6

Cuvânt înainte

Aceast carte se adreseaz studen ilor facult ii Management din cadrul Academiei de Studii Economice Bucure ti i este destinat dezvolt rii abilit ii de rezolvare a problemelor manageriale utilizând facilit ile programului Microsoft Excel. S-a urm rit ilustrarea principalelor tipuri de aplica ii, în general cunoscute de la disciplinele de specialitate, îns pe fondul unui suport software foarte avansat care permite studen ilor, economi tilor i cadrelor de conducere o rezolvare simpl i elegant . Majoritatea aplica iilor sunt rezolvate i ilustrate pas cu pas, dar exist i un num r de probleme propuse destinat studiului individual.

În mod inten ionat, nu s-a dorit ca aplica iile s fie dependente de îmbun t irile introduse de programul Excel XP tocmai pentru a putea fi utilizate versiunile curente de pe pia .

Ne exprim m speran a c cititorii vor g si aceste aplica ii ca fiind interesante i utile i c , prin intermediul acestora, î i vor dezvolta gustul pentru modelarea cantitativ i calitativ , în vederea prelucr riii prezent rii de o manier profesional a aplica iilor cele mai frecvente

din domeniul managerial.

Autorii

7

CUPRINS

1. MODELE DE ANALIZ FINANCIAR ...................................................................................91.1. CALCULE CU RATA DOBÂNZII .....................................................................................................9

1.1.1. Dobânda simpl .................................................................................................................91.1.2. Dobânda compus ............................................................................................................101.1.3. Efectul schimb rii perioadei de compunere ...................................................................131.1.4. Valoarea viitoarea a pl ilor constante periodice...........................................................15

1.1.4.1. Calculul explicit ........................................................................................................15 1.1.4.2 Calculul algebric ........................................................................................................16 1.1.4.3. Calculul pe baza formulei din foaia de calcul..........................................................17 1.1.4.4. Calculul amortismentului..........................................................................................18

1.1.5. Caracteristicile foii de calcul...........................................................................................181.1.5.1. Comanda “Fill” .........................................................................................................18 1.1.5.2 Utilizarea creativ a op iunii de copiere ....................................................................18

1.2. ÎMPRUMUTURI IPOTECARE........................................................................................................21 1.2.1 Împrumuturi cu ramburs ri într-o singur tran ............................................................211.2.2 Ramburs ri cu amortismente constante............................................................................231.2.3. Ramburs ri cu anuit i constante. ...................................................................................241.2.4. Împrumuturi ipotecare. ....................................................................................................251.2.5 Rate lunare ipotecare........................................................................................................291.2.6 Durata împrumutului ipotecar ..........................................................................................30

1.3.VALOAREA ACTUALIZAT A RAMBURS RILOR .........................................................................34 1.3.1 Actualizarea i valoarea actualizat ................................................................................341.3.2. Valoarea actualizat a creditelor de studiu i anuit ile.................................................361.3.3 O privire de ansamblu asupra fluxurilor monetare constante, formule asociate icontracte.....................................................................................................................................391.3.4. Pensiile.............................................................................................................................41

2. MODELE DE OPTIMIZARE ....................................................................................................442.1. PROGRAMARE LINIAR .............................................................................................................44 2.2. MODELE DE PLANIFICARE AGREGAT ......................................................................................52 2.3. PROBLEME DE TRANSPORT .......................................................................................................57

3. TEHNICI DE PREVIZIUNE......................................................................................................613.1. MEDII MOBILE ..........................................................................................................................61 3.2. NIVELAREA EXPONEN IAL SIMPL .........................................................................................64 3.3. METODA HOLT PENTRU SERII CRONOLOGICE ...........................................................................67 3.4. METODA WINTERS PENTRU SEZONALITATE .............................................................................70 3.5. REGRESIE LINIAR SIMPL .......................................................................................................75

4. MODELE DE ANALIZ DECIZIONAL ..............................................................................794.1. REZOLVAREA PROBLEMELOR CU GOAL SEEK I UTILIZAREA SCENARIILOR PENTRU COMPARAREA SOLU IILOR ..............................................................................................................79 4.2. TABELE PIVOT ..........................................................................................................................83 4.3. PRAGUL DE RENTABILITATE (BREAK EVEN ANALYSIS) .............................................................89

8

5. CONCEPTELE DE BAZ ALE EVALU RII PROIECTULUI ...........................................935.1. INTRODUCERE ..........................................................................................................................93 5.2. VALOAREA ACTUALIZAT NET A FLUXULUI MONETAR ..........................................................94 5.3 APLICA IE ASUPRA PROIECTULUI DE PROPRIET I IMOBILIARE.................................................95 5.4. RATA POTRIVIT A DOBÂNZII ÎN SCOPURI DE ACTUALIZARE (DISCONTARE) .............................96 5.5. RATA RENTABILIT II ÎMPRUMUTULUI ....................................................................................97

6. FUNC II STATISTICE............................................................................................................1016.1. FRECVEN E SI CUANTILE...................................................................................................101

6.1.1 Distribu ia frecven elor pentru anumite valori...............................................................1016.1.2 Limitele intervalelor (bin range) ....................................................................................1026.1.3 Histograma Add-In .........................................................................................................1036.1.4.Func ia FREQUENCY ....................................................................................................1046.1.5. RANK i PERCENTRANK .............................................................................................1056.1.6. Mediana , quartile si centile ..........................................................................................1066.1.7. Colectivit ile ce au la baz centilele ............................................................................1076.1.9.Distribu ia frecven elor pentru etichete..........................................................................109

6.2.FUNC IILE STATISTICE PENTRU BAZE DE DATE........................................................................110 6.2.1 Proprietã ile de gaze i func iilor statistice ....................................................................1116.2.3. Func iile statistice ale bazelor de date ..........................................................................1126.2.4. Distribu ia frecven elor..................................................................................................1146.2.5. Compararea mediilor.....................................................................................................1156.2.6. Decalajul curbei ce reprezint aprovizionarea cu benzin ...........................................116

7. PROBLEME DE CALITATE ..................................................................................................1197.1. DIAGRAMA PARETO ..............................................................................................................123 7.2.DIAGRAMA X I R...................................................................................................................128 7.3. DIAGRAME TIP P .....................................................................................................................136 7.4. DIAGRAME TIP C.....................................................................................................................141

BIBLIOGRAFIE............................................................................................................................146

9

1. Modele de analiz financiar

1.1. Calcule cu rata dobânzii

Acest capitol trateaz elementele fundamentale ale economiei financiare. Mai întâi sunt prezentate formulele pentru dobânda simpl i compus , i sunt ob inute formulele corespondente pentru diferite perioade de compunere. Apoi, sunt explicate i ob inute formulele pentru valorile viitoare ale pl ilor constante periodice.

În acest capitol ve i înv a urm toarele comenzi i func ii ale foii de lucru: FV (Rata Dobânzii, Termen, Valoare) Edit Fill.

1.1.1. Dobânda simpl

Exemplu. Pe 1 ianuarie, anul 1, o persoan cump r un certificat de investi ie garantat pe 5 ani (GIC) pentru $1,000 sau un titlu de aceea i valoare, cu o rat a dobânzii de 8% care trebuie sfie pl tit anual. Chiar i pentru investi ii a a simple foile de lucru sunt folositoare pentru calcule ipentru a prezenta rezultatele.

Foaia de lucru pentru aceast investi ie poate fi împ r it în dou , o parte pentru date i una pentru calcule, vezi figura 1.1. Sec iunea datelor con ine datele principale, care sunt valoarea i rata dobânzii, A1 respectiv A2. Celula D1 care con ine valoarea $ 1,000 e denumit A, la fel ca celula C1. Celula D2, care con ine rata dobânzii de 8%, e denumit IR, nume introdus în C2. (Pentru anumite motive R nu e nume valabil). Foile registrului de lucru pentru acest capitol con in date asem n toare dar diferite. E convenabil s d m datelor acela i nume în fiecare foaie, dar asta e posibil doar dac

Figura 1.1 Investi ie cu dobând simpl

numele se refer numai la datele foii la care facem referire. În general, numele sunt valabile pentru toate foile registrului de lucru, ceea ce înseamn c sunt nume pentru suprafa a registrului de lucru. E de asemenea posibil s avem nume pentru suprafa a foii care sunt valabile doar pentru foaia în care se afl . Numele suprafe ei foii sunt definite, folosind comenzile Insert, Name, Define, de un nume precedat de numele foii plus semnul exclam rii.

10

Dac celula D1 corespunde denumirii A în suprafa a foii, numele ei ar trebui introdus ca PANEL 1,2!A, unde PANEL 1,2 este numele primei foi. În formulele din foaia PANEL 1,2, numele A corespunde celulei D2 a acelei foi. În alte foi numele A se poate referi la numele suprafe ei unei foi pentru acea foaie sau la numele suprafe ei unui registru de lucru. În foile registrului de lucru pentru acest capitol, toate numele sunt la nivelul foii. Numele suprafe ei foii sunt urmate de numele foii când comenzile Insert, Name, Define, prezint numele existente. În calculele urm toare la începutul fiec rui an sau perioade va fi prezentat situa ia i anii sau perioadele vor fi numite Anul 1, Anul 2, .a.m.d. anumite formule se pot schimba. Valoarea banilor înscris în contul bancar al acelei persoane, numit i flux monetar, la începutul fiec rui an i creditul i dobânda de peste ani, apar în partea de calcule a foii de lucru. Pentru primul an, creditul care reprezint valoarea pentru care e pl tit dobânda, dat de C5, e introdus ca = A, i dobânda din D5 ca = IR * C5. Fluxul monetar de la începutul Anului 2 din celula B5 este dobânda pe Anul 1, dat de =D5. Creditul pentru Anul 2 îl egaleaz pe cel din Anul 1 astfel încât C6 con ine =C5. Dobânda din Anul 2 este, din nou, rata dobânzii înmul it cu creditul, =IR*C6 a a c D6 e copiat din D5. Apoi domeniul B6:D6 e copiat în B6:D9. La începutul Anului 6, creditul e înapoiat împreun cu dobânda pe Anul 5, a a c B10 con ine = C9 + D9. Celula B12 con ine suma fluxului monetar, = SUM (B5:B10) care e copiat în D12 ca sum a dobânzilor de peste ani. Figura 1.2. ne d fluxul monetar, creditul i dobânda pe 6 ani. Acest tabel e ob inut generând un grafic cu benzi de la domeniul A4:D10, folosind prima linie pentru legend i prima coloanpentru valorile categoriilor. În acest caz, dobânda e pl tit imediat dup ce a fost câ tigat . Aceasta este numit dobânda simpl . Valoarea total a dobânzii primite pentru cei 5 ani e 5*80 = $400, care e ob inut însumând fluxurile monetare sau coloana dobânzilor.

1.1.2. Dobânda compus

Este de asemenea posibil ca în fiecare an dobânda s fie ad ugat la credit, a a c ea câ tigdobând , i ca singura plat s fie la începutul Anului 6. Aceasta este numit dobând compus i e ilustrat în Figura 1.3 În acest caz creditul pentru Anii 2-5 egaleaz creditul ultimului an plus dobânda pe acel an, astfel încât con inutul lui C6 este = C5 + D5, fiind copiat în jos. Domeniul B6:B9 este gol, în timp ce restul foii de lucru e la fel.

-$1,500

-$1,000

-$500

$0

$500

$1,000

$1,500

1 2 3 4 5 6

Flux monetarPrincipalDobanda

Figura 1.2 Flux monetar, Credit i dobând pentru un titlu financiar pe 5 ani cu Dobând Simpl

11

Figura 1.3 Investi ie cu Dobând Compus

Figura 1.4 prezint fluxul monetar, creditul i dobânda în forma graficului cu bare. Sunt doar dou fluxuri monetare, unul la început i unul la sfâr it. Este evident c banii depu i cu dobânda compus acumuleaz dobând mai repede decât cu dobânda simpl , pentru c însumând fluxurile monetare acum rezult $469, cu $69 mai mult decât la dobânda simpl . Algebric, e mai u or de v zut c în fiecare an creditul e multiplicat de factorul 1+r, a a c , dac o valoare A e depus cu dobând compus cu o rat anual a dobânzii r, valoarea sa dup t ani va fi: A(1+r)t

Aceast formul reprezint valoarea viitoare a sumei A dup t perioade ale investi iei cu dobând compus la rata r.

-$1,500

-$1,000

-$500

$0

$500

$1,000

$1,500

$2,000

1 2 3 4 5 6

Flux monetarAnuitateDobanda

Figura 1.4 Flux monetar, Credit i dobânda pentru un titlu pe 5 ani cu Dobânda Compus

12

Figura 1.5 Rezultatele Dobânzii Compuse

Figura 1.5 prezint valorile viitoare pentru A = $1,000, i un num r de valori pentru t i r, în timp ce Figura 1.6 prezint aceste valori în forma grafic . Celula B4 con ine formula

= A * (1+B$3)^$A4 care e copiat în B4:F9. Observa i efectul unei rate a dobânzii mai mari pentru perioade mai lungi. Pentru r = 2-3% e nevoie de 30 de ani pentru a dubla valoarea original . Pentru r = 5%, e nevoie de 15 ani, pentru r = 10%, 7 ani i pentru r = 15%, doar 5 ani. Rata dobânzii pe termen lung a variat istoric de la 3% la 15%, cu o medie în jur de 10% pe ultimii 10 ani. Dar media ratei infla iei pe ultimii 10 ani a fost de 5%, a a c rata dobânzii reale a fost în jur de 5%. Ratele dobânzii pot diferi pe termen scurt i lung. De exemplu, un certificat de investi iegarantat pe un an poate da o dobând de 6%, unul pe 5 ani – de 7%, în timp ce un titlu guvernamental pe 10 ani poate da 8%. Urm toarele sunt bazate pe o rat a dobânzii la fel pentru toate termenele.

Figura 1.6 Efectul Dobânzii Compuse

Formula valorii viitoare este, bineîn eles, valabil pentru toate tipurile de cre tere procentualconstant , precum cre terea economic pe termen lung exprimat prin cre terea Produsului intern brut (PIB) sau venitului pe cap de locuitor, infla iei, cre terii popula iei, folosirii resurselor idegrad rii mediului, dac numim doar câteva. Din Figurile 1.5 i 1.6 observ m c o cre tere de 2-3% duce la o dublare într-o genera ie, adic dup 30 ani, o cre tere de 5% duce la dublare dup 15 ani, de 10% dup 7 ani i de 15% dup 5 ani.

$0$10,000$20,000$30,000$40,000$50,000$60,000$70,000

1 2 3 4 5 6

2%

3%

5%

10%

15%

13

1.1.3. Efectul schimb rii perioadei de compunere

Ce se va întâmpla dac în loc s fie f cut în fiecare an, compunerea e f cut la fiecare jum tate de an? Dac rata anual a dobânzii e 8%, ea trebuie s fie 4% pentru jum tate de an, dar apoi vor fi de 2 ori mai multe perioade pentru care s se compun . Pentru exemplul pe 5 ani, valoarea total de plat va fi atunci:

pentru c e mai mult decât $1,469, s-ar putea s dorim s facem compunerea mai des de doua ori pe an. Compunând de n ori pe an, rezultatul este:

76.469,1365

08,01000,1365*5

De exemplu, compunând zilnic cu o rat anual de 8% rezultatul este: tn

nrA 1

Dac valoarea ini iala este A, rata dobânzii este 100% i num rul de ani este t, valoarea dup t ani compunând de n ori pe an, este

Figura 1.7 Rata rentabilit ii a $1,000 pe 5 ani pentru perioade diferite de compunere

Pentru a afla ce se întâmpl pentru n , expresia de deasupra e rescris cu m=n/r.

rtrtm

mAe

mALim 11

718.211m

m mALime

unde

este baza logaritmilor naturali.

24.480,1208,01000,1

10

14

Pentru A = 1,000, r=8% si t=5 ani, g sim 1491.82 O extindere a rezultatelor de compunere pentru diferite perioade cu rate anuale ale dobânzii variind între 2-20% e prezentat în Figura 1.7 Observa i c diferite perioade de compunere duc la rezultate semnificativ diferite doar pentru rate ale dobânzii mai înalte. Unele b nci î i fac reclamc conturile lor de economii sunt cu compunere zilnic . Ultima linie a tabelului arat cre terea în schimbul compunerii zilnice fa de compunerea anual .

rrc 112

)12(1

12

Faptul c multiple compuneri în cadrul unui an cresc rata rentabilit ii e echivalent cu o cre tere a ratei anuale a dobânzii. Pentru o rat anual a dobânzii cu compunere lunar rc (m), beneficiul dup un an e egal cu 1 + echivalentul ratei anuale a dobânzii cu compunerea anual , r:

112

121

12crr a adar:

Dac compunerea are loc de n ori pe an cu o rat anual a dobânzii de rc(n) echivalentul ratei dobânzii cu compunere anual este:

1))(

1(' nc

nnr

r (1)

11)(c

r rEXPer c (2) Figura 1.8 prezint ratele dobânzii echivalente cu ratele anuale ale dobânzii cu compuneri

mai frecvente. Formula pentru celula C2 este:

= (1+C$1/$B2)^$B2-1 care e copiat în C2:16. Celula C7 con ine formula = EXP (C$1)-1, care e copiat în dreapta. Observa i c pentru rate mai joase, compunerile mai frecvente nu provoac o mare diferen ,

dar la 10% diferen a e aproape de 0,5%, la 14%, 1%, i la 20%, 2%

Figura 1.8 Rate ale dobânzii echivalente cu Ratele Anuale ale Dobânzii cu Compunere Pe de alt parte, s-ar putea s dorim s afl m rata anual cu compunere de n ori pe an, rc(n),

care e echivalent cu o rat anual r. Folosind ecua ia (1), avem

11 /1 nc rnnr

Rezolvând pentru rc(n), afl m: Echivalentele pentru ratele anuale ale dobânzii sunt prezentate în Figura 1.9 Celula C2 e bazat pe formula:

rnnr n

c 11

15

= $B2*((1+C$1)^(1/$B2)-1), care e copiat în C3:L6

re cr 1Pentru cazul infinit avem din rela ia (2):

)1ln( rrcastfel c : Celula C7 e dat de formula: =LN(1+C$1) care e copiat în dreapta

Rezultatul e c în cazul în care compunerea are loc mai frecvent rata anual a dobânzii pe care sunt bazate pl ile ar trebui s fie mai sc zut . De exemplu, dac avem un împrumut studen esccu o rat simpl a dobânzii de 10%, i dobânda trebuie pl tit lunar, calculele dobânzii ar trebui sfie bazate mai degrab pe o rat anual de 9,57% decât de 10%.

Figura 1.9 Rate Anuale echivalente ale Dobânzii Compuse

1.1.4. Valoarea viitoarea a pl ilor constante periodice

Dac aceea i sum de bani este primit în fiecare an timp de mai mul i ani, acest lucru se nume te ANUITATE: o anuitate poate avea termen fix, adic suma de bani este pl tit pe o perioad dat de ani, sau poate fi bazat pe durata de via a persoanei, situa ie în care este pl titatâta timp cât acea persoan tr ie te. În cazul nostru vom opera doar cu anuit i la termen fix. Figura 1.10 prezint pl ile unei anuit i de 10 ani cu o sum anual de 10.000$. Acelea ivalori pot reprezenta sume anuale puse într-un cont de economii. În ambele cazuri, ne putem întreba care va fi la finele celor 10 ani, valoarea total viitoare a sumelor anuale dac rata dobânzii este de 8%. Aceast valoare viitoare poate fi calculat prin 3 metode : - Calculul explicit; - Calculul algebric; - Calculul pe baza formulei foii de calcul.

1.1.4.1. Calculul explicit

Aceast valoare viitoare poate fi ob inut prin determinarea valorii viitoare a fiec rei sume anuale în Anul 10 i adunându-le. Acest lucru este realizat în coloana C a tabelului 1.10. Celula C5 con ine formula: =B5*(1+IR)^($A$14-$A5), care este copiat în domeniul C5:C14. Valoarea viitoare dorit va fi reg sit ca suma acestui rând, care este 144,866$ din care 44,866$ reprezint dobânda acumulat .

16

Figura 1.10

Aceea i schem se poate aplica unui împrumut constând dintr-o sum constant anual , acordat pe o perioad de 4 ani. Atunci valoarea viitoare este valoarea total a împrumutului când ultima sumde bani este primit . Aceea i valoare viitoare poate fi utilizat pentru ceea ce se nume te o ipotec invers . Pentru o astfel de ipotec se întocme te un contract, prin care posesorul unei propriet i, de exemplu un pensionar, prime te, s spunem, 10.000$ pe an pe o perioad de 10 ani, de la o institu ie financiar . Dup 10 ani proprietatea este vândut i valoarea viitoare a anuit ii se reg se te în suma încasat prin vânzare. Dac rata dobânzii este de 8%, valoarea viitoare a anuit ii va fi 144,866$, dup cum se vede în figura 1.10. Sumele anuale primite sunt de fapt împrumuturi în care proprietatea este garan ia împrumutului.

1.1.4.2 Calculul algebric

Foaia de lucru face mai u oar realizarea calculelor cerute, dar este posibil s ob inem o formul algebric mult mai concis . Consider m cantitatea anual a anuit ii “A”, durata ei (num rul de ani) “t” i rata dobânzii “r”. Dup un an suma va fi A, dup 2 ani va fi A+(1+r)A, dup 3 ani va fi A+(1+r)2 A2 i dup t ani:

{1+(1+r)+(1+r)2+…+(1+r)t-1}A=(1+R+R2+…+Rt-1)A, (3) unde R=1+r. Formula pentru însumarea seriilor geometrice cu ra ia “R”, primul termen “F” iultimul termen “L”, este :

RRLF

1,

17

Figura 1.11

$0$20,000$40,000$60,000$80,000

$100,000$120,000$140,000$160,000$180,000$200,000

5 10 15 20 25 30

Anul

Valo

area

viit

oare 2%

3%5%10%15%

Figura 1.12 Vom avea atunci pentru (3):

,111

1))((1 1

Ar

RARRA

RRR ttt

de unde rezult c formula pentru valoarea viitoare, notat cu Pt este :

Pt= .*)/)1)1(((1)1( ^ ArtrArr t

(4)

1.1.4.3. Calculul pe baza formulei din foaia de calcul

Formula (4) este inclus între func iile foii de calcul ca formula valorii viitoare: =FV(Rata dobânzii, Durata, - Cantitate anual )=FV(r, t, -A)

Re ine i faptul c anuitatea ar trebui introdus cu semnul minus, deoarece aceasta poate fi considerat o plat , ce duce la un flux de numerar pozitiv.

În tabelul 1.10, celulei B4 îi este atribuit formula : =FV(B$3, $A4, -A), care este copiat la B4:F9. Tabelurile 1.11 i 1.12 ofer valorile viitoare ale amortismente pentru un num r de ani ce variaz de la 1-30, i pentru rate ale dobânzii ce variaz de la 2-15%. Cu economii anuale de 1000$, poate fi atins o sum de 100000$ în 20 ani dac rata dobânzii este 15%, sau în 25 ani, pentru o ratde 10%.

18

1.1.4.4. Calculul amortismentului

Ce valoare ar trebui s aib A pentru a ob ine o valoare Pt dat ? Ob inem valoarea lui A rezolvând (3):

A= .1)1( tt Prr

De exemplu, pentru a acumula 1.000.000$ în 20 de ani, când rata dobânzii este 5%, avem nevoie

de economii anuale de 30.243$.

Tabelul 5.13 ofer , pentru o valoare viitoare de 1.000.000$, anuit ile necesare pentru diferite rate a dobânzii i durate. Celula B5 con ine formula:

=PT*B$3/((1+B$3)^$A4-1), care este copiat la B4:F9.

Tabelul 5.14 ofer acelea i rezultate sub form grafic . Pentru o rat a dobânzii sau randament de 10%, economii anuale de aproape 6000$ sunt suficiente pentru a deveni un milionar în 30 ani.

1.1.5. Caracteristicile foii de calcul

1.1.5.1. Comanda “Fill”

În multe cazuri o foaie de calcul con ine coloane sau rânduri cu numere cum ar fi 1 2 3 4 sau 1994 1995 … 2019. Acest lucru poate fi realizat introducând mai întâi în primele dou celule ale rândului numerele corespunz toare cum sunt 1,2, i apoi, dup ce select m tot rândul ce urmeaz a fi completat, utilizând comanda Edit, Fill, Auto – Fill. Alternativ, prima valoare din domeniul poate fi introdus i apoi selectat domeniul, dupcare este selectat comanda Edit , Fill, Series cu o valoarea pasului. Type Linear genereaz serii aritmetice. O serie geometric poate fi generat utilizând Type Growth.

1.1.5.2 Utilizarea creativ a op iunii de copiere

Mai devreme s-a ar tat c multe p r i ale foii de calcul pot fi copiate din alte p r i, astfel creându-se foi de calcul mari cu un efort relativ redus. Dar comanda Copy poate fi utilizat i în alte moduri creative, dup cum urmeaz .

19

Figura 1.13

$0$20,000$40,000$60,000$80,000

$100,000$120,000$140,000$160,000$180,000$200,000

5 10 15 20 25 30

Anul

Sum

a an

uala 2%

3%5%10%15%

Figura 1.14

Figura 1.15

1.1.5.2.1. Suma cumulat Lu m în considerare un cont curent cu o balan ini ial i un num r de înregistr ri ce urmeaz a fi introduse sau sc zute, vezi tabelul 5.15.

20

Dup introducerea fiec rei înregistr ri ar trebui s vedem balan a. Acest calcul necesitsuma cumulat a tuturor articolelor. Prin urmare, celula C3 ar trebui s con in =C2+B3, celula C4, =C3+B4, .a.m.d. Pentru a evita introducerea separat în fiecare celul , doar celula C3 va fi completat manual, iar apoi con inutul ei va fi copiat în C3:C6. Deoarece foaia de calcul utilizeazadrese de celule relative când copiaz , pentru C4 con inutul lui C3 va fi introdus ca =C3+B4 .a.m.d.

Dac C3 ar fi fost goal , rezultatul ar fi fost acela i, deoarece celulele goale au valoare numeric 0. Celulele ce au o etichet au de asemenea valoarea 0, astfel încât, dac rândul 2 este ters, celula C2 care rezult de aici are formula = C1+B2 i afi eaz valoarea 1000.

1.1.5.2.2. Prima sc dere

Dac se cunoa te con inutul coloanei Balan , dar cel al coloanei Cantitate nu se cunoa te, poate fi calculat printr-o metod asem n toare. Celula C3 va fi atunci =B3-B2, iar aceast formuleste copiat de sus în jos, vezi Tabelul 5.16. În acest mod, primele sc deri într-o serie pot fi generate u or.

Figura 1.16

1.1.5.2.3. Seriile geometrice i aritmetice

Copierea cu referin e relative de celul poate fi utilizat pentru generarea de serii aritmetice i geometrice. De exemplu, dac este nevoie de factorii dobânzii compuse 1, 1+r, (1+r)2, … , vom

introduce 1 în A1, =(1+r)* A1 în A2 i apoi vom copia A2 de sus în jos, ceea ce va duce la seria geometric necesar , vezi tabelul 5.17. Pentru o serie aritmetic se înlocuie te “*” cu “+”.

Figura 1.17

Probleme

1. O persoan se decide s economiseasc în fiecare lun 100$, pentru un anumit num r de ani. Rata dobânzii este dat ca un procent anual ce se calculeaz lunar. Utilizând func ia valorii viitoare , crea i un tabel pentru valoarea economiilor peste 15-25 de ani, de la an la an, pentru rate ale dobânzilor de 8-12%, ce variaz cu 0,5%.

21

2. Fondul de studiu

Tocmai a i devenit p rinte. Vre i ca, la vârsta de 19 ani copilul s dispun de un fond de studiu de 40000$. Începe i s depune i o sum fix de bani în acest fond în fiecare an de la na terea copilului.

a) Cât ar trebui s depune i în acest fond în fiecare an dac rata dobânzii este 8%? b) Afla i valoarea viitoare a fiec rei contribu ii anuale i valoarea total corespondent .c) Considerând c la 19, 20, 21 i 22 de ani este nevoie de 10000$, care sunt sumele

anuale? d) Considera i c un plus de 1000$ este pus la na tere de o alt persoan . Care va fi atunci

r spunsul la punctul c? e) Întrebarea de mai sus presupune faptul c este posibil s investe ti la aceea i rat a

dobânzii în fiecare an. Este acest lucru realistic? Dac ratele dobânzilor se modific în timp, cum pot fi atinse scopurile fondului de studiu?

f) Cum poate fi luat în considerare infla ia? Care ar fi r spunsurile la întrebarea c) pentru rate ale dobânzii reale de 3%, 4% i 5%?

1.2. Împrumuturi ipotecare

Acest capitol prezint elementele de baz ale împrumuturilor i împrumuturile ipotecare. O aten ie deosebit este dat împrumuturilor ipotecare, întru-cât mul i oameni sunt implica i în aceast problem . Se explic împrumuturile cu rate constante i cu plat total constant . Sunt deduse formulele pentru plata total constant a ratelor de împrumut i pentru pl ile dobânzii. Perioadele de amortizare i termenele împrumuturilor ipotecare sunt prezentate separat. Formulele referitoare la ratele dobânzii compuse pentru diferite perioade sunt utilizate pentru a calcula plata ipotecilor lunare.

În acest capitol ve i înv a urm toarele comenzi i func ii ale foii de calcul.

PMT (rata dobânzii, num rul perioadelor, credit)

1.2.1 Împrumuturi cu ramburs ri într-o singur tran .

Un împrumut este un contract între debitor i creditor. Creditorul îi furnizeaz o sum de bani debitorului, care este restituit mai târziu, i a c rei dobând este pl tit . În majoritatea cazurilor se fixeaz o rat a dobânzii precum i termenele de plat ale acestora. În func ie de termenele de plat stabilite se disting diferite tipuri de împrumuturi i anume, împrumuturi cu ramburs ri într-o singur tran , împrumuturi cu ramburs ri în tran e constante periodice, iîmprumuturi cu anuit i constante.

Din punctul de vedere al b nci sau al oric rui debitor un împrumut poate fi privit ca o investi ie cu dobând fix . De exemplu, dac o banc vinde un GIC de 5 ani de 1000 $ cu o rata dobânzii de 8%, ea de fapt împrumut de la cump r tor 1000$, pentru care pl te te 8% dobând , i c ruia îi înapoiaz banii dup 5 ani. Deci banca prime te la începutul anului 1, 1000$, pl te te 8% din 1000$ sau 80$ în fiecare din urm torii 4 ani, în timp ce în ultimul an pl te te 80$ plus creditul împrumutat (vezi figura 1.18, care este la fel ca figura 1.1 din capitolul precedent, exceptând faptul c toate fluxurile monetare au semnul opus). Figura 1.18a prezintsumele iar figura 1.18b formulele.

22

Figura 1.19. prezint graficul corespunz tor fluxurilor monetare. Ea indic faptul cdebitorul prime te o sum ini ial , care trebuie rambursat împreun cu dobânda în urm toarele perioade. Acesta este un model tipic de împrumut în care se prime te doar o sum ini ial .Majoritatea împrumuturilor ce vor fi discutate sunt de acest tip.

Suma împrumutat este numit credit. Fluxurile monetare negative ale urm toarelor perioade constituie dobânda i plata creditului. Plata este numit i amortizarea împrumutului. Amortizarea poate lua forme diferite. Num rul perioadelor în care creditul este rambursat se nume te perioad de amortizare.

În cazul de mai sus întregul credit a fost pl tit dup 5 ani i dobânda a fost pl tit la fiecare perioad intermediar i în ultima perioad . Întrucât doar dobânda este pl tit creditorului în fiecare an, creditul r mâne acela i, i rata dobânzii trebuie s fie egal în fiecare an.

Figura 1.18a GCI ca împrumut (prezentare numeric

Figura 1.18b GCI ca împrumut (prezentare analitic )

Un caz special al acestui tip de împrumut este atunci când un împrumut nu este niciodatrambursat, ceea ce înseamn c perioada de amortizare este infinit . Atunci ratele dobânzilor tind la infinit. crean ele de acest fel, numite perpetue, au fost folosite cândva de guvernul Regatului Unit. De atunci nu au mai fost folosite pentru c au fost r scump rate debitorului.

23

$1,500

$1,000

$500

$0

$500

$1,000

$1,500

1 2 3 4 5 6

aniFL

UX

MO

NET

AR

flux monetar

Figura 1.19 Fluxul monetar al debitorului

1.2.2 Ramburs ri cu amortismente constante.

Se consider urm torul caz în care rambursarea este împ r it într-un anumit num r de perioade. Figurile 1.20 i 1.21 prezint acest lucru pentru acelea i date ca în figura 1.18. Perioada de amortizare este de 5 ani, i rata în fiecare an este deci 1000/5=200, astfel c celulele E6:E10 con in formula

=A/AP.

Creditul din anul 2 îl egaleaz pe cel din anul 1, minus amortismentul, a adar C7 are formula

=C6 – E6.

Formula dobânzii în celula D6 este

=IR*C6.

Fluxul monetar pentru anul 2 egaleaz (minus) anuitatea anului 1, a adar formula pentru B7 este

= – (D6 + E6).

Aceste formule pot fi copiate de sus în jos. Aceasta conduce la un credit 0 în anul 6, a adar împrumutul a fost în întregime pl tit. Observa i faptul c suma total a dobânzii pl tite este acum de 240$ fa de 400$ în cazul precedent, ceea ce este explicat de ratele par iale anticipate.

Împrumutul cu rat constant este mai atractiv pentru debitor decât împrumutul cu o singurrat , pentru c ratele sunt desf urate în timp i sunt de asemenea mai mici, fiind, pentru mul ioameni, mai u or de utilizat.

24

Figura 1.20. Amortizarea împrumutului cu amortismente constante. .

$400

$200

$0

$200

$400

$600

$800

$1,000

$1,200

1 2 3 4 5 6

ani

flux

mon

etar

flux monetar

Figura 1.21. Fluxul monetar pentru împrumuturi cu amortismente constante

1.2.3. Ramburs ri cu anuit i constante. Împrumuturile cu rate egale au aceea i anuitate în fiecare an, dar ratele dobânzii descresc cu

timpul, iar creditul devine mai mic. În exemplul din figura 1.20., ratele dobânzii variaz de la 80$ la 16$, a adar anuitatea la sfâr itul anului 1 este de 280$, iar la sfâr itul anului 5 de 216$. Poate fi mai convenabil pentru creditori s aib un tabel de amortizare întrucât anuit ile sunt identice în fiecare an. Problema const în calcularea acestei anuit i. În primul rând se va deduce o formul algebric .

S zicem c aceast anuitate este A, creditul împrumutat ini ial P, perioada de amortizare tani, i rata dobânzii r. Suma datorat dup t ani este, conform formulei dobânzii compuse:

(1+r)tP.

Aceast sum trebuie s fie egal cu valoarea anuit ilor viitoare A timp de t ani,

[(1+r)t–1]/r*A,

vezi formula (3) din capitolul precedent. Deci avem ecua ia:

(1+r)tP=[(1+r)t–1]/r*A.

Substituind 1+r=R, putem scrie aceasta ca

25

RtP=(Rt–1)/r*A

Rezolvând pentru A, g sim:

A={(rRt)/(Rt–1)}P={r/[1–(1+r)-t]}*P=(r/(1–1+r)-t))P. (1)

Formula poate fi scris în foaia de calcul astfel:

=P*IR/(1–(1+IR)^–AP)

în cazul de fa , avem P=1000, r=8%, i t=5, astfel

A=0,08/(1–(1+0,08)-5)*1000=250,46.

O func ie special a foii de calcul.

PMT(r,t,–P)=PMT(IR,AP, –P)

d acela i rezultat. Se observ semnul minus în fa a lui P. Aceasta le permite lui A i lui P saib semne opuse, reflectând faptul c unul reprezint plat i cel lalt încasare.

1.2.4. Împrumuturi ipotecare.

Când o proprietate imobiliar este cump rat , o parte a pre ului de achizi ie este de obicei finan at printr-un împrumut ipotecar. Acesta este un împrumut în care proprietatea imobiliarserve te drept garan ie pentru rambursare împrumutului i plata dobânzii. În cazul nepl ii, creditorul are dreptul de a vinde proprietatea în locul ob inerii sumei datorate.

Ca exemplu, fie un împrumut ipotecar cu un capital de 50.000$ ce trebuie rambursat, sau amortizat, în 10 ani, astfel c perioada de amortizare este 10 ani. Pentru tran e egale, amortismentul de 50.000/10=5.000$. Rata dobânzii este 10%. Aceast rat a dobânzii este fixatpentru termenul ipotecii. Se presupune c termenul este acela i cu perioada de amortizare, sau, dac sumele sunt egale, ipoteca poate fi reînnoit la aceea i rat a dobânzii, dup o scurtperioad .

Foaia de calcul de la 1.22. prezint calcula ia ipotecii. Ratele sunt mereu 5.000$. creditul fiec rui an egaleaz creditul ultimului an, minus anuitatea, a adar celula B7 are ca formule B6-C6, care este copiat la B7:B15. Dobânda este egal cu 10% din credit a adar C6 are ca formule B6*IR, care este copiat de sus în jos. În final, anuitate egaleaz suma r mas de plat .

26

Figura 1.22a Amortizarea ipotecii cu amortismente constante (prezentare numeric )

Figura 1.22b Amortizarea ipotecii cu amortismente constante (prezentare analitic )

Dezavantajul acestui tabel este c sumele de plat variaz de la 10.000$ în anul 1 la 5.500$ în anul 10. Din acest motiv, tabelul de amortizare în cazul împrumuturilor rambursabile prin rate constante este mai atractiv.

27

Figura 1.23. Rambursarea ipotecii cu amortismente constante

Amortizarea corespunz toare a ipotecii este dat în figura 1.24.

$0$1,000$2,000$3,000$4,000$5,000$6,000$7,000$8,000$9,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ani

dobândãamortismente

Figura 1.24 Amortizarea ipotecii cu anuit i constante

28

Figura 1.25 Anuit i constante

Formula (1) este inclus în func ia PMT:

=PMT(Rata Dobânzii, Termen, –Credit)

Pentru exemplul pe care îl avem în E6:E15:

=PMT(IR, AP, –P) = 8,137.

Suma din D6 este anuit i minus dobânda, adic E6–C6. Dup anuitatea constante din anul 10, creditul este 0.

Cu amortismente constante de 5.000$ pe an creditul descre te linear de la 50.000$ la 0 în decursul celor 10 ani. Acest lucru nu este valabil pentru anuit i constante, întrucât în anul ini ial ratele dobânzii sunt mari i amortismente mici, spre deosebire de ultimul an al împrumutului. Figurile 1.9 i 1.10 prezint creditul r mas pentru ambele tipuri de finan are ipotecar . Observa i faptul c sunt necesari 5 ani pentru a înapoia primii 20.000$ ai împrumutului. Pentru perioade mai lungi i rate ale dobânzii mai mari acest fapt este chiar mai evident.

Observa i faptul c suma ratelor dobânzii este diferit pentru cele dou tabele: 27.500$ în cazul amortismentelor constante fa de 31.380 pentru anuit i constante. Diferen a se datoreazfaptului c în ultimul caz creditul este înapoiat mai încet, astfel încât se datoreaz o dobândmai mare. Pentru ambele metode valoarea capitalului este aceea i.

Figura 1.26 Dou metode de rambursare a creditului r mas

29

$0

$10,000

$20,000

$30,000

$40,000

$50,000

$60,000

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

ani

cred

it

Figura 1.27 Pl i diferen iate ale p r ii din credit r mas nepl tit

1.2.5 Rate lunare ipotecare

Majoritatea ipotecilor contractate pe case sunt cu rate ce se pl tesc lunar. Acestea ar putea fi aproximate împ r ind anuitatea la12: 8,137/12=678,11$. Totu i, dac aceste sume sunt pl tite anticipat anuit ii, proprietarul casei ipotecate î i pierde interesul privind plata sumelor anticipate. De aceea vom trece la folosirea perioadelor lunare, astfel încât rata dobânzii s fie 10/12% inum rul de perioade s fie 10*12. Folosind formula pentru pl ii (4), sau func ia de pe foaia de calcul, g sim:

=PMT(0.1/12,12*10,-50000)=$660.75.

Dar aceste sume urmeaz s fie recalculate de 12 ori pe an la rata dobânzii anuale de 10%, ceea ce este mai costisitor. Se dore te ca rata dobânzii anuale recalculat lunar s fie echivalent cu calculul anual al dobânzii la o rat de 10%. Dac rata dobânzii c utat este notat r c (m), atunci r c (m) se determin , conform explica iilor anterioare, astfel:

r c (m)=12((1+0.10) 12/1 -1),

Ca urmare rata lunar a dobânzii corespunz toare este:

12)(mrc =(1+0.10) 12/1 -1=0.0080.

Aceasta poate fi înlocuit în func ia pl ii (4) sau în func ia de pe foaia de calcul:

=PMT(1.1^(1/12)-1,12*10,-50000)=$648.88.

Aceasta reprezint cu 4,5% mai pu in decât prima aproximare. In anumite cazuri, cota ratei dobânzii ipotecare se bazeaz pe plata a jum tate din anuitate. În astfel de cazuri, aceasta rat trebuie mai întâi s fie convertit conform ratei anuale, folosind formula:

30

r a =(1+r b /2) 2 -1,

Unde r a a reprezint rata anual si este jum tate din anuitate (înlocuind rata anual ). Pentru 10%, vom ob ine:

r a =1.05 2 -1=10.25%

Anuit ile corespunz toare pentru fiecare lun devin: =PMT(1.1025^(1/12)-1,10*12,-P)=$655.17, Ceea ce este cu aproape 1% mai mult decât suma de 648,88$, calculat la o rata anual de 10%

1.2.6 Durata împrumutului ipotecar

Durata împrumutului ipotecar reprezint perioada pentru care este negociat rata dobânzii. Durata poate fi egal cu perioada amortiz rii, dar de obicei este mai scurt . În timp ce perioada amortiz rii poate dura pân la 25 de ani, durata, în cele mai multe cazuri nu poate dep i 10 ani. Durata unei ipoteci este important , deoarece rata dobânzii se poate schimba pe parcursul acesteia, astfel, atunci când rata dobânzii este negociat pentru o alt durat , pl ile lunare se schimb . Rata dobânzii poate fi diferit pentru durate diferite. Figura 1.28 prezint ratele pentru durate care variaz de la 6 luni la 10 ani la un anumit moment. Pentru 10 ani, rata este cu 50% mai mare decât pentru 6 luni.

Figura 1.28 Rate ale dobânzii pentru durate diferite.

Figura 1.29 prezint o expunere grafic folosind un sistem de axe XOY sau scatter graph. Alegerea unei durate mai lungi ofer protec ie pentru viitoarele cre teri ale ratei dobânzii, în timp ce o durat scurt î i ofer avantajul ratelor mai mici.

31

0%100%200%300%400%500%600%700%800%900%

1000%

1 2 3 4 5 6 7 8

an

rata

dob

anzi

i

Figura 1.29 Rate ale dobânzii i durate ale împrumuturilor ipotecare

Figurile 1.30. si 1.31. exemplific cele discutate în cazul în care creditul este 100.000$ iperioada de amortizare de 25 de ani. Se presupune c ratele dobânzii sunt alc tuite din cote bianuale, dar exprimate în procente anuale. Dac ratele bianuale variaz de la 5% la 15 %, ratele anuale corespunz toare variaz de la 5,06% la 15,56%, vezi B7/B17, unde B7 are formula:

=(1+A7/2)^2-1

Pl ile lunare reprezentate în coloana C sunt ob inute folosind formula pentru C7:

=PMT((1+B7^(1/12)-1.AP*12,-P).

Figura 1.30 Pl ile lunare cu rate ale dobânzii ce variaz

32

Se poate observa c pl ile lunare variaz foarte mult în func ie de rata dobânzii. Un împrumut ipotecar pe care i-l po i permite cu u urin la o rat a dobânzii de 6% pl tit în rate lunare de 640$, poate fi peste mâna la o rat a dobânzii de 12% cu rate lunare de 1.032$. O cre tere a ratei dobânzii cu 1% produce o cre tere a ratei lunare cu 60-70$. De obicei, duratele vor fi alese pe baza capacit ii de plat a ratelor lunare i pe baza previziunilor privind ratele dobânzii. Pentru perioadele de amortizare mai scurte , pl ile lunare vor fi mai pu in sensibile la rata dobânzii, deoarece partea rambursat din plata total va fi mai mare i partea de dobând mai mic .

$0

$200

$400

$600

$800

$1,000

$1,200

$1,400

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

rata bi-anuala

plat

i ipo

teca

re

Figura 1.31 Rela ia dintre pl ile lunare i rata dobânzii

Probleme

1. S se creeze un tabel de pl i lunare pentru o rat a dobânzii bianual ce variaz de la 6% la 12% i creditul variind între 60.000-120.000$, presupunând c perioada de amortizare este de 20 de ani.

2. S se creeze un tabel de pl i lunare pentru o rat a dobânzii bianualce variaz de la 6% la 12% i cu perioade de amortizare ce variaz între 15-25 de ani, presupunând c suma ini ial este de 100.000$.

3. S se creeze un tabel de pl i lunare ale creditului ce variaz între 60.000$-120.000$ i cu perioade de amortizare variind între 15-25 de ani, presupunând c rata dobânzii bianual este 7%.

4. S se g seasc în cazul figurii 1.7 alocarea unor pl i s pt mânale sau la 2 s pt mâni. 5. Ce combina ii ale creditului i ale perioadei de amortizare ne putem permite pentru plata lunar

de 1000$ i o rat a dobânzii de 7%? 6. S se g seasc m rimea pl ilor lunare pentru ratele dobânzii din tabloul 6.5, având un credit de

100.000$ i o perioad de amortizare de 25 de ani. 7. Pentru o plat lunar în valoare de 1.000$ i pentru o perioad de amortizare de 25 de ani,

utilizând rate ale dobânzii corespunz toare duratelor din figura 1.23, stabili i ce valori ale creditului ni le putem permite.

8. Finan area ipotecilor

33

Se presupune c un cuplu cump r o cas cu un împrumut ipotecar în valoare de 100.000$, contractat pe un termen de 20 de ani. Rata cuvenit a dobânzii este de 8,75%. Ipoteca este pl titfolosind o sum anual pentru dobând i pentru amortismente constante.

a. Construi i tabelul de amortizare al ipotecii, alc tuit din credit, dobând , amortisment ianuitate pe o perioad de 20 de ani. Folosi i o sec iune de date cu un domeniu de nume pentru date. Tabelul ar trebui s fie bine alc tuit, cu formatele i protec ia corespunz toare.

b. Edita i tabelul cu rambursarea ipotecii. c. (i) Care va fi valoarea anuit ilor dup 20 de ani?

(ii) Dac în loc de anuit i s-ar efectua pl i lunare, care este echivalentul în cazul pl ilor lunare?

(iii) Pentru o rat anual de 8,75%, ce împrumut ipotecar acordat poate fi ob inut cu anuit i constante valorând 12.000$ pe parcursul a 20 de ani? (iv) Care este împrumutul ipotecar acordat pentru pl i lunare în valoare de 1.000$? (v) Pentru ce valoare a ratei dobânzii, un împrumut de 100.000$ are o rat lunar de 1.000$ pe parcursul a 20 de ani?

d. Se presupune c rata dobânzii variaz la fiecare 5 ani, iar în ultimele 4 perioade de 5 ani ia valorile 8,75%, 11,75%, 9,25% i 7,50%. Ramburs rile în primii ani sunt f cute ca i când rata dobânzii ar fi fost 8,75% pentru durata urm torilor 20 de ani, în urm torii 5 ani se presupune c rata dobânzii ar fi fost de 11,75% pentru urm torii 15 ani r ma i etc. Construi i tabelul amortiz rii anuale a ipotecii folosind o sec iune extins de date.

e. Modifica i aceast structur prin implementare folosind IF, având în vedere c anuit ile nu dep esc cel mult 12.000$ în oricare dintre ani. Folosi i o celul special pentru afi area maximului anuit ii. Pentru ce valoare maxim poate fi pl tit o ipotec în doar 20 de ani?

9. Cazul achizi ion rii imobilului

Un cuplu inten ioneaz s achizi ioneze o cas în valoare de 100.000$, ce va fi pl tit dintr-un capital propriu de 50.000$ i dintr-o ipotec valorând 50.000$. Rata dobânzii pentru ipotec este de 10% pe an, cu anuit i constante. Perioada de amortizare este de 25 de ani.

a. Întocmi i o foaie de calcul în care s indica i pentru fiecare an creditul nepl tit, dobânda scadent , amortismentele i anuit ile cu rate constante. Folosi i o sec iune specialpentru date, care ar trebui s aib domenii de nume. Imprima i foaia de calcul.

b. Presupunem c valoarea propriet ii cre te cu 5% în fiecare an. Determina i valoarea pe care o va avea casa peste 25 de ani i valoarea efectiv a casei (valoarea casei minus creditului r mas de rambursat).

c. Presupunem c impozitele i costurile de între inere în acest an sunt de 3.000$ i c în anii urm tori vor cre te cu 3% pe an. Presupunem c aceast cas va fi vândut în 2016 la valoarea pe care o va avea la acel moment. Care va fi valoarea costurilor totale dup25 de ani de folosin a casei? Orice cost ap rut în primii ani va trebui calculat în anul în care casa va fi vândut la o rat a dobânzii de 10%?

d. În loc de a de ine o cas pe o perioad de 25 de ani, aceasta ar putea fi închiriat cu 12.000$ pe an, chiria crescând cu 6% pe an. Care va fi valoarea total a costurilor dup25 de ani de închiriere? Care este rela ia de ordine dintre acest lucru i de inerea casei în proprietate?

34

1.3.Valoarea actualizat a ramburs rilor

Acest capitol introduce conceptul de actualizare i valoare actualizat aplicate sumelor constante care sunt achitate dup termen, i asociate cu exemple. În primul rând sunt explicate conceptele de actualizare i valoare actualizat . Apoi sunt deduse formule pentru valoarea actualizat a creditelor anuale i a altor anuit i. Se ofer o prezentare de ansamblu a diverselor situa ii, contracte, i formule asociate fluxurilor monetare constante. În final, se analizeaz o cerere de pensionare În acest capitol ve i înv a urm toarele comenzi i func ii ale foii de calcul: PV (rata dobânzii, durata, suma de plat ).

1.3.1 Actualizarea i valoarea actualizat

Se presupune c exist posibilitatea de achizi ionare a unui bun care pe durata unui an poate fi vândut la 1.000$. Cât suntem dispu i s pl tim acum? La aceast întrebare se poate r spunde dacse cunoa te cât de mult suntem dispu i s pl tim acum pentru a ob ine 1$ anul viitor. Se presupune c suma actual de bani este depus într-un cont de economii cu o dobând de r% pe an. Aceasta înseamn c 1$ pl tit acum aduce 1$+r ( unde r este exprimat unitar, astfel încât 5% înseamn0,05) un an mai târziu. Deci, împ r ind cu 1+r, avem c 1$/ (1+r) în prezent este echivalentul a 1$ un an mai târziu. Astfel, se poate concluziona c 1.000$/(1+r) în momentul de fa este echivalentul a 1.000$ un an mai târziu. Dac cea mai bun alternativ de utilizare a banilor este un cont de economii cu o dobândde r%, costul de oportunitate a 1$ în prezent este 1+r în unit i monetare în anul viitor. Dac X este suma în dolari pe care suntem dispu i s o pl tim în prezent pentru a ob ine 1.000$ anul viitor, avem pentru aceast sum :

X(1+r) = 1.000,

astfel încât

X =r1

000.1 .

X este definit ca valoarea actualizat a 1.000$. Pentru r=0,1 rezult c X=1.000/(1.1) = 909,09. Suma de 1.000$ este actualizat la 909,09 prin înmul irea cu factorul de actualizare

r11 = 0,90909.

Dac se preconizeaz s se ob inã 1.000$ în doi ani, valoarea prezent este supus dobânzii compuse:

X(1+r)2 =1.000,

astfel încât,

X = 2)1(000.1

r.

Pentru o perioad de doi ani factorul de actualizare este 1/(1,1)2 = 0,826.

35

În general, valoarea actualizat a unei sume de bani A disponibil dup t ani, pentru o rat a dobânzii r, este:

trA

)1(.

Actualizarea sau încasarea valorii actualizate este evident procesul invers al dobânzii compuse. Figura 1.31 prezint valoarea actualizat a 1.000$ pentru diferite rate ale dobânzii ipentru un num r diferit de ani. C1 reprezint suma A i B4 con ine formula A/(1+$A4)^B$3, care este copiat în B4:O9. Figura 1.32 prezint aceea i informa ie sub form grafic . De o importan practic deosebit este sc derea rapid a valorii actualizate pentru un tcresc tor când ratele dobânzii dep esc, s zicem, 5%. O valoare actualizat sc zut înseamn csuma de 1.000$ este mai pu in semnificativ . Cu rate ale dobânzii mai mari de 10%, sumele viitoare devin nesemnificative peste 20 de ani.

Figura 1.31 Valoarea actualizat a 1.000 $ pentru rate ale dobânzii i ani diferi i

Figura 1.32 prezint acelea i rezultate sub formã grafic . Pentru o rat a dobânzii de 10% sau mai mare, sumele în anul 7 sau mai târziu sunt mai mult decât înjum t ite i tind c tre valoarea nul . Reducând sumele cu rate ale dobânzii mai mari se ajunge la o mic orare astfel încât numai sumele din viitorul apropiat conteaz . Numai rate ale dobânzii de 2% fac s conteze intervalele de timp, considerate ca genera ii, de circa 30 de ani. A se nota c s-a considerat implicit aceea i rat a dobânzii pentru to i anii. În anumite cazuri acest lucru poate s nu fie corect, mai ales dac sunt implicate ambele fluxuri monetare din primii ani i 10 sau 20 de ani mai târziu, pentru c ratele dobânzii la datoria public pe durate de timp diferite variaz .

Figura 1.32 Valoarea actualizat a 1.000$

36

1.3.2. Valoarea actualizat a creditelor de studiu i anuit ile

Se presupune c se acord un credit de studiu de 10.000$ pe an pentru fiecare din urm torii 10 ani. Cât valoreaz acesta acum dac rata dobânzii în vederea reducerii este de 5%? O serie de pl i egale de-a lungul unui num r de ani se nume te anuitate, iar num rul de ani de plat reprezintdurata anuit ii. Câteodat o anuitate se achit atâta timp cât persoana respectivã este în via ã, dar nu vom lua în considerare astfel de anuit i aici. În primul rând este prezentat o foaie de calcul pentru aceast problem , apoi o abordare algebric , i în final func ia corespunz toare foii de calcul. Figura 1.33 prezint fluxul monetar al anuit ii aplicate pe 10 ani, atât în prezentare numeric cât i analitic , vezi de asemenea figura 1.34. Oricare dintre sume poate fi actualizat la anul 0, lucru care se realizeazã prin împ r irea sumei în anul t prin (1+r) t . Celula C5 are ca formul=B5/(1+IR)^A5, care este copiat în jos. Rezultatul sumei este 77.217$, care este valoarea actualizat pentru 10 ani de plat . Este mult mai convenabil s utiliz m o formul algebric care este dedus dup cum urmeaz . Fie suma de plat A, rata dobânzii r, si durata t. Valoarea actualizat a 1$ de plat în Anul 1 este:

d=r1

1 ,

i deci 1$ de plat în anul t este d t . Deci valoarea actualizat total P0 pentru suma A, achitat în fiecare an timp de t ani este:

P0 = (d+d2 +…+dt )A=ddd t

1)1( A=

rd t )1( A. (1)

Figura 1.33.a: Valoarea actualizat a unui credit anual (prezentare numeric )

37

Figura 1.33.b Valoarea actualizat a unui credit anual (prezentare analitic )

Figura 1.34. Flux monetar actualizat i neactualizat pentru o anuitate

Expresia de dup cea de-a doua egalitate este ob inut folosind formula seriei geometrice. Pentru A=10.000, r=5%, i 10 ani am ob inut P0= 77.217$. Pentru o durat a anuit ii t ob inem pentru anuitate valoarea actualizat :

P0 = rA = 100.000$.

Aceast formul este adev rat pentru a a-numitele datorii perpetue care nu sunt niciodatrestuite, dar pentru care se continu s se pl teasc aceea i rat a dobânzii. Formula (1) este asociat formulei (4) din capitolul anterior:

A= trr

)1(1P0 .

Rela ia dintre P i A este aceeasi, doar c este rezolvat pentru valoarea actualizat P0 în (1), i pentru A în (4).

Formula (1) este implementat în foaia de calcul ca func ie PV care are trei argumente:

PV(dobânda, durata, -suma).

38

Pentru exemplul nostru avem:

PV(r,t,-A) = PV(10%,10,-10.000) = 77.217$.

Anuit ile sunt acordate, de obicei, indivizilor de c tre b nci sau alte institu ii financiare cu pre ul egal cu valoarea actualizat dat în rela ia (1). Anuit ile cu termen fixat sunt pentru b ncisimilare cu GIC doar c sunt implicate durate diferite.

Figura 1.35 Calculul pl ii unei datorii

Figura 1.36 Flux monetar pentru 1.000$ datorie

39

Acelea i formule pot fi utilizate pentru a evalua plata datoriilor. Se presupune c 1.000$ datorie pot fi r scump ra i la 1.075$. Acesta aduce un beneficiu cu o dobând anual de 5% i va fi restituit dup 10 ani. Aceast propunere este atr g toare dac banca ofer un cont de economii cu o dobând anual de 4% ? Pentru a r spunde la aceast întrebare, pre ul de achizi ie de 1.075$ la început trebuie comparat cu beneficiile viitoare. Aceasta se realizeazã folosind conceptul de valoare actualizat , dupã cum va fi explicat mai jos. “Investi ia” în datorie presupune un anumit flux monetar, care înseamn intr ri i iesiri de bani asociate acesteia. Fluxul monetar pentru “investi ia”în datorie este redat în figura 1.35 i ilustrat în figura 1.36. Problema evalu rii unei datorii de 1.000$ poate fi rezolvat în acela i mod ca cea a g sirii valorii anuit ii. În primul rând, fluxurile monetare ale anilor urm tori pot fi actualizate la valoarea de început, dup ce sunt însumate cu pre ul de achizi ie. Acest lucru este realizat în coloana C a figurii 7.5. Suma rezultat a fluxurilor monetare actualizate este 6$, astfel încât r scump rând o datorie la 1.075$ se ob in 6$ folosind o rat a dobânzii de 4% în vederea reducerii. Valoarea actualizat a pl ilor dobânzii constante de 50$ pe parcursul celor 10 ani poate fi calculat folosind formula valorii actualizate:

= PV (DIR, 10,-IR*A) care are ca rezultat 406$, vezi celula E1 în figura 1.35. Reachitarea de c tre debitor poate fi actualizat spre valoarea de început folosind formula: =1.000(1+r)^10=A/(1+DIR)^10=676$, vezi E2. Dup sc derea pre ului de achizi ie de 1.075$, este reg sit aceea i valoare de 6$.

1.3.3 O privire de ansamblu asupra fluxurilor monetare constante, formule asociate icontracte

Deoarece valorile actualizate i viitoare ale fluxurilor monetare i echivalentelor lor au fost discutate în diverse contexte, este necesar o prezentare de ansamblu i o compara ie. Vor fi luate ca exemplu fluxuri monetare de 10.000$ care se ob in în timp de 1 pân la 10 ani. Rata dobânzii este de 10%. Fluxul monetar poate fi de intrare (pozitiv) sau de ie ire (negativ), vezi figura 1.37. Valoarea actualizat a acestui flux monetar, care reprezint valoarea în anul 0, este:

P0= rr t)1(1 A=PV(r, t, -A)=PV(10%, 10, -10.000)=77.217$

Valoarea viitoare a fluxului monetar care reprezint valoarea în anul 10 este:

P10= rr t 1)1( A=FV(r, t, -A)=FV(10%, 10, -10.000)=125.779$.

O anuitate este un contract dintre o persoan i o institu ie financiar prin care persoana pl te te o sum de bani P0 în anul 0, pentru a avea un flux de intrare de A timp de t ani. Institu iafinanciar stabile te rata dobânzii r în func ie de care este calculat P0. Intr rile si ie irile de fluxuri monetare ale persoanei sunt prezentate în partea stâng a figurii 1.37. i în partea (a) a figurii 1.38. Pentru institu ia financiar intr rile i ie irile sunt inversate. Valoare prezent combinat a intr rilori ie irilor evaluate la o rat a dobânzii r=5%, este exact 0, pentru c pre ul anuit ii egaleaz

valoarea actualizat a influxurilor anuale constante. Acela i lucru este valabil i pentru alte trei tipuri de contracte.

O ipotec cu anuit i constante este un contract prin care o persoan ob ine de la o institu iefinanciar un credit P0 în anul 0 i face pl i de A pe parcursul urm torilor t ani. Expresia (2) este rela ia dintre P0 i A, dar în cazul unei ipoteci primul determinat este P0, iar apoi se determin A

40

utilizând func ia PMT. Pentru valorile lui A, r i t de 10.000$, 10% i respectiv 10 ani fluxurile monetare ale persoanei sunt cele indicate în coloanele denumite Ipoteca din figura 1.37 i în partea (b) a figurii 1.38

Din figura 1.37 i p r ile (a) i (b) ale figurii 1.38 rezult c fluxurile monetare pentru ipotec sunt exact inversul celor pentru rent . Dac o persoan dore te s ob in o rent i o alta are nevoie de un împrumut pentru o ipotec i cad de acord asupra sumei A, duratei t i ratei dobânzii r,nu mai au nevoie de intermedierea unei institu ii financiare.

Valoarea viitoare reprezint totalul fluxurilor monetare constante la sfâr itul celor t ani. Atât ridicarea ipotecii cât i contractul de economii se folosesc de aceast echivalen . În cazul ridic riiipotecii o persoan prime te suma A timp de t ani, dar trebuie s restituie echivalentul sumei la sfâr it, vezi coloana corespunz toare din figura 1.37 i partea (c ) a figurii 1.38.

Figura 1.37 Fluxurile monetare pentru patru tipuri de contracte

(a) Anuitate (b) Ipoteca

41

(b) Ridicarea ipotecii (d) Contract de economii

Figura 1.38 Fluxurile monetare pentru patru tipuri de contracte

În cazul unui contract de economii o persoan pl te te o sum A de-a lungul a t ani iprime te suma Pt dup t ani, vezi ultima coloan a figurii 1.37. i partea (d) a figurii 1.38. Intr rile iie irile de fluxuri monetare sunt inverse fa de cazul ridic rii ipotecii. Se observ dou tipuri de simetrie în aceste contracte. Trecând de la o rent la o ipotec ivice versa se schimb sensul tuturor fluxurilor monetare. Trecând de la o rent la o ridicare a ipotecii i vice versa se schimb pozi iile sumelor constante A i capitaliz rile sumelor echivalente acestora, P0 i Pt. Acela i lucru este valabil i în cazul ipotecii i al contractelor de economii. În cazul anuit ii se pl te te în întregime suma pentru influxurile monetare înainte ca acestea s fie încasate, ceea ce înseamn o investi ie, iar în cazul ridic rii ipotecii dup ce fluxul a fost încasat, ceea ce reprezintã un împrumut. În cazul unui împrumut pentru o ipotec se primesc mai întâi banii i apoi se returneazã într-un flux de sume constante, iar în cazul unui contract de economii se

pl te te mai întâi un flux de sume constante i se prime te în sum total la sfâr it.

1.3.4. Pensiile Conceptele i formulele pentru pl ile periodice se pot aplica i la determinarea pensiilor. În cele ce urmeaz se prezint un caz standard pentru stabilirea fondurilor de pensii. S presupunem c o persoan munce te 40 de ani, de la 25 de ani pân la 65 de ani. Salariul ini ial este de 25.000$, care cre te cu 3% pe an pân la vârsta de 55 de ani, dup care acesta r mâne constant. Dou sprezece procente din salariu sunt livrate anual într-un fond de pensii, unde se cumuleaz cu o rat a dobânzii de 5%. Fondul de pensii este utilizat pentru a asigura o pensie anual constant pentru 20 de ani. Ne intereseaz sumele anuale ale pensiilor i pensia lunar . Figura 1.39. reprezint o parte a foii de calcul pentru aceste calcule. Informa iile introduse sunt în concordan cu realitatea.

Figura 1.39: Informa iile i contribu iile la pensii

42

Se pot deduce formule algebrice pentru calculul salariilor, contribu iilor la fondul de pensii, i pentru pensia îns i. Totu i formulele rezultate sunt complicate i pot ap rea erori frecvente. Este

preferabil s se introducã pentru fiecare an, începând cu 25 pânã 84 de ani, diferitele sume care sunt u or de determinat. Pe lâng aceasta, o astfel de prezentare anual face întreagul proces mai u or de în eles. În primul rând trebuie determinate salariile pentru munca prestat . Celula 8 con ine ca iformul =SS, i celula B9, =B8*(1+SI), care este copiat în jos pân la vârsta de 55 de ani. Salariile pân la vârsta de 64 de ani sunt apoi egalizate cu cele de 55 prin formula =$B$38. Contribu ia pentru pensii pe fiecare an reprezintã 12% din salariul anului respectiv, astfel încât celula C8 con ine ca formul =PC*B8, care este copiat în jos. Suma cumulat pentru fondul de pensii pentru un anumit an este egal cu cea din anul precedent, plus dobânda, plus contribu iapentru anul respectiv, astfel încât con inutul celulei D8 este dat de formula =C8+(1+IR)*D7, care este copiat în jos. Rezultatul este suma de 554.525$ corespunz toare vârstei de 64 de ani, vezi figura 1.310. Pensia care se acordã pe 20 de ani trebuie s se bazeze pe aceast sum . Ea este dedus folosind formula: =PMT(IR,20,-$D$47) în celula E48, i este copiat în jos. Pentru a verifica dac fondurile sunt epuizate dup vârsta de 84 de ani, în celula D48 este redat formula =(1+IR)*D47-E48, care este copiat în jos i care va deveni într-adev r 0 în celula D67.

Figura 1.40 Date de intrare pentru calculul pensiei

Cum pensiile sunt pl tite de obicei, mai degrab lunar decât anual, trebuie calculat pensia lunar ceea ce se face utilizând formula: =PMT((1+IR)^(1/12)-1,12*20,-D47)=3.626$. A se observa c se utilizeaz i rata lunar a dobânzii. Figura 1.41 prezint rezultatele calculului pensiei. De asemenea indic faptul c pensia anual reprezint 73% din ultimul salariu. În anumite cazuri, drepturile la pensie sunt indicate în procente aplicate ultimului salariului pe an de munc . În cazul nostru, acestea se ridic la 1,83%.

Figura 1.41 Rezultatele calculului pensiei

Figura 1.42 reprezint un grafic al fondului de pensii colectate de la începutul perioadei de munc , de la vârsta de 25 de ani pân la epuizarea fondului la vârsta de 84 de ani. La început,

43

fondul se adun treptat i cre te rapid spre sfâr itul perioadei de muncã. Acela i lucru este valabil iîn cazul acord rii pensiei, când declinul începe treptat, dar este mult mai rapid spre sfâr it.

Figura 1.42 Fondul pensiilor colectate pe perioada de munc i fondul de pensii

Un grafic asem n tor poate fi construit i pentru fluxul monetar asociat pentru persoana în

cauz , vezi figura 1.43. Potrivit metodei dobânzii compuse, o economisire a unei sume relativ mici

pe an timp de 40 de ani de munc asigur un venit rezonabil în cei 20 de ani de acordare a pensiei.

Figura 1.43 Fluxul monetar asociat pensiei

Probleme:

1. Pentru o rat a dobânzii de 7%, care este valoarea actualizat a unei datorii cu dobând de 10% pl tit anual, i care va fi restituit la 31 decembrie 1999? 2. Drepturile la pensie reprezint suma pensiei anuale exprimat ca procent din ultimul salariu pe an de munc . Care este dreptul la pensie în acest caz? Calcula i dreptul la pensie pentru valori ale contribu iilor la pensie de 10%, 12% i 14% i rate ale dobânzii de 3%, 4% i 5%. 3. În cazul pensiei se presupune c exist întotdeauna o infla ie de 4%, i c salariile cresc i rata dobânzii dat reprezint singura cre tere real . Modifica i foaia de calcul în acest sens. Care este acum procentajul dreptului la pensie? Lua i în considerare i ajustarea sumei pensiei anuale.

44

2. Modele de optimizare

2.1. Programare liniar

Problema pe care o vom examina este o problem tipic de programare liniar . Problema este de a selecta combina ia (mix-ul) de produse ce trebuie realizate pentru a ob ine profitul maxim.

În acest capitol ve i înv a urm toarele comenzi i func ii ale foii de lucru: Func ia SUM; Func ia SUMPRODUCT Utilizarea Solver-ului

Exemplu. Compania „Rame” SRL produce 4 tipuri de rame (având codurile 1,2,3 i 4). Cele 4 tipuri de rame sunt diferite în ce prive te m rimea, forma i materialele utilizate. Fiecare tip necesit o anumit cantitate de munc , metal i sticl a a cum se vede în tabelul de mai jos. În acest tabel se prezint i pre urile unitare de vânzare pentru fiecare tip de ram . În urm toarea s pt mâncompania poate s cumpere 4000 de ore de munc , 6000 de kg de metal i 10000 de kg de sticl .Costurile unitare sunt de 8.00$ pe or , 0.50$ pe kg de metal i 0.75$ pe kg de sticl . De asemenea restric iile pie ei fac împosibil vânzarea a mai mult de 1000 de rame de tipul 1, 2000 de rame de tipul 2, 500 de rame de tipul 3 i 1000 de rame de tipul 4. Compania dore te maximizarea profitului pe s pt mân .

Înainte de a prezenta modul de rezolvare a acesteia pe o foaie de calcul vom prezenta câteva no iuni legate de modul tradi ional de abordare a program rii liniare. În aceast problem trebuie realizate 4 tipuri de rame codificate 1,2,3 i 4. Vom nota aceste tipuri de rame cu 4321 ,,, xxxx . Apoi, vom scrie profitul total i restric iile în func ie de x. În final, deoarece nu dorim s se produc cantit i nenegative vom ad uga restric ii care s specifice acest lucru. Formularea algebric a problemei arat în felul urm tor.

4321 3426 xxxxMaxim (func ia obiectiv a profitului) cu restric iile:

4000232 4321 xxxx (restric ia de munc )6000224 4321 xxxx (restric ia de metal) 10000226 4321 xxxx (restric ia de sticl )

10001x (maxim vânz ri rame tip 1) 20002x (maxim vânz ri rame tip 2) 5003x (maxim vânz ri rame tip 3) 10004x (maxim vânz ri rame tip 4) 0,,, 4321 xxxx (restric ii de nenegativitate)

1. Date de intrare. Toate datele de intrare numerice i anume datele necesare pentru a forma obiectivul i restric iile vor ap rea într-o form sau alta în cadrul modelului. Vom face conven ia de a eviden ia toate datele de intrare în cadrane umbrite. Numai în cazul în care datele se potrivesc mai bine în alt parte vom înc lca aceast conven ie.

2. Changing cells (prin modificarea celulelor). În locul utiliz rii denumirilor de variabile vom folosi un set de celule care vor juca rolul variabilelor de decizie. Valorile din aceste celule pot fi schimbate pentru a optimiza func ia obiectiv. În Excel aceste celule sunt denumite

45

changing cells. Pentru a observa clar acest lucru vom folosi conven ia de a încadra changing cells cu o margine de culoare ro ie.

3. Target cell (prin setarea celulei). O celul denumit target cell con ine valoarea obiectiv. Solver-ul variaz sistematic valorile din changing cells pentru a optimiza valoarea din target cell. Vom folosi conven ia de a încadra target cell cu o linie dubl neagr .

4. Restric ii. Excel nu arat în mod direct restric iile pe foaia de calcul. De aceea trebuie sspecific m restric iile în caseta de dialog Solver. De exemplu, putem realiza un set de restric ii cu ajutorul formulei B15:D15<=B16:D16. Aceasta implic trei restric ii separate. Valoarea din B15 trebuie s fie mai mic sau egal cu valoarea din B16, valoarea din C15 trebuie s fie mai mic decât cea din C16, iar valoarea din D15 trebuie s fie mai mic decât valoarea din D16.

5. Nonnegativitate. În mod normal dorim ca variabilele de decizie – anume acelea din changing cells – s fie nenegative. Pentru a specifica, de exemplu, c valorile din domeniu C5:C9 s fie nenegative, vom include restric ia C5:C9>=0.

În general rezolvarea complet a problemei presupune trei stadii. Primul stadiu este de a introduce toate datele de intrare, valorile ini iale pentru changing cells i formulele corespunz toare. Vom numi acest stadiu formularea problemei. Dup încheierea primului stadiu se poate trece la cel de-al doilea ce const în utilizarea Solver-ului. În acest punct vom proiecta formal target cell, changing cells i constraints . Dac acest lucru s-a realizat bine rezolvarea cu Solver-ul este imediat .Al treilea pas const în analiza de senzitivitate. Când utiliz m Solver-ul folosim cele mai bune estim ri ale valorilor folosire pentru a ob ine solu ia optim . Oricum, este important de v zut cum se modific solu ia optim dac se schimb valorile de intrare.

Solutia ini ial

Figura 2.1

46

Dezvoltarea modelului pe foaia de calcul:

1. Date de intrare. Se introduc diverse date de intrare în domeniile B4:B6, B9:E12, B18:E18 i D21:D23.Se denumes domeniile ca în figura de mai sus în zona gri. (Insert – Name)

2. Nivelurile de produc ie. Se introduce oricare patru valori în celulele B16:E16. Aceste celule sunt de tip changing cells, adic celule unde vor fi plasate variabilele de decizie. Orice valori pot fi utilizate ini ial; Solver va g si valorile optime. Se observ c cele patru valori din figur nu pot fi optime deoarece nu satisfac toate restric iile. De exemplu, acest plan utilizeaz mai multe ore de munc i mai mult metal decât este disponibil, i produce mai multe produse din tipul 4 decât pot fi vândute. Oricum, nu trebuie s ne îngrijoreze în acest moment satisfacerea acestor restric ii; Solverul se va ocupa de acest lucru mai târziu.

3. Resursele utilizate. Se introduce formula =SUMPRODUCT (B9:E9, Produc ie) în celula B21 i se copiaz în domeniul B22:B23. Aceste formule calculeaz necesarul de munc , metal i sticl utilizat de mixul curent de produse. Func ia SUMPRODUCT este foarte util în modelele de programare liniar . În exemplu de aici înseamn multiplicarea fiec rei valori din domeniul B9:E9 cu valoarea corespondent din domeniul Produc ie i apoi calcularea sumei acestora.

4. Venituri, costuri i profituri. De la rândul 25 în jos se formeaz o zon ce con ine o sinteza valorilor monetare. De fapt, ceea ce dorim este profitul total în celula F32, dar este extrem de util s calcul m datle de intrare pentru profitul total, ceea ce înseamn , veniturile icosturile asociate cu fiecare produs.Pentru a ob ine veniturile, se introduce formula =B12*B16 în celula B27 i se copiaz în domeniul C27:E27.Pentru costuri se introduce formula =$B4*B$16*B9 în celula B29 i se copiaz în domeniul B29:E31 (Se folose te un mixaj de referin e absolute i relative pentru a realiza acest lucru). Apoi se calculeazprofiturile pentru fiecare produs prin introducerea formulei =B27-SUM(B29:B31) în celula B32 i se copiaz în domeniul C32:E32. În final se calculeaz totalul în coloana F prin însumarea de-a lungul rândurilor cu func ia SUM.

Urm torul pas const în a specifica con inutul celulelor de tip changing cells, al celulei de tip target cell i restric iile (constraints) din caseta de dialog Solver pentru a g si solu ia optim .Oricum, înainte de a face acest lucru, este util s se încerce câteva estim ri în celulele de tip changing cells. De exemplu, este tentant s presupunem c tipul de ram cu cea mai mare marj de profit ar trebui produs în cea mai mare m sur . Se începe prin introducerea de zero-uri în celulele de tip changing cells din domeniul B16:E16. Evident, când nu producem nimic profitul este 0. În continuare, din cauza faptului c tipul de ram 1 are cea mai mare marj de profit ( 6$) iar restric iasa de pia permite cel mult 1000 de rame, se vor introduce 1000 în celula B16. se observ c nici una dintre resurse nu a fost utilizat total. Deci, putem realiza ni te rame de tipul 3, tipul cu urm toarea marj de profit ca m rime. Datorit faptului c restric ia de pia a tipului 3 permite cel mult 500 de rame, se vor introduce 500 în celula D7. Înc mai exist disponibilit i din fiecare resurs . Aceasta ne permite s realiz m rame de tipul 4, tipul cu urm toarea marj de profit ca m rime. Oricum, maximul pe care îl putem realiza din tipul 4 de rame este 250, pentru c la acest moment s-a utilizat complet timpul de lucru disponibil. Solu ia rezultat este ilustrat în figura urm toare.

47

Figura 2.2

Profitul corespunz tor este 8750 $. În acel moment s-a produs maximul posibil din cele trei tipuri de rame cu cele mai înalte marje de profit. Oare acest lucru garanteaz c solu iacuprinde mixul optim de produse? Din p cate nu este a a. Solu ia din figur nu este optim .Chiar i la nivelul acestui model de dimensiuni reduse este dificil s intuim solu ia optimchiar dac folosim o procedur relativ inteligent de tipul încercare-eroare. Problema este cun tip de ram cu o marj de profit înalt poate folosi o cantitate mare de resurse iîmpiedica realizarea altor rame profitabile. De i este instructiv s încerci s intuie ti solu iaoptim s-ar putea s nu o g sim niciodat . Din acest motiv este util s folosim Solver-ul.

Utilizarea Solver-ului. Pentru a apela la Solver-ul din Excel se selecteaz din meniu Tools/ Solver.

Va ap rea caseta de dialog ilustrat în figura urm toare. Ea con ine trei sec iuni importante care trebuie completate: celula tip Target cell, celule tip changing cells i restric ii. Pentru problema mixului de produs le putem completa prin tastarea referin elor celulelor sau putem s ne pozi ion m pe ele i s le tragem în domeniile corespunz toare. De asemenea dac am denumi domeniile putem folosi aceste denumiri în locul adreselor aferente celulelor. (Dacdecidem s ne pozi ion m pe ele i s le tragem, s-ar putea s fie nevoie s mut m caseta de dialog a Solver-ului pentru a nu fi în calea celulelor pe care dorim s le select m)

48

Figura 2.3

1. Obiectiv. Se selecteaz celula F32 ce reprezint profitul total, drept celul de tip target cells i se execut click asupra butonului de maximizare (Max).

2. Changing cells (prin modificarea celulelor). Se selecteaz domeniul ramelor produse B16:E16 drept celule de tip changing cells.

3. Restric ii. Se execut click pe butonul Add pentru a ad uga urm toarele restric ii:Necesar<=Disponibil Produc ie<=Maxim vânz ri

Prima restric ie ne indic s folosim din fiecare resurs doar atât cât este disponibil. A doua restric ie ne indic s producem din fiecare produs doar atât cât poate fi vândut. Observa ie: Semnele <= în coloana C i rândul 17 -vezi figurile de mai sus- nu sunt necesare în Excel. Ele se introduc doar ca etichete în foaia de calcul i nu au efecte asupra calculelor.

4. Nenegativitate. De i cantit ile negative de produse nu au, evident, nici un sens va trebui s detaliem acest lucru Solver-ului în mod explicit pentru ca celulele tip changing cells s devin nenegative: exist dou c i pentru a realiza acest lucru. Prima cale ar fi sse adauge o nou restric ie ca un pas 3: Produc ie >=0. Cea de-a doua cale este de a selecta butonul Options din caseta de dialog Solver i valida i op iunea Assume Nonnegative. Se asigur astfel în mod automat c toate celulele de tip changing cells sunt nenegative.

49

Figura 2.4

5. Modelul liniar. Mai exist un ultim pas înainte de a executa click pe butonul Solve. Solver folose te una dintre cele câteva metode numerice de rezolvare a diferitelor tipuri de probleme. Problemele liniare se pot rezolva cel mai eficient prin metoda simplex. Pentru ca Excel s foloseasc aceast metod se va valida op iunea Assume Liniar Model din aceea i caset de dialog a Solver-ului utilizat anterior.

6. Optimizare. Executa i click pe butonul Solve – În acest moment Solver-ul alege dintr-un num r de solu ii posibile pân când identific solu ia optim . Se poate urm riprogresul opera iunii în zona din stânga jos a ecranului. Când opera iunea ia sfâr it va ap rea mesajul din figura urm toare.

Figura 2.5

Îi pute i spune Solver-ului s transforme valorile din celulele de tip changing cells aducându-le la starea original (non-optim ) sau s re in valorile optime g site. În majoritatea cazurilor se va alege probabil a doua variant . (În unele cazuri îns Solver-ul nu va g si solu iile optime i va afi a câteva mesaje de eroare. )

Se execut click pe OK pentru a p stra solu ia dat de Solver. Se poate vedea solu ia în figura urm toare.

50

Figura 2.6

Planul optim este de a produce 1000 de rame de tip 1, 800 de rame de tip 2, 400 de rame de tip 3 i nici o ram de tip 4. Acest plan se apropie de planul de produc ie ini ial dar în cazul acestuia din urm se ob ine un profit cu 450 $ mai mare. De asemenea se folose te tot timpul de lucru disponibil i toat cantitatea de metal îns doar 8000 din cele 10000 de kg de sticl disponibile. În privin a maximiz rii vânz rilor planul optim ar putea produce mai multe rame de tipul 2,3 i 4. ( Dac ar exista mai mult timp de lucru i/sau mai mult metal disponibil). Aceast este o solu ie tipicde programare liniar . Unele dintre restric ii sunt respectate la limit în timp ce altele con inanumite rezerve.

Exeprimentarea cu noi date de intrare. În cazul în care se dore te s se experimeteze cu noi date de intrare se pot schimba pur i simplu datele i se ruleaz din nou Solver-ul. S presupunem c pre ul de vânzare al ramei tip 4 a crescut de la 21.5$ la 26,5$ iar celelalte condi iisunt neschimbate. Prin cre terea profitabilit ii ramei 4 sper m c acesta va fi inclus în model. Este exact ceea ce se întâmpl . Programul optim con ine acum 1000 de rame de tipul 1 i 1000 de rame de tipul 4 a a cum se poate vedea în urm toarea figur .

51

Figura 2.7Analiza de senzitivitate. Caseta de dialog Solver indic modul de abordare în acest caz. Prin selectarea op iunii Senzitivity Report se va ob ine o nou foaie cu multiple informa ii despre senzitivitatea modelului. Raportul corespunz tor exemplului nostru este prezentat în figura urm toare.

Figura 2.8

Probleme:

1. O cofet rie produce dou tipuri de pr jituri ( cu ciocolat i vanilie). Fiecare pr jitur cu ciocolat se vinde cu 12$ iar fiecare pr jitur cu vanilie cu 9$. Fiecare pr jitur cu ciocolatnecesit 20 de minute pentru copt i utilizeaz 4 ou . Fiecare pr jitur cu vanilie necesit 40 de minute pentru copt i 1 ou. Timpul disponibil este de 8 ore i exist 30 de ou . Utiliza iSolver-ul pentru a maximiza profitul.

2. În problema precedent timpul de copt pentru pr jiturile cu vanilie ca urmare a unei noi tehnologii de realizare scade la 25 de minute. Utiliza i Solver-ul pentru a maximiza profitul.

52

2.2. Modele de planificare agregat

Modelul permite ca nivelul for ei de munc s se modifice în fiecare lun prin angajarea sau concedierea de muncitori. De asemenea i se permite cererii s se acumuleze, adic s nu fie satisf cut la timp. Exemplul urm tor ilustreaz dou versiuni ale acestui model, unul bazat pe cerere reprogramat , altul f r cerere reprogramat .

Exemplu. În urm toarele patru luni firma SuperPan, produc toare de înc l minte, va trebui s satisfac ( la timp) urm toarele cereri de perechi de pantofi: 3000 în luna 1, 5000 în luna 2, 2000 în luna 3 i 1000 în luna 4. La începutul lunii 1 exist 500 de perechi în stoc iar firma are 100 de muncitori. Fiecare muncitor este pl tit cu 1500 $ pe lun pentru un timp de lucru de 160 ore, program neincluzând ore suplimentare. Deci sunt pl ti i cu 9,38 $ pe or . Un muncitor poate presta pân la 20 ore suplimentare pe lun , fiind pl tit cu 13 $ pentru fiecare or suplimentar . Este nevoie de 4 ore i de materii prime în valoare de 15 $ pentru a produce o pereche de pantofi. La începutul fiec rei luni se pot angaja sau concedia muncitori. Costurile fixe pentru concediere sunt de 2000 de $ pe muncitor iar pentru angajare de 1600 $ pe muncitor. La sfâr itul fiec rei luni pentru fiecare pereche cheltuielile de stocare sunt de 3$. Pre ul de vânzare al pantofilor va fi constant în aceast perioad de 4 luni, deci nu va trebui încorporat în model. Se porne te de la premisa c produc ia dat a unei luni se va utiliza pentru satisfacerea cererii acelei luni. SuperPan dore te s determine programul de angaj ri/concedieri i produc ie care sminimizeze costurile totale în perioada de 4 luni.

Solu ie. Pentru modelul problemei SuperPan va trebui s avem în vedere urm toarele aspecte: - Num rul de muncitori angaja i/concedia i i disponibili în fiecare lun .- Timpul de lucru i orele suplimentare din fiecare lun .- Capacitatea de produc ie (perechi de pantofi) i cantit ile produse în fiecare lun .- Nivelurile stocurilor ob inute în fiecare lun dup produc ie i la sfâr itul lunii dup

satisfacerea cererii). - Costuri lunare i costuri totale.

Desf urarea aplica iei modelului tip foaie de calcul.

Modelul tip foaie de calcul e ilustrat în figura urm toare.

53

Figura 2.9 Pa ii sunt urm torii:

1. Date de intrare. Se introduc datele de intrare în domeniul B4:B14 (fiecare dintre aceste celule are un domeniu i o denumire) i se introduc cererile lunare în domeniul Cerere.

2. Programul de angaj ri/concedieri i produc ie. Se introduc orice valori ini iale pentru num rul de perechi de pantofi produse în foecare lun în domeniul Produc ie, num rul de ore suplimentare utilizate în fiecare lun în domeniul OS, num rul de muncitori angaja i în fiecare lun în domeniul Angaj ri i num rul de muncitori concedia i în fiecare lun în domeniul Concedieri. Aceste patru domenii sunt celule de tip changing cells.

3. Muncitori disponibili în fiecare lun . În celula B17 se introduce num rul ini ial de muncitori disponibili cu formula

=MuncitInit. Datorit faptului c num rul de muncitori disponibili la începutul fiec rei luni (înainte de a angaja sau concedia) este egal cu num rul de muncitori ai lunii precedente se introduce formula

54

= B20 în celula C17 i se copiaz în domeniul D17:E17. Apoi, se calculeaz num rul net de muncitori existent dup angajare sau concediere prin introducerea formulei = B17+B18-B19 în celula B20 i se copiaz pe orizontal pe linia 20. 4. Capacitatea de efectuare de ore suplimentare. Deoarece fiecare muncitor disponibil poate

lucra pân la 20 de ore suplimentare pe lun se introduce formula =MaxOS*B20 în celula B25 i se copiaz în domeniul C25:E25 pentru a capacitatea de efectuare de ore suplimentare pentru lunile 2,3 i 4.

5. Capacitatea de produc ie. Deoarece fiecare muncitor lucreaz 160 ore pe lun se calculeaz timpul de lucru disponibil în luna 1 în celula B22 cu formula =TLStandard*B20 i se copiaz în domeniul C22:E22 pentru celelalte luni. Apoi se calculeaz num rul total de

ore disponibile pentru produc ie în celula B27 cu formula =SUM(B22:B23) i se copiaz în domeniul C27:E27 pentru celelalte luni. Deoarece sunt necesare patru ore de lucru pentru o pereche de pantofi se introduce formula =B27/OrePerPereche în celula B32 i se copiaz în domeniul C32:E32.

6. Stocurile lunare. Exist dou rânduri pentru stocuri. Rândul 34 pentru stocurile post-produc ie i rândul 37 pentru stocurile finale, dup ce s-a satisf cut cererea. Pentru a le calcula se începe prin introducerea formulei = StocInit +B30 în celula B34. Apoi se introduce formula =B37+C30 în celula C34 i se copiaz în domeniul D34:E34. Astfel se coreleaz stocul lunar cu stocul final al lunii anterioare. În continuare se calculeaz stocurile finale introducându-se formula =B34-B36 în celula B37 i se copiaz pe orizontal pe rândul 37.

7. Costurile. Se calculeaz costurile în rândurile 35-40 înmul ind costurile unitare corespunz toare din rândurile 7-14 cu cantit ile corespondente din foaia de calcul. De exemplu, pentru costurile de stocare se introduce formula =CostUnitStoc*B37 în celula B45 i se copiaz în domeniul C45:E45.în domeniul C45:E45. Apoi se calculeaz totalurile pe

rând i coloan în coloana F i rândul 46.

Utilizarea Solver-ului. Caseta de dialog a Solver-ului este ilustrat în figura urm toare.

Figura 2.10

Se va minimiza costul total având grij s nu se dep easc restric ia maxim de ore suplimentare icapacitate de produc ie i s se satisfac cererea la timp. Se introduce i o restric ie de num r întreg pentru num rul de muncitori angaja i/concedia i i nivelurile de produc ie. Pentru a introduce aceast restric ie se procedeaz ca în figura urm toare:

55

Figura 2.11

Pentru a asigura ob inerea solu iei optime este indicat s se seteze toleran a din meniul Options la valoarea 0.

Modelul cu reprogramare permis . În multe situa ii reprogramarea este permis ; aceasta înseamnc cererea poate fi satisf cut mai târziu decât apare. Vom modifica modelul anterior pentru a permite reprogramarea. Vom presupune un cost unitar de 20$ la sfâr itul fiec rei luni pentru fiecare pereche de pantofi cerut i care nu a fost livrat la sfâr îtul lunii. Acest lucru se paote modela u ordac se permite ca stocul final s fie negativ. De exemplu, dac stocul final al lunii 1 este –10 se va calcula un cost de penurie de 200 $.

Modificarea modelului. Metoda este ilustrat în figura de mai jos. 1. Se introduce costul de penurie. Se introduce un nou rând sub rândul 14 i se introduce costul de

penurie pe lun în celula B15. 2. Rânduri pentru penurie i surplus. Se introduc 5 rânduri (de la 38 la 42) între rândurile pentru

Cerere i Stoc Final. Domeniul B39:E40 vor fi celulele de tip cahnging cells. Domeniul Surplus din rândul 39 con ine cantitatea aflat în stoc în timp ce domeniul Penurie calculeaz cantitatea lips ce ar fi putut fi vândut . Se introduc orice valori în aceste domenii.

3. Stoc final (pozitiv sau negativ). Se introduce formula =B39-B40 în celula B41 i se copiaz de-a lungul rândului 41. Astfel dac în domeniul Penurie se afl valori mai mari ca 0, stocul final va fi negativ indicând o lips de produse. Deoarece am calculat stocul final in dou moduri pe rândurile 41 i 43 vom ad uga o restric ie suplimentare for ându-le s fie egale.

4. Cost de stocare. Se introduce un nou rând (rândul 52)sub costul de stocare. Se modific costul de stocare cu formula =CostUnitStoc*B39 în celula B51 i se copiaz pe rândul 51.Se calculeaz costul de penurie în celula B52 cu formula =CostUnitPenurie*B40 i se copiaz pe rândul 52.

Utilizarea Solver-ului. Caseta de dialog A Solver-ului modificat este prezentat în figura de mai jos.

Figura 2.12

56

Modific rile sunt: -domeniile Surplus i Penurie sunt celule suplimetare de tip changing cells. -domeniul Net trebuie s fie egal cu domeniul Stocfin -domeniul ExistentLuna4 trebuie sa fie cel putin la fel de mare ca CerereaLuna4.

Figura 2.13

Probleme:

1. Motociclete S.A. î i determin programul de produc ie pentru urm toarele 4 trimestre. Cererea pentru motociclete este previzionat ca fiind: 40 în trimestrul 1, 70 pentru trimestrul 2, 50 pentru trimestrul 3 i 20 pentru trimestrul 4. Costurile asociate sunt:

- 400$ cost de produc ie pe motociclet

57

- la sfâr itul fiec rui trimestru costul de stocare este de 100$ pe motociclet .- Dac produc ia descre te de la un trimestru la altul se pl tesc costuri suplimentare de

600 $ pe motocicletCererea trebuie satisf cut în fiecare trimestru. Înainte de trimestrul 1 s-au produs 50 de motociclete. La începutul trimestrului 1 nu exist motociclete în stoc. S se minimizeze costul total al companiei pe urm toarele 4 trimestre.

2. Referitor la problema precedent se presupune c Motociclete S.A. nu este obligat ssatisfac cererea trimestrial. Pentru fiecare trimestru în care cererea pentru motociclete nu este acoperit se calculeaz un cost de penurie de 110$ pe motociclet . Cererea poate fi reprogramat pentru trimestrele urm toare dar trebuie satisfacut complet pân la finele ultimului trimestru.

2.3. Probleme de transport

În multe cazuri companiile realizeaz produse în loca ii numite puncte de ofertare ilivreaz aceste produse c tre loca iile clien ilor numite puncte de cerere. Fiecare punct de ofertare are o capacitate limitat de livrare i fiecare client trebuie s primeasc cantitatea de produse solicitat . Modelele cu foi de calcul se pot utiliza pentru a determina metoda de livrare cu costuri minime pentru a satisface cererile clien ilor. În acest caz se va presupune c singurele livr ri posibile sunt cele directe de la punctul de ofertare la cel de cerere; aceasta înseamn c nu este posibil nici o livrare între punctele de ofertare sau cele de cerere. Un astfel de tip de problem se nume te problem de transport.

Exemplu. Mix Electrica este o firm care cuprinde trei uzine furnizoare de electricitate care produc curent electric pentru patru ora e. Fiecare uzin poate furniza cantitatea ilustrat în tabelul urm tor (în mil. kwh):

Oferta Uzina 1 35 Uzina 2 50 Uzina 3 40

Tabel 2.1.

Cererea maxim de curent electric este ilustrat de tabelul urm tor(în mil. kwh):

Cerere Ora 1 45 Ora 2 20 Ora 3 30 Ora 4 30

Tabel 2.2Costul în $ al furniz rii unui milion kwh de c tre fiecare uzin pentru fiecare ora este ilustrat în tabelul urm tor:

58

Ora 1 Ora 2 Ora 3 Ora 4 Uzina 1 8 6 10 9 Uzina 2 9 12 13 7 Uzina 3 14 9 16 5

Tabel 2.3

Mix Electrica încearc s g seasc costul minim de satisfacere a celor patru ora e.

Solu ie.

Pentru a stabili modelul pentru foaia de calcul pentru distribu ia de curent electric a companiei Mix Electrica va trebui s avem în vedere urm toarele:

- curentul electric livrat (în mil. kwh) de la fiecare uzin c tre fiecare ora- curentul electric total livrat de la fiecare uzin- curentul electric total primit de fiecare ora- costul total de transport Desf urarea aplica iei. Modelul cu foi de calcul va fi ilustrat în figura urm toare.

Figura 2.14

Pentru desf urarea aplica iei sunt indica i urm torii pa i:1. Date de intrare. Se introduc costurile de livrare unitare pentru fiecare ora în domeniul

Costuri de Livrare Unitare. Se introduc capacit ile uzinelor în domeniul Capacitate icererile ora elor în domeniul Cerere.

2. Cantit i livrate. Se introduc orice valori ini iale pentru livr rile fiec rei uzine c tre fiecare ora în domeniul Livr ri. Acestea sunt celule tip changing cells.

3. Totaluri livr ri. Se calculeaz cantit ile livrate de fiecare uzin în domeniul TotLivrari prin însumarea pe orizontal a valorilor rândului apar inând domeniului Livr ri. Similar se calculeaz cantit ile livrate c tre fiecare ora în domeniul CantitatePrimita pe vertical a valorilor coloanei apar inând domeniului Livr ri.

4. Costul total de livrare. Se calculeaz costul total de livrare de la uzine c tre ora e în celula TotCost cu formula

=SUMPRODUCT(CostUnitar, Livrari) Formula însumeaz totalul produc iei în func ie de costurile de livrare i cantit ile livrate.

59

Folosirea Solver-ului.

Caseta de dialog a Solver-ului este ilustrat în figura urm toare:

Figura 2.15

Se va minimiza costul total de livrare p stându-ne totu i în limita capacit ilor i satisf când cererea.Observa ie. Pentru ca Solverul s rezolve corect problema trebuie validate op iunile Assume Non-Negative i Assume Linear Model din caseta Options.

Figura 2.16

Solu ia optim ilustrat anterior poate fi reprezentat grafic astfel:

Figura 2.17

30

10

525

45101

2

3

1

2

3

4

35

50

40

45

20

30

30

Livr ri Uzine Ora e Cereri

60

Un cost minim de 1020$ se ob ine prin utilizarea rutelor de livrare din figur .

Probleme:

1. Oteluri S.A. produce trei tipuri de o el la diferite uzine. Timpul necesar pentru a produce o ton de o el iar costurile asociate sunt ar tate în figura urm toare. În fiecare s pt mân 100 de tone pentru fiecare tip de o el trebuie produs . Fiecare uzin este deschis 40 de ore pe s pt mân . Determina i modul în care trebuie minimizat costul de produc ie pentru companie.

2. Transporturi S.A. ofer bunuri c tre consumatori, fiecare dintre ei având nevoie de 30 de unit i. Companie are dou depozite. În depozitul 1 40 de unit i sunt disponibile iar în depozitul 2, 30 de unit i sunt disponibile. Costul pentru a transporta o unitate de la fiecare depozit la consumator este ar tat mai jos. Penalizarea pentru fiecare unitate nesatisf cuteste de 90$ pentru consumatorul 1 iar pentru consumatorul 2 de 80$ i pentru consumatorul 3 de 110$. Determina i costul minim de transport.

61

3. Tehnici de previziune

În cadrul acestei sec iuni vom discuta dou tipuri importante de metode de previziune: metode de extrapolare i metode cauzale. Metodele de extrapolare estimeaz valorile viitoare ale unei serii cronologice ( de timp) doar pe baza valorilor trecute ale seriei. Atunci când se utilizeazaceste metode se presupune c modelul (pattern-ul) care a generat datele de pân acum va continua i în viitor. Prin contrast, metodele cauzale estimeaz valorile viitoare ale unei serii cronologice

(numit variabil dependent ) utilizând datele trecute pentru a stabili rela ia dintre variabila dependent i una sau mai multe variabile independente. Înainte de a începe vom prezenta o serie de nota ii ce sunt uzuale în analiza seriilor cronologice. Fie nxxx ,....,, 21 valorile observate ale seriei cronologice, unde tx este valoare observat la momentul t. Fie tf previziunea pentru perioada t f cuta dup ce s-a observat 1tx .Acurate ea metodelor de previziune se judec dup erorile de previziune. Eroare de previziune o not m cu te i are rela ia ttt fxe . O m sur utilizat frecvent pentru acurate ea previziunilor

este MAD (media abaterilor absolute – mean absolute deviation). Formula este T

eMAD t ,

unde T este num rul de valori estimate realizate.

În acest capitol vor fi introduse urm toarele comenzi i func ii:

AVERAGE Tools - Data Analysis INTERCEPTSLOPE CORRELRSQ STEYX

3.1. Medii mobile

Exemplu. Firma ABC vinde televizoare, casetofoane cu compact disc (CD) i aparate de condi ionat aerul (AC). Vânz rile lunare pe ultimele 24 de luni, Ianuarie 2000 pân în Decembrie 2001 se afl în tabelul de mai jos. Compania dore te s descopere metode de previziune potrivite pentru estimarea vânz rilor pentru urm toarele luni.

62

Figura 3.1

Solu ie. Pentru metoda cu medii mobile previziunea este dat de

Nxxx

observatiinultimelorMediaf Ntttt

...21 unde N este un parametru dat numit ordin.

Pentru a ilustra aceast metod vom alege N=3 i vom previziona vânz rile de TV pentru primele 6 luni. Pentru lunile 1-3 nu avem valori observate astfel c nu putem realiza o previziune cu medii mobile pentru aceste luni. Pentru luna 4 previziunea bazat pe primele 3 observa ii este:

67.303

3032304f

În mod similar previziunile pentru lunile 5 i 6 sunt:

67.333

3930325f i

343

3339304f

De observat faptul c de la o perioad la alta previziunea cu medii mobile „se deplaseaz ” prin înlocuirea observa iilor mai vechi cu cele mai recente.

Alegerea ordinului. Metoda de previziune cu medii mobile este determinat în intregime de ordinul N, num rul de perioade utilizate pentru a calcula fiecare medie mobil . Este rezonabil s alegem N pe baza MAD (media erorilor absolute). Astfel, vom c uta acel N care minimizeaz MAD. Pentru N=3 vom avea )4(67.30)4(394 lunaestimatevanzarilunarealevanzarie ,

.03434,67.067.3333 65 ee MAD este media valorilor absolute ale acestor erori. Deci, pentru N=3 avem:

33

067.033.83

654 eeeMAD

Aplicând metoda mediilor mobile datelor din cele 24 de luni pentru vânz ri de TV se vor ob inediverse valori pentru MAD. Ordinul N va corespunde celui mai mic MAD.

63

Metoda mediilor mobile folosind foile de calcul. Este destul de simplu de aplicat metoda mediilor mobile în Excel. Func ia AVERAGE poate fi utilizat pentru a genera mediile mobile iar func iaABS( valoare absolut ) poate fi utilizat pentru a genera MAD. Procedura este indicat în continuare:

1. Datele: Datele originale se afl în coloanele (B3:B26). Pentru o mai buna vizualizare copia idatele in coloanele F3:F26 .

2. Previziunea (medii mobile): Introduce i prima medie mobila în celula G6 cu formula =AVERAGE (F3:F5). Aceasta este media vânz rilor pentru primele trei luni fiind o previziune pentru luna a 4-a. De aceea o vom plasa in dreptul vânz rilor din luna a 4-a. Copia i aceasta formul în domeniul G7:G27. Remarca i c valoarea din G27 este o previziune pentru luna 25, prima lun pentru care nu avem înc valori observate.

3. Erori de previziune: calcula i erorile de previziune în luna a 4-a în celula H6 cu formula =F6-G6 si calcula i eroarea absoluta in celula I6 cu formula =ABS(H6). Copia i prima dintre formule în domeniul H7:H27, iar cea de a doua în domeniul I7:I27.

4. Abaterea medie absolut (MAD). Calcula i MAD în celula I27 cu formula =AVERAGE(I6:I26).

5. Reprezentare grafic . Pentru a face o compara ie între valorile observate i valorile estimate cu metoda mediilor mobile, crea i o diagram (se folosesc datele din coloanele F, G i rândurile 3- 26). Aceasta diagram ilustreaz efectul de nivelare al previziunii. Seria format din valorile estimate este în general mai aplatizat decât seria original depinzând îns de m rimea ordinului N (cu cât mai mare este valoarea lui N cu atât aplatizarea este mai accentuat ).

Figura 3.2

Excel are func ii de analiz a datelor ce pot accelera procesul de previziune. Pentru a ilustra instrumentul de lucru pentru medii mobile relua i procedura de mai sus iar la pasul 2 folosi i meniul Tools – Data Analysis ( este add-ins). Alege i op iunea Moving Averages ceea ce va deschide fereastra de dialog de mai jos. Completa i astfel încât s ob ine i coloana G ( valorile observate domeniul , valorile estimate domeniul ) i graficul din figura (în continuare va trebui s calcula ierorile conform pa ilor 3 i 4).

64

Figura 3.3

Dup ce s-a realizat o previziune pentru un anumit ordin N se poate modifica imediat pentru un alt ordin. De exemplu pentru N=6 se terg formulele din domeniul G6:I18 (deoarece prima medie mobila va fi acum pentru luna a 7-a pe rândul 9),. Se schimba media in celula G9 pentru domeniul F3:F8 si se copiaz formula nou în domeniul G10:G27.

3.2. Nivelarea exponen ial simpl

Dac o serie cronologic fluctueaz în jurul unui nivel de baz având astfel un caracter orizontal , nivelarea exponen ial simpl poate fi utilizat pentru a ob ine previziuni cu o acurate erezonabil pentru viitoarele valori ale seriei. Fa de metoda mediilor mobile al c rui inconvenient este c fiecare valoare a seriei este tratat ca având aceea i pondere , în acest caz cu cât valorile sunt mai recente cu atât ele vor avea o mai mare importan . Nivelarea exponen ial este o tehnic de previziune care extrapoleaz o serie cronologic bazându-se pe principiul reducerii valorii informa iei odat cu trecerea timpului.

Pentru a descrie nivelarea exponen ial simpl s consider m L t ca o “medie “ a seriei cronologice dup ce s-a realizat observarea valorii x t .Putem gândi aceast medie ca cea mai bunaproximare a nivelului seriei dac n-ar exista fenomene aleatoare.De aceea, dup ce s-a realizat observarea lui x t , L t va fi prognoza pentru perioada t+1. Ecua ia este :

1)1( ttt LxLÎn ecua ie este un coeficient de nivelare ce satisface condi ia 0< <1.Dup ce s-a realizat observarea lui L t (valoarea seriei la momentul t) se utilizeaz ecua ia pentru a actualiza estimarea nivelului procesului de L t-1 la L t . Ecua ia ne spune c Lt+1 reprezint de fapt o medie ponderat a observa iei noi i a estim rii precedente.Mai mult dacscriem ecua ia la momentul t-1 avem:

211 )1( ttt LxLSubstituind aceast ecua ie în prima ob inem:

])1()[1( 2tittt LxxL

65

21 )1()1( tttt LxxL

De asemenea pentru t-2 avem:

322 )1( ttt LxLSubstuind ecua ia în cea precedent avem:

33

22

1 )1()1()1( ttttt LxxxL

Repetând procedeul vom ob ine:

...)1(...)1()1( 22

1 ktk

tttt xxxxL

deoarece + (1- )+…=1 ecua ia ne arat c cu cât ne întoarcem mai multe perioade în trecut nivelarea reprezint de fapt o medie ponderat a cestor observa ii trecute. Intuim astfel c termenul exponen ial vine din faptul c ponderea dat fiec rei observa ii descre te exponen ial.

Cu cât valoarea lui e mai mare cu a ât ponderea acordat celor mai recente observa ii este mai mare. La extrem pentru =1 avem L t =x t ceea ce înseamn c se urm resc numai ultimele observa ii. Cu cât valoarea lui e mai mic accentul se pune mai pu in pe observa iile recente modelul r mânând stabil. Pentru =0 avem L t =L t-1 ceea ce Înseamn c nu se ine cont de observa iile recente. În practic este ales de obicei între 0,1 i 0,5.Daca valoarea coeficientului de nivelare dep e te 0,5 seria probabil este supus i altor influen e iar aplicarea acestei metode nu e recomandat . Pentru a ini ializa procedura avem nevoie o valoare pentru L0 (înainte de observarea lui x1 ). De obicei F0 prime te valoarea perioadei imediat precedente perioadei 1 dar sunt posibile i alte metode in func ie de lungimea seriei cronologice. Previziunea f t a lui x t f cut in perioada t-1 este f t =L t-1 . Utilizând aceast previziune erorile de previziune corespunz toare sunt:

e t = x t - f t = x t -L t-1 .

Vom avea tttttt eLLLxL 111 )(Aceasta înseamn c noua previziune reprezint previziunea trecut plus o frac ie a erorii de previziune.

Exemplu. Managerul companiei ABC a utilizat deja metoda mediilor mobile pentru vânz rile Tv. Va ob ine rezultate mai bune folosind nivelarea exponen ial simpl ?

Solu ia folosind Excel-ul.

Programul EXCEL u ureaz aplicarea acestei metode prin apelarea la foile de calcul. Vom ilustra aceast metod utilizând datele vânz rilor firmei ABC .

66

1.Ini ializare. Folosind aceea i foaie de calcul ABC.XLS , copia i datele vânz rilor din c su ele B2:B26 în c su ele F2:F26.Pentru a face loc valorii ini iale L0 introduce i un rând gol deasupra rândului 3. Acesta va fi rândul “ lunii 0”.(Vezi figura)

2.Coeficientul de nivelare.Introduce i o valoare pentru coeficientul de nivelare în c su a K3.Pentru a ob ine o valoare potrivit este nevoie de mai multe calcule ce vor fi realizate la punctul 6. Introduce i acum o valoare provizorie , de exemlu 0,1.

3.Nivelarea.Introduce i valoarea 32 ( valoarea presupus pentru vânz rile din luna 0) în c su a G3. Apoi pentru a utiliza ecua ia nivel rii exponen iale introduce i formula urm toare : =$K$3*F4+(1-$K$3)*G3 în c su a G4 i copia i aceast formul în c su ele din domeniul G5:G27.

4.Previziunile. acestea vor fi valorile nivelate decalate cu o lun . Introduce i formula =G3 în c su a H4 i copia i con inutul în c su ele din domeniul H4:H28.trebuie remarcat faptul c în c su a H28 se afl previziunea pentru luna viitoare (35.27).

5.Erorile de previziune. Calcula i erorile de previziune ( valoarea real minus previziunea) in coloana I i iar erorile absolute i MAD in coloana J.

6.Efectul schimb rii coeficientului de nivelare. Pentru a vedea efectul alegerii unor coeficien i de nivelare diferi i pute i introduce diverse valori în c su a K3 sau pute i construi alt tabel. Pentru a crea acest tabel introduce i o list de valori In coloana A, introduce i formula =J28în c su a B46 i selecta i domeniul A46:B56.Apoi utiliza i meniul Data/Table cu con inutul c su eiK3.Acesta arat ca pentru coeficientul de nivelare din intervalul 0.2 la 0.3 se ob ine cea mai micvaloare a lui MAD. Introduce i acest coeficient în c su a K3 a a cum am f cut la punctul 2.

7.Graficul.Realiza i graficul valorilor istorice i al previziunilor ( folosind coloanele F iH).Remarca i faptul c pentru un coeficient relativ mic ( =0.10), seria format din valorile previzionate este mult mai neted fa de seria valorilor istorice.

67

Figura 3.4

Observa ie.EXCEL ofer de asemenea realizarea nivel rii exponen iale prin utilizarea meniului Tools/Data Analysis.Acesta utilizeaz o alt metod în privin a ini ializ rii metodei astfel cpreviziunile vor fi u or diferite. Pute i experimenta acest instrument dar acesta nu ofer un avantaj semnificativ metodei pas cu pas prezentat mai sus. În plus acest instrument are i un dezavantaj deoarece nu se aplic decât nivel rii exponen iale simple .

3.3. Metoda Holt pentru serii cronologice

În cazul în care seria cronologic prezint un trend liniar ( i nu are profil sezonier) metoda lui Holt ofer de obicei previziuni destul de precise. Dup observarea lui x t în perioada t, metoda lui Holt realizeaz o estimare a nivelului Lt i a trendului Tt a seriei. De exemplu dac L20 = 20 i T20=2aceasta înseamn c dup observarea lui x 20 se consider c nivelul seriei este 20, acesta crescând cu dou unit i pe perioad . Din aceast cauz pentru 5 perioade în viitor estim m c nivelul seriei va fi 30.

Dup observarea lui x t , ecua iile de mai jos sunt utilizate pentru a actualiza estim rile pentru nivel i trend. În acest caz avem doi coeficien i de nivelare, i , fiecare între 0 i 1.

))(1( 11 tttt TLxL

11 )1()( tttt TLLT

Pentru a exprima aceste ecua ii în cuvinte Lt este media ponderat a celor dou cantit i : -x t este observa ia curent .- 11 tt TL reprezint o estimare a nivelului perioadei t bazat pe datele anterioare.

68

În mod similar, Tt este media ponderat a urm toarelor dou cantit i: - 1tt LL modificarea nivelului seriei din perioada (t-1) în perioada t. - 1tT , estimarea precedent a trendului Previziunea ft f cut în perioada (t-1) pentru perioada t reprezint de fapt nivelul seriei din perioada (t-1) la care se adaug trendul din perioada (t-1).

11 ttt TLfPentru a ini ializa metoda Holt avem nevoie de o estimare ini ial a nivelului L0 i o estimare a trendului T0. Putem presupune T0 ca fiind egal cu cre terea medie lunar în seria cronologic din anul precedent iar L0 ca fiind observa ia din ultima lun , dar se pot realiza variate alte metode de selectare a celor dou valori.

Vom ilustra acum metoda lui Holt pe baza datelor vânz rilor firmei ABC. Managerul a observat faptul c vânz rile de CD-uri ale firmei ABC are un trend clar ascendent i, din aceastcauz , dore te s utilizeze metoda lui Holt pentru a previziona vânz rile de CD-uri.

Pentru a începe s presupunem c vânz rile de CD-uri din anul trecut au fost, în ordine 4,6,8,10,14,18,20,22,24,28,31 i 34. Media acestor schimb ri pentru aceste luni a fost de :

73.211

43411

3134...8106846

Putem utiliza ca valori ini iale T0 =2.73 i L0 =34 pentru a putea folosi metoda Holt.

Prin aplicarea metodei Holt pentru primele 6 luni ale vânz rilor de CD-uri, utilizând =0.3i =0.1 vom ob ine valorile din tabelul de mai jos. Modul de efectuare a calculelor este prezentat în

continuare.

T x t Lt Tt ft et0 34 34.00 2.73 - - 1 40 37.71 2.83 36.73 3.27 2 47 42.48 3.02 40.54 6.46 3 50 46.85 3.16 45.50 4.50 4 49 49.70 3.13 50.01 -1.01 5 56 53.78 3.22 52.83 3.17 6 53 55.80 3.10 57.00 -4.00

Tabel 3.1

73.3673.234001 TLf27.373.3640111 fxe

71.3773.2347.0)40(3.07.03.0 0011 TLxL83.2)73.2(9.0)3471.37(1.09.01.0 0011 TLLT

54.4083.271.37112 TLf46.654.4047222 fxe

69

Pentru primele ase luni de vânz ri de CD-uri avem:

74.36

00.417.301.15.446.627.3MAD

Continuând calculele vom avea MAD pentru cele 24 de luni ca fiind egal cu 2.85.

Metoda lui Holt pe foaia de calcul. Procedura pentru aplicarea metodei Holt vânz rilor firmei ABC este prezentat mai jos :

1. Ini ializare. Pornind de la fi ierul original se copiaz datele din domeniul C2:c26 în F2:F26. Pentru a face loc valorile de ini ializare L0 si T0 , insera i un rând gol sub rândul 2. Acesta va fi rândul “lunii 0”.Introduce i valorile 34 i 2.73 pentru L0 si T0 în celulele G3 i H3.

2. Constante de nivelare. Introduce i valorile pentru i cum ar fi 0.3 i 0.1 în celulele L3 i L5.

3. Formula pentru nivelul seriei. Se introduce formula

=$L$3*F4+(1-$L$3)*(G3+H3) în celula G4 i se copiaz aceast formul în domeniul G5:G27.

4. Formula pentru trend(tendin ). Se introduce formula =$L$5*(G4-G3)+(1-$L$5)*H3 în celula H4 i se copiaz aceast formul în domeniul H5:H27.

5. Previziunea. Se introduce previziunea pentru luna 1 în celula I4 cu formula =G3+H3 i se copiaz în domeniul I5:I28. Se observ c previziunea în celula I28 este previziunea lunii

25 f cut în luna 24. Pentru a realiza o previziune a lunii 26 în luna 24 se introduce formula =G27+2*H27 în celula I29. Vom putea face previziuni pentru lunile 27,28 i a a mai departe într-un mod asem n tor, prin ad ugarea unor multiplicatori corespunz tori ultimei estim ri a trendului. (care se afl în celula H27).

6. Erorile de previziune. Se calculeaz erorile, erorile absolute i MAD în coloanele J i K în modul cunoscut.

7. Graficul. Se creeaz un grafic al previziunilor fa de datele reale (utilizând coloanele F iI).

70

Figura 3.5

8. Efectul constantelor de nivelare. Pentru a vedea senzitivitatea MAD la constantele i,se creeaz un table de date în domeniul A49:K59. Pentru a realiza acest lucru se introduce

o list de valori în coloana A, o list de valori în rândul 49 i se introduce formula =K28 în celula A49. Apoi se selecteaz domeniul A49:K59 i se utilizeaz Data/Table cu L5 ca Row input cell i L3 ca Column input cell. Acest tabel de date indic faptul c cele mai bune valori i sunt în jurul valorii de .10 i .35. Mai important,oricum, este faptul c tabelul arat c valoarea MAD este destul de insensibil la valorile exacte i pentru un domeniu destul de mare.

Figura 3.6

3.4. Metoda Winters pentru sezonalitate

Metoda Winters este utilizat pentru a previziona serii cronologice atunci când este prezentsezonalitatea i trendul. Pentru a descrie metoda Winters, avem nevoie de 2 valori. În primul rând, avem nevoie de num rulde perioade ce definesc lungimea ciclului de sezonalitate (c=4 pentru date trimestriale i c=12 pentru date lunare). În al doilea rând, pentru fiecare perioad t, avem nevoie de ts , o estimare a factorului de sezonalitate pentru luna t , ob inut dup observarea valorii ty . Pentru a ilustra

71

factorului de sezonalitate s presupunem c luna 7 este Iulie iar 7s =2. Atunci vânz rile din Iulie tind s fie de dou ori mai mari decât într-o lun cu vânz ri medii. Un concept important în lucrul cu date sezoniere este desezonalizarea, ceea ce înseamn de fapt înl turarea sezonalit ii. De exemplu dac factorul sezonier pentru Iulie în luna 7 este 7s =2 iar pentru Decembrie în luna 12 este 4.012s . De asemenea s presupunem c observa iile în lunile 7 i 12 sunt 2007y i 4512y . Apoi calcul m valorile desezonalizate împ r ind observa iile la

factorii de sezonalitate. Valoarea desezonalizat pentru Iulie este 1002/200/ 77 sy iar pentru Decembrie este 5.1124.0/45/ 1212 sy . Intuitiv acest lucru se prezint astfel: observa iile din Iulie tind s fie de dou ori mai mari decât cele tipice astfel încât, pentru a le pune pe aceea i scalcu observa iile tipice, le vom împ r i la 2. În cele ce urmeaz , tL i tT au aceea i semnifica ie ca în metoda Holt. Pentru fiecare perioad tL , tTi ts sunt actualizate folosind ecua iile prezentate în continuare. În acest caz avem trei constante de

nivelare ,, fiecare între 0 i 1.

))(1( 11 ttct

tt TL

sy

L

11 )1()( tttt TLLT

ctt

tt s

Ly

s )1(

Prima dintre ecua ii actualizeaz estim rile pentru nivelul seriei considerând o medie ponderat a urm toarelor dou valori: - 11 tt TL , estimarea pentru nivelul curent ( înainte de observarea lui ty )

-ct

t

sy

, observa ia curent dup desezonalizare cu cel mai recent factor de sezonalitate pentru acea

lun (cel cu un an în urm ).A doua ecua ie este identic cu ecua ia pentru tT folosit în metoda Holt. În final, ultima ecua ie actualizeaz estimarea factorului sezonier t prin considerarea unei medii ponderate a urm toarelor dou valori: - cts , estimarea cea mai recent a factorului de sezonalitate a lunii t.

-t

t

Ly

, estimarea factorului de sezonalitate a lunii, ob inut din observarea lunii curente.(Observa ie:

tL este în mod esen ial o valoare desezonalizat . De aceea împ r ind ty la tL produce o estimare a factorului de sezonalitate). Previziunea tf a ty facut în perioada t-1 este ctttt sTLf )( 11 .Pentru a previziona valoarea lui ty , vom multiplica estimarea nivelului lunii t, 11 tt TL , cu cele mai recente estim ri a factorului de sezonalitate al lunii t, cts . De exemplu, dac luna t corespunde lunii Mai 2001 putem utiliza factorul de sezonalitate din Mai anul precedent (deoarece nu exist un nou factor de sezonalitate pentru Mai 2001 nu este disponibil in Aprilie al aceluia i an, când previziunea este realizat ).

72

Exemplu. Se va ilustra utilizarea metodei Winters pentru a previziona vânz rile companiei ABC. Deoarece vânz rile companiei ABC prezint o sezonalitate evident – mai mic în lunile reci i mai mare în lunile c lduroase – managerul dore te s utilizeze metoda Winters pentru a previziona vânz rile companiei.

Solu ie

Pentru a ob ine previziuni corecte cu metoda Winters trebuie ob inute în prealabil estim ri ini iale ale nivelului, trendului i factorilor sezonieri. Vom ilustra în continuare procedura când datele sunt lunare iar luna 1 corespunde lunii Ianuarie. Fie:

0L = estimarea nivelului de baz la începutul lunii 1

0T =estimarea trendului la începutul lunii 1

11s =estimarea factorului sezonier pentru Ianuarie la începutul lunii 1

10s =estimarea factorului sezonier pentru Februarie la începutul lunii 1 ...

0s = estimarea factorului sezonier pentru Decembrie la începutul lunii 1 De observat faptul c indicii –11 pân la 0 corespund celor 12 luni înainte de luna 1. O varietate de metode sunt disponibile pentru a estima parametrii ini iali. Vom alege o metod simpl ce necesit doi ani de date anterioare. Pentru a u ura nota ia se presupune c cei doi ani sunt 1999 i 2000 i c vânz rile lunare pentru 1999 i 2000 sunt: 1999 – 4,3,10,14,25,26,38,40,28,17,16,13 2000 – 9,6,18,27,48,50,75,77,52,33,31,24 Vânz ri totale pe 1999 = 234 Vânz ri totale pe 2000 = 450 Apoi estim m 0T prin:

1220001999

0vanzarimediavanzarimediaT

sau

5.112

12234

12450

0T

Pentru a estima 0L , mai întâi se determin cererea lunar medie în 1999 ceea ce înseamn450/12=37.5. Acesta estimeaz nivelul vânz rilor la mijlocul lui 1999 (luna “6.5” din 1999). Pentru a aduce aceast estimare la sfâr itul lunii 12 din 1999, se va ad uga (12-6.5) 0T =5.5 0T la media lunar . De aceea, estimarea pentru 0L este 75.45)5.1(5.55.370L . Pentru a estima factorul sezonier pentru o lun dat (s spunem s-11 pentru Ianuarie), se vor estima factorii sezonieri pentru 1999 i 2000 i se va realiza media. În 1999, cererea lunar medie a fost de 234/12=19.5 iar în Ianuarie 2000 s-au vândut 4 aparate de condi ionat aerul (AC). De aceea, Estimarea pentru factorul de sezonalitate pentru Ianuarie 1999 = 4/19.5=0.205 Estimarea pentru factorul de sezonalitate pentru Ianuarie 2000 = 9/37.5=0.240 De aceea estimarea pentru s-11 este

22.02

24.0205.011s s-10 pân la s0 sunt calcula i într-un mod similar i au valorile din tabelul

urm tor.

73

Ianuarie 0.22 Februarie 0.16 Martie 0.50 Aprilie 0.72 Mai 1.28 Iunie 1.33 Iulie 1.97 August 2.05 Septembrie 1.41 Octombrie 0.88 Noiembrie 0.82 Decembrie 0.65

Tabel 3.2

Cu aceste valori ini iale se vor ilustra câteva calcule. Pentru luna 1 se vor calcula într-un mod similar, 1L , 1T i 1s utilizând 6.,4.,5. .

17.53)5.175.45(5.022.0

135.0)(5.05.0 0011

11 TL

syL

87.3)5.1(6.0)75.4517.53(4.06.0)(4.0 0011 TLLT

23.)22(.4.17.53

136.4.06.0 111

11 s

Lys

Date fiind aceste valori, previziunea pentru luna 2 este 13.9)16(.87.317.5310112 sTLf

Pentru vânz rile din februarie eroarea de previziune este 13.213.97222 fxe

Calcule similare duc la valorile din tabelul urm tor.

t x t Lt Tt st ft et0 24 45.75 1.5 0.65 1 13 53.17 3.87 0.23 10.40 2.612 7 50.39 1.21 0.15 9.13 -2.133 23 48.80 0.09 0.48 25.80 -2.804 32 46.67 -0.80 0.70 35.20 -3.205 58 45.59 -0.91 1.28 58.71 -0.716 60 44.90 -0.82 1.33 59.42 0.587 90 44.88 -0.50 1.99 86.82 3.188 93 44.87 -0.30 2.06 90.97 2.039 63 44.62 -0.28 1.41 62.84 0.16

10 39 44.33 -0.29 0.88 39.02 -0.0211 37 44.58 -0.07 0.83 36.12 0.8812 29 44.56 -0.05 0.65 28.93 0.07

Tabel 3.3

Metoda Winters pentru foi de calcul. Implementarea pe o foaie de calcul a metodei Winters este foarte asem n toare metodei Holt, cu excep ia faptului c avem nevoie de o nou coloan pentru

74

factorii de sezonalitate. De asemenea, avem nevoie de rânduri suplimentare pentru un an întreg la început pentru a ob ine factorii de sezonalitate 11s pân la 0s .

1. Initializarea. Se porne te de la fi ierul original i se copiaz valorile vânz rilor AC din domeniul D2:D26 în domeniul F2:F26. Pentru a face loc pentru valorile ini iale 0L , 0T ifactorii sezonieri ini iali, se insereaz 12 rânduri goale sub rândul 2. Aceste rânduri se referla lunile “-11” pân la “0”. Apoi se introduc valorile pentru 0L , 0T i 11s pân la 0s încelulele G14, H14 i domeniul I3:I14.

2. Constantele de nivelare. Se introduc valorile constantelor de nivelare ,, cu valorile 0.50, 0.40 i 0.60 în celulele M15, M17 i M19.

3. Nivelul. Se introduce formula =$M$15*F15/I3+(1-$M$15)*(G14+H14) în celula G15 i se copiaz în domeniul G16:G38.

4. Trendul. Se introduce formula =$M$17*(G15-G14)+(1-$M$17)*H14 în celula H15 i se copiaz in domeniul H16:H38.

5. Factorii sezonieri. Se introduce formula =$M$19*F15/G15+(1-$M$19)*I3 în celula I15 i se copiaz în domeniul I16:I38.

6. Previziunea. Previziunile cu o lun înainte pot fi calculate în coloana J. În celula J15 se introduce formula

=(G14+H14)*I3 i se copiaz în domeniul J16:J39. De observat c previziunea în celula J39 pentru luna 25, este

f cut în luna 24. Se poate g si o previziune pentru luna 26 f cut în luna 24 prin formula: =(G38+2*H38)*I28 în celula J40.

7. Erorile de previziune. Se calculeaz aceste erori, erorile absolute i MAD în modul obi nuit în coloanele K i L.

8. Graficul. Se reprezint grafic utilizând coloanele F i J. Pentru a ob ine valorile din figur va trebui s g sim valorile optime ale constantelor de nivelare. De aceast dat vom utiliza Solver-ul cu urm toarele set ri. Celula ce trebuie s fie utilizat L39 (MAD), celulele de tip changing cells sunt M15, M17 i M19 i singurele restric ii sunt acelea caceste celule trebuie s fie mai mari sau egale cu 0 i mai mici sau egale cu 1. Se poate verifica faptul c valorile optime sunt utilizând 00.,06.,65. cu valoarea corespondent MAD egal cu 8.73.

75

Figura 3.7

3.5. Regresie liniar simpl

De multe ori, încerc m s previzion m valoarea unei variabile (variabila dependent ) pe baza valorii unei alte variabile (variabila independent ). Iat câteva exemple:

Variabila dependent Variabila independentVânz rile de produse Pre ul produselor Vânz rile de automobile Rata dobânzii Costul total de produc ie Unit i produse

Dac variabila dependent i variabila independent sunt într-o rela ie liniar , regresia liniarsimpl poate fi utilizat pentru a estima aceast rela ie. Pentru a ilustra regresia liniar simpl vom lua ca exemplu firma XYZ care produce trenuri de juc rie. Compania dore te s determine costul producerii unui tren. Pentru a estima acest cost, vom face observa ii pentru zece s pt mâni num rul trenurilor produse i costul producerii acestor trenuri. Datele se afl în tabelul de mai jos:

76

Trenuri produse Cost S pt mâna 1 10 257,40$ S pt mâna 2 20 601,60$ S pt mâna 3 30 782,00$ S pt mâna 4 40 765,40$ S pt mâna 5 45 895,50$ S pt mâna 6 50 1133,00$ S pt mâna 7 60 1152,80$ S pt mâna 8 55 1132,70$ S pt mâna 9 70 1459,20$ S pt mâna 10 40 970,10$

Tabel 3.4

Datele din tabel sunt prezentate în figura urm toare. Observa i c apare o rela ie strâns între tx ,num rul de trenuri produse între i ty , costul producerii trenurilor realizate în timpul s pt mânii t. Linia trasat în figura urm toare eviden iaz rela ia liniar dintre unit ile produse i costul de produc ie. Vom vedea mai departe cum a fost aleas aceast linie.

$0.00

$200.00

$400.00

$600.00

$800.00

$1,000.00

$1,200.00

$1,400.00

$1,600.00

0 10 20 30 40 50 60 70 80

trenuri

cost

uri

Figura 3.8

Pentru a începe, vom modela rela ia liniar dintre tx i ty cu urm toarea ecua ie:

ttt xy 10

Aici t reprezint eroarea. Aceasta reprezint faptul c în timpul s pt mânii în care sunt produse txtrenuri, costul de produc ie nu este întotdeauna egal cu tx10 . Dac 0t , costul producerii a

tx trenuri în timpul s pt mânii t dep e te tx10 , în timp ce dac 0t , costul producerii a txtrenuri în timpul s pt mânii t este mai mic decât tx10 . Oricum, ne a tept m ca media erorilor

t s fie 0, astfel încât costul estimat în timpul unei s pt mâni în care tx trenuri sunt produse este

tx10 .

77

Valorile pentru 0 i 1 nu sunt cunoscute. S presupunem c dorim s estim m 0 cu 0b i 1 cu

1b .Atunci previziunea pentru ty notat ty este dat de 110ˆ xbbyt .

Presupunem c avem puncte de forma

),(),...,,(),,( 2211 TT yxyxyx . Vom selecta valorile 0 i 1 ce fac predic iile tt xbby 10 cât mai apropiate de valorile observate ty . Pentru a formaliza aceast idee, se define te te ca fiind eroarea pentru s pt mâna t, ceea ce înseamn valoarea real minus valoarea previzionat :

)(ˆ 10 xbbyyye tttt

Aceast eroare este numit în terminologie valoare rezidual . Când alegem 0 i 1pentru a minimiza suma valorilor reziduale la p trat: Minim 2

1102 xbbye tt

Formulele pentru 0b i 1b sunt:

21xx

yyxxb

t

tt

xbyb 10 , unde y este media valorilor ty iar x este media valorilor tx .

Utilizarea foilor de calcul. Putem evita calculele anevoioase utilizând posibilit ile Excel-ului. Informa iile necesare se afl în figura de mai jos

1. Denumirea zonelor de date. Chiar dac nu este absolut necesar este convenabil sdenumim grupul B4:B13 Trenuri i C4:C13 Costuri. Zona Costuri include variabila dependent iar zona Trenuri pe ce independent .

2. Termenul liber (intercept) si panta (slope). Se vor determina 0b i 1b , numite termen liber i pant , folosind func iile Excel INTERCEPT i SLOPE. Se introduce formula

=INTERCEPT(Costuri, Trenuri) în celula B15 i =SLOPE(Costuri, Trenuri) în celula B16. Aceasta va duce la linia de regresie xyt 86,1788,164ˆ .

3. Previziuni. Costul previzionat poate fi g sit prin introducerea valorilor x în linia de regresie. Un mod simplu de a face acest lucru este de a utiliza func ia TREND. Pentru a face acest lucru se introduce formula =TREND (Costuri, Trenuri, B4) în celula D4 i copia i-o în domeniul D5:D13. O alt variant ar fi s se utilizeze direct formula liniei de regresie =$B$15+$B$16*B4 în celula D4, ce se va copia în domeniul D5:D13. De exemplu, costul previzionat în s pt mâna 10, când sunt produse 40 de trenuri, este de 879.25 $. Deoarece costurile reale sunt de 970.10 $, eroarea de previziune este: $85.9025.87910.97010e

4. Alte valori. Exist i alte trei valori ob inute în analiza de regresie: valoarea 2R , estimarea erorii standard i corela ia. Se vor calcula aceste valori în celulele B17, B18 i respectiv B19 cu formulele=RSQ (Costuri, Trenuri) =STEYX(Costuri, Trenuri) si=CORREL(Costuri, Trenuri)

78

5. Realizarea grafic . Pentru a reprezenta grafic se selecteaz coloanele corespunz toare costurilor i trenurilor i se execut click pe butonul Chart Wizard. Se alege modelul Scatter i se urm resc indica iile wizard-ului. Dup încheiere se apas pe oricare din punctele din

“norul de puncte” i se selecteaz Insert/Trendline unde se alege op iune Linear. În acest moment reprezentarea grafic va con ine dreapta de regresie.

Figura 3.9

Probleme

1. S presupunem c nivelarea exponen ial simpl este utilizat pentru a previziona vânz rilelunare de bere la un magazin de b uturi. Dup ce a fost observat cererea pe luna aprilie, cererea previzionat pentru luna mai este 4000 cutii de bere.

a. La începutul lunii mai care este previziunea pentru vânz rile de bere din luna iulie. b. Cererea real pentru luna mai i iunie este urm toarea: mai, 4500 cutii de bere; iunie

3500 cutii de bere. Dup ce este observat cererea pentru iunie care este previziunea pentru cererea lunii iulie?

c. Cererea pentru luna mai i iunie se echilibreaz în medie (4500+3500)/2=4000 de cutii pe lun . Acela i lucru se întâmpl i cu previziunile pentru vânz rile lunare înainte de a observa datele din mai i iunie. Totu i dup observarea cererii pentru bere în lunile mai i iunie, previziunea pentru cererea lunii iulie a sc zut fa de cea a lunii aprilie. De ce?

2. S presupunem c dorim s ob inem vânz rile trimestriale pentru sucuri la acela i magazin de b uturi folosind metoda Winters. Avem urm toarele informa ii: Factorii sezonieri: toamna=0,8; prim vara=1,2; iarna=0,7; vara=1.3; Estimarea curent pentru nivel = 400 de cutii pe trimestru Estimarea curent pentru trend = 40 de cutii pe trimestru

= 0,2; = 0,3; = 0,5 Vânz rile din var au fost de 650 de cutii.

a. Utiliza i aceast informa ie pentru actualiza estim rile pentru nivel, trend isezonalitate.

b. Dup observarea cererii pentru perioada de var , afla i cererea previzionat pentru toamn i iarn .

3. O firm de echipamente electronice dore te s utilizeze metoda lui Holt pentru a previziona vânz rile trimestriale de casetofoane. La sfâr itul lunii octombrie 2001, 200tL i 10tT . În noiembrie 2001 s-au vândut 230 de casetofoane. La sfâr itul lunii noiembrie, MAD=25. Compania dore te sa afle vânz rile de casetofoane în luna decembrie 2001.

79

4. Modele de analiz decizional

4.1. Rezolvarea problemelor cu Goal Seek i utilizarea scenariilor pentru compararea solu iilor

În lucrul cu Excel v-a i obi nuit s efectua i calcule în urm torul mod. A i introdus datele de intrare apoi a i ales func ia potrivit iar Excel v-a oferit rezultatul. Se poate gândi îns i în mod invers. Dac ti i deja rezultatul ve i avea nevoie de o func ie care s v returneze datele de intrare. Exact acest lucru îl ve i realiza cu comanda Goal Seek.

Exemplu. Andrei G. dore te s contracteze un împrumut de la banc pentru a achizi iona un autoturism. Banca îi poate oferi un împrumut cu o rat lunar de 5% pe o perioad de 4 ani. Andrei î i poate permite s pl teasc din veniturile sale o sum de maxim 200$ lunar. Ce sum poate împrumuta în aceste condi ii Andrei?

1. Se introduc valorile de intrare i formula aferent într-o foaie de calcul asa cum se vede în figura prezentat în continuare.

Figura 4.1

Rata dobânzii i num rul de rate au valorile din problem i nu se vor modifica. Pentru ratade plat lunar se utilizeaz func ia PMT. Aceast func ie returneaz rata lunar , dac se cunosc dobânda anual , num rul de rate i suma total împrumutat . În cazul nostru se introduce =PMT(B3/12,B4,-B5) .Se observ c s-a împ r it B3 la 12 pentru a se ob ine dobânda lunar , B4 reprezint num rul de rate i B5 suma împrumutat scris cu – în fa pentru a returna valori pozitive.

2. În meniul Tools se execut click pe Goal Seek. Va ap rea caseta de dialog Goal Seek a acum se vede în figura urm toare.

Figura 4.2

3. În caseta Set cell se introduce B8 (aceasta este celula in care dorim sa ob inem valoarea împrumutului efectuând calculele pentru o anumit valoare a ratelor lunare)

80

4. Se execut click în caseta To value i se introduce valoarea ratei lunare. (în cazul nostru 200)

5. Se execut click în caseta By changing cell. 6. Pe foaia de calcul se execut click pe celula care con ine valoarea de intrare ce trebuie

determinat de Excel (în exemplul nostru celula B5 corespunz toare sumei împrumutate). 7. Se execut click pe Ok. Excel va g si o solu ie i va modifica datele a a cum se vede în

figura urm toare.

Figura 4.3

În cazul în care dori i s compara i diferite solu ii pentru o problem se poate folosi un alt instrument al programului Excel i anume scenariile.

Pentru problema anterioar s presupunem c Andrei dore te s tie care este rata lunar în cazul în care rata dobânzii este 6% iar num rul de rate 60, în cazul în care rata dobânzii este 4% inum rul de rate 36 i în cazul în care rata dobânzii este 8% i num rul de rate 72. De asemenea are nevoie de un instrument pentru a le putea vizualiza astfel încât s le poat compara mai u or.

Solu ie.

1. Se configureaz foaia de calcul a a cum apare în ultima figur din problema anterioara. Rezultatul se afl mai jos.

Figura 4.4

2. În meniul Tools se execut click pe Scenarios. Va ap rea caseta de dialog Scenario Manager a a cum se vede în figura de mai jos.

3. Se execut click pe Add. Va fi afi at caseta de dialog Add Scenario a a cum se poate vedea în continuare.

81

Figura 4.5

4. În caseta de text Scenario name se tasteaz un nume pentru a identifica primul scenariu ( în exemplu nostru vom folosi denumirea „Scenariu ini ial” pentru a p stra datele ini iale).

Figura 4.6

5. Se execut click în caseta Changing Cells; apoi se execut click pe celulele ale c ror valori dori i s le modifica i. În exemplu nostru vom executa click pe celulele B3 i B4 corespunz toare ratei dobânzii i num rului de rate lunare. Caseta de dialog ar trebui sarate similar cu figura de mai jos:

Figura 4.7

82

6. Se execut click pe OK. S eva afi a caseta de dialog Scenario Values a a cum se vede în figura urm toare.

Figura 4.8

7. Pentru a l sa valorile ini iale se vor p stra valorile afi ate. 8. Se va executa click pe Add pentru a ad uga al doilea scenariu. În caseta de dialog Add Scenario se va tasta denumirea Scenariu –6%-60, apoi se apas OK. 9. În caseta de dialog Scenario Values se tasteaz noile valori(6%,60); apoi se execut Add. 10. Se repet pa ii 7-9 pentru a ad uga i celelalte scenarii. 11. Toate scenariile vor fi afi ate într-o list în caseta de dialog Scenario Manager, a a cum se

poate vedea în figura urm toare. Pentru a afi a valorile unui anumit scenariu se executclick pe numele acestuia apoi se apas Show. În cazul în care se dore te realizarea de modific ri se apas Edit.

Figura 4.9 Pentru a realiza un rezumat al scenariilor se execut click pe Summary. Se va afi a caseta de

dialog Scenario Summary. Alege i Scenario Summary i se va afi a un tabel pe o nou foaie de calcul a a cum se poate vedea mai jos. Dac se alegea op iunea Pivot table se va ob ine un tabel pivot.

În cadrul tabelului rezumativ din Scenario Summary se pot ascunde detaliile prin ap sareabutonului – de pe marginea dreapt iar pentru al afi a se va ap sa butonul + de pe aceea i margine.

83

Figura 4.10

4.2. Tabele pivot

Unul dintre cele mai puternice instrumente de care dispune Excel-ul se refer la tabelele pivot (pivot table). Acestea permit ob inerea unei cantit i incredibile de informa ii despre un set de date. Excel-ul ofer o mare varietate i flexibilitate cu acest instrument i este mult mai util decât alte tipuri de instrumente statistice. Vom explora posibilit ile tabelelor pivot folosindu-ne de problema prezentat în continuare.

Problem

Actri ele consider c sunt discriminate în privin a salariului, fiind pl tite mai pu in relativ la salariul actorilor. Datele existente eviden iaz aceast discriminare? (datele sunt prezentate în tabelul urm tor)

Nume Gen Incasari totale interne

Incasari totale externe

Salariu (mil.$)

Angela Bassett F 32 17 2.5 Jessica Lange F 21 27 2.5 Winona Ryder F 36 30 4 Michelle Pfeiffer F 66 31 10 Whoopi Goldberg F 32 33 10 Emma Thompson F 26 44 3 Julia Roberts F 57 47 12 Sharon Stone F 32 47 6 Meryl Streep F 34 47 4.5 Susan Sarandon F 38 49 3 Nicole Kidman F 55 51 4 Holly Hunter F 51 53 2.5 Meg Ryan F 43 55 8.5 Andie Macdowell F 26 75 2 Jodie Foster F 62 85 9 Rene Russo F 69 85 2.5 Sandra Bullock F 64 104 11 Demi Moore F 65 125 12 Danny Glover M 42 4 2 Billy Crystal M 52 14 7

84

Nume Gen Incasari totale interne

Incasari totale externe

Salariu (mil.$)

Nicholas Cage M 20 16 7 Micheal Keaton M 47 19 7 Bill Murray M 47 21 7.5 Macaulay Culkin M 48 24 8 Richard Dreyfus M 40 28 7 Tim Robbins M 16 29 4 Wesley Snipes M 39 36 10 Steve Martin M 43 37 7.5 Daniel Day-Lewis M 29 37 8 Danny Devito M 54 39 5.5 Sean Connery M 33 40 13 Christian Slater M 39 43 5.5 Charlie Sheen M 25 49 5.2 Anthony Hopkins M 23 52 3.5 Kurt Russell M 58 56 10 AL Pacino M 33 59 3 Woody Harrelson M 44 60 5.5 Tommy Lee Jones M 60 63 7.5 Gene Hackman M 83 65 6 Kevin Bacon M 78 67 2.5 Hugh Grant M 31 67 7.5 Keanu Reeves M 37 68 8 Val Kilmer M 57 69 4 Chris O'Donnell M 57 69 4 Jack Nicholson M 41 71 10 Denzel Washington M 55 73 10 Richard Gere M 24 74 7.5 Kevin Costner M 59 77 13 JohnTravolta M 54 82 20 Robert De Niro M 27 83 6 Sly Stallone M 49 86 19.8 Tom Cruise M 103 91 20 Harrison Ford M 96 91 20 Clint Eastwood M 55 94 12.5 Mel Gibson M 91 95 19 Bruce Willis M 55 99 16.5 Bill Pullman M 38 103 6 Liam Neeson M 29 108 3 Samuel Jackson M 40 122 4.5 Jim Carrey M 122 123 15 Morgan Freeman M 77 123 6 Arnold Scharz M 108 124 20 Brad Pitt M 57 124 10 Michael Douglas M 68 137 18 Robin Williams M 92 180 15 Tom Hanks M 166 182 17.5

85

Solu ie

Mai întâi vom determina num rul de actori i actri e în setul de date. De i se pot folosi mai multe metode pentru a realiza aceast num r toare, vom ar ta mai jos pa ii necesari pentru a realiza acest lucru cu tabele pivot.

1. Se pozi ioneaz cursorul oriunde în setul de date. 2. Se selecteaz Data\PivotTable and PivotChartReport. Dup selectare seva activa un

Wizard care v va ghida în cadrul procesului. 3. Pentru primul pas se apas Next pentru a indica faptul c datele din tabelul pivot se afl

într-o foaie de calcul Excel. 4. Al doilea pas const în a specifica domeniul setului de date. Presupunând c deja

cursorul a fost pozi ionat în cadrul setului de date, Wizard-ul va delimita corect domeniul astfel încât se poate ap s Next.

5. În cadrul celui de-al treilea pas trebuie specificate variabilele ce vor face parte din tabelul pivot. Pentru a realiza acest lucru mai întâi se apas Layout. Pentru a pune orice câmp într-una din cele patru zone (page, row, column sau data), se execut click pe butonul variabilei si se trage în zona potrivit . Zonele page, row i column permit descompunerea datelor în categoriile variabilelor din aceste zone. Zona datelor specificdatele ce vor fi calculate. Pentru acest exemplu se va trage Gen în zona row i din nou Gen în zona datelor. Ecranul trebuie s fie asem n tor celui de mai jos:

Figura 4.11

6. Ultimul pas al wizard-ului cere specificarea loca iei tabelei pivot. Daca nu e completat tabelul pivot este automat realizat pe o nou foaie de calcul. Pentru acest exerci iu se execut click pe Finish i se p streaz valorile implicite. Aceasta va realiza un tabel pivot ca în figura de mai jos:

Figura 4.12

Acest tabel arat c num rul starurilor este de 66: 18 actri e i 48 de actori. Când este creat un tabel pivot, bara de instrumente pivot table apare pe ecran. Aceast bar de instrumente permite modificarea tabelului pivot în mai multe moduri. De exemplu, s presupunem c se

86

dore te exprimarea acestor numere ca procentaje din total. Pentru a realiza acest lucru, se plaseaz cursorul oriunde în tabelul pivot, s zicem celula B3 i se execut click pe butonul Pivot table Wizard de pe bara de instrumente. Acesta ne va întoarce la pasul 3 al Wizard-ului Pivot table. În acest moment se vor executa urm torii pa i: 1. Se execut click pe Layout. 2. Se execut dublu click pe variabila din zona de date (butonul Count of Gen) pentru a

deschide o caseta de dialog. Se execut click pe butonul Options. Ecranul arat similar cu figura de mai jos:

3.

Figura 4.13

4. În zona „Show Data As”, se execut click pe s geata cu vârful în jos i se selecteazop iunea „% of columns” din list .

5. Se execut click pe OK pentru a închide caseta de dialog i apoi pe Finish pentru a vedea tabelul pivot modificat.

Noul tabel pivot este prezentat în figura de mai jos. Ea con ine acelea i informa ii dar exprimate diferit. Al turi se afl i o diagram de tipul 3D pie pentru a eviden ia rezultatul.

Figura 4.14

În acest moment vom examina distribu ia salariilor clasificate dup gen. Pentru a realiza acest lucru trebuie parcur i urm torii pa i.

1. Se plaseaz cursorul oriunde în zona de date. 2. Se selecteaz Data/PivotTable i se execut click pe Next pentru primii doi pa i

acceptând valorile implicite.

87

3. Se selecteaz Layout deschizând caseta de dialog Layout. 4. Se pozi ioneaz variabila Salariu în zona Row, se pozi ioneaz variabila Gen în zona

column i din nou variabila Gen în zona de date i se execut click pe OK. 5. Se execut click pe Finish pentru a accepta valorile implicite din ecranul final.

Tabelul pivot complet apare în figura de mai jos. Acesta arat num rul de actori i actri e ce realizeaz un anumit salariu. Chiar dac este destul de detaliat, este deja evident faptul cb rba ii actori câ tig mai mult decât femeile.

Figura 4. 15 Pentru a eviden ia mai bine aceast situa ie putem stabili ni te intervale mai mari. Putem

grupa salariile în felul urm tor:

1. Se executa click pe orice celul din coloana Salariu în tabelul pivot cum ar fi celula A6. 2. Se execut click dreapta pentru a deschide meniul contextual i se selecteaz Group and

Outline iar apoi Group. 3. În caseta de dialog ce s-a deschis se specific faptul c grupurile vor începe de la 2 pân

la 20 i se vor incrementa cu 3. Apoi se apas pe Ok. Tabelul pivot modificat va ar ta ca în figura urm toare.

Figura 4.16

Pentru a finaliza acest tabel îl vom exprima ca procentaje din total (vezi procedura anterioar ) i vom ad uga o diagram de tip 3D column pentru zona A2:C8. (Observa ie.Pentru a trasa domeniul atunci când se specific chart range începe i cu celula C8 nu A2.)

88

Figura 4.17

Figura anterioar arat c peste jum tate din actri e se afl la limita inferioar a salariilor în timp ce numai 19% din actori se afl în aceast zon . De asemenea în ultimele douintervale nu se afl actri e dar exist 23% din actori. În mod evident, actorii câ tig mai mul i bani din filme decât actri ele. Alt mod de a compara salariile b rba iilor i femeilor este de a privi salariul mediu pe gen.

i acest lucru se poate cu un tabel pivot în felul urm tor:

1. Se procedeaz ca înainte pentru a ajunge în al treilea pas din Pivot Table Wizard. 2. Se trege Gen în zona row i Salariu în zona de date. Se observ c în zona de date arat

acum „Sum of Salariu”. Când o variabil numeric este tras în zona de date, implicit apare suma sa în tabelul pivot. Pentru c se dore te media i nu suma se va trece la pasul 3.

3. Se execut dublu click pe butonul Sum of Salary din zona de date. În caseta „Summarize by” se alege Average. Apoi se execut click pe OK i se apas Finish pentru a crea tabelul pivot.

Rezultatul trebuie s corespund figurii urm toare. În mod clar, actorii câ tiga mai mult în medie decât actri ele.

Figura 4.18

Analiza de pân acum a indicat faptul c în industria produc iei de filme exist o discriminare în privin a salariilor ce le vizeaz pe actri e. Exist îns posibilitatea ca femeile s fie pl tite mai pu in din cauz c filmele acestor actri e câ tig mai pu in bani decât cele ale actorilor. Pentru a analiza acest aspect va trebui s privim salariu mediu al actri elor i

89

actorior pentru fiecare nivel de încas ri totale interne (analog se face i pentru încas rile din str in tate).În acest moment trebuie s fi i capabili s realiza i singuri tabelul pivot. În cazul în care ave i nevoie de ajutor urma i indica iile prezentate în continuare: trage i Încas ri totale intern în zona row, Gen în zona column i Salariu în zona de date; calcula i media ( nu suma); Incrementa i valorile pentru grupare cu 20. Tabelul pivot apare în figura urm toare.

Figura 4.19

Mai întâi se poate observa faptul c pentru actri e patru celule nu sunt completate. Acest lucru se întâmpl pentru c nu existe filme cu actri e care s aib încas ri în aceste intervale deci nu se poate calcula media pentru ele. Este normal s ne întreb m acum în care intervale media salariilor actorilor este superioar celei a actri elor, dup ce observ m încas rile interne. În mod evident în primele dou intervale aceast ipotez este confirmat , în al treilea interval fiind o diferen destul de mic . În afara acestor categorii nu se mai poate face vreo afirma ie deoarece nu se pot compara.

În orice caz putem spune acum cu mai mult siguran c industria produc toare de filme discrimineaz actri ele în termeni de salariu.

4.3. Pragul de rentabilitate (break even analysis)

Analiza pragului de rentabilitate este un instrument foarte puternic în a determina ce volum de vânz ri trebuie atins pentru a acoperi costurile. Înainte îns de determinarea pragului de rentabilitate trebuiesc cunoscute urm toarele: -pre ul de vânzare al produselor -cheltuielile variabile . -costurile fixe totale

Exemplu. Managerul companiei RSC dore te s cunoasc pragul de rentabilitate al produselor oferite de companie tiind c : -pre ul de vânzare este de 110$ pe unitate -cantitatea de produse estimat a fi vândut este de 210 unit i-costurile variabile unitare cu materiile prime sunt de 43$/produs -costurile variabile unitare cu salariile sunt de 30$/produs -alte costuri variabile unitare sunt 0$/produs. -costurile fixe sunt defalcate în urm torul tabel:

90

Salarii fixe $5,100.00

Chirii $5,090.00

Lumina/Caldura $5,000.00

Telefon $500.00

Asigurari $750.00

Reparatii $2,000.00

Publicitate $1,500.00

Dobanzi $1,500.00

Altele $1,500.00

S se calculeze num rul de produse pentru care se atinge pragul de rentabilitate i s se calculeze volumul vânz rilor corespunz toare pragului de rentabilitate.

Solu ie

Pentru a calcula num rul de produse corespunz toare pragului de rentabilitate se utilizeaz formula

unitareiabileCosturiunitarvanzareettotalefixeCosturiaterentabilitdepraglaproduseNumar

varPr)(

Volumul vânz rilor se calculeaz cu formula:

(%))(

profituluiMarjatotalefixeCosturiaterentabilitdepraglaVanzari unde Marja profitului(%) este raportul

dintre profitul brut (ob inut dup sc derea costurilor variabile) i pre ul de vânzare unitar.

Desf urarea aplica iei.

1. Se creeaz o foaie de calcul nou cu denumirea “Prag de rentabilitate”. Pentru aceasta se deschide save As din meniul File si se introduce numele foii de lucru in caseta de text ap ruta, dup care se apas OK.

2. Se introduce în celula A1 textul:”Compania RSC - proiec ie financiar ”3. În celula A2 se introduce textul “Num r produse” iar în celula B2 num rul indicat în

problem .4. În mod similar se introduc cheltuielile variabile unitare cu materii prime, salarii i alte

costuri variabile unitare. 5. În celula A9 se introduce textul :Cost variabil unitar total iar în celula B9 formula

=Sum(B6:B8) 6. În celula A10 se introduce textul “Profit brut unitar” iar în celula B10 formula =B5-B9. 7. În celula A11 se introduce textul “Marja profitului brut” iar î celula B11 formula=B10/B5 8. Din acest moment se vor introduce pe rândurile 12-20 costurile fixe indicate în tabelul

problemei cu valorile corespunz toare în coloana B. 9. În celula B21 se introduce textul “Total costuri fixe” iar în celula B22 formula

=SUM(B12:B20). 10. Num rul de produse i vânz rile corespunz toare pragului de rentabilitate va fi calculat în

celula B22, respectiv celula B23. În prealabil se introduc textele “Num r de produse la pragul de rentabilitate” i “Vânz ri la pragul de rentabilitate” în celulele A22, respectiv A23.

91

În celula B22 se introduce formula B21/B10 iar în celula B23 formula =B21/B10. Rezultatele finale se afl în figura de mai jos.

Figura 4.20

Probleme:

1. Conducerea companiei AXC dore te s cunoasc pragul de rentabilitate al produselor oferite de companie tiind c : -pre ul de vânzare este de 130$ pe unitate -cantitatea de produse estimat a fi vândut este de 250 unit i-costurile variabile unitare cu materiile prime sunt de 40$/produs -costurile variabile unitare cu salariile sunt de 25$/produs -alte costuri variabile unitare sunt 0$/produs. -costurile fixe sunt defalcate în urm torul tabel:

Salarii fixe $6,100.00

Chirii $4,090.00

Lumina/Caldura $6,000.00

Telefon $700.00

Asigurari $850.00

Reparatii $1,800.00

Publicitate $1,700.00

Dobanzi $1,600.00

Altele $1,500.00

92

S se calculeze num rul de produse pentru care se atinge pragul de rentabilitate i s se calculeze volumul vânz rilor corespunz toare pragului de rentabilitate.

2. În cazul problemei precedente dac pre ul de vânzare se modific de la 130 $ la 160$ care este num rul de produse pentru care se atinge pragul de rentabilitate i cum se modific volumul vânz rilor corespunz toare pragului de rentabilitate.

93

5. Conceptele de baz ale evalu rii proiectului

Acest capitol prezint evaluarea proiectului folosind reducerile i valoarea actualizat net .Dup câteva remarci generale asupra investi iilor, se explic i se define te conceptul de valoare actualizat net al unui proiect de investi ii, urmând a se aplica apoi unui exemplu. În ultima parte a capitolului este abordat i no iunea de rat intern de rentabilitate a proiectului. În acest capitol se vor studia urm toarele comenzi i func ii ale foii de lucru:

NPV(interest rate, range)(rata dobânzii, domeniu)IRR(range, guess) (domeniu, estimare)

5.1. Introducere

Investi iile în obliga iuni sunt doar un simplu exemplu de investi ie financiar . Aceste investi ii încep de obicei cu o ie ire de capital, reprezentând de fapt pre ul de cump rare al titlurilor de proprietate. În cele mai multe cazuri, acest pre îi este cunoscut sau este determinat de cel care ia deciziile. Pentru obliga iuni i alte titluri de proprietate, veniturile sunt de asemenea cunoscute, apreciindu-se c aceste obliga iuni sunt surse sigure. Pentru investi iile de capital, cum ar fi în ac iunile unei companii, veniturile nu sunt deloc sigure, în special valoarea lor când investi iile sunt vândute, astfel încât este dificil s se determine fluxul monetar. Putem considera ca investi ii reale, cele care au ca obiect cump rarea sau construirea unui hotel i conducerea lui pentru o anumita perioad de timp, între inerea unui teren, punerea pe picioare a unei afaceri .a.m.d. În toate cazurile prima i cea mai important sarcin este planificarea întregii ac iuni. Ca rezultat al acestui lucru este estimarea fluxului monetar, determinându-se astfel dac proiectul de investi ii este profitabil i atractiv. Foile de lucru sunt un instrument util pentru evaluarea acestor fluxuri monetare. Guvernele promoveaz proiectele de investi ii prin programe de preg tire i programe de dezvoltare regional . Ele pl tesc de obicei toate sau majoritatea cheltuielilor de investi ie, de iveniturile se îndreapt c tre anumite categorii sociale sau popula ie în ansamblul s u. Aceste beneficii pot fi m surate i comparate cu cheltuielile, inând seama de cei care pl tesc costurile icei care primesc beneficiile, astfel încât fluxul de cheltuieli i venituri poate fi utilizat pentru a stabili dac proiectul i-a dovedit eficien a sau nu. Aceasta se nume te analiza cost –beneficiu ifoile de lucru asigur un mediu propice pentru dezvoltarea studiilor de acest tip. În continuare se presupune c aceste aprecieri valide asupra fluxurilor monetare sau costurilor i veniturilor sunt disponibile. Fluxurile monetare se determin u or doar în cazul investi iilor pe datorie, de i în aceste cazuri eventualitatea nepl ii unei obliga ii pune sub semnul întreb rii orice estimare. Fluxurile monetare ale ac iunilor sunt cu siguran mult mai incerte. Proiectele de investi ii reale cer o activitate imens de organizare i planificare, despre care nu se discut aici. Proiectele de cheltuieli i venituri pentru guvern sunt mai greu de estimat decât fluxurile monetare. Dac nu se precizeaz altfel, se presupune pur i simplu c dificila sarcin de a estima fluxurile monetare a teptate, i totul legat de acestea, a fost f cut i c rezultatele sunt disponibile.

94

5.2. Valoarea actualizat net a fluxului monetar

În cazul afacerilor deciziile trebuie luate indiferent dac se întreprinde sau nu un anumit proiect. Un astfel de proiect implic de obicei la început cheltuieli în condi iile în care veniturile se ob in mai târziu. Pentru a afla dac un anumit proiect merit s fie pus în practic trebuie s se compare toate veniturile i toate cheltuielile, aceasta realizându-se inând cont de valoarea lor actualizat .

Presupunând c un proiect începe în anul 0, c A0 reprezint cheltuiala(negativ )sauvenitul(pozitiv) legate de proiectul din perioada respectiv , c A1 este primul flux monetar al proiectului în anul 1 .a.m.d., i c At este fluxul monetar în anul t, moment în care proiectul se consider a fi terminat. Valorile A1, A2,…,At nu sunt neap rat egale. Valoarea actualizat net a cheltuielilor i a veniturilor este: A0+dA1+d2A2+….+dtAtunde d=1/(1+r) i r este rata dobânzii folosit pentru actualizare (discontare). Aceasta se aplic pentru obliga iuni în valoare de1000$ la un pre de 1075$, o rat a dobânzii de 5% pe o perioad de 10 ani cu o rat a dobânzii pentru o actualizare de 4%. În acest caz, fluxul monetar din anul 1 pân în anul 10 r mâne constant. Figura 5.1 prezint actualizarea fluxurilor monetare adic actualizarea veniturilor din dobând i actualiz rile pl ilor creditului. Celula C7 con ine formula=B7/(1+dir)^A7, care este copiat i mai jos. (DIR – discount interest rate (rata dobânzii actualizate)).Suma actualiz rilor fluxurilor este 6,11$, ceea ce înseamn caceste obliga iuni reprezint o investi ie profitabil , dac rats profitului dintr-un cont de economii pe 10 ani este de 4%.

În loc de a determina valoarea actualizat net a fiec rui flux monetar i a însuma rezultatele, se utilizeaz func ia NPV, care are urm toarea form general :=NPV(Interest rate,range). În exemplul nostru, aceasta se prezint astfel(vezi celula E7): =NPV(DIR,B7:B17)=$5.87. Aceasta difer de suma de 6,11$ care a fost g sit în celula C19. Cauza care st la baza acestui rezultat este aceea c foaia de lucru a func iei NPV actualizeaz fluxul monetar la o perioad existent înaintea primului flux monetar, ca în cazul func iei PV. Comparat cu valoarea actualizat net obi nuit (UNPV), func ia NPV actualizeaz fluxul monetar la o perioad care s-a terminat mai târziu. Pentru a ob ine UNPV, NPV-ul trebuie adus la zi cu o perioad înainte,ceea ce se realizeaz multiplicând de (1+r) ori: UNPV=(1+DIR)*NPV().

Figura 5.1. Calcularea valorii actualizate a obliga iunilor în valoare de 1000$

95

În mod alternativ, putem folosi: UNPV=A0+NPV(r,A1:An), unde A1 este primul flux monetar i A1:An domeniul restului. Cele men ionate mai sus sunt ilustrate în celulele E8 i E9, unde sunt utilizate aceste formule. Valoarea actualizat net a fluxului obliga iunilor poate fi de asemenea determinat prin însumarea valorilor actualizate ale dobânzilor, rambursarea creditului i pre ul de cump rare al obliga iunilor. Acest calcul este efectuat în domeniul E1:E4 i rezultatele au aceea i valoare.

5.3 Aplica ie asupra proiectului de propriet i imobiliare

Alt exemplu poate fi acela de cump rare a unui complex condominial. Pre ul de cump rare este de 1.000.000$, iar costurile renov rii de 200.000$. Complexul urmeaz a fi închiriat pe 10 ani, ob inându-se un venit anual net de 120.000$ i care urmeaz s creasc cu 5% pe an,dup care este vândut pentru 1.500.000$. Valoarea actualizat net ar trebui s se determine pentru reduceri ale ratei dobânzii de 6%,12%, i 20%.

Figura 5.2 prezint cheltuielile i veniturile din diferi i ani, ca i valoarea actualizat la începutul primului an pentru diferite rate ale dobânzii. Celula B10 se determin ca =B9*(1+$RIP), formul copiat mai jos. Celula C8 se determin dup =$B8/(1+C$7)^A8, formul ce se afl în C8:E18. Pe linia19,se utilizeaz totalizarea pentru a da diferite valori ale ratei dobânzii corespunz toare valorilor nete actualizate ale proiectului. Sumele din C19:E19 pot fi ob inute în mod independent utilizând func ia NPV(vezi formula pentru C20 în C21).

Figura. 5.2. Valoarea actualizat net pentru proiect

96

Figura.5. 3.Fluxuri monetare actualizate i neactualizate

Dup 10 ani, fluxul monetar net este de 1809347 $ dar valoarea actualizat net variaz în func ie de rata dobânzii utilizate. La nivelul de 6%, proiectul pare interesant, la 12% se afl la limit , iar pentru 20% proiectul este total neatractiv. Figura 5.3 ilustreaz grafic diferen a dintre fluxurile monetare f r actualizare i cele cu actualizare la diferite rate ale dobânzii.

5.4. Rata potrivit a dobânzii în scopuri de actualizare (discontare)

Din momentul în care valoarea actualizat net se modific în mod radical pentru diferite rate ale dobânzii, rata potrivit a dobânzii folosit la evaluarea unui proiect, trebuie selectat cu multaten ie. Aceast rat ar trebui s fie egal costului de oportunitate de utilizare a banilor sau a capitalului pentru diferi i ani , ceea ce înseamn c ar trebui s fie egal cu cel mai mare profit pe care îl pot aduce banii în ace ti ani, în condi iile în care este finan at cu banii retra i din alte investi ii sau cu cel mai sc zut cost de finan are, dac aceasta se realizeaz prin împrumuturi suplimentare. Formula valorii actualizate nete pleac de la premisa c rata dobânzii este constantpentru orice sum de bani cerut i c este aceea i în fiecare an. Aceste ipoteze nu sunt însadev rate de fiecare dat .

Dar o situa ie tipic este aceea c proiectul este doar unul într-o mul ime de alte proiecte ale acelea i companii i c aceast companie i-a fixat o anumit rat a dobânzii ce trebuie atins .Aceast rat poate fi folosit la determinarea valorii actualizate.

O astfel de rat a dobânzii poate con ine urm toarele componente:

1. Componenta real de rambursare 2. Componenta infla iei3. Componenta de incertitudine

Dac infla ia este de 5% pe an, orice investitor se a teapt ca veniturile s acopere m carinfla ia, investi ia în aur sau în monede supuse mai pu in fenomenului infla ionist devenind atractiv . Se dore te s se realizeze un venit ce dep e te m rimea infla iei. Mai mult, datoritfaptului c în evaluarea proiectului se folosesc date estimate legate de venituri i cheltuieli, iar aceste estim ri nu se îndeplinesc întotdeauna, investitorii, care sunt în cele mai multe cazuri sensibili la situa iile de risc vor s fie recompensa i pentru risc printr-un câ tig mai mare. Spresupunem c restituirea este 7%, infla ia 5% i componenta de risc 4%. Aceasta înseamn c într-un an o investi ie de 1 $ ar trebui s aduc (1+0,07)(1+0,05)(1+0,04)=1,16844 astfel încât r=16,844% care difer de totalul procentelor, adic 16%. Aceste procentaje nu se pot însuma, dar pentru procente mici se poate da o aproximare mai apropiat de realitate. Dac se combin rata

97

dobânzii a cu b ceea ce rezult se calculeaz pe baza formulei (1+a)(1+b)-1=a+b+ab, unde adaosul este a+b, iar eroarea de subestimare ab. Pentru a=5% i b=2%, ab=0,1% care de obicei se neglijeaz , pentru a=b=10%, ab=1%, valoarea devine important .

Se întâmpl adesea ca cei care iau decizii s nu cunoasc cu exactitate rata potrivit a dobânzii. În astfel de situa ii se poate da valoarea actualizat net pentru un num r de rate ale dobânzii. De exemplu, în cazul condominiului, se cere valoarea actualizat net pentru r=10%,15% i 20%.

5.5. Rata rentabilit ii împrumutului

Pentru exemplul condominiului, valoarea actualizat net pentru o rat a dobânzii de 6%,12%,20% a fost de 722.797$, 98.170$ i 368.202$. Cei care iau deciziile doresc s cunoasc la ce rat a dobânzii valoarea actualizat net devine 0. Aceast rat a dobânzii este denumit rata intern a rentabilit ii împrumutului (IRR), pentru c banii investi i în proiect se transform în câ tig la un nivel egal cu aceast rat . Dac se ob ine o rat mai ridicat pentru banii investi i, proiectul este în mod evident

neatractiv, dar dac IRR este mai sc zut decât al altor alternative de investi ii, proiectul este avantajos.

Figura 5.4 ilustreaz calculul de determinare al IRR-ului în mod detaliat. Celula D10 con ine formula=(1+C10)*NPV(C10,$B$10:$B$20), care este copiat în D10:D20. Rezultatele conduc la ideea c IRR se afl între 12% i 14% i c probabil ia valori cuprinse între 13% i 13,5%.

Figura 5.4 Valoarea actualizat net , rata dobânzii i rata rentabilit ii

Figura 5 prezint varia iile ratei dobânzii de la 2% la 0% i 20%. La 13,3% curba intersecteaz axa orizontal , astfel c intersec ia este chiar rata rentabilit ii. Pentru aceea i rat a dobânzii, procesul de acceptare sau respingere a unui proiect bazat pe IRR este acela i ca în cazul celui fundamentat pe valoarea actualizat net .

98

Figura 5.5 Valoarea actualizat net i rata rentabilit ii Nu exist o expresie explicit pentru rata intern de rentabilitate dar se poate calcula prin reiterare. Pentru o rat anume a dobânzii, se calculeaz valoarea actualizat net . Dac este pozitiv , se recalculeaz pentru o valoare mai ridicat .a.m.d, pân când valoarea actualizat netdevine 0. IRR-ul nu este în mod obligatoriu unic cea ce duce la concluzia c exist proiecte cu valoarea actualizat net 0 pentru valori diferite ale ratelor dobânzii. Rata rentabilit ii împrumutului este unic dac primul flux monetar este negativ i toate celelalte pozitive. Pentru majoritatea aplica iilor practice se utilizeaz doar un singur tip de IRR.

Pentru func ia ratei rentabilit ii, foaia de lucru utilizeaz o procedur repetitiv care începe cu încercarea de a estima aceast rat . Rata, denumit Guess, est al II-lea parametru al func iei, primul fiind Range.

IRR(Range, Guess).

Aceasta se aplic în foaia de lucru a figurii 4, unde celula D20 con ine formula =IRR(B8:B18, 10%) care este egal cu 13,31%.

Ca i func ia NPV, aceast func ie reduce fluxul monetar la perioada celui de dinaintea primului flux monetar, dar aceasta nu influen eaz rezultatul, de vreme ce, potrivit ecua iei (1) de mai sus, dac NPV=0, atunci UNPV=0, astfel încât func ia este de asemenea valid dac dorim sreducem fluxul la perioada primului flux monetar.

Valoarea actualizat net i rata rentabilit ii sunt doar câteva dintre criteriile folosite pentru selec ia proiectului. Alt criteriu este, de exemplu perioada achit rii, ce reprezint num rul de ani necesari înainte ca veniturile acumulate s fie mai mari decât cheltuielile acumulate. Dar deciziile vor mai fi influen ate i de mul i al i factori , cum ar fi opiniile celor care iau decizii referitoare la datele folosite în evaluarea proiectului i la situa ia economic general . Criteriile principale pentru evaluarea proiectului, valoarea actualizat net i rata rentabilit ii, prin urmare, pot fi privite ca instrumente de suport decizional.

Probleme:

1. S presupunem c un proiect este întârziat cu unul sau mai mul i ani. Dac toate sumele i ratele au ca referin primul an, cum va afecta aceast întârziere valoarea actualizat i rata rentabilit ii? 2. Cum v-a i descurca într-o situa ie în care rata dobânzii pentru valoarea actualizat propus este 9% pentru primul an, 10% pentru anii 2-5 i 11% pentru anii 6-10 ?

IRR

99

Aplica i aceasta la exemplul condominiului acestui capitol. 3. Cazul apartamentului duplex

O persoan dore te s cumpere un apartament duplex. Pre ul s u este de 100.000$ iar taxele i alte costuri sunt de 5000$. Se poate ob ine o ipotec de 60.000$ cu 13% dobând , ce va fi

amortizat în 10 ani cu tran e egale ( pentru anuit i) în fiecare an. Venitul din chirie pentru primul an este estimat la 6000$, i pentru al doilea an la 12.000$.

Pentru urm torii ani chiria se presupune c va cre te cu 6% pe an. Costurile între inerii anuale au fost 1000$ în primul an, i trebuie s fie ajustate cu rata infla iei în urm torii ani. Zugr vitul este necesar în anul 1, 6 i 10 costând în primul an 3500$, iar în anii urm tori va fi ajustat cu rata infla iei. Taxele de proprietate sunt în primul an de 1000$ i cresc propor ional cu rata infla iei. Este planificat ca proprietatea s fie vândut dup 10 ani pentru o sum net de vânzare de 200.000$. Infla ia se a teapt s fie de 5% pe an. Crea i o foaie de calcul pentru acest proiect i determina ivaloarea actualizat net i rata rentabilit ii. Foaia de calcul trebuie s con in un subcapitol de date, unul de rezultate i unul de calcula ie a fluxului monetar. Ultimul subcapitol ar trebui scon in venitul din chirie pe to i anii, plata ipotecii, ipoteca nepl tit i diferite cheltuielile. Subcapitolul de rezultate ar trebui s con in fluxul valorilor actualizate la 10,15 si 20% i rata rentabilit ii.4. Profitul ob inut cu ajutorul unei diplome

O persoana dore te s înceap în anul ce vine un studiu universitar de 4 ani i dore te sdetermine costurile i beneficiile studiului sau cel pu in atât cât acestea pot fi cuantificate. Taxele colare i cele obligatorii vor fi de 1200$ în primul an i se a teapt s creasc în urm torii ani cu

7,5% pe an. C r ile cost 500$ pe an în primul an i pre ul lor va cre te o dat cu infla ia ce este estimat la 5% pe an. Pentru a putea studia, o slujb trebuie s aduc un venit net de 12000$ pe an în primul an, cu o cre tere anual egal cu infla ia. Cheltuielile anuale pentru consum se presupun a fi egale cu venitul adus de slujb , indiferent dac persoana î i p streaz slujba sa sau studiaz i î ig se te o slujb mai bun . Este disponibil un împrumut pentru studii de 5000$ pe an în to i cei patru ani, f r dobând pân la terminarea studiului, moment în care doar dou treimi trebuie s fie restituite. În plus, se presupune c banii pot fi împrumuta ii cu 10% dobând .

O dat ce diploma a fost ob inut este de a teptat ca pozi ia ce ar putea fi ob inut s aib un salariu de început cu 30% mai mult decât venitul ce ar fi fost ob inut la slujba precedent . Mai mult salariul cre te cu 6% pe an. Se presupune c aceast persoan va munci în aceea i pozi ie 30 ani.

a. G si i pentru anii de studiu costurile variabile, costurile totale, contribu ia f cut de împrumutul de studiu, i costurile totale dup ce împrumutul de studiu s-a luat în considerare. De asemenea g si i valoarea actualizat a acestor costuri i procentajul costurilor totale pentru tipurile de costuri variabile i pentru împrumutul de studiu.

b. G si i beneficiile diplomei pentru anii în care persoana î i va p stra postul. c. Dup ce combina i costurile i beneficiile, determina i valoarea actualizat net i rata

rentabilit ii diplomei. Crea i o foaie de calcul bine organizat pentru a r spunde la urm toarele întreb ri, cu un

subcapitol de date i un rezumat, i folosi i un domeniu de nume. Proteja i întreaga foaie de calcul , exceptând datele imprima i -o.

5. Infla ia i veniturile fixe Pentru a ob ine o perspectiv a efectului infla iei asupra oamenilor cu venituri fixe s

studiem un cuplu care la începutul anului 1971 avea 100.000$ bani lichizi cu care au cump ratobliga iuni cu un termen de 17 ani . Rata dobânzii era 8%.

a. Care este suma lunar de plat ?b. G si i „indexul pre ului consumatorilor pentru Calgary pentru anii 71-87 din baza de date

CANSIM de pe discheta ata at c r ii.

100

c. Transfera i aceste date în documentele dumneavoastr .d. Care este echivalentul în anul 1987, din punctul de vedere al puterii de cump rare, sumei

de 100.000$ plus ratele lunare, de inute în anul 1971? e. Determina i procentul de infla ie anual pentru fiecare din anii 1971 pân la 1987. f. Face i un grafic al acestei infla ii anuale i imprima i graficul. g. Determina i puterea de cump rare a pl ii lunare în ianuarie 1971 în compara ie cu

perioada 71-80, face i un grafic i imprima i -l. Care este media puterii de cump rare pentru aceastperioad ?

h. Considera i o pensie cu pl i lunare constante în condi iile puterii de cump rare stabilite, presupunând c infla ia în perioada 71-87 a fost prezis exact. Care ar fi, pentru o astfel de rat cu o valoare actualizat de 100.000$ la începutul anului 1971, plata lunar la începutul anului 1971?

6. Privatizarea închisorilor S presupunem c guvernul provinciei dore te s privatizeze închisorile i realizeaz o

licita ie pentru conducerea închisorii pe 5 ani. Fi ierul T1DATA de pe dischet con ine media num rului de de inu i presupu i pentru fiecare lun în anii1-5. Toate datele sunt fictive.

Foaia de calcul trebuie s fie bine organizat i p r ile sale trebuie s fie bine formatate. Prezentarea poate fi îmbun t it cu ajutorul sec iunii de date i cu cel al domeniului de nume.

Crea i o foaie de calcul bine organizat cu p r i bine formatate pentru a r spunde la urm toarele probleme:

a. Presupunem c guvernul va pl ti 32 $ pentru o zi pe de inut. Determina i num rul total de zile/de inut pentru fiecare an i pentru întreaga perioad de 5 ani i totalele corespunz toare ce trebuie s fie pl tite. Presupunem c toate lunile au 30,5 zile. De asemenea determina i media num rului de de inu i i cre terea procentual corespunz toare.

b. Presupunem c estim rile au o eroare de 10% în sensul c valorile actuale pot fi cu 10% mai mari (valori mari) sau cu 10% mai mici (valori mici). Plata pe ziua de de inut poate varia de la 30 la 40$ . Realiza i o tabel folosind valorile mari pentru pl ile a teptate în fiecare an i plata total pe întreaga perioad de 5 ani pentru plata pe de inut/zi la 40, 41…50$. Face i la fel pentru valorile mici.

c. Presupunem c pl ile pentru anul 1 sunt f cute într-o singur tran la sfâr itul anului la 32$ pe de inut/zi. Dac reducerea ratei dobânzii (f r compunere) este 10% pe an care este valoarea actualizat net a acestei pl i la începutul primului an (la sfâr itul anului 0)? Care este valoarea actualizat net dac pl ile sunt f cute la sfâr itul fiec rei luni? Care este diferen a?

d. Pentru a conduce o închisoare, un manager trebuie s câ tige 65.000$ pe an i doi asisten i manageri trebuie s câ tige 40.000$ pe an fiecare în parte. Un supraveghetor i patru gardieni de securitate sunt necesari 24 h pe zi , primul câ tigând 25$/h i ultimii 15$/h. Ei lucreaz1750 h pe an. Gardienii de zi sunt necesari 16 h/zi i ar trebuie s fie câte 1 gardian la 40 de de inu i, aceasta bazându-se pe media anual a num rului de de inu i. Ace ti gardieni câ tig 12$/h i lucreaz 1750h/an. Beneficiile la salarii sunt de 15%. Serviciile medicale i taxele cost în total

250.000$. Mâncarea i proviziile sunt de 18%/zi pe de inut. Între inerea i utilit ile sunt estimate la 280.000$/an. Personalul pl tit cu ora poate face ore suplimentare pentru a nu necesita sporirea num rului personalului. Realiza i un buget anual de cheltuieli pentru anii 1-5. Câ i oameni pl ti i cu ora sunt necesari?

e. Realiza i un rezumat al cheltuielilor i încas rilor pentru fiecare an. Presupunând c pre ulde început cerut în anul dinaintea primului an este de 500.000$, afla i valoarea actualizat net irata rentabilit ii a conducerii închisorii pe 5 ani. Face i acest lucru dac dup primul an încas rilecresc cu 5% pe an.

101

6. Func ii statistice

6.1. Frecven e si cuantile

Acest capitol analizeaz aplica iile distribu iilor frecven elor i func iile de c utare pentru cerin ele clien ilor. Mai întâi, se discut folosirea datelor numerice în construc ia distribu iei frecven elordup care dou func ii de sistematizare a datelor sunt explicate. Apoi, se prezint calcularea medianei i a altor cuartile ale unei distribu ii, alocarea clien ilor într-un grup pe bazã de procentaj (este conturatã). Într-un final valorile distribu iei frecven elor sunt m rite prin distribu iile frecven elor anumitor m rci.

În acest capitol ve i înv a urm toarele grupuri de comenzi i func ii ale foii de calcul: Add-Ins; Analiza datelor; Count (domeniu), Counta (domeniu); Histograma ; FREQUENCY (input range, bin range); Edit Fill; RANK (number, range); Frecven a relativ (pe serie i e antion); MEDIAN (range ); QUARTILE ; PERCENTILE

6.1.1 Distribu ia frecven elor pentru anumite valori

Întreb rile evidente care trebuie adresate unei baze de date sunt: câte înregistr ri i câte grupuri diferite exist ? Acest capitol analizeaz câteva comenzi i func ii care r spund la aceste întreb ri.Ca un exemplu se folose te un chestionar al satisfac iei clien ilor ce se refer la un anumit software conform figurii 6.1. Acest chestionar red în procente num rul, numele i loca ia clientului isatisfac ia lor fa de un anumit produs.

Num rul înregistr rilor într-o baz de date poate fi determinat de num rul rândurilor, dar este mai u or s folosim func ia COUNTA care num r celulele ocupate într-un anumit domeniu. Totu i în acest caz folosind domeniul celulelor din coloana A i folosind func iaCOUNTA num rul înregistr rilor este:

=COUNTA (A2:A19) Func ia asociat COUNT red num rul celulelor numerice într-un anumit domeniu.

Cele dou func ii difer doar prin “A” care poate semnifica “all”(tot).

102

Figura 6.1 Rezultatele satisfac iei clien ilor

Întreb rile la care ar trebui s fie dat un r spuns, cu privire la baza de date sunt: cât de mul i clien i sunt în diferite localit i i câ i au fost satisf cu i peste ’90, ’80, etc. Prima întrebare necesit distribuirea în concordan cu loca ia care este dat de o etichet (caracter sau text), i a doua a distribu iei frecven elor în func ie de anumite valori sau numere. În urm toarea sec iune vor fi explicate instrumentele ce analizeaz valorile frecven elor i distribu ia lor. Apoi se demonstreazc o etichet poate fi ob inut prin prisma valorilor distribu iei frecven elor.

6.1.2 Limitele intervalelor (bin range) O cale simpl de a caracteriza varia ia datelor numerice este, din prisma distribu iei

frecven elor, care define te grupurile cu limite minime i maxime i determin câte date sunt în oricare din grupuri. Conform figurii 2 putem face analiza satisfac iei, în procente, pentru 18 clien i, folosind distribu ia frecven elor. Primele limite adecvate trebuie alese. De obicei cea mai bunalegere a limitelor de interval se face astfel încât frecven ele rezultante s nu difere prea mult. În acest caz se iau limite la 10% din m rimea intervalului.

În foaia de calcul aceste limite sunt indicate de bin range, care redau limitele într-o coloan conform sec iunii E2:E12 din figura 6.2. Limitele intervalelor (Bin range) trebuie s fie întotdeauna în ordine cresc toare. Capetele de tabel din primul rând sunt ad ugate pentru clarificare. Limitele intervalelor sunt redate în format procentual, care, bineîn eles, nu-i afecteazvalorile.

Foaia de calcul va introduce în continuare în fiecare celul a limitelor intervalelor num rul clien ilor a c ror satisfac ie nu dep e te num rul din acea celul , dar este mai mare decât num rul anterior din sec iune, dac exist . În general, un obiect apar ine unui grup dac dep e telimita inferioara, dar este cel pu in egal cu limita superioar u:1<x<=u. frecven a este introdusurm toarea în fiecare limit superioar u.

103

Figura 6.2 Frecven a distribu iei satisfac iei

Exist dou feluri diferite de a ob ine distribu ia frecven elor în date numerice, prima prin ad ugarea histogramei, iar cealalt prin func ia FREQUENCY. Fiecare are propriile avantaje idezavantaje.

6.1.3 Histograma Add-In

În mod normal, ultima comand din meniul ”Tools”, este “Wizard”. Dar dac comanda “add in “ a meniului “tools” este activat , poate fi selectat un num r de add-ins prin validarea op iunii “analysis tool pack”. Acest rezultat se va extinde în meniul “tools” cu comanda “data analysis”. Dup ce acesta op iune va fi selectat , un num r de alternative este oferit (nu toate apar imediat pe ecran), dup care se alege histograma. Apoi va ap rea meniul de control dat în figura 6.3.

Domeniul valorilor ce trebuie introduse se realizeaz fie de la tastatur , fie cu ajutorul mouse-ului. Acela i lucru este valabil pentru domeniile de intervale. Dac domeniile de intervale sunt omise, sistemul î i ia automat propriile valori, prin selectarea unui num r egal de intervale între valoarea minim i cea maxim a limitelor. Dac rezultatul este introdus în aceea i sec iune, domeniului rezultat ar trebui s fie afi ate în col ul nord-vestic.

Figura 6.3 Meniul histogramei

104

Foaia de calcul calculeaz apoi distribu ia frecven ei (numele de histogram se refer de fapt la graficul cu coloane) i-l afi eaz în domeniul G1:H13 în figura 6.2.

Meniul histogramei indic faptul c rezultatele pot fi afi ate într-o nou pagin sau într-un nou document. O histograma alternativ , cu procente cumulate i rezultate grafice este de asemenea posibil .

Frecven ele din domeniul H2:H13 nu sunt legate de domeniile de intrare. Situa iile de ie ire ofer frecven ele ini iale atunci când comanda a fost executat .

6.1.4.Func ia FREQUENCY

O alternativ la histogram este poligonul frecven elor care ofer o leg tura direct astfel încât, dac valorile frecven elor absolute i relative se schimb , aceasta se va vedea la rezultat. Acest lucru e ilustrat în figura 6.4.

Poligonul frecven elor are doi parametri: frecven a ( input range, bin range). Frecven a este o func ie ir, ceea ce înseamn c rezultatul nu este o singur coloan , ci un

ir sau un domeniu. Fiecare celul a domeniului de ie ire afi eaz aceea i formul . O asemenea func ie este introdus într-un mod special, descris în urm torii pa i:

Figura 6.4 Frecven a distribu iei utilizând func ia FREQUENCY

1. Selecta i domeniul de rezultate, în cazul nostru H2:H13. 2. Introduce i func ia= FREQUENCY( D2:D19,F2:F12); 3. Introduce i comanda::CTRL+SHIFT+ENTER

Rezultatul este domeniul H2:H13 în care toate celulele au formula de mai sus f r paranteze rotunde.

Domeniul ce con ine o func ie ir poate fi modificat sau ters doar ca întreg. Pentru a fi ters, întreaga sec iune trebuie selectat .

O data ce frecven ele sunt cunoscute, este util de calculat frecven ele relative corespunz toare, care sunt afisate în coloana din figura 6.5. Celula F14 con ine suma frecven elor, SUM( H2:H12), care este folosit pentru sec iunea I2:I12 cu aceea i formul de la I2=H2/$H$14.

105

Figura 6.5 Frecven e relative i absolute

Frecven ele pot fi ,de asemenea, folosite pentru ob inerea frecven elor relative cumulate. În coloana J procentul clien ilor este calculat astfel încât s ob in acelea i procente indicate în coloana F, cu J2 având formula =I1+H2. Mai interesant este num rul clien ilor ce au mai mult decât un anumit procent, care este furnizat de coloana K. Celula K12 calculat cu formula =K11+I12, este copiat în sus . Numerele din coloana K trebuie a fi interpretate ca un procent al clien ilor ce au o satisfac ie mai mare decât procentele din coloana F, un rând mai sus. De aici 78% din clien i au un procent mai mare de 60%.

6.1.5. RANK i PERCENTRANK

Clien ii pot fi ordona i folosind criteriul satisfac iei, ca în exemplul din figura 6.6. Aceasta poate fi ob inut introducând 1 în celula E2 , i selectând sec iunea E2:E19, iparcurgând comenzile Edit, Fill, Series. Acela i lucru este valabil pentru func ia:

RANK(numar, domeniu ),

unde “num r “ reprezint rangul unui num r dintr-o list de numere i “domeniu” reprezint sec iunea numerelor între care trebuie stabilit o rela ie de ordine. Un al treilea parametru nenul , op ional permite aranjarea în ordine cresc toare. De aceea ,celula E2 , este datde formula

=RANK (D2,D$2:D$19), care este copiata în jos.

Folosirea func iei RANK are avantajul independen ei de ordine a datelor. Pentru o bazde date mare, aranjarea nu poate fi realizat . Mai departe, func ia RANK este activ atât timp cât reflect schimb rile de date.

irul de numere poate fi, de asemenea , exprimat în procente, cu limita superioar100%, i cea inferioar , 0%, i restul valorilor între aceste limite. Rezultatul se nume te ir de procente. Aceast propor ie poate fi calculat printr-o simpl transformare a irului introducând în F2 formula:

=(E$19-E2+1)/E$19

care poate fi copiat în jos.

Alternativ, func ia

=PERCENTRANK(domeniu, num r)

106

care poate fi folosit introducând în F2 formula

=PERCENTRANK( D$2:D$19,D2)

care este copiat în F2:F19.

Important de re inut, formula este independent de ordinea datelor. Dac rezultatele func iei PERCENTRANK i formula simpl sunt comparate se observ c nu sunt exact la fel.

Figura 6.6 Serie i procent

6.1.6. Mediana , quartile si centile

Ce satisfac ie are, în medie , consumatorul? Tendin a de mijloc este numit mediana. Daca num rul de clien i este par nu exist un mijloc al irului, dar acesta poate fi estimat f cândo medie aritmetic între satisfac ia clientului cu num rul 9 i celui cu num rul 10, ceea ce înseamn 68,7%.

Alternativ , func ia

MEDIAN (range)=MEDIAN(D$2:D$19),

Poate fi folosit dând acela i rezultat.

Conceptul de median poate fi extins la cel de cuartile, decile i centile. Prima cuartileste ,în principiu, punctul aferent primei p trimi, a doua cuartil este mediana, i a treia cuartileste punctul aferent celei de-a treia p trimi. Acestea sunt esen ialul func iei QUARTILE, definitca:

QUARTILE (domeniu, sfert).

Figura 6.7 eviden iaz folosirea func iei .Celula I2 con ine formula

=QUARTILE(D$2:D$19,H2)

care este copiat în I2:I6.

Prima cuartil (q1) reprezint observarea unui sfert dintre subiec ii unei serii , a eza i în ordine cresc toare, aceasta însemnând subiectul 0,25*18=4,85, subiect ce se situeaz între Shaw i Stampede astfel încât se ia valoarea medie, aceasta fiind aproximativ 61%. A doua cuartil

este mediana i a treia cuartil ar trebui s fie media dintre Southridge si Restorator. Cuartila ce limiteaz inferior irul , ar trebui s reprezinte satisfac ia din partea inferioar a seriei, dar cum

107

aceasta nu este definit , sistemul estimeaz automat c ea este cel mai mic num r , 30,4%. A patra cuartil este definit în acela i mod.

Decilele sunt exprimate în unit i de zece procente, în timp ce centilele se bazeaz pe un procent general. Func ia centilelor este similar cu a cuartilelor i este definit dup cum urmeaz :

PERCENTILE( domeniu, procent)

Jum tatea din dreapta de jos a figurii 14.7 arat cum se folosesc. Celula I9 con ine formula =PERCENTILE( D$2:D$19,H9), care este copiat în jos. Rezultatele implic evident interpolarea .

Figura 6.7 Quartile i decile

6.1.7. Colectivit ile ce au la baz centilele

Rezultatele numerice sunt adesea sub form de caracter. De exemplu, cele mai bune 10% dintre rezultate s-au stabilit c apar in Clasei A, urm toarele 20% apar in Clasei B, amd. Problema apare atunci când se stabile te apartenen a fiec rui termen, în acest caz a fiec rui client, la o clasa de identificare.

Un exemplu ar fi determinarea notelor exprimate în litere ale studen ilor din notele exprimate numeric, când se reprezint prin a a numita curb a notelor. De exemplu, primii 6% dintre studen i primesc calificativul “A” urm torii 8% un ”A-“ , urm torii 10% un “B+”, i tot a a , dup cum se poate vedea în figura 6.8, care reprezint a a numita curb prin graficul cu coloane, i domeniul G3:H13 în figura 6.9.

S interpret m satisfac ia clien ilor din exemplul anterior drept ni te calificative numerice a 18 studen i, care ar trebui transformate în calificative nenumerice pentru a ne furniza procentele. Datele sunt furnizate de coloana B ce este folosit pentru a ob ine aranjarea procentual în coloana C. Acestea trebuie transformate în calificative nenumerice, de exemplu procentul de 6% primind “A” , 8% “A-“ , amd.

108

Figura 6.8 Calificative nenumerice convertite

Aceasta este obtinuta folosind o func ie numeric de c utare. De la distribu ia notelor în domeniul H3:H13, o distribu ie cumulat a lor este construita în domeniul H2:H13 dându-i valoarea zero lui H2 i formula =H2+G3, care este copiat în jos, lui H3. Celula H13 ofer o mica perturba ie pozitiv (0,001) pentru a realiza 100% în categoria A. Dup ce domeniul I3:I13a fost completat cu calificativele nenumerice , domeniul H2:I13 poate fi folosit ca un tabel de c utare pentru acestea.

În celula D2 se poate introduce acum formula

=VLOOKUP (C2,NLT,2)

unde NLT este numele tabelului principal. Celula D2 este copiat în jos ceea ce duce la calificativele nenumerice cerute. Domeniul A2:D19 poate fi sortat din nou având drept cheie primara coloana A pentru a ob ine ordinea original a înregistr rilor studen ilor.

Figura 6.9 Gradarea pe o curb

109

6.1.9.Distribu ia frecven elor pentru etichete

Este posibil de ob inut o distribu ie a frecven elor etichetelor prima oar transformând etichetele în numere prin intermediul func iei lookup , i apoi generând distribu ia frecven elorpentru toate numerele dup cum este ilustrat în figura 6.10.

În cinci loca ii sunt a ezate numere în domeniul F3:G7 care d numele de CT. Acest tabel este folosit de func ia lookup în coloana D unde D2 are formula:

=LOOKUP(C2,CT,2,0),

care este copiat în jos.

Aria poligonului frecven elor este atunci construit în domeniul H3:H7 prin selectarea acestui domeniu, introducând func ia

=FREQUENCY(D2:D19,G3:G7),

i completarea func iei ir printr-un caracter special ,CONTROL(Macintosh, COMMAND) +SHIFT+RETURN.

În urm torul capitol este luat în discu ie o metod alternativ pentru ob inerea unei distribu ii a frecven elor etichetelor.

Figura 6.10 Frecven a distribu iilor pentru loca iiProbleme : 1. Dup sortarea clien ilor dup adres , g si i num rul în fiecare loca ie cu ajutorul func iei

COUNT.

2. Cum se pot ob ine intervalele cu frecven e relative care includ limita inferioar în loc de limita superioar .

3. Aplica i func ia RANK unei sec iuni ce con ine etichete .Care este rezultatul? Face i acela ilucru cu PERCENTRANK.

4. Scoate i în eviden diferen a dintre rezultatele func iei PERCENTRANK i formula directbazat pe ir.

5. Clasifica i clien ii în 4 intervale egale indicate prin denumirile:Satisfacut, OK, Mul umit iNesatisfacut folosind un tabel numeric de c utare .

6. Cazul II al înregistr rii studen ilor

110

Fie de calcul C1DATA de pe discheta înso itoare con inând înregistr ri pentru 100de studen i:

a. Determina i media tuturor proiectelor pentru fiecare student i face i o distribu ie a frecven elor mediilor proiectelor.

b. Reprezenta i grafic mediile numerice i anul primei înregistr ri determinate de primele 2 cifre ale num rului matricol al studentului. Exist o rela ie între acestea?

c. Determina i procentul mediu al proiectelor la MGMT, SS, SC i GEN ale studen ilor. d. Folosind func ia LOOKUP determina i notele exprimate în litere corespunz toare

notelor exprimate numeric pentru fiecare student. e. Alc tui i distribu ia frecven elor notelor exprimate numeric cu o frecven relativ

corespunz toare notelor exprimate în litere, folosind comanda ”histogram”. f. Face i acela i lucru ca la punctul (e) cu ajutorul func iei FREQUENCY. g. Determina i, folosind func ia FREQUENCY num rul studen ilor la facultatea MGMT,

SS, SC i GEN.

6.2.Func iile statistice pentru baze de date

Acest capitol pune în discu ie caracteristicile bazelor de date folosind drept exemplu produc ia de petrol i de gaze naturale a unei companii trecând în revistã proprietã ile lor. Sunt prezentate mai întâi date despre produc ia de gaze i aplica ii ale func iilor elementare de statisticã. Apoi ne sunt arãtate cum aceste func ii pot fi utilizate pentru a ob ine informa ii despre anumite subgrupuri de date. Ne aratã cum se poate ob ine distribu ia frecven ei prin combinarea func iilor i instruc iuni referitoare la tabelul de date. Dupã aceasta, ne este explicat cum o combina ie similarã este folositã pentru a ob ine tabele de comparare a pu urilor din diferite regiuni. În sfâr it, o altã combina ie este folositã pentru a ob ine curba ofertei de gaze naturale ale acelei companii.

În acest capitol ve i studia urmãtoarele comenzi i func ii: AVERAGE(domeniu) MIN(domeniu) MAX(domeniu) COUNT(domeniu) VAR(domeniu) STD(domeniu) VARP(domeniu) STDP(domeniu) COUNTIF(domeniu,criterii) SUMIF(domeniu) DSUM (baza de date, câmp, criterii) DAVERAGE (domeniu) DMIN (domeniu) DMAX (domeniu) DCOUNT (domeniu) DVARP (domeniu) DSTDP (domeniu)

111

6.2.1 Proprietã ile de gaze i func iilor statistice

Considerãm produc ia de gaze i petrol a unei companii care dore te sã- i examineze stocul de gaze. Compania de ine 15 sonde de gaze, datele despre fiecare sondã sunt reproduse în Figura 15.1. datele se referã la numãrul de ordin al sondei, provincia, capacitatea de produc ie (în m 3 pezi), costurile fixe (în $ pe an), costurile variabile (în m 3 produ i) i productivitatea muncii (în procente în func ie de mãrimea proprietã ii). Venitul annual poate fi calculat dupã cum urmeazã. Dacã presupunem cã întreaga capacitate de produc ie este folositã, atunci produc ia anualã pentru pu ul 1 va fi de 693*365 m 3 .

Figura 6.11 Proprietã ile de gaze

Venitul pe m 3 este pre ul de 1$ minus costurile variabile. Venitul pe pu este egal cu venitul pe m 3 ori produc ia anualã minus costurile fixe. Acesta poate fi îmnul it cu productivitatea muncii. Formula pentru G3 este: =(C3*365*(PRICE-E3)-D3)* F3 unde pre ul este G1. Comenzile au un numãr de func ii statistice, unele dintre ele, cum ar fi SUM (domeniu), COUNTA (domeniu) i COUNT (domeniu)deja fiind introduse. Figura 15.2ne aratã un rezumat statistic cu baza de date a proprietã ilor de gaze. Celelalte func ii sunt AVERAGE (domeniu) care ne dã media celulelor cu variabile numerice din domeniu, MIN(domeniu) i MAX(domeniu) dându-ne minimul i maximul acestor celule, VAR(domeniu) i STDEV(domeniu), varian a i abaterea standard a variabilelor numerice. Ultimile douã func ii se referã la variabila de selec ie a acestor func ii, ceea ce înseamnã cã se împarte la n-1 numãrul de selec ii, astfel încât estimarea varin ei sã fie nedeplasatã. Func iile VARP(domeniu) i STDEVP(domeniu) calculeazã varian a i abaterea standard bazandu-se pe popula ie statisticã astfel încât se face împãr irea la n. În figura 6.12 domeniul E20:E26 con ine aceste func ii scrise ca etichetã pentru veniturile anuale ale celor 15 pu uri, domeniul D20:D26 înfã i ându-ne rezultatele valorice. Dacã maximul sau minimul a unui set de numere sunt cunoscute, domeniul, definit ca diferen ã dintre douã, este u or de aflat ca în celula D27 care con ine formula =D23-D22.

112

Figura 6.12 Rezumat statistic cu baza de date a proprietã ilor de gaze

În etapa urmãtoare va fi descrisã folosirea func iilor statistice ale bazei de date ce permite calcularea mãrimilor statistice pentru anumite subgrupuri de date ce se bazeazã pe criterii domeniu. Pentru o selec ie simplã bazatã pe o singurã coloanã sunt disponibile douã func ii: COUNTIF iSUMIF.

Sã presupunem cã ni se cere sã aflãm numãrul de pu uri din Aberta. Acest lucru va fi rezolvat aplicând func ia

=COUNTIF(B3:B17, "Alb"), unde primul parametru este coloana cu provincii (vezi coloana B din figura 6.11) i al doilea

este criteriu. Suam produc iei tuturor pu urilor din aceastã zonã co productivitate >1000 este datã de

func ia =SUMIF(C3;C17,>1000). Pentru aceste douã func ii criteriile sunt aplicate numai acelor domenii de date selectate a a

cã produc ia tuturor pu urilor din Alberta nu poate fi deternimatã cu caeste func ii sumã.

6.2.3. Func iile statistice ale bazelor de date

Pentru cã trebuie sã aflãm suma veniturilor anuale ale tuturor pu urilor din Alberta. Acest lucru poate fi realizat prin sortarea sua filtrarea tuturor înregistrãrilor i apoi folosind func ia SUM pentru veniturile anuale ale pu urilor alãturate din Alberta. Dezavantajul acestui mod de abordare este cã folose te întreaga bazã de date, care poate fi destul de mare i cã aceasta trebuie sã fie schimbatã pentru a ob ine acest rezultat. Func iile statistice ale bazei de date fac posibilã ob inerea acestor rezultate dintr-o subgrupã de înregistrãri ce poate fi indicatã precis. Pentru a utiliza cât mai exacte informa ii, datele trebuiesc organizate într-o bazã de date alcãtuitã din coloane i rânduri, ca de exemplu domeniul A2:G17 care este numit DB in figura 6.11. Primul rând con ine titlurile coloanelor sau numele câmpurilor i rândurile urmãtoare ce con inînregistrãrile.

113

Figura 6.13 Utilizarea func iilor statistice ale bazelor de date

Pentru a afi a o anumitã datã doritã folosim domeniul de criteriu, care este în acest caz A30:A31 în figura 6.13. el con ina câmpul "Prov" i dedesubtul sãu eticheta pentru data doritã "Alb". Numele câmpului din A20 trebuie sã fie identic cu cel din primul rând al bazei de date DB. Pentru a fi siguri de aceasta este bine sã-l copiem folosind comanda Copy.

Având în varede cã criteriile sunt folosite de un numãr de ori este convenabil sã-l denume ti. În figura 6.13 denumirea aleasã a fost CRIT1. Notã: CR1 nu paote fi utilizat, acesta este numele celulii în coloana CR rândul 1.

Suma veniturilor anuale ale pu urilor din Alberta poate fi aflatã prin formula dn celula G34: =DSUM(DB,7,CRIT1), unde DB i CRIT1 sunt numele domeniului bazei de date i al criteriului. Al doilea

parametru, aici 7, este numãrul coloanei sau al bazei de date unde suma va fi intradusã. În loc de criteriu etichetã cum ar fi provincie se poate folosi criteriu numeric. Sã

presupunem cã dorim sã aflãm suma veniturilor anuale ale tuturor pu urilor cu venit anual pozitiv. Aceasta se realizeazã creînd un alt domeniu criteriu CRIT2 în celula A44:A45 i copiind câmpul cu numele Venituri anuale în A44 i >0 în A45, vezi figura 6.14. Domeniul A33:G37 este apoi copiat într-un domeniu situat mai sus în partea dreaptãA47 i formulele func iilor din baza de date sunt modificate prin reînlocuirea CRIT1 cu CRIT2.

Este de asemenea posibil sã avem combina ii de criterii. Dacã douã criterii trebuiesc satisfãcute în acela i timp, aceasta se nume te combina ie logicã AND i dacã cel pu in una trebuie satisfãcutã aceasta se nume te combina ie logicã OR.

Sã presupunem cã dorim sã aflãm suma veniturilor anuale ale tuturor pu urilor cu venit anual pozitiv. Aceasta este o combina ie AND cu douã criterii. Domeniul de criteriu trebuie sã con inã douã coloane cu câmpurile Prov i Ann.Rev i în rândul urmãtor 2 celule ce con incriterii,vezi A19:B20 în figura 6.15

Figura 6.14 Criteriul numeric

114

Figura 6.15 Domeniile de criteriu pentru combina iile AND i OR

Pe de altã parte criteriile care nu trebuiesc satisfãcute în acela i timp trebuiesc introduse pe diferite rânduri ale domeniului de criteriu, inducate în A22:B24, ce selecteazã datele privind pu urile din Alberta sau pu urile cu veniturile enuale pozitive. Criteriile premit selectarea unor combina ii complexe de date ce pot fi folosite în diferite situa ii.

6.2.4. Distribu ia frecven elor

Func iile statistice ale bazelor de date pot fi folosite în legãturã cu Tabele de date pentru a genera distribu ia frecven elor pentru etichete sau pentru a prezenta analizele ce aratã sensibilitatea modificãrii pre ului sau a altor parametri.acesta paragraf se ocupã cu distribu ia frecven elor. Sã aflãm distribu ia frecven elor pu urilor dupã provincii. Pentru aceasta se va folosi func iaDCOUNT cu ajutorul unui domeniu de criteriu. Astfel va fi folosit domeniul A28:A29, numit CRIT2 vezi figura 6.16 ce con ine capetele de rând "Prov " i "Alb"

Figura 6.16 Distribu ia frecven elor pu urilor dupã provincii

Considerãm formula introdusã în C28 i afi atã în D28 =DCOUNT(DB,2,CRIT2), ce indicã valoarea 8, existã 8 pu uri în baza de date în Alberta. Aceasta este celula cheie în aplica iaTabelei de date cu domeniul al tabelei B28:B31. Celula input este A29. Tabela de date va lua prima etichetã "Alb" din B29, o va pune în A29 i va calcula valoarea lui C28 pe care o repartizeazã în C29 i a a mai departe. Aceasta poate fi aplicatã i atunci când dorim sã aflãm distribu ia frecven ei a unor note acordate prin litere în baza de date. Luãm în considerare primele 3 coloane din figura 15.7. Note acordate prin litere din C2:C6 pot fi socotite ca func ii DCOUNT. Domeniul C2:C6 con ine func ii de cãutare ce rezultã în gradele literelor afi ate.

115

Figura 6.17 Distribu ia frecven ei a unor note acordate prin litere

În D1:D2 se creeaz un domeniu criterial, fiind folosit în func ia DCOUNT din F1, formula sa fiind afi at în G1. Rezultatul 1 este corect, acolo aflându-se un C între C2:C6. F1 este o celulcheie a tabelului F1:G12 pentru Tabelul de Date. Celula D2 func ioneaz ca celul d intrare. Rezultatul este afi at în G2:G12. Toate celulele din acest domeniu formeaz un tablou cu formula obi nuit {=TABLE(,D2)}.

6.2.5. Compararea mediilor

O combina ie similar a func iilor bazei de date i a Tabelului de Date poate fi folositpentru a compara opera iile din diferite provincii. S presupunem c suntem interesa i s compar m, pentru cele trei provincii, num rul sondelor, capacit ile medii de produc ie, costurile fixe, costurile variabile, productivitatea muncii i veniturile anuale, i de asemenea veniturile anuale totale. Pentru Alberta acestea sunt date de urm toarele formule introduse în domeniul B24:H24 (vezi figura 6.18):

=DCOUNT(DB,2,CRIT2) =DAVERAGE(DB,3,CRIT2) =DAVERAGE(DB,4,CRIT2) =DAVERAGE(DB,5,CRIT2) =DAVERAGE(DB,6,CRIT2) =DAVERAGE(DB,7,CRIT2) =DSUM(DB,7,CRIT2)

Figura 6.18 Tabelul de Date folosit pentru compararea provinciilor

Domeniul criteriilor CRIT2 este A20:A21. Celulele din domeniul B24:H24 pot fi folosite drept celule cheie într-o aplica ie a Tabelului de Date, cu A24:H27 drept domeniu al tabelului icelula A21 drept coloan de intrare. Coloana index A25:A27 ar trebui s con in numele

116

provinciilor. Formatul celulelor cheie va fi copiat în cele de mai jos. Rezulatele sunt date în domeniul B25:H27. Rezultatele pot fi reprezentate grafic. Pentru medii, cum ar fi veniturile anuale, este indicat s se foloseasc graficele cu coloane, vezi figura 6.19, în timp ce pentru totaluri, cum ar fi num rulde sonde sau venitul anual total, se folosesc graficele prin cerc, vezi figura 6.20.

$0.00

$50,000.00

$100,000.00

$150,000.00

$200,000.00

$250,000.00

$300,000.00

Alb B.C. Sask

Figura 6.19 Graficul prin coloane al veniturilor medii

Alb63%

B.C.28%

Sask9%

Figura 6.20 Graficul veniturilor totale

6.2.6. Decalajul curbei ce reprezint aprovizionarea cu benzin

Din punct de vedere economic de o mare importan este impactul unei varia ii a cantit ii de benzin produs asupra veniturilor rezultante. Dac venitul net al unei sonde este negativ, el va fi închis i produc ia va fi zero. Deoarece venitul net depinde de pre , acesta va avea un impact direct asupra veniturilor dar i unul indirect prin cantitatea produs . Prin urmare este important s afl mcum vor depinde de pre cantitatea produs i venitul total. Aceasta poate fi facut prin comand din Tabelul de Date. Produc ia total a sondelor cu un venit pozitiv este dat de =365*DSUM(DB,3,CRIT1),

117

unde CRIT1 este domeniul A20:A21 (vezi figura 6.21), ce are în A21 formula =G2>0. Venitul total este dat de

=DSUM(DB,7,CRIT1).

Aceste dou formule ar trebui evaluate pentru diferite pre uri, s zicem pentru pre uri variind cu 0,10 începând de la 0,50 pân la 1,50. Aceast lucru poate fi f cut folosind Tabelul de Date. Figura 6.21 ne arat formatul i rezultatul final. Domeniul tabelului este B23:D34. Variabila ce se va modifica este pre ul, valorile sale fiind date în B24:B34. Celulele C23 i D23 con informulele de mai sus pentru produc ie i venituri. Ca celul de input este folosit B18, numitPRE , care pân acum a con inut un pre de 1.00 $. Tabelul de Date genereaz domeniul C24:D24.

Figura 6.21 Impactul pre ului asupra produc iei i venitului

La un pre de 0.50 $ produc ia este de aproape 5 milioane m3 dar venitul este de doar 16,982 $. O cre tere a pre ului la 0.60 $, adic o cre tere de 20%, m re te produc ia cu 140%, i venitul este acum de 450,000 $. Peste un pre de 1.20 $ produc ia nu mai cre te, dar, desigur, cresc veniturile.

Rela ia dintre pre i cantitatea produs reprezint în termeni economici curba ofertei. Curba cererii companiei este dat în figura 6.22. Aceasta are o elasticitate aproape perfect la pre uri de 0.50$-0.60$, dar la pre uri în jur de 1$ este inelastic , în timp ce la peste 1.20$ este perfect inelastic . Aceasta este o curb a cererii de scurt durat . Pe termen lung vor fi s pate mai multe sonde dac pre ul este destul de mare, ceea ce va avea ca rezultat o produc ie mai mare, deci curba nu va fi perfect inelastic la pre uri mari.

118

$0.00$0.20$0.40$0.60$0.80$1.00$1.20$1.40$1.60

0 5000000 10000000 15000000 20000000

productie

pret

Figura 6.22 Curba ofertei de benzin a companiei

$0$1,000,000$2,000,000$3,000,000$4,000,000$5,000,000$6,000,000$7,000,000$8,000,000

$0.5

0

$0.6

0

$0.7

0

$0.8

0

$0.9

0

$1.0

0

$1.1

0

$1.2

0

$1.3

0

$1.4

0

$1.5

0pret

veni

t

Figura 6.23 Venitul annual pentru diferite niveluri ale pre ului

A doua coloan a tabelului prezint veniturile nete pentru diferite nivele ale pre urilor. Figura 6.23 prezint aceast rela ie într-un grafic cu coloane. Veniturile cresc liniar cu pre ul.Pentru pre uri de peste 1.20$ aceasta este de în eles, deoarece cantitatea produs nu se mai schimb .Pentru pre uri mai mici se combin efectul cre terii cantit ilor i cel al cre terii profitului marginal, rezultând o cre tere aproximativ a venitului direct propor ional cu cea a pre ului.

Probleme

1. Care este influen a func iilor statistice asupra celulelor goale i a celor cu etichete din domeniu? 2. G si i capacit ile de produc ie anuale ale sondelor situate în Alberta sau în Saskatchewan ce au o productivitate a muncii de cel pu in 50%. 3. Folosind Tabelul de Date, realiza i distribu ia frecven ei veniturilor anuale pentru trei provincii.

119

7. Probleme de calitate

Controlul statistic al calit ii (statistical quality control) se refer la tehnicile statistice utilizate pentru a asigura satisfacerea standardelor pentru procese. Toate procesele sunt supuse unui anumit grad de variabilitate. Exist îns o distinc ie între cauzele comune i cele speciale ale varia iei, primele fiind numite naturale iar celelalte determinabile. Pentru a le separa pe cele doueste nevoie de un instrument special numit diagram de control.Utiliz m controlul statistic al proceselor pentru a m sura performan a unui proces. Se consider cun proces se afl în control din punct de vedere statistic dac singura surs de varia ie o reprezintcauzele naturale. Procesul trebuie supus controlului statistic identificând i eliminând cauzele determinabile ale varia ie. În acest mod predictibilitatea performan ei procesului este asigurat i se pot satisface astfel exigen ele consumatorilor. Obiectivul unui sistem de control statistic al proceselor este de a detecta printr-un semnal statistic atunci când cauzele determinabile ale varia iei sunt prezente.

Varia iile naturale afecteaz aproape orice proces de produc ie . De i valorile individuale sunt diferite ele formeaz un model numit distribu ie . Atunci când aceste distribu ii sunt normale, ele sunt caracterizate de doi parametri:

- media (m soar tendin a central )- devia ia standard (m soar dispersia)

Varia iile determinabile se datoreaz unor cauze specifice. Factori precum uzura echipamentelor sau ajustarea lor neadecvat , muncitori obosi i sau nepreg ti i, toate acestea pot fi surse pentru varia ii determinabile. Pentru managerul de produc ie distinc ia între aceste dou tipuri de varia ii presupune realizarea a dou activit i distincte. În primul rând, asigurarea faptului c procesul poate fi controlabil în cazul în care exist numai varia ii naturale. În al doilea rând, identificarea i eliminarea varia iilor determinabile.

Diagrame de control pentru variabile

Variabilele reprezint caracteristici ce au o dimensiune continu . Ele au num r infinit de posibilit i( exemple: greutatea, viteza, lungimea etc.) Diagramele de control pentru medie X i pentru amplitudine R sunt utilizate pentru a monitoriza procese ce au o dimensiune continu . Diagrama X bar ne spune dac exist modific ri în tendin a central ( de exemplu media) în timp ce diagrama R ne indic dac exist modific ri în dispersie. Cele dou diagrame sunt complementare deoarece m soar doi parametri critici, tendin a central i dispersia.

Teorema limitei centrale

Fundamentul teoretic pentru diagramele X bar se nume te teorema limitei centrale. Aceast teoremafirm c indiferent de distribu ia unei popula ii (produse sau servicii) distribu ia mediilor e antioanelor extrase din popula ie tind s formeze o curb normal pe m sur ce num rule antioanelor cre te. De asemenea aceast teorem afirm c :

1. media mediilor e antioanelor este egal cu media popula iei pe m sur ce num rul de e antioane cre te.

120

2. devia ia standard a mediilor e antioanelor nX / unde sigma este devia ia standard a popula iei.

3. Pentru orice distribu ie a popula iei, distribu ia mediilor e antioanelor este o curb normal

Stabilirea limitelor pentru diagrama X bar

Dac cunoa tem, din datele anterioare, devia ia standard pentru popula ia putem introduce limitele de control superioare i inferioare cu urm toarele formule:

XzXUCL

XzXLCLunde:X =media mediilor e antioanelor z=num rul devia iilor standard ( în general se utilizeaz 3 pentru interval de încredere 99.73)

X =devia ia standard a mediei e antionului ( n/ )= devia ia standard a popula iei

n= m rimea e antionului

Deoarece devia iile standard nu sunt întotdeauna disponibile sau sunt dificil de calculate, calcul mde obicei limitele de control bazate pe amplitudinea medie. Amplitudinea se define te ca diferen adintre valoarea cea mai mare i valoarea cea mai mic din e antion.Ecua iile sunt:

RAXUCLX 2

RAXLCL X 2

unde R =amplitudinea medie a e antioanelor A2 este o valoare ce depinde de m rimea e antionului i se g se te în tabelul 1 X =media mediilor e antioanelor

Marimeaesantion

A2 D4 D3

2 1.880 3.268 0 3 1.023 2.574 0 4 .729 2.282 0 5 .577 2.115 0 6 .483 2.004 0 7 .419 1.924 0.076 8 .373 1.864 0.136 9 .337 1.816 0.184 10 .308 1.777 0.223 12 .266 1.716 0.284

Tabel 7.1

121

Stabilirea limitelor diagramei R

În plus fa de preocuparea pentru media e antionului. managerii de produc ie sunt interesa i de dispersia procesului sau de amplitudine. Chiar dac media procesului se afl în control, dispersia unui proces poate s nu fie. Ecua iile pentru stabilirea limitelor de control pentru amplitudine:

RDUCLR 3

RDLCLR 4

unde R =amplitudinea medie a e antioanelor D3 , D4 sunt valori din tabelul 1.

Utilizarea diagramelor pentru medie i amplitudine

Putem defini distribu ia normal prin doi parametri, media i devia ia standard Diagrama pentru medie este sensibil la media procesului în timp ce diagrama de tip R este sensibil la devia iile standard ale proceselor. În consecin utilizând ambele diagrame putem monitoriza modific rile din distribu ia procesului.

Diagrame de control pentru atribute

Diagramele de control pentru variabile nu pot fi aplicate atunci când e antion m atribute, ce sunt clasificate în general în defecte i non-defecte. M surarea defectelor implic num rarea lor ( de exemplu num rul de becuri defecte dintr-un anumit lot), în timp ce variabilele sunt m surate dupcaracteristica lor (lungime, greutate etc.). Exist dou tipuri de diagrame de control pentru atribute:

1. acele care m soar propor ia defectelor dintr-un e antion – numite diagrame p 2. acele care m soar num rul de defecte dintr-un e antion – numite diagrame c

Diagrame de control p pentru atribute reprezint modalitatea principal de a controla atributele. Chiar dac aceste atribute urmeaz o distribu ie binomial , distribu ia normal poate fi utilizatpentru a calcula limitele diagramei p atunci când m rimea e antioanelor este mare. Procedura este asem n toare cu cea folosit pentru diagrama X bar ce se bazeaz pe teorema limitei centrale.

Formulele pentru limitele de control superioare i inferioare sunt: pp zpUCL ˆ

pp zpLCL ˆ

unde: p =media propor iei defectelor din e antion z= num rul de devia ii standard

p =devia ia standard a distribu iei e antioanelor

p se calculeaz ca n

ppp

)1(ˆ

unde n=m rimea e antionului

122

Diagrame de control tip c

În cazul anumitor produse acestea pot con ine mai mult de un singur defect. Pentru a controla num rul de defecte pe unitate folosim diagrame tip c. Aceste diagrame de control sunt utile pentru a monitoriza procese cu un num r poten ial mare de erori ce pot ap rea dar num rul actual ce pot ap rea este foarte mic. Defectele pot fi erori în cuvintele dintr-o revist , circuite necorespunz toare într-un microcip etc. Fundamentul diagramelor c o reprezint distribu ia Poisson.

Limitele de control = cc 3

Capabilitatea procesului (process capability)

Controlul statistic al proceselor presupune c încerca i s men ine i procesul în control. Aceasta înseamn c varia iile naturale ale procesului trebuie s fie suficient de înguste pentru a realiza produse ce satisfac standardele de calitate cerute. Cea mai popular modalitate de a exprima

capacitatea procesului este indicele pkC . pkC m soar diferen ele dintre dimensiunile dorite iactuale ale produselor realizate în proces.

Pentru a putea m sura pkC se fac dou presupuneri: procesul trebuie s fie în control (doar varia iile naturale sunt prezente) distribuit normal Formula este:

3aspecificatsuperioaraLimitaX,

3XaspecificatsuperioaraLimitaminpkC

unde:X =media procesului

=devia ia standard a popula iei

În cazul în care indicele pkC este egal cu 1, varia ia procesului este centrat cu limitele superioare iinferioare specificate iar procesul capabil de a produce în cadrul a 3devia ii standard. Cu cât indicele este mai mare ca 1 cu atât procesul devine mai focalizat cu mai pu ine defecte. Dac

pkC este mai pu in ca 1 procesul nu mai produce în toleran ele specificate.

123

STUDII DE CAZ REZOLVATE

7.1. Diagrama Pareto

InterElectrica SA este o companie de dimensiune medie produc toare de bobine pentru motoare electrice. Mihai Ionescu, director de produc ie, s-a confruntat cu problema rebuturilor în procesul de produc ie. „Nici nu tiu de unde s încep” afirma Mihai privitor la întâlnirea s pt mânal cu eful s u. „Rebuturile din departamentul bobinaj ne-au omorât în ultimele douluni, nimeni nu tie ce s fac . Tocmai am adus un consultant, Radu Burcea, pentru a examina situa ia i a formula recomand ri asupra modului în care putem descoperi ce se întâmpl . Nu ma tept ca Radu s fac recomand ri tehnice; doresc doar s ne indice direc ia”. Domnul Burcea s-a oprit prima dat în hala de produc ie. Discu iile cu supervizorii produc iei din compartimentul Bobinaje au indicat c nu intuiesc esen a problemei sau modul în care se poate solu iona. O examinare complet a opera iilor de bobinare a indicat c exist trei ma ini care bobineaz sârm pe carcasele de plastic pentru a produce bobinajul primar i secundar al motorului electric. Dup inspec ie, controlul calit ii, aceste bobine ajung în compartimentul Ambalare. Personalul care ambaleaz î i controleaz activitatea i aduc corect rile pe loc. Problema este c prea multe bobine sunt identificate ca fiind defecte i trebuie ref cute înainte de a putea fi ambalate. Urm toarea oprire a lui Burcea a fost la compartimentul de control al calit ii unde a ob inut dosarul cu rebuturile compartimentului Bobinaje pe luna trecut . Datele se afl în tabelul de mai jos.

Întreb ri:1. Identifica i cauzele apari iei rebuturilor. 2. Realiza i un raport care s cuprind analiza datelor ob inute i formula i recomand ri pentru

îmbun t irea calit ii. Nr. rebuturi în func ie de cauze

Data Nr. bobine controlate

Ma ina debobinat

Bobinare defectuoasa

Fire r sucite

Fire rupte

Fire erodate

Carcasnecorespunz toare

Tip de fire necorespunz tor

Nu au trecut testul electric

1 100 1 1 0 4 1 0 0 1 100 2 2 1 0 0 1 5 0 100 3 0 0 0 5 0 0 3

2 100 1 0 1 3 0 0 0 0 100 2 3 1 0 0 2 3 0 100 3 0 0 1 6 0 0 1

3 100 1 1 0 0 2 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 3 0 100 3 0 0 1 4 0 0 3

4 100 1 0 4 3 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 2 0 100 3 0 0 0 3 1 0 3

5 100 1 0 1 5 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 2 1 100 3 0 0 0 3 0 0 2

8 100 1 0 0 2 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 1 0 100 3 0 0 0 3 0 0 3

9 100 1 0 1 2 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 1 0

124

100 3 0 0 0 3 0 0 4 10 100 1 0 0 5 0 0 0 0

100 2 1 0 0 0 1 0 0 100 3 0 0 0 5 0 0 4

11 100 1 0 0 4 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 0 100 3 0 0 0 4 0 0 4

12 100 1 0 0 3 0 1 0 0 100 2 1 0 1 0 0 0 0 100 3 0 0 0 5 0 0 4

15 100 1 0 0 2 0 0 1 0 100 2 0 0 0 0 0 1 0 100 3 0 0 0 3 0 0 3

16 100 1 0 0 6 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 0 100 3 0 0 0 3 0 0 3

17 100 1 0 1 1 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 1 100 3 0 0 0 3 0 0 3

18 100 1 1 0 2 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 1 0 100 3 0 0 0 4 0 0 1

19 100 1 0 0 2 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 0 100 3 0 0 0 3 0 0 1

22 100 1 0 1 4 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 0 100 3 0 0 0 3 0 1 2

23 100 1 0 0 4 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 0 0 1 100 3 0 0 0 4 0 0 3

24 100 1 0 0 2 0 0 1 0 100 2 0 1 0 0 0 0 0 100 3 0 0 0 4 0 0 3

25 100 1 0 0 3 0 0 0 0 100 2 0 0 0 1 0 0 0 100 3 0 0 0 2 0 0 4

26 100 1 0 0 1 0 0 0 0 100 2 0 1 0 1 0 0 0 100 3 0 0 0 2 0 0 3

29 100 1 0 0 2 0 0 0 0 100 2 0 0 1 0 0 0 0 100 3 0 0 0 2 0 0 3

30 100 1 0 0 2 0 0 0 0 100 2 0 0 0 0 1 0 0 100 3 0 0 0 4 0 0 3

Tabel 7.2

125

Rezolvarea studiului de caz

Observa ii ini iale

Scopul analizei Pareto este de a identifica sursele defectelor i de a ordona aceste cauze în acord cu frecven a sau costul asociat fiec rei cauze. Diagrama Pareto este o combina ie între o diagram cu coloane i una cu linii. Aceast diagrama presupune c toate sursele problemelor de calitate au fost identificate i c fiecare dintre aceste cauze au fost înregistrate pe o foaie de verificare. Pa ii pentru realizarea diagramei sunt:

1. Identificarea problemei 2. Stabilirea cauzelor ce genereaz problema de la pasul 1. 3. Colectarea datelor referitoare la frecven a de apari ie a fiec rei cauze pe o perioad de

timp aleas . În acest pas se realizeaz o fi de înregistrare:

1 2 …. n Cauza /// / / A / /// B //// / // C // //// …..

Tabel 7.34. Se calculeaz frecven a fiec rei cauze în perioada analizat i apoi se însumeaz aceste

frecven e.5. Se stabilesc frecven ele relative (ponderile) prin raportarea frecven ei fiec rei cauze la

totalul defectelor. 6. Ordonarea cauzelor descresc tor în func ie de frecven a relativ (ponderi). 7. Se calculeaz ponderile cumulate adunând pe rând la nivelul fiec rei cauze frecven a

relativ a cauzelor precedente. 8. Realizarea diagramei Pareto

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%

100.00%

Fire

ero

date

Nu

au tr

ecut

test

ulel

ectri

cFi

re ru

pte

Tip

de f

irene

core

spun

zto

rFi

re r

suci

teBo

bina

rede

fect

uoas

aC

arca

sne

core

spun

zto

are

Pondere Cumulat

Figura 7.1

126

Pa ii necesari în rezolvarea studiului de caz cu Excel

1. Se copiaz tabelul într-o foaie de calcul Excel. Prima foaia de lucru o denumim „Tabel”. (în momentul lipirii celula activ trebuie s fie A1)

2. Se denumesc foile de lucru în ordine „Procesul”, „Ma ina 1”, „Ma ina 2”, „Ma ina 3”.

Figura 7.2

3. Se selecteaz cele 4 foi de lucru redenumite i se copiaz capul de tabel, zona D2:J2. Procedura de copiere este urm toare –selectare zona – Copy –Paste Special (în foaia de lucru redenumit începând cu celula A2) cu op iunea Transpose.

4. Având cele 4 foi selectate se introduce în celula A1 textul „Cauza”, în celula B1 textul „Pondere” i în celula C1 textul „Cumulat”.

Figura 7.3

127

5. În foaia Tabel se calculeaz num rul total de rebuturi pentru prima dintre cauze introducând în celula D70 formula SUBTOTAL (9,d3:d68) iar pentru celelalte cauze se introducând aceea i formul dar pentru coloanele corespunz toare. (Se folose te aceastfunc ie pentru a putea obseva totalurile în momentul în care va fi nevoie s filtr m pe fiecare ma in ).

6. În celula K70 se calculeaz suma defectelor cu formula =SUM(D70:J70). Pe rândul urm tor se calculeaz ponderile pentru fiecare cauz . În celula D71 se introduce formula =D70/$K$70 i se copiaz formula pâna la celula J71. Se formateaz valorile ob inute ca Percentage.

Figura 7.4

7. Se copiaz aceste valori i se lipesc în cea de-a doua foaie (Proces) cu comanda PasteSpecial op iunile Values i Transpose.

8. Se selecteaz zona A1:B8 i se sorteaz descresc tor dup coloana B (Pondere). 9. Valorile cumulate se introduc în modul urm tor: în celula C2 se introduce valoarea celulei

B2. În celula C3 se introduce =C2+B3 i se copiaz formula pe coloan .

Figura 7.5

10. Se selecteaz zona A1:C8 i se traseaz graficul.

128

0.00%10.00%20.00%30.00%40.00%50.00%60.00%70.00%80.00%90.00%

100.00%

Fire

ero

date

Nu

au tr

ecut

test

ulel

ectri

cFi

re ru

pte

Tip

de f

irene

core

spun

zto

rFi

re r

suci

teBo

bina

rede

fect

uoas

aC

arca

sne

core

spun

zto

are

Pondere Cumulat

Figura 7.6

11. În prima foaie de lucru se aplic un filtru automat i se calculeaz num rul de rebuturi pe fiecare cauz pentru fiecare ma in alegând în dreptul coloanei Ma ina de bobinat pe rând valorile 1,2,3. Se preiau valorile aflate pe rândul 71 în foaia de lucru pentru fiecare ma in i se realizeaz acelea i opera ii ca la punctele 7-10.

Interpretarea rezultatelor ob inute.

Se constat c de i la nivelul întregului proces cauzele principale se refere la Firele erodate i faptul c nu au trecut testul electric cele de la nivelul fiec rei ma ini sunt diferite. De

exemplu ma ina 1 are ca surs principal de defecte Firele rupte. Acest lucru a fost posibil deoarece în acest studiu de caz exist trei procese distincte ( pentru fiecare ma in ) i, de aceea, a fost necesar o analiz Pareto pentru fiecare dintre acestea.

În continuare, se analizeaz sursele de defecte pentru fiecare ma in i se realizeazrecomand ri pentru eliminarea acestora.

7.2.Diagrama X i R

Compania B.N.

In noiembrie 2001, un reprezentant al companiei B.N., Ion Voicu, a fost convocat la depozitul din Ploie ti al companiei Escav Rom pentru a inspecta 3 vagoane de marf ce con ineau saci cu agen i de tratare ai noroiului de sond pe care B.N. îi transportase la firma din Ploie ti. Sediul central al firmei B.N. i cea mai mare uzin a sa erau localizate în Bucure ti. Escav Rom a înaintat o plângere conform c reia saci de 50 kg de agen i de tratare tocmai primi i de la B.N. au o greutate mai mic cu aproximativ 5%. Ace ti saci au fost ini ial detecta i de unul dintre gestionari ce a remarcat faptul c documentele de înso ire indicau c volumul net pe toate cele trei vagoane era mai mic decât cel de luna trecut . Departamentul Logistic al B.N. a fost chemat s determine dac au fost utiliza i pale i cu greutate mai mic (aceasta putea fi o explica ie pentru greut ile mai mici). B.N. a indicat c nu s-a efectuat nici o schimbare în înc rcare i paletizare. Inginerii de la cav Rom au verificat aleatoriu 50

129

de saci si au descoperit ca greutatea medie net era de 47,51 kg.. Ei au remarcat faptul c în transporturile precedente erau adu i saci cu o greutate medie de 50 kg. i o devia ie standard de 1,2 kg.. În consecin au ajuns la concluzia c e antionul indica o sc dere semnificativ a greut ii. Compania B.N. a fost contactat , iar Ion Voicu a fost trimis s investigheze plângerea. Ion Voicu a verificat plângerea i, constatând c este întemeiat , a emis un credit de 5 % pentru compania Escav Rom. Managerii nu au fost complet satisf cu i de emiterea acestui credit, diagramele utilizate de inginerii de pe platformele de foraj s-au bazat pe agen i de tratare în saci de 50 de kg. Sacii cu greutate mai mic au dus la un control chimic defectuos în timpul opera iei de foraj i implicit la o eficien mai sc zut . Agen ii de tratare a noroiului de sond sunt folosi i pentru a controla pH ialte propriet i chimice ale frezei de forare în timpul opera iei. Acest defect ar putea determina consecin e economice severe cauzate costurile foarte mari ale petrolului i gazului natural din opera ia de forare. În consecin , au fost necesare instruc iuni speciale pentru furnizarea acestor transporturi c tre platformele de forare. Mai mult, transporturile de greutate mic au trebuit izolate în depozitul Escav Rom determinând un num r mai mare de opera iuni de manipulare i o mai proast utilizare a spa iului. De aceea, Ion Voicu a fost informat c Escav Rom ar putea s aibnevoie de un nou furnizor de agen i de tratare a noroiului dac în viitor se vor primi saci care deviaz semnificativ de la greutatea de 50 de kg. Departamentul de control al calit ii de la compania B.N. a presupus c sacii cu greutate mai mic au rezultat din problemele de la uzina din Bucure ti. Datorit crizei energetice activitatea de explorare a petrolului i a gazelor naturale a crescut foarte mult. De aceea, aceast cre tere a determinat o cre tere a cererii realizate de industriile complementare inclusiv agen ii de tratare a noroiului de sond . În consecin compania B.N. a trebuit s treac de la lucrul într-un schimb 6:00 AM – 2:00 PM la dou schimburi 2:PM – 10 :00 PM la mijlocul anului 2000 ajungând în final la lucrul în trei schimburi (24 ore pe zi) în toamna lui 2001. Noul schimb, de noapte, era format în totalitate din angaja i noi. Mai trii cei mai experimenta i au fost desemna i temporar s supervizeze angaja ii din schimbul de noapte. Cel mai mare accent s-a pus pe cre terea num rului de saci pentru a face fa cererii în continu cre tere. S-a suspectat c se f ceau reverific ri doar în mod ocazional pentru instala ia de umplere a sacilor. (O reverificare este realizat prin cânt rirea sistematic a sacilor pentru a stabili dac sacii sunt înc rca i cu greutatea corect . Dac exist o devia ie semnificativ de la greutatea corect se execut manevre de ajustare a mecanismului de dozaj). Pentru a verific aceast ipotez personalul de control al calit ii a cânt rit aleator sacii i a întocmit tabelul din pagina urm toare. E antionul cânt rit a fost de 6 saci pe or .

Întreb ri:1. În ce const analiza problemei greut ii sacilor? 2. Ce proceduri recomanda i pentru a men ine un control adecvat al calit ii?

130

Timp Greutate medie (kg)

Interval

Valoarea minim

Valoarea maxim

6:00 AM 49.6 48.7 50.7 7:00 50.2 49.1 51.2 8:00 50.6 49.6 51.4 9:00 50.8 50.2 51.8 10:00 49.9 49.2 52.3 11:00 50.3 48.6 51.7 12:00 prânz 48.6 46.2 50.4 1:00 PM 49.0 46.4 50.0 2:00 49.0 46.0 50.6 3:00 49.8 48.2 50.8 4:00 50.3 49.2 52.7 5:00 51.4 50.0 55.3 6:00 51.6 49.2 54.7 7:00 51.8 50.0 55.6 8:00 51.0 48.6 53.2 9:00 50.5 49.4 52.4 10:00 49.2 46.1 50.7 11:00 49.0 46.3 50.8 12:00 noapte 48.4 45.4 50.2 1:00 AM 47.6 44.3 49.7 2:00 47.4 44.1 49.6 3:00 48.2 45.2 49.0 4:00 48.0 45.5 49.1 5:00 48.0 47.1 49.6 6:00 48.6 47.4 52.0 7:00 50.0 49.2 52.2 8:00 49.8 49.0 52.4 9:00 50.3 49.4 51.7 10:00 50.2 49.6 51.8 11:00 50.0 49.0 52.3 12:00 prânz 50.0 48.8 52.4 1:00 PM 50.1 49.4 53.6 2:00 49.7 48.6 51.0 3:00 48.4 47.2 51.7 4:00 47.2 45.3 50.9 5:00 46.8 44.1 49.0

Timp (continuare)

Greutate medie (kg)

Interval

Valoare minim

Valoare maxim

6:00 46.8 41.0 51.2 7:00 50.0 46.2 51.7 8:00 47.4 44.0 48.7 9:00 47.0 44.2 48.9 10:00 47.2 46.6 50.2 11:00 48.6 47.0 50.0 12:00 noapte 49.8 48.2 50.4 1:00 AM 49.6 48.4 51.7 2:00 50.0 49.0 52.2 3:00 50.0 49.2 50.0 4:00 47.2 46.3 50.5 5:00 47.0 44.1 49.7 6:00 48.4 45.0 49.0 7:00 48.8 44.8 49.7 8:00 49.6 48.0 51.8 9:00 50.0 48.1 52.7 10:00 51.0 48.1 55.2 11:00 50.4 49.5 54.1 12:00 prânz 50.0 48.7 50.9 1:00 PM 48.9 47.6 51.2 2:00 49.8 48.4 51.0 3:00 49.8 48.8 50.8 4:00 50.0 49.1 50.6 5:00 47.8 45.2 51.2 6:00 46.4 44.0 49.7 7:00 46.4 44.4 50.0 8:00 47.2 46.6 48.9 9:00 48.4 47.2 49.5 10:00 49.2 48.1 50.7 11:00 48.4 47.0 50.8 12:00 noapte 47.2 46.4 49.2 1:00 AM 47.4 46.8 49.0 2:00 48.8 47.2 51.4 3:00 49.6 49.0 50.6 4:00 51.0 50.5 51.5 5:00 50.5 50.0 51.9

Tabel 7.4

Rezolvare studiu de caz diagrame de control X bar i R

1. Se copiaz tabelul într-o foaie de calcul Excel ( se are grij ca în momentul lipirii celula activ s fie A1).

2. În celula E2 se introduce textul Amplitudine i se calculeaz amplitudinile e antioanelor ca diferen între valoarea cea mai mic i cea mai mare din e antion. (ex: =D3-C3 pentru primul e antion dup care se copiaz formula pe coloan )

134

Figura 7.7 3. În celula B75 în dreptul coloanei cu greutatea medie se calculeaz media mediilor

e antioanelor = Average (B3:B74) 4. În acela i mod se calculeaz i media amplitudinilor =Average (E3:E74).

Figura 7.8

135

5. In F2 se introduce textul “media mediilor e antioanelor” iar în F3 se introduce valoarea calculat la punctul 3. ( Paste Special op iunea Values). Apoi se copiaz pe coloan .

6. În G2 se introduce textul “media amplitudinilor” iar în G3 se introduce valoarea calculat la punctul 4. Apoi se copiaz pe coloan .

Figura 7.9

7. În celulele H2 i I2 se introduce denumirile UCLx i LCLx iar în celulele H3 i I3 se introduc formulele de calcul pentru limitele superioare i inferioare (UCL i LCL). De exemplu în celula H3 se introduce formula =F3+0.483*G3.(corespunz toare modului de calcul pentru limita superioar ). Dup introducerea formulei aceasta se copiaz în jos. În mod similar i pentru limita inferioar cu formula =F3-0.483*G3. (valorile lui z se iau din tabelul pentru determinarea limitelor de control).

8. Se utilizeaz seriile din coloanele B,F, H i I pentru a realiza diagrama X bar folosind ca axa categoriilor timpul.

4344454647484950515253

6:00 A

M11

:00 4:00

9:00

2:00

7:00

12:00

prân

z5:0

010

:00 3:00

8:00

1:00 P

M6:0

011

:00 4:00

Greutate medie (kg)

Media mediiloresantioanelorUCLx

LCLx

Figura 7.10

136

9. Pentru a realiza diagrama tip R se calculeaz în prealabil limitele de control superioare iinferioare UCLr i LCLr utilizând formulele corespunz toare.

Figura 7.11

10. Se utilizeaz seriile E,J,K pentru a realiza diagrama tip R i se folose te ca ax a categoriilor seria A.

0

2

4

6

8

10

12

6:00 A

M

12:00

prân

z6:0

0

12:00

noap

te6:0

0

12:00

prân

z6:0

0

12:00

noap

te6:0

0

12:00

prân

z6:0

0

12:00

noap

te

AmplitudineMedia amplitudinilorUclrLCLr

Figura 7.12

7.3. Diagrame tip p

Operatorii de la firma de asigur ri ASIG introduc în fiecare zi mii de înregistr ri. E antioane ale înregistr rilor a 20 de operatori se afl în tabelul urm tor. O sut de înregistr ri introduse de

137

fiecare operator au fost examinate cu aten ie iar num rul de erori înregistrat. Apoi s-a calculat propor ia erorilor. S se stabileasc limitele de control i s se reprezinte grafic procesul.

Num r e antion Num r erori Defecte (%) 1 6 2 5 3 0 4 1 5 4 6 2 7 5 8 3 9 3 10 2 11 6 12 1 13 8 14 7 15 5 16 4 17 11 18 3 19 0 20 4

Tabel 7.5

Rezolvarea studiului de caz pentru diagrame p

1. Se calculeaz propor ia erorilor ca raport între num rul erorilor pe e antion i 100. 2. Se calculeaz suma num rului de erori pe e antion.

3. Se calculeaz 04.0)20)(100(

80riinregistradetotalnumarul

eroridetotalnumarp

4. Se calculeaz 02.0100

)04.01(04.0p

(Observa ie. n este m rimea e antionului ) 5. 10.0)02.0(304.0pp zpUCL

0)02.0(304.0pp zpLCL6. Se reprezint grafic limitele de control i propor ia defectelor din fiecare e antion

138

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

Defecte (%)p mediuUCLpLCLp

Figura 7.13

Se observ c numai un operator se afl în afara limitelor de control. Compania va trebui sexamineze mai îndeaproape activitatea acestuia pentru a vedea dac exist o problem real .

Rezolvarea cu Excel

1. Se copiaz tabelul într-o foaie de calcul Excel începând cu celula activ A1.

Figura 7.14

2. Se calculeaz num rul de defecte pe e antion. În celula C2 se introduce formula =B2/100 ise copiaz în zona C2:C21.

139

Figura 7.15

3. Se calculeaz num rul total de defecte în celula B22 cu formula =SUM(B2:B21) 4. Se calculeaz p cu formula =B22/(20*100) în celula D2. 5. Se copiaz aceast valoare în zona D3:D21. (observa ie – se folose te comanda Copy în

celula D2 i apoi în celula D3 Paste Special op iunea Values. Apoi se copiaz pe toat zona indicat )

6. Se calculeazp în celula E2 cu formula =SQRT((D2*(1-D2))/100). Se formateaz cu

dou zecimale.Se copiaz formula în zona E2:E21.

140

Figura 7.16

7. Se calculeaz limitele de control superioare i inferioare UCL, LCL. Pentru UCL în celula F2 se introduce formula =D2+3*E2 iar pentru LCL se introduce în celula G2 formula =max(0,D2-3*E2). Se formateaz cu dou zecimale.Apoi se copiaz aceste valori pe rândurile 3-21. (Vezi procedura de la punctul 5).

8. Se reprezint grafic folosind ca serii coloanele A, D, F i G. Tipul de diagrama utilizat este Scatter.

0

0.02

0.04

0.06

0.08

0.1

0.12

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1011121314151617181920

Defecte (%)p mediuUCLpLCLp

Figura 7.17

141

7.4. Diagrame tip c

O companie de transport prime te mai multe plângeri pe zi datorit comportamentului oferilor s i. Pe o perioad de 9 zile patronul prime te urm torul num r de telefoane de la pasagerii irita i:3,0,8,9,6,7,4,9,8. Dup ce patronul a afi at o diagram de control ce cuprindeau aceste date i le-a afi at în num rul de telefoane primite a sc zut la o medie de 3 pe zi. Pute i explica ce s-a întâmplat? (Stabili i limitele de control inferioare i superioare pentru acest proces într-un interval de încredere de 99.73%.)

Rezolvare studiului de caz pentru diagrama c

1. Se calculeaz 69/54c2. Se stabilesc limitele 35.136363 ccUCLc

06363 ccLCLc (deoarece rezultatul calcului este negativ se ia implicit valoarea 0 deoarece limita nu poate fi negativ )

3. Se realizeaz diagrama c.

0

2

4

6

8

10

12

14

16

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Numar defecte

MediadefectelorUCL

LCL

Figura 7.18

Rezolvarea cu Excel

1. Se introduc valorile corespunz toare în coloana A denumit Num r defecte. 2. Se calculeaz media defectelor în coloana B cu formula =AVERAGE(A2:A11) i se copiaz

în zona B2:B11.

142

Figura 7.19 3. Se calculeaz limitele de control superioare i inferioare UCL i LCL. Pentru UCL formula

este =B2+3*SQRT(B2) iar pentrul LCL se alege 0 deoarece valoarea calculat este mai mic decât 0.

Figura 7.20

Marimea esantion A2 D4 D3 2 1.880 3.268 0 3 1.023 2.574 0 4 .729 2.282 0 5 .577 2.115 0 6 .483 2.004 0 7 .419 1.924 0.076 8 .373 1.864 0.136 9 .337 1.816 0.184 10 .308 1.777 0.223 12 .266 1.716 0.284

Tabel 7.6 Tabel pentru determinarea limitelor diagramelor de control

143

Probleme

1. Valoarea medie a unui proces pe care urmeaz s -l monitoriza i este de 75 de unit i.Devia ia standard a procesului este 1.95 iar m rimea e antionului este n=10. Care sunt limitele de control superioare i inferioare pentru o diagram de control 3 sigma.

2. Valoarea medie a unui proces pe care urmeaz s îl monitoriza i este de 50 de unit i,amplitudinea medie este de 4 unit i, m rimea e antionului utilizat este n=5. Se cer :

a. Limitele de control pentru diagrama X bar. b. Limitele de control pentru diagrama R

3. Baterii S.A. a primit recent plângeri de la vânz torii cu am nuntul deoarece bateriile lor de 9 V nu au durat de func ionare atât de îndelungat ca ale celorlalte m rci. Andrei M rculescu, responsabilul programului de implementare a Managementului Calit ii Totale, de la uzina din Bucure ti crede c nu este nici o problem , deoarece bateriile au avut o durat medie de func ionare de 50 de ore, cu 10 % mai mare decât modelele competitorilor. Pentru a cre te durata de func ionare peste acest nivel, este nevoie de un nivel superior de tehnologie care nu este disponibil deocamdat . Cu toate acestea Andrei M rculescu se preocup s stabileasc metode de verificare care s analizeze din or în or fiecare linie de produc ie. Se decide s se analizeze e antioane de câte 5 baterii de 9 V pentru urm toarele 25 de ore pentru a crea standardele pentru limitele diagramelor de control.

E antion Or 1 2 3 4 5 X bar R 1 51 50 49 50 50 2 45 47 70 46 36 3 50 35 48 39 47 4 55 70 50 30 51 5 49 38 64 36 47 6 59 62 40 54 64 7 36 33 49 48 56 8 50 67 53 43 40 9 44 52 46 47 44 10 70 45 50 47 41 11 57 54 62 45 36 12 56 54 47 42 62 13 40 70 58 45 44 14 52 58 40 52 46 15 57 42 52 58 59 16 62 49 42 33 55 17 40 39 49 59 48 18 64 50 42 57 50 19 58 53 52 48 50 20 60 50 41 41 50 21 52 47 48 58 40 22 55 40 56 49 45 23 47 48 50 50 48 24 50 50 49 51 51 25 51 50 51 51 62

Cu aceste limite, Andrei mai analizeaz e antioane pentru înc 5 ore a a cum se vede în tabelul de mai jos.

144

E antionOr 1 2 3 4 5 26 48 52 39 57 61 27 45 53 48 46 66 28 63 49 50 45 53 29 57 70 45 52 61 30 45 38 46 54 52

a. Este procesul de produc ie în control ? b. Comenta i observa iile asupra duratei de func ionare.

4. O firm de distribu ie transmite comenzile conform cataloagelor. Printre cele 100 de comenzi livrate, propor ia erorilor a fost de 0.05. S se determine limitele de control inferioare i superioare pentru acest proces într-un interval de încredere de 99.73%.

5. Operatorii de la firma de asigur ri ASIG introduc în fiecare zi mii de înregistr ri. E antioane ale înregistr rilor a 20 de operatori se afl în tabelul urm tor. O sut de înregistr ri introduse de fiecare operator au fost examinate cu aten ie iar num rul de erori înregistrat. Apoi s-a calculat propor ia erorilor. S se stabileasc limitele de control i s se reprezinte grafic procesul.

Num re antion

Num r erori Defecte (%)

1 6 2 5 3 0 4 1 5 4 6 2 7 5 8 3 9 3 10 2 11 6 12 1 13 8 14 7 15 5 16 4 17 11 18 3 19 0 20 4

6. O companie de transport prime te mai multe plângeri pe zi datorit comportamentului oferilor s i. Pe o perioad de 9 zile patronul prime te urm torul num r de telefoane de la

pasagerii irita i: 3,0,8,9,6,7,4,9,8. Stabili i limitele de control inferioare i superioare pentru acest proces într-un interval de încredere de 99.73%.

7. Un proces are o medie de 8.01 grame iar devia ia standard de 0.03. Specifica iile sunt: media popula iei (µ=8.0) iar =0.04. S se determine Cpk i s interpreteze rezultatul.

8. Sunte i responsabil cu îmbun t irea calit ii i a i realizat o nou ma in care taie piese pentru produsele companiei. Sunte i foarte entuziasmat deoarece obiectivul companiei este de maxim 3.4 defecte la 1000000 iar aceast ma in ar putea fi ceea ce v trebuie. Piesele

145

t iate nu trebuie s fie mai mari de +/- .001 cm din grosimea specificat de 250 de cm. Vdecide i s determina i Cpk pentru noua ma in i s lua i decizii pe baza acestuia. ( devia iastandard a procesului .0005).

146

Bibliografie

1. Chase, B.R. Aquilano, N.J. Jacobs, F.R.

Production and Operations Management, New York, Irwin McGraw Hill,1998

2. Heizer, J. Render, B.

Operations Management, New Jersey, Prentice Hall Inc., 2001

3. N ft n il , I. Birotic i performan a managerial ,Bucure ti, Editura ASE, 2001

4. Makridakis,S. Wheelwright, S. McGee,V.E.

Forecasting:Methods and Applications, New York, John Wiley and Son, 1983

5. Moore, J.H. Weathweford, L.R.

Decision Modeling with Microsoft Excel, New Jersey, Prentice Hall Inc., 2000

6. Van de Panne,Cornelis Introductory Financial Economics with Spreadsheet,Singapore,Gordmand Breach Publishing Group, 1999