med

1

1:

Om eleverna delar ett papper på mitten och ett papper på mitten två

gånger så ser de ibland att det blir dubbelt så många rutor (Lärare

2).

Rutorna kan sedan läggas på varandra för att tydliggöra att 2

4 är lika stort som

1

2 menar

Lärare 2. Lärare 1 gör även om uppgifter för att eleverna ska tvingas skriva så många

ekvivalenta uttryck som möjligt:

Jag gör om mattebokens uppgift så att eleverna i slutet (av

uppgiften) också ska uttrycka ett bråktal på så många sätt de bara

kan (Lärare 1).

Lärare 1 använde flanocirkeln i observationen och frågade efter antal delar. Läraren

skrev 1

1 på tavlan och benämnde den som hel. Två stycken

1

2 lades på cirkeln och läraren

frågar efter antal delar och hur många delar helheten kräver. Läraren skriver sedan 2

2 på

tavlan.

Bråktalens koppling till decimaltal och procent

Kopplingen mellan bråktal och decimaltal och procent framhävs av båda lärarna i

intervjuerna. Decimaltal kan vara enklare att förstå omfattningen på menar Lärare 2 till

skillnad från vad Lärare 1 anser:

Det är dock viktigt att inte jämföra för mycket mellan dem men att

tidigt visa att det finns en koppling (Lärare 1).

Bråktal presenteras från 1

1 till

1

12 och dess storlek genom decimaltal och procent av

Lärare 1. Delas helheten två gånger i lika stora delar blir det 1

4, 0,25 och 25 % vilket är

nödvändiga riktmärken.

7. Analys av empiri I följande kapitel analyseras insamlad empiri utifrån variationsteorin. Varje identifierad

aspekt för tal i bråkform med inriktning på delar av helhet presenteras nedan.

Läromedlet erbjuder en dimension av variation av flera identifierade aspekter.

En kritisk aspekt utifrån ett variationsteoretiskt perspektiv är att aspekterna sällan

explicit kontrasteras bredvid varandra, vilket Lo (2012) benämner samtidighet. Ett

flertal uppgifter ges dock möjlighet att urskilja på varje sida. Därav ges ändå

möjligheten att se variationen enligt samtidighet.

7.1 Helhet

Lärandeobjektet helhet introduceras med en hel brödkaka. Brödkakan delas i andradelar,

fjärdedelar och åttondelar. En delad helhet har därmed kontrasterats (Marton, 2014) och

en dimension av variation av lärandeobjektet erbjuds. När helheten delas separeras

(Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) aspekten delade helheter från lärandeobjektet. Senare

erbjuds helheten genom en röd rektangel indelad i tredjedelar presenterad bredvid en

blå rektangel indelad i femtedelar. Att minst två aspekter varieras simultant är en

förutsättning för fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014). Helhetens aspekt

25

uttrycksform generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även när den visas genom dragen

bild, siffror och text.

Lärare 1 kontrasterar (Marton, 2014) i intervjun uttrycksformens drag som pizzor med

att även visa flanobilder. Både lärare 1 och 2 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014)

helhetens form med cirklar och rektanglar och aspekten uttrycksform av lärandeobjektet

helhet. Lärare 1 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) även representationsformen till

dragen ritade former och symboler. Även fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014)

sker när flanocirklar och ritade rektanglar används eftersom aspekterna uttrycksform

och form varieras av Lärare 1.

I observationen av Lärare 1 generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) helhetens delar

genom att lärandeobjektet flanocirkeln behålls konstant och antal delar viarieras i två

lika stora delar (Lo, 2012; Marton, 2014). Det möjliggör urskiljning av helheten som

flera lika stora delar. Helheten generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) ytterligare när

andra helheter behålls konstant medan antal delar varieras med bland annat fjärdedelar.

Aspekterna urskiljs dock inte enligt samtidighet (Lo, 2012). Möjligheten att urskilja att

flera lika stora delar kan representera en hel sker även hos Lärare 2 när ett äpple först

visas helt och sedan delas i två delar. Både Lärare 1 och 2 separerar (Guo & Pang,

2011; Lo, 2012) därmed helheten som delad. Lärare 2 kontrasterar (Marton, 2014)

lärandeobjektet helhet när utseende på helheten är konstant medan storleken varieras.

