BOKS-DŽENKINSOVA STRATEGIJA MODELIRANJAavs.ekof.bg.ac.rs/predavanja/2020/Boks-Dzenkinsova... · 2020. 3. 18. · BOKS-DŽENKINSOVA STRATEGIJA MODELIRANJA • Pristup se sastoji od

Profesor Zorica Mladenovic

Ekonomski fakultet, Beograd, 2020. 1

BOKS-DŽENKINSOVA

STRATEGIJA MODELIRANJA

Zorica Mladenović

BOKS-DŽENKINSOVA


• Autori: Box i Jenkins, 1976

• Cilj: izbor odgovarajućeg ARIMA modela koji na

zadovoljavajući način opisuje kretanje konkretnog

skupa podataka vremenske serije.

• Polazna osnova: ARIMA model

• Izgradnja ARIMA modela (ARIMA modeliranje)

– ’Modeliranje bez teorije’

– ’Sofisticirana ekstrapolacija’

– Box: ‚‚Svi modeli su pogrešni, samo su neki korisni”

( )( ) ( ) tqqtdpp eL...LLXLL...LL −−−−+=−−−−− 2210221 111

1

2



BOKS-DŽENKINSOVA


• Pristup se sastoji od tri faze:

– identifikacija modela

– ocena parametara modela i

– provera adekvatnosti modela.

• Iterativna procedura

I Faza identifikacije modela

• Potrebno je izabrati užu klasu ARIMA modela za koju pretpostavljamo da predstavlja potencijalni generator skupa podataka. Taj izbor zavisi od odgovora na sledeća pitanja:– Da li je potrebno stabilizovati varijansu vremenske

serije?

– Koliki je stepen integrisanosti serije, odnosno koliko je puta treba diferencirati da bi se ostvarila njena stacionarna reprezentacija?

– Koliki je red autoregresione i komponente pokretnih sredina modela? i

– Da li je potrebno u model uključiti slobodan član?

3

4



Pitanje Metodološki okvir

1. Da li je potrebno stabilizovati

varijansu vremenske serije?Grafički prikaz date serije

2. Koliki je stepen integrisanosti

serije?(d=?) 1. Test jediničnog korena

2. Obični i parcijalni korelogram

polazne serije

3. Koliki je red autoregresione i

komponente pokretnih sredina

modela? (p=?, q=?)

Obični i parcijalni korelogram

serije (koja je transformisana u

zavisnosti od broja jediničnih

korena)

4. Da li je potrebno u model

uključiti slobodan član za d=1?1. Grafički prikaz date serije

2. SW test

ModelObična

autokorelaciona funkcija

Parcijalna

autokorelaciona funkcija

AR(p)

Vrednosti opadaju tokom vremena

po eksponencijalnoj/oscilatornoj ili

sinusoidnoj putanji

11≠ 0, 22≠ 0,..., pp=p,kk=0 za k>p.

Vrednosti su različite od nule samo

za docnje koje su manje ili jednake

redu procesa p.

MA(q)

r1≠ 0, r2≠ 0,..., rq≠ 0, rk=0 za k>q.

Vrednosti opadaju tokom vremena i

jednake su nuli za docnje veće od

reda procesa q.

Vrednosti opadaju tokom vremena

po eksponencijalnoj/oscilatornoj ili

sinusoidnoj putanji

ARMA(p,q)

Vrednosti opadaju tokom vremena.

Prvih q koeficijenata je određeno

parametrima AR i MA komponente,

dok se za docnje veće od q

koeficijenti ponašaju kao kod AR

modela.

Vrednosti opadaju tokom vremena.

Prvih p koeficijenata je određeno

parametrima AR i MA

komponente. Za docnje veće od p

koeficijenti slede putanju sličnu

kao kod MA modela.

5

6



II Faza ocene parametara modela

• Metod običnih najmanjih kvadrata se može

koristiti u oceni parametara AR modela.

• Za ocenu parametara MA i ARMA modela

koristi se metod nelinearnih najmanjih

kvadrata koji se zasniva na upotrebi

metoda numeričke optimizacije.

III Faza provere

adekvatnosti modela

• Da li je model saglasan sa podacima?

– Da li su reziduali normalno raspodeljeni i

neautokorelisani?

• Da li je izbor AR i MA komponente optimalan?

– Da li je model istovremeno ekonomičan i dovoljno

precizan?

7

8



III-1. Analiza reziduala

• Normalnost (histogram, JB test)

• Autokorelacija

– Da li postoji autokorelacije na određenoj, k-toj,

docnji? (H0: rk=0) i

– Da li postoji autokorelacija na svim docnjama

do K-te? (H0: r1= r2 =...= rK =0).

Da li postoji autokorelacije na

određenoj, k-toj, docnji? (H0: rk=0)

Validnost nulte hipoteze H0: rk=0 protiv

alternativne H1: rk≠0 se testira tako što se

proverava da li ocena autokorelacionog

koeficijenta na docnji k serije reziduala,

pripada intervalu (-2/√T, 2/√T).

