Praktični aspekti modeliranja stacionarnih vremenskih

Profesor Zorica Mladenović

1Ekonomski fakultet, Beograd, 2021.

Praktični aspekti modeliranja

stacionarnih vremenskih serija

(Boks-Dženkinsova strategija modeliranja)

Zorica Mladenović

Autori metodologije

• Box and Jenkins, Time Series Analysis:

Forecasting and Control, 1976, II izdanje

• Britanski statističari:

o G.E.P. Box (1919-2013), započeo studije hemije

o G.M. Jenkins (1933-1982), dipl. matematičar

• Autori knjige V izdanja iz 2015:

Box, Jenkins, Reinsel and Ljung

1

2



Osnove

• Cilj: izbor ARMA modela koji na zadovoljavajući

način opisuje kretanje konkretne vremenske serije.

• Polazna osnova: ARMA(p,q) model

• Uobičajeni naziv: izgradnja ARMA modela (ARMA

modeliranje)

• Boks: Svi modeli su pogrešni, samo su neki korisni.

qtqtttptpttt e...eeeX...XXX −−−−−− −−−−++++= 22112211

Osnove II

• Pristup se sastoji od tri faze:

– identifikacija modela

– ocena parametara modela i

– provera adekvatnosti modela.

• Iterativna procedura

3

5



I Faza identifikacije modela

• Potrebno je izabrati užu klasu ARMA modela za koju pretpostavljamo da predstavlja potencijalni generator skupa podataka.

• Ključno pitanje:

Koliki je red autoregresione i

komponente pokretnih proseka?

• Ključni princip:

Jednostavnost (ekonomičnost)

• Ključni metodološki okvir:

Analiza obične i parcijalne

autokorelacione funkcije

Model Obična

autokorelaciona funkcija

Parcijalna

autokorelaciona funkcija

AR(p)

Vrednosti opadaju tokom

vremena po

eksponencijalnoj,

eksponencijalno oscilatornoj

ili sinusoidnoj putanji

11≠ 0, 22≠ 0,..., pp=p

kk=0 za k>p.

MA(q)

r1≠ 0, r2≠ 0,..., rq≠ 0,

rk=0 za k>q.

Vrednosti opadaju tokom vremena

po eksponencijalnoj,

eksponencijalno oscilatornoj ili

sinusoidnoj putanji

ARMA(p,q)

Vrednosti opadaju tokom

vremena. Prvih q

koeficijenata je određeno

parametrima AR i MA

komponente, dok se za

docnje veće od q koeficijenti

ponašaju kao kod AR

modela.

Vrednosti opadaju tokom vremena.

Prvih p koeficijenata je određeno

parametrima AR i MA

komponente. Za docnje veće od p

koeficijenti slede putanju sličnu

kao kod MA modela.

6

7



II Faza ocene parametara modela

• Metod običnih najmanjih kvadrata se može

koristiti u oceni parametara AR modela.

• Za ocenu parametara MA i ARMA modela koristi

se metod nelinearnih najmanjih kvadrata koji se

zasniva na upotrebi metoda numeričke

optimizacije.

III Faza provere adekvatnosti modela

1. Da li je model saglasan sa podacima?

Da li su reziduali normalno raspodeljeni i

neautokorelisani?

2. Da li je izbor AR i MA komponente optimalan?

Da li je model istovremeno ekonomičan i dovoljno

precizan?

8

9



III-1. Analiza reziduala

• Normalnost

• Autokorelacija

Testiranje normalnosti reziduala

u ocenjenom modelu

• Uobičajena pretpostavka: slučajna greška ima

normalnu raspodelu, e~N(0,s2)

• Zbirno dejstvo velikog broja sporadičnih i

nesistematičnih faktora opravdano je modelirati

normalnom raspodelom. Otuda i pretpostavka.

10

11



Šta ako slučajna greška nema

normalnu raspodelu?

• Ukoliko je samo ova pretpostavka narušena, tada se

dobijaju pouzdane ocene.

• Međutim,

– Testiranje hipoteza je nepouzdano.

– Vrednosti t-odnosa i F-odnosa su netačne.

– Verovatno postoji greška u specifikaciji modela.

• Zaključak:

– Postupak statističkog zaključivanja je pogrešan.

– Pretpostavka je vitalni deo specifikacije modela.