Aspekten storlek separeras (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) när helheten urskiljs i olika

storlekar. Även Fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) används av både Lärare 1

och 2 när ett nytt moment startar och flera aspekter varieras vilket dock inte sker genom

samtidighet vilket Lo (2014) anser avgörande för lärande.

7.2 Lika stora delar

I läromedlet kontrasteras (Marton, 2014) delarnas betydelse när två likadana rektanglar

presenteras bredvid varandra och den ena har lika stora delar och den andra inte.

Aspekten lika stora delar separeras (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012) därmed. Fusion

(Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) sker sedan när båda figurerna ändrar aspekterna

utseende och antal delar. Aspekterna utseende och antal delar har tidigare separerats

från bråkbegreppet vilket är en förutsättning för fusion (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012).

I intervjun exemplifierar Lärare 1 och 2 kontrast (Marton, 2014) när de tydliggör att

olika delar inte kan jämföras (Lo, 2012; Marton, 2014). Både Lärare 1 och 2 gör det

genom samtidighet eftersom de jämför två exempel bredvid varandra (Lo, 2012).

Under observationen behåller både Lärare 1 och 2 helheten konstant men varierar

storleken på delarna vilket gör att delarnas storlek går att urskilja genom kontrast (Lo,

2012; Marton, 2014). Lärare 2 håller två ritade rektanglar konstant och delar in dem i

fyra olika stora delar. Lärare 1 har flanocirkeln konstant och varierar delarna med två

tredjedelar och en fjärdedel. Eleverna generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) sedan

delarnas storlek när de själva varierar delarnas storlek för att testa varandra.

26

7.3 Täljare och nämnarens betydelse

Täljarens betydelse generaliseras (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) när en sexdelad

cirkels täljare benämns som 1

6 och sedan adderas en sjättedel i taget upp till

5

6. Både

täljaren och nämnaren urskiljs sedan genom fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014)

när flera olika figurer delas in i olika antal täljare och nämnare vilka ska benämnas.

Delar är konstanta medan täljare, nämnare och uttrycksform varieras. Täljaren

kontrasteras (Marton, 2014) genom samtidighet när tre rektanglar urskiljs bredvid

varandra med täljaren och utseendet konstant medan nämnaren varieras (Lo, 2012;

Marton, 2014). Detta sker även genom att nämnaren är konstant medan täljaren varieras.

Uttrycksform, täljare och nämnare varieras sedan genom samtidighet (Lo, 2012) vilket

gör att fusion (Guo & Pang, 2011; Marton, 2014) sker. Därmed utvärderar läromedlet

om eleven uppfattar lärandeobjektet korrekt (Guo & Pang, 2011; Lo, 2012).

Både Lärare 1 och Lärare 2 urskiljer täljare och nämnare i undervisningen genom att

benämna dem. Lärare 2 generaliserar (Lo, 2012; Marton, 2014) dem även genom

symboler, text och bilder.

Under observationen håller Lärare 1 täljaren konstant och varierar nämnaren

tillsammans med dess representation på en bild vilket gör det möjligt att urskilja

nämnarens betydelse. Nämnaren generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) eftersom den

visas i flera storlekar. Sedan sker samma procedur fast att täljarens betydelse urskiljs

genom generalisering (Lo, 2012; Marton, 2014). Lärare 2 behåller aspekten storlek

konstant och varierar både aspekterna täljare, nämnare och uttrycksform och läraren

låter därmed urskilja relationen mellan täljare och nämnare genom fusion (Guo & Pang,

2011; Marton, 2014) på grund av att flera aspekter varieras simultant. Aspekten

representationsform generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även de kritiska dragen

genom verkligt material, bild och symbol.