9

10



Da li postoji autokorelacija na svim

docnjama do K-te?

(H0: r1= r2 =...= rK =0).• Validnost nulte hipoteze H0: r1= r2 =...= rK =0 se testira protiv

alternativne da je bar jedan od prvih K autokorelacionih koeficijenata serije reziduala različit od nule na osnovu Boks-Pirsove statistike:

• Na uzorcima manjeg obima raspodela BP(K) statistike se ne aproksimira dovoljno precizno χ2 raspodelom u smislu da se korišćenjem standardnih kritičnih vrednosti ove raspodele potcenjuje postojanje autokorelacije.

• Ovaj problem se prevazilazi upotrebom korigovane verzije Boks-Pirsove statistike, čiji su autori Boks i Ljung:

=

−−−

+==

K

i

qpKi :

iT

ˆ)T(T)K(BLj)K(Q

1

22

2 r

=

−−==

K

1i

2qpK

2ii :ˆT)K(BPK,...,2,1i,T

1,0N:ˆ rr

Šta raditi u slučaju da autokorelacija

postoji u rezidualima?

• To je znak da ARIMA model nije dobro

postavljen, odnosno da odabir objašnjavajućih

promenljivih nije adekvatan.

• Neophodno je redefinisati izbor AR i MA

komponenti u skladu sa evidentiranim tipom

(redom) autokorelacije i potom oceniti novi

model.

11

12



III-2. Optimalan izbor parametara modela

(Informacioni kriterijum)

Informacioni kriterijum predstavlja zbir dva elementa

1. Element koji je funkcija neobjašnjenog

varijabiliteta modela

2. Element kojim se sankcioniše gubitak u broju

stepeni slobode zbog povećanja broja

parametara za ocenjivanje

g je nenegativna kaznena funkcija

s2 je ocena varijanse slučajne greške modela

T

qpgsln)q,p(IC

++= 2

11

Informacioni kriterijum

• Sabirci u informacionoj funkciji različito

reaguju na povećanje p i q:

• Ocena varijanse sl. greške modela se smanjuje

• Kaznena komponenta se povećava

• Cilj: izbor kombinacije p i q koja minimizira

vrednost informacionog kriterijuma

T

qpgsln)q,p(IC

++= 2

13

14



Informacioni kriterijum (II)

Funkcija g Kaznena

komponenta

Naziv Oznaka

2 2(p+q)/T Akaikeov AIC

lnT (lnT)(p+q)/T Švarcov SC / SIC

2ln(lnT) 2(ln(lnT))*

(p+q)/T

Hana-Kvinov HQC / HQIC

Dodatni kriterijumi u fazi

provere adekvatnosti modela:

1. Namerno proširenje ARIMA modela

2. Analiza preciznosti u prognoziranju

15

16



Dodatni kriterijumi u fazi

provere adekvatnosti modela:

1. Dodajemo AR i MA komponente da bismo

proverili da li je model ’otporan’ na proširenje

Modifikacija se realizuje korak po korak

Dodatni kriterijumi u fazi provere adekvatnosti modela:

2. Preciznost u predvidjanju

: prognoze) greske (varijanse apokazatelj sledecih

osnovu na modela razlicitih prognoze preciznost oProveravam 3.

: trenucima u podatka ukupno

za serije vremenske kretanje moPrognozira 2.

podataka sa zakljucno model Ocenjujemo 1.

:vrednosti

T1,...,mm,1,2,..., :trenuci

:T) (ukupno uzorka iz Podaci

gmpodataka g

)g(X̂),...,(X̂:Ocene

X,...,X:vrednostipoznatenevarSt

T,...,,mmg

m

X,...,X,X,...,X

mm

gmm

Tmm

T

1

21

1

11

++

+

=+

++

+

17

18



Dodatni kriterijumi u fazi provere adekvatnosti modela:

preciznost u predvidjanju II

( )

slicna) relativno modela svojstva ostala

su da kompretpostav (pod ijuspecifikac jusuperiorni sugerisu vrednosti Manje 4.

( prognoze greska naprocentual apsolutna Srednja 3.3.

( prognoze greska apsolutna Srednja 3.2.

) ( prognoze greske kvadratne srednje Koren 3.1.

: osnovu na prognoze preciznost oProveravam 3.

= += +

+

=

+

=

+

−=−

−

−

g

j jm

m

g

j jm

mjm

g

j

mjm

g

j

mjm

X

)j(X̂

gX

)j(X̂X

g

)errorpercentapsolutemean

)j(X̂Xg

)errorapsolutemean

)j(X̂Xg

rorsquared ermeanroot

11

1

2

1

1100100

1

1

Primer: Modeliranje godišnje stope rasta BDP

privrede Srbije (2002:1-2014:3)

51 kvartalni podatak

19

20



Identifikacija

Testiranje prisustva jediničnog korena u

godišnjoj stopi rasta BDP privrede Srbije

• ADF test

H0: Xt ~I(1), H1: Xt ~I(0)

ADF(3)=-4.76, tk=-3.51

-4.76



23

Identifikacija

Analiza korelacione strukture godišnje stope rasta

BDP (2002:1-2014:3), T=51 II

Docnja Ocena parcijalnog Značajna korelacija

(k) autokorel.koeficijenta

• 1 0.702 DA

• 2 0.108 NE

• 3 0.090 NE

• 4 -0.333 DA

• 5 0.285 DA

• 6 0.101 NE

• 7 0.094 NE

• 8 -0.051 NE

• Interval poverenja sa verovatnoćom 0.95: [-0.274;0.274]

Identifikacija

Predlog modela

• I ARIMA(5,0,0)

• II ARIMA(0,0,3)

23

24



Finalni model I:

Redukovani ARIMA(5,0,0)

Dependent Variable: X

Method: Least Squares

Sample (adjusted): 2003Q2 2014Q3

Included observations: 46 after adjustments

Convergence achieved after 3 iterations

Variable Coefficient Std. Error t-Statistic Prob.

C 0.018387 0.022495 0.817378 0.4186

AR(1) 0.847032 0.150558 5.625936 0.0000

AR(2) -0.047405 0.167969 -0.282223 0.7792

AR(3) 0.341610 0.153667 2.223055 0.0319

AR(4) -0.679710 0.164617 -4.129042 0.0002

AR(5) 0.365372 0.148513 2.460207 0.0183

R-squared 0.670041 Mean dependent var 0.027663

Adjusted R-squared 0.628797 S.D. dependent var 0.039148

S.E. of regression 0.023851 Akaike info criterion -4.512856

Sum squared resid 0.022755 Schwarz criterion -4.274337

Log likelihood 109.7957 Hannan-Quinn criter. -4.423505

F-statistic 16.24547 Durbin-Watson stat 2.105793

Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted AR Roots .86 .56-.47i .56+.47i -.57+.69i

-.57-.69i



Sample (adjusted): 2003Q2 2014Q3




AR(1) 0.842077 0.115149 7.312919 0.0000

AR(3) 0.334425 0.141592 2.361901 0.0229

AR(4) -0.671169 0.159299 -4.213257 0.0001

AR(5) 0.374197 0.129251 2.895115 0.0060






Durbin-Watson stat 2.076152

Inverted AR Roots .90 .55-.46i .55+.46i -.58+.69i

-.58-.69i

Finalni model I:

Redukovani ARIMA(5,0,0)

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Specification: X AR(1) AR(3) AR(4) AR(5)

Sample: 2001Q1 2014Q3

Included observations: 46

AR Root(s) Modulus Cycle

0.903349 0.903349

-0.577638 ± 0.685834i 0.896679 2.766985

0.547002 ± 0.464739i 0.717770 8.921584

No root lies outside the unit circle.

ARMA model is stationary.

25

26



Finalni model II:

ARIMA(0,0,3)





MA Backcast: OFF


C 0.033696 0.009772 3.448283 0.0012

MA(1) 0.816207 0.110067 7.415537 0.0000

MA(2) 0.650897 0.130614 4.983350 0.0000

MA(3) 0.671089 0.110972 6.047377 0.0000






F-statistic 27.63591 Durbin-Watson stat 1.935316

Prob(F-statistic) 0.000000

Inverted MA Roots .05-.86i .05+.86i -.91

Inverse Roots of AR/MA Polynomial(s)

Specification: X MA(1) MA(2) MA(3) C

Sample: 2001Q1 2014Q3

Included observations: 51

MA Root(s) Modulus Cycle

-0.910668 0.910668

0.047231 ± 0.857140i 0.858440 4.145267

No root lies outside the unit circle.

ARMA model is invertible.

Zapis modela

).(.JB),.(.)(Q,.s,.SC

).( ) . ().().(t-odn.

ê.ê.ê.ê.X

).(.JB),.(.)(Q,.s,.SC

).( ) .(). ().(t-odn.

êX.X.X.X.X

ttttt

tttttt

68076045005580244036134

056984427453

670650820030

91018051028380234042924

902214362317

370670330840

321

5431

===−=

++++=

===−=

−

++−+=

−−−

−−−−

3)ARIMA(0,0,

,0) ARIMA(5,0Redukovani

27

28



Analiza preciznosti u predvidjanju

- Ocenjeni su modeli zaključno sa 2014:1- Prognozirane su vrednosti za 2014:2-2014:3

- Analizirana je varijansa greške prognoze

ModelKoren srednje

kvadratne greške

prognoze

Srednja apsolutna

greška prognoze

Srednja

apsolutna

procentualna

greška prognoze

Redukovani ARIMA(5,0,0) 0.0219 0.0172 106.18

ARIMA(0,0,3) 0.0235 0.0194 105.92

29

Documents

BOKS-DŽENKINSOVA STRATEGIJA MODELIRANJAavs.ekof.bg.ac.rs/predavanja/2020/Boks-Dzenkinsova... · 2020. 3. 18. · BOKS-DŽENKINSOVA STRATEGIJA MODELIRANJA • Pristup se sastoji od