Provera validnosti pretpostavke da

slučajna greška ima normalnu raspodelu

• Neformalni (grafički) pristup

• Formalni pristup

12

13



Neformalni (grafički) pristup

• Histogram

• Grafički prikaz učestalosti pojavljivanja podataka

(reziduala) u pojedinim grupnim intervalima

• x-osa: celokupni raspon vrednosti date

promenljive deli se na određeni broj

podintervala jednake širine

• y-osa: broj pojavljivanja podataka u

svakom od podintervala

Formalni pristup

• Primena različitih test-statistika

• Najpopularniji test normalnosti je

Žark-Bera (engl. Jarque-Bera) test

• Oznaka: JB

• Zasniva se na ocenama koeficijenata

kojima se opisuju svojstva raspodele

14

15



Koeficijenti za deskripciju raspodele

• Empirijska raspodela često se opisuje na

osnovu dva koeficijenta: asimetrije i

spljoštenosti.

• Koeficijent asimetrije meri stepen u kojem

raspodela nije simetrična u odnosu na srednju

vrednost.

• Raspodela može biti

• Simetrična

• Asimetrična

– Ulevo (negativna)

– Udesno (pozitivna)

Koeficijent asimetrije (engl. skewness)

Oznaka koeficijenta: 3

Vrednost koeficijenta Tip raspodele

Nula Simetrična

Veća od nule Asimetrična udesno

Manja od nule Asimetrična ulevo

3

16

18



Koeficijenti za deskripciju raspodele II

• Koeficijent spljoštenosti meri težinu (debljinu)

repova raspodele

Svojstva repova raspodele iskazuju se

u odnosu na normalnu raspodelu

• Repovi raspodele mogu biti

– Iste težine kao kod normalne raspodele

– Teži od repova normalne raspodele

– Lakši od repova normalne raspodele

Koeficijent spljoštenosti (engl. kurtosis)

Oznaka koeficijenta: 4

Vrednost koeficijenta Težina repova

Tri Odgovara normalnoj raspodeli

Veća od tri Veći deo jedinične verovatnoće je pod

repovima nego kod repova N raspodele

(prisustvo ekstremnih opservacija)

Manja od tri Manji deo jedinične verovatnoće je pod

repovima nego kod repova N raspodele

4

19

20



Normalno spljoštena raspodela (plavi grafik)

i raspodela koja ima teže repove od normalne

-5.4 -3.6 -1.8 -0.0 1.8 3.6 5.4

0.0

0.1

0.2

0.3

0.4

0.5

34

34 =

Koeficijent asimetrije Koeficijent spljoštenosti

Ocena Ocena

Nulta hipoteza: data raspodela je normalna, odnosno vrednosti

koeficijenata asimetrije i spljoštenosti su redom 0 i 3.

Alternativna hipoteza: data raspodela nije normalna.

Statistika:

Odgovarajuća kritična vrednost na nivou značajnosti 5% je 5.99.

raspodelu N za 03 = raspodelu N za 34 =

3

3

3s

ˆ

T

e

ˆ

t=

4

4

4s

ˆ

T

e

ˆ

t=

T

6,0N:ˆ

3

( )1,0N:)3ˆ(24

T4 −

T

24,3N:ˆ

4

( )1,0N:ˆ6

T3

2

24

2)34ˆ(2

3 :ˆ6

TJB

−+=

21

22



Šta raditi u slučaju da raspodela

odstupa od normalne?

• Ne postoji jedinstveno rešenje zato što je

odstupanje od normalnosti posledica pogrešne

specifikacije modela.

• Često se modifikuje polazna specifikacija

uključivanjem promenljivih kojima se eksplicitno

modeliraju ekstremni događaji.

– Takve promenljive se nazivaju

veštačke promenljive.

Testiranje autokorelacije reziduala

u ocenjenom modelu

• Da li postoji autokorelacija na

određenoj, k-toj, docnji?

(H0: rk=0)

• Da li postoji autokorelacija na svim

docnjama do K-te?

(H0: r1= r2 =...= rK =0).

23

24



Da li postoji autokorelacija na

određenoj, k-toj, docnji? (H0: rk=0)

Validnost nulte hipoteze H0: rk=0 protiv

alternativne H1: rk≠0 se testira tako što se

proverava da li ocena autokorelacionog

koeficijenta na docnji k serije reziduala,

pripada intervalu (-1.96/√T, 1.96/√T).

Da li postoji autokorelacija

na svim docnjama do K-te?

(H0: r1= r2 =...= rK =0).

• Validnost nulte hipoteze H0: r1= r1 =...= rK =0 se testira protiv alternativne da je bar jedan od prvih K autokorelacionih koeficijenata serije reziduala različit od nule.

• Boks-Pirsova i Boks-Ljungova statistika.

• Boks-Ljungova statistika:

=

−−−

+==K

iqpK

i :iT

ˆ)T(T)K(BLj)K(Q

1

22

2 r

25

26



Šta raditi u slučaju da autokorelacija

postoji u rezidualima?

• To je znak da ARMA model nije dobro

postavljen, odnosno da odabir objašnjavajućih

promenljivih nije adekvatan.

• Neophodno je redefinisati izbor AR i MA

komponenti u skladu sa evidentiranim tipom

(redom) autokorelacije i potom oceniti novi

model.

III-2. Optimalan izbor parametara modela

(Informacioni kriterijum)

Informacioni kriterijum predstavlja zbir dva elementa

1. Element koji je funkcija neobjašnjenog

varijabiliteta modela

2. Element kojim se sankcioniše gubitak u broju

stepeni slobode zbog povećanja broja

parametara za ocenjivanje

g je nenegativna kaznena funkcija

s2 je ocena varijanse slučajne greške modela

T

qpgsln)q,p(IC

++= 2

27

28



Informacioni kriterijum

• Sabirci u informacionoj funkciji različito

reaguju na povećanje p i q:

• Ocena varijanse sl. greške modela se smanjuje

• Kaznena komponenta se povećava

• Cilj: izbor kombinacije p i q koja minimizira

vrednost informacionog kriterijuma

T

qpgsln)q,p(IC

++= 2

Informacioni kriterijum (II)

Funkcija g Kaznena

komponenta

Naziv Oznaka

2 2(p+q)/T Akaikeov AIC

lnT (lnT)(p+q)/T Švarcov SC / SIC

2ln(lnT) 2(ln(lnT))*

(p+q)/T

Hana-Kvinov HQC / HQIC

29

30



Dodatni kriterijumi u fazi

provere adekvatnosti modela

1. Namerno proširenje ARMA modela

2. Analiza preciznosti u prognoziranju

Dodatni kriterijumi u fazi

provere adekvatnosti modela:

namerno proširenje ARMA modela

Dodajemo AR i MA komponente da bismo

proverili da li je model ’otporan’ na proširenje

Modifikacija se realizuje korak po korak.

Nikada se istovremeno ne dodaju

AR i MA komponente istog reda.

31

32



Dodatni kriterijumi u fazi provere

adekvatnosti modela: preciznost u predvidjanju

Pokazatelji preciznosti predvidjanja

33

34



Dodatni kriterijumi u fazi provere

adekvatnosti modela: preciznost u predvidjanju II

35

Profesor Zorica Mladenović 5/19/2021

Ekonomski fakultet, Beograd, 2021. 1

1

Analiza vremenskih serija:

osnove nestacionarnosti

Zorica Mladenović

2

Modeliranje komponente

trenda u vremenskoj seriji

Dva tipa modela: trend-stacionarna i diferencno-stacionarna klasa modela

Detaljnije o diferencno-stacionarnoj klasi modela

Zašto je važno napraviti razliku između dveklase modela?

ARIMA modeli

1

2



Trend-stacionarna klasa modela

Vremenska serija je zbir determinističke

funkcije trenda i stacionarne

komponente.

Koristi se za opisivanje vremenskih serija

koje su stacionarne, ali oko putanje

najčešće linearnog trenda.

Deterministički proces

3

4

Trend-stacionarna klasa modela II

𝑋𝑡 = 𝛽0 + 𝛽1𝑡 + 𝑒𝑡 , t = 1,2,...

E 𝑒𝑡 = 0, var 𝑒𝑡 = 𝜎2, cov 𝑒𝑡 , 𝑒𝑡−𝑘 = 0⇒ E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.

E(𝑋𝑡) = 𝛽0 + 𝛽1𝑡

var(𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡) = 𝜎2, t = 1,2,...

cov(𝑋𝑡 , 𝑋𝑡−𝑘) = 𝐸 Xt − 𝐸 𝑋𝑡 Xt−k − 𝐸 𝑋𝑡−𝑘= 𝐸 Xt − 𝛽0 − 𝛽1𝑡

𝑒𝑡

Xt−k − 𝛽0 − 𝛽1 𝑡 − 𝑘

𝑒𝑡−𝑘= 0, t = 1,2,..., k = 1,2,...

3

4



5

Trend-stacionarna klasa modela III

-5

0

5

10

15

20

25

25 50 75 100

Xt=0.01+0.2t+e

-25

-20

-15

-10

-5

0

25 50 75 100

Xt=0.01-0.2t+e

-4

0

4

8

12

16

20

24

10 20 30 40 50 60 70 80 90 100

Xt=0.01+0.2*t+et+0.7*e(t-1)

6

Trend-stacionarna klasa modela IV:

primer iz praktične analize

Period: 1866 – 2011. godina (146 godišnjih

opservacija, log vrednosti)

5.0

5.5

6.0

6.5

7.0

7.5

8.0

70 80 90 00 10 20 30 40 50 60 70 80 90 00 10

G o d i š n j a p r o i z v o d n j a p š e n i c e u S A D

5

6



7

Diferencno-stacionarna klasa modela

Δ𝑋𝑡 = 𝛽 + 𝑒𝑡 ili 𝑋𝑡= 𝛽 + 𝑋𝑡−1 + 𝑒𝑡 ,E(𝑒𝑡) = 0, var(𝑒𝑡) = 𝜎2, E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.

𝛽 > 0, konstantni prirast

𝑋𝑡 = 𝛽 + ถ𝑋𝑡−1𝛽+𝑋𝑡−2+𝑒𝑡−1

+ 𝑒𝑡

𝑋𝑡 = 2𝛽 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 =. . . = 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1t

+ 𝑋0

𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1

𝑡 = 1, 𝑋1 = 𝑋0 + 𝛽 + 𝑒1,𝑡 = 2, 𝑋2 = 𝑋0 + 2𝛽 + 𝑒2 + 𝑒1, itd.

Deterministička komponenta svakog narednog članavremenske serije se uvećava za vrednost 𝛽

8

Diferencno-stacionarna klasa modela II

E(𝑋𝑡) = 𝑋0 + 𝛽𝑡var(𝑋𝑡) = var(𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1) = 𝑡𝜎2.

Primenom operatora prve diference eliminiše senestacionarnost:

Δ𝑋𝑡 = 𝛽 + 𝑒𝑡, E(Δ𝑋𝑡) = 𝛽, var(Δ𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡) = 𝜎2.

7

8



9

Diferencno-stacionarna klasa modela III

𝑋𝑡 = 𝑋0 + 𝛽𝑡 + 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒1𝑋𝑡−𝑘 = 𝑋0 + 𝛽(𝑡 − 𝑘) + 𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1

cov(𝑋𝑡, 𝑋𝑡−𝑘 )= 𝐸 𝑋𝑡 − 𝐸 𝑋𝑡 𝑋t−k − 𝐸 𝑋𝑡−𝑘

= E(𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1+. . . +𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1)(𝑒𝑡−𝑘 + 𝑒𝑡−𝑘−1+. . . +𝑒1)

=(t-k)𝜎2

𝜌 =cov(𝑋𝑡, 𝑋𝑡−𝑘 )var(𝑋𝑡)var(𝑋𝑡−𝑘)

= (t−k)𝜎2

𝑡𝜎2(t−k)𝜎2= (𝑡−𝑘)2

𝑡 (t−k)= 1 −𝑘

𝑡

10

Diferencno-stacionarna klasa modela IV

Vremenska serija nema stabilnu varijansu.⚫ Varijansa je linearna funkcija vremena

⚫ Sa protokom vremena varijansa se neograničeno povećava.

Kovarijansa svaka dva člana zavisi od trenutka vremena i sa protokom vremena se povećava.

Model možemo shvatiti kao AR(1) model sa autoregresionim parametrom 1: ⚫ Obična autokorelaciona funkcija uzima niz nenultih

vrednosti koje sporo opadaju počev od vrednosti bliske 1.

⚫ Parcijalna autokorelaciona funkcija poseduje nenultu

vrednost samo na prvoj docnji i ta vrednost je bliska 1.

9

10



11

Diferencno-stacionarna klasa modela V

Vremenska serija se transformiše u stacionarnu

primenom operatora prve diference.

Prva diferenca primenjena jednom:

Prva diferenca primenjena dva puta, druga diferenca:

ttt

X

ttttt eX,eXXeXX

t

+=+=−++= −−

11

1ttt XXX −−=

2t1tt1tttt2 XX2XXXXX −−− +−=−==

12

Diferencno-stacionarna klasa modela:

grafički prikaz generisanih podataka

0

50

100

150

200

250

50 100 150 200 250 300

Xt=0.7+Xt-1+e

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

X-X(-1)=0.7+et

11

12



13 13


obična i parcijalna autokorelaciona funkcija

ACF

0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF

PACF

0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0PACF

14


indeks osnovnih cena privrede Srbije (log vrednosti)

4.95

5.00

5.05

5.10

5.15

5.20

5.25

5.30

5.35

5.40

5.45

2002 2003 2004 2005 2006 2007

Indeks osnovnih cena (log)

-.010

-.005

.000

.005

.010

.015

.020

.025

2002 2003 2004 2005 2006 2007

Prva diferenca (osnovna inflacija)

13

14



15 15

Da li se izdvajanjem funkcije trenda menja

statistička priroda vremenske serije

diferencno-stacionarne klase modela?

-15

-10

-5

0

5

10

15

-50

0

50

100

150

200

250

25 50 75 100 125 150 175 200 225 250 275 300

Reziduali

Stvarno kretanje

Prilagodjeno kretanje prema funkciji linearnog trenda

16 16

Korelogrami serije reziduala sugerišu

njihovu nestacionarnost: izdvajanje komp.

trenda nije suštinska transformacija

ACF

0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0ACF

PACF

0 5 10 15 20

-0.5

0.0

0.5

1.0PACF

15

16



17

Alternativni termini za diferencno-

stacionarnu klasa modela

Vremenska serija sa stohastičkim trendom

Integrisano-stacionarna vremenska serija

Vremenska serija sa jediničnim korenom

Slučajan hod

18

Alternativni termini II

Vremenska serija sa stohastičkim trendom

⚫ Na osnovu informacije o prethodnom kretanju

vremenske serije ne možemo predvideti njeno

kretanje u budućnosti. U suprotnom, kada bi trend

bio deterministički, tada bi i prognoza bila

pouzdana.

17

18



19

Alternativni termini III

Integrisano-stacionarna vremenska serija

⚫ Vremenska serija dobija se na osnovu zbira članova

procesa beli šum.

⚫ Operaciji sabiranja u diskretnom prostoru odgovara

postupak integraljenja neprekidnih veličina.

⚫ Reč je o integrisanom procesu prvog reda, gde red 1

pokazuje koliko puta treba diferencirati seriju da bi se

dobila njena stacionarna reprezentacija.

⚫ Ako je prva diferenca stacionarna, tada je vremenska

serija integrisana reda 1. Oznaka: Xt~I(1).

⚫ Za stacionarnu vremensku seriju kažemo da je integrisana

reda 0: Xt~I(0).

20

Alternativni termini IV

Vremenska serija sa jediničnim korenom

⚫ Reč je o AR(1) modelu kod koga je autoregresioni

parametar jednak vrednosti 1. Ponašanje ove v. serije na

dugi rok određuje rešenje sledeće karakteristične

jednačine:

⚫ Koren korespondirajuće karakteristične jednačine uzima

vrednost jedan. Otuda potiče naziv jedinični koren.

⚫ Broj jediničnih korena odgovara nivou integrisanosti v.

serije, tj. broju postupaka diferenciranja potrebnih za

stacionarnu reprezentaciju v. serije.

.1g01g

eX1X t1tt

==−

=− −

19

20



21

Rezime uvedenih termina

Ako vremenska serija ima d jediničnih korena, onda je ona

integrisana reda d, i treba je diferencirati d puta da bi se

obezbedila njena stacionarna reprezentacija.

S𝑒𝑟𝑖𝑗𝑎 ima 𝑑 jediničnih korena⇔ 𝑋𝑡~𝐼(𝑑) ⇔ Δ𝑑𝑋𝑡~𝐼(0)

22

Kako izgleda vremenska serija

sa dva jedinična korena?

( )

eXXeXXXX

)2(I~X1gg01g01g2g

eXX2X

eXX2X

t

)0(I~tX2

tetX2

tX21tXtX

1tt

)1(I~tX

t

1tX

2t1t

tX

1tt

t2122

t2t1tt

t2t1tt

+=+−=−

===−=+−

=+−

+−=

=

=−−

−

−

−−−

−−

−−

21

22



23

Kako izgleda vremenska serija

sa dva jedinična korena II?

0

100

200

300

400

500

25 50 75 100

Xt~I(2)

-2

0

2

4

6

8

10

25 50 75 100

Prva diferenca Xt ~ I(1)

-3

-2

-1

0

1

2

3

25 50 75 100

Druga diferenca Xt ~ I(0)

24

Alternativni termini V

Slučajan hod (engl. random walk):

⚫ Klasičan slučajan hod

⚫ Slučajan hod sa konstantnim prirastom

23

24



25

Naziv Forma E(Xt)

Slučajan hod

klasični

Xt = Xt-1 + et

X0 =0

0

Slučajan hodsa konstantnim

prirastom

Xt = Xt-1+ β+et

X0 =0

β

26

Klasičan slučajan hod

𝑋𝑡 = 𝑋𝑡−1 + 𝑒𝑡 , E(e𝑡) = 0, var(e𝑡) = 𝜎2, E(𝑒𝑡𝑒𝑡−𝑘) = 0, k ≠ 0.

𝑋𝑡 = ถ𝑋𝑡−1𝑋𝑡−2+𝑒𝑡−1

+ 𝑒𝑡

𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑋𝑡−2 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2 + 𝑋𝑡−3 =. . .𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1

t

+ด𝑋00

𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1𝑋1 = 𝑒1, var(𝑋1) = var( 𝑒1) = 𝜎2

𝑋2 = 𝑒2 + 𝑒1, var( 𝑋2) = var( 𝑒2 + 𝑒1) = 2𝜎2

. . .var(𝑋𝑡) = var(𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2+. . . +𝑒1) = 𝜎2 + 𝜎2+. . . +𝜎2

𝑡= 𝑡𝜎2.

25

26



27

Klasičan slučajan hod: grafički prikaz

-8

-4

0

4

8

12

50 100 150 200 250 300

Xt=Xt-1+et

-3

-2

-1

0

1

2

3

4

50 100 150 200 250 300

Xt-Xt-1= et

28

Slučajan hod u ekonomskim analizama:

analiza efikasnosti finansijskog tržišta

Koncept (slabe) efikasnosti finansijskog tržišta: prethodno kretanje stopa prinosa finansijskih instrumenata ne utiče na njihovo buduće kretanje.

Na efikasnom finansijskom tržištu cene u svakom trenutku inkorporiraju sve faktore na strani ponude i potražnje, pa se menjajusamo sa pojavom nove vesti.

Koncept efikasnog tržišta čini model slučajnog hoda relevantnim za opisivanje kretanja logaritma cena finansijskih instrumenata.

Ukoliko logaritam cena prati putanju slučajnog hoda, tada je odgovarajuća stopa prinosa (prva diferenca logaritma datih cena) beli šum.

Do promene cena dolazi slučajno, i to isključivo kao rezultat nove informacije.

tt1ttt1tt ePlnPlnPlnePlnPln ==−+= −−

27

28



29


analiza deviznog tržišta

Teorija o paritetu kupovne snage: skup datih dobara treba da

košta približno isto u različitim ekonomijama, ako se izuzmu

transportni i drugi troškovi.

Slobodno rečeno, u uslovima fluktuirajućeg kursa, deprecijacija

valute aproksimativno je jednaka razlici između domaće i inostrane

inflacije. Valjanost ove teorije, uz sva ograničenja, može se

predstaviti na sledeći način:

Serija realni devizni kurs treba da oscilira relativno pravilno tokom

vremena da bi teorija o paritetu kupovne snage bila validna.

Ako serija realni devizni kurs ima karakteristike slučajnog hoda,

onda se data teorija ne može prihvatiti.

( ) 0PlnPlnEXln ,PEXP

kurs) devizni ln(realni

*ttt

*ttt =+−=

30


analiza dostignutog stepena konvergencije

Teorija privrednog rasta: nivoi BDP per capita u dve

zemlje međusobno konvergiraju ako je njihova razlika

stacionarna vremenska serija sa nultom srednjom

vrednošću. U suprotnom, prisustvo j. korena sugeriše

odsustvo tendencije ka konvergenciji.

Monetarna ekonomija: za zemlje EMU (sa

jedinstvenom valutom) konvergencija stopa inflacija

značajna je kako bi jedinstvena monetarna politika ECB

bila delotvorna u na različitim tržištima. Prisustvo

jediničnog korena u razlici parova stopa inflacije

sugeriše da efikasnost monetarne politike nije

obezbeđena.

29

30



31

Zašto je važno napraviti

razliku između dve klase modela?

Postoje dva osnovna razloga koji čine relevantnom

podelu na stacionarne i nestacionarne veličine

⚫ Statistički

⚫ Ekonomski

32

Statistički razlozi

Primena standardne statističke procedure (zasnovana na metodu ONK) nepouzdana je u regresionoj analizi vremenskih serija sa jediničnim korenom.⚫ Ocene parametara regresionog modela su pristrasne i

nekonzistentne.

⚫ Ocene parametara nemaju normalnu raspodelu. To znači da statističko zaključivanje zasnovano na t-odnosu i F-testu značajnosti koeficijenta determinacije nije tačno.

⚫ Moguća je pojava besmislene regresije. Ovim pojmom označava se regresija sa visokim vrednostima koeficijenta determinacije i t-odnosa (po modulu) između vremenskih serija sa jediničnim korenom, ali koje su potpuno nezavisne.

31

32



33

Značajna istraživanja

Yule (1926)⚫ Empirijska analiza; Udeo broja brakova sklopljenih u Engleskoj

crkvi u odnosu na ukupan broj i mortalitet na 1000 osoba prema godišnjim podacima Engleske i Velsa u periodu: 1866-1911. (R2=0.91)

Granger and Newbold (1974)

⚫ Simulaciona analiza

Hendry (1980) ⚫ Empirijska analiza, Inflacija i kumulisana količina padavina u V.

Britaniji prema kvartalnim podacima u periodu: 1964-1975. (R2=0.99)

Phillips (1986)

⚫ TEORIJSKI DOKAZI

34

Jednostavan program za simulacije

(broj ponavljanja 1000, obim uzorka 150,

cilj: analiza vrednosti koef. determinacije)

workfile besmislena_reg u 1000

series r2

!nreps=1000

!nobs=150

for !repc=1 to !nreps

smpl @first @first

series y1=0

series x1=0

smpl @first+1 !nobs+20

'Dva nekorelisana bela šuma‘

series ay=nrnd

series ax =nrnd

'Dva nekorelisana slučajna hoda'

series y1=0.2+y1(-1)+ay

series x1=0.1+x1(-1)+ax

smpl @first+20 !nobs+20

equation eq1.ls y1 c x1

'Koeficijent determinacije R2’

r2(!repc)=@r2

next

smpl @first !nreps

33

34



35

Prosečna vrednost koef. determinacije

u nekim od simulacija

Simulacija Tip serija Prosečan

koef.det.

1. Dve nekorelisane stacionarne vremenske serije

Xt=0.6*Xt-1+axt ,Yt=0.7*Yt-1+ayt

0.02

2. Dve korelisane stacionarne vremenske serije

Xt=0.6*Xt-1+axt ,Yt=1+Xt+ayt

0.60

3. Dva nekorelisana slučajna hoda

Xt=Xt-1+axt ,Yt=Yt-1+ayt

0.23

4. Dva nekorelisana slučajna hoda sa konst. prirastom

Xt=0.1+Xt-1+axt ,Yt=0.2+Yt-1+ayt

0.49

4a. Dva nekorelisana slučajna hoda sa konst. prirastom

Xt=0.5+Xt-1+axt ,Yt=0.2+Yt-1+ayt

0.80

Simulacije 1. i 2. Histogrami

koeficijenata determinacije

Simulacija 1. Simulacija 2.

36

0

100

200

300

400

500

600

0.00 0.02 0.04 0.06 0.08 0.10 0.12 0.14 0.16 0.18 0.20 0.22 0.24

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0.40 0.45 0.50 0.55 0.60 0.65 0.70 0.75

35

36



Simulacije 4. i 4a. Histogrami

koeficijenta determinacije

Simulacija 4. Simulacija 4a.

37

0

20

40

60

80

100

120

140

160

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.00

10

20

30

40

50

60

70

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9

38

Ekonomski razlozi

Razlika između vremenske serija sa i bez jediničnog korena ima jasnu ekonomsku implikaciju:

⚫ Uticaj slučajnih šokova na nivo stacionarne vremenske serije slabi tokom vremena (AR(1), |1|<1)

𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 1𝑒𝑡−1 + 12𝑒𝑡−2 + 1

3𝑒𝑡−3+…

⚫ Efekat šoka na nivo vremenske serije sa jediničnim korenom ima trajno dejstvo za neodređeni period vremena.

𝑋𝑡 = 𝑒𝑡 + 𝑒𝑡−1 + 𝑒𝑡−2 + 𝑒𝑡−3 +⋯+ 𝑒1

37

38



39

Ekonomski razlozi II

Ova razlika posebno dolazi do izražaja u teoriji poslovnih ciklusa: ⚫ Tradicionalna teorija: BDP ispoljava tendenciju rasta na

dugi rok, dok su ciklična odstupanja u fazama recesije i prosperiteta neizbežna (BDP je trend-stacionarna vremenska serija).

⚫ Ako vremenska serija BDP sadrži jedinični koren, tada njeno odstupanje od dugoročnog trenda neće biti povremeno, kako naglašava tradicionalna teorija, već permanentno za neodređeni period vremena.

Prisustvo jediničnog korena sugeriše da negativni šokovi iz faze recesije mogu trajno redukovati nivo BDP.

40

Ekonomski razlozi: pionirski rad

Nelson and Plosser(1982), Journal of MonetaryEconomics

⚫ Jedan od prvih radova provere postojanja jediničnih korena u makroekonomskim veličinama

⚫ Realni i nominalni BDP privrede SAD posedujujedinični koren

⚫ Ukupno je posmatrano 14 vremenskih serija i u većini je detektovano prisustvo jediničnog korena

⚫ Godišnji podaci u periodu: 1860(1909) – 1970.

39

40



41

Opšta forma:

Autoregresioni modeli pokretnih proseka za

integrisane vremenske serije, ARIMA(p,d,q)

qtq2t21t1t

ptd

p2td

21td

1td

eeee

X...XXX

−−−

−−−

−−−+

+++=

• p red autoregresione komponente

• d nivo integrisanosti vremenske serije i

• q red komponente pokretnih proseka.

42

ARIMA(p,d,q) model: primeri

qtq2t21t1tpt2

p2t2

21t2

1t2

qtq2t21t1tptp2t21t1t

eeeeX...XXX

:)q,2,p( ARIMA

eeeeX...XXX

:)q,1,p( ARIMA

−−−−−−

−−−−−−

−−−++++=

−−−++++=

AR(p) MA(q) ARMA(p,q) Beli šum Slučajan hod

ARIMA(p,0,0) ARIMA(0,0,q) ARIMA(p,0,q) ARIMA(0,0,0) ARIMA(0,1,0)

41

42



43

ARIMA(p,d,q) model:

konkretni primeri

Model Zapis

ARIMA(0,1,2)

ARIMA(1,1,0)

ARIMA(0,2,0)

ARIMA(2,2,1)

ARIMA(3,0,0)

( ) ( )21 0.4 1 0.3 0.1t tL X L L e− = + + +

10.5t t tX X e− = +

1 22t t t tX X X e− −= − +

( )( ) ( )221 0.2 0.5 1 1 0.7t tL L L X L e+ − − = −

( )2 31 0.1 0.3 0.2 t tL L L X e− − − =

44

Boks-Dženkinsova strategija

modeliranja i ARIMA(p,d,q) modeli

To su suštinski modeli od kojih se polazi

U odnosu na ARMA(p,q) modele modifikuje se prva

faza identifikacije modela.

Potrebno je pretpostaviti koliko je d, a ne samo p i q.

Metodološki okvir određivanja nivoa integrisanosti,

odnosno broja jediničnih korena (d)

⚫ Obična i parcijalna autokorelaciona funkcija

⚫ Testovi jediničnog korena

43

44

Documents

Praktični aspekti modeliranja stacionarnih vremenskih