7.4 Ekvivalenta uttryck

Ekvivalenta uttryck innehåller ingen dimension av variation vad gäller aspekten storlek,

det är enbart helheten som generaliseras. Läromedlet presenterar ekvivalenta uttryck

som lärandeobjekt med en cirkelformad brödkaka. Den presenteras först genom 1

1 och

sedan generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) helheten genom att den även urskiljs som

andradelar, fjärdedelar och åttondelar. Helheten i form av symboler generaliseras (Lo,

2012; Marton, 2014) sedan när helheten visas både med täljare i storlek mellan 1-10 och

nämnare i storlek mellan 3-10.

I intervjun beskriver Lärare 1 och 2 att de kontrasterar (Marton, 2014) ekvivalenta

uttryck i undervisningen. Lärare 1 genom att ha en cirkelformad pizza som helhet,

skriva ut 1

1 i bråktal och sedan lägga på två halvor och visa att den helheten kan skrivas

som 2

2. Lärare 2 kontrasterar (Marton, 2014) på samma sätt fast med A4-papper. Lärare

2 kontrasterar (Lo, 2012; Marton, 2014) även ekvivalenta uttryck genom att visa en

halv som både 1

2 och

1

2. Genom att ändra uppgifter i undervisningen generaliserar (Lo,

2012; Marton, 2014) även Lärare 1 ekvivalenta uttryck.

27

Under observationen lämnar Lärare 1 helheten och uttrycksformen konstant och varierar

antalet delar vilket gör att helhetens ekvivalenta uttryck urskiljs genom kontrast.

Helheten generaliseras (Lo, 2012; Marton, 2014) även genom att den visas både som

konkret material och symboler.

7.5 Bråktalens koppling till decimaltal och procent

Både lärare 1 och 2 framhäver vikten av att presentera bråktals relation till decimaltal

och procent. Eftersom storleken på talen lämnas konstant och talsort varieras sker

kontrast (Marton, 2014). Lärare 1 visar flera olika bråktal och dess värde i decimaltal

och procent vilket betyder att generalisering (Lo, 2012; Marton, 2014) används.

8. Diskussion Studiens metodval kommer inledningsvis att diskuteras utifrån möjliga

utvecklingsmöjligheter. Studiens resultat kommer sedan ställas i kontext till studier

redovisade i litteraturöversikten.

8.1 Metoddiskussion

Studiens undersökta aspekter baserar på de aspekter av bråk tidigare forskning visat sig

vara avgörande för att skapa sig förståelse för bråkområdet (Clarke m.fl., 2006;

Häggblom, 2012; Lamon, 2012; McIntosh, 2009; Wentworth & Monroe, 1995). Flera

av aspekterna kändes igen från samtal med lärare under författarens studietid och

kändes därför akutella att undersöka.

För att ge möjlighet att synliggöra studiens frågeställningar är metodvalet avgörande.

Till den första frågeställningen var metodvalet givet, att en läromedelanalys behövdes

genomföras. Intervjuer och observationer ansågs nödvändiga för att kunna urskilja den

andra och tredje frågeställningen. För att ge möjlighet att utvärdera hur lärarens

uppfattningar om lärande gav utlopp i den faktiska undervisningen valdes även

observationer som metod. Läromedelsanalys har tidigare genomförts av författaren. Den

personliga intervjun (Denscombe, 2016) var dock ny. Vid kvantitativa studier är likt

denna vidhåller Marton och Booth (2000) forskarens tolkningar av andra gradens

uppfattningar som avgörande för resultatet vilket därmed är en möjlig felkälla.

8.1.1 Läromedelsanalys

För att ge möjligheten att synliggöra den bråkundervisning lärarana bedriver var

läromedelsanalysen nödvändig. Båda lärarna använder Matteborgen som lärobok och

bråkkapitlet presenteras i Matteborgen 4B vilken är den andra av två läroböcker för

årskurs 4. Anledningen till att just läroboken analyserades var att läroboken, enligt mig,

är det vanligaste läromedlet. Med tanke på att 90 % använder läromedel i

undervisningen (Mullis, 2008) tar det en stor plats i undervisningen. Studiens resultat

visar att även andra läromedel används, till exempel digitala läromedel. Den ena läraren

använder mer digitala läromedel än läroboken i undervisningen eftersom läroboken

enbart används vid läxor. Därmed hade även de digitala läromedlen kunnat analyseras.

Att analysera läroboken är dock enklare och ger även en klarare bild vad som

presenteras eftersom samtliga elever är inne på samma sidor där. Med digitala

läromedel finns ännu fler valmöjligheter.

28

8.1.2 Intervju

Intervjun gav möjlighet att synliggöra lärarnas egna uppfattningar om potentiella

kritiska aspekter inom bråkområdet vilket fenomenografiska studier har som mål att

göra (Larsson, 1986; Uljens, 1989). Intervjun ger möjlighet att undersöka andra

ordningens perspektiv eftersom den beskriver lärarens uppfattningar.

Genom att intervjua lärarna gavs möjlighet att urskilja deras uppfattningar om

undervisning av bråktal ur ett större perspektiv. Intervjun genomfördes efter, men i

samband med observationen. Anledningen till metodordningen var att lärarnas

lektionsupplägg inte skulle förändras. Resultatets reliabilitet hade därmed kunnat

försvagats. Eftersom den ena läraren inte tidigare undervisat i årskurs 4 eller

bråkområdet tidigare visade det sig att han inte kunde svara lika utförligt som den andra

läraren. För att tydligare kunna ge denna lärare möjlighet att presentera sina tankar om

undervisningen hade frågorna kunnat presenterats tidigare för läraren, alternativt

genomföra intervjun senare. Det hade medföljt att lärarens svar troligtvis hade blivit

utförligare men också att svaren hade kunnat bli missvisande.

8.1.3 Observation

En observationsmanual användes under observationen vilket Johansson och Svedner

(2010) skriver är avgörande för att undersöka undervisningen. Under

observationstillfället användes därför en reviderad version av Los (2012)

observationsmanual där även variationsmönstren inkluderades. En möjlig felkälla för

resultatet är att detta var författarens första observationstillfällen. Sannolikheten att viss

empiri inte lyckats samlas in eller tolkats fel är större med tanke på detta.

Observationens syfte, att undersöka hur läraren presenterar aspekter av bråk sker dock i

lugnt tempo eftersom eleverna ska hinna med, vilket underlättar observationen.

Observationen ger möjlighet att se hur lärarna använder aspekterna i undervisningen

istället för enbart dess synsätt på den. Möjligheten att undersöka hela lärarens syn på

undervisning av bråktal är dock ej möjligt genom enbart en observation. För att kunna

urskilja hela lektionsupplägget för bråktal hade samtliga lektioner av bråktal behövts

synliggöras vilket kan vara en felkälla i studien. Att undersöka samtliga lektioner är

dock inte möjligt med tanke på studiens tidsperspektiv. Vid observationen är det

observerarens uppfattning av undervisningen läraren bedriver som tydliggörs vilket

därmed är första ordningens perspektiv (Larsson, 1986; Uljens, 1989) eftersom lärarens

syfte och det av observeraren uppfattade kan framstå som vara kritisk aspekt. Om

möjligt, hade en översiktsplanering av bråkområdet kunnat planeras av lärarna för att få

en än bättre blick över upplägg. Genom att enbart använda observation hade

möjligheten för lärarna att förklara sin egna syn på bråktalens potentiella kritiska

aspekter inte funnits.

8.2 Resultatdiskussion

De aspekter McIntosh (2009) benämner vitala för bråkförståelse synliggörs till viss del i

den undervisning lärarna bedriver. Det avgörande är inte enbart att aspekterna

presenteras, utan även hur de presenteras. Tidigare studier (Cramer m.fl. 2002;

Torbeyns m.fl., 2014) indikerar tydligt på behovet av förståelse inom bråk. Därmed är

det förvånande att läromedlet inte presenterar innehållet på ett sätt som gör att

förståelsen för bråk ökar. Läromedelsanalysen synliggör att bråktalens aspekter inte

förtydligas eller förklaras i tillräckligt stor omfattning för att eleverna ska ges möjlighet

29

att verkligen förstå dem. Begreppsförmågan (Aksu, 1997; Gabriel m.fl., 2012) är

speciellt utelämnad medan det finns gott om proceduruppgifter. Det är förvånande

eftersom att den svenska läroplanen (Skolverket, 2016) betonar vikten av förståelse och

att andra länders läromedel är influerade av landets läroplan (Alajmi, 2012;

Charalambos m.fl., 2010). Med tanke på hur frekvent använda läromedel är i

undervisningen (Mullis, 2008) är lärarens komplettering av undervisningen direkt

avgörande för goda resultat. Eleverna behöver få mer undervisning om och med

begreppsförmågan, vilket den ena av lärarna bedriver. Läraren poängterar lärobokens

ofullständighet och använder den enbart till läxor. Undervisningen kompletteras sedan

genom digitala läromedel men också mycket konkret material. Elevernas

begreppsförmåga stimuleras därmed och lärande sker. Den andra läraren förlägger mer

tid av undervisningen med matematikboken vilket gör det problematiskt för eleverna att

ge möjlighet att skapa förståelse.

Att variera olika former av helheten och att presentera bråktal med flera

representationsformer ser jag som nyckelfaktorer för att lärande ska ske. Lärarnas bilder

av helheten genom formerna cirklar och rektanglar stämmer väl överrens med

Häggbloms (2012) åsikt att de två formerna utgör en stor del i undervisningen. Båda

lärarna berättar att de baserar undervisningen på just cirklar och rektanglar under

intervjuerna och dess olika fördelar. Både lärarna, genom intervjun, och Häggblom

(2012) beskriver cirkelns fördel med att den kan delas in i 1

2,

1

4 och

1

8. Användingen av

cirklar visade sig även i observationerna genom bland annat flanocirklar. Cirklarnas

tillkortakommande vid mer avancerad bråkräkning poängteras av både lärare och

Häggblom (2012) men eftersom undersökningen ämnar tydliggöra undervisningen i

årskurs 4 anser jag att användandet av cirkeln som berättigad. Hade enbart cirklar

använts i undervisningen över hela bråkområdet hade variationen av helheter inte varit

tillräcklig enligt mig. Med tanke på att Lo (2012) skriver att variation ökar

undervisningens kvalité hade inte bara cirklar och rektanglar kunnat inkluderas utan

även se till att tydliggöra att helheten kan vara än fler former. Lamon (2012) skriver att

helheten ofta introduceras med att vara ett helt ting, och inte flera eller färre. Jag

instämmer därmed med Lamon (2012) att helheten måste visas på fler sätt för att

undvika missförståend senare i undervisningen vilket även Wentworth och Monroe

(1995) nämner. Eleverna behöver inte göra räkneexempel med andra helheter men jag

anser att de behöver presenteras för möjligheten. Finns inte den tanken i bakhuvudet hos

eleverna kan det enligt mig komma att visa sig bli en kritisk aspekt senare istället.

Vilka ändringar skulle behövas för att förbättra undervisningen? Jag anser att den grund

Lärare 1 har i sin undervisning skapar förståelsen (Cramer m.fl. 2002; Torbeyns m.fl.,

2014) eleverna är i behov av. Balansen mellan att använda ett läromedel, vilket ger

eleverna möjligheten att öva på grunderna och mängdträna, tillsammans med egna

kompletteringar av undervisningen ser jag som väsentligt för goda resultat. Båda lärarna

använder till viss del variationsmönster i sin undervisning för att främja lärande, det

hade dock kunnat användas mer. Studiens aspekter hade kunnat tydliggöras på liknande

sätt som både läromedel och lärarna gjorde med aspekten lika stora delar. De olika stora

delarna synliggjordes av både läromedel och lärare vilket gjorde dem enkla att urskilja.

Genom att ge flera exempel på vad lika delar är och inte är kommer lärande att främjas

(Lo, 2012). Görs det även tillsammans med att bråkdelarna omnämns, elevdiskussioner

och framförallt i verkliga kontexter, kommer resultaten blir än bättre. Att arbeta enligt

EPA (ensam, par, alla) kan vara en väg. Eleverna får genom EPA-metoden

30

inledningsvis synliggöra sina egna kunskaper och sedan ställa dem mot nya kunskaper.

Att kontrastera tidigare kunskaper mot nya kunskaper möjliggör lärande även enligt

Olteanu och Olteanu (2012).

Med tanke på att forskare benämner just bråktalens minskade fokus i vardagen

(Karlsson & Kilborn, 2015a; Kilborn, 2014; McIntosh, 2009) anser jag att

undervisningen bör fokusera på att flyttas från en klassrumskontext, till en

vardagskontext. Hodges m.fl. (2008) skriver att det bidrar till förbättrande resultat.

Undervisningen kommer därmed närmare eleverna och skapar en ökad motivation vilket

den ena läraren påpekar att även digitala läromedel medför. Med tanke på att flera

elever troligtvis använt bråk när de delat sin pizza med familjen eller godispåsen med ett

syskon får de dem att både förstå reglerna men framförallt nyttan med bråk.

8.3 Slutord och förslag till framtida studier

Vid undervisning av bråk poängterar littteraturen att mycket av undervisningen ska

baseras på förståelse istället för att räkna många tal. Detta överrensstämmer med min

bild av hur framgångsrik matematikundervisning ska bedrivas, inte bara för just bråk.

Eleverna behöver introduceras för begreppen genom bilder och konkret material för att

sedan veta vad symbolerna innebär. För läraren innebär det att det inte går att ge

eleverna läroboken och sedan låta dem jobba själva i 60 minuter, utan läraren är skyldig

att skapa egna sätt för att få eleverna att utvecklas. Genom att dra nytta av att det oftast

finns flera matematiklärare på skolorna kan dessa hjälpa varandra för att skapa

undervisning med hög kvalité.

Med tanke på vad en av lärarna nämner i intervjun vore det intressant att undersöka

digitala läromedel eftersom de börjar göra sig synliga i undervisningen. Vilka digitala

läromedel som finns och hur de används av lärare och elever skulle vara av intresse att

undersöka. Med tanke på att många skolor, från tidig ålder, köper in IKT-verktyg till

sina elever kan detta vara av allmänt intresse.

8.4 Slutsats

Nästan samtliga aspekter gavs möjlighet att urskilja i läromedlet. Enbart bråktals

koppling till decimaltal och procent utelämnades. Flera av aspekterna varieras på ett

tillfredsställande sätt trots att det inte utförs explicit. Helhetens utseende varieras genom

både former och uttryck vilket gör att den ges möjlighet att urskilja även om den alltid

presenteras som en hel. Läromedlet ger sällan förklaringar till i innehållet förutom när

lika delar ska jämföras med varandra. Uppgifterna i läromedlet var dock främst

koncentrerade till procedurförmågan istället för begreppsförmågan.

Båda lärarna berättar att de arbetar med aspekterna, men på olika sätt och omfattning.

Den ena läraren ägnar flera lektioner i veckan på att tillsammans med eleverna

undersöka bråktalens egenskaper. Eleverna erjbjuds en varierad bild av bråktal genom

konkret material, digitala läromedel och bilder. Den andra läraren arbetar mer med

läromedlet men berättar också att flera representationsformer används för att få eleverna

att skapa förståelse. Båda lärarna förordar cirklar och rektanglar som helheter beroende

på kontext.

31

Eleverna fick möjligheten att urskilja samtliga av aspekterna förutom kopplingen

mellan decimaltal och procent under observationerna. Konkret material användes i stor

omfattning. Flanocirklar och äpplen användes för att konkretisera helheten och de

delades i flera olika bråkdelar. Aspekten att delar måste vara lika stora för att jämföras

tydliggjordes för eleverna genom att flanocirklar delades i olika stora delar och med

hjälp av två rektanglar där den ena delades i lika stora delar, och den andra delades i

olika stora delar.

Med dessa slutsatser går det att konstatera att lärarens roll inom bråkundervisningen är

central. Eftersom läromedlet erbjuder flera aspekter, men inte tillräckligt grundligt eller

tydligt, resulterar det i att läraren behöver komplettera undervisningen på flera plan.

Läromedlet uppmuntrar inte heller användande av konkreta material vilket visat sig vara

nödvändigt för att skapa förståelse för de komplicerade bråktalen. Lärarens kompetens

att skapa en undervisning där eleverna får undersöka bråktal i en vardaglig kontext är

därmed avgörande för att få elever att frambringa kunskaper inom det viktiga

bråkområdet.

32

Referens:

Alajmi, Amal Hussain. (2012). How Do Elementary Textbooks Address Fractions? A

Review of Mathematics Textbooks in the USA, Japan, and Kuwait. Educational Studies

in Mathematics 79 (2), 239-261.

Aksu, Meral. (1997). Student Performance in Dealing with Fractions. Journal of

Educational Research, 90(6), 375-380.

Bezuk, N., & Cramer, K. (1989). Teaching about fractions: What, when and how?. New

directions for elementary school mathematics: 1989 Yearbook, 156-167.

Byrnes, James P., Wasik, Barbara A. (1991). Role of conceptual knowledge in

mathematical procedural learning. Developmental Psychology, 27(5), 777-786.

Charalambous, C., & Pitta-Pantazi, D. (2007). Drawing on a Theoretical Model to

Study Students’ Understandings of Fractions. Educational Studies in

Mathematics, 64(3), 293-316.

Charalambos Y. C., Delaney, S., Hui-Yu, H., & Mesa, V. (2010). A Comparative

Analysis of the Addition and Subtraction of Fractions in Textbooks from Three

Countries. Mathematical Thinking and Learning, 12(2), 117-151.

Chinnappan, M. (2005). Children's mappings of part-whole construct of fractions.

Conference of the Mathematics Education Research Group of Australasia, 241-248.

Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2008). Ten Practical Tips for Making

Fractions Come Alive and Make Sense. Mathematics Teaching in the Middle School,

(7), 372-380.

Clarke, D. M., Roche, A., & Mitchell, A. (2006). Year Six Fraction Understanding: A

Part of the Whole Story. Mathematics: Essential Research, Essential Practice (1) 207-

216.

Cramer, Kathleen A., Post, Thomas R., & DelMas, Robert C. (2002). Initial Fraction

Learning by Fourth- and Fifth-Grade Students: A Comparison of the Effects of Using

Commercial Curricula with the Effects of Using the Rational Number Project

Curriculum. Journal for Research in Mathematics Education, 33(2), 111-44.

Denscombe, M. (2016). Forskningshandboken: För småskaliga forskningsprojekt inom

samhällsvetenskaperna Lund: Studentlitteratur.

Holmqvist, M. (2011). Teachers’ learning in a learning study. Instructional Science,

39(4), 497-511.

Fazio, L., Kennedy, C., & Siegler, R. (2016). Improving Children's Knowledge of

Fraction Magnitudes. PLoS One, 11(10).

33

Flanders, James R. (1987). How Much of the Content in Mathematics Textbooks Is

New? The Arithmetic Teacher 35(1), 18-23.

Gabriel, F. C., Coché, F., Szucs, D., Carette, V., Rey, B., & Content, A. (2012).

Developing children’s understanding of fractions: An intervention study. Mind, Brain,

and Education, 6(3), 137–146.

Gabriel, F., Szucs, D., & Content, A. (2013). The Development of the Mental

Representations of the Magnitude of Fractions. PLoS One, 8(11), 1-14.

Guo, J., & Pang, M. (2011). Learning a mathematical concept from comparing

examples: The importance of variation and prior knowledge. European Journal of

Psychology of Education, 26, 495-525

Hodges, T. E., Cady, J, & Collins, L. (2008). Fraction Representation: The Not-So-

Common Denominator among Textbooks. Mathematics Teaching in the Middle

School, 14(2), 78-84.

Häggblom, L. (2013). Med matematiska förmågor som kompass (1. uppl.. ed.). Lund:

Studentlitteratur.

Johansson, B., & Svedner, P. (2010). Examensarbetet i lärarutbildningen. Uppsala:

Kunskapsföretaget.

Karlsson, N., & Kilborn, W. (2015a). Matematikdidaktik i praktiken: Att undervisa i

årskurs 1-6 (1. uppl.. ed.). Malmö: Gleerups Utbildning.

Karlsson, N., & Kilborn, W. (2015b). Konkretisering och undervisning i matematik :

Matematikdidaktik för lärare (1. uppl.. ed.). Lund: Studentlitteratur.

Kilborn, W. (2014). Tal i bråk- och decimalform – en röd tråd. Nationellt centrum för

matematikutbildning. Göteborg: Göteborgs universitet.

Lamon, S. (2012). Teaching fractions and ratios for understanding : Essential content

knowledge and instructional strategies for teachers (3.rd ed.). New York: Routledge.

Larsson, S. (1986). Kvalitativ analys: Exemplet fenomenografi (Teori, forskning,

praktik). Lund: Studentlitteratur.

Lo, M.L. (2012). Variation theory and the improvement of teaching and learning.

Göteborg: Acta Universitatis Gothoburgensis.

Loewenberg Ball, D., Ferrine-Mundy, J., Kilpatrick, J., Milgram, R.J., Schmid, W.,

Schaar, R. (2005). Reaching for Common Ground in K–12 Mathematics Education.

Lortie-Forgues, H., Tian, J., & Siegler, R. S. (2015). Review: Why is learning fraction

and decimal arithmetic so difficult? Developmental Review, 38, 201-221.

Marton, F. (2014). Necessary conditions of learning. London: Routledge.

34

Marton, F., & Booth, S. (1997). Learning and awareness. Mahwah, N.J.: Erlbaum.

Marton, F., & Booth, S. (2000). Om lärande. Lund: Studentlitteratur.

Mullis, I. V. S., Martin, M. O., & Foy, P. (2008). TIMSS 2007 International

Mathematics Report: Findings from IEA’s Trends in International Mathematics and

Science Study at the Fourth and Eighth Grades. Chestnut Hill, MA, USA: TIMSS &

PIRLS International Study Center, Lynch School of Education, Boston College.

Olteanu, C., Olteanu, L. (2012). Subtraction: the improvement of communication

through critical aspects. Proceedings of The 14th World Multi-Conference on Systemics,

Cybernetics and Informatics: WMSCI 2010, 90-95.

Olteanu, C., Fors, J. (2013). Levels of thinking and critical aspects: Congress of

European Research in Mathematics Education. CERME 8.

Olteanu, L. (2016). Opportunity to communicate: The coordination between focused

and discerned aspects of the object of learning. Journal Of Mathematical Behavior, 44.

1-12.

Runesson, U. (2005). Beyond discourse and interaction. Variation: a critical aspect for

teaching and learning mathematics. Cambridge Journal of Education, 35(1), 69-87.

Runesson, U. (2006) What is it Possible to Learn? On Variation as a Necessary

Condition for Learning. Scandinavian Journal of Educational Research, 50(4), 397-

410.

Siegler, J. W., Givvin, K. B., & Thompson, B. (2010). What community college

developmental mathematics students understand about mathematics. The MathAMATYC

Educator, 10, 4–16.

Torbeyns, J., Schneider, M., Xin, Z., & Siegler, R. (2015). Bridging the gap: Fraction

understanding is central to mathematics achievement in students from three different

continents. Learning and Instruction, 5-13.

Vetenskapsrådet. (2002). Forskningsetiska principer inom humanistisk-

samhällsvetenskaplig forskning. Stockholm: Vetenskapsrådet.

Wentworth, N, M., & Monroe, E, E. (1995). What Is the Whole? Mathematics Teaching

in the Middle School, 1(5), 356-60.

35

Bilagor

Bilaga 1 - Observationsschema

Lärandeobjekt:

Konstant

Variation

Urskiljning

Kontr

ast

Sep

arat

ion

Gen

eral

iser

ing

Fusi